Einführung in das mathematische Arbeiten

Lösung für Aufgabe 6.2.1

Wir definieren auf $\Z\x\Z$ die Rechenoperationen \begin{align*} (a,b)+(a',b') &:= (a+a',b+b'),\\ (a,b)\cdot(a',b') &:= (aa'+2bb',ab'+ba'). \end{align*} Zeigen Sie, dass $(\Z\x\Z,+,\cdot)$ ein Integritätsbereich ist.

Wir führen zwei Beweise, um das Thema besser zu beleuchten.

Wir weisen zuerst alle Eigenschaften eines Integritätsbereiches nach.

Zunächst zeigen wir, dass $(\Z^2,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

Assoziativgesetz: Dies gilt, weil die Addition komponentenweise definiert ist: \begin{eqnarray*} ((a,b)+(a',b'))+(a'',b'')&=&(a+a',b+b')+(a'',b'')=((a+a')+a'',(b+b')+b'')\\ &=&(a+(a'+a''),b+(b'+b''))=(a,b)+(a'+a'',b'+b'')=(a,b)+((a',b')+(a'',b'')) \end{eqnarray*}
Kommutativgesetz: Auch das gilt wegen der komponentenweisen Definition: $$ (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')+(a'+a,b'+b)=(a',b')+(a,b) $$
Nullelement: Das Nullelement ist $(0,0)$: $$ (0,0)+(a,b)=(0+a,0+b)=(a,b) $$
Inverse: Das Inverse des Elements $(a,b)$ ist das Element $(-a,-b)$:# $$ (a,b)+(-a,-b)=(a+(-a),b+(-b))=(0,0) $$

Daher ist $(\Z^2,+)$ eine abelsche Gruppe. Im nächsten Schritt beweisen wir, dass $(\Z^2,\cdot)$ ein abelsches Monoid ist.

Assoziativgesetz: Dies rechnen wir wie folgt nach: \begin{eqnarray*} ((a,b)\cdot(a',b'))\cdot(a'',b'')&=&(aa'+2bb',ab'+ba')\cdot(a'',b'')=\\ &=&((aa'+2bb')a''+2(ab'+a'b)b'',(aa'+2bb')b''+(ab'+ba')a'')\\ &=&(aa'a''+2bb'a''+2ab'b''+2ba'b'',aa'b''+ab'a''+ba'a''+2bb'b'')\\ &=&(a(a'a''+2b'b'')+2b(b'a''+a'b''),a(a'b''+b'a'')+b(a'a''+2b'b''))\\ &=&(a,b)\cdot(a'a''+2b'b'',a'b''+b'a'')=(a,b)\cdot((a',b')\cdot(a'',b'')) \end{eqnarray*}
Kommutativgesetz: Das ist leichter nachzurechnen: $$ (a,b)\cdot(a',b')=(aa'+2bb',ab'+ba')=(a'a+2b'b,a'b+b'a)=(a',b')\cdot(a,b) $$
Einselement: Das Einselement ist $(1,0)$: $$ (1,0)+(a,b)=(1\cdot a+2\cdot0\cdot b,1\cdot b+0\cdot a)=(a,b) $$

Daher ist $(\Z^2,\cdot)$ eine abelsches Monoid.

Weil wir schon die Kommutativität der Multiplikation gezeigt haben, müssen wir nur noch ein Distributivgesetz nachweisen: \begin{eqnarray*} (a,b)\cdot((a',b')+(a'',b''))&=&(a,b)\cdot(a'+a'',b'+b'')= (a(a'+a'')+2b(b'+b''),a(b'+b'')+b(a'+a''))\\ &=&(aa'+aa''+2bb'+2bb'',ab'+ab''+ba'+ba'')= (aa'+2bb',ab'+ba')+(aa''+2bb'',ab''+ba'')\\ &=&(a,b)\cdot(a',b')+(a,b)\cdot(a'',b'') \end{eqnarray*} Daher ist $(\Z^2,+,\cdot)$ ein kommutativer Ring mit Einselement.

Zum Nachweis des Integritätsbereiches bleibt noch, die Nullteilerfreiheit zu beweisen. Seien also $(a,b)$ und $(a',b')$, beide von $(0,0)$ verschieden, gegeben mit $(a,b)\cdot(a',b')=(0,0)$. Wir finden $(aa'+2bb',ab'+ba')=(0,0)$.

Wenn $a=0$ gilt, dann folgt $(2bb',ba')=(0,0)$, und da $b\neq 0$ sein muss folgt aus $2bb'=0$ sofort $b'=0$, weil $\Z$ ein Integritätsbereich ist. Außerdem impliziert $ba'=0$, dass $a'=0$ ist, insgesamt also $(a',b')=(0,0)$, ein Widerspruch. Somit ist $a\neq 0$, und aus Symmetrie folgt auch $a'\neq 0$.

Seien $a,b,a',b'$ so gewählt, dass unter allen Paaren von Nullteilern $|a|+|a'|+|b|+|b'|$ minimal ist. Wegen $-aa'=2bb'$ gilt, dass $aa'$ gerade ist, also $a$ oder $a'$ gerade ist. Sei o.B.d.A. $a$ gerade. Wegen $-ab'=ba'$ gilt, dass $ba'$ gerade, also $b$ oder $a'$ gerade ist. Ist $b$ gerade, dann wäre $(\tfrac a2,\tfrac b2)\cdot(a',b')=0$ ein "kleineres Paar Nullteiler", ein Widerspruch. Daher ist $a'$ gerade und $b$ ist ungerade. Nun ist $-aa'$ als Produkt zweier gerader Zahlen durch $4$ teilbar, und daher muss auch $2bb'$ durch $4$ teilbar sein. Weil aber $b$ ungerade ist, muss $b'$ gerade sein. Daraus folgt aber dann, dass $(a,b)\cdot(\tfrac{a'}2,\tfrac{b'}2)$ ein "kleineres Paar Nullteiler" ist, ein Widerspruch. Daher existiert kein minimales Paar Nullteiler, also existiert wegen der Wohlordnung von $\N$ gar kein Nullteiler, also ist $(\Z^2,+,\cdot)$ ein Integritätsbereich.

Soweit zur direkten Rechnung und zum direkten Beweis. Eine Abkürzung durch all das bietet folgendes Argument: $\Z^2\subseteq\Q^2$, und die Rechenoperationen auf $\Z^2$ sind genauso definiert wie die Rechenoperationen auf $\Q^2$ in Beispiel 5.4.5. Es ist trivial zu zeigen, dass $(\Z^2,+,\cdot)$ ein Unterring des Körpers $(\Q^2,\oplus,\otimes)$ aus 5.4.5 ist. Als solcher muss er ein Integritätsbereich sein. (Jeder Unterring $R$ eines Körpers $K$ ist ein Integritätsbereich. Jeder Nullteiler in $R$ wäre auch Nullteiler in $K$, aber Körper sind nullteilerfrei.)