Lösung für Aufgabe 6.4.6
Sei $K$ ein geordneter Körper und $1 < a\in K$. Zeigen Sie, dass aus $x\geq a$ und $n\geq 2$ folgt, dass $x^{n} > a$ gilt.Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(iii) und vollständige Induktion nach $n$.
Wir nehmen eine Anleihe von Aufgabe 6.3.3 und den in deren Lösung bewiesenen Eigenschaften (A) und (B). Wegen (A) gilt nämlich $0 < 1 < a\leq x$, dass $x > 0$ ist. Aus (B) folgt dann wegen $1 < a$ sofort $a < a^2 \leq ax \leq x^2$ und damit $x^2 > a$. Damit haben wir den Induktionsanfang für $n=2$ bewiesen. Sei nun schon gezeigt, dass für $n\geq 2$ die Ungleichung $x^n > a$ gilt. Dann finden wir wieder wegen (A) und (B), dass $a < a^2 < ax^n \leq xx^n = x^{n+1}$ gilt. Der Rest folgt aus dem Induktionsprinzip.