DÉMONSTRATION DE L’OBSERVATION 2 D’ALMKVIST ET ZUDILIN

C. KRATTENTHALER ET T. RIVOAL

Le but de cette note est de donner une preuve de l’Observation 2 d’Almkvist et Zudilin [1, p. 487]. Il s’agit de l’observation numérique suivante. Posons

A_{n} = ∑_{0≤j,k≤n} \binom{n}{j}^{2}\binom{n}{k}^{2}\binom{n + j}{n}\binom{n + k}{n}\binom{j + k}{n}

et

w_{0}(z) = ∑_{n=0}^{∞} A_{n}z^{n} = 1 + 12z + 804z^{2} + 88680z^{3} + ⋯ ∈ ℤ[[z]].

Observation 2. Il existe u_{0}(z) ∈ ℤ[[z]] telle que w_{0}(z) = u_{0}(z)^{2}.

On va utiliser le critère suivant de Heninger et al. [2]. On note P_{n} l’ensemble de séries formelles F (z) ∈ 1 + zℤ[[z]] telles que F (z)^{1/n} ∈ 1 + zℤ[[z]] pour un entier n ≥ 1.

Lemme 1. Posons μ_{n} = n ∏_{p|n} p. On a

F (z) ∈ P_{n} ⟺ F (z) (mod μ_{n}) ∈ P_{n}.

Dans le cas de la série w_{0}(z), on a n = 2 et μ_{2} = 4. Il suffit donc de prouver que w_{0}(z) (mod 4) ∈ P_{2}. Or nous allons prouver que w_{0}(z) (mod 4) = 1, qui est bien dans P_{2}.

Théorème 1. Pour des entiers j, k, n ≥ 0, posons

a_{n}(j, k) = \binom{n}{j}^{2}\binom{n}{k}^{2}\binom{n + j}{n}\binom{n + k}{n}\binom{j + k}{n}.

Pour tous entiers n ≥ 1 et j, k ≥ 0, on a (a) v_{2}(a_{n}(j, k)) = 1 si, et seulement si, {j, k} = {0, n} et n est une puissance de 2.

(b) v_{2}(a_{n}(j, k)) ≥ 2 sinon.

Pour n ≥ 1, on a

A_{n} = a_{n}(0, n) + a_{n}(n, 0) + ∑_{0≤j,k≤n}′ a_{n}(j, k),

où le prime signifie que la sommation exclut les couples (j, k) = (0, n), (n, 0). Comme a_{n}(0, n) = \binom{2n}{n} = a_{n}(n, 0) est toujours pair (le pire cas étant donné par (a)), on en déduit le corollaire suivant.

Corollaire 1. Pour tout entier n ≥ 1, on a v_{2}(A_{n}) ≥ 2. En particulier, w_{0}(z) (mod 4) = 1 et l’Observation 2 est vraie.

Date: 1^{er} octobre 2008.

Démonstration du Théorème 1. Soit n ≥ 1. Il n’y a rien à prouver si j + k < n et on suppose maintenant que j + k ≥ n.

Premier cas : \{j, k\} = \{0, n\}. On a alors a_{n}(0, n) = a_{n}(n, 0) = \binom{2n}{n}. Or

v_{2}(\binom{2n}{n}) = ∑_{ℓ=1}^{∞} (⌊\frac{2n}{2^{ℓ}}⌋ − 2⌊\frac{n}{2^{ℓ}} ⌋) = n − ∑_{ℓ=1}^{∞} ⌊\frac{n}{2^{ℓ}} ⌋.

Il est facile de vérifier que l’expression à droite est ≥ 2 sauf si n est une puissance de 2, auquel cas elle vaut 1.

Deuxième cas : {j, k} ≠ {0, n}. La condition j + k ≥ n ≥ 1 montre que dans ce cas on a alors forcément j ≥ 1 et k ≥ 1.

On va tout d’abord montrer que pour entiers m, p tels que 1 ≤ p ≤ m, on a

v_{2}(\binom{m}{p}\binom{m + p}{m}) ≥ 1.  (1)

En effet, on a

v_{2}(\binom{m}{p}\binom{m + p}{m}) = ∑_{ℓ=1}^{∞} (⌊\frac{m + p}{2^{ℓ}}⌋ − 2⌊\frac{p}{2^{ℓ}} ⌋ − ⌊\frac{m − p}{2^{ℓ}}⌋)

≥ ⌊\frac{m + p}{2^{L}}⌋ − 2⌊\frac{p}{2^{L}} ⌋ − ⌊\frac{m − p}{2^{L}}⌋ = ⌊\frac{m + p}{2^{L}}⌋ − ⌊\frac{m − p}{2^{L}}⌋ ≥ 0,

où L est l’entier ≥ 1 tel que 2^{L−1} ≤ p < 2^{L}. Supposons alors que ⌊\frac{m+p}{2^{L}}⌋ − ⌊\frac{m−p}{2^{L}}⌋ = 0. On en déduit que

0 ≤ \frac{m + p}{2^{L}} − \frac{m − p}{2^{L}} < 1

et donc que p < 2^{L−1}, contrairement à l’hypothèse. Donc ⌊\frac{m+p}{2^{L}}⌋ − ⌊\frac{m−p}{2^{L}}⌋ ≥ 1, ce qui prouve (1).

On applique maintenant (1) aux deux cas (m, p) = (n, j) et (m, p) = (n, k) pour obtenir que

v_{2}(\binom{n}{j}\binom{n}{k}\binom{n + j}{n}\binom{n + k}{n}) ≥ 2.

A fortiori, on a donc v_{2}(a_{n}(k, j)) ≥ 2 lorsque {j, k} ≠ {0, n}.

Ceci termine la preuve du théorème. □

Bibliographie

[1] G. Almkvist and W. Zudilin, Differential equations, mirror maps and zeta values, in : Mirror Symmetry V, N. Yui, S.-T. Yau, and J.D. Lewis (eds.), AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 38 (2007), International Press & Amer. Math. Soc., 481–515.

[2] N. Heninger, E. M. Rains, N. J. A. Sloane, On the integrality of n-th roots of generating functions, J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), 1732–1745.