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Lösung für Aufgabe 6.5.3
Führen Sie den Beweis, dass die Addition auf $\C$ assoziativ und
kommutativ ist, explizit aus. Rechnen Sie auch nach, dass
$(-a_{1},-a_{2})$ das additiv Inverse zu $(a_{1},a_{2})$ ist.
- Assoziativgesetz: Es gilt
\begin{eqnarray*}
((a_1,a_2) + (b_1,b_2))+(c_1,c_2) &=& (a_1+b_1,a_2+b_2)+(c_1,c_2) =
((a_1+b_1)+c_1,(a_2+b_2)+c_2) \\
&=& (a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2)) = (a_1,a_2)+(b_1+c_1,b_2+c_2) \\
&=& (a_1,a_2) + ((b_1,b_2)+(c_1,c_2)).
\end{eqnarray*}
- Kommutativgesetz: Es gilt
\begin{eqnarray*}
(a_1,a_2)+(b_1,b_2) &=& (a_1+b_1,a_2+b_2) = (b_1+a_1,b_2+a_2)\\
&=&(b_1,b_2)+(a_1,a_2)
\end{eqnarray*}
- Inverses: Es gilt
$(a_1,a_2)+(-a_1,-a_2) = (a_1+(-a_1),a_2+(-a_2))=(0,0)$.
