Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 2.3
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 2.3 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 2.3.3 (Lösung)
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke ohne Verwendung der Summen- bzw. Produktzeichen an: \begin{equation*} \begin{array}{r@{\;\;}l@{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}r@{\;\;}l} \text{1.} & \displaystyle\sum_{k=2}^{12} k^{2k+1} & \text{6.} & \displaystyle\prod_{j=1}^{9}i^{3} \\ \text{2.} & \displaystyle\sum_{k=-4}^{-6} b_{k} & \text{7.} & \displaystyle\prod_{l=1}^{5}l^{j} \\ \text{3.} & \displaystyle\sum_{k=-2}^{-8} b_{-k} & \text{8.} & \displaystyle\sum_{j=3}^{6}\prod_{k=1}^{3}(jk-2)\\ \text{4.} & \displaystyle\sum_{k=0}^{n} x^{k-1} & \text{9.} & \displaystyle\sum_{j=2}^{5}\prod_{k=2}^{4} e^{jk+2} \\ \text{5.} & \displaystyle\prod_{i=1}^{7}h^{i} & \text{10.} & \displaystyle\sum_{k=0}^{m}\sum_{j=k}^{m}\binom kj \end{array} \end{equation*}Aufgabe 2.3.4 (Lösung)
Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit Hilfe von Summen- bzw. Produktzeichen:- $1+3+9+27+81+243+729+2187$
- $a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}$
- $x^{9}+3x^{14}+9x^{19}+27x^{24}+81x^{29}+243x^{34}+729x^{39}$
- $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\dots(2n-1)$
- $\tfrac12+\tfrac16+\tfrac1{12}+\tfrac1{20}+\tfrac1{30}+\tfrac1{42}$
- $a_{1}+3a_{2}+5a_{3}+2a_{1}^{2}+6a_{2}^{2}+10a_{3}^{2}+ 4a_{1}^{3}+12a_{2}^{3}+20a_{3}^{3}+ 8a_{1}^{4}+24a_{2}^{4}+40a_{3}^{4}$
Aufgabe 2.3.5 (Lösung)
Überprüfen Sie, welche der folgenden Gleichungen gelten. Sollte eine Gleichung falsch sein, so stellen Sie die rechte Seite richtig:- $\displaystyle\sum_{i=1}^{5} a_{i}=\sum_{j=3}^{7}a_{j-2}$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} p_{2k-1} = \sum_{j=-n+1}^{0} p_{-1-2j}$
- $\displaystyle\sum_{t\in\{9,16,25,36,49\}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! m^{j}_{t}\;\; = \sum_{p=2}^{6} m_{i}^{(p+1)^{2}}$
- $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} b_{2k}= \sum_{j=0}^{2n}\frac{(-1)^{j}+1}{2} b_{j}$
- $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} c_{3j-1}=\sum_{i=0}^{n-1} c_{3j+2}$
- $\displaystyle\sum_{j=0}^{n} k^{2j} = \sum_{r=0}^{2n} k^{r}- \sum_{s=0}^{n} k^{2s+1}$
- $\displaystyle\log\prod_{i=0}^{n} 3^{a_{i}}= \log 3\sum_{j=0}^{n}a_{j}$
- $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k} a^{j}b^{k-j} = \sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n} a^{j}b^{k-j}$
Aufgabe 2.3.6
Überprüfen Sie, ob die Gleichung $$\displaystyle\prod_{j=0}^{n} j(n-j)p^{\tfrac12 j(n-j)} = \sqrt{\prod_{k=1}^{m-1} k(m-k)p^{k(m-k)}}$$ gilt. Sollte sie falsch sein, so stellen Sie die rechte Seite richtig.Hinweis: Die Lösung hängt hier von den Werten von $n$ und $m$ ab; verwenden Sie eine Fallunterscheidung. In den Fällen $n<0$, $m\geq 2$ und $n\geq 0$, $m\geq 2$ hängt die Lösung zusätzlich vom Wert von $p$ ab. Eine vollständige Lösung dieses Beispiels ist schwierig — versuchen Sie trotzdem, es zu lösen und lassen Sie sich nicht entmutigen.