\documentstyle[german,titlepage,12pt]{report} \author{Teschl Gerald} \title{Schr\"odingeroperator mit einer auf einem Rotationsellipsoid konzentrierten Wechselwirkung} \addtolength{\topmargin}{-1.7cm} \addtolength{\textheight}{4cm} \addtolength{\textwidth}{2.5cm} \addtolength{\oddsidemargin}{-1.6cm} \addtolength{\footskip}{0.4cm} \newcommand{\nn}{\nonumber} \newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}} \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}} \newcommand{\beas}{\begin{eqnarray*}} \newcommand{\eeas}{\end{eqnarray*}} \newcommand{\be}{\begin{equation}} \newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand{\bd}{\begin{displaymath}} \newcommand{\ed}{\end{displaymath}} \newcommand{\mb}{\mbox} \newcommand{\ba}{\begin{array}} \newcommand{\ea}{\end{array}} \newcommand{\bmp}{\begin{minipage}} \newcommand{\emp}{\end{minipage}} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\bm}{\boldmath} \newcommand{\ubm}{\unboldmath} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\ul}{\underline} \newcommand{\re}{{\rm Re}} \newcommand{\im}{{\rm Im}} \newcommand{\I}{{\rm i}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\sig}{\sigma} \newcommand{\bs}{\begin{satz}} \newcommand{\es}{\end{satz}} \newcommand{\bk}{\addtocounter{satz}{-1} \begin{korollar}} \newcommand{\ek}{\end{korollar}} \newcommand{\bl}{\begin{lemma}} \newcommand{\el}{\end{lemma}} \newcommand{\bdf}{\begin{definition}} \newcommand{\edf}{\end{definition}} \newcommand{\bb}{Beweis: } \newcommand{\eb}{\hfill {\bf s.e.c.}\\[2mm]} \newcommand{\ot}{{\rm T}} \newcommand{\otn}{{\rm T}_0} \newcommand{\rz}{{\rm R}_z} \newcommand{\rl}{{\rm R}_\lam} \newcommand{\rk}{{\rm R}_k} \newcommand{\se}{{\rm S}_\eps} \newcommand{\see}{{\rm S}_\eps^*} \newcommand{\hr}{{\frak H}} \newcommand{\db}{{\frak D}} \newcommand{\dbt}{{\frak D}(\ot)} \newcommand{\dbtn}{{\frak D}(\otn)} \newcommand{\dbtna}{{\frak D}(\ol{\otn})} \newcommand{\lz}{{\rm L}^2} \newcommand{\lei}{{\rm L}^1} \newcommand{\lzi}{{\rm L}^2(I)} \newcommand{\ac}{{\rm AC}} \newcommand{\acel}{{\rm AC}^1_{loc}} \newcommand{\aci}{{\rm AC}(I)} \newcommand{\acli}{{\rm AC}_{loc}(I)} \newcommand{\acei}{{\rm AC}^1(I)} \newcommand{\aceli}{{\rm AC}_{loc}^1(I)} \newcommand{\spr}[2]{\langle #1 , #2 \rangle} \newcommand{\ran}{{\frak R}} \newcommand{\nul}{{\frak K}} \newcommand{\spa}[1]{ {\frak L}\{ #1 \} } \newcommand{\wlim}{{\rm w-}\lim} \newcommand{\nlim}{{\rm n-}\lim} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\N}{{\Bbb N}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \newcommand{\C}{{\Bbb C}} \renewcommand{\chaptername}{Abschnitt} \font\twelveeuf=eufm10 scaled 1200 \font\nineeuf=eufm9 \font\seveneuf=eufm7 \newfam\euffam \textfont\euffam=\twelveeuf \scriptfont\euffam=\nineeuf \scriptscriptfont\euffam=\seveneuf \def\frak#1{\fam\euffam\relax#1} \font\twelvemsb=msbm10 scaled 1200 \font\ninemsb=msbm9 \font\sevenmsb=msbm7 \newfam\msbfam \textfont\msbfam=\twelvemsb \scriptfont\msbfam=\ninemsb \scriptscriptfont\msbfam=\sevenmsb \def\Bbb#1{\fam\msbfam\relax#1} \newfont{\symb}{msbm10} \newfont{\Symb}{msbm10 scaled 1728} \begin{document} \newtheorem{satz}{Satz}[chapter] \newtheorem{definition}{Definition}[chapter] \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar} \newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter] \pagenumbering{roman} \begin{titlepage} \begin{center} \vspace*{2cm} {\Huge \bf Schr\"odingeroperator \\[7mm] mit einer auf einem \\[7mm] Rotationsellipsoid konzentrierten \\[10mm] Wechselwirkung }\\[1.5cm] \Large Gerald Teschl \\[2cm] Diplomarbeit, \\[3mm] verfa\ss t am \\[3mm] Institut f\"ur Theoretische Physik \\[3mm] der Technischen Universit\"at Graz \\[3mm] unter der Betreuung von \\[3mm] Doz. Dr. Wolfgang Bulla \\[1cm] Mai 1993 \end{center} \end{titlepage} \tableofcontents \newpage \setcounter{section}{-1} \section{Danksagungen} Ich m\"ochte mich bei den Herrn Doz. Dr. Wolfgang Bulla, Prof. Dr. Bernhard Schnizer, Doz. Dr. Ferdinand Sch\"urrer und Dr. Karl Unterkofler f\"ur die Vielzahl von Hilfestellungen w\"ahrend meines ganzen Studiums bedanken. Weiters m\"ochte ich mich auch bei meiner Mutter Edeltrude Teschl und meiner Freundin Susanne Timischl f\"ur ihren positiven Einflu\ss auf meinen Werdegang bedanken. \section{Einleitung} Punktwechselwirkungen (oder $\delta$--Potentiale) sind ein in der Quantenmechanik beliebtes Modell, da sie den Vorteil besitzen, analytisch l\"osbar zu sein. Sie finden sich deshalb auch in beinahe jedem Buch \"uber Quantenmechanik. Die Wechselwirkung ist formal durch folgenden Hamiltonoperator gegeben (in geeigneten Koordinaten und Einheiten): \bd {\rm H} = - \Delta + \sum_{y} \alpha_y \delta_y(.) \ed Dabei bezeichnet $y$ den Ort des Potentials, $\alpha_y$ seine St\"arke und $\delta_y(.)$ die Diracsche Deltadistribution. Eine (mathematisch exakte) Behandlung dieses Problems mit Hilfe der Distributionentheorie ist m\"uhsam, es gibt jedoch eine einfachere (und vor allem dem Hilbertraum--Konzept der Quantenmechanik angepa\ss te) Methode, diese Wechselwirkungen zu beschreiben: Die Theorie der selbstadjungierten Fortsetzungen von Operatoren (\cite{wd} Kapitel 8). Eine umfassende Beschreibung der L\"osung von Punktwechselwirkungen mit Hilfe dieser Methode findet sich in \cite{ag}. Eine Zwischenbemerkung: Bei der Separation des Laplace--Operators in (z.B.:) Kugelkoordinaten zeigt sich, da\ss die entstehenden Differentialoperatoren nicht wesentlich selbstadjungiert sind und es verschiedene M\"oglichkeiten f\"ur Randbedingungen gibt. Es werden dann verschiedene (oft nicht stichhaltige) Argumente gebracht, welche Randbedingungen nun \"`{}richtig\"' sind. Eine einfache \"Uberlegung zeigt jedoch, da\ss die durch Separation gefundenen Eigenfunktionen zumindest stetig sein m\"ussen, damit der Laplace--Operator \"uberhaupt auf sie anwendbar ist (Das beinhaltet auch die periodischen Randbedingungen f\"ur den $\vphi$-Anteil (\cite{sw} Kap. 5.3) und damit die Ganzzahligkeit des Bahndrehimpulses!). Eine andere Wahl der Randbedingung kann zu Punktwechselwirkungen f\"uhren. Vergleiche dazu \cite{sw} Kap. 6.1 S 110 (und \cite{ag} f\"ur die mathematischen Einzelheiten). Eine Weiterf\"uhrung des obigen Modells ist es, auf Fl\"achen konzentrierte Potentiale zu betrachten. Dabei wurde jedoch bis jetzt nur der kugelsymmetrische Fall behandelt. Vergleiche \cite{ags} f\"ur den Schr\"odingeroperator und \cite{de1}, \cite{de2} f\"ur den Diracoperator. Deshalb war es das Ziel dieser Arbeit, Verallgemeinerungen des kugelsymmetrischen Problems zu finden. Es wurde daher versucht, ein auf der Oberfl\"ache eines Rotationsellipsoids konzentriertes Potential (funktionalanalytisch) zu beschreiben, da f\"ur diesen Fall die Separierbarkeit des Problems erhalten bleibt. Die physikalische Motivation f\"ur dieses Modell kommt haupts\"achlich aus der Kernphysik \cite{gm} (f\"ur weitere Literaturangaben und andere Anwendugsm\"oglichkeiten siehe \cite{ags}). Da versucht wurde Kernkr\"afte damit zu beschreiben, ist die Erweiterung auf Ellipsenschalen naheliegend. In \chaptername{} 1 wurde die freie Schr\"odingergleichung in sph\"aroidalen Koordinaten separiert. Da keine Ergebnisse (wie sie f\"ur die weitere funktionalanalytische Behandlung notwendig sind) \"uber die L\"osung der freien Schr\"odingergleichung in diesen Koordinaten gefunden werden konnten, wurde dieses Problem zuerst betrachtet. Es wurde die Selbstadjungiertheit der bei der Separation auftretenden Operatoren, ihre Resolventen, Spektren, Vollst\"andigkeit der Eigenfunktionen und Klassen von relativkompakten St\"orpotentialen untersucht. Die wesentlichen Unterschiede (und zugleich mathematischen Schwierigkeiten) liegen darin, da\ss das Volumselement (\ref{dv}) nicht faktorisiert und die bei der Separation entstehenden Gleichungen (\ref{sep1}) und (\ref{sep2}) kompliziert verkoppelt sind. Der erste f\"uhrt dazu, da\ss es keinen einfachen Zusammenhang zwischen dem urspr\"unglichen Raum (\ref{hrspko}) und dem Tensorprodukt der bei der Separation entstehenden R\"aume (\ref{hrtp}) gibt. Der zweite bewirkt, da\ss man nicht mehr ein einfaches Eigenwertproblem der Form $\ot f = z f$, sondern eines der Form $\ot(z) f = z f$ erh\"alt. In \chaptername{} 2 wurde dann die $\delta$--Wechselwirkung eingef\"uhrt und untersucht. Es wurden zun\"achst elementare Eigenschaften wie Selbstadjungiertheit, Gestalt von Resolvente und Spektrum bewiesen. Als n\"achstes wurde gezeigt, wie die $\delta$--Wechselwirkung als Grenzwert von skalierten Potentialen erhalten werden kann, woraus eigentlich erst die physikalische Signifikanz dieses Modells hervorgeht: Die auf einem Rotationsellipsoid konzentrierte Wechselwirkung ist eine N\"aherung f\"ur ein hohes, nur in einer kleinen Umgebung des Rotationsellipsoides wesentlich von Null verschiedenen Potentials. In \chaptername{} 3 wurden dann noch einige Resultate \"uber das ${\rm H}^+_2$--Ion (fixe Kerne) gesammelt, die sich gro\ss teils aus den vorangehenden Kapiteln ergaben. Im Anhang befindet sich eine Zusammenfassung der Weyl--Titchmarsch--Theorie \"uber die Selbstadjungiertheit von Sturm--Liouville--Operatoren mit einem etwas einfacheren Beweis f\"ur die Selbstadjungiertheit bei getrennten Randbedingungen. Als Ausblick w\"are noch festzuhalten, da\ss es wahrscheinlich kein Problem darstellt, die Ergebnisse auf endlich viele konzentrische Rotationsellipsoide zu erweitern, wie dies f\"ur den kugelsymmetrischen Fall in \cite{sh} gemacht wurde. Es ist auch m\"oglich, die $\delta$--Wechselwirkung mit anderen Potentialen (z.B. jene aus \chaptername{} 3) zu kombinieren (vgl. \cite{ags}). \newpage \section{Bezeichnungen} {\bf Funktionentheorie:}\\[2mm] \begin{tabular}{c@{\dots}l} $\I$ & imagin\"are Einheit ($\I= \sqrt{-1}$)\\ $\ol{z}$ & zu $z \in \C$ konjugiert komplexe Zahl\\ $\re(z)$ & Realteil von $z$\\ $\im(z)$ & Imagin\"arteil von $z$\\ $|z|$ & Betrag von $z$\\ $\arg(z)$ & Argument von $z = |z| \exp( \I \arg(z))$ mit $0 \le \arg(z) <2 \pi$\\ $z^\rho$ & komplexe Potenz: $z = \exp(\rho \ln |z| + \I \rho \arg(z))$ \end{tabular}\\[5mm] {\bf Funktionalanalysis (vgl. \cite{wd}):}\\[2mm] \begin{tabular}{c@{\dots}l} $\hr$ & Hilbertraum\\ $\spr{.}{.}$ & Skalarprodukt\\ $\| . \|$ & Norm\\ $\| . \|_{HS}$ & Hilbert-Schmidt-Norm\\ $\spa{.}$ & $\spa{f_1,\dots} \quad$ lineare H\"ulle der Vektoren $f_1,\dots$\\ $\oplus$ & direkte Summe von Hilbertr\"aumen\\ $\otimes$ & Tensorprodukt von Hilbertr\"aumen\\ $\ot$ & Operator im Hilbertraum\\ $\dbt$ & Definitionsbereich von $\ot$\\ $\nul(\ot)$ & Nullraum von $\ot$\\ $\ran(\ot)$ & Wertebereich von $\ot$\\ $\ol{\ot}$ & Abschlu\ss von $\ot$ \\ $\ot^*$ & zu $\ot$ adjungierter Operator\\ $\ot^{-1}$ & zu $\ot$ inverser Operator\\ $\rz (\ot)$ & Resolvente $(\ot - z)^{-1}$\\ ${\rm R}(.,.)$ & Kern des Integraloperators ${\rm R}$\\ $\rho(\ot)$ & Resolventenmenge von $\ot$\\ $\sigma(\ot)$ & Spektrum von $\ot$\\ $\sigma_{ess}(\ot)$ & wesentliches Spektrum\\ $\sigma_{ac}(\ot)$ & absolut stetiges Spektrum\\ $\sigma_{sc}(\ot)$ & singul\"ar stetiges Spektrum\\ $\sigma_{p}(\ot)$ & Punkt--Spektrum\\ $\sigma_{disc}(\ot)$ & diskretes Spektrum\\ $\hr_{ac}(\ot)$ & absolut stetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$\\ $\hr_{sc}(\ot)$ & singul\"ar stetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$\\ $\hr_{p}(\ot)$ & unstetiger Teilraum von $\hr$ bez\"uglich $\ot$ \end{tabular}\\ \newpage {\bf R\"aume komlexwertiger Funktionen:}\\[0mm] \begin{tabular}{c@{\dots}l} $\lz(\Omega)$ & Menge der auf dem Gebiet $\Omega \subset \R^n$ quadratintegrablen Funktionen \\ $\lz(\Omega,r)$ & {\bmp[t]{12.1cm} Menge der auf dem Intervall $\Omega \subset \R^n$ bez\"uglich der Gewichtsfunktion $r$ quadratintegrablen Funktionen \emp} \\ $\lzi$ & Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$ quadratintegrablen Funktionen \\ $\lz(I,r)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$ bez\"uglich der Gewichtsfunktion $r$ quadratintegrablen Funktionen \emp \\[3mm] $\lz_{loc}(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten Teilintervall $\hat{I} \subset I$ quadratintegrablen Funktionen \emp \vspace{1.5mm} \\ $\lz_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der quadratintegrablen Funktionen, die au\ss erhalb eines kompakten, von der Funktion abh\"angigen, Intervalls $\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden \emp \vspace{1.5mm} \\ $\lei(I)$ & Menge der auf $I$ integrierbaren Funktionen\\ $\lei_{loc}(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten Teilintervall $\hat{I} \subset I$ integrablen Funktionen \emp \vspace{1.5mm} \\ ${\rm L}^\infty(I)$ & Menge der auf $I$ beschr\"ankten, me\ss baren Funktionen\\ ${\rm C}(I)$ & Menge der auf $I$ stetigen Funktionen\\ ${\rm C}^\infty_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen, die au\ss erhalb eines kompakten, von der Funktion abh\"angigen, Intervalls $\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden \emp \vspace{1.5mm} \\ $\aci$ & Menge der auf dem Intervall $I \subset \R$ absolut stetigen, Funktionen\\ $\acei$ & Menge der Funktionen mit $f,f' \in \aci$\\ $\acli$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der auf jedem kompakten Teilintervall $\hat{I} \subset I$ absolut stetigen Funktionen \emp \vspace{1.5mm} \\ $\ac_0(I)$ & \bmp[t]{12.1cm} Menge der absolut stetigen Funktionen, die au\ss erhalb eines kompakten, von der Funktion abh\"angigen, Intervalls $\hat{I} \subset I$ identisch verschwinden \emp \vspace{1.5mm} \\ $\aceli$ & Menge der Funktionen mit $f,f' \in \acli$\\ $\ac^1_0(I)$ & $\ac_0(I) \cap \acei$ \end{tabular}\\[5mm] {\bf Abk\"urzungen:}\\[2mm] \begin{tabular}{c@{\dots}l} GKF & Grenzkreisfall\\ GPF & Grenzpunktfall\\ RB & Randbedingung\\ {\bf s.e.c.} & {\em salvo errore calculi} (mit Vorbehalt eines Rechenfehlers) \end{tabular} % % Kapitel 1 % \newpage \pagenumbering{arabic} \chapter{L\"osung der freien Schr\"odingergleichung in sph"aroidalen Koordinaten} \section{Separation der freien Schr\"odingergleich\-ung} Die Schr\"odingergleichung in kartesischen Koordinaten (und geeigneten Einheiten) lautet: \be \label{sg} - \Delta \Psi + {\rm V} \, \Psi = k^2 \Psi \qquad \Psi(x,y,z) \in \lz (\R^3) \quad k^2 \in \C \ee Der Laplace--Operator ist durch \be \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \ee gegeben. In diesem Abschnitt sollen ihre L\"osungen in (gestreckt) sph\"aroidalen Koordinaten untersucht werden. Diese lauten \cite{ms} \cite{mf}:\\ \bea \nn x &=& a \, \sinh \rho \sin \vartheta \cos \varphi = a \, \sqrt{\xi^2-1} \sqrt{1-\eta^2} \cos \varphi\\ y &=& a \, \sinh \rho \sin \vartheta \sin \varphi = a \, \sqrt{\xi^2-1} \sqrt{1-\eta^2} \sin \varphi\\ \nn z &=& a \, \cosh \rho \cos \vartheta = a \, \xi \, \eta \eea mit $a>0$ und \bd \rho \in [0,\infty), \; \vartheta \in [0,\pi] \; \varphi \in [0,2 \pi) \mb{ bzw. } \xi \in [1,\infty), \; \eta \in [-1,1], \; \varphi \in [0,2 \pi) \ed Das Volumselement lautet: \bea \nn dx \, dy \, dz &=& a^3 (\sinh^2 \rho + \sin^2 \vartheta) \sinh \rho \sin \vartheta \, d\rho \, d\vartheta \, d\varphi\\ \label{dv} &=& a^3 (\cosh^2 \rho - \cos^2 \vartheta) \sinh \rho \sin \vartheta \, d\rho \, d\vartheta \, d\varphi\\ \nn &=& a^3 (\xi^2-\eta^2) d\xi \, d\eta \, d\varphi \eea Die Koordinatenfl\"achen $\xi=const$ sind gestreckte Rotationsellipsoide mit Brennpunkten bei $z= \pm a$. Abgeflachte Rotationsellipsoide k\"onnen durch die Substitution $a \rightarrow -\I a$ und $\xi \rightarrow \I \xi$ bzw. $\cosh \rho \rightarrow \I \sinh \rho$ erhalten werden. Damit (\ref{sg}) separiert werden kann, mu\ss{} das Potential $V$ die folgende Gestalt besitzen \cite{mf}: \be \label{pot1} V = \frac{W_1(\cosh \rho) + W_2(\cos \vartheta)} {\cosh^2 \rho - \cos^2 \vartheta} + \frac{W_3(\varphi)}{ \sinh \rho \sin \vartheta} \ee mit willk\"urlichen Funktionen $W_i \; i=1,2,3$. F\"uhrt man die Abst\"ande von den Brennpunkten $r_1,r_2$ ein ($\cosh \rho = (r_1+r_2)/2a, \cos \vartheta = (r_1-r_2)/2a$), so erh\"alt man die physikalisch aussagekr\"aftigere Form: \be \label{pot} V = \frac{a^2 \left( W_1(\frac{r_1+r_2}{2a}) + W_2(\frac{r_1-r_2}{2a}) \right)}{r_1 r_2} + \frac{4a^2 \, W_3( \varphi)}{\sqrt{8a^2(r_1^2+r_2^2)-(r_1^2-r_2^2)^2-16a^4} } \ee Man erkennt, da\ss{} insbesondere Potentiale der Form $V= C_1/r_1 + C_2/r_2$ in die Gestalt (\ref{pot}) gebracht werden k\"onnen (vgl. \cite{mf} \"Ubungsbeispiel 5.3). Der Laplace--Operator ist in diesen Koordinaten durch folgenden Ausdruck gegeben: \bea \label{lop} \nn \Delta & = & \frac{1}{a^2 (\sinh^2 \rho + \sin^2 \vartheta) } \left[ \frac{1}{\sinh \rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \sinh \rho \frac{\partial}{\partial \rho}+ \right. \\ & & \nn \left. \frac{1}{\sin \vartheta}\frac{\partial}{\partial \vartheta}\sin \vartheta \frac{\partial}{\partial \vartheta}+(\frac{1}{\sinh^2 \xi}+\frac{1} {\sin^2 \eta}) \frac{\partial^2}{\partial \vphi^2}\right]\\ & & \\ \nn & = & \frac{1}{a^2 (\xi^2 - \eta^2) } \left[ \frac{\partial} {\partial \xi} (\xi^2-1) \frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial} {\partial \eta}(1 - \eta^2) \frac{\partial}{\partial \eta}+ \right. \\ & & \nn \left. (\frac{1}{\xi^2 - 1}+\frac{1}{1 - \eta^2}) \frac{\partial^2}{\partial \vphi^2}\right] \eea Es soll nun die freie Schr\"odingergleichung ($V=0$) untersucht werden. Dazu werden zun\"achst Produktl\"osungen der folgenden Form gesucht: \bea \label{prod} \nn \Psi(x,y,z) &=& \Psi(a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \cos \vphi, a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \sin \vphi,a \xi \eta) \\ &=& \label{psi} \hat{\Psi}(\xi,\eta,\varphi) = J(\xi)S(\eta)\Theta(\vphi) \eea Einsetzen von Ansatz (\ref{prod}) in (\ref{sg}) mit $V=0$ unter Verwendung von (\ref{lop}) ergibt drei gew\"ohnliche Differentialgleichungen f\"ur die Funktionen $J(\xi),S(\eta),\Theta(\varphi)$: \bea \frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} J - [\lam - \gamma^2 (\xi^2-1) + \frac{m^2}{\xi^2-1}] J &=& 0\\ \frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} S + [\lam + \gamma^2 (1-\eta^2) - \frac{m^2}{1-\eta^2}] S &=& 0\\ \frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta + m^2 \Theta &=& 0 \eea mit $\gamma = a k$. $\lam$ bzw. $m^2$ bezeichnen die Separationsparameter. Man beachte, da\ss{} die beiden Gleichungen f\"ur $J$ und $S$ identisch sind.\\ Umschreiben zeigt, da\ss{} drei (verkoppelte) Sturm--Liouville Probleme vorliegen: \bea \label{sep1} \frac{1}{a^2(\xi^2-1)} \left[ -\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} + \lam + \frac{m^2}{\xi^2-1} \right] J &=& k^2 J \hspace{11mm} \xi \in (1,\infty)\\ \label{sep2} \left[ -\frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} - \gamma^2 (1-\eta^2) + \frac{m^2}{1-\eta^2} \right] S &=& \lam S \hspace{12.5mm} \eta \in (-1,1)\\ \label{sep3} -\frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta &=& m^2 \Theta \hspace{10mm} \vphi \in (0,2 \pi) \eea Diese sollen in den n\"achsten drei Punkten der Reihe nach untersucht werden. \section{Untersuchung des $\Theta(\vphi)$--Anteils} Gleichung (\ref{sep3}) zeigt, da\ss{} der folgende Operator untersucht werden mu\ss{}: \be \ba{rcl} \ot: \dbt \subset \lz (0,2\pi) &\rightarrow & \lz (0,2\pi) \\ u & \mapsto & \ot u = - u''\\ \ea \ee Die Randbedingungen, die T zu einem selbstadjungierten Operator in $\lz (0,2\pi)$ machen sind l\"angst bekannt und werden analog zum kugelsymmetrischen Fall gew\"ahlt: \be \ba{lr} \dbt = \{ u \in \lz (0,2\pi) | & u \in \ac^1(0,2\pi) , \; u'' \in \lz (0,2\pi) , \\ & u(0) = u(2\pi), u'(0)=u'(2 \pi) \} \ea \ee Anmerkungen: $u(0)=\lim_{\varepsilon \, \downarrow \, 0} u(0+\varepsilon) \quad u(2\pi)= \dots$\\ Diese Wahl der Randbedingungen gew\"ahrleistet, da\ss{} (beim \"Ubergang von sph\"aroidalen auf kartesische Koordinaten) die Anwendung des Laplace--Operators auf die Funktion $\Psi=J S \Theta$ (vgl. Gl. (\ref{psi})) \"uberhaupt sinnvoll m\"oglich ist. \bs Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. Das Spektrum ist zweifach und rein diskret: \be \sigma(\ot) = \sigma_{disc}(\ot) \ee Die Eigenwerte $m^2$ und dazugeh\"origen (normierten) Eigenfunktionen $u_m$ lauten: \be \ot u_m = m^2 u_m \qquad u_m(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}{\rm e}^{\D \I m x} \qquad \mb{mit } m \in \Z \ee Die Funktionen $u_m(x)$ bilden ein vollst\"andiges Orthonormalsystem f\"ur den Hilbertraum $\lz (0,2\pi)$. \es \bb Diese Tatsachen folgen aus der (regul\"aren) Sturm--Liouvilleschen Theorie. \eb \section{Untersuchung des $S(\eta)$--Anteils} Aus Gleichung (\ref{sep2}) ersieht man, da\ss{} der zu untersuchende Operator lautet: \be \ba{rcl} \ot: \dbt \subset \lz (-1,1) &\rightarrow & \lz (-1,1) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\ \ea\\ \ee \be \tau u = -((1-x^2)u' \,)'-\gamma^2 (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u \qquad \gamma^2 \in \R , m^2 \in \N_0 \ee Man beachte, da\ss{} man f\"ur $\gamma=0$ die Legendre--Differentialgleichung erh\"alt. Es liegt also ein singul\"arer Sturm--Liouvillescher Differentialausdruck vor: \bea & \tau u = \frac{\D 1}{\D k}\bigl( -(p \, u' \, )'+q \, u \bigr) &\\ & p(x)=1-x^2 \qquad q(x)= -\gamma^2 (1-x^2)+ \frac{\D m^2}{\D 1-x^2} \qquad k(x) \equiv 1 & \eea Beide Endpunkte $x_0= \pm 1$ sind singul\"ar, und um den Operator T selbstadjungiert zu machen, stellt sich die Frage, ob bzw. welche Randbedingungen notwendig sind. Dazu werden zuerst die Endpunkte nach Weyl klassifiziert (Definition \ref{weylalt}). Da die Koeffizienten $p(x),q(x)$ analytische Funktionen sind, und die L\"osungen der Differentialgleichung sich nach verallgemeinerten Potenzreihen entwickeln lassen, kann ein Kriterium aus \cite{jr} (3.8 Satz 1) verwendet werden. Danach liegt bei $x_0=\pm 1$ genau dann der Grenzkreisfall vor, wenn folgende Bedingung erf\"ullt ist: \be \label{krit} n_0 > (1-\sigma)^2+4\frac{q_0}{p_0} \ee Dabei sind die Zahlen $\sigma, p_0$ und $q_0$ aus den Reihenentwicklungen f\"ur $p(x)$ bzw. $q(x)$ um $x_0=\pm 1$ zu entnehmen: \bea p(x) = (x-x_0)^\sigma \sum^\infty_{\ell=0} p_\ell \, (x-x_0)^\ell \qquad & \Rightarrow & p_0=\mp 2 \quad \sigma=1\\ q(x) = (x-x_0)^{\sigma-2} \sum^\infty_{\ell=0} q_\ell \, (x-x_0)^\ell \quad & \Rightarrow & q_0=\mp \frac{m^2}{2}\\ k(x) = (x-x_0)^{\sigma-2} \sum^\infty_{\ell=0} k_\ell \, (x-x_0)^\ell \quad& \Rightarrow & \ell_0=1 \eea $k_{n_0}$ ist der erste nichtverschwindende Koeffizient der Entwicklung von $k(x)$. Damit erh\"alt man unter Verwendung von (\ref{krit}) folgende Bedingung: \be m^2<1 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \ba{rcl} m=0 & : & \mb{Grenzkreisfall}\\ m \neq 0 & : & \mb{Grenzpunktfall} \ea \right. \qquad m \in \N_0 \ee Es ist also nur im Fall $m=0$ eine Randbedingung (RB) notwendig (Satz \ref{selbstadj}). Der Definitionsbereich wird wie folgt gew\"ahlt: \be \ba{lr} \dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\; \tau u \in \lz (-1,1) , \\ & \mb{RB f\"ur } m=0 \} \ea \ee Das Auffinden einer geeigneten Randbedingung ist also das n\"achste Ziel. Der hier gew\"ahlte Zugang entspricht dem in \cite{jr}. Vergleiche dazu auch Anhang A. F\"ur eine etwas heuristischere Darstellung vgl. \cite{st}, in dem auch die nichtfunktionalanalytischen Methoden von \cite{tm} beschrieben werden. Dazu wird zun\"achst das Verhalten der L\"osung der Differentialgleichung \be \tau \, u = \lambda \, u \ee in der N\"ahe der singul\"aren Punkte $x_0=\pm 1$ untersucht. Da die Differentialgleichung, wie bereits erw\"ahnt, einen Reihenansatz gestattet, soll dieser nun durchgef\"uhrt werden. Die Gleichung f\"ur die charakteristischen Exponenten lautet (vgl. z.B.: \cite{jr} S 152): \be \rho^2+(a_0-1) \rho + b_0 = \rho^2 - \frac{m^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \rho_{2,1} = \pm \frac{m}{2} \ee mit $a_0= \lim\limits_{x \to \pm 1} (x\mp 1) \D \frac{p'(x)}{p(x)} = 1$ und $b_0= \lim\limits_{x \to \pm 1} (x\mp 1)^2 \D \frac{\lambda-q(x)}{p(x)} = \frac{-m^2}{4} $ \\[2mm] Es gilt $\rho_2-\rho_1= m \in \N_0$, daher gibt es ein Fundamentalsystem der folgenden Form (vgl. wiederum \cite{jr}): \be \label{fs} \bmp{11cm} \beas u_1(x) &=& (x-x_0)^{m/2} \sum^\infty_{\ell=0} c_\ell \, (x-x_0)^\ell \\ u_2(x) &=& (x-x_0)^{-m/2} \sum^\infty_{\ell=0} d_\ell \, (x-x_0)^\ell + c \, u_1(x) \ln(x-x_0) \eeas \emp \ee Allgemein gilt $d_m=0$ und $c_0 \neq 0$. F\"ur $m \neq 0$ ist $d_0 \neq 0$, und f\"ur $m=0$ ist sicher $c \neq 0$. Der Koeffizient $c$ ist ein Polynom in $\lambda$ und $\gamma^2$ (und zwar in $\lambda$ und $\gamma$ zusammen vom Grad $m$) und kann rekursiv berechnet werden (vgl. \cite{mx}). Man erkennt auch sofort, da\ss{} nur f\"ur $m=0$ beide L\"osungen im Hilbertraum liegen. Jede Funktion $u$ aus dem Definitionsbereich von T (ohne RB) kann (Vorliegen des Grenzkreisfalls vorausgesetzt) in der N\"ahe von $x_0$ in der Form:\\ \hspace*{1.5cm} \bmp{11cm} \beas u(x) & = & u_1(x)\{ C_1 + \phi_1(x) \} + u_2(x)\{ C_2 + \phi_2(x) \}\\ u'(x) & = & u'_1(x)\{ C_1 + \phi_1(x) \} + u'_2(x)\{ C_2 + \phi_2(x) \} \eeas \emp \hfill \bmp{2cm} \bea \label{dar} \eea \emp\\[3mm] mit $u_1,u_2$ aus (\ref{fs}) und $\phi_{1,2}$ absolut stetig, $\phi_{1,2}(x_0)=0$ dargestellt werden (vgl. (\ref{ablinh}) und (\ref{losinh})). Die beiden komplexen Zahlen $C_1,C_2$ sind eindeutig bestimmt, und die Randbedingung l\"a\ss{}t sich mit ihnen wie folgt ausdr\"ucken: \be C_1 \cos \alpha +C_2 \sin \alpha =0 \qquad \alpha \in [\,0,\pi) \ee oder, f\"ur die Praxis geeigneter: \be W(u_1,u)_{x_0} + A \, W(u_2,u)_{x_0} = 0 \ee mit $W(u,v)_{x_0} = \lim\limits_{x \to x_0} p(x)(u(x) v'(x)-u'(x) v(x))$\\[2mm] Da f\"ur die Darstellung (\ref{dar}) ja nur das Verhalten der L\"osungen $u_1,u_2$ in der N\"ahe von $x_0$ von Bedeutung ist, kann man endg\"ultig schreiben: \bd W(1,u(x))_{x_0} + \hat{A} \, W(\ln (x-x_0),u(x))_{x_0} = W(1+\hat{A} \, \ln (x-x_0),u(x))_{x_0} = \ed \be \label{rbse} \lim_{x \to x_0} [\hat{A} (u(x) - (x-x_0) u'(x) \ln (x-x_0)) - (x-x_0) u'(x)] = 0 \ee Um f\"ur $\gamma = 0$ wiederum Bekanntes zu erhalten, wird $\hat{A}=0$ gew\"ahlt. Vergleiche auch die Argumentation beim $\Theta(\vphi)$--Anteil. Damit lautet $\dbt$ nun: \be \ba{ll} \dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\; \tau u \in \lz (-1,1) , \\ & \lim_{x \to \pm 1} (1 \mp x) u'(x)=0 \mb{ f\"ur } m=0 \} \ea \ee Wie man aus (\ref{fs}) und (\ref{dar}) ersieht, ist die angegebene Randbedingung mit der in der physikalischen Literatur \"ublichen Stetigkeitsforderung an den Randpunkten \"aquivalent (vgl. Bemerkung nach Lemma \ref{lemst}). Aus der Konstruktion des Operators T ergibt sich folgender \bs \label{sase} Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. \es \bb Satz \ref{selbstadj} \eb Als n\"achstes ist nat\"urlich das Spektrum $\sigma(\mb{T})$ des Operators von Interesse. Dazu soll die Resolvente des Operators untersucht werden: \bs \label{res} Die Resolvente $\rl(\ot)$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern: \be \rl(x,x') = \frac{u_+(x_>)u_-(x_<)}{\mb{W}(u_+,u_-)} \qquad \lambda \in \rho(\ot) \ee mit $x_> = {\rm Max}(x,x') \quad x_< = {\rm Min}(x,x')$ und \bd \mb{W}(u_+,u_-)=(1-x^2)(u_+(x)u'_-(x)-u'_+(x)u_-(x)) \neq 0 \ed F\"ur $u_\pm$ gilt $u_\pm,u_\pm' \in \mb{AC}_{loc}(-1,1)$, es erf\"ullt die Differentialgleichung \bd \tau u_\pm = \lambda u_\pm \ed und $u_+ \, (u_-)$ erf\"ullt die Randbedingung bei $+ 1 (- 1)$ f\"ur $m=0$ bzw. ist f\"ur $m \neq 0$ in der N\"ahe von $+ 1 (- 1)$ quadratintegrierbar. \es \bb Satz \ref{selbstadj} \eb Bemerkung: Es gilt $\rl(x,x') = \rl(x',x)$ und $\rl(.,c) = \rl(c,.) \in \mb{L}^\infty(-1,1)$ ($c \in (-1,1)$ konstant)\\ Wir beweisen nun zwei kleine Lemmata, die wir ben\"otigen. \bl \label{lemv} F\"ur beliebige $V \in \lz(-1,1)$ gilt: \be \int\limits_{-1}^1 \! \int\limits_{-1}^1 | V(x) \rl (x,x')|^2 dx \, dx' < \infty \ee \el \bb Aus der Darstellung (\ref{fs}) und der Tatsache, da\ss{} $u_\pm$ in der N\"ahe von $\pm 1$ stetig ist, und da\ss{} $u_\pm$ bei $\mp 1$ nicht stetig sein darf (da $u_\pm$ sonst in $\dbt$ liegen w\"urde und damit Eigenfunktion w\"are), folgt: \beas |u_\pm| &<& const \; (1 \mp x)^\frac{m}{2} \quad \mb{f\"ur} \quad x \in \ba{c} (0,1) \\ (-1,0) \ea \\ |u_\pm| &<& \left\{ \ba{ll} const \; \ln(1 \pm x) & m=0 \\ const \; (1 \pm x)^{-\frac{m}{2}} & m>0 \ea \right. \quad \mb{f\"ur} \quad x \in (-1,1) \eeas Daraus folgt weiter durch Quadrieren: \beas |u_\pm|^2 &<& const \; (1 \mp x)^m \quad \mb{f\"ur} \quad x \in \ba{c} (0,1) \\ (-1,0) \ea\\ |u_\pm|^2 &<& \left\{\ba{cl} const \; \ln^2(1 \pm x) & m=0 \\ const \; (1 \pm x)^{-m} & m>0 \ea \right. \quad \mb{f\"ur} \quad x \in (-1,1) \eeas Es ist nun \beas && \int_{-1}^{1} |V(x)|^2 f_1(x) dx < \infty \quad \mb{mit} \quad f_1(x)= |u_+(x)|^2 \int_{-1}^{x} |u_-(x')|^2 dx'\\ && \int_{-1}^{1} |V(x)|^2 f_2(x) dx < \infty \quad \mb{mit} \quad f_2(x)= |u_-(x)|^2 \int_{x}^{1} |u_+(x')|^2 dx'\\ \eeas zu zeigen. Da $f_{1,2}$ in $(-1,1)$ stetig sind, gen\"ugt es, das Verhalten an den Randpunkten zu untersuchen: \beas f_1(x) &<& const \; (1-x)^m \int_{-1}^x \ba{c} \ln^2(1-x') \\ (1-x')^{-m} \ea dx' \quad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\ &<& const \; \hspace{5.5cm} x \in (0,1) \eeas \beas f_1(x) &<& const \; \ba{l} \ln^2(1-x) \\ (1-x)^{-m} \ea \int_{-1}^x (1-x')^m dx' \quad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\ &<& const \; \hspace{5cm} x \in (-1,0) \eeas $f_1$ ist also beschr\"ankt und daher gilt $|V|^2 f_1 \in \lei (-1,1)$. Analog zeigt man $|V|^2 f_2 \in \lei(-1,1)$. \eb \bl \label{lemst} Alle Funktionen $f \in \dbt$ lassen sich stetig auf die Randpunkte fortsetzen. \el \bb Sei $f \in \dbt$, dann existiert ein $g \in \lz(-1,1)$ mit \bd f(x) = u_+(x) \int_{-1}^x u_-(x') g(x') \, dx' + u_-(x) \int_x^1 u_+(x') g(x') \, dx' \ed Wir zeigen, da\ss{} beide Summanden in der N\"ahe von 1 beschr\"ankt sind. Ein Blick auf (\ref{dar}) zeigt, da\ss{} es gen\"ugt den Fall $m>0$ zu betrachten. Denn zusammen mit Gleichung (\ref{fs}) folgt damit die Behauptung f\"ur $m=0,1$. \beas |u_+(x) \int_{-1}^x u_-(x') g(x') \, dx'| &<& const \; (1-x)^{m/2} \int_{-1}^x (1-x')^{-m/2} |g(x')| \, dx' \\ &<& const \; \int_{-1}^x |g(x')| \, dx' \\ &<& const \eeas \beas |u_-(x) \int_x^1 u_+(x') g(x') \, dx'| &<& const \; (1-x)^{-m/2} \int_x^1 (1-x')^{m/2} |g(x')| \, dx' \\ &<& const \; \int_x^1 |g(x')| \, dx' \\ &<& const \eeas Analog zeigt man, da\ss{} $f(x)$ bei $-1$ beschr\"ankt ist. \eb Bemerkung: Der Definitonsbereich von $\ot$ kann also auch wie folgt charakterisiert werden: \be \dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | u \in \ac (-1,1) ,\; u' \in \ac_{loc} (-1,1), \; \tau u \in \lz (-1,1) \} \ee Wir k\"onnen nun zwei S\"atze beweisen: \bs \label{komp} Die Resolvente des Operators $\rl(\ot)$ ist ein Hilbert--Schmidt--\-Operator \es \bb Man w\"ahle in Lemma \ref{lemv} $V \equiv 1$. \eb Also kann man festhalten: \bk Es folgt insbesondere, da\ss{} die Resolvente kompakt ist, das Spektrum rein diskret und die Eigenfunktionen vollst\"andig. \be \sigma (\ot) = \sigma_{disc} (\ot) \ee Das Spektrum ist einfach. \ek \bs Sei $V \in \lz(-1,1)$ reellwertig, dann ist ${\rm V}$ relativkompakt bez\"uglich $\ot$. Der Operator \be \ot +{\rm V} \ee ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und f\"ur das wesentliche Spektrum gilt: \be \sigma_{ess}(\ot) = \sigma_{ess}(\ot+{\rm V}) \ee Das Spektrum ist also weiterhin rein diskret und einfach. \es \bb Wegen Lemma \ref{lemst} gilt $\dbt \subset \db({\rm V})$, der Rest folgt dann aus Lemma \ref{lemv}, \cite{rs} Satz XIII.14 und den darauffolgenden Korollaren 1 und 2. \eb Nun stellt sich die Frage, inwieweit diese Ergebnisse f\"ur nichtreelles $\gamma^2$ g\"ultig bleiben. Dazu wird $\gamma^2$ in Real-- und Imagin\"arteil zerlegt, und der Imagin\"arteil als St\"orung betrachtet: \bea \hat{\ot} & = & \ot + \I {\rm M} \\ \hat{\tau} u & = & -((1-x^2)u' \,)'-\re(\gamma^2) (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u - \I \, \im(\gamma^2) (1-x^2) \, u \eea Da M beschr\"ankt ist ($\| {\rm M} \|=1$), kann $\db(\hat{\ot})= \dbt$ gew\"ahlt werden, und es folgt sofort, da\ss{} $\hat{\rm T}$ abgeschlossen ist, und der adjungierte Operator durch $\hat{\ot}^*= \ot - {\rm i M}$ mit $\db (\hat{\ot}^*)=\db(\hat{\ot})$ gegeben ist \cite{wd} Satz 5.5 und Satz 4.20c. Man kann weiter schlie\ss{}en, da\ss{} die Resolvente kompakt bleibt: \bs Die Resolvente von $\hat{\ot}$ ist ebenfalls ein Hilbert--Schmidt--Operator. \es \bb Aus der zweiten Resolventengleichung (\cite{wd} Satz 5.13 c) folgt \be \label{resg} \rl(\ot+ {\rm i \, M}) = \rl(\ot)[1-{\rm i \, M} \, \rl(\ot+ {\rm i \, M})] \ee Da die Menge der Hilbert--Schmidt--Operatoren ein zweiseitiges Ideal (bez\"uglich der beschr\"ankten Operatoren) bildet und M beschr\"ankt ist, folgt die Behauptung. \eb Aus der Darstellung (\ref{resg}) ersieht man auch, da\ss{} die Voraussetzungen von \cite{gk} Satz 8.1 erf\"ullt sind: \bs Die verallgemeinerten Eigenfunktionen des Operators $\hat{\ot}$ sind voll\-st\"andig. \es Als verallgemeinerte Eigenfunktion zum Eigenwert $\lam$ bezeichnet man dabei Funktionen, die \bd (\hat{\ot}- \lam)^n u = 0 \qquad n \in \N \ed erf\"ullen. Nun werde der Operator noch auf Liouvillesche Normalform transformiert (vgl. \cite{ds} S 1504, \cite{km} Absch. 3.9). Dazu f\"uhren wir unit\"are Operatoren U ein: \be \ba{rcl} {\rm U}: \lz (-1,1) &\rightarrow & \lz (0,\pi) \\ u(x) & \mapsto & f(\vartheta)=({\rm U} u)(\vartheta) = \sqrt[4]{1-x^2(\vartheta)} \, u(x(\vartheta)) \ea \ee mit \bd \vartheta(x)= \frac{\pi}{2}+ \int^{x}_{0} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \arccos (-x) \quad \Rightarrow \quad x = - \cos \vartheta \ed also \bd f(\vartheta)= \sqrt{\sin \vartheta} \, u(-\cos \vartheta) \ed \be \label{lt} \tilde{\tau}= {\rm U} \tau {\rm U}^{-1} = -\frac{d^2}{d\vartheta^2}-\frac{1}{4}- \gamma^2 \sin^2 \vartheta + \frac{m^2-\frac{1}{4}}{\sin^2 \vartheta} \ee Die Randbedingung (\ref{rbse}) geht \"uber in \bd \lim_{\vartheta \to 0,\pi} \sqrt{\sin \vartheta}(f'(\vartheta)-\frac{f(\vartheta)} {2 \sin \vartheta}) = 0 \ed Man beachte, da\ss{} die charakteristischen Exponenten von (\ref{lt}) durch $\rho_{1,2}= \frac{1}{2} \pm m$ gegeben sind. Somit haben wir f\"ur $\tilde{\ot}$: \be \ba{rcl} \tilde{\ot}: \db(\tilde{\ot}) &\rightarrow & \lz (0,\pi) \\ f & \mapsto & \tilde{\ot} f = {\tau f} = - f''-(\frac{1}{4}+ \gamma^2 \sin^2 \vartheta - {\D \frac{m^2-\frac{1}{4}}{\sin^2 \vartheta} }) f \ea \ee \be \ba{ll} \db(\tilde{\ot})= \{ f \in \lz (0,\pi) | & f \in \acel (0,\pi) ,\; \tilde{\tau} f \in \lz (0,\pi) , \\ & \lim_{\vartheta \to 0,\pi} \sqrt{\sin \vartheta} (f'(\vartheta)-\frac{f(\vartheta)}{2 \sin \vartheta}) = 0 \\ &\mb{f\"ur } m=0 \} \ea \ee Nun fehlen noch die Eigenfunktionen und Eigenwerte. Die Darstellung folgt \cite{mx} und \cite{mf}, die Bezeichnungen stimmen im wesentlichen mit \cite{mf} \"uberein. Aus der Kompaktheit der Resolvente (Satz \ref{komp}) folgt sofort, da\ss{} die Eigenwerte abz\"ahlbar sind und keinen endlichen H\"aufungspunkt besitzen. Sie werden mit $\lambda^m_n(\gamma)$ bezeichnet und k\"onnen nach Potenzen von $\gamma^2$ entwickelt werden:\footnote{Man beachte, da\ss{} der Unterschied zwischen $\lambda^m_n(\gamma)$ bei \cite{mf} und hier $\gamma^2$ betr\"agt!} \be \ba{rcl} \lambda^m_n(\gamma)& = & n(n+1) -\D \frac{1}{2} \left[ 1+ \frac{(2m-1)(2m+1)}{(2n-1)(2n+3)} \right] \gamma^2 + O(\gamma^4) \hspace*{0.5cm}\\ & & \\ & &\hfill n= m,m+1, m+2, \dots \ea \ee F\"ur weitere Glieder sei auf \cite{mx} S 240 Gl. (10) verwiesen. Die dazugeh\"origen Eigenfunktionen werden wie folgt bezeichnet: \be S^m_n(\gamma,x) \qquad S^m_n(0,x) =P^m_n(x) \ee ($P^m_n(x)$ bezeichnet die zugeordneten Legendrepolynome.) Sie sind mit $n-m$ gerade bzw. ungerade \be S^m_n(\gamma,-x) = (-1)^{n-m} \, S^m_n(\gamma,x) \ee und $S^m_n(\gamma,x)$ besitzt genau $n-m$ Nullstellen. Es erweist sich als zweckm\"a\ss{}ig, sie nach zugeordneten Legendrepolynomen zu entwickeln:\\ \be \label{reihes} S^m_n(\gamma,x) = \left\{ \ba{ll} \sum\limits_{\ell=0}^\infty d_{2\ell}(\gamma,m,n) P^m_{m+2\ell}(x) & n-m \mb{ gerade}\\ \sum\limits_{\ell=0}^\infty d_{2\ell+1}(\gamma,m,n) P^m_{m+2\ell+1}(x) & n-m \mb{ ungerade}\ea \right. \ee F\"ur die Entwicklungskoeffizienten findet man durch Einsetzen von (\ref{reihes}) in die Differentialgleichung folgende Rekursionsrelation:\footnote{Man beachte, da\ss{} zwar die Rekursionsrelation nicht, die $d_\ell(\gamma,m,n)$ dennoch mit \cite{mf} \"uber\-ein\-stimmen!} \bea \nn \frac{\ell(\ell-1)\gamma^2}{(2\ell+2m-1)(2\ell+2m-3)}d_{\ell-2}+ \frac{(\ell+2m+1)(\ell+2m+2)\gamma^2}{(2\ell+2m+3)(2\ell+2m+5)}d_{\ell+2}-\\ \left[ \frac{2(\ell+m)(\ell+m+1)-m^2+2}{(2\ell+2m+3)(2\ell+2m-1)}\gamma^2 -(\ell+m)(\ell+m+1) + \lambda \right] d_\ell =0 \eea Daraus ersieht man das asymptotische Verhalten der Koeffizienten: \be \frac{d_\ell}{d_{\ell-2}} \approx -\left( \frac{\gamma}{2 \ell} \right)^{\pm 2} \ee F\"ur uns ist nat\"urlich nur der negative Exponent von Interesse. W\"ahlt man f\"ur $\lambda = \lambda^m_n(\gamma)$, so erh\"alt man $d_\ell(\gamma,m,n)$, die wie folgt normiert werden:\footnote{Man beachte, da\ss{} diese Normierung in der Literatur alles andere als einheitlich ist!}\\ \bmp{12cm} \hspace*{1cm} \beas \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(2\ell+2m)!}{{2\ell}!} d_{2\ell}(\gamma,m,n) &=& \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \quad n-m \mb{ gerade}\\ \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(2\ell+2m+1)!}{{2\ell}!} d_{2\ell+1}(\gamma,m,n) &=& \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \quad n-m \mb{ ungerade} \eeas \emp \hfill \bmp{2cm} \be \ee \emp\\[3mm] Die Funktionen $S^m_n(\gamma,x)$ k\"onnen auch nach Potenzen von $\gamma^2$ entwickelt werden (vgl. \cite{mx} \cite{mf}). \bs Die Sph\"aroidfunktionen $S^m_n(\gamma,x)$ bilden f\"ur jedes $m \in \N_0$ und jedes $\gamma^2 \in \R$ ein vollst\"andiges Orthogonalsystem. Es gilt also f\"ur beliebige Funktionen $f(x) \in {\rm L}^2(-1,1)$: \es \bea f(x)= \sum_{n=m}^\infty \frac{S^m_n(\gamma,x)}{\Lambda^m_n (\gamma)} \int \limits_{-1}^{1} S^m_n(\gamma,\xi) f(\xi) d\xi \\ \int \limits_{-1}^{1} S^m_n(\gamma,\xi) S^m_{n'}(\gamma,\xi) d\xi = \Lambda^m_n (\gamma) \delta_{n,n'} \eea \bb Der Satz ist eine direkte Folgerung aus der Selbstadjungiertheit (Satz \ref{sase}) und Korollar \ref{komp}. \eb Eine zweite (linear unabh\"angige) L\"osung erh\"alt man, wenn die $P^m_n(x)$ durch zugeordnete Legendrefunktionen zweiter Art $Q^m_n(x)$ ersetzt werden. Ist $m$ negativ, so wird \be S^m_n(\gamma,x) = S^{-m}_n(\gamma,x) \ee festgelegt. \section{Untersuchung des $J(\xi)$--Anteils} Es soll nun der letzte Operator (Gl. (\ref{sep1})), der dem Radialteil des kugelsymmetrischen Falls entspricht, untersucht werden: \be \ba{rcl} \ot: \dbt \subset \lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) &\rightarrow & \lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\ \ea\\ \ee \be \tau u = \frac{1}{a^2(x^2-1)} \left[ -((x^2-1)u' \,)'+\lambda \, u + \frac{m^2}{x^2-1} u \right] \qquad \lambda \in \R , m^2 \in \N_0 \ee Wir f\"uhren zun\"achst die Transformation auf Liouvillesche Normalform durch. Dazu f\"uhren wir wieder unit\"are Operatoren U ein: \be \label{untrj} \ba{rcl} {\rm U}: \lz ((1,\infty);a^2(x^2-1)) &\rightarrow & \lz (0,\infty) \\ u(x) & \mapsto & f(y)=({\rm U} u)(y) = \sqrt{x^2(y)-1} \, u(x(y)) \ea \ee mit \bd y(x)= a \int^{x}_{1} \frac{\sqrt{t^2-1}}{\sqrt{t^2-1}} dt = a x - a \quad \Rightarrow \quad x= \frac{y}{a} +1 \ed also \bd f(y)= \frac{\sqrt{y(y+2a)}}{a} \, u(\frac{y}{a}+1) \ed \be \label{llt} \tilde{\tau}= {\rm U} \tau {\rm U}^{-1} =-\frac{d^2}{dy^2} + \frac{\lambda}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2} \ee Man beachte, da\ss{} f\"ur $a = 0$ Gleichung (\ref{llt}) in den Radialteil der freien Schr\"odingergleichung \"ubergeht. Der Differentialausdruck $\tilde{\tau}$ besitzt zwei singul\"are Punkte bei $y=0$ und $y=\infty$. Es stellt sich daher wieder die Frage nach geeigneten Randbedingungen. Anwendung des Kriteriums (\ref{krit}) am Punkt $y=0$ ergibt: \bd k(y) \equiv 1, \quad p(y) \equiv 1, \quad q(y) = \frac{\lambda}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2} \ed \bd \sigma=0, \; n_0=2, \; p_0=1, \; q_0= \frac{m^2-1}{4} \quad \Rightarrow \quad m^2<2 \ed Also gilt: \bd m<\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \ba{rcl} m=0,1 & : & \mb{Grenzkreisfall}\\ m >1 & : & \mb{Grenzpunktfall} \ea \right. \qquad m \in \N_0 \ed F\"ur $m=0,1$ ist bei $y_0=0$ eine zus\"atzliche Randbedingung notwendig. Es wird wiederum das Verhalten der L\"osungen von \be \label{dglr} \tilde{\tau} f = k^2 f \ee in der N\"ahe des Punktes $y_0=0$ untersucht. Die Gleichung f\"ur die charakteristischen Exponenten lautet: \be \label{charexprad} \rho^2 - \rho + b_0 = \rho^2 - \rho +\frac{1-m^2}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \rho_{2,1} = \frac{1 \pm m}{2} \ee mit $b_0= \lim\limits_{y \to 0} y^2 (k^2-q(y)) = \frac{1-m^2}{4}$\\ Es gilt $\rho_2-\rho_1= m \in \N_0$, daher gibt es ein Fundamentalsystem der Form (\ref{fs}): \be \label{fsrad} \bmp{11cm} \beas f_1(y) &=& y^{(1+m)/2} \sum^\infty_{\ell=0} c_\ell \, y^\ell \\ f_2(y) &=& y^{(1-m)/2} \sum^\infty_{\ell=0} d_\ell \, y^\ell + c \, f_1(y) \ln(y) \eeas \emp \ee Die Randbedingung wird analog zur Vorgangsweise beim $S(\eta)$--Anteil gew\"ahlt. Und zwar so, da\ss{} $u(y/a+1) = a \, f(y)/\sqrt{y(y+2a)}$ stetig ist (vgl. Argumentation beim $\Theta(\vphi)$--Anteil).\\ \bmp{12cm} \beas m=0 : \quad W(f_1,f)_0 = 0 & \Rightarrow & \lim_{y\to 0} \frac{1}{\sqrt{y}}(f-2 y f')=0\\ m=1 : \quad W(f_1,f)_0 = 0 & \Rightarrow & \lim_{y\to 0} (f-y f')=0 \eeas \emp \hfill \bmp{2cm} \bea \eea \emp\\[3mm] Die Randbedingung f\"ur $m=1$ kann durch $f(0)=\lim_{y\to 0} f(y)=0$ ersetzt werden (vgl. \ref{dar}). Es verbleibt, den Endpunkt $y=\infty$ zu untersuchen. Wir schreiben die Gleichung (\ref{dglr}) in der folgenden Form: \bd f'' +(k^2 - q)f=0 \ed Da $q(y) \in \lei(1,\infty)$ gilt, kann daraus f\"ur $k \ne 0$ das asymptotische Verhalten der L\"osung abgelesen werden: \bs \label{asymt} F\"ur $k \ne 0$ gibt es zwei linear unabh\"angige L\"osungen der Gleichung (\ref{dglr}) mit folgendem asymptotische Verhalten:\footnote{$f(x)= o(g(x)) \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}|f(x)/g(x)|=0$ \ldots Landausymbol} \be f_\pm (y) = {\rm e}^{\D \pm \I k y} (1 + o(1)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty \ee \es \bb $f_{1,2}$ und $f_{+,-}$ k\"onnen nat\"urlich nicht linear unabh\"angig sein, es mu\ss{} also jedes Paar als Linearkombination des anderen darstellbar sein.\\ Das folgt aus \cite{ne} Satz 22.7, da die Gleichung $\rho^2 -k^2 =0$ f\"ur $k^2 \ne 0$ zwei L\"osungen $\rho_{1,2}$ mit verschiedenen Realteilen $\re(\rho_1) \ne \re(\rho_2)$ besitzt und $q \in \lei (1,\infty)$ liegt. (Vergleiche auch \cite{km} \cite{ch}.) \eb F\"ur $k \ne 0$ liegt also h\"ochstens eine L\"osung in $\lz (1,\infty)$, und es liegt f\"ur $y=\infty$ immer der Grenzpunktfall vor (dies folgt auch aus \cite{ds} Teil 2 Satz XIII 6.16 da $q(y)$ beschr\"ankt ist). Es kann f\"ur $k>0$ also auch keine Eigenwerte geben. Wir k\"onnen somit den Definitionsbereich f\"ur $\tilde{\ot}$ vollst\"andig angeben: \be \ba{ll} \db(\tilde{\ot})= \{ f \in \lz (0,\infty) | & f \in \acel (0,\infty) ,\; \tilde{\tau} f \in \lz (0,\infty) ; \\ &\lim_{y\to 0} (f-2 y f')/\sqrt{y}=0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee Es kann wiederum folgender Satz formuliert werden: \bs Der Operator $\tilde{\ot}$ ist auf $\db(\tilde{\ot})$ selbstadjungiert. \es \bb Satz \ref{selbstadj} \eb Als n\"achstes ist nat\"urlich das Spektrum von Interesse. Aufgrund der Form von $q(y)$ ist zu erwarten, da\ss{} der Operator T durchaus Eigenwerte besitzt. Diese sind f\"ur uns aber nicht von Interesse, da $\lambda$ eigentlich von $k^2$ abh\"angt. Wir beschr\"anken uns daher auf das wesentliche Spektrum und hoffen, da\ss{} es von $\lambda$ unabh\"angig ist. \bs \label{spekj} F\"ur das wesentliche Spektrum des Operators {\rm T} gilt: \be \sigma_{ess}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot) = \emptyset \ee Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach (insgesamt h\"ochstens zweifach). \es \bb Wir zerlegen $(0,\infty) = (0,c) \cup (c,\infty)$ mit $0 < c < \infty$, schr\"anken den Operator T auf $(0,c)$ bzw. $(c,\infty)$ ein und bezeichnen ihn mit $\ot_-$ bzw. $\ot_+$. Der Randpunkt $c$ ist sicher regul\"ar. Es gilt nun $\sigma_{ess}(\ot) = \sigma_{ess}(\ot_-) \cup \sigma_{ess}(\ot_+)$ unabh\"angig von den Randbedingungen bei $c$ (Satz \ref{zerl}). Aus \bd \lim_{y \to \infty} q(y) = 0 \ed und \cite{ds} Teil 2,XIII.7 Satz 16 folgt $\sigma_{ess}(\ot_+) = [0,\infty)$. Aus Satz \ref{einschr} folgt $\sigma_{ess}(\ot_-) = \emptyset$. Insgesamt erhalten wir also: \bd \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty) \ed Da $q \in {\rm L}^1(c,\infty)$, und jede L\"osung von (\ref{dglr}) nur endlich viele Nullstellen in $(0,c)$ besitzen kann (reelle charakteristische Exponenten), folgt aus \cite{wd1} Satz 5.1, da\ss{} das Spektrum in $(0,\infty)$ einfach und absolut stetig ist: \bd \sigma_{ac}(\ot) \subset (0,\infty) \ed Da $\sigma_{ac}(\ot)$ abgeschlossen ist, und $\sigma_{ac}(\ot) \subset \sigma_{ess}(\ot)$ gilt, folgt weiter: \bd \sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty) \ed Wegen $\sigma_{sc}(\ot) \subset \sigma_{ess}(\ot)$ und der Einfachheit des Spektrums in $(0,\infty)$ mu\ss{} $\sigma_{sc}(\ot) \subset \{0\}$ sein. W\"are $\sigma_{sc}(\ot)= \{0\}$, dann h\"atte $\ot_{sc}= \ot |_{\hr_{sc}}$ bei 0 einen Eigenwert im Widerspruch zur Stetigkeit: \bd \sigma_{sc}(\ot) = \emptyset \ed Damit sind alle Behauptungen bewiesen. \eb Befriedigende Aussagen \"uber das Punktspektrum k\"onnen nur unter Ber\"ucksichtigung von $\lam= \lam^m_n(\gamma)$ gemacht werden. Wir betrachten dazu die urspr\"ungliche Gleichung in der gesamten komplexen Ebene: \be \label{dglz} \frac{d}{dz}(z^2-1)\frac{d}{dz} J - [\lam^m_n(\gamma) - \gamma^2 (z^2-1) + \frac{m^2}{z^2-1}] J = 0 \qquad z \in \C \ee F\"ur $k^2>0$ gibt es nach dem vorigen Satz keine Eigenwerte. Sei nun $k^2<0$ und $J(z) \not\equiv 0$ eine bei $z=1$ stetige L\"osung der obigen Gleichung. Da die Eigenwerte $\lam^m_n(\gamma)$ gerade so definiert sind, da\ss{} die bei $z=1$ stetige L\"osung auch bei $z=-1$ stetig ist, folgt die Stetigkeit von $J(z)$ bei $z=-1$. Da (\ref{dglz}) nicht vom Vorzeichen von $z$ abh\"angt, ist $J(-z)$ wieder eine bei $z=\pm 1$ stetige L\"osung. Da es aber (bis auf ein Vielfaches) nur eine solche L\"osung geben kann, folgt $J(-z)= \pm J(z)$. Aus Satz \ref{asymt} und Gleichung (\ref{untrj}) folgt, da\ss{} sich jede L\"osung von (\ref{dglz}) asymptotisch f\"ur $|z| \to \infty$ wie $(A \exp(\I k a z) + B \exp(-\I k a z) )/ \sqrt{z^2-1}$ verh\"alt ($A,B \in \C$). F\"ur $J(z)$ folgt sofort $A= \pm B \ne 0$. $J(z)$ kann also nicht quadratintegrabel sein, und es gibt keine Eigenfunktionen f\"ur $k^2<0$. F\"ur $k^2=0$ ist $\gamma=0$ und $\lam^m_n(\gamma)=n(n+1)$ und die Gleichung stimmt mit der Legendregleichung \"uberein. Die bei $z=1$ stetige L\"osung der Legendregleichung ist aber eine Polynom und daher sicher nicht quadratintegrabel.\\ Wir wollen nun die L\"osungen der Gleichung \be \tilde{\tau} f = k^2 f \ee untersuchen. Wir bezeichnen jene L\"osung, die bei $y=0$ die Randbedingung erf\"ullt, mit: \be je^m_\lambda(k,y) \ee Sie kann f\"ur $k^2 \in \R$ reell gew\"ahlt werden (da $\ol{je^m_\lambda(k,y)}$ ebenfalls die Randbedingung erf\"ullt, also linear abh\"angig ist!). Insbesondere k\"onnen wir sie f\"ur $k \in \R \backslash \{ 0 \}$ so normieren, da\ss{} f\"ur $y \to \infty$ gilt (Beachte Satz \ref{asymt}): \be je^m_\lambda(k,y) \to \cos(k y - \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty \ee Eine zweite L\"osung bezeichnen wir mit: \be ne^m_\lambda(k,y) \ee und w\"ahlen sie so, da\ss{} f\"ur $y \to \infty$ gilt: \be ne^m_\lambda(k,y) \to \sin(k y - \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty \ee Ihre Wronski--Determinante ist wegen (\ref{wdkonst}) konstant und kann aus dem asymptotischen Verhalten ablesen werden: \be \label{wrd} je^m_\lambda(k,y) ne^m_\lambda(k,y)' - je^m_\lambda(k,y)' ne^m_\lambda(k,y) = k \ee Weiters definieren wir noch eine dritte L\"osung: \be he_\lambda^m(k,y)=je_\lambda^m(k,y) + \I \, ne_\lambda^m(k,y) \ee mit \be \label{ashe} he^m_\lambda(k,y) \to \exp(\I k y - \I \delta(\lambda,k)) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty \ee Die Funktionen sind dabei bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt. Ist $k \in \C \backslash \R$, so ist diese Vorgansweise nicht mehr m\"oglich. Wir bezeichnen jene L\"osung, die bei $y=0$ die Randbedingung erf\"ullt weiter mit $je^m_\lambda(k,y)$ und legen $he^m_\lambda(k,y)$ durch ihr asymptotisches Verhalten (\ref{ashe}) fest (f\"ur $k^2 \ne 0$). Sind beide linear unabh\"angig, so fordern wir: \be \label{wrd2} je^m_\lambda(k,y) he^m_\lambda(k,y)' - je^m_\lambda(k,y)' he^m_\lambda(k,y) = \I k \ee In diesem Fall sind beide Funktionen wieder bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt. W\"ahlt man f\"ur $\lambda$ speziell die Werte $\lambda_n^m$, so erh\"alt man die radialen "`Eigenfunktionen"'. Sie werden mit \be je^m_n(k,y) \hspace{2cm} ne^m_n(k,y) \ee bezeichnet, und man kann zeigen \cite{mf}, da\ss{} f\"ur ihr asymptotisches Verhalten gilt: \bea \nn je^m_n(k,y) & \to & \cos \left(k y -\frac{\pi}{2}(n+1) + \gamma \right) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty\\ \\ \nn ne^m_n(k,y) & \to & \sin \left(k y -\frac{\pi}{2}(n+1) + \gamma \right) \qquad \mb{ f\"ur } y \to \infty \eea Unter Verwendung von Zusammenh\"angen zwischen zugeordneten Legendre- und sph\"arischen Besselfunktionen kann die Reihe (\ref{reihes}) umgeformt werden \cite{mf}: \bea \nn je^m_n(k,y) = k \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \frac{(y^2+2 a y)^{\frac{m+1}{2}}}{(y+a)^m} \times \hspace*{5cm} \\ \sum_{\ell=0}^\infty \I^{2\ell+m-n} d_{2\ell}(\gamma,m,n) j_{2\ell+m}(k y+\gamma) \hspace{1.5cm} n-m \mb{ gerade} \hspace*{2.2ex} \\ \nn\sum_{\ell=0}^\infty {\rm i}^{2\ell+m-n+1} d_{2\ell+1}(\gamma,m,n) j_{2\ell+m+1}(k y+\gamma) \quad n-m \mb{ ungerade} \eea wobei $j_\ell(x)$ die sph\"arische Besselfunktion $l$-ter Ordnung bezeichnet. Ersetzt man $j_\ell(x)$ durch $n_\ell(x)$ (sph\"arische Neumannfunktion), so erh\"alt man eine Reihe f\"ur $ne^m_n(k,x)$, die jedoch nur als asymptotische Reihe zu verstehen ist. Eine Entwicklung nach Potenzen von $\gamma^2$ ist wiederum m\"oglich \cite{mf}. Zum Schlu\ss{} kann analog zu Satz \ref{res} die Resolvente des Operators $\ot$ angegeben werden: \bs Die Resolvente $\rk(\ot)$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern: \be \label{resk} \rk(y,y') = \frac{\I}{k} je_\lambda^m(k,y_>) \, he_\lambda^m(k,y_<) \qquad k \in \rho(\ot) \ee mit $y_> = {\rm Max}(y,y') \quad y_< = {\rm Min}(y,y')$. \es \bb Satz \ref{selbstadj} \eb Bemerkung: Es gilt $\rk(y,y') = \rk(y',y)$ und $\rk(.,c) = \rk(c,.) \in \lei (0,\infty) \cap \mb{L}^\infty(0,\infty)$ ($c \in (0,\infty)$ konstant).\\ Wir beweisen nun wieder zwei kleine Lemmata, die wir ben\"otigen. \bl \label{lemvv} F\"ur beliebige $V$ mit ${\rm Min}(1,\sqrt{y})V(y) \in \lz(0,\infty)$ gilt: \be \int\limits_0^\infty \! \int\limits_0^\infty | V(y) \rk (y,y')|^2 dy \, dy' < \infty \ee \el \bb Aus Gleichung (\ref{fsrad}) und Satz \ref{asymt} folgt: \bd \ba{c@{\; < \;}l@{\qquad \mb{f\"ur } }l} |je_\lam^m(k,y)| & const \; y^{(1+m)/2} & y \in (0,1)\\ |je_\lam^m(k,y)| & const \; \mb{e}^{\im(k) y} & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)| & \left\{ \ba{l@{\quad}l} const \; \sqrt{y} \ln y & m=0 \\ const \; y^{(1-m)/2} & m>0 \ea \right. & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)| & const \; \mb{e}^{-\im(k) y} & y \in (1,\infty)\\ \ea \ed Daraus folgt weiter durch Quadrieren: \bd \ba{c@{\; < \;}l@{\qquad \mb{f\"ur } }l} |je_\lam^m(k,y)|^2 & const \; y^{1+m} & y \in (0,1)\\ |je_\lam^m(k,y)|^2 & const \; \mb{e}^{2 \im(k) y} & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)|^2 & \left\{ \ba{l@{\quad}l} const \; y \ln^2 y & m=0 \\ const \; y^{1-m} & m>0 \ea \right. & y \in (0,\infty) \\ |he_\lam^m(k,y)|^2 & const \; \mb{e}^{-2 \im(k) y} & y \in (1,\infty)\\ \ea \ed Es ist nun \beas \int_0^\infty |V(y)|^2 f_1(y) dy < \infty \quad \mb{mit} \quad f_1(y)= |he_\lam^m(k,y)|^2 \int_0^y |je_\lam^m(k,y')|^2 dy'\\ \int_0^\infty |V(y)|^2 f_2(y) dy < \infty \quad \mb{mit} \quad f_2(y)= |je_\lam^m(k,y)|^2 \int_y^\infty |he_\lam^m(k,y')|^2 dy'\\ \eeas zu zeigen. Da $f_{1,2}$ in $(0,\infty)$ stetig sind, gen\"ugt es, das Verhalten an den Randpunkten zu untersuchen: \beas f_1(y) &<& const \; \ba{c} y\ln^2(1-y) \\ y^{1-m} \ea \int_0^y y'^{1+m} dy' \qquad \ba{l} m=0 \\ m>0 \ea\\ &<& const \; y \hspace{6cm} y \in (0,1) \eeas \beas f_1(y) &<& const \; \mb{e}^{-2 \im(k) y} \int_0^y \mb{e}^{2 \im(k) y'} dy' \\ &<& const \hspace{6.3cm} y \in (1,\infty) \eeas Es gilt also $|V|^2 f_1 \in \lei (0,\infty)$. Analog zeigt man $|V|^2 f_2 \in \lei (0,\infty)$. \eb \bl \label{lemstst} Alle Funktionen $f \in \dbt$ lassen sich stetig auf die Randpunkte fortsetzen. F\"ur $y \to 0$ gilt $f(y)=O(\sqrt{y})$\footnote{$f(x)= O(g(x)) \Leftrightarrow \limsup_{x \to x_0}|f(x)/g(x)|= const$ \ldots Landausymbol} \el \bb Sei $f \in \dbt$, dann existiert ein $g \in \lz(0,\infty)$ mit \bd f(y) = he_\lam^m(k,y) \int_0^y je_\lam^m(k,y') g(y') \, dy' + je_\lam^m(k,y) \int_y^\infty he_\lam^m(k,y') g(y') \, dy' \ed Wir zeigen zuerst, da\ss{} beide Summanden in der N\"ahe von 0 unsere Bedingung erf\"ullen Ein Blick auf Gleichung (\ref{dar}) zeigt, da\ss{} es gen\"ugt den Fall $m>1$ zu betrachten. Denn zusammen mit Gleichung (\ref{fsrad}) folgt damit die Behauptung f\"ur $m=0,1$. \beas |he_\lam^m(k,y) \int_0^y je_\lam^m(k,y') g(y') \, dy'| &<& const \; y^{(1-m)/2} \int_0^y y'^{(1+m)/2} |g(y')| \, dy' \\ &<& const \; y \int_0^y |g(y')| \, dy' \hspace{1.5cm} y \in (0,1) \eeas \beas |je_\lam^m(k,y) \int_y^\infty he_\lam^m(k,y') g(y') \, dy'| &<& const \; y^{(1+m)/2} \Big( \int_y^1 y'^{(1-m)/2} |g(y')| \, dy' \\ && \hspace{2cm} + \int_1^\infty \mb{e}^{-2 \im(k) y} |g(y')| \, dy' \Big) \\ &<& const \; y \hspace{4cm} y \in (0,1) \eeas F\"ur den Endpunkt $\infty$ gilt: \bd f'' = (q-k^2)f-g \in \lz(1,\infty) \ed Aus \cite{wd} Satz 6.27 folgt damit: $\lim_{y \to \infty} f(y) =0$. \eb Wir k\"onnen nun zwei S\"atze beweisen: \bs \label{einschr} Jede (selbstadjungierte) Einschr\"ankung $\ot_-$ von $\ot$ auf ein endliches Intervall $(0,c)$ (mit $c>0$) f\"uhrt zu einer Hilbert--Schmidt--Resolvente und zu einem rein diskreten (einfachen) Spektrum $\sigma(\ot_-)=\sigma_{disc}(\ot_-)$ (unabh\"angig von den Randbedingungen bei $c$). \es \bb Man w\"ahle in Lemma \ref{lemvv} $V \equiv 1$ und \"ubernehme die Absch\"atzung f\"ur den Randpunkt 0. Der Randpunkt $c$ ist regul\"ar und bereitet daher keine Schwierigkeiten. $he_\lam^m(k,y)$ ist nat\"urlich durch eine Linearkombination von $je_\lam^m$ und $he_\lam^m$ zu ersetzen, die die Randbedingung bei $c$ erf\"ullt. \eb \bs \label{relkomp} Sei $V$ reellwertig mit ${\rm Min}(1,\sqrt{y}) V(y) \in \lz(0,\infty)$, dann ist ${\rm V}$ relativkompakt bez\"uglich $\ot$. Der Operator \be \ot +{\rm V} \ee ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und f\"ur das wesentliche Spektrum gilt: \be \sigma_{ess}(\ot+{\rm V}) = \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty) \ee Liegt $V$ noch zus\"atzlich in $\lei (0,\infty)$, so gilt: \be \sigma_{ac}(\ot+{\rm V})=[0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot+{\rm V})=\emptyset \ee Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach. \es \bb Wegen Lemma \ref{lemstst} gilt $\dbt \subset \db({\rm V})$ und wegen Lemma \ref{lemvv} ist {\rm V} relativkompakt. Die Aussage \"uber das wesentliche Spektrum folgt dann aus Lemma \ref{lemvv}, \cite{rs} Satz XIII.14 und den darauffolgenden Korollaren 1 und 2, der Rest aus \cite{wd1} Satz 5.1. \eb % % Kapitel 2 % \chapter{Delta--Wechselwirkung in sph\"aroidalen Koordinaten} \section[Zerlegung des Raumes $\lz({\Bbb R}^3)$]{Zerlegung des Raumes $\lz(\mb{\Symb R}^3)$} Der geeignete Hilbertraum f\"ur sph\"aroidale Koordinaten ist wegen Gleichung (\ref{dv}) durch \be \label{hrspko} \hr_1 = \lz(\Omega;\xi^2-\eta^2) \qquad \Omega=(1,\infty)\times (-1,1) \times (0,2 \pi) \ee gegeben. Wir f\"uhren zun\"achst den \"Ubergang von kartesischen auf sph\"aroidale Koordinaten mit Hilfe einer unit\"aren Transformation $\hat{\rm U}$ durch: \bea \nn \hat{\rm U}: \quad \lz(\R^3) &\rightarrow & \hr_1\\ \Psi(x,y,z) & \mapsto & \hat{\Psi}(\xi,\eta,\varphi)=({\rm U} \Psi)(\xi,\eta,\varphi) = \\ \nn && \Psi(a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \cos \varphi, a \sqrt{(\xi^2 - 1)(1 - \eta^2)} \sin \varphi,a \xi \eta) \eea Weiters f\"uhren wir den Hilbertraum \be \hr_2 =\lz(\Omega; \xi^2-1) \ee ein und halten fest, da\ss{} wegen \bd \forall (\xi,\eta,\varphi) \in \Omega : \quad 0 \le \xi^2 -1 \le \xi^2 -\eta^2 \Rightarrow \hspace*{1cm} \ed \bd \hspace*{4cm} \int_\Omega |f|^2 (\xi^2-1) d\omega \le \int_\Omega |f|^2 (\xi^2-\eta^2) d\omega \ed mit $ d\omega = d\xi \, d\eta \, d\varphi$\\ aus $f \in \hr_1$ auch $f \in \hr_2$ folgt: \be \hr_1 \subset \hr_2 \ee Die Umkehrung gilt offenbar nicht -- betrachte $f=\exp(-\xi)/\sqrt{\xi^2-1}$ ! Der Raum $\hr_2$ ist isomorph zum Tensorprodukt (vgl. z.B. \cite{pr} Satz II 6.9) \be \label{hrtp} \hr_2 \simeq \lz((1,\infty);\xi^2-1) \otimes \lz(-1,1) \otimes \lz(0,2\pi) \ee der Teilr\"aume des $J(\xi),S(\eta)$ und $\Theta(\vphi)$--Anteils. Und da die Funktionen $\exp({\rm i} m \varphi)$ und $S^m_n(\gamma,\eta)$ vollst\"andige Orthogonalsysteme f\"ur $\lz(0,2 \pi)$ und $\lz(-1,1)$ bilden, ist \be Y\!S^m_n(\gamma,\eta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Lambda^m_n} S^m_n(\gamma,\eta) {\rm e}^{\D {\rm i} m \varphi} \qquad n \in \N_0, m \in \Z, m \le n \ee ein vollst\"andiges Orthonormalsystem f\"ur $\lz(-1,1) \otimes \lz(0,2 \pi)$ (vgl. \cite{pr} Satz II 6.11). Es kann somit jedes Element aus $\hr_2$ -- also insbesondere jedes Element aus $\hr_1$ -- in der folgenden Form geschrieben werden: \be f(\xi,\eta,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=-n}^{n} f_{n,m}(\xi) \, Y\!S^m_n(\gamma,\eta,\varphi) \qquad \gamma^2 \in \R \ee mit geeigneten Funktionen $f_{n,m}(\xi) \in \lz((1,\infty);\xi^2-1)$.\\ Anmerkung: Bei der Verwendung der Notation des Buches \cite{mf} w\"are als Gewichtsfunktion $\xi^2$ anstelle von $\xi^2-1$ aufgetreten, und es w\"urde der oben angegebene Zusammenhang nicht mehr gelten (betrachte $f= 1/(\xi^2-\eta^2)$)! Es ist also nicht mehr gew\"ahrleistet, da\ss{} $\hr_2$ gen\"ugend Funktionen enth\"alt. \section{Einf\"uhrung der $\delta$--Wechselwirkung} Es soll nun eine $\delta$--Wechselwirkung mit Hilfe von selbstadjungierten Fortsetzungen eingef\"uhrt werden. Dazu sei zun\"achst der Operator des Radialteils (genauer gesagt dessen Liouvillesche Normalform) noch einmal angegeben: \be \ba{rcl} \ot: \dbt &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto & \ot f = \tau f\\ \ea \ee \be \ba{ll} \dbt = \{ f \in \lz(0,\infty) | & \! f \in \acel(0,\infty) ,\; \tau f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \! \lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y}=0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \! \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee \be \tau= -\frac{d^2}{dy^2} + \frac{\lam}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2} \ee Wir wollen nun die selbstadjungierten Fortsetzungen des Operators \be \ba{rcl} \hat{\ot}: \db(\hat{\ot}) &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto & \ot f = \tau f\\ \ea\\ \ee mit Definitionsbereich \be \db(\hat{\ot})= \{ f \in \dbt | f(d)=0 \} \qquad \mb{ mit } d>0 \ee aufsuchen. Dazu m\"ussen wir zuerst den adjungierten Operator berechnen. Es m\"ussen also alle $f$ gefunden werden, f\"ur die ein $h \in \lz(0,\infty)$ existiert, so da\ss{}: \be \label{adjh} \int\limits_0^\infty \ol{f} \tau g \, dy = \int\limits_0^\infty \ol{h} g \, dy \qquad \forall g \in \db(\hat{\ot}) \ee Beschr\"anken wir uns zun\"achst auf Funktionen $g \in \db(\hat{\ot})$ mit $g(y)=0$ f\"ur $y \le d$, so folgt, da\ss{} die Einschr\"ankung von $f$ auf $(d,\infty)$ im Definitionsbereich des zu \be \ba{rcl} \ot_+ : \db(\ot_+) &\rightarrow & \lz(d,\infty) \\ f & \mapsto & \ot_+ f = \tau f \ea \ee \be \db(\ot_+) = \{ f \in \lz(d,\infty) | f \in \acel(d,\infty) ; \tau f \in \lz(d,\infty) ; f(d)=f'(d)=0 \} \ee adjungierten Operators liegt. Dieser ist wegen \cite{wd} Satz 8.22, Hilfssatz 8.28 (vgl. auch Satz 8.25) und Satz 5.3 c durch \be \ot_+^* f = \tau f \ee \be \db(\ot_+^*) = \{ f \in \lz(d,\infty) | f \in \acel(d,\infty) ; \tau f \in \lz(d,\infty) \} \ee gegeben. Eine \"ahnliche Rechnung mit $g(y)=0$ f\"ur $y \ge d$ liefert dann insgesamt: \be \ba{ll} \db(\hat{\ot}^*) \subset \{ f \in \lz(0,\infty) | \!\! & f \in \acel((0,\infty) \backslash \{ d \}); \; \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee mit $(\hat{\tau} f)(y) = (\tau f)(y)$ f\"ur $y \ne d$\\[2mm] Sei nun $f \in \db(\hat{\ot}^*)$: \bea \nn \int\limits_0^\infty \ol{f} \tau g \, dy &=& W(\ol{f},g)_{d+} + \int\limits_0^d \ol{\tau f} g \, dy - W(\ol{f},g)_{d-} + \int\limits_d^\infty \ol{\tau f} g \, dy\\ &=& g'(d)\ol{(f(d+)-f(d-))} + \int\limits_0^\infty \ol{\hat{\tau} f} g \, dy \qquad \forall g \in \db(\hat{\ot}) \eea Einsetzen in Gleichung (\ref{adjh}) liefert: \be \int\limits_0^\infty (\ol{\hat{\tau} f - h}) g \, dy = g'(d)\ol{(f(d+)-f(d-))} \ee Da dies insbesondere f\"ur Funktionen $g \in \db(\hat{\ot})$ mit $g'(d)=0$ gelten mu\ss{} (und diese dicht liegen), folgt $h = \hat{\tau} f$. Und das wiederum ergibt: \be f(d+)=f(d-) \equiv f(d) \ee Der adjungierte Operator $\hat{\ot}^*$ zu $\hat{\ot}$ ist also durch \be \ba{ll} \db(\hat{\ot}^*) = \{ f \in \lz(0,\infty) | \!\! & f \in \mb{AC}_{loc}(0,\infty) ; \\ & f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d \}); \; \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \lim_{y\to 0} (f-2 y f')/ \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee \be \hat{\ot}^* f = \hat{\tau} f \ee gegeben. Wir ben\"otigen noch den Abschlu\ss{} von $\hat{\ot}$ und berechnen daher $\hat{\ot}^{**}$ (\cite{wd} Satz 5.3b). Es gilt $\db(\hat{\ot}^{**}) \subset \dbt$ ($\ot \subset \hat{\ot}^* \Rightarrow \hat{\ot}^{**} \subset \ot^* = \ot$). Es m\"ussen also alle $f \in \dbt$ gefunden werden, f\"ur die ein $h \in \lz(0,\infty)$ existiert, so da\ss{}: \be \int\limits_0^\infty \ol{f} \hat{\tau} g \, dy = \int\limits_0^\infty \ol{h} g \, dy \qquad \forall g \in \db(\hat{\ot}^{*}) \ee Es gilt nun \bea \nn \int\limits_0^\infty \ol{f} \hat{\tau} g \, dy &=& \int\limits_0^d \ol{f} (-g'' +q g) dy +\int\limits_d^\infty \ol{f} (-g'' + q g) dy \\ &=& \ol{f}(d)(g'(d-)-g'(d+)) + \int\limits_0^\infty \ol{\hat{\tau} f} g \, dy \eea insgesamt folgt also: \be \int\limits_0^\infty (\ol{\hat{\tau} f - h}) g \, dy = \ol{f}(d)(g'(d+)-g'(d-)) \ee W\"ahlt man $g \in \dbt$, so folgt analog wie zuvor $h = \hat{\tau} f$ und $f(d)=0$. Also gilt: \be \hat{\ot}^{**}= \hat{\ot} \ee Um die Defektindizes zu erhalten, mu\ss{} die Gleichung \be \tau \rk = k^2 \rk \qquad \mb{ mit } \rk \in \db(\hat{\ot}^*) \mb{ und } \im(k^2) \ne 0 \ee untersucht werden, also alle Funktionen $\rk \in \nul(\hat{\ot}^*-k^2)$ gefunden werden. Die L\"osungen lauten: \be \rk(y,d)= \frac{\I}{k} \left\{ \ba{l@{\qquad}r} he^m_\lam(k,d) je^m_\lam(k,y) & y \le d\\ je^m_\lam(k,d) he^m_\lam(k,y) & d \le y \ea \right. \ee Dabei wurde $k=\sqrt{k^2}$ \"uber $\arg(k) \in [0,\pi)$ festgelegt, und $\rk(y,d)$ so normiert, da\ss{} der Sprung in der Ableitung genau $-1$ betr\"agt (Beachte Gl. (\ref{wrd2})). Ein Vergleich mit (\ref{resk}) rechtfertigt die Bezeichnung. Die Defektindizes lauten (1,1), sind also gleich. Eine selbstadjungierte Fortsetzung ist m\"oglich.\\ Aus \cite{wd} Satz 8.12 folgt, da\ss{} alle selbstadjungierten Erweiterungen $\ot_\theta$ von $\hat{\ot}$ durch die Angabe eines unit\"aren Operators \be {\rm U}_\theta : \quad \spa{{\rm R_+}} \rightarrow \spa{ {\rm R_-} } \ee mit ${\rm R}_\pm(y) = {\rm R_{\sqrt{\pm \I}}}(y,d)$\\ charakterisiert werden k\"onnen. Wegen $\| {\rm R_+} \| = \| {\rm R_-} \|$ (Beachte ${\rm R_+}(y) = \ol{ {\rm R_-}(y)}$) sind alle unit\"aren Operatoren durch \be \ba{rcl} {\rm U}_\theta : \spa{{\rm R_+}} &\rightarrow & \spa{ {\rm R_-} }\\ c {\rm R_+} & \mapsto & {\rm U}_\theta (c {\rm R_+}) = {\rm e}^{\I \theta} c {\rm R_-} \ea \ee mit $c \in \C$ und $\theta \in (-\pi ,\pi]$\\ gegeben. Einsetzen in Satz 8.12 liefert dann endg\"ultig: \be \ot_\theta (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-}) = \tau f + \I c {\rm R_+} - \I c \, {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-} \ee \be \db(\ot_\theta) = \{ f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-} \, |f \in \db(\hat{\ot}), c \in \C \} \ee Wir k\"onnen sie auch mit Hilfe von Randbedingungen beschreiben: \bea \nn (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})'(d+) - (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})'(d-) = -c(1 + {\rm e}^{\I \theta}) &&\\ \nn = - \frac{1 +{\rm e}^{\I \theta}}{{\rm R_+}(d) + {\rm e}^{\I \theta}{\rm R_-}(d) } (c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})(d) &&\\ \label{randalph} = \alpha (\theta) (f + c {\rm R_+} + c \, {\rm e}^{\I \theta} {\rm R_-})(d) && \eea mit \be \alpha (\theta) = \D \frac{ -|{\rm R_+}(d)|^{-1} \cos \D \frac{\theta}{2}}{\cos \Big( \D \frac{\theta}{2} - \arg({\rm R_+}(d))\Big)} = \frac{-1}{\re({\rm R_+}(d)) + \im({\rm R_+}(d)) \tan \D \frac{\theta}{2} } \ee Dabei wurde im ersten Schritt Gleichung (\ref{wrd2}) und im letzten $f(d)=0$ verwendet. F\"ur die Umformung von $\alpha$ wurde ${\rm R_+}(y) = \ol{\rm R_-}(y) \ne 0$ und einige elementare trigonometrische Formeln verwendet. Ist ${\rm R}_+(d) \not\in \R$, so durchl\"auft $\alpha$ ganz $\R$, wenn $\theta$ Werte zwischen $-\pi$ und $\pi$ durchl\"auft. ${\rm R}_+(d) \in \R$ w\"urde aber bedeuten, da\ss{} der Operator $\ot_\alpha$ aus Satz \ref{saalpha} mit $\alpha=1/{\rm R}_+(d)$ (der auf jeden Fall symmetrisch ist) eine Eigenfunktion (${\rm R}_\pm(y)$) zu einem komplexen Eigenwert ($k^2=\pm \I$) h\"atte --- Widerspruch (Man setze ${\rm R}_\pm (y)$ in (\ref{randalph}) ein.). Alle selbstadjungierten Erweiterungen $\ot_\theta$ k\"onnen also auch mit $\alpha \in \R \cup \{ \infty\}$ parametrisiert werden ($\alpha(\theta)$ ist offensichtlich eine Bijektion von $(-\pi,\pi]$ auf $\R \cup \{ \infty\}$), und wir haben folgenden \bs \label{saalpha} Der Operator $\ot_\alpha$ ist auf $\db(\ot_\alpha)$ selbstadjungiert. \es \be \ot_\alpha f = \hat{\tau} f \ee \be \ba{ll} \db(\ot_\alpha) = \{ f \in \lz(0,\infty) | & f \in \mb{AC}_{loc}(0,\infty) \; ; f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d \}); \\ & \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; f'(d_+)-f'(d_-)=\alpha f(d)\\ &\lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee Der Fall $\alpha=0$ entspricht dem urspr\"unglichen Operator des Radialteils: T$_0$=T. Der Fall $\alpha \ne 0$ entspricht einer Wechselwirkung, die formal beschrieben wird, indem man in Gleichung (\ref{pot1}) $W_1= \alpha \, \delta(\cosh \rho - d/a-1)$ und $W_2=W_3=0$ setzt.\footnote{$\delta(x)$\dots Deltadistribution} Der Fall $\alpha=\infty$ zerlegt $(0,\infty)$ in die beiden Teilintervalle $(0,d)$ und $(d,\infty)$: \be \ba{ll} \db(\ot_\infty) = \{ f \in \lz(0,\infty) | & f \in \mb{AC}_{loc}(0,\infty) \; ; f' \in \mb{AC}_{loc}((0,\infty) \backslash \{ d \}); \\ & \hat{\tau} f \in \lz(0,\infty) ; f(d)=0\\ &\lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee Wir wollen nun noch etwas \"uber die Eigenwerte von $\ot_\alpha$ sagen. $\rk(y,d)$ ist genau dann Eigenfunktion von $\ot_\alpha$, wenn die Randbedingung bei $d$ (\ref{randalph}) erf\"ullt ist. Was auf folgende Gleichung f\"uhrt: \be 1+\alpha \rk(d,d) = 0 \ee Um die Eigenwerte unseres Operators im $\R^3$ zu erhalten, mu\ss{} also die Gleichung \be 1 + \frac{\I \alpha}{k} je^m_n(k,d) he^m_n(k,d) = 0 \ee gel\"ost werden. \bs Die Resolvente $\rk^\alpha$ ist ein Integraloperator mit folgendem Kern: \es \be \label{resrka} \rk^\alpha(y,y') = \rk(y,y') -\frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \rk(y,d) \rk(d,y') \qquad k^2 \in \rho(\ot_\alpha) \cap \rho(\ot) \ee \bb Der Operator $\rk^\alpha$ ist offensichtlich auf ganz $\lz(0,\infty)$ definiert und beschr\"ankt (da $\rk$ diese Eigenschaften besitzt und der zweite Summand endlichdimensional ist). Wir zeigen zuerst, da\ss{} f\"ur $g \in \lz(0,\infty)$ $h_\alpha=\rk^\alpha g$ die Randbedingung erf\"ullt. \beas h_\alpha(y) &=& (\rk^\alpha g)(y) \\ &=& \int \limits_0^\infty \left( \rk(y,y') - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \rk(y,d) \rk(d,y')\right) g(y') \, dy' \eeas Wir notieren \bd h_\alpha(d) = \frac{1}{1+\alpha \rk(d,d)} \int\limits_0^\infty \rk(d,y') g(y') \, dy' \ed und erhalten damit: \beas h'_\alpha(d_+)-h'_\alpha(d_-) & = & - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \int \limits_0^\infty \rk(d,y') g(y') \, dy' \times \\ && \Big( \rk(d_+,d)' - \rk(d_-,d)' \Big) = \alpha h_\alpha(d) \eeas Dabei wurde $\rk(d_+,d)' - \rk(d_-,d)' = \I (je^m_\lambda(k,d) he^m_\lambda(k,d)' - je^m_\lambda(k,d)' he^m_\lambda(k,d)) / k = 1$ verwendet (vgl. Gl. (\ref{wrd2})). Damit ist offensichtlich $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$. Nun berechnen wir $(\hat{\tau} - k^2) h_\alpha$: \beas \Big( (\hat{\tau} - k^2) h_\alpha \Big) (y) &=& \Big( (\tau - k^2)R_k g \Big) (y) - \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \times \\ && \int \limits_0^\infty \rk(d,y') g(y') \, dy' \: (\hat{\tau} - k^2) \rk(y,d) =g(y) \eeas (Beachte: $ (\hat{\tau} - k^2) \rk(y,d)=0$) Aus diesen beiden Eigenschaften folgt, da $\ot_\alpha -k^2$ eine Bijektion von $\db(\ot_\alpha)$ auf $\lz(0,\infty)$ ist, da\ss{} $\ran(\rk^\alpha)=\db(\ot_\alpha)$ gilt. Alle $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$ lassen sich also in der Form \bd h_\alpha = \rk^\alpha g \qquad g \in \lz(0,\infty) \ed schreiben. Daraus folgt: \bd \rk^\alpha (\ot_\alpha - k^2) h_\alpha = \rk^\alpha (\ot_\alpha - k^2) \rk^\alpha g =\rk^\alpha g = h_\alpha \ed Also insgesamt: \bd \rk^\alpha = (\ot_\alpha - k^2)^{-1} \quad k^2 \in \rho(\ot_\alpha) \cap \rho(\ot) \ed Die Behauptung ist damit bewiesen. \eb Aus dem Beweis folgt unmittelbar: \bk Jedes $h_\alpha \in \db(\ot_\alpha)$ l\"a\ss{} t sich eindeutig in der Form \be h_\alpha = \rk^\alpha g \qquad g \in \lz(0,\infty) \ee schreiben. Weiter gilt: \be (\hat{\tau} -k^2)h_\alpha = g \ee \ek F\"ur $\rk^\infty$ gilt: \bea \nn h_\infty(y) &=& (\rk^\infty g)(y) = \int \limits_0^\infty \left( \rk(y,y') - \frac{\rk(y,d) \rk(d,y')}{\rk(d,d)} \right) g(y') \, dy' \\\label{restinf} &=& \left\{ \ba{l} \left( he^m_\lam(k,y) - \frac{he^m_\lam(k,d)}{je^m_\lam(k,d)} je^m_\lam(k,y) \right) \int\limits_0^y je^m_\lam(k,y') g(y') \, dy' +\\ je^m_\lam(k,y) \int\limits_y^d \left( he^m_\lam(k,y') - \frac{he^m_\lam(k,d)}{je^m_\lam(k,d)} je^m_\lam(k,y') \right) g(y') \, dy' \qquad y \le d\\ \\ he^m_\lam(k,y) \int\limits_d^y \left( je^m_\lam(k,y') - \frac{je^m_\lam(k,d)}{he^m_\lam(k,d)} he^m_\lam(k,y') \right) g(y') \, dy'+\\ \left( je^m_\lam(k,y) - \frac{je^m_\lam(k,d)}{he^m_\lam(k,d)} he^m_\lam(k,y) \right) \int\limits_y^\infty he^m_\lam(k,y') g(y') \, dy'\qquad y \ge d \ea\right. \eea Daraus ersieht man deutlich die Entkopplung der beiden Teilintervalle. \bs F\"ur das wesentliche Spektrum von $\ot_\alpha$ gilt: \be \sigma_{ess}(\ot_\alpha) = \sigma_{ess}(\ot)=[0,\infty) \ee \be \sigma_{ac}(\ot)=[0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot)=\emptyset \ee Das Punktspektrum ist einfach und es gilt: \be \sigma_p(\ot) \subset (-\infty,0] \ee \es \bb Der erste Teil folgt mit dem Satz von Weyl (\cite{rs} Satz XIII.14) aus Satz \ref{spekj} und der Tatsache, da\ss{} die Resolventen sich nur um einen endlichdimensionalen (also kompakten) Anteil unterscheiden. Sei nun $\vphi \in \mb{C}^\infty_0(0,\infty)$, $p>1$ beliebig und $00$ einen Skalierungs-- und Verschiebungsoperator $\se$ ein (vgl. \cite{ag}): \be \ba{rcl} \se : \; \lz(0,\infty) &\to& \lz(0,\infty) \\ f(y) &\mapsto& \left\{ \ba{cl} \frac{1}{\sqrt{\eps}} f(\frac{y-d}{\eps}) & y > d \\ 0 & y \le d \ea \right. \ea \ee Es ist leicht zu sehen, da\ss{} $\se$ isometrisch ist. Der adjungierte Operator $\see$ ist durch \be \ba{rcl} \see : \; \lz(0,\infty) &\to& \lz(0,\infty) \\ f(y) &\mapsto& \sqrt{\eps} f(\eps y+d) \ea \ee gegeben. Wir w\"ahlen zun\"achst eine reellwertige Funktion $V \in \lei (0,\infty) \cap \lz (0,\infty)$ und definieren: \be u(y)= {\rm sgn}(V(y)) \sqrt{|V(y)|} \qquad v(y)= \sqrt{|V(y)|} \ee Es gilt: $u,v \in \lz(0,\infty)$ und $V=uv$. Wir berechnen nun den Grenzwert des Operators \be \ba{rcl} \ot(\eps) : \; \db(\ot) &\to& \lz(0,\infty) \\ f &\mapsto& \tau f + V_\eps f \ea \qquad \eps > 0 \ee mit $ \D V_\eps(y)= \frac{1}{\sqrt{\eps}} (\se V)(y)= \left\{ \ba{cl} \frac{1}{\eps} V(\frac{y-d}{\eps}) & y > d \\ 0 & y \le d \ea \right.$\\[2mm] F\"ur sp\"ater f\"uhren wir noch folgende Abk\"urzung ein: \be \alpha = \int_0^\infty V_\eps (y) \, dy = \int_0^\infty V(y) \, dy \ee Aus Satz \ref{relkomp} folgt: \bl $\ot(\eps)$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert und es gilt: \be \sigma_{ess} (\ot(\eps)) = \sigma_{ess} (\ot) = [0,\infty) \ee Es gilt sogar: \be \sigma_{ac} (\ot(\eps)) = [0,\infty) \qquad \sigma_{sc} (\ot(\eps)) = \emptyset \ee Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach. \el Wir berechnen zuerst die Resolvente von $\ot(\eps)$. Dazu gehen wir von der zweiten Resolventengleichung (\cite{wd} Satz 5.13 c) aus: \bea \nn (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)^{-1} &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)^{-1}\\ \nn &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)^{-1} \rk^{-1} \rk\\ \nn &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps [\rk (\ot + {\rm V}_\eps - k^2)]^{-1} \rk\\ &=& \rk - \rk {\rm V}_\eps (1 + \rk {\rm V}_\eps)^{-1} \rk \eea Der zweiten Summand soll nun schrittweise vereinfacht werden: \bea \nn (\rk {\rm V}_\eps f)(y) &=& \int_0^\infty \rk(y,y') (\se u)(y') (\se v)(y') f(y') \, dy'\\ \nn &=& \frac{1}{\eps} \int_0^\infty (\see \rk(y,y')) u(y') v(y') (\see f)(y') \, dy'\\ \nn &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} \int_0^\infty \rk(y,\eps y'+ d) u(y') v(y') (\see f)(y') \, dy' \\ \nn &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} \int_0^\infty {\rm A}_\eps(y,y') v(y') (\see f)(y') \, dy'\\ &=& \frac{1}{\sqrt{\eps}} ({\rm A}_\eps v \see f)(y) \eea Weiter berechnen wir: \be (1 + \rk {\rm V}_\eps)^{-1} g = f \ee \bea \nn g(y) &=& f(y) + \int_0^\infty \rk(y,y') (\se u)(y') (\se v)(y') f(y') \, dy'\\ &=& f(y) + \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{\eps}} \rk(y,\eps y'+ d) u(y') v(y') (\see f)(y') \, dy' \eea \bea \nn (v \see g)(y) &=& (v \see f)(y) + \int_0^\infty v(y) \rk(\eps y+d,\eps y'+d) u(y') v(y') (\see f)(y') \, dy'\\ \nn &=& (v \see f)(y) + \int_0^\infty {\rm B}_\eps(y,y') v(y') (\see f)(y') \, dy'\\ &=& (1 + {\rm B_\eps} v \see f)(y) \eea\\[3mm] \be v \see f = (1+ {\rm B}_\eps)^{-1} v \see g \ee Zuletzt berechnen wir: \bd \rk h = g \ed \bea \nn (v \see g)(y) &=& \sqrt{\eps} \int_0^\infty v(y) \rk(\eps y+d,y') h(y') \, dy'\\ &=& \nn \sqrt{\eps} \int_0^\infty {\rm C}_\eps(y,y') h(y') \, dy'\\ &=& \sqrt{\eps} ({\rm C}_\eps h)(y) \eea Und damit insgesamt: \be (\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk + {\rm A}_\eps (1 + {\rm B}_\eps)^{-1} {\rm C}_\eps \ee \bl Es gilt: \bea && {\rm A}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm A}_\eps(y,y') = \rk(y,d) u(y') \\ && {\rm B}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm B}_\eps(y,y') = v(y) \rk(d,d) u(y') \\ && {\rm C}(y,y') = \lim_{\eps \downarrow 0} {\rm C}_\eps(y,y') = v(y) \rk(d,y') \eea Die Konvergenz ist im Sinne der Hilbert--Schmidt--Norm gemeint. \el \bb Aus Lemma \ref{lemvv} folgt, da\ss{} $ {\rm A}_\eps, {\rm B}_\eps, {\rm C}_\eps$ Hilbert--Schmidt--Operatoren sind, da $u,v \in \lz(0,\infty)$ gilt. Da\ss{} auch A, B und C Hilbert--Schmidt--Operatoren sind, ist offensichtlich. Da schwache Konvergenz \bd \wlim_{\eps \downarrow 0} {\rm A}_\eps = {\rm A} \quad \wlim_{\eps\downarrow 0}{\rm B}_\eps = {\rm B} \quad \wlim_{\eps \downarrow 0} {\rm C}_\eps = {\rm C} \ed aus dem Satz \"uber die majorisierte Konvergenz (\cite{he}) folgt (geeignete Majoranten lassen sich leicht mit den Absch\"atzungen aus Lemma \ref{lemvv} konstruieren), gen\"ugt es (\cite{si} Satz 2.21) \bd \lim_{\eps \downarrow 0} \|{\rm A}_\eps\|_{HS} = \|{\rm A}\|_{HS} \quad \lim_{\eps \downarrow 0} \|{\rm B}_\eps\|_{HS} = \|{\rm B}\|_{HS} \quad \lim_{\eps \downarrow 0} \|{\rm C}_\eps \|_{HS} = \|{\rm C}\|_{HS} \ed zu zeigen. Das folgt aber wieder aus dem Satz \"uber die majorisierte Konvergenz. \eb Wir k\"onnen nach dieser Vorarbeit nun den zentralen Satz dieses Abschnitts beweisen: \bs Sei $V \in \lei (0,\infty) \cap \lz (0,\infty)$, reellwertig und $d>0$. Dann strebt $\ot(\eps)$ gegen $\ot_\alpha$ im Normresolventen--Sinn: \be \nlim_{\eps \downarrow 0} (\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk^\alpha \qquad k^2 \in \C \backslash \R \ee mit \be \alpha = \int_0^\infty V(y) \, dy \ee \es \bb Wir wissen bereits: \bd \nlim_{\eps \downarrow 0} (\ot(\eps)-k^2)^{-1} = \rk - {\rm A} (1+{\rm B})^{-1} {\rm C} \ed und m\"ussen nur noch $(1+{\rm B})^{-1}$ berechnen: \bd (1+{\rm B})^{-1} f = g \qquad f,g \in \lz(0,\infty) \ed \beas f &=& g + {\rm B} g = g + \rk(d,d) v \spr{u}{g}\\ &=& g + \rk(d,d) v \spr{u}{f} - \rk(d,d)^2 v \spr{u}{v} \spr{u}{g}\\ &=& g + \rk(d,d) v \spr{u}{f} - \rk(d,d) \spr{u}{v} (f-g)\\ \eeas Aufl\"osen nach $g$ ergibt: \bd g = f - \frac{\rk(d,d) v \spr{u}{f}}{1 +\rk(d,d) \spr{u}{v}} \ed Damit folgt schlie\ss{} lich: \bd ({\rm A} (1+{\rm B})^{-1} {\rm C} )(y,y') = \frac{\alpha}{1+\alpha \rk(d,d)} \rk(y,d) \rk(d,y') \ed Ein Vergleich mit (\ref{resrka}) beendet den Beweis. \eb Der Satz besagt anschaulich, da\ss{} die auf einem Rotationsellipsoid konzentrierte Wechselwirkung eine N\"aherung f\"ur ein hohes, nur in einer kleinen Umgebung des Rotationsellipsoides wesentlich von Null verschiedenen Potentials ist. Das Ergebnis ist nicht verwunderlich, denn es gilt: \be \lim_{\eps \downarrow 0} \int_0^\infty V_\eps(y) \phi(y) dy = \lim_{\eps \downarrow 0} \int_0^\infty V(y) \phi(\eps y + d) dy = \int_0^\infty V(y) \phi(d) dy = \alpha \phi(d) \ee f\"ur alle auf $(0,\infty)$ stetigen und beschr\"ankten $\phi$. (Im zweiten Schritt wurde die Beschr\"anktheit von $\phi$ und der Satz \"uber die majorisierte Konvergenz verwendet.). Es gilt also \be \lim_{\eps \downarrow 0} V_\eps(y) \stackrel{D}{=} \alpha \delta(y-d) \ee im Distributionen--Sinn. Vergleiche \cite{st} f\"ur eine einfache Einf\"uhrung in die Distributionentheorie und \cite{st} \"Ubungsaufgabe 2.4, wo ein schw\"acheres Ergebnis bewiesen wird. % % Kapitel 3 % \chapter{$\rm H_2^+$--Ion in sph\"aroidalen Koordinaten} \section{Einf\"uhrung der Wechselwirkung} Im Anschlu\ss{} an Abschnitt 1 Gleichung (\ref{pot}) wollen wir nun ein quantenmechanisches Teilchen, das sich im Potential zweier Punktladungen befindet untersuchen. Das Modell wird durch die Schr\"odingergleichung (\ref{sg}) mit folgendem Potential beschrieben: \be V = \frac{C_1}{r_1} + \frac{C_2}{r_2} \ee $C_{1,2}$ sind ein Ma\ss{} f\"ur die St\"arke der Ladung und $r_{1,2}$ bezeichnet den Abstand des Teilchens von der Ladung. Die Lage der Punktladungen ist dabei als fest angenommen. Ihre Wechselwirkungsenergie ist deshalb konstant und wird auf 0 normiert. W\"ahlt man $C_1=C_2$, so erh\"alt man ein Modell f\"ur das $\rm H_2^+$--Ion (vgl. \cite{sw}). W\"ahlen wir unser (sph\"aroidales) Koordinatensystem so, da\ss{} die Punktladungen in den Brennpunkten liegen, so ist das Potential wegen (\ref{pot1}) und (\ref{pot}) durch \be V = \frac{a^2 \left( W_1(\frac{r_1+r_2}{2a}) + W_2(\frac{r_1-r_2}{2a}) \right)}{r_1 r_2} \ee mit \be W_1(\xi)= \frac{C_2+C_1}{a} \xi \qquad W_2(\eta)= \frac{C_2-C_1}{a} \eta \ee gegeben. Einsetzen des Produktansatzes (\ref{psi}) in die Schr\"odingergleichung (\ref{sg}) liefert die neuen Separationsgleichungen: \bea \frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} J - [\lambda - \gamma^2 (\xi^2-1) + \frac{m^2}{\xi^2-1} + a^2 W_1(\xi) ] J &=& 0\\ \frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} S + [\lambda + \gamma^2 (1-\eta^2) - \frac{m^2}{1-\eta^2}- a^2 W_2(\eta) ] S &=& 0\\ \frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta + m^2 \Theta &=& 0 \eea Der $\Theta(\varphi)$--Anteil bleibt also unver\"andert. Der $S(\eta)$ bleibt ebenfalls unver\"andert, falls $C_1=C_2$ ist. Umschreiben zeigt, da\ss{} noch immer drei (verkoppelte) Sturm--Liouville--Probleme vorliegen: \bea \frac{1}{a^2(\xi^2-1)} \left[ -\frac{d}{d\xi}(\xi^2-1)\frac{d}{d\xi} + \lam + \frac{m^2}{\xi^2-1} + a^2 W_1(\xi) \right] J &=& k^2 J \hspace{5mm} \xi \in (1,\infty) \quad\\ \left[ -\frac{d}{d\eta}(1-\eta^2)\frac{d}{d\eta} - \gamma^2 (1-\eta^2) + \frac{m^2}{1-\eta^2} - a^2 W_2(\eta) \right] S &=& \lam S \hspace{6.5mm} \eta \in (-1,1) \quad \\ -\frac{d^2}{d\varphi^2} \Theta &=& m^2 \Theta \hspace{4mm} \vphi \in (0,2 \pi) \quad \eea Wir wollen nun die beiden ersten Gleichungen etwas genauer untersuchen. \section{Untersuchung des $S(\eta)$--Anteils} Der zu untersuchende Operator lautet: \be \ba{rcl} \ot: \dbt &\rightarrow & \lz (-1,1) \\ u & \mapsto & \ot u = \tau u\\ \ea\\ \ee \be \tau u = -((1-x^2)u' \,)'-\gamma^2 (1-x^2) \, u + \frac{m^2}{1-x^2} u + \hat{C}_2 x \, u \qquad \gamma^2=(a k)^2 \in \R , m^2 \in \N_0 \ee mit $\hat{C}_2=a (C_1 - C_2) \in \R$ und \be \ba{ll} \dbt= \{ u \in \lz (-1,1) | & u \in \acel (-1,1) ,\; \tau u \in \lz (-1,1) , \\ & \lim_{x \to \pm 1} (1 \mp x) u'(x)=0 \mb{ f\"ur } m=0 \} \ea \ee \bs Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. Sein Spektrum ist rein diskret und einfach: \be \sigma(\ot)=\sigma_{disc}(\ot) \ee Die zugeh\"origen Eigenfunktionen bilden daher ein vollst\"andiges Orthogonalsystem. \es \bb Die Behauptungen folgen aus den S\"atzen in Abschnitt 1.3, wenn man beachtet, da\ss{} $\hat{C}_2 x$ eine beschr\"ankte (also relativkompakte) St\"orung darstellt. \eb Die charakteristischen Exponenten bleiben ebenfalls unver\"andert. \section{Untersuchung des $J(\xi)$--Anteils} Wir geben gleich die Liouvillesche Normalform an: \be \ba{rcl} \ot: \dbt &\rightarrow & \lz(0,\infty) \\ f & \mapsto & \ot f = \tau f\\ \ea \ee \be \ba{ll} \dbt = \{ f \in \lz(0,\infty) | & \! f \in \acel(0,\infty) ,\; \tau f \in \lz(0,\infty) ; \\ & \! \lim_{y\to 0} (f-2 y f') / \sqrt{y} = 0 \mb{ f\"ur } m=0; \\ & \! \lim_{y\to 0} f(y)=0 \mb{ f\"ur } m=1\} \ea \ee \be \tau= -\frac{d^2}{dy^2} + \frac{\lam+\hat{C}_1 (y+a)}{y(y+2a)} + a^2 \frac{m^2-1}{y^2(y+2a)^2} \ee mit $\hat{C}_1=(C_1 + C_2) \in \R$\\ F\"ur $a = 0$ erh\"alt man den Radialteil des Coulombproblems mit einer Punktladung proportional zu $C_1 + C_2$. \bs Der Operator $\ot$ ist auf $\dbt$ selbstadjungiert. F\"ur das wesentliche Spektrum gilt: \be \sigma_{ess}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{ac}(\ot) = [0,\infty) \qquad \sigma_{sc}(\ot) = \emptyset \ee \be \sigma_p(\ot) \subset (-\infty,0] \ee Das Spektrum ist in $\R \backslash \{0\}$ einfach (insgesamt h\"ochstens zweifach). \es \bb Es k\"onnen die Beweise von Abschnitt 1.3 \"ubernommen werden. $q$ liegt zwar nicht in $\lei (1,\infty)$ ist in diesem Bereich aber von beschr\"ankter Variation, und es treffen weiterhin die Voraussetzungen von \cite{wd1} Satz 5.1 zu. \eb Die charakteristischen Exponenten bleiben ebenfalls unver\"andert, jedoch das Verhalten f\"ur $y \to \infty$ \"andert sich, da $q$ (wie bereits erw\"ahnt) nicht in $\lei (1,\infty)$ liegt. % % Anhang % \begin{appendix} \chapter{Weyl--Titchmarsh--Theorie} \section{Grundlagen} Die hier zusammengestellten Eigenschaften von Differentialgleichungen und deren L\"osungen findet man z.B. in \cite{cl}, \cite{in}, \cite{km}, \cite{wa}. Speziell Randwertprobleme im Hilbertraum, so wie sei hier dargestellt werden, finden sich in \cite{cl}, \cite{ds}, \cite{jr}, \cite{ls}, \cite{ne}, \cite{wd}.\\[2mm] Unser Ziel ist es, das Eigenwertproblem, das mit dem Differentialausdruck \be \label {daus} \tau f(x) = - \frac{d}{dx} p(x) \frac{d}{dx} f(x) + q(x) f(x) \qquad f \in \aceli \ee verkn\"upft ist, im Hilbertraum $\lzi$ zu untersuchen. $I$ sei dabei das offene Intervall $I=(a,b)\subset \R$. Wir verlangen: \begin{enumerate} \item $p \in \acli$, $p' \in \lz_{loc}(I)$, $p^{-1} \in \mb{L}^\infty_{loc}(I)$, reellwertig \item $q \in \lz_{loc}(I)$, reellwertig \end{enumerate} Ist $a$ endlich und kann der Index "`{\em loc}"' bei Einschr\"ankung auf das Intervall (a,c) (mit $a< c < b$) fortgelassen werden, so bezeichnet man den Randpunkt als regul\"ar, ansonsten als singul\"ar. Analoges gilt f\"ur $b$. Sind beide Randpunkte regul\"ar, so bezeichnen wir den ganzen Differentialausdruck (\ref{daus}) als regul\"ar. Der maximale Definitionsbereich f\"ur $\tau$ in $\lzi$ ist durch \be \db(\tau)= \{ f \in \lzi | f \in \aceli ,\; \tau f \in \lzi \} \ee gegeben. Wegen ${\rm C}^\infty_0(I) \subset \db(\tau)$ ist $\db(\tau)$ dicht.\\ Anmerkung: Wenn man $f \in \aceli$ durch $f,pf' \in \acli$ ersetzt, gen\"ugt es $1. \: p^{-1} \in \lei_{loc}(I)$, reellwertig und $2. \: q \in \lei_{loc}(I)$, reellwertig zu fordern. Die Dichtheit von $\db(\tau)$ ist dann aber nicht mehr offensichtlich.\\ Da wir an selbstadjungierten Operatoren $\ot$ \be \spr{g}{\ot f} = \spr{\ot g}{f} \qquad \forall g,f \in \db(\ot) = \db(\ot^*) \ee $\spr{g}{f}= \int_a^b \ol{g(t)} f(t) \, dt$\dots Skalarprodukt\\ interessiert sind, machen wir eine kleine Rechnung. Durch partielle Integration erh\"alt man ($a0$ f\"ur $c