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Lösung für Aufgabe 6.4.17

Beweisen Sie dass für $a,b\in\R$ gelten:
  1. $\displaystyle\max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}$,
  2. $\displaystyle\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}$, und
  3. $\max\{a,b\}-\min\{a,b\}=|a-b|$.


  1. Wir beweisen durch Fallunterscheidung. Ist $a\geq b$, dann ist $|a-b|=a-b$, und es gilt $\displaystyle\max\{a,b\}=a=\frac{a+b+a-b}2=\frac{a+b+|a-b|}{2}$. Falls $a < b$ gilt, so auch $|a-b|=b-a$, und wir erhalten $\displaystyle\max\{a,b\}=b=\frac{a+b+b-a}2=\frac{a+b+|a-b|}{2}$.
  2. Wir beweisen durch Fallunterscheidung. Ist $a\geq b$, dann ist $|a-b|=a-b$, und es gilt $\displaystyle\min\{a,b\}=b=\frac{a+b-(a-b)}2=\frac{a+b-|a-b|}{2}$. Falls $a < b$ gilt, so auch $|a-b|=b-a$, und wir erhalten $\displaystyle\min\{a,b\}=a=\frac{a+b-(b-a)}2=\frac{a+b-|a-b|}{2}$.
  3. Dies folgt direkt aus 1. und 2. durch $\displaystyle\max\{a,b\}-\min\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|-a-b+|a-b|}{2}=|a-b|$.