Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 4.1
Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 4.1 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.
Aufgabe 4.1.2 (Lösung)
Geben Sie mehrere Formulierungen für die folgenden Mengen an. Orientieren Sie sich dabei an obigen Ausführungen zur Menge der Primzahlen.- Die Menge der geraden Zahlen.
- Die Menge der so genannten vollkommenen Zahlen, wobei eine Zahl vollkommen (oder auch perfekt) heißt, falls die Summe ihrer Teiler die Zahl selbst ergibt.
- $M=\{n\in\N:\ 2|n \vee 3|n\}.$
Hinweis: Das Zeichen "$\mid$" bedeutet hier "teilt" und nicht "für die gilt", was wir der leichteren Lesbarkeit wegen hier mit einem Doppelpunkt notiert haben.
Aufgabe 4.1.8 (Lösung)
Sei $M$ die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Beschreiben Sie die Teilmenge aller Elemente von $M$, die durch $3$ teilbar sind.Aufgabe 4.1.9 (Lösung)
Ist die Menge $P$ der Primzahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen $\Q$?Aufgabe 4.1.11 (Lösung)
Beweisen Sie, dass die Menge der geraden Zahlen, die durch $5$ teilbar sind, gleich der Menge aller ganzen Zahlen ist, die durch $10$ teilbar sind.Aufgabe 4.1.15 (Lösung)
Bestimmen Sie die folgenden Mengenvereinigungen:- $\{1,5,6\}\cup\{1,8,9,11\}$,
- $\{\tfrac m2\mid m\in\N\}\cup\N$,
- $\bigcup_{n\in\N}\bigcup_{0\neq m\in\N}\tfrac nm$.
Aufgabe 4.1.19 (Lösung)
Bestimmen Sie die folgenden Mengendurchschnitte:- $\{1,5,6\}\cap\{1,8,9,11\}$,
- $\{\tfrac m2\mid m\in\N\}\cap\N$,
- $\bigcap_{n\geq 1}A_n$, wobei $A_n=\{0,1,\dots,n\}$ für $n\in\N$,
- $\N_{g}\cap\{3k\mid k\in\Z\}$,
- $\{5z\mid z\in\Z\}\cap P$, wo $P$ wieder die Menge aller Primzahlen bezeichne.
Aufgabe 4.1.22 (Lösung)
Bestimmen Sie die Mengen $A\setminus B$ und $B\setminus A$ für die folgenden Mengen:- $A=\{1,2,5,8,9\}$, $B=\{2,3,5,7,9\}$,
- $A=\N$, $B=\Q$,
- $A=\{n^{2}\mid n\in\N\}$, $B=\{2^{n}\mid n\in\N\}$.
Hinweis: Beachten Sie in Aufgabe 3, dass eine Zweierpotenz genau dann eine Quadratzahl ist, wenn ihr Exponent gerade ist.
Aufgabe 4.1.25 (Lösung)
Bestimmen Sie die Menge $A\bigtriangleup B$ für die folgenden Mengen:- $A=\{1,2,5,8,9\}$, $B=\{2,3,5,7,9\}$,
- $A=\N$, $B=\Q$,
- $A=\{n^{2}\mid n\in\N\}$, $B=\{2^{n}\mid n\in\N\}$.
Aufgabe 4.1.27 (Lösung)
Sei $U:=\N$. Bestimmen Sie das Komplement der folgenden Mengen- die Menge der geraden Zahlen,
- die Menge der Primzahlen,
- $\{0\}$,
- $\emptyset$.
Aufgabe 4.1.31
Beweisen Sie die restlichen Rechengesetze in Theorem 4.1.29. Verwenden Sie dazu für das jeweils erste der beiden Rechengesetze die Methode der Mengentafel und führen Sie das jeweils zweite Gesetz auf Theorem 3.1.10 zurück.Aufgabe 4.1.33
Beweisen Sie die Komplementaritätsgesetze, die Dualitätsgesetze, das Doppelkomplementsgesetz und die Gesetze von De Morgan aus Bemerkung 4.1.32.Aufgabe 4.1.34
Seien $A$ und $B$ Mengen. Zeigen Sie:- $A\subseteq B\ \Rightarrow A\cup B=B$ und $A\cap B=A$,
- $B\cup A=A \Leftrightarrow B\subseteq A$.
Aufgabe 4.1.37 (Lösung)
Bestimmen Sie die Potenzmenge der Mengen $\{a\}$, $\{0,1\}$, $\P\emptyset$ und $\{1,\dots,5\}$.Aufgabe 4.1.40 (Lösung)
Bestimmen Sie die Mengen $A\times B$, $A^{2}$ und $B^{3}$ für die Mengen- $A=\{1\}$, $B=\{a,b\}$,
- $A=\{1,3,5,7\}$, $B=\{0,1\}$,
- $A=\emptyset$, $B=\{a,b,c\}$.