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\def\tablename{Tabelle}

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\parskip=1pt plus 3pt

\numberwithin{equation}{section}

\newtheorem*{Theorem}{Theorem}
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\theoremstyle{definition}

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\def\3{\ss}

\begin{document}

\newbox\Adr
\setbox\Adr\hbox{\centerline{Pers\"onliche Ansichten zu einer schwierigen
Beziehung}}

\title[Mathematik UND Musik?]{Mathematik UND Musik?$^1$\\[10pt]
\box\Adr}

\author[Christian Krattenthaler]{Christian Krattenthaler$^2$}

\address{\noindent Fakult\"at f\"ur Mathematik, Universit\"at Wien,
Oskar-Morgenstern-Platz~1, 1090 \hbox{Wien}.\break
WWW: {\tt http://www.mat.univie.ac.at/\lower0.5ex\hbox{\~{}}kratt}.}

\thanks{$^1$Dies ist die (etwas erweiterte) Niederschrift
eines Vortrages, den der Autor am 16.~Mai 2013 im {\tt math.space}
im Museumsquartier in Wien
gehalten hat. Da die eigenh\"andig am Klavier ausgef\"uhrten St\"ucke
auf bedrucktem Papier nicht wiederzugeben sind, gibt der
Autor f\"ur jedes dieser St\"ucke einen H\"orhinweis.\newline
\indent
$^2$Ich bedanke mich zutiefst bei Theresia Eisenk\"olbl, die die
Computerpr\"asentation f\"ur diesen Vortrag angefertigt hat, von
der einige Teile in diesen Artikel Eingang gefunden haben.
Gro\3er Dank gilt au\3erdem Reinhard Winkler, f\"ur eine
sorgf\"altige Lekt\"ure einer ersten Version und f\"ur
zahlreiche Korrekturen und einsichtsvolle Anregungen.}

\maketitle

\section*{Pr\"aambel}

\catcode`\@=11
\advance\c@footnote by 2
\catcode`\@=12

\centerline{
$\big\langle$\,\text {Robert {\sc Schumann} (1810 -- 1856):
{\it,\kern-1pt,Aveu``} aus Carnaval op.~9
}\,$\big\rangle$
\footnote{Ich habe nichts, was mich wirklich \"uberzeugt,
auf YouTube gefunden. Tal-Haim Samnons Darstellung
({\tt http://www.youtube.com/watch?v=EN2gUDaHqvo}) trifft den
Charakter, ist aber stellenweise doch ein wenig zu gedehnt.}}
\medskip

Mathematik und Musik --- Betonung auf ,\kern-1pt,UND`` --- Fragezeichen, das ist
unser heutiges Thema. Um hier einen Einstieg zu bieten: Wenn ich in
ein Gespr\"ach verwickelt bin, und mein Gespr\"achspartner herausfindet,
da\3 ich einerseits Professor f\"ur Mathematik an der Universit\"at Wien
bin und andererseits einmal in einem fr\"uheren Leben Konzertpianist
war, dann passiert es mir oft, da\3 mein Gegen\"uber spontan ausruft:   
$$
\text {\it
,\kern-1pt,Mathematik und Musik, das liegt ja ganz nahe beieinander!{}``
}
$$
Ich pflege darauf zu antworten:
$$
\text {\it
,\kern-1pt,Ist das wirklich so?{}``
}
$$

Was will ich damit sagen? Um ehrlich zu sein: Ich hatte immer schon
gro\3e Schwie\-rig\-kei\-ten beim Thema ,\kern-1pt,Mathematik UND Musik``, 
n\"amlich wenn
man Mathematik und Musik zusammenbringt, in Verbindung setzt, oder
auch nur nach Verbindungen sucht. Ja, es stimmt, T\"one und Intervalle
gehorchen auf Grund von physikalischen Gesetzen strengen mathematischen
Regeln; aber ist das jetzt eine Verbindung zwischen Mathematik und
Musik? Ja, es stimmt auch, da\3 Johann Sebastian Bach h\"aufig Zahlen in
seine Kompositionen gewoben hat.\footnote{Es ist etwa gut belegt
(siehe etwa: Ludwig Prautzsch, {\it Die verborgene Symbolsprache 
Johann Sebastian Bachs}, Band~1: Zeichen- und Zahlenalphabet der 
kirchenmusikalischen Werke. Merseburger, Kassel 2004), 
da\3 Bach in seinen Passionen Nummern von 
Psalmversen an den Stellen, wo diese vorgetragen werden, hineingearbeitet hat.
Das bleibt aber einem H\"orer verborgen, denn das l\"a\3t sich nicht
,\kern-1pt,heraush\"oren``; das l\"a\3t sich nur durch intensives
Partiturstudium nachweisen. Dies ist also gewisserma\3en eine
,\kern-1pt,Flei\3aufgabe``, die Bach sich hier auferlegt hat.\newline
\indent
Die Zahl, die in Bachs Werk die gr\"o\3te Rolle spielt, ist die Zahl~14.
Sie ist gewisserma\3en Bachs Signatur (so wie Maler ihre Bilder
signieren). Die Zahl~14 ist n\"amlich die Summe der Stellen, die
die Buchstaben B, A, C und H im Alphabet einnehmen, also
$2+1+3+8=14$. So ist etwa die Anzahl der Nummern im ,\kern-1pt,Musikalischen
Opfer`` gerade~14 (so man richtig z\"ahlt: einer der Kanons l\"a\3t sich
auf zwei verschiedene Arten ausf\"uhren).}
Aber ist das jetzt Mathematik? Es stimmt ebenfalls, da\3 Kompositionen
oft sehr komplex gebaut sind, komplizierte Formen aufweisen. Aber ist
das jetzt Mathematik in der Musik? Wenn umgekehrt Mathematik --- ich
meine hier Struktur --- in der Musik das \"Ubergewicht bekommt, wie etwa
in der Seriellen Musik, wo ja alle Parameter --- also Tonh\"ohe, Rhythmus,
Lautst\"arke, u.s.w. --- strengen Regeln unterworfen werden, ist das dann
noch Musik?  

Um es ohne Umschweife zu bekennen: Ich kann keine direkten,
substantiellen Ver\-bin\-dun\-gen zwischen Mathematik und Musik
erkennen. Insbesondere habe ich noch nie verstanden, was Mathematik
etwa mit jener ber\"uhrenden 
Liebeserkl\"arung\footnote{,\kern-1pt,Liebeserkl\"arung``, das ist
die Bedeutung des franz\"osischen Wortes ``aveu".} Robert Schumanns ---
vermutlich an seine geliebte Clara ---, die ich eingangs gespielt habe,
zu tun haben soll. Wenn Sie also gekommen sind, um meine Antwort auf
die Titelfrage zu h\"oren: Hier ist sie! Sie k\"onnten dann getrost nach
Hause gehen. Das w\"are nat\"urlich erstens zu billig, und zweitens h\"atten
wir dann noch nicht eine zweite Frage beantwortet.  

Lassen Sie mich ein wenig ausholen. Vor nicht allzu langer Zeit sprach
ein prominenter Besucher zum Dekan der Fakult\"at f\"ur Mathematik der
Universit\"at Wien:  
$$
\text {\it
``I hear that you are chairing a department of pianists!{}''
}
$$
Was wollte der Besucher damit sagen? Wenn man sich die Mitglieder der
Fakult\"at f\"ur Mathematik --- der ich auch angeh\"ore --- ansieht, dann ist es
in der Tat bemerkenswert, wie viele davon begeisterte Pianisten sind.
(Der Dekan ist im \"Ubrigen einer davon.) Dar\"uberhinaus gibt es andere,
die andere Instrumente spielen, es gibt solche, die passionierte
Chors\"anger sind, und es gibt weitere, die zwar kein Instrument
spielen oder singen, aber daf\"ur begeisterte Opern- und Konzertbesucher
sind. Kurzum, der Anteil der Mitglieder der Fakult\"at, die eine gro\3e
Affinit\"at zu Musik haben, ist \"uberproportional hoch. Dasselbe  gilt, wenn
man andere Mathematikinstitute ansieht. Reinhard Winkler etwa, der
Organisator dieser Vortragsreihe, arbeitet an der TU Wien, und er ist
ebenfalls ein passionierter Klavierspieler.  

Umgekehrt ist es auch \"uberraschend zu sehen, wie viele Musiker auch
eine Affinit\"at zur Mathematik haben. Prominentestes Beispiel daf\"ur ist
sicher der blutjunge Pianist und Komponist Kit Armstrong, der
bekanntlich Sch\"uler von Alfred Brendel in London war, und der so
nebenher auch ein Mathematikstudium an der Universit\'e ``Pierre
et Marie Curie{}"{} in Paris absolviert hat.  
Die Frage, die sich hier also stellt, ist:  

\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
,\kern-1pt,Wieso gibt es so viele Mathematiker, die auch eine starke Affinit\"at
zur Musik haben, und wieso gibt es so viele Musiker, die auch eine
starke Af\-fi\-ni\-t\"at zur Mathematik haben?{}`` \par\medskip}
Auf einer oberfl\"achlichen Ebene k\"onnen wir diese Frage auch so
formulieren: 

\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
,\kern-1pt,Wie stellen wir uns den typischen Mathematiker --- also den typischen
scharfen Denker, Intellektuellen --- vor?{}`` \par\medskip}
\noindent
Ich w\"urde sagen, da\3 die Portraits in Abbildung~\ref{fig:math} das 
vorz\"uglich treffen.
Sie geben mir doch recht, oder?
Wir k\"onnen die Gegenprobe machen:

\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
,\kern-1pt,Wie stellen wir uns den typischen Musiker --- also den typischen
sensiblen K\"unstler --- vor?{}`` \par\medskip}
\noindent
So wie die Portraits in Abbildung~\ref{fig:mus}, nicht wahr?

F\"ur diejenigen, denen die Namen ,\kern-1pt,Wiles`` und ,\kern-1pt,Perelman``
nicht so gel\"aufig sein sollten,
sollte ich vielleicht erkl\"aren: Andrew Wiles, britischer Mathematiker,
ist ber\"uhmt daf\"ur, da\3 er ein 300 Jahre altes Problem, das unter dem
Namen ,\kern-1pt,Gro\3er Fermatscher Satz`` bekannt ist, gel\"ost hat. Wir
werden gleich noch mehr dar\"uber h\"oren. Auf der anderen Seite ist Grigori
Perelman, russischer --- sehr exzentrischer --- Mathematiker, ber\"uhmt
daf\"ur, da\3 er eine 100 Jahre alte Vermutung von Henri Poincar\'e \"uber
vierdimensionale Geometrie bewiesen hat.  

Bevor wir an die Beantwortung der obigen Frage schreiten, sollten wir
vielleicht zuerst genau festmachen, wor\"uber wir eigentlich reden. Ich
bin ja Mathematiker, und in der Mathematik m\"ussen alle Dinge zuerst
genau definiert werden, bevor man dar\"uber reden kann. Was also ist
die Definition von Mathematik, was ist die Definition von Musik? 
 
\medskip
Musik ist \dots\ entsteht \dots\ kommt zustande, wenn T\"one erklingen
\dots\ wenn T\"one und Ger\"ausche --- Ger\"ausche darf ich nicht vergessen! ---
wenn also T\"one und Ger\"ausche erklingen, und im Zusammenklang \dots   


\medskip
Ich sehe schon, das wird nichts. Machen wir doch etwas
Leichteres! Mathematik --- das ist doch simpel: Mathematik
ist \dots\ Rechenkunst. Mathematik besch\"aftigt sich mit Zahlen, \dots\
geometrischen
Objekten, \dots\ abstrakteren Objekten --- 
wie etwa Ver\-kn\"up\-fungs\-ge\-bil\-den und
dergleichen --- und \dots 

Nein, so geht das nicht!

\medskip
Eigentlich ist es v\"ollig idiotisch, was ich hier tue. Heutzutage
zerbricht man sich nicht mehr selbst den Kopf, heutzutage gibt es
Wikipedia! Was sagt also Wikipedia zu Musik?\footnote{%
{\tt http://de.wikipedia.org}, Stand 16.~Mai 2013.}
 
\medskip 
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
%\begin{Definition}[Wikipedia]
Musik ist eine organisierte Form von Schallereignissen. Zu ihrer
Erzeugung wird akustisches Material --- T\"one und Ger\"ausche innerhalb des
f\"ur den Menschen h\"orbaren Bereichs ---  [\dots]
vom Menschen geordnet. \par\medskip}
%\end{Definition}
Na ja. Ich w\"urde sagen: Nicht ganz falsch \dots \
Aber \"uberzeugend ist das nicht.

Was meint Wikipedia zu Mathematik?\footnote{%
{\tt http://en.wikipedia.org}, auf Deutsch \"ubersetzt; 
Stand 16.~Mai 2013.}
  
\begin{figure}
{
\begin{minipage}{.2\textwidth}
\leavevmode
\hskip.3cm
\includegraphics[height=3cm]{mahler.jpg}
\centerline{\small Gustav}
\centerline{\small Mahler}
%\caption{\hskip-1cm Gustav\\Mahler}
\end{minipage}}
\hskip1cm
{
\begin{minipage}{.2\textwidth}
\leavevmode
\hskip.5cm
\includegraphics[height=3cm]{schostakowitsch.jpg}
\centerline{\small Dmitri}
\centerline{\small Schostakowitsch}
%\caption{ Dmitri\\Schostakowitsch}
\end{minipage}}
\hskip1cm
{
\begin{minipage}{.2\textwidth}
\leavevmode
\hskip.2cm
\includegraphics[height=3cm]{schoenberg.jpg}
\centerline{\small Arnold}
\centerline{\small Sch\"onberg}
%\caption{Arnold\\ Sch\"onberg}
\end{minipage}}
\caption{}
\label{fig:math}
\end{figure} 

\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
%\begin{Definition}[Wikipedia]
Mathematik ist das abstrakte Studium von Themen, die Gr\"o\3e,
Struktur, Raum, Ver\"anderung und andere Eigenschaften umfassen. 
\par\medskip}
%\end{Definition}

Ist {\it das} wirklich Mathematik? 

\medskip
Was will ich mit dieser einigerma\3en tolpatschigen \"Ubung beweisen? Es ist
selbstverst\"andlich unm\"oglich, genau zu sagen, genau zu definieren, was
Musik ist, und ebenso unm\"oglich ist es, genau zu definieren, was
Mathematik ist (auch wenn das f\"ur Mathematiklaien ein wenig komisch
anmuten mag). Gut so! 

Trotzdem kann ich genau sagen, was ich meine,
wenn ich hier von Musik, wenn ich hier von Mathematik spreche. Wenn
ich hier von Musik spreche, dann meine ich die {\it Kunstform} Musik; Kunst
will etwas ausdr\"ucken, Musik will durch T\"one und Ger\"ausche etwas an
den Zuh\"orer \"ubermitteln, etwas an das Publikum weitergeben. Um das
ganz klar festzumachen: Wenn ich ein paar Tasten am Klavier zuf\"allig
dr\"ucke und vielleicht dann den Klavierdeckel zuknalle, dann waren das 
ein paar T\"one und ein
Ger\"ausch. Das war {\it keine} Musik; das hat nichts ausgesagt, und das
wollte auch nichts aussagen. 

Wenn ich hier von Mathematik spreche, dann meine ich die {\it Wissenschaft\/}
Mathematik; es geht also darum, Neues zu entdecken, mathematische
Probleme zu l\"osen, mathematische Ph\"anomene zu untersuchen, und die
Struktur und Zusammenh\"ange dahinter zu ergr\"unden. Um
auch das ganz klar festzumachen: Was wir in Abbildung~\ref{fig:zahlen} sehen, 
das sind Zahlen und ein
paar Symbole, das ist {\it keine} Mathematik.  

Ich kann jetzt genau erkl\"aren, was meine Schwie\-rig\-kei\-ten beim Thema
,\kern-1pt,Mathematik UND Musik`` sind. Wenn Bach Zahlen in seine Kompositionen
einarbeitet, dann sind das Zahlen, keine Mathematik. Au\3erdem tun
diese Zahlen nichts f\"ur die Aussage des Werkes, wie sie an das
Publikum transportiert wird. Wenn Kompositionen komplexe Formen
aufweisen, dann ist das aus der Sicht der Wissenschaft Mathematik
entweder banal oder \"uberhaupt uninteressant. Wenn die Mathematik ---
Struktur --- in der Musik \"Uberhand gewinnt --- wenn wir also im Extremfall
einen Computer programmieren, damit er T\"one
produziert (,\kern-1pt,komponiert``), und dann gespannt warten, was da
herauskommen wird, dann werden {\it T\"one} herauskommen, {\it keine Musik}. 
Das
wird {\it nichts aussagen}. Was die Musik f\"ur die Mathematik tun soll, ist
sowieso vollkommen unklar\footnote{wenn man davon absieht, da\3 die
Rekonstruktion und Analyse von Tondokumenten sehr interessante und
herausfordernde mathematische Probleme stellt, siehe etwa:
A.~Boggess und F.~Narcowich, {\it
A first course in wavelets with Fourier analysis},
zweite Auflage, John Wiley \& Sons, Inc., 2009. 
Aber auch hier handelt es sich um keine echte substantielle
Beziehung oder Verbindung zwischen Mathematik und Musik: Die Substanz
liegt hier zur G\"anze auf der Seite der Mathematik, die Musik {\it als
Kunstform} wird hier nicht tangiert.\newline
\indent
Man k\"onnte in diesem Zusammenhang auch 
daran denken, da\3 es einige
Kolleginnen und Kollegen gibt, die scheinbar bessere Einf\"alle haben,
wenn sie nebenbei Musik laufen lassen. Ich geh\"ore nicht zu jenen:
Schlechte Musik \"argert mich, und gute Musik --- die zieht mich in ihren
Bann, da mu\3 ich zuh\"oren, da kann ich nicht gleichzeitig \"uber
Mathematik nachdenken. In jedem Fall ist das doch ein wenig weit
her geholt \dots\newline
\indent
Am n\"achsten zu einer echten Verbindung von Mathematik und Musik kommen
die Forschungen Gerhard Widmers (auch wenn seine Arbeit mehr der
K\"unstlichen Intelligenz zuzurechnen ist; siehe 
{\tt http://www.cp.jku.at/people/widmer/}), der etwa unter 
Zuhilfenahme von mathematischen Modellen interpretatorische
Eigenarten von Pianisten untersucht oder auch versucht, Computern 
beizubringen, Notentexte agogisch --- das hei\3t: im Ablauf --- 
,\kern-1pt,richtig`` --- auf einem Klavier
wiederzugegeben. Er ist sich aber selbst der Grenzen solcher
Untersuchungen und Experimente bewu\3t, wenn auch heute nicht klar ist, wo 
genau diese liegen.}. Ich betrachte also nicht die Frage nach
Verbindungen zwischen Mathematik und Musik als die interessante Frage,
sondern jene zweite Frage: 

\begin{figure}
{
\begin{minipage}{.3\textwidth}
\leavevmode
\hskip.6cm
\includegraphics[height=3.5cm]{wiles.jpg}
\centerline{\small Andrew Wiles}
%\caption{Andrew\\Wiles}
\end{minipage}}
\hskip1cm
{
\begin{minipage}{.3\textwidth}
\leavevmode
\hskip.8cm
\includegraphics[height=3.5cm]{perelman.jpg}
\centerline{\small Grigori Perelman}
%\caption{ Grigori\\Perelman}
\end{minipage}}
\caption{}
\label{fig:mus}
\end{figure} 


\begin{figure}
1 $\quad$ {\Large $\sqrt{2}$} $\qquad$ 12 \qquad \quad \Large 8 \qquad \quad
$\oint$\\[2ex] 

\hskip2cm 5 $\sum k^2$ \qquad $16\%$  \quad \quad $0.123456789\dots$
\quad $\dfrac{3}{14}$ \\[2ex]
8 \hskip3cm $\pi$ \hskip2cm {\Large $\frac{1+\sqrt5}2$} \\[2ex]
\hskip1cm 27 \qquad  175560 \quad \qquad \Large $\dfrac 27$ \quad \qquad 52954\\[2ex]
20.5 \qquad e \quad 14 \qquad \qquad $99.999\dots$
\caption{}
\label{fig:zahlen}
\end{figure}


\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
\it
,\kern-1pt,Wieso gibt es so viele Mathematiker, die auch eine starke Affinit\"at
zur Musik haben, und wieso gibt es so viele Musiker, die auch eine
starke Af\-fi\-ni\-t\"at zur Mathematik haben?{}``  \par\medskip}
Um es gleich vorweg zu nehmen, die These, die ich hier vertreten werde
ist: Beides,   

\medskip
\centerline{\it 
Mathematik UND Musik sind etwas f\"ur Herz UND Hirn.}
\medskip

Vielleicht ist es ja so, da\3 es in unserem Hirn eine Region gibt, die
besonders resoniert --- anspricht ---, wenn Emotion und Verstand
zusammenkommen, eine Symbiose eingehen. Vielleicht liefert das die
Erkl\"arung f\"ur das Ph\"anomen, das durch die obige Frage angesprochen
wird. Ich werde im
Folgenden versuchen, diese These mit Substanz zu f\"ullen.  

\section*{Herz in der Musik}

Sie werden sagen: ,\kern-1pt,Das ist ja wie Eulen nach Athen tragen!
Selbstverst\"andlich spielt Emotion eine enorm wichtige Rolle in der
Musik.`` Sie haben nat\"urlich Recht. Ich m\"ochte trotzdem einige Worte
dar\"uber verlieren, weil das erstens doch sehr viele verschiedene
Facetten haben kann, und zweitens gibt mir das die Gelegenheit, ein wenig
Klavier zu spielen \dots

Sie erinnern sich: Musik will etwas ausdr\"ucken, will etwas an das
Publikum \"uber\-mit\-teln. Das k\"onnen sehr viele verschiedene Dinge sein.  
Musik kann etwa einfach gute Laune verstr\"omen \dots

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Scott {\sc Joplin} (1867/1868? -- 1917):
{\it Maple Leaf Rag} (Beginn)
}\,$\big\rangle$
\footnote{Unbedingt h\"orenswert ist die Pianola Roll Aufnahme, die
Scott Joplin selbst eingespielt hat:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=pMAtL7n\underline{\ }-rc}.}}
\medskip

\noindent
oder auch schlechte Laune \dots

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Robert {\sc Schumann} (1810 -- 1856):\hskip8cm}}
\centerline{\hskip4cm
{\it Pantalon et Colombine} (Beginn) aus Carnaval op.~9
\,$\big\rangle$
\footnote{Arturo Benedetti Michelangeli wei\3 ein zankendes Paar
(das sich dann auch gleich wieder vers\"ohnt, um gleich wieder zu
zanken, usw.)
ganz vortrefflich darzustellen:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=LgpDYQcmZB4}.}}
\medskip

\noindent
Musik kann todtraurig sein \dots

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Franz {\sc Schubert} (1797 -- 1828):}\hskip8cm}
\centerline{\hskip3.5cm
{\it Andantino} (Beginn) aus der Sonate in A-Dur, D 959
\,$\big\rangle$
\footnote{Das ,\kern-1pt,Ma\3 aller Dinge`` bei Franz Schuberts
Klavierwerken ist ohne Zweifel Alfred Brendel:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=Il6-lZYDpqY}.}}
\medskip

\noindent
oder himmelhochjauchzend \dots

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Franz {\sc Schubert} (1797 -- 1828):
{\it Impromptu As-Dur, D 899, Nr.~4} (Schlu\3)
}\,$\big\rangle$
\footnote{Alfred Brendel:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=V0z7mUV5rSc}.}}
\medskip

\noindent
Musik kann Eleganz ausstrahlen, und was kann das besser als ein Walzer von
Chopin?  

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Fr\'ed\'eric {\sc Chopin} (1810 -- 1849):}\hskip8cm}
\centerline{\hskip4cm
{\it Grande Valse Brillante Es-Dur, op.~18} (Beginn)
\,$\big\rangle$
\footnote{Unnachahmlich in seinem eleganten, nat\"urlichen Spiel ist
Arthur Rubinstein:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=laSh3D\underline{\ }77ZM},
auch wenn er wohl ``brillante"{} nicht so ganz w\"ortlich nimmt \dots}}
\medskip

Wir kommen zu {\it Humor in der Musik}. 
Das ist f\"ur sich ein abendf\"ullendes
Thema. Der Gro\3meister des Humors in der Musik war ohne Zweifel Joseph
Haydn. Sie kennen alle seinen ber\"uhmtesten Scherz: jenen
Orchesterschlag in der --- wie wir auf Deutsch sagen --- 
,\kern-1pt,Symphonie mit dem
Paukenschlag``, oder --- wie die Englischsprachigen 
ein wenig treffender sagen: der
``Surprise Symphony", der ,\kern-1pt,\"Uberraschungssymphonie``. 
Da ist es ja so, da\3
der zweite Satz mit dem banalsten Thema, das man sich \"uberhaupt
vorstellen kann, anhebt, und dieses Thema zu allem \"Uberflu\3 auch
noch wiederholt wird! Es ist dann schon verst\"andlich, da\3 man an dieser
Stelle ein wenig einnickt, ehe das Orchester pl\"otzlich f\"ur einen Akkord
v\"ollig unmotiviert losbr\"ullt (die Pauke wird dabei auch
bet\"atigt \dots). Wir sind ja heutzutage einiges gew\"ohnt, damals
war die Wirkung sicher ganz kolossal \dots\
Ich m\"ochte hier auf ein kleines Detail aufmerksam machen, das auf
den ersten Blick nicht so offensichtlich ist.  Joseph Haydn ist ja im
tiefsten Nieder\"osterreich aufgewachsen, war anschlie\3end in Wien
und im Burgenland. Bei diesem Scherz handelt es sich
aber\footnote{passend: Jene Symphonie ist eine der Symphonien, die
Haydn f\"ur London komponiert hat.} 
um typisch {\it britischen} Humor: Er wird ``with a straight face"{} ---
also ohne die Miene zu verziehen --- vorgetragen. Nach jenem
Orchesterschlag wartet man ja st\"andig nerv\"os darauf, da\3 sich dieser
im weiteren Verlauf des Satzes irgendwie niederschl\"agt (etwa in Form
weiterer Schockeffekte \dots). Aber nein:
Nichts dergleichen passiert, die Musik l\"auft weiter, als w\"are
nichts geschehen \dots

Normalerweise ist der Humor in der Musik allerdings von feinerer
Natur. In der Regel werden die Erwartungen des H\"orers in die Irre
geleitet und so humoristische Effekte erzeugt. Ein h\"ubsches Beispiel
daf\"ur ist die erste der Humoresken von Max Reger. Diese hat ein durchaus
grazi\"oses Hauptthema, das sich aber nicht so recht entwickeln
kann. Dieses Hauptthema bestimmt zwei kurze Eckteile, die einen
Mittelteil einrahmen, der sich ein bi\3chen zu wichtig nimmt und so
auch wieder komisch wirkt. 

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Max {\sc Reger} (1873 -- 1916):
{\it Humoreske D-Dur, op.~20/1}
}\,$\big\rangle$
\footnote{Marc--Andr\'e Hamelin trifft den Ton unter
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=ba5js057WGM}
ganz gut.}}
\medskip

Einen letzten Punkt h\"atte ich noch: {\it Tour de Force}! Sie verstehen
schon: Tastendonner in der Liszt--Sonate etwa \dots

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Franz {\sc Liszt} (1811 -- 1886):
{\it Sonate h-moll} (Ausschnitt)
}\,$\big\rangle$
\footnote{Mir gef\"allt eine Aufnahme von den Salzburger
Festpielen, die ich auf CD besitze, und in der Emil Gilels spielt, 
ganz au\3erordentlich. Auf YouTube gibt es eine nicht ganz so
gute Aufnahme in drei Teilen:
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=7yhGSrn3idI},
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=gyQ-MnjRvsE},
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=EKUAFRosm48}.}}
\medskip

\medskip
Wenn Sie genau zugeh\"ort haben, werden Sie bemerkt haben, da\3 ich ein
Wort klinisch vermieden habe: das Wort {\it,\kern-1pt,sch\"on``}. 
Das bringt uns zu einer kleinen Abschweifung. 

Vor nicht allzu langer Zeit besuchte ich eine Auff\"uhrung der Oper
,\kern-1pt,Mathis der Maler`` von Paul Hindemith. Die Oper ist aus, der Applaus
ist verklungen, da h\"ore ich, wie eine Person zu ihrem Nachbarn sagt:
,\kern-1pt,Sehr sch\"on war's!{}`` Ich war wie vor den Kopf gesto\3en. 
Was war denn das? 
Dazu mu\3 man wissen, da\3 ,\kern-1pt,Mathis der Maler`` zur Zeit der
deutschen Bauernkriege spielt. Das war eine ziemlich finstere
Epoche. Die Bauern erhoben sich gegen ihre Ausbeutung durch die
Landesf\"ursten. Diese bek\"ampften den Aufstand mit unbarmherziger
H\"arte. W\"ahrend der Oper
wird etwa auf offener B\"uhne ein Bauernf\"uhrer grausam von Soldaten
hingemetzelt. Im Mittelpunkt der Oper steht der Gewissenskonflikt des
Malers Mathis, wie er sich in diesen Zeiten verhalten soll. Soll er
weiterhin an seinen Gem\"alden und Skulpturen arbeiten, oder soll er sich
,\kern-1pt,politisch bet\"atigen``{}? Schlu\3endlich schlie\3t er sich dem
Bauernaufstand an und richtet nat\"urlich genau gar nichts aus. Am Ende
der Oper verk\"undet ihm eine Stimme, da\3 der K\"unstler bei seiner Kunst
bleiben soll, aber wirklich \"uberzeugend ist das nicht. Klarerweise
projiziert hier Paul Hindemith seinen eigenen Konflikt, wie er
sich als K\"unstler angesichts des Naziregimes verhalten soll,
hinein. Die Musik der Oper spiegelt all das wider. Sie ist aufw\"uhlend,
sehr gescheit, aber man kann sie nicht als ,\kern-1pt,sch\"on`` bezeichnen. Profan
gesprochen: Es erklingen sehr wenige reine Dur-Akkorde in dieser Oper \dots

Ich m\"ochte diesen Punkt noch ein wenig auf die Spitze treiben:   

\medskip
\centerline{\it
Musik {\bf will nicht} sch\"on sein!}
\medskip

Was ich meine, ist: Musik will etwas aussagen, will etwas an den
Zuh\"orer \"ubermitteln. Das {\it kann}  mit Sch\"onheit einhergehen, aber
dann ist Sch\"onheit nie {\it Selbstzweck}, sie ist immer {\it Mittel zum
Zweck}. Und es {\it mu\3 nicht\/} mit Sch\"onheit einhergehen. 
,\kern-1pt,Sacre de Printemps``
von Igor Strawinsky ist eruptiv, explosiv, aber es ist nicht
,\kern-1pt,sch\"on``. 
Der Schlu\3satz aus der ,\kern-1pt,Gro\3en Sonate f\"ur das Hammerklavier`` in
B-Dur,  op.~106, von Ludwig van Beethoven, der Fugensatz, ist alles
M\"ogliche --- gewaltig, k\"uhn, unerh\"ort ---, aber er ist sicher nicht 
,\kern-1pt,sch\"on``. Im
Gegenteil: Man mu\3 hundert Jahre warten, bis wieder ein Werk
geschrieben wird, das \"ahnliche harmonische H\"arten aufweist. Auch bei
Johann Sebastian Bach kann man vieles nicht als ,\kern-1pt,sch\"on`` bezeichnen,
da er h\"aufig sein Hauptaugenmerk auf konsequente Stimmf\"uhrung und
ausgewogene Form legt und dabei weniger R\"ucksicht auf die Harmonien
nimmt. Ich denke da etwa an manche Kanons in den ,\kern-1pt,Goldberg--Variationen``,
die alle ihren unverwechselbaren Charakter haben, die aber nicht immer
wirklich ,\kern-1pt,sch\"on`` sind.  

Wenn ich also nach einer Auff\"uhrung von ,\kern-1pt,Mathis der Maler`` h\"ore: ,\kern-1pt,Sehr
sch\"on war's!{}``, dann f\"uhle ich mich unweigerlich an die 
ber\"uhmte Standardphrase
des alten Kaisers Franz Joseph erinnert, die dieser immer dann
anwandte, wenn er kulturellen Heimsuchungen ausgesetzt war:  

\medskip
\centerline{\it
,\kern-1pt,Es war sehr sch\"on, es hat mich sehr gefreut!{}``}
\medskip

\noindent
F\"ur jemanden, der f\"ur Kultur offenbar nicht sehr viel \"ubrig hatte, war
es anscheinend noch das Beste, was er dar\"uber sagen konnte \dots  

Kehren wir wieder zum eigentlichen Gegenstand der Er\"orterung zur\"uck.  

\section*{Herz in der Mathematik}

F\"ur Nicht-Mathematiker sieht das wohl nach einem ziemlich schwierigen
Thema aus. Schlu\3endlich haben wir doch alle in der Mittelschule gelernt,
da\3 Mathematik eine staubtrockene, abstrakte Materie ist, in der es
darauf ankommt, Rezepte, die seit Jahrhunderten bekannt sind, auf mehr
oder auch weniger intelligente Aufgaben anzuwenden, und zu hoffen,
da\3 man das richtige Rezept erwischt hat \dots\ (Zur Ehrenrettung meiner
Mathematiklehrerin mu\3 ich sagen, da\3 ich {\it das} in der Mittelschule
nicht gelernt habe.) Wie dem auch sei: Ich denke, wir sollten zum Thema
,\kern-1pt,Herz in der Mathematik`` den vorher schon erw\"ahnten Andrew Wiles zu
Wort kommen lassen. 

%Ich sollte ihn vielleicht zuerst ein wenig vorstellen. 
Wie ich schon anf\"uhrte, ist Wiles daf\"ur ber\"uhmt, den
,\kern-1pt,Gro\3en Fermatschen Satz`` bewiesen zu haben. Die Aussage dieses Satzes
kann jeder Mittelsch\"uler ohne Probleme verstehen. Ich m\"ochte daher
diese Aussage hier pr\"asentieren.  

\begin{Theorem}[\sc Wiles, Taylor 1995]
{\em(}Gro\3er Fermatscher Satz\/{\em)}

\noindent
Sei $n$ eine nat\"urliche Zahl gr\"o\3er als oder gleich $3$.
Dann gibt es keine nat\"urlichen Zahlen\footnote{Um Mi\3verst\"andnissen
vorzubeugen: Mit 
,\kern-1pt,nat\"urlichen`` Zahlen sind hier die Zahlen $1,2,3,\dots$
gemeint, was der urspr\"unglichen Bedeutung des Wortes 
,\kern-1pt,nat\"urlich`` entspricht. Heutzutage lernt man in der
Schule (leider), da\3 die ,\kern-1pt,nat\"urlichen Zahlen``
aus den Zahlen $0,1,2,\dots$ bestehen.
Das mag in manchen Zusammenh\"angen tats\"achlich praktischer
sein, ist aber eine Pervetierung des Wortes ,\kern-1pt,nat\"urlich``,
da die $0$ zweifellos keine {\it nat\"urliche} Zahl ist.} 
$x,y,z$, soda\3 
$$x^n + y^n = z^n.$$
\end{Theorem}

Diese Aussage hat Pierre de Fermat vor \"uber 300 Jahren in den Rand
eines Exemplars der ``Arithmetica"{} des Diophantos
gekritzelt.\footnote{Der Hintergrund/Kontext dieser Aussage ist der
krasse Gegensatz zur Situation f\"ur $n=2$: Es gibt 
sogar unendlich viele L\"osungen der Gleichung $x^2+y^2=z^2$ in
nat\"urlichen Zahlen $x,y,z$, die genau charakterisiert werden
k\"onnen und als ,\kern-1pt,Pythagor\"aische Tripel`` bekannt sind.
Zwei davon kennen wir aus der Mittelschule: 
$3^ 2+4^2=5^2$ und $ 5^2+12^2=13^2$.} 
Um die Sache spannend zu machen, hat er noch
hinzugef\"ugt, da\3 er einen ,\kern-1pt,wahrhaft wunderbaren`` 
Beweis daf\"ur gefunden habe,
aber da\3 der Rand des Buches zu schmal sei, diesen zu fassen. Seither
haben sich viele kluge Leute dar\"uber den Kopf zerbrochen. Tats\"achlich
hat sich ein gro\3er Teil der Zahlentheorie an diesem Problem
entz\"undet. Aber \"uber 300 Jahre lang konnte kein Beweis gefunden
werden. Man kann also getrost davon ausgehen, da\3 Fermat keinen
Beweis hatte, jedenfalls nicht etwas, was wir heute als Beweis
anerkennen w\"urden. Es war eine gro\3e Sensation, als Andrew Wiles am
Ende einer Vortragsreihe, die er 1993 am Isaac Newton Institute in
Cambridge gehalten hat, verk\"undete, da\3 er nun einen Beweis gefunden
hat. Nun gen\"ugt es in der Mathematik nicht,
anzuk\"undigen, da\3 man einen Beweis f\"ur ein Theorem gefunden hat (so
wie das Fermat getan hat), sondern dieser Beweis mu\3 jetzt
aufgeschrieben werden, damit auch andere diesen nachvollziehen k\"onnen ---
das tat Wiles; das Resultat war ein Artikel zu 200 Seiten, der
seinerseits auf unz\"ahligen Vorarbeiten anderer Autoren beruhte ---, und
das Aufgeschriebene mu\3 dann an ein wissenschaftliches Journal zur
Ver\"offentlichung eingereicht werden --- auch das tat Wiles ---, worauf
dann Gutachter diesen Beweis sorgf\"altig pr\"ufen. Dabei wurde nach
einiger Zeit entdeckt, da\3 der Beweis eine L\"ucke aufwies, die Wiles
nicht beheben konnte. Es dauerte weitere zwei Jahre, bis es Wiles
zusammen mit seinem ehemaligen Studenten Richard Taylor gelang, die
L\"ucke zu schlie\3en. In
einer BBC-Dokumentation\footnote{Die gesamte Dokumentation kann unter
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE} angesehen werden.
Die zitierte Stelle kommt etwa 5 Minuten vor dem Ende.
In diesem Zusammenhang ist auch der unmittelbare Anfang der Dokumentation
sehr bemerkenswert \dots} sagt Andrew Wiles \"uber den Moment,
als ihm klar wurde, da\3 er jetzt alle Schwierigkeiten \"uberwunden
hat, Folgendes:   

\medskip
{
\leftskip1cm
\rightskip1cm 
\noindent
[Wiles ist sichtlich zutiefst bewegt, spricht nur stockend
und sto\3weise]

{\it
When I was sitting here, at this desk --- it was a Monday morning, September 19 ---
and I was trying convincing myself that it did not work, seeing exactly
what the problem was, 
when suddenly, totally unexpectedly, I had this incredible revelation.
I realised [that] what was holding me up was exactly what would resolve
the problem that I had in my Iwasawa theory attempt three years
earlier.

It was \dots\ it was the most \dots\ the most important moment of my working life \dots
}
[An dieser Stelle kann Wiles endg\"ultig 
nicht mehr weitersprechen; die Szene wird ausgeblendet.]

\it
It was so indescribably beautiful, it was so simple and so elegant \dots\ ---
and I just stared in disbelief for 20 minutes \dots\ --- then during the
day I walked to our department,
I keep coming back to my desk, 
looking to see, it was still there, it was still there \dots
\par\medskip}

Eindrucksvoll, nicht?
Im Gegensatz zur landl\"aufigen Meinung scheint Mathematik eine hoch
emotionelle T\"atigkeit zu sein. Ich habe hier alle m\"oglichen Emotionen
gesehen, die alles von ,\kern-1pt,zu Tode betr\"ubt`` --- zu dem Zeitpunkt, 
wo das
Beweisgeb\"aude zusammenzubrechen drohte --- bis zu ,\kern-1pt,himmelhochjauchzend``
--- zu dem Zeitpunkt, als sich Wiles bewu\3t wurde, da\3 er nun alle
Schwierigkeiten \"uberwunden hatte --- miteinschlie\3t. Man mag einwenden,
da\3 Wiles deswegen so bewegt ist, weil er dieses ber\"uhmte Problem
endlich als Erster gel\"ost hat. Das ist sicher eine Komponente dabei. Es greift
aber zu kurz. Denn Wiles sagt auch: ,\kern-1pt,Das war so unbeschreiblich sch\"on, so
elegant!{}`` Mathematik mu\3 also noch andere Qualit\"aten haben, als nur
,\kern-1pt,staubtrocken`` und ,\kern-1pt,abstrakt`` zu sein. Wir sollten daher auf einige
dieser anderen Qualit\"aten noch n\"aher eingehen.  

\medskip
Wie ich schon erw\"ahnte, wenn ein Mathematiker
ein tolles Theorem bewiesen hat, dann mu\3 dies aufgeschrieben werden
und zur Ver\"offentlichung eingereicht werden, worauf der entsprechende
Artikel dann begutachtet wird. Die Gutachter beurteilen dabei nicht
nur die Korrektheit der Beweise, sondern auch die anderen Qualit\"aten
des Artikels. Ein Standardsatz, der ausdr\"uckt, da\3 dem Gutachter der
Artikel gef\"allt, ist:  
$$
\text {\it
``This is a very nice paper!{}''
}
$$
Im Lichte unserer vorigen Abschweifung \"uber Sch\"onheit in der Musik:
Spa\3ig, nicht? Den Mathematikern f\"allt auch nichts Besseres ein, als
,\kern-1pt,sch\"on`` zu sagen~\dots\ Wenn es sich allerdings um ein fundiertes Gutachten
handelt, dann w\"urde der Gutachter auch noch spezifischer schreiben,
was ihm an diesem Artikel gef\"allt. Da kann man dann etwa lesen:  
$$
\text {\it
,\kern-1pt,Das ist ein sehr eleganter Beweis!{}``
}
$$
Was ist das, ein eleganter Beweis? Also, was ist das, so ein
,\kern-1pt,mathematischer Chopin-Walzer``{}? 
In der Regel handelt es sich um die
Situation, da\3 sich --- in einem Beweis --- vor dem Mathematiker ein
scheinbar un\"uberwindbares Hindernis auft\"urmt. Es gelingt ihm jedoch,
mit Hilfe eines zwar einfachen, aber gar nicht naheliegenden Einfalls
dieses Hindernis --- eben elegant --- zu umschiffen. Ich versuche ein
Beispiel: den allseits bekannten Satz, da\3 es unendlich viele
Primzahlen gibt.  

\begin{Theorem}
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
\end{Theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Wenn man die Aussage des Theorems w\"ortlich nimmt, dann m\"u\3te
man jetzt eben unendlich viele Primzahlen irgendwie konstruieren.
Am besten w\"are es \"uberhaupt, eine Formel zu finden, die uns
die Primzahlen (oder zumindest unendlich viele davon) produziert.
Das ist ein ziemlich aussichtsloses Unterfangen.\footnote{Mathematik
hat jede Menge unglaublich Faszinierendes respektive Absurdes
--- je nachdem, welchen Standpunkt man einnimmt \dots\ ---  aufzuwarten: 
Der russische Mathematiker Yuri Matijasevic zeigte, da\3 es 
Polynome in mehreren Variablen gibt, deren {\it positive} Werte
--- wenn die Variablen zu konkreten nat\"urlichen Zahlen
spezialisert werden ---
alle Primzahlen durchlaufen; siehe {\it Dokl.\ Akad.\ Nauk SSSR}
{\bf 196} (1971), 770--773; {\it Soviet Math.\ Dokl.} {\bf 12} (1971), 
249--254. Solche Polynome wurden seither auch explizit konstruiert.
Sie haben nicht nur die ,\kern-1pt,st\"orende`` Eigenschaft, da\3
sie eben auch (irgendwelche) {\it negative} Werte annehmen, sondern auch
jene, da\3 sie das {\it meistens} tun \dots\
Sie sind daher bis heute nichts als eine Kuriosit\"at, 
da sie, abgesehen von ihrer Existenz, sonst f\"ur nichts gut zu
sein scheinen.} 

Es gibt aber einen --- eleganten --- Ausweg. Nehmen wir doch an, es
g\"abe nur endlich viele Primzahlen. Wenn wir --- unter dieser Annahme
--- auf einen Widerspruch gef\"uhrt werden, dann mu\3 unsere Annahme
falsch gewesen sein, und wir haben dann gezeigt, da\3 es tats\"achlich
unendlich viele Primzahlen gibt.

Nehmen wir also an, es g\"abe nur endlich viele Primzahlen; sagen wir 2, 3, 5,
7, 11, 13, \dots, 1031.

Wir betrachten nun 
$$2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \,\dots\, \cdot 1031 +1.$$
Diese (gro\3e) Zahl l\"a\3t sich in Primfaktoren
zerlegen. Jeder dieser Primfaktoren mu\3 einerseits diese Zahl teilen
und mu\3 andererseits unter den Primzahlen 2, 3, 5,
7, 11, 13, \dots, 1031
vorkommen. (Wir haben ja angenommen, da\3 das {\it alle} Primzahlen
w\"aren!) Sei $p$ ein solcher Primfaktor. $p$ kann nicht gleich $2$
sein, denn die obige Zahl ist offensichtlich ungerade. 
Aber $p$ kann auch nicht
gleich $3$ sein, denn $3$ teilt die obige Zahl auch nicht,
da sie die Gestalt $3X+1$ hat.
Ebenso kann $p$ nicht gleich $5$ sein,
\dots, und auch nicht gleich $1031$. Das k\"onnen daher 
{\it nicht\/} alle Primzahlen gewesen sein.
\end{proof}

Sie werden nun einwenden: ,\kern-1pt,Das stimmt zwar alles, 
aber ein rigoroser
--- allgemeing\"ultiger --- mathematischer Beweis war das jetzt
nicht.`` Schlu\3endlich ist 1031 ja nur eine {\it spezielle}
Primzahl. Sie haben recht, aber der rigorose Beweis sieht ganz
genauso aus. Man mu\3 nur statt 2, 3, 5, \dots, 1031 
Symbole schreiben:
$p_1$,
$p_2$,
$p_3$, \dots
$p_n$.

\begin{proof}[Beweis]
Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen; sagen wir, $p_1,p_2, p_3, p_4, p_5,\break 
p_6, \dots, p_n$.

Wir betrachten nun 
$$p_1\cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4 \cdot p_5 \cdot p_6 \cdot\, \dots\, \cdot p_n +1.$$
Diese (gro\3e) Zahl l\"a\3t sich in Primfaktoren
zerlegen. Jeder dieser Primfaktoren mu\3 einerseits diese Zahl teilen
und mu\3 andererseits unter den Primzahlen $p_1,p_2,\dots,p_n$
vorkommen. (Wir haben ja angenommen, da\3 das {\it alle} Primzahlen
w\"aren!) Sei $p$ ein solcher Primfaktor. $p$ kann nicht gleich $p_1$
sein, denn $p_1$ teilt die obige Zahl nicht. Aber $p$ kann auch nicht
gleich $p_2$ sein, denn $p_2$ teilt die obige Zahl auch nicht.
Ebenso kann $p$ nicht gleich $p_3$ sein,
\dots, und auch nicht gleich $p_n$. Das k\"onnen daher 
{\it nicht\/} alle Primzahlen gewesen sein.
\end{proof}

\medskip
Wir kommen zu {\it Humor in der Mathematik}. 
Ja kann es denn so etwas geben? Das mu\3 es
schon geben, denn manchmal kann man in Gutachten lesen:  
$$
\text {\it
,\kern-1pt,Das ist aber ein witziger Beweis!{}``
}
$$
Wie kommt Witz in Mathematik zustande? Humor in der Mathematik ist ---
wie auch der Humor in der Musik --- normalerweise von feinerer
Natur. Auch hier werden die Erwartungen des Lesers eines
Beweises in die Irre geleitet, ehe pl\"otzlich ein kleines Detail
sichtbar wird, das man bisher noch gar nicht wahrgenommen hat, und
dieses kleine Detail ist dann das letzte (aber entscheidende!) 
Bausteinchen, das zur
Vervollst\"andigung des Arguments noch fehlt. Da mu\3 der Mathematiker
schmunzeln (auch \"uber sich selbst: Wie konnte er das nur \"ubersehen?),
und das erfreut sein Herz.

\begin{figure}
{
\begin{minipage}{.3\textwidth}
\leavevmode
\hskip.6cm
\includegraphics[height=3.5cm]{ramanujan.jpg} 
%\includegraphics[height=1.8cm]{wiles.jpg}
\centerline{\small Srinivasa Ramanujan}
%\caption{Andrew\\Wiles}
\end{minipage}}
\hskip1cm
{
\begin{minipage}{.3\textwidth}
\leavevmode
\hskip.8cm
\includegraphics[height=3.5cm]{hardy.jpg}
\centerline{\small Godfrey Harold Hardy}
\end{minipage}}
\caption{}
\label{fig:rama}
\end{figure} 

Ich versuche wieder ein Beispiel, diesmal aus dem Werk des ber\"uhmten
indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan (siehe Abbildung~\ref{fig:rama}). 
Geboren 1887 in der N\"ahe von Madras (dem heutigen Chennai),
stammte Ramanujan aus
sehr bescheidenen Ver\-h\"alt\-nis\-sen. Er hatte nur eine
Grundschulausbildung, hatte sich aber immer schon mit Mathematik und 
mathematischen
Problemen besch\"aftigt. Nach Abschlu\3 der Schule arbeitete er als
Beamter in der Hafengesellschaft von Madras, aber in seiner Freizeit
unentwegt an mathematischen Problemen. Im
Alter von 25 Jahren sandte er seine mathematischen Ergebnisse an
ber\"uhmte Mathematiker der damaligen Zeit. Einer von ihnen, Godfrey
Hardy, Professor an der University of Cambridge,  sah sich den Brief
von Ramanujan tats\"achlich genauer an und erkannte das Genie
des unbekannten Verfassers. 
Er lud ihn ein, nach Cambridge zu kommen, um bei ihm zu
studieren und zu arbeiten. F\"orderer Ramanujans gelang es, die Reise zu
finanzieren, und so verbrachte Ramanujan einige Jahre an der
University of Cambridge. Aus dieser Zeit stammen einige sehr ber\"uhmte
Artikel Ramanujans, oft in Zusammenarbeit mit Hardy. Ramanujan hat
aber leider das englische Klima nicht gut vertragen (und auch die
Kost nicht \dots) und war meistens
sehr kr\"anklich. Er kehrte nach Indien zur\"uck und verstarb ein Jahr
danach im Alter von nur 32 Jahren.  

Eines der Objekte, f\"ur die sich Ramanujan in seiner mathematischen
Arbeit mit gro\3er Hingabe interessierte, das waren sogenannte
(Zahlen-)Partitionen.
Eine {\it Partition} einer Zahl $n$ ist eine Summendarstellung dieser
Zahl, wo die Summanden aufsteigend angeordnet sind.
F\"ur $n=1$ gibt es genau eine Summendarstellung, n\"amlich
$$1$$
selbst, f\"ur $n=2$ gibt es zwei, n\"amlich
$$2,\quad 1+1,$$
f\"ur $n=3$ gibt es drei Partitionen,
$$3,\quad 1+2,\quad 1+1+1,$$
f\"ur $n=4$ schon f\"unf,
$$4,\quad  1+3,\quad  2+2,\quad  1+1+2,\quad  1+1+1+1,$$
und f\"ur $n=5$ sieben:
$$5,\quad  1+4,\quad  2+3,\quad  1+1+3,\quad  1+2+2,\quad  1+1+1+2, 
\quad 1+1+1+1+1.$$
Es bezeichne $p(n)$ die Anzahl aller Partitionen von $n$. 
Percy Alexander MacMahon, Major in der britischen Armee und 
ebenfalls bedeutender Mathematiker der damaligen Zeit, hatte 
die Anzahlen $p(n)$ bis $n=200$ ausgerechnet.\footnote{Und das
fehlerlos! Auch wenn er das nicht durch Auflisten aller Partitionen
aller Zahlen bis 200 bewerkstelligte, sondern sich einer
Rekursionsformel Eulers bediente, handelt es sich --- zu einer Zeit,
die keine Rechenmaschinen au\3er Papier und Bleistift kannte --- 
trotzdem um eine beachtliche Leistung!} Die ersten Anzahlen $p(n)$
sind hier wiedergegeben:
\begin{align*}
p(1)&=1 & p(2)&=2,& p(3)&=3,& \pmb{p(4)}&\pmb{=5,}& p(5)&=7 \\
p(6)&=11 & p(7)&=15,& p(8)&=22,& \pmb{p(9)}&\pmb{=30,}& p(10)&=42 \\
p(11)&=56 & p(12)&=77,& p(13)&=101,& \pmb{p(14)}&\pmb{=135,}& p(15)&=176 \\
p(16)&=231 & p(17)&=297,& p(18)&=385,& \pmb{p(19)}&\pmb{=490,}& p(20)&=627 
\end{align*}
Ramanujan studierte MacMahons Tabellen eingehend und machte
dabei be\-mer\-kens\-wer\-te Entdeckungen. Eine davon ist im unten
angegebenen Theorem enthalten. Sie besagt, grob gesprochen, da\3
jede f\"unfte Partitionsanzahl durch $5$ teilbar
ist; siehe die fett gedruckten Eintr\"age in der obigen 
Tabelle.\footnote{Ramanujan machte \"ahnliche Beobachtungen f\"ur die
Primzahlen $7$ und $11$. Zusammen mit dem im Text diskutierten Theorem
be\-gr\"un\-den diese die Forschungsrichtung der 
,\kern-1pt,Par\-ti\-tions\-kon\-gru\-en\-zen``, in der es gerade in den letzten
Jahren bedeutende Durchbr\"uche gab; siehe Seite~1525 im \"Uberblicksartikel
{\it``Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125, Part I''}, der in den
Notices of the American Mathemathical Society, vol.~59, Nr.~11, 2012,
von Krishnaswami Alladi herausgegeben wurde und unter
{\tt http://www.ams.org/notices/201211/rtx121101522p.pdf}
erh\"altlich ist.}

\begin{Theorem}[\sc``Ramanujan's most beautiful theorem'' 1919]
\hbox{\hphantom{fvbcvbcvn}}\leavevmode

\noindent
$p(5n+4)$ ist immer durch 5 teilbar.
\end{Theorem}

Den angegebenen Beinamen ``Ramanujan's most beautiful theorem''
erhielt dieser Satz deswegen, da er so simpel und elegant zu formulieren 
und gleichzeitig so ganz unerwartet ist. Au\3erdem hat Ramanujan
selbst einen Beweis daf\"ur gefunden. Es ist dieser Beweis,
den ich nun besprechen m\"ochte. Mir ist bewu\3t, da\3 das Kommende
nun (mathematisch) anspruchsvoller ist, als das Bisherige.
Wenn Sie nicht alles verstehen sollten (oder kaum etwas verstehen
sollten \dots),
dann macht das aber nichts. Es geht mir nur darum, anzudeuten, was
,\kern-1pt,Witz`` in der Mathematik bedeuten kann.

Ramanujans Beweis st\"utzt sich auf ein altes Resultat von Leonhard
Euler. Es besagt, da\3 die Potenzreihe, in der die Anzahlen
$p(n)$ als Koeffizienten auftreten, als unendliches Produkt
geschrieben werden kann.

\begin{Theorem}[\sc Euler]
Es gilt
$$
1+ p(1)q + p(2)q^2 + p(3)q^3 + p(4)q^4  + \cdots 
= \frac{1}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)(1-q^4)\cdots}.
$$
\end{Theorem}

\begin{proof}[Beweis]
M\"oglicherweise beschleicht Sie beim Anblick von unendlichen Summen
und Produkten ein ungutes Gef\"uhl, und Sie stellen sich etwa die
Frage: ,\kern-1pt,Konvergiert denn das?{}``\footnote{Das tut es f\"ur
$\vert q\vert<1$.} Es ist die falsche Frage! Die obigen Ausdr\"ucke
sollten als {\it formale} Ausdr\"ucke betrachtet werden, die man ganz
naiv addiert, multipliziert, usw.\footnote{Das kann alles 
durch die Theorie der sogenannten {\it formalen
Potenzreihen} rigoros gemacht werden.}

Nehmen wir also den naiven Standpunkt ein. Dann beweist sich Eulers
Formel folgenderma\3en. Das Produkt auf der rechten Seite besteht aus
lauter Faktoren der Gestalt $\frac {1} {1-q^k}$. In der Mittelschule
haben wir gelernt, da\3 sich die unendliche geometrische Reihe
aufsummieren l\"a\3t:\footnote{Die Formel ist auch in der Theorie der 
formalen Potenzreihen g\"ultig.}
$$
1+Q+Q^2+Q^3+Q^4+\cdots=\frac {1} {1-Q}.
$$
Wir k\"onnen diese Summenformel dann auf jeden der Faktoren
(sozusagen: verkehrt herum) anwenden:
\begin{align*}
\frac{1}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)(1-q^4)\cdots} &=  \frac{1}{1-q}\cdot 
\frac{1}{1-q^2}\cdot \frac{1}{1-q^3} \cdot \frac{1}{1-q^4}\cdots\\
&=
  (1+q^{1} +q^{{1+1}} +q^{1+1+1} +\cdots) \\
&\hskip1cm \cdot (1+q^2+q^{2+2} +q^{{2+2+2}}
  + \cdots ) \\
&\hskip2cm \cdot (1+q^{3}+q^{3+3} +q^{3+3+3} + \cdots ) \cdot \cdots.
\end{align*}
Jetzt m\"ussen wir uns noch vorstellen, was passiert, wenn wir
dieses letzte Produkt ausmultiplizieren. Jeder Term im Ergebnis
entsteht dadurch, da\3 wir aus jedem
der Faktoren einen Term ausw\"ahlen und diese Terme dann
zusammenmultiplizieren. Wenn wir also etwa aus dem ersten Faktor
den Term $q^{1+1}$ w\"ahlen, aus dem zweiten Faktor 
den Term $q^{2+2+2}$, aus dem dritten Faktor 
den Term $q^{3}$, und aus allen anderen Faktoren den Term
$1$, dann erhalten wir beim Zusammenmultiplizieren
$$q^{{1+1+2+2+2+3}}.$$
Es kostet jetzt noch einige Momente, um sich davon zu \"uberzeugen,
da\3 man im Exponenten der Ausdr\"ucke, die man so erh\"alt, genau
alle Partitionen durchl\"auft. Somit ist das obige Produkt in der Tat
gleich der linken Seite im Eulerschen Theorem.
\end{proof}

Wir k\"onnen nun an Ramanujans Beweis seines 
``most beautiful theorem'' herangehen.

\begin{proof}[Ramanujans Beweis seines Theorems]
Um eine kompakte Schreibweise zu haben,\footnote{Ramanujan hat diese
Schreibweise nicht gekannt und auch keine andere Kurzschreibweise
verwendet. Dementsprechend gew\"ohnungsbed\"urftig ist dann auch die
Lekt\"ure von Aufzeichnungen Ramanujans.} k\"ur\-zen wir
das Produkt $(1-q)(1-q^2)(1-q^3)(1-q^4)\cdots $ durch
$(q;q)_{\infty}$ ab. Allgemeiner schreiben wir
$$
(\alpha;q)_\infty = 
(1-\alpha)(1-\alpha q)(1-\alpha q^2)(1-\alpha q^3)\cdots .
$$

Ramanujans Beweis beruht auf mehreren Hilfss\"atzen.
Diese Hilfss\"atze lassen sich durch elementare (aber trickreiche)
Manipulationen von Potenzreihen und 
{\it Jacobis Tri\-pel\-pro\-dukt\-for\-mel}
$$
\sum _{n=-\infty} ^{\infty}(-1)^n q^{n(n-1)/2} x^n
=(q;q)_\infty \,(x;q)_\infty \,(q/x;q)_\infty
$$
ableiten. Es w\"urde hier allerdings endg\"ultig den Rahmen sprengen,
das im Detail zu erkl\"aren.

\begin{Lemma}
Sei $\omega^5=1$, $\omega\not= 1$. Dann gilt
$$
(q;q)_{\infty}\, (\omega q;\omega q)_{\infty}\, (\omega^2 q;\omega^2
q)_{\infty}\, (\omega^3 q;\omega^3 q)_{\infty}\, (\omega^4 q;\omega^4
q)_{\infty}
=\frac{(q^5;q^5)^6_\infty}{(q^{25};q^{25})_\infty}.
$$
\end{Lemma}

Dieser Hilfssatz zieht zwei weitere nach sich.

\begin{Lemma}
Es gilt
$$\frac{(q;q)_\infty}{q(q^{25};q^{25})_\infty} =q^{-1}R- 1 -qR^{-1},$$
wobei $R$ eine Potenzreihe in $q^5$ ist.\footnote{Ramanujan gibt auch 
eine explizite Formel f\"ur die Reihe $R$ an.}
\end{Lemma}

\begin{Lemma}
Es gilt
$$q^{-5}R^5 -11 -q^5R^{-5} = 
\frac{(q^5;q^5)^6_\infty}{q^5(q^{25};q^{25})^6_\infty}.$$
\end{Lemma}

Wir k\"onnen diese Hilfss\"atze nun kombinieren,\footnote{Der Ausdruck 
aus dem letzten Lemma wird durch jenen im vorherigen dividiert,
und dann wird Eulers Theorem eingesetzt.} um
den folgenden Ausdruck f\"ur die sogenannte
,\kern-1pt,erzeugende Reihe`` der
Partitionsanzahlen zu finden:
\begin{multline*}
{1+p(1)q+p(2)q^2+p(3)q^3+{}}\pmb{p(4)q^4}
{+p(5)q^5}\\
{+p(6)q^6+p(7)q^7+p(8)q^8} +\pmb{p(9)q^9} {+p(10)q^{10}} \\
{+p(11)q^{11} +p(12)q^{12} +p(13)q^{13}}
+\pmb{p(14)q^{14}} + \dots \\
=\pmb{q^4 \frac{(q^{25};q^{25})^5_\infty}{(q^5;q^5)^6_{\infty}}} \cdot
{{(q^{-4} R^4 + q^{-3}R^3 +2q^{-2} R^2 +3q^{-1} R +{}} \pmb{5}}\\ 
{{-3qR^{-1}+2q^2
  R^{-2} -q^{3}R^{-3} + q^{4}R^{-4})}}  .
\end{multline*}

Sp\"atestens an dieser Stelle haben wir den \"Uberblick endg\"ultig verloren.
Warum schreiben wir einen derma\3en komplizierten Ausdruck f\"ur die
erzeugende Reihe der Partitionsanzahlen hin? Was wollten wir eigentlich
beweisen? Hier kommt nun die {\it Pointe} zum Vorschein!
Wir interessieren uns doch eigentlich nur f\"ur die Partitionszahlen
$p(4)$, $p(9)$, 
$p(14)$, $p(19)$, usw., also f\"ur
$$p(4)q^4 + p(9)q^9  + p(14)q^{14} + p(19)q^{19} + \dots .
$$
Sehen wir uns die rechte Seite im obigen komplizierten Ausdruck an:
Da gibt es die Reihe $R$, die laut Lemma nur aus Potenzen von $q^5$
besteht. Auch die Produkte $(q^{5};q^{5})_\infty$ und 
$(q^{25};q^{25})_\infty$ bestehen nur aus Potenzen von $q^5$. 
Ganz vorne in diesem Ausdruck steht der Faktor $q^4$. Also, was uns
dann in der gro\3en Klammer interessiert, sind nur Potenzen von
$q^5$, alles andere brauchen wir nicht zu beachten. Aber, wenn man da in
die Klammer genau hineinsieht (wohlgemerkt: die Reihe $R$ hat nur
Potenzen von $q^5$\,!), dann ist der einzige Term, der da in Frage
kommt, die einsam dastehende $5$\,! In anderen Worten: Aus der obigen
horrenden Formel (man beachte
die fett gedruckten Terme) l\"a\3t sich unmittelbar extrahieren:
$$p(4)q^4 + p(9)q^9  + p(14)q^{14} + \dots 
= q^4 \frac{(q^{25};q^{25})^5_\infty} {(q^5;q^5)^6_{\infty}} \pmb{\times
5}.$$
Der springende Punkt hier ist: Auf der rechten Seite wird alles mit
$5$ multipliziert! Daher m\"ussen auf der linken Seite alle
Koeffizienten --- also
$p(4)$, $p(9)$, 
$p(14)$, $p(19)$, usw.\ --- durch $5$ teilbar sein.
Genau das ist die Aussage, die es zu beweisen galt.
\end{proof}

Ich wei\3 nicht, wie es Ihnen gegangen ist. Wenn ich diesen
Beweis in einer Vorlesung vortrage, dann gibt es immer ein paar
Studierende, die, wenn die Pointe sichtbar wird, schmunzeln m\"ussen.

\begin{figure}
\includegraphics[height=3.5cm]{zeilberger.jpg}
\caption{\small Doron Zeilberger}
\label{fig:zeil}
\end{figure}

\medskip
Wir kommen zu {\it Tour de Force}\,! Selbstverst\"andlich ist das, was Andrew
Wiles geleistet hat, eine Tour de Force, ein unglaublicher
Gewaltakt. Da dieser aber gro\3e Teile der modernen Zahlentheorie und
Algebra ben\"otigt, kann ich hier in wenigen Minuten genau gar nichts
dar\"uber sagen. Ich habe also zur Illustration ein anderes Beispiel
gew\"ahlt --- aus meinem eigenen Fachgebiet --- n\"amlich Doron Zeilbergers
(siehe Abbildung~\ref{fig:zeil})
{\it Theorem \"uber Alternierende-Vorzeichen-Matrizen}. Dazu m\"ussen wir
zun\"achst wissen, was eine Alternierende-Vorzeichen-Matrix ist. Eine
Alternierende-Vorzeichen-Matrix ist eine quadratische Anordnung von
0-en, 1-en und $(-1)$-en, die folgende Regel
befolgt: Wenn man entlang von Zeilen oder entlang von Spalten
liest und dabei die 0-en ignoriert, dann liest man alternierend 1, $-1$,
1, \dots, 1. Wohlgemerkt: Man beginnt und endet mit~1.
Hier ist ein Beispiel einer Alternierende-Vorzeichen-Matrix:
$$
\begin{matrix} 
\phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}1& \phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}0\\
\phantom{-}0& \phantom{-}1& -1& \phantom{-}0& \phantom{-}1& \phantom{-}0\\
\phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}1& \phantom{-}0& -1& \phantom{-}1\\
\phantom{-}1& \phantom{-}0& -1& \phantom{-}1& \phantom{-}0& \phantom{-}0\\
\phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}1& \phantom{-}0\\
\phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}1& \phantom{-}0& \phantom{-}0& \phantom{-}0\\
\end{matrix}$$


Sie werden jetzt fragen, warum sich Mathematiker f\"ur
Alternierende-Vorzeichen-Matrizen interessieren. Ich kann hier dar\"uber
nicht allzu viel sagen. Alternierende-Vorzeichen-Matrizen sind so um
das Jahr 1980 in Arbeiten von David Robbins und Howard Rumsey \"uber
eine Verallgemeinerung von Determinanten ganz nat\"urlich
aufgetreten. Man hat sp\"ater entdeckt, da\3 dieselben Objekte in
anderer Verkleidung auch in der Theoretischen Physik auftreten,
n\"amlich als Konfigurationen in einem --- zugegebenerma\3en etwas
simplizistischen --- Modell f\"ur Eisbildung.  
William Mills, David Robbins und Howard Rumsey haben sich gefragt, wie
viele Alternierende-Vorzeichen-Matrizen es gibt. Um genau zu sein: 

\medskip
\centerline{\it 
Wie viele $n$-zeilige Alternierende-Vorzeichen-Matrizen gibt es?}
\medskip

Offensichtlich gibt es genau eine einzeilige
Alternierende-Vorzeichen-Matrix, n\"amlich 
$$1\ .$$ 
Es gibt zwei zweizeilige
Alternierende-Vorzeichen-Matrizen:
$$
\begin{matrix} 1&0 \\ 0&1 \end{matrix} \quad \quad \begin{matrix}
  0&1 \\ 1&0 \end{matrix}
$$ 
Und es gibt 7 dreizeilige Alternierende-Vorzeichen-Matrizen:
\begin{gather*} 
\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1  \end{matrix} \qquad  
\begin{matrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0  \end{matrix} \qquad  
\begin{matrix} 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1  \end{matrix} \qquad  
\begin{matrix} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 1&0&0  \end{matrix}
\\
\begin{matrix} 0&0&1 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0  \end{matrix} \qquad  
\begin{matrix} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0  \end{matrix} \qquad  
\begin{matrix} 0&\phantom{-}1&0 \\ 1&-1&1 \\ 0&\phantom{-}1&0
\end{matrix}
\end{gather*}
Wenn wir mit
$A(n)$ die Anzahl aller $n$-zeiligen Alternierende-Vorzeichen-Matrizen
bezeichnen, dann sehen wir in der folgenden Tabelle, 

\begin{table}[h]
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
n&    1& 2& 3& 4&  5& 6\\\hline
A(n)& 1& 2& 7& 42& 429& 7436
\end{array}
$$
%\caption{}
%\label{tab:ASM}
\end{table}

\noindent
wie die ersten
Folgenglieder lauten. Mills, Robbins und Rumsey haben diese Zahlen
genau studiert und haben die folgende be\-mer\-kens\-wer\-te Entdeckung
gemacht.  

\begin{Vermutung}[\sc Mills, Robbins, Rumsey $\sim 1980$]
Es gilt
$$A(n) = \frac{1! \cdot 4! \cdot  7! \cdot \dots \cdot
  (3n-2)!}{n!\cdot (n+1)! \cdot (n+2)! \cdot \dots \cdot (2n-1)!}, $$
wobei $m!= m\cdot (m-1) \cdot (m-2) \cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.
\end{Vermutung}


Das ist extrem \"uberraschend. Wenn man als Mathematiker die obige
Fragestellung h\"ort, w\"urde man nicht glauben, da\3 es irgendeine
vern\"unftige Formel f\"ur die Anzahl aller $n$-zeiligen
Alternierende-Vorzeichen-Matrizen geben w\"urde. Aber nein, es scheint
sogar eine elegante, kompakte Produktformel zu geben! 

Aber wie das beweisen? \"Uber 10 Jahre lang wu\3ten Mathematiker nicht
einmal, wie man diese Vermutung \"uberhaupt angehen k\"onnte. Alle waren
daher sehr \"uberrascht, als Doron Zeilberger 1993 verk\"undete, da\3 er
einen Beweis gefunden hatte. Gleichzeitig legte er einen Artikel von
25 Seiten vor, in dem dieser Beweis aufgeschrieben war.  

Sie wissen ja, da\3 es nicht gen\"ugt, zu verk\"unden, etwas bewiesen zu
haben. Der Beweis mu\3 zur Ver\"offentlichung eingereicht werden, um
dann begutachtet zu werden. Zeilberger reichte also seinen Artikel zur
Ver\"offentlichung ein und --- Sie ahnen es --- der Gutachter fand L\"ucken im
Beweis. Der Artikel ging also zur\"uck an Doron Zeilberger mit der
Bitte, diese L\"ucken zu schlie\3en. Zeilberger nahm Reparaturarbeiten
vor und reichte die neue Version wieder ein, worauf der Gutachter neue
L\"ucken fand. Der Artikel ging wieder zur\"uck an Zeilberger, dieser nahm
wieder einige Ver\"anderungen vor, und so ging es einige Male hin und
her, bis dem Gutachter der Geduldsfaden ri\3. Er lie\3 Doron Zeilberger
vermutlich ungef\"ahr Folgendes ausrichten: ,\kern-1pt,Lieber Doron! Bevor Du das
n\"achste Mal den Artikel einreichst, dann bitte tue etwas! Arbeite den
Artikel sorgf\"altig durch; wenn Du dazu nicht imstande sein solltest, dann
gib den Artikel einem Studenten zum Durchlesen; aber bitte: tue
etwas!{}``  

\begin{figure}
\framebox{
\vbox{
\hsize15cm
\vskip-1.5cm
\leavevmode
\includegraphics[width=14cm]{titelzeil.pdf}
\vskip-2.5cm
}}
\caption{}
\label{fig:ASM1}
\end{figure}

Doron Zeilberger tat etwas. Erstens sah er sich den Artikel (endlich)
genau durch. Er strukturierte den Beweis vollkommen hierarchisch,
soda\3 der Artikel ,\kern-1pt,lokal`` lesbar wurde; in dem Sinne, da\3 jeder Teil
unabh\"angig lesbar war, unter der Annahme, da\3 alles, was in der
Hierarchie weiter unten angesiedelt war, korrekt ist. Anschlie\3end bat
er etwa 80 Kolleginnen und Kollegen, den Artikel zu pr\"ufen. 
Jedem von ihnen teilte er
2 bis 3 Seiten zu, und die Aufgabe bestand darin, diese 2 bis 3 Seiten auf
Korrektheit zu pr\"ufen unter der Annahme, da\3 alles, was sich weiter
unten in der Beweishierarchie befand, richtig war.  So geschah
es. Dabei flogen noch ein paar Kleinigkeiten auf, aber nichts
Weltbewegendes mehr.  Und so ist der Artikel 1995 erschienen. In
Abbildung~\ref{fig:ASM1} ist die erste Seite des Artikels zu sehen. Nach dem Titel
folgt die Liste jener etwa 80 Kolleginnen und Kollegen, der ``Checker". 
Der Artikel hat
jetzt nicht mehr 25 Seiten, sondern 85. Wie schon gesagt, der Beweis
ist vollkommen hierarchisch aufgebaut. Der eigentliche Hauptsatz hei\3t
im Artikel Lemma~1, siehe Abbildung~\ref{fig:AMS2}. Dieses beruht auf Sublemma~1.1
und Sublemma~1.2. Diese beruhen wieder auf Subsublemma~1.1.1,
Subsublemma~1.1.2, \dots, Subsublemma~1.2.1, Subsublemma~1.2.2, \dots, 
welche wiederum auf
Subsubsublemma~1.1.1.1, \dots\ beruhen, und das geht so weiter bis Sub$^6$, also
bis zu Subsubsubsubsubsublemma, wovon wir eines in Abbildung~\ref{fig:AMS3} sehen.  

\begin{figure}
\framebox{
\vbox{
\hsize15cm
\vskip-1.5cm
\leavevmode
\includegraphics[width=14cm]{lemmazeil.pdf}
\vskip-2.5cm
}}
\caption{}
\label{fig:AMS2}
\end{figure}

\begin{figure}
\framebox{
\vbox{
\hsize15cm
\vskip-1.5cm
\leavevmode
\includegraphics[width=14cm]{subsub.pdf}
\vskip-2.5cm
}}
\caption{}
\label{fig:AMS3}
\end{figure}


Sie bekommen einen Eindruck davon: Es handelt sich um eine wahre Tour
de Force. Eines kann man dar\"uber aber nicht sagen. Man kann nicht
behaupten, da\3 das ein sch\"oner Beweis, da\3 das ein eleganter Beweis
w\"are. Um das zu verteidigen, hat sich der selbe Doron Zeilberger in
einem anderen Zusammenhang einmal zu folgender Aussage 
verstiegen:\footnote{Auszug aus einem Vortrag auf der dritten
Internationalen Konferenz \"uber ``Formal Power Series and Algebraic
Combinatorics", Bordeaux, 4.~Mai 1991.}
$$
\text {\it
``Extreme UGLINESS is new BEAUTY!''
}
$$
Ich denke, wir lassen das einmal so stehen. Die Sarkasten unter Ihnen
werden sagen: ,\kern-1pt,Ja, ich hatte immer schon den Eindruck, da\3 genau das
die Idee vieler moderner Komponisten ist.`` Ich w\"urde darauf
entgegnen,
da\3 es zu allen Zeiten bessere und schlechtere Komponisten gab. Wenn
die Zeit dann fortschreitet, geraten die schlechteren in Vergessenheit,
und nur die herausragenden bleiben \"ubrig. Man kann Letzteres sehr gut
\"uberpr\"ufen, wenn man sich fragt, wie viele Komponisten es gab, als
Beethoven eine Ber\"uhmtheit war. Antwort: unz\"ahlige! Wenn man sich
allerdings fragt, welche davon man heute noch kennt, welche davon
heute noch aufgef\"uhrt werden, dann fallen einem Franz Schubert (der
,\kern-1pt,ironischerweise`` zur damaligen Zeit gro\3teils unbekannt war),
Carl Maria von Weber und die italienischen Opernkomponisten
Gioachino Rossini und Gaetano Donizetti ein. Das ist es! Dasselbe wird in 100
oder 200 Jahren f\"ur unsere heutige Zeit gelten. Die meisten
Komponisten werden vergessen sein, und nur die herausragenden werden
Bestand haben. Wenn ich dazu eine pers\"onliche Bemerkung aus
lokalpatriotischer Sicht machen darf: Ich bin \"uberzeugt, da\3
Friedrich Cerha einer von jenen Komponisten sein wird, die in 100 oder
200 Jahren immer noch zu h\"oren sein werden. 
Seine kraftvolle, ausdrucksstarke 
musikalische Sprache ist beeindruckend und auch in
jenen St\"ucken klar vernehmbar, die mir weniger gefallen.  

In einem \"ubertragenen Sinne --- nicht im w\"ortlichen Sinn --- ist obige
Aussage im Wesentlichen das, was Arnold Sch\"onberg und die Komponisten
in seinem Umfeld getan haben. Die romantische Tonsprache war, nachdem
sie auch ins Expressionistische gegangen ist, ausgereizt. Da konnte es
keine weitere Entwicklung mehr geben. Das, was Arnold Sch\"onberg nun
tat, als er sich zur Zw\"olftontechnik wandte, war ein totaler Bruch mit
allen herk\"ommlichen (H\"or-)Gewohnheiten und Regeln. Er stellte seine
Musik auf eine vollkommen neue Basis, mit vollkommen neuen Regeln. Er
glaubte --- hoffte --- dadurch eine neue musikalische \"Asthetik zu
schaffen. Ich pers\"onlich betrachte dieses Experiment als
gescheitert. Wie ich an diesem Ort schon einmal gesagt habe: Ich
verstehe, da\3 ein Genie wie Arnold Sch\"onberg diesen Weg versucht hat,
aber ich verstehe nicht, warum er aus dieser --- so wie ich es sehe ---
Sackgasse der Musikgeschichte nicht wieder herausgefunden hat. (Da\3
Sch\"onberg ein musikalisches Genie war, ist allein durch sein
Streichsextett ,\kern-1pt,Verkl\"arte Nacht`` bewiesen. Dieses ist ein so
unglaublich ber\"uhrendes und bewegendes, und gleichzeitig komplexes
Werk, wie es eben nur ein Genie schreiben kann. Es geh\"ort f\"ur mich zu
den allergr\"o\3ten Kompositionen \"uberhaupt.) 

\section*{Hirn in der Mathematik}

Da werden Sie einwenden, da\3 man dar\"uber nicht viel sagen
kann. Klarerweise sind Vernunft und \"Uberlegung das Um und Auf in der
Mathematik. Sie haben nat\"urlich Recht. Wir k\"onnen daher diesen Punkt
als abgehakt betrachten \dots

\section*{Hirn in der Musik}

Das ist f\"ur sich wieder ein abendf\"ullendes Thema. Es gibt die
landl\"aufige naive Vorstellung, was etwa Pianisten betrifft, da\3 ein
Pianist flei\3ig \"uben mu\3, und am Abend des Konzerts st\"urmt er dann
auf das Podium, setzt sich ans Klavier und legt los. Ja, das ist eine
M\"oglichkeit. Aber so funktioniert das nicht. Der Zuh\"orer wird n\"amlich
am Resultat bemerken,\footnote{Singul\"are Ausnahme hier ist vermutlich Martha
Argerich, die offenbar nicht sehr viel \"Uberlegung in ihre
Interpretationen
einflie\3en l\"a\3t, sondern in ihren Konzerten spontan drauf los
musiziert. Ich habe gr\"o\3te Hochachtung vor Martha Argerich. Ihr
Musikantentum ist in der Regel hinrei\3end. Ich habe allerdings auch
schon St\"ucke von ihr geh\"ort, die auf Grund ihres spontanen Zugangs
unter ihren Fingern zerbr\"oselt sind \dots} da\3 nicht sehr viel \"Uberlegung
in diese Interpretation eingeflossen ist. Diese wird nicht wirklich
Hand und Fu\3 haben, sie wird unschl\"ussig bleiben. Tats\"achlich, wenn
man sich die gro\3en Pianistinnen und Pianisten ansieht, dann wird man
bemerken, da\3 immer Emotion und Verstand einhergehen --- eine Symbiose
eingehen --- sicherlich jeweils mit anderer Gewichtung. Das prototypische
Beispiel ist Alfred Brendel, wo durch seine B\"ucher ausreichend belegt
ist, wie viel \"Uberlegung und Reflexion in seine Interpretationen
eingeflossen sind, und wo es andererseits gen\"ugte, ihm beim Spielen
blo\3 zuzusehen, um zu begreifen, was f\"ur ein sensibler 
und emotionaler K\"unstler er war.  

Bei Komponisten gibt es eine \"ahnliche landl\"aufige Vorstellung, da\3 es
das Wichtigste ist, gute Einf\"alle zu haben. Alles weitere ergibt sich
von selbst. Dazu kann ich nur sagen: Zu allen Zeiten gab und gibt es
viel mehr Komponisten, die gute Einf\"alle haben, als es gute
Komponisten (nicht zu reden von herausragenden Komponisten) gab und
gibt. Die gro\3e Kunst ist es, wie man die Einf\"alle, die Themen zur
Geltung bringt, wie man St\"ucke aufbaut, formt, und entwickelt. 
Auch hier gilt: Wenn
man sich die gro\3en Komponisten ansieht, gehen immer Emotion und
Verstand Hand in Hand. Bei Komponisten wie Bach, Beethoven oder Brahms ist
das sowieso evident. Aber es trifft auch auf Komponisten zu, die nicht
gerade im Verdacht stehen, besonders intellektuell an das Komponieren
herangegangen zu sein. Zu dieser letzteren Kategorie w\"urden mir spontan
Franz Schubert, Anton Bruckner, oder auch Modest Mussorgsky
einfallen. Man wird \"uberrascht sein, wie viel \"Uberlegung selbst bei
diesen Komponisten in ihre Kompositionen eingeflossen ist. Bei
Mussorgsky gen\"ugt es daf\"ur, sich die ,\kern-1pt,Bilder einer Ausstellung``
anzusehen; wie etwa die Promenaden das Werk raffiniert zusammenhalten,
wie das Thema des letzten Bildes, des ,\kern-1pt,Gro\3en Tors von Kiew``, aus dem
Promenadenthema gewonnen ist, welches seinerseits selbstbez\"uglich geformt
ist. Bruckners Partituren sind sowieso hoch komplex. Und auch bei Schubert
ist die Rolle des Verstandes viel gr\"o\3er, als man gemeinhin glauben w\"urde. Ich
m\"ochte hier den Hauch einer Idee davon geben. Das Beispiel, das ich
ausgew\"ahlt habe, ist die gro\3e Sonate in A-Dur, D 959, aus
Schuberts letztem Lebensjahr.  Diese Sonate
hat vier S\"atze. Einen ausladenden ersten Satz, dessen stolzes Kopfthema so
lautet:  
\vskip10pt

\centerline{
\includegraphics{schub959a.pdf}
}

Das todtraurige Thema des zweiten Satzes kennen wir schon:
\vskip10pt

\centerline{
\includegraphics{schub959b.pdf}
}

Es folgt ein neckisches Scherzo, das auch L\"andler-Elemente enth\"alt:
\vskip10pt

\centerline{
\includegraphics{schub959c.pdf}
}

Das abschlie\3ende melodienselige Rondo beginnt folgenderma\3en:
\vskip10pt

\centerline{
\includegraphics{schub959d.pdf}
}

\vskip3pt
Sie werden es nicht bemerkt haben, aber Sie werden es vielleicht
gef\"uhlt haben: Diese vier charakterlich
sehr verschiedenen Themen werden durch eine
verborgene Klammer verbunden: Diese m\"ochte ich nun sichtbar machen.  

Sieht man sich das Kopfthema des ersten Satzes n\"aher an, dann
erkennt man, da\3 (in der Oberstimme) zun\"achst 
mehrmals die Note {\it a} wiederholt wird, ehe sie ganz
am Schlu\3 zu {\it gis} aufgel\"ost wird, das auch noch mit einem {\it fis} umspielt
wird. Wenn man also das Thema auf seinen Kern reduziert, dann wird
klar, da\3 es sich um einen gro\3 aufgeblasenen Vorhalt {\it a--gis} handelt:  
$$
\includegraphics[height=1.5cm]{agis.jpg}
$$
Wie beginnt nun der zweite Satz? Die Antwort lautet: {\it a--gis}.
Wie sieht das im Scherzo aus? Da ist es ein wenig versteckter. Hier mu\3
man die Unterstimme ansehen, um auch wieder {\it a--gis} zu
entdecken!
Im Thema des letzten Satzes kommt der Vorhalt {\it a--gis} sogar zweimal vor
(n\"amlich im zweiten und im vierten Takt, beide Male in der
Oberstimme).

Sicherlich, diese Feinheiten nimmt man als Zuh\"orer nicht {\it bewu\3t\/}
wahr. Sie tun aber {\it unbewu\3t\/} ihre Wirkung. Im konkreten Fall tragen
sie zur gro\3en Einheit dieser Sonate bei. Es sind unter anderem diese Details,
die den Unterschied zwischen einem Meisterwerk und Durchschnittsware
ausmachen.  

\section*{Unterschiede zwischen Mathematik und Musik}

Ich habe bisher sehr viel \"uber Parallelen zwischen Mathematik und
Musik gesprochen. Ich sollte dann wohl auch auf die Unterschiede zu
sprechen kommen. Da gibt es viele. Ich m\"ochte hier nur den
allerwichtigsten herausarbeiten. 

Dieser beginnt mit einer weiteren Parallele. Wenn ein Komponist die
tolle Eingebung hatte und eine Komposition in seinem Kopf entstanden
ist, dann mu\3 er diese jetzt aufschreiben, damit sie auch aufgef\"uhrt
werden kann. Das kann dann so wie in Abbildung~\ref{fig:appass} aussehen.  

\begin{figure}
   \includegraphics[height=9cm]{appassionata.jpg}

\small
Ludwig van {\sc Beethoven} (1770 -- 1827):
{\it Sonate f-moll, op.~57 }({\it,\kern-1pt,Appassionata``})
\caption{}
\label{fig:appass}
\end{figure}

Wenn ein Mathematiker den brillanten Einfall hatte und jetzt ein
tolles neues Theorem bewiesen hat, dann mu\3 er das jetzt
aufschreiben, damit das andere auch nachvollziehen k\"onnen. Das kann
dann so wie in Abbildung~\ref{fig:note1} aussehen. 

\begin{figure}
   \includegraphics[height=9cm]{notebook1chapter6halb.jpg}

\small
Srinivasa {\sc Ramanujan} (1887 -- 1920);
{\it Notebook I}
\caption{}
\label{fig:note1}
\end{figure}

Wenn jemand nicht Noten lesen kann und auch von Mathematik nichts
versteht: Ich w\"urde sagen, kein gro\3er Unterschied; eines so
unverst\"andlich wie das andere \dots

Nehmen wir die Partitur her. Diese mu\3 nun zum Leben erweckt
werden. Im Fall der ,\kern-1pt,Appassionata`` brauchen wir daf\"ur einen
Pianisten. Dieser mu\3 das Werk einstudieren und dann zur Auff\"uhrung
bringen. Und diese Auff\"uhrung --- das ist es! Das ist die {\it ganze}
Komposition! Da ist nichts hinzugef\"ugt, da ist nichts weggelassen
(wenn wir davon absehen, da\3 sich der Pianist vielleicht hin und
wieder vertippt \dots). Und jeder kann sich dazusetzen und sich das
anh\"oren. Man braucht daf\"ur keine Vorbildung. Wenn man einen Draht zur
musikalischen Sprache Beethovens hat, dann wird man von der d\"usteren,
spannungsgeladenen Atmosph\"are der Appassionata mitgerissen werden.  

Betrachten wir nun die aufgeschriebene Mathematik. Auch diese mu\3 zum
Leben erweckt werden. Aber: Die {\it Auff\"uhrung} von Mathematik, die gibt es
nicht! Man kann Mathematik nicht auff\"uhren. Sie werden vielleicht
einwenden: Aber auf der Universit\"at, in den Vorlesungen, da wird doch
Mathematik ,\kern-1pt,aufgef\"uhrt``. Gewisserma\3en, ja. Aber das ist doch
anders. Sie k\"onnen sich nicht einfach dazusetzen und die Qualit\"aten
der dort aufgef\"uhrten Mathematik genie\3en. Abh\"angig davon, wie
fortgeschritten die Vorlesung ist, ben\"otigt der H\"orer mehr oder
weniger Vorkenntnisse, um \"uberhaupt zu wissen, wovon die Rede
ist. (Selbst die Vorlesungen des ersten Semesters ben\"otigen gewisse
Vorkenntnisse, ohne die es nicht ratsam ist, sich in die Vorlesung zu
setzen. Leider gibt es jedes Jahr mehr erstsemestrige Studierende, 
als uns lieb ist, denen das scheinbar nicht so ganz klar ist \dots)  
In den Vorlesungen ist es \"ublich, auf dieses Vorwissen
aufzubauen und schon Bekanntes nicht noch einmal zu
wiederholen. Au\3erdem werden dem H\"orer oft Schl\"usse zur genauen
Ausf\"uhrung \"uberlassen, wenn diese so quasi ,\kern-1pt,selbstverst\"andlich``
sind. In diesem Sinne findet auch in Vorlesungen keine (vollst\"andige)
Auff\"uhrung von Mathematik statt.  

Sie werden dann sagen: Ja, aber auf mathematischen Konferenzen, da
stellen doch die Mathematiker ihre neuesten Ergebnisse ihren
Kolleginnen und 
Kollegen vor, {\it da} wird doch Mathematik ,\kern-1pt,aufgef\"uhrt``{}! 
Ersteres stimmt zwar,
aber auch hier kommt es zu keiner ,\kern-1pt,Auff\"uhrung`` von
Mathematik im selben Sinne, wie Musik aufgef\"uhrt wird. 
Auf Konferenzen hat man vielleicht 30 Minuten, vielleicht
eine Stunde Zeit, sein neuestes Resultat zu pr\"asentieren. Was
pr\"asentiert wird, dar\"uber haben die Vortragenden wochenlang,
monatelang, vielleicht jahrelang nachgedacht. Das l\"a\3t sich nicht in
30 Minuten oder einer Stunde zur G\"anze in jedem Detail pr\"asentieren. 
Was man also tut, ist, die
Aussage seines neuesten Theorems zu erkl\"aren und dann anzudeuten,
welche Ideen in den Beweis eingeflossen sind. Wenn ein H\"orer einen
Beweis vollst\"andig nachvollziehen m\"ochte, beziehungsweise 
zur G\"anze \"uberpr\"ufen
m\"ochte, dann mu\3 dieser den Artikel, in dem der Beweis aufgeschrieben
ist, studieren. Auch hier kommt es also nicht zur 
,\kern-1pt,Auff\"uhrung`` von Mathematik.  

Das hat eine f\"ur Mathematiker sehr leidvolle Folgerung: Ich w\"urde
sagen, da\3 --- Daumen mal $\pi$ --- 90 Prozent der Bev\"olkerung Musik zug\"anglich
sind. Wenn man dann die popul\"are Musik wegl\"a\3t, dann bleiben immer
noch --- vorsichtig gesch\"atzt --- mindestens 10 Prozent, 
die durch --- ich sage jetzt --- 
{\it aussagekr\"aftige}\footnote{Mit den Bezeichnungen 
,\kern-1pt,E`` und ,\kern-1pt,U`` wei\3 ich mir n\"amlich wenig
anzufangen.} Musik ansprechbar sind.  

Wie sieht das mit der Mathematik aus? Ich w\"urde das so
formulieren. Sie werden sich m\"oglicherweise aus der Mittelschulzeit
erinnern, da\3 Mathematiker ein spezielles Symbol f\"ur verschwindend
kleine Gr\"o\3en haben: das $\varepsilon$\,! 
Ich w\"urde also sagen, da\3 --- grob
gesch\"atzt --- $\varepsilon$~Prozent der Bev\"olkerung durch die 
vielf\"altigen Qualit\"aten der
Wissenschaft Mathematik ansprechbar sind. 

Das ist sehr schmerzlich f\"ur
Mathematiker. Mathematikern wird oft vorgeworfen, sie sollten doch aus
ihrem Elfenbeinturm heraustreten und einem breiten Publikum
erkl\"aren, was sie so tun. Und Mathematiker w\"urden genau das liebend gerne
machen: Sie w\"urden mit gro\3er Begeisterung ihr
neuestes Theorem --- sozusagen: ihre neueste Komposition --- einem breiten
Publikum vortragen. Allein, auf Grund der oben be\-schrie\-be\-nen
Schwierigkeiten: Es ist ein Ding der Unm\"oglichkeit. Wohl gemerkt: Ich
sage nicht, da\3 man {\it \"uber} Mathematik nicht reden soll. Ganz im
Gegenteil. Was ich hier mache, ist ja in einem gewissen Sinne auch
,\kern-1pt,{\it \"uber} Mathematik reden``. Und es ist das, was hier 
im {\tt math.space} --- mit
gro\3em Erfolg --- geschieht. Aber, wenn es zur aktuellen Forschung
kommt, dann wird man nur in Bildern sprechen k\"onnen, dann wird man nur
andeuten k\"onnen, was hier wirklich vor sich geht. Wie
gesagt: Die Auff\"uhrung von Mathematik gibt es nicht, und so wird ein
Mathematiker einem breiten Publikum nie wirklich nahebringen k\"onnen,
was er erlebt, wenn er sich mit mathematischen Problemen
und deren L\"osung
besch\"aftigt. In diesem Punkt tragen Mathematiker gegen\"uber Musikern,
aber auch gegen\"uber Forschern in anderen Wissenschaftsdisziplinen, immer
ein Handicap. Musik spricht den H\"orer unmittelbar an, da sind keine
,\kern-1pt,\"Ubersetzung`` oder zus\"atzliche Erkl\"arung notwendig, 
ganz im Gegensatz zur Mathematik.\footnote{Folgerichtig versucht
C\'edric Villani 
in seinem bemerkenswerten, aufsehenerregenden Buch {\it``Th\'eor\`eme vivant''}
(in der deutschen \"Ubersetzung: {\it,\kern-1pt,Das lebendige Theorem``}) ---
in dem er beschreibt, wie der Beweis jenes Theorems entstanden ist, das
wesentlich zur Verleihung der Fieldsmedaille an ihn im Jahr 2010 beitrug ---
gar nicht erst, die Mathematik dahinter zu erkl\"aren, sondern bleibt im 
Gegenteil dazu sogar f\"ur ein Fachpublikum, das nicht Experte auf dem
Gebiet der partiellen Differentialgleichungen ist, 
mit voller Absicht unverst\"andlich, um sich daf\"ur ganz auf
die emotionelle Seite der Auseinandersetzung mit Mathematik zu
konzentrieren. Dies gelingt Villani ganz hervorragend,
aber --- n\"uchtern betrachtet --- wird hier {\it nicht einmal \"uber}
Mathematik gesprochen.}

\section*{Pers\"onliches}

Was bedeuten mir pers\"onlich Mathematik und Musik? Viel, nat\"urlich. 
Da ist einmal
die unerkl\"arbare, magische Komponente. Wenn ich gefragt werde, warum
ich zur Musik oder Mathematik gekommen bin: Ich wei\3 es nicht. Ich
erinnere mich gut, da\3 ich als \hbox{6--7-{}}J\"ahriger schon leidenschaftlich
gerne vor mich hingesungen habe. Warum? Ich wei\3 es nicht. Ich
erinnere mich auch gut, da\3 ich mich als \hbox{13--14-{}}J\"ahriger 
brennend daf\"ur 
interessiert habe, wie gro\3 die Wahrscheinlichkeit ist, da\3 man mit
einer gegebenen Anzahl von W\"urfeln eine gegebene Gesamtaugenzahl
w\"urfelt, da\3 man also etwa mit 10 W\"urfeln die Augenzahl 36
w\"urfelt. Ich habe mit Hingabe lange Tabellen aufgestellt und diese
untersucht. Nach mehrj\"ahriger Arbeit gelang es mir tats\"achlich, eine
Formel zu finden. Nat\"urlich hatte ich damals nicht die geringste
Ahnung, wie man diese auch beweisen k\"onnte.\footnote{Heute wei\3 ich, da\3 man
diese Formel problemlos mit Hilfe von erzeugenden Funktionen oder auch
mit Hilfe des Prinzips der Inklusion und Exklusion beweisen kann.}
Warum mich das so fasziniert hat? Ich wei\3 es nicht.  

Was fasziniert mich heute an Mathematik und Musik? Bei der Mathematik
ist da einmal die Herausforderung, offene Probleme, wie sie laufend
aus der Physik, der Informatik, oder auch der Mathematik selbst kommen,
zu ,\kern-1pt,knacken``. Interessanterweise kommt es in meiner Forschungsarbeit
sehr h\"aufig vor, da\3 ich, um ein Problem zu l\"osen, lange Tabellen
studiere (die aber heutzutage mit dem Computer erstellt sind), und ich
versuche, eine mathematische Formel f\"ur die Zahlen in diesen Tabellen
zu erraten (auch das unter Mithilfe des Computers), und dann --- im
erfolgreichen Fall --- die so gefundene Vermutung zu beweisen. Weiters
fasziniert es mich nat\"urlich, verborgene Strukturen und Zusammenh\"ange,
die sich hinter den Problemen und deren L\"osungen verbergen,
aufzudecken. Die \"asthetische Komponente der Mathematik spielt f\"ur mich
klarerweise eine gro\3e Rolle.  

Auch bei der Musik fasziniert es mich, Neues zu ergr\"unden. Es ist
einfach ungemein interessant, sich ein neues\footnote{Gemeint ist:
,\kern-1pt,vorher noch nicht studiertes``} St\"uck vorzunehmen, und zu
beginnen, daran zu arbeiten. Wie wir schon besprochen haben: Eine
Partitur mu\3 zum Leben erweckt werden. Am Anfang wei\3 man oft gar
nicht, was die wichtigen Dinge in einem St\"uck sind, wie der Aufbau des
St\"uckes zu verstehen ist, und wie das St\"uck ablaufen soll. Ich
erinnere mich gut an die Situation, wie ich mit meinen Triopartnern
begonnen habe, den dritten Satz aus Mozarts Klaviertrio in C-Dur, KV~548, 
f\"ur eine Zugabe eines Konzertabends einzustudieren. Auch wenn wir
--- jeder f\"ur sich --- die eigenen Parts vorher ge\"ubt hatten, 
die ,\kern-1pt,erste
Lesung`` des Satzes verkam zu einer veritablen Katastrophe: Nichts
ergab auch nur irgendeinen Sinn. Der Geiger pl\"adierte sofort daf\"ur, etwas
anderes als Zugabe zu w\"ahlen \dots\ Ich bestand jedoch darauf, dem St\"uck
eine Chance zu geben. Wir begannen also, daran zu arbeiten. Und siehe
da: Allm\"ahlich formte sich das ,\kern-1pt,h\"a\3liche Entlein`` zu einem
lebhaften, witzigen St\"uck Musik, das uns allen gro\3e Freude
bereitete. 

Ein weiterer wichtiger Punkt ist nat\"urlich, da\3 man,
nachdem man eine Interpretation eines St\"uckes erarbeitet hat, diese ---
eigene --- Sicht der Komposition nun einem Publikum darbieten will. Das
ist jedes Mal ein ungeheuer interessantes und aufregendes Erlebnis. 
Man wei\3 nie im
Vorhinein, wie das ablaufen wird, aber umso spannender ist das, und
umso bereichernder kann das sein.  

In jedem Fall aber waren und sind Mathematik und Musik f\"ur mich zwei
sehr verschiedene Dinge, die komplement\"ar zueinander sind. Und genau
diese Komplementarit\"at habe ich immer als so interessant und reizvoll
empfunden. Es ist ja wahrscheinlich sowieso nicht gesund, sich in nur
eine Sache zu verbohren. Wenn ich etwa \"uber ein mathematisches
Problem nachdenke und an einem toten Punkt anlange, wo ich nicht mehr
weiter wei\3, dann kann ich mich zum Klavier setzen und mich auf etwas
ganz anderes konzentrieren, und so das Hirn wieder frei
bekommen. Vielleicht, wenn ich mich dann sp\"ater wieder dem
mathematischen Problem zuwende, habe ich dann eine neue, frische Sicht
der Dinge, um mit dem Problem wieder voran zu kommen.  

\section*{Schlusz}

Ich w\"are am Ende meiner Ausf\"uhrungen \"uber ,\kern-1pt,Mathematik UND Musik?{}``
angelangt. Es ist ja so: In einem mathematischen Vortrag ist es
durchaus erlaubt, gro\3teils unverst\"andlich zu bleiben. Allerdings nur
unter einer Bedingung: Wie es der einflu\3reiche italienische
Mathematiker Gian-Carlo Rota einmal als Forderung des Publikums an den
Vortragenden formuliert hat:\footnote{Das Zitat stammt aus dem Vortrag
{\it``Ten Lessons I wish I had been Taught``}, den Rota am 20.~April 1996
bei einer Geburtstagskonferenz ihm zu Ehren am Massachusetts Institute
of Technology in Boston gehalten hat. Er ist in den Notices der American
Mathematical Society, vol.~44, Nr.~1, 1997, S.~22--25 (siehe
{\tt http://www.ams.org/notices/199701/comm-rota.pdf}) nachzulesen.}
$$
\text {\it
``Give us something to take home!{}''
}
$$
In diesem Sinne hoffe ich, da\3 ich nicht allzu unverst\"andlich war,
und da\3 etwas f\"ur Sie dabei war, um es mit nach Hause zu nehmen. Weil
wir beim Mit-nach-Hause-Nehmen sind: Ich h\"atte da noch etwas
anzubieten, ein Musikst\"uck am Schlu\3. Es mu\3 nat\"urlich zu unserem
Motto ,\kern-1pt,Herz UND Hirn`` passen. Da g\"abe es viele nat\"urliche Kandidaten
bei Johann Sebastian Bach etwa, oder auch bei Ludwig van
Beethoven. Das w\"are aber zu einfach, zu konventionell. Ich habe
stattdessen die Sonate Opus 1 von Alban Berg ausgew\"ahlt. Dieser hat
sie als 23-J\"ahriger geschrieben. Sie ist gewisserma\3en die
Abschlu\3arbeit der Kompositionsstudien Bergs, die dieser vor allem bei
Arnold Sch\"onberg vorgenommen hat. Wenn man so will, ist es die
musikalische ,\kern-1pt,Dissertation`` Alban Bergs, um eine weitere Parallele zur
Mathematik zu bem\"uhen. Sie pa\3t hervorragend zu unserem Motto ,\kern-1pt,Herz
UND Hirn``. Ich w\"urde sagen, die musikalische Sprache dieser Sonate ist
dem Expressionismus zuzuordnen. Sie ist also hoch emotionell. Auf der
anderen Seite handelt es sich um eine unglaublich dichte musikalische
Konstruktion, in der das {\it ganze} etwa 10-min\"utige St\"uck
aus {\it einer} Keimzelle --- n\"amlich dem Anfangsthema --- gewonnen ist. 
Aber genug der Erkl\"arungen. Ich spiele also jetzt die Sonate Opus~1 von
Alban Berg, und ich werde unmittelbar daran ein Gebet von Johannes
Brahms anh\"angen. ,\kern-1pt,Intermezzo`` hei\3t das bei Brahms, aus den letzten
Klavierst\"ucken, die er geschrieben hat. Ich habe das immer schon
gerne gemacht, da erstens die beiden St\"ucke so gut zusammen passen,
und zweitens, wenn man zuh\"ort, begreift man, woher die
musikalische Sprache Alban Bergs kommt.


\medskip
%\vbox{
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Alban {\sc Berg} (1885 -- 1935):
{\it Sonate op.~1}
}\,$\big\rangle$
\footnote{Auch auf die Gefahr hin, eine gewisse Einseitigkeit
an den Tag zu legen: Die wunderbar austarierte Sicht Alfred Brendels
ist auf YouTube in zwei Teilen anzuh\"oren:\newline
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=PlV-ksfS7F8},\newline
{\tt http://www.youtube.com/watch?v=QxBGG74ztVo}.}}

\medskip
\centerline{
$\big\langle$\,\text {
Johannes {\sc Brahms} (1833 -- 1897):
{\it Intermezzo in h-moll, op.~119/1}
}\,$\big\rangle$
\footnote{Eine alte Konzertaufnahme dieses St\"ucks mit dem Autor
am Klavier findet sich unter
{\tt 
http://www.mat.univie.ac.at/\lower0.5ex\hbox{\~{}}kratt/klavier/brahms119-1.html}.}}

\vfill

\end{document}

