Seminar (Zahlentheorie)

Normale Zahlen

Christoph Baxa und Johannes Schoißengeier

250066 Seminar (Zahlentheorie), Montag 10 - 12 Uhr, Seminarraum C 2.07 (UZA 4), Vorbesprechung am 10. Oktober 2005.

Es sei b≥2 eine ganze Zahl. Eine reelle Zahl x heißt normal zur Basis b, wenn in ihrer b-adischen Entwicklung

      x=[x] +a₁(x)·b^-1 +a₂(x)·b^-2 +a₃(x)·b^-3 +···

unter den Ziffern a₁(x), a₂(x), a₃(x), ... alle Blöcke mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. D.h. jedes Element von {0,1,...,b-1}^r tritt asymptotisch mit Häufigket 1⁄b^r auf (für alle r≥1). Insbesondere treten die möglichen Werte 0,1,...,b-1 alle asymptotisch mit Häufigkeit 1⁄b auf. (Diese Eigenschaft wird als "einfach normal zur Basis b" bezeichnet.) Sie heißt absolut normal, wenn sie bezüglich aller Basen b≥2 normal ist. Das Seminar wird eine Einführung in die Theorie der normalen Zahlen geben. Genauer werden wir die folgenden Themen behandeln:

• Eine reelle Zahl x ist genau dann normal zur Basis b, wenn die Folge (x·bⁿ)_n≥1 modulo 1 gleichverteilt ist. Diese Tatsache ermöglicht es, die Theorie der gleichverteilten Folgen auf Fragen über normale Zahlen anzuwenden.
• Zu einer gegebenen Basis b≥2 sind fast alle reellen Zahlen normal. Daraus folgt, daß fast alle reellen Zahlen absolut normal sind. (D.h. die Menge aller reellen Zahlen, die nicht absolut normal sind, bildet eine Lebesgue - Nullmenge.) Andererseits bilden alle zu einer Basis b≥2 einfach normalen Zahlen eine magere Menge. Normale Zahlen sind also aus maßtheoretischer Sicht der Regelfall, aus topologischer Sicht aber selten.
• Obwohl (absolut) normale Zahlen offenbar häufig sind, weiß man von bekannten Konstanten wie √2, e oder π nicht, ob sie normal sind. Im Laufe der Jahre sind eine große Zahl normaler Zahlen konstruiert worden, darunter viele, die zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Das wahrscheinlich bekanntest Beispiel ist 1933 von Champernowne angegeben worden: Die Zahl x=0,12345678910111213... ist normal zur Basis 10. Man kann allerdings beweisen, daß für diese und ähnlich konstruierte normale Zahlen die dazugehörige Folge (x·bⁿ)_n≥1 modulo 1 "nicht besonders gut gleichmäßig verteilt" ist. In letzter Zeit sind große Fortschritte bei der Suche nach normalen Zahlen gemacht worden, bei denen die dazugehörige Folge "so gut wie möglich verteilt" ist.

Der Stoff wird von den teilnehmenden StudentInnen in Vorträgen präsentiert. Jede(r) Vortragende erhält für den Vortrag aufbereitetes Material und wird bei der Vorbereitung unterstützt. Die Einteilung der ersten Vorträge wird in der Vorbesprechung am 4.10.2005 erfolgen. Das Seminar sollte ungefähr ab dem Ende des ersten Studienabschnitts zugänglich sein. Die verwendeten maßtheoretischen und topologischen Begriffe werden bei Bedarf wiederholt. Spezielle Vorkenntnisse aus Zahlentheorie sind nicht erforderlich.

Alle Teilnehmer sollen ein gründliches Verständnis für die Theorie der normalen Zahlen erwerben. Bei einzelnen Fragestellungen wollen wir den aktuellen Stand der Forschung erreichen. Das Seminar kann auch als Vorbereitung auf Diplomarbeiten bzw. Dissertationen dienen. Für nähere Informationen schicken Sie bitte eine E-mail an christoph.baxa@univie.ac.at oder hannes.schoissengeier@univie.ac.at.

Die folgenden Lehrbücher bzw. Monographien enthalten Kapitel über normale Zahlen:

• M. Drmota, R.F. Tichy, Sequences, Discrepancies and Applications
• E. Hlawka, Theorie der Gleichverteilung
• L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences

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