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Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 5.2

Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 5.2 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.

 


Aufgabe 5.2.5 (Lösung)

Auf der Menge $\R$ der reellen Zahlen sei die Verknüpfung $\otimes$ für je zwei Elemente $a$ und $b$ durch $$ a\otimes b := ab - 4 $$ definiert. Überprüfen Sie, ob die so definierte Verknüpfung assoziativ ist.
 


Aufgabe 5.2.6 (Lösung)

Wir definieren auf der Menge $\Q$ der rationalen Zahlen die Verknüpfung $\odot$ durch $$ a\odot b := 6a+6b+3ab+10 = 3(a+2)(b+2)-2. $$ Überprüfen Sie, ob $\odot$ das Assoziativgesetz erfüllt.
 


Aufgabe 5.2.7 (Lösung)

Gegeben sei die Menge $\Z$ mit der Verknüpfung $\oplus$ $$ a\oplus b := a+b-8. $$ Überprüfen Sie das Assoziativgesetz.
 


Aufgabe 5.2.8 (Lösung)

Beweisen Sie, dass $(M_{2}(\R),\cdot)$ eine Halbgruppe ist.
 


Aufgabe 5.2.12 (Lösung)

Betrachten Sie die Verknüpfung aus Aufgabe 5.2.5 und überprüfen Sie, ob ein Einselement existiert.
 


Aufgabe 5.2.13 (Lösung)

Existiert ein Einselement für die Verknüpfung $\odot$ aus Aufgabe 5.2.6?
 


Aufgabe 5.2.14 (Lösung)

Gibt es für die Verknüpfung $\oplus$ auf $\Z$ aus Aufgabe 5.2.7 ein Einselement?
 


Aufgabe 5.2.15 (Lösung)

Beweisen Sie, dass die Einheitsmatrix und die Nullmatrix jeweils neutrale Elemente von $(M_{2}(\R),\cdot)$ bzw. $(M_{2}(\R,+))$ sind.
 


Aufgabe 5.2.22 (Lösung)

Welche der Gruppoide aus den Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 sind Monoide?
 


Aufgabe 5.2.23 (Lösung)

Begründen Sie, warum $(M_{2}(\R),+)$ und $(M_{2}(\R),\cdot)$ Monoide sind.
 


Aufgabe 5.2.27 (Lösung)

Überprüfen Sie, welche der Verknüpfungen aus den Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 kommutativ sind.
 


Aufgabe 5.2.31 (Lösung)

Überprüfen Sie, für welche der Verknüpfungen aus den Aufgaben 5.2.5, 5.2.6 und 5.2.7 inverse Elemente existieren.
 


Aufgabe 5.2.32 (Lösung)

Beweisen Sie, dass eine $2\x 2$–Matrix $$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} $$ genau dann ein inverses Element besitzt, wenn $$\det(A):=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$$ gilt.

Hinweis: Nehmen Sie an, es gebe eine Inverse $B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$ also, dass $AB=I$ gilt. Schreiben Sie die entstehenden $4$ Gleichungen an und lösen Sie nach $b_1,\dots, b_4$ auf. Zeigen Sie dann auch noch, dass $BA=I$ gilt. Achtung, das ist eine etwas langwierige Rechnung.
 


Aufgabe 5.2.41 (Lösung)

Zeigen Sie, dass $(\Z_{4},+)$ eine Gruppe bildet. Vergleichen Sie diese vierelementige Gruppe mit der Kleinschen Vierergruppe $V_{4}$.

Hinweis: Betrachten Sie dazu die Verknüpfungstabellen.
 


Aufgabe 5.2.42 (Lösung)

Beweisen Sie, dass $(\Z_{5}\setminus\{\bar{0}\},\cdot)$ eine Gruppe bildet. Vergleichen Sie diese Gruppe mit $(\Z_{4},+)$. Was fällt Ihnen auf?
 


Aufgabe 5.2.43 (Lösung)

Stellen Sie die Cayley–Tafeln von $(\Z_{6},+)$ und $(\Z_{6},\cdot)$ auf. Welche algebraischen Strukturen liegen vor: Gruppoid, Halbgruppe, Monoid, Gruppe? Zählen Sie alle zutreffenden auf!
 


Aufgabe 5.2.44 (Lösung)

Wir betrachten ein Rechteck, das kein Quadrat ist und alle Abbildungen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden. Zeigen Sie, dass diese Abbildungen eine Gruppe bilden und stellen Sie die Verknüpfungstabelle auf. Kommt Ihnen die Gruppe bekannt vor? Was ändert sich im Falle eines Quadrats?
 


Aufgabe 5.2.50 (Lösung)

Überprüfen Sie, ob die Teilmenge $\{0, 2, 4\}$ von $(\Z_{6},+)$ eine Untergruppe bildet.
 


Aufgabe 5.2.51 (Lösung)

Bestimmen Sie alle Untergruppen von $(\Z_{6},+)$.
 


Aufgabe 5.2.52 (Lösung)

Geben Sie alle Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe $V_{4}$ (siehe Beispiel 5.2.40) an.
 


Aufgabe 5.2.53 (Lösung)

Beweisen Sie, dass $(\Z,+)$ eine Untergruppe von $(\R,+)$ ist. Zeigen Sie weiters, dass $(\Z_{g},+)$ eine Untergruppe von $(\Z,+)$ ist. Folgt aus diesen beiden Aussagen schon, dass $(\Z_{g},+)$ eine Untergruppe von $(\R,+)$ ist?
 


Aufgabe 5.2.54 (Lösung)

Wir definieren die Menge $\operatorname{SL}(2,\R)$ von reellen $2\x2$–Matrizen, deren Determinante (siehe Beispiel 5.2.30) gleich $1$ ist, also $$ \operatorname{SL}(2,\R):=\{A\in M_2(\R):\ \det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=1\}. $$ Zeigen Sie, dass $(\operatorname{SL}(2,\R),\cdot)$ eine Untergruppe von $(\operatorname{GL}(2,\R),\cdot)$ ist (siehe dazu Beispiel 5.2.36).
 


Aufgabe 5.2.55 (Lösung)

Zeigen Sie, dass die Menge aller invertierbaren Abbildungen einer beliebigen Menge $M$ auf sich selbst eine Gruppe bildet. Ist die Menge endlich mit $n$ Elementen, dann nennen wir die entstehende Gruppe die Permutationsgruppe mit $n$ Elementen und bezeichnen sie mit $\mathfrak S_n$. Bestimmen Sie die Cayley–Tafeln von $\mathfrak S_1$, $\mathfrak S_2$ und $\mathfrak S_4$.
 


Aufgabe 5.2.56 (Lösung)

Sei $(H,\o)$ eine Untergruppe von $(G,\o)$ und $(K,\o)$ eine Untergruppe von $(H,\o)$. Beweisen Sie, dass dann $(K,\o)$ eine Untergruppe von $(G,\o)$ ist. Vergleichen Sie mit Aufgabe 5.2.53.
 


Aufgabe 5.2.60 (Lösung)

Betrachten sie alle $16$ möglichen Verknüpfungstabellen für zweielementige Mengen und zeigen Sie, dass es sich außer bei $\Z_2$ und $(G,\Box)$ aus Bemerkung 5.2.59 um keine Gruppen handelt. Übrigens, kommen ihnen einige dieser $16$ Tabellen bekannt vor?
 


Aufgabe 5.2.63 (Lösung)

Seien $(\Z_{3},+)$ und $(\Z_{6},+)$ gegeben. Geben Sie zwei Gruppenhomomorphismen $f:\Z_{3}\to\Z_{6}$ an.
 


Aufgabe 5.2.64 (Lösung)

Betrachten Sie die Menge $G=\{e,a,b\}$ mit der durch die folgende Cayley–Tafel definierten Verknüpfung: $$ \begin{array}{c|ccc} \o\ &\ e\ &\ a\ &\ b \\\hline e\ & e & a & b \\ a\ & a & b & e \\ b\ & b & e & a \end{array} $$ Zeigen Sie, dass $(G,\o)$ isomorph zu $(\Z_{3},+)$ ist.
 


Aufgabe 5.2.65 (Lösung)

Sei $G$ eine Gruppe. Beweisen Sie, dass die Abbildung $f:G\to\{e\}$ mit $f:g\mapsto e$ in die triviale Gruppe immer ein Gruppenhomomorphismus ist.
 


Aufgabe 5.2.67 (Erweiterungsstoff)

Es seien $(G,\cdot)$ und $(H,\Box)$ Gruppen. Wir definieren $\Hom(G,H)$ als die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$. Zeigen Sie, dass für eine abelsche Gruppe $H$ die Menge $\Hom(G,H)$ mit der Verknüpfung $\o$ $$ (\ph\o\ph')(g) := \ph(g)\Box\ph'(g),\quad\forall g\in G, $$ eine Gruppe bildet.
 


Aufgabe 5.2.68 (Erweiterungsstoff)

Zeigen Sie, dass die drei komplexen Lösungen der Gleichung $x^{3}=1$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen bilden. Wie verhält sich diese Gruppe zur Gruppe $(\Z_{3},+)$?
 


Aufgabe 5.2.69 (Erweiterungsstoff)

Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen $c$ mit $|c|=1$ eine Gruppe bezüglich der Multiplikation komplexer Zahlen bilden. Diese Gruppe wird übrigens mit $S^{1}$ bezeichnet.
 


Aufgabe 5.2.70 (Erweiterungsstoff)

Sei $G$ eine beliebige Gruppe und $\widehat G:=\Hom(G,S^{1})$ (siehe Aufgaben 5.2.69 und 5.2.67). Ist $\widehat G$ immer kommutativ?