Die Theorie der Distributionen (verallgemeinterter Funktionen) ist eine Erweiterung der klassischen Analysis, die Mitte des 20. Jahrhunderts vor allem von Laurent Schwartz und Sergei Sobolev entwickelt wurde und sowohl innerhalb der Funktionalanalysis, als auch in Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, theoretische Physik) einen zentralen Platz einnimmt. Als Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs wird statt der ''klassischen'' Zuordnung die Zuordnung betrachtet, wobei Element eines geeigneten Funktionenraums ist; verallgemeinerte Funktionen sind also lineare, setige Funktionale auf .
Dieser Begriffsrahmen ist besonders gut geeignet, um für (klassisch) nichtdifferenzierbare oder sogar unstetige Funktionen (etwa die Heaviside'sche Sprungfunktion oder die Dirac'sche Deltafunktion) einen Ableitungsbegriff zu entwickeln und eine reichhaltige Theorie verallgemeinerter Funktionen zu ermöglichen.

Im zweiten Teil dieser Vorlesung werden wir uns unter anderem mit folgenden Themenkreisen beschäftigen:

• Fundamentallösungen von Differentialoperatoren
• Koordinatentransformationen, Distributionen auf Mannigfaltigkeiten
• Fouriertransformation
• Sobolevräume
• Satz von Malgrange-Ehrenpreis
• Mikrolokale Analysis

Neben der Darstellung der theoretischen Apsekte des Themas werden wir auch Anwendungen vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen (Fundamentallösungen der klassischen PDEs) und der mathematischen Physik besprechen, sodaß sich der Besuch der Vorlesung auch für StudentInnen der (theoretischen) Physik lohnt.

Wir werden uns im Wesentlichen am Buch ''Introduction to the Theory of Distributions'' von G. Friedlander und M. Joshi (Cambridge University Press, 2nd Edition, 1998) orientieren. Weitere Literatur ist hier angegeben. Begleitend zur Vorlesung bieten wir auch ein Seminar (801140 SE Seminar (Analysis): Verallgemeinerte Funktionen, siehe gesonderte Ankündigung) an, in dem speziell auf Anwendungen der Distributionentheorie eingegangen wird.

Zielpublikum: DiplomstudentInnen der Mathematik und (theoretischen) Physik, LehramtstudentInnen der Mathematik

Positionierung im Studienplan: Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.

Beginn: Mittwoch, 2.10. 13:15, Hs. 5 (Sensengasse 8).

Ziel dieses Seminars ist es, einerseits den Stoff der Vorlesung Distributionentheorie 2 zu komplementieren und zu erweitern und andererseits konkrete Anwendungen der Distributionentheorie selbständig zu erarbeiten und zu präsentieren. Als Grundlage dienen die Bücher ''Problems in Distributions and Partial Differential Equations'' von C. Zuily (North Holland Mathematics Studies 143, 1988) und ''Introduction to the Theory of Distributions'' von G. Friedlander und M. Joshi (2nd Edition, Cambridge Universtiy Press, 1998).

Das Seminar ist als Begleitung und Vertiefung der Vorlesung (801139 VO Distributionentheorie 2, siehe gesonderte Ankündigung) gedacht, kann aber bei vorhandenen Vorkenntnissen selbstverständlich auch unabhängig von dieser besucht werden.

Die engere Auswahl der Themen richtet sich selbstverständlich nach den Wünschen der Teilnehmer. Insbesondere können Anwendungen in der (theoretischen) Physik behandelt werden, sodaß ein Besuch des Seminars auch für DiplomstudentInnen der Physik interessant ist.

Neben dem fachlichen Inhalt des Seminars ist uns vor allem die Vermittlung von Präsentationstechnik und fachlicher Diskussionskultur ein großes Anliegen, das in diesem Seminar nicht zu kurz kommen wird.

Zielpublikum: DiplomstudentInnen der Mathematik und (theoretischen) Physik, LehramtstudentInnen der Mathematik

Positionierung im Studienplan: Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.

Vorbesprechung: Mittwoch, 2.10. 15:00, Hs. 5 (Sensengasse 8).

Literatur zur Vorlesung Distributionentheorie 2
M. Kunzinger, R. Steinbauer, Wintersemester 2002/2003

1. J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions
   (Marcel Dekker, New York, 1973).
   Funktionalanalytisch, enthält viele wichtige Resultate (Stetigkeit diverser Faltungsoperationen, Anwendungen auf lineare PDEs), stützt sich in den Details stark auf das Buch von Horvath.

2. J. Dieudonné, Grundzüge der modernen Analysis, Band III (Vieweg, Braunschweig, 1976).
   Sehr präziser und abstrakter (funktionalanalytischer) Zugang, allerdings basierend auf Bänden I und II, daher ev. nicht unmittelbar lesbar.

3. G. Friedlander, M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions
   (2nd Edition, Cambridge Universtiy Press, 1998).
   Das Buch der (unserer) Wahl, vermittelt die wesentlichen Techniken und Resultate auf direktem Weg. Stoffauswahl unter dem Gesichtspunkt der Verwendbarkeit in der Theorie der PDEs, dem mit Sicherheit wichtigsten Anwendungsgebiet.

4. J. Horvath, Topological Vector Spaces and Distributions
   (Addison-Wesley, Reading, MA, 1966).
   Eines der Standardwerke über lokalkonvexe Vektorräume. Da zuerst diese Theorie entwickelt wird, muss man sich mit ca. 300 Seiten Funktionalanalysis beschäftigen, bevor die erste Distribution behandelt wird...

5. L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I
   (2nd Edition, Springer, Berlin, 1990).
   Der Großmeister schlechthin (Fieldsmedaille (1962) für seine bahnbrechenden Arbeiten auf dem Gebiet der linearen PDEs und Distributionen). Schwer lesbar, aber ''worth the effort''.

6. I. M. Gelfand, G. E. Schilow, Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) I-III
   (Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1960-69).
   Eines der Standardwerke. Der erste Band bietet viele konrete Rechnungen und Beispiele. Im Band II werden topologische Vektorräume und im Band III PDEs behandelt. Es gibt auch einen Band IV von Gelfand und N. J. Wilenkin, der Distributionskerne und harmonische Analyse beinhaltet.

7. L. Schwartz, Théorie des Distributions (Hermann, Paris, 1966).
   Das Buch des Erfinders und Grand Seigneurs der Theorie (Fields Medaille (1950) für die Entwicklung ebendieser Theorie!).

8. F. Treves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels
   (Pure and Applied Mathematics, Academic Press, New York, 1967).
   Einführung in die Theorie der topologischen Vetorräume mit starkem Bezug zu Distributionentheorie und Anwendungen in PDEs.

9. F. Treves, Basic Linear Partial Differential Operators
   (Pure and Applied Mathematics, Academic Press, New York, 1975).
   Distributions in action.'' Ein Buch über lineare PDEs mit einem Zugang bei dem Fundamentallösungen im Zentrum stehen. Die Struktur von Lösungen der klassischen Gleichungen werden über das Studium ihrer Fundamentallösungen gewonnen.

10. W. Walter, Einführung in die Theorie der Distributionen (2. Auflage, BI, Zürich, 1974).
    Eine freundliche und detaillierte Einführung; leicht lesbar. In der Stoffauswahl ähnlich wie aber etwas enger als das Buch von Friedlander.