Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 3.2
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 3.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 3.2.5 (Lösung)
Weisen Sie explizit nach, dass die beiden letzten Gleichheiten in Beispiel 3.2.4 tatsächlich falsch sind, also, dass \[(p\limplies q)\not=(\neg p\limplies\neg q)\ \text{und}\ \neg(p\limplies q)\not=(\neg p\limplies\neg q) \] gelten.Aufgabe 3.2.6 (Lösung)
Wir betrachten die Aussagen $p$ und $q$, über deren Wahrheitswert wir nichts wissen. Es gelte jedoch $p \Rightarrow q$. Was lässt sich dann über die folgenden vier Aussagen sagen? \begin{equation*} \text{1.}\;\neg q \Rightarrow \neg p,\qquad \text{2.}\;\neg p \Rightarrow \neg q,\qquad \text{3.}\; q \Rightarrow \neg p,\qquad \text{4.}\;\neg p \Rightarrow q \end{equation*}Aufgabe 3.2.8 (Lösung)
Es seien $p,$ $q,$ und $r$ beliebige Aussagen. Sind dann die folgenden Aussagen wahr?- $(p \vee (p \Rightarrow q)) \Rightarrow q$,
- $((p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow (p \Rightarrow q)$,
- $((p \Rightarrow q) \wedge (\neg q)) \Rightarrow \neg p$,
- $(\neg q \vee p) \Leftrightarrow (\neg p \Rightarrow \neg q)$.
Hinweis: Diese Aufgaben können Sie jeweils auf zwei Arten anpacken. Entweder Sie stellen die Wahrheitstabelle auf, oder Sie verwenden die Rechenregeln aus Theorem 3.1.10. Für die erste Aussage, nennen wir sie $A$, sieht das etwa so aus: $$ \begin{array}{c|c|c|c||c} p\ &\ q\ &\ p\Rightarrow q & p\vee(p\Rightarrow q)\ &\ A \\\hline 0&0& 1 & 1 & 0\\ 1&0& 0 & 1 & 0\\ 0&1& 1 & 1 & 1\\ 1&1& 1 & 1 & 1\\ \end{array} $$ Oder: \begin{eqnarray*} (p \vee (p \Rightarrow q)) \Rightarrow q &=& \neg(p \vee (p \Rightarrow q))\vee q \,=\, (\neg p\wedge \neg(\neg p\vee q))\vee q\\ &=& (\neg p\wedge p\wedge \neg q)\vee q\,=\, (0\wedge\neg q)\vee q = 0\vee q = q. \end{eqnarray*} Also gilt $A=q$ und daher ist $A$ genau dann wahr, wenn es $q$ ist.
Aufgabe 3.2.9 (Lösung)
Beweisen Sie die Formel (3.2) mittels Aufstellen der Wahrheitstabelle.Aufgabe 3.2.12 (Lösung)
Beweisen Sie die obige Aussage (3.3).Aufgabe 3.2.13 (Lösung)
Wir betrachten die Aussagen $p$ und $q$ über deren Wahrheitswert wir nichts wissen. Es gelte jedoch $p \liff q$. Was lässt sich dann über die folgenden vier Aussagen sagen?- $\neg q \liff \neg p$,
- $\neg p \limplies \neg q$,
- $\phantom{\neg} q \limplies \neg p$,
- $\neg p \liff q$.
Aufgabe 3.2.15 (Lösung)
Es seien $p$, $q$ und $r$ beliebige Aussagen. Welche der folgenden Aussagen sind Tautologien, welche Kontradiktionen?- $((\neg p \vee q) \wedge (q\limplies r)) \limplies (p \limplies q)$,
- $((r \limplies p) \wedge \neg p) \limplies \neg r$,
- $(q \vee (q \limplies p)) \limplies p$,
- $(p\veebar q)\liff(\neg p \liff q)$,
- $((p\limplies q)\wedge \neg q)\liff \neg((\neg p\vee q)\wedge \neg q)$.
Aufgabe 3.2.16 (Lösung)
Seien $p$, $q$, $r$ und $s$ Aussagen. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen Tautologien sind:- $((p\limplies q)\wedge p)\limplies q$,
- $p\limplies(p\vee q)$,
- $((p\vee q)\wedge\neg p)\limplies q$,
- $(p\liff q)\limplies(p\limplies q)$,
- $((p\limplies q)\wedge(q\limplies r))\limplies(p\limplies r)$,
- $((p\limplies q)\wedge(r\limplies s)\wedge(p\vee r))\limplies(q\vee s)$.
Aufgabe 3.2.18 (Lösung)
Formulieren Sie gemäß der Regel (3.2.11) äquivalente Aussagen zu:- $\forall n \in \N$: $n^2 > n$ $\limplies$ $n> 1$,
- $\forall n \in \N$: $3 \mid n$ $\limplies$ $4 \mid n$,
- $\forall n \in \N$: $n^3$ ungerade $\limplies$ $n$ ungerade.
Aufgabe 3.2.19 (Lösung)
Bilden Sie die Verneinung der folgenden Aussagen:- Alle Rosen sind verwelkt oder teuer.
- Alle Rosen sind entweder verwelkt oder teuer.
Hinweis: Beachten Sie die Konvention aus Abschnitt 3.2.1: die Formulierung "entweder ... oder" entspricht dem ausschließenden Oder und die Formulierung "oder" dem (mathematischen) einschließenden Oder.
Aufgabe 3.2.20 (Lösung)
Verneinen Sie die folgenden Aussagen:- Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie nicht parallel.
- Es gibt Dreiecke, die genau zwei rechte Winkel haben.
Aufgabe 3.2.21 (Lösung)
Begründen Sie, warum die folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind:- $\forall x \in \N: \exists y \in \N: x=y$,
- $\exists y \in \N: \forall x \in \N: x=y$,
- $\forall x \in \N: \exists y \in \N: x>y$,
- $\exists y \in \N: \forall x \in \N: x\ge y$,
- $\forall x \in \N: \exists y \in \Z: x> y$,
- $\exists y \in \Z: \forall x \in \N: x\ge y$.
Aufgabe 3.2.23 (Lösung)
Formen Sie die folgenden Aussagen gemäß der entsprechenden Rechenregel aus Theorem 3.2.22 um:- Es gibt eine ganze Zahl $r$, die positiv oder durch drei teilbar ist.
- Alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen und Summe dreier Quadratzahlen.
- Für alle reellen Zahlen $r>1$ ist $0<1$ oder $r^{2}<0$.
- Es gilt $\sqrt2\in\Q$, und es gibt eine rationale Zahl $q$ mit $q^{2}=2$.
- Weil das Quadrat jeder positiven natürlichen Zahl größer als $1$ ist, gilt $0<1$.
- Für alle ganzen Zahlen $z$ folgt aus $z^{2}>0$ sofort $1>0$.
- Wegen $0<1$ gilt für alle positiven natürlichen Zahlen $n$, dass $n^{2}>0$.
- Es gibt eine Primzahl $p$, für die aus $2|p$ folgt, dass es eine gerade Primzahl gibt.
Aufgabe 3.2.24 (Lösung)
Begründen Sie, warum die folgenden Abwandlungen der Aussagen (iii) und (iv) in Theorem 3.2.22 falsch sind:- $\exists x:P(x)\wedge Q(x) = (\exists x:P(x))\wedge (\exists x:Q(x))$,
- $\forall x:P(x)\vee Q(x) = (\forall x:P(x))\vee (\forall x:Q(x))$.