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 Ergodentheorie

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Was wir tun

Im einfachsten Fall besteht ein Dynamisches System aus einem Maß-Raum, einem topologischen Raum oder einer glatten Mannigfaltigkeit und aus einer oder mehreren Transformationen, die der Struktur des Raumes angepaßt sind (d.h. maß-erhaltende oder nicht-singuläre Transformationen, Homeomorphismen oder Diffeomorphismen). Die mathematische Theorie der Dynamischen Systeme beschäftigt sich mit asymptotischen Eigenschaften, Stabilität unter Perturbationen und der Komplexität solcher Systeme (in der angewandten Dynamik bezeichnet der Ausdruck Chaos einen gewissen Grad der Komplexität). Obwohl diese Einteilung etwas künstlich erscheint, spricht man dementsprechend von Ergodentheorie, topologischer Dynamik oder differenzierbarer Dynamik.

Die mathematische Theorie der Dynamischen Systeme besitzt viele versteckte Verbindungen mit anderen Gebieten der Mathematik (z.B. Differentialgleichungen, Wahrscheinlichkeitstheorie, Operator-Algebren, Zahlentheorie und Kommutative Algebra), sowie der Physik (z.B. Statistische Physik) und der Mathematischen Biologie (zelluläre Automaten).

Die in der Einleitung beschriebenen dynamischen Systeme werden auch als kommutative Dynamische Systeme bezeichnet, während nicht-kommutative Dynamische Systeme aus einer Gruppe von Automorphismen einer Operator-Algebra bestehen. Dabei kann es sich um eine C*-Algebra, eine von Neumann-Algebra oder etwas Exotischeres handeln.

Hier beziehen sich die Begriffe kommutativ und nicht-kommutativ nicht auf die Gruppen von Automorphismen (oder die Halbgruppen von Endomorphismen), sondern auf die Algebren auf welchen sie wirken: im kommutativen Fall eine (kommutative) Funktionen-Algebra, im nicht-kommutativen Fall eine nicht-kommutative Algebra. Abgesehen vom mathematischen Interesse sind nicht-kommutative Dynamische Systeme von großer Bedeutung auf vielen Gebieten der Mathematischen Physik. Einerseits hat die klassische Theorie der (kommutativen) Dynamischen Systeme zu vielen der interessantesten Beispiele von nicht-kommutativen Systemen geführt, andererseits haben Methoden und Probleme aus der nicht-kommutativen Dynamik die Entwicklung der kommutativen Dynamik beeinflußt.

Folgende Instituts-Mitglieder sind in der Forschung auf diesen Gebieten tätig:

Dissertanten in der Arbeitsgruppe:

Die folgende Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit, sondern soll nur die an unserem Institut vertretenen Forschungszweige in der Dynamik illustrieren:

  • Kohomologie Dynamischer Systeme (G. Greschonig und K. Schmidt)
  • Die Kohomologie ergodischer Transformationen und ergodischer Transformations-Gruppen wird bei vielen Konstruktionen in der Theorie der Dynamischen Systeme als auch bei Anwendungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet (z.B. kann jede stationäre Zufalls-Wanderung als Kozyklus einer maß-erhaltenden Transformation aufgefasst werden). Die systematische Analyse der Kohomologie von Kozyklen und deren individueller Eigenschaften führt nicht nur zu neuen Konstruktionen in der Ergodentheorie, sondern auch zu neuen Resultaten über Rekurrenz und Austauschbarkeit von Ereignissen in der Klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie.

  • Mehrdimensionale Dynamische Systeme (M. Einsiedler und K. Schmidt)
  • Die klassische Theorie der Dynamischen Systeme beschäftigt sich hauptsächlich mit dem asymptotischen Verhalten einer einzelnen Transformation beziehungsweise eines einzelnen Flusses (d.h. mit Aktionen von N, Z, R+ oder R), die üblicherweise als Zeit-Entwicklungen eines Systems angesehen werden. Viele von Anwendungen herrührende Fragen erfordern aber das Studium räumlich erweiterter Systeme mit mehrdimensionalen Symmetrie-Gruppen, die einer mehrdimensionalen Zeit-Entwicklung entsprechen. In den letzten Jahren wurde den Z^d-Aktionen durch kommutierende Automorphismen kompakter abelscher Gruppen viel Aufmerksamkeit zuteil. Trotz ihrer sehr spezieller Natur zeigen diese algebraischen Z^d-Aktionen eine Vielfachheit von neuen Phänomenen im Übergang von Z-Aktionen zu Z^d-Aktionen, die mit Methoden der Kommutativen Algebra und der Harmonischen Analyse untersucht werden können. Diese Klasse von Systemen überschneidet sich auch mit den hyperbolischen Z^d-Aktionen und verschiedenen höher-dimensionalen Shifts vom endlichen Typ, wodurch die Ausdehnung von Methoden und Resultaten über algebraische Z^d-Aktionen zu ausgedehnteren Klassen mehrdimensionaler Dynamischer Systeme hin ermöglicht wird.

  • Intervall-Abbildungen (F. Hofbauer und P. Raith)
  • Stückweise monotone Abbildungen auf dem Intervall sind eine gründlich untersuchte Klasse von Dynamischen Systemen mit chaotischem Verhalten. Man ist an der Struktur der nicht-wandernden Menge interessiert, auf welcher das chaotische Verhalten auftritt. Die nicht-wandernde Menge kann in in endlich oder abzählbar viele invariante topologisch transitive Mengen zerlegt werden, die so genannten Basis Mengen. Basis Mengen sind entweder einzelne periodische Orbits oder Mengen positiver Entropie mit dichten periodischen Orbits oder Mengen von Entropie Null ohne periodische Orbits. Eine Basis Menge von Entropie Null ist entweder eine endliche Vereinigung von Intervallen oder eine Cantor-Menge. Es gibt Beziehungen zwischen der Hausdorff-Dimension dieser Mengen und dem topologischen Druck. Ebenso wird das Verhalten stückweise monotoner Abbildungen unter kleinen Perturbationen untersucht.

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