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Lösung für Aufgabe 6.4.15

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
  1. $a^2=|a^2|=|a|^2$, $\forall a\in\R$,
  2. Seien $x,x_0\in\R$ und $\R\ni\varepsilon > 0$. Dann gilt $$ |x| < \varepsilon\Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \quad\text{ und }\quad |x-x_0| < \varepsilon\Leftrightarrow x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon. $$


  1. Wir wissen schon, dass $a^2\geq 0$ für alle $a\in\R$ (Proposition 6.3.2.(v)). Somit gilt $a^2=|a^2|$, und die zweite Gleichung folgt aus Proposition 6.4.12.(iii).
  2. Zunächst beweisen wir die erste Äquivalenz. Sei zunächst $|x| < \eps$. Für $x \geq 0$ ist offensichtlich $-\eps < x$, und außerdem gilt $x = |x| < \eps$. Ist andererseits $x < 0$, dann ist klarerweise $x < \eps$, und wir haben $-x = |x| < \eps$, woraus $x > -\eps$ folgt wegen Proposition 6.3.2.(ii) und $x\neq 0$. Daher haben wir in jedem Fall $-\eps < x < \eps$.

    Sei umgekehrt $-\eps < x < \eps$. Dann gilt wegen Proposition 6.3.2.(ii) auch $-\eps < -x < \eps$, und aus Definition 6.4.11.(i) folgt sofort $|x| < \eps$.

    Die zweite Äquivalenz sehen wir jetzt wie folgt: $$ |x-x_0| < \eps \liff -\eps < x-x_0 < \eps \liff x_0-\eps < x < x_0+\eps, $$ wobei wir die erste Äquivalenz und Eigenschaft (A) aus der Lösung von Aufgabe 6.3.3 verwendet haben.