Errata zu Kapitel 4 der 1. Auflage
- Auf Seite 139 in Bemerkung 4.1.32 muss die Umformulierung des Doppelkomplementsgesetzes $$C\setminus(C\setminus A)=C\cap A$$ lauten.
- Auf Seite 148 in Definition 4.2.15 sollte der erste Satz folgendermaßen lauten: Eine Familie disjunkter und nichtleerer Teilmengen einer Menge, die die gesamte Menge überdecken, nennt man Partition.
- Auf Seite 162 in Aufgabe 4.3.14 sind fälschlicherweise die offenen Intervalle mit runden Klammern dargestellt. Es sollte $B_1={]}-1,3{[}$, $A_2={]}-1,1{[}$, und $A_3=\{0\}\cup{]}1,2{[}$ lauten.
- (Erweiterungsstoff)
Auf Seite 179 erscheint uns der Absatz, in dem $X\cup Y$ definiert wird, unverständlich.
Er sollte ersetzt werden durch die folgenden drei Absätze (Danke an A. Neumaier).
Seien $x$ und $y$ gegeben. Wegen (ZF4) gibt es eine Menge $Z$ mit $x\in Z$ und $y\in Z$. Dieses $Z$ betrachtend definieren wir $\{x,y\}:=\{z\in Z\mid z=x\vee z=y\}$ und mit dieser Notation dann $\{x\}:=\{x,x\}$.
Zu der Mengenfamilie $\mathcal{F}=\{X,Y\}$ liefert uns das Vereinigungs-Axiom (ZF5) die Existenz einer Menge $\hat Z$, mit deren Hilfe wir $$ X\cup Y:=\{z\in \hat Z\mid z\in X\vee z\in Y\} $$ definieren können (siehe auch Definition 4.1.12).
Drei weitere Symbole müssen wir einführen, um die weiteren Axiome formulieren zu können. Es sind dies das Leere Menge-Symbol $\emptyset:=\{z\in \widetilde Z\mid\neg(z=z)\}$ für eine fixe Menge $\widetilde Z$ und $S(x):=x\cup\{x\}$. Schließlich erklären wir das (uns bereits naiv bekannte) Symbol $\exists!$ durch folgende Abkürzungsvereinbarung $$ \exists!y:\ph(y)\text{ entspreche }\exists y:\ph(y)\wedge(\forall y:\forall x:(\ph(y)\wedge\ph(x))\limplies x=y). $$