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Lösung für Aufgabe 6.4.14
Zeigen Sie für $a,b\in\R$
- $\displaystyle\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\qquad
(b\not=0),$
- $\Big||a|-|b|\Big|\leq\left\{\begin{array}{c}|a-b|\\|a+b|\end{array}\right.$.
- Sei $b\neq 0$. Nach Proposition 6.4.12.(i) ist dann auch $|b|\neq 0$,
also können wir $\frac1{|b|}$ betrachten. Ist $b > 0$, so ist auch
$\frac1b > 0$, und wegen der Definition 6.4.11.(i) gilt
$\displaystyle\left|\frac{1}{b}\right|=\frac1b=\frac{1}{|b|}$. Haben wir
andererseits $b < 0$, dann ist auch $\frac1b < 0$, und wieder gilt wegen
Definition 6.4.11.(i)
$\displaystyle\left|\frac{1}{b}\right|=-\frac1b=\frac1{-b}=\frac{1}{|b|}$.
Der Rest folgt dann aus Proposition 6.4.12.(iii).
- Wir setzen in die Dreiecksungleichung (Proposition 6.4.12.(ii))
für $x=a-b$ und $y=b$ ein und erhalten
$$|a|=|a-b+b|\leq |a-b|+|b|.$$
Setzen wir $x=b-a$ und $y=a$, so ergibt das
$$|b|=|b-a+a|\leq |b-a|+|a|=|a-b|+|a|.$$
Beide Gleichungen gemeinsam ergeben, dass $\Big||a|-|b|\Big|\leq |a-b|$ gilt.
Setzen wir im gerade eben Bewiesenen ${-}b$ statt $b$ ein, dann finden wir
auch $\Big||a|-|b|\Big|=\Big||a|-|-b|\Big|\leq |a-(-b)|=|a+b|$.
