Pflichtvorlesung für den Wahlfachtopf "Geometrie und Topologie" im zweiten Studienabschnitt.

Die Betrachtung von Symmetrien gehört wohl zu den grundlegendsten Ideen der Mathematik. Solche Symmetrien bilden Gruppen und stellen eine der wichtigsten Quellen für Beispiele von Gruppen dar. Betrachtet man Symmetrien von Objekten mit einer zusätzlichen Struktur, dann übertägt sich in manchen Fällen diese Struktur auf die Symmetriegruppe. Im Fall von Symmetrien geometrischer Objekte wird die Symmetriegruppe selbst eine glatte Mannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen sind glatte Abbildungen. So ein Objekt nennt man eine Lie Gruppe. Lie Gruppen als Symmetriegruppen spielen aber nicht nur in der Differntialgeometrie sondern in grossen Teilen der Mathematik und der theoretischen Physik eine sehr wichtige Rolle.

Ein Grundpfeiler der Theorie der Lie Gruppen ist, dass ein Großteil der (relativ komplizierten) Sturktur einer Lie Gruppe in ihrere Lie Algebra kodiert ist. Diese Lie Algebra ist ein viel einfacheres Objekt, nämlich ein endlichdimensionaler Vektorraum mit einer bilinearen Operation. Das Studium der Vebindung zwischen Lie Gruppen und Lie Algebren wird am Anfang der Vorlesung stehen.

Über den Begriff des homogenen Raumes führen Lie Gruppen zu einer Fülle von überraschenden Beispielen von glatten Mannigfaltigkeiten, auf denen eine Lie Gruppe durch Symmetrien wirkt. Geometrische Eigenschaften so eines Raumes, die unter der Symmetriegruppe invariant sind, lassen sich sehr gut algebraisch beschreiben. Schließlich werden wir in der Vorlesung (je nach vorhandener Zeit) Teile der Theorie der kompakten Lie Gruppen und ihrer Darstellungen, sowie der Theorie der Hauptfaserbündel (in der Lie Gruppen die Rolle von infinitesimalen Symmetriegruppen spielen) besprechen.

Inhalt: Lie Gruppen und ihre Lie Algebren; Lie Untergruppen und homogene Räume; der Satz von Frobenius und einige Existenzresultate; kompakte Lie Gruppen und ihre Darstellungen; Geometrie von homogenen Räumen; Hauptfaserbündel;

Als Hintergrund zum Verständnis der Vorlesung genügt eine Vorlesung "Differentialgeometrie 1", gute Kenntnisse der Grundvorlesungen (vor allem lineare Algebra), sowie Grundkenntnisse aus Algebra (Gruppentheorie).

Zur Vorlesung wird es ein Skriptum in englischer Sprache geben, dass im Laufe des Semesters kaptielweise erhältlich sein wird, siehe http://www.mat.univie.ac.at/~cap/lectnotes.html.

On demand this course is taught in English.