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List of ca. 4000 preprocessed sentences 
occurring in the lecture notes for analysis and linear algebra
by Arnold Neumaier

created by Arnold Neumaier using a program by Kevin Kofler
February 19, 2009

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"Gleichmaessig" bezieht sich dabei darauf, dass der Fehler FORMULA fuer alle FORMULA gleichzeitig beliebig klein gemacht werden kann.)

(Also ist die asymptotische Entwicklung aus Beispiel REF fuer kleine FORMULA konvergent.)

(Beim Transponieren eines Produkts kehrt sich also die Reihenfolge der Faktoren wie beim Invertieren um!)

(C4): Aus FORMULA folgt FORMULA, und fuer FORMULA folgt FORMULA.

(C5) als Uebungsaufgabe.

(C6): FORMULA 1+1=2.

(Da FORMULA bzgl.

(Da in den Summen EQN -- EQN (und auch spaeter oft) die Indices doppelt vorkommen, ueber die summiert wird, ist es in der Physik vielfach ueblich, das Summenzeichen garnicht zu schreiben, wenn ueber alle doppelt vorkommenden Indizes summiert werden soll (Einstein'sche Summenkonvention).

(Das Symbol FORMULA wird auch \define{Nabla} genannt.) Der (altgriechische) Name \define{Nabla} stammt von William Robertson Smith (PREFIX 1894), den die Form an eine antike Harfe erinnerte (Wikipedia).

(Das Verhalten am unendlich fernen Punkt muss gesondert betrachtet werden, ist aber konsistent.)

(Dass FORMULA ein monotones lineares Funktional ist, folgt aus Proposition REF.

(Dass in FORMULA tatsaechlich wieder die Multiplikatoren stehen, haben wir nicht ausgerechnet, da es sich bald aus dem Beweis des Allgemeinfalls ergeben wird.)

(Dass tatsaechlich eine Loesung existiert, kann mit dem Fixpunktsatz von Banach gezeigt werden, s. etwa Barner/Flohr, Analysis II, S.

(Den Namen verdient es eigentlich erst, wenn die Monotonieeigenschaft EQN und die Integraleigenschaft EQN -- folgt aus Satz REF -- bewiesen sind.

(Der etwas technische Beweis kann uebergangen werden.) FORMULA sei eine Folge von Treppenfunktionen mit FORMULA.

(Deuteronomium 30, PREFIX 20) Das Leben waehlen, darauf kommt es an -- wie nahe daran sind wir heute, die Welt fuer uns und unsre Nachkommen unbrauchbar zu machen! Als zukuenftige Wissenschaftler tragen Sie in besonderem Mass Verantwortung fuer den Weg, den unser Land und unsre Welt einschlaegt.

(Die Bezeichnung FORMULA kann erst spaeter bei der Behandlung von Kurven-, Flaechen- und Volumenintegralen motiviert werden.)

(Die Deltafunktion ist keine echte Funktion, da sie nur unter dem Integralzeichen Sinn macht.

(Die Eigenschaften sind trivial.) ITEM Als Spezialfall FORMULA von ITEM findet man insbesondere, dass fuer FORMULA durch FORMULA ein Integral FORMULA in FORMULA definiert ist.

(Die Formeln mit konjugiert transponierten Matrizen gelten natuerlich nur, wenn FORMULA ein Zahlkoerper ist.)

(Die Heaviside-Funktion spielt in der Physik als Faktor eine wichtige Rolle.

(Die entsprechende Aussage fuer FORMULA ist falsch: Uebungsaufgabe.)

(Die folgende Definition passt allerdings nur fuer Experimente der klassischen Physik.

(Die fuer die Abbildung EQN naheliegende Bezeichnung "Funktion" werden wir erst spaeter -- in Def. REF -- fuer eine besondere Klasse von Abbildungen benutzen.)

(Die hier benutzte Abschaetzungstechnik ist auch sonst oft von Nutzen.)

(Die notwendigen Bedingungen ITEM fuer ein lokales Minimum sind also fast hinreichend.)

(Dies ist der Spezialfall FORMULA des Lemmas von Poincare.)

(Diese Aussage bezeichnet man als \define{Identitaetssatz} oder \define{Permanenzprinzip}.)

(Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring heisst \define{Integritaetsbereich}, aber wir werden diesen Begriff nicht weiter benuetzen.

(Ein stationaerer Punkt, an dem kein lokales Minimum vorliegt definiert ein \define{labiles Gleichgewicht}, von dem sich das System bei aeusseren Stoerungen leicht wieder entfernt.) Da bei kleiner Energiedifferenz FORMULA nur kleine Aenderungen FORMULA moeglich sind, kann man den Gradienten FORMULA in der Differentialgleichung EQN um FORMULA linearisieren, DISPLAY also DISPLAY Nach Satz REF ist die Hesse-Matrix FORMULA eine symmetrische Matrix; wegen dem folgenden Satz ist sie in der Regel positiv definit.

(Entsprechendes gilt fuer die Ableitungen.)

(FORMULA fungiert sozusagen als Muelleimer; Mist bleibt Mist, was man auch damit macht.)

(FORMULA homoeomorph zur Einheitskugel reicht.)

(FORMULA homoeomorph zur Einheitskugel reicht.)

(FORMULA ist also ein reines Punktspektrum.) ITEM Es gibt ein eindeutig bestimmtes Polynom FORMULA vom Grad FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY fuer jede Karte FORMULA von FORMULA.

(FORMULA ist das zur Kraft FORMULA gehoerige Potential.) ITEM Fuer FORMULA ist DISPLAY also verschwindet der Koeffizient: DISPLAY Das Lemma von Poincare sagt hier, dass sich umgekehrt jedes Vektorfeld FORMULA mit FORMULA fuer konvexe oder sternfoermige Gebiete FORMULA als Rotation FORMULA eines Vektorfeldes FORMULA schreiben laesst.

(Fuer FORMULA muss man einmal die Regel von l'Hospital anwenden, verliert also eine Differenzierbarkeitsordnung.) Nach ITEM folgt daraus immer noch FORMULA, und wegen EQN folgt FORMULA fuer FORMULA.

(Fuer FORMULA wird FORMULA, weshalb man am Rand keine geometrische Majorante und daher hoechstens langsame Konvergenz hat.) ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA mit FORMULA, und die Reihe konvergiert nach dem eben Bewiesenen.

(Fuer die charakteristische Funktion von FORMULA wird von anderen Autoren z.T.

(Fuer endlich-dimensionale Raeume ist das wegen Satz REF automatisch der Fall.)

(Genesis 11, PREFIX 9) Wie alle Macht, die Gott den Menschen uebertragen hat, traegt auch die Macht des Wissens das Angebot von Segen und Fluch in sich.

(Haetten wir FORMULA gehabt, so waere FORMULA und FORMULA gewesen, und es haette keine Loesung existiert.) Diesmal kann man keine Variable frei waehlen, da FORMULA ist, und man erhaelt FORMULA aus DISPLAY Es folgt FORMULA.

(Hat FORMULA Sprungstellen, so muss man das Integrationsintervall an den Sprungstellen zerlegen, um das Integral zu berechnen.)

(Hier wird EQN gebraucht!) Daher liegt FORMULA, es ist also DISPLAY Wegen Satz REF und EQN ist FORMULA eine PREFIX Flaeche, und wegen Proposition REF ist FORMULA ein Normalenvektor von FORMULA im Punkt FORMULA, der nach den ebengemachten Bemerkungen nach aussen (aus FORMULA heraus) zeigt.

(Im Unterschied zu sonst bezeichnet in diesem Kapitel der Buchstabe FORMULA keinen Koerper, sondern kompakte Mengen.)

(Im andern Fall ist die Matrix singulaer.)

(Im physikalischen Sprachgebrauch ist jedoch oft stillschweigend FORMULA vorausgesetzt.) Da in der linearen Algebra alle betrachteten Objekte moeglichst koordinatenunabhaengig untersucht werden, benoetigt man ein Konzept, das in Koordinaten betrachtet gerade die Tensoren ergibt.

(In Analogie zu einer Matrix muesste man die FORMULA in einem PREFIX Wuerfel unterbringen, aber dies ist nicht mehr uebersichtlich.)

(In algebraischer Sprache sagt man, FORMULA sei eine direkte Summe der FORMULA.) Ist naemlich auch FORMULA mit FORMULA, so folgt aus FORMULA durch Multiplikation mit FORMULA zunaechst FORMULA, da die FORMULA und FORMULA Eigenvektoren zum Eigenwert FORMULA sind.

(In den hier nicht behandelten Anwendungen auf die Quantenphysik ist FORMULA ein Funktionenraum, naemlich der Hilbertraum der Wellenfunktionen.) \define{Unitaere Matrizen.} Fuer die Entwicklung der Spektraltheorie benoetigen wir Matrizen mit einer besonderen Eigenschaft.

(In diesem Fall ist FORMULA gemaess der obigen Konstruktion.)

(In einem Funktionenraum sagt man statt Eigenvektor auch \define{Eigenfunktion}.) ITEM Ein aus einem Eigenwert FORMULA und einem zugehoerigen Eigenvektor FORMULA bestehendes Paar FORMULA heisst \define{Eigenpaar} von FORMULA.

(In manchen Buechern schreibt man FORMULA statt FORMULA und FORMULA statt FORMULA.) Eine Matrix FORMULA heisst \define{symmetrisch}, falls FORMULA, und \define{Hermitesch}, falls FORMULA.

(In manchen Faellen gibt es ausserdem noch weitere Zustaende zum sogen.

(In vielen Statistikbuechern schreibt man den Erwartungswert FORMULA als FORMULA.) Die Zufallsvariable FORMULA heisst \define{reell}, falls alle Realisierungen FORMULA reell sind.

(Insbesondere bedeutet FORMULA dasselbe, wie " FORMULA ist nichtnegativ").

(Insbesondere existiert auch eine Loesung, wenn FORMULA nicht vollen Rang hat!)

(Man muss dazu zeigen, dass die Raender das Mass Null haben.

(Man nennt EQN eine \define{permutierte Dreieckszerlegung} von FORMULA.)

(Man nennt Koerper mit dieser Eigenschaft \define{algebraisch abgeschlossen}.) Um dies zu zeigen, brauchen wir zuerst eine Abschaetzung der Funktionswerte fuer grosse FORMULA.

(Man nennt diese Dimension die \define{Zahl der Freiheitsgrade} des Systems.)

(Man sagt dafuer kurz: Jeder Weg kann gleichmaessig durch PREFIX Wege beliebig genau approximiert werden.

(Man sagt, die Aehnlichkeit ist eine \define{Aequivalenzrelation}.) ITEM Sind FORMULA und FORMULA aehnlich, so sind FORMULA und FORMULA fuer alle FORMULA aehnlich.

(Manche Aussagen gelten auch allgemeiner.

(Merkregel: FORMULA stetig FORMULA (offen)=offen, FORMULA (abgeschlossen)=abgeschlossen, FORMULA (kompakt)=kompakt.)

(Nichtabgeschlossene oder unbeschraenkte Mengen sind also bestimmt nicht kompakt.)

(Normale Wuerfel haben FORMULA und FORMULA.) FORMULA sei die Abbildung, die jedem Wurf FORMULA die Augenzahl FORMULA zuordnet.

(Normalerweise ist FORMULA kompakt, dann ergibt sich die Beschraenktheit aus Proposition REF.) ITEM Eine Folge FORMULA von Funktionen aus FORMULA heisst \define{gleichmaessig konvergent} gegen FORMULA, falls DISPLAY sie heisst \define{punktweise konvergent}, falls DISPLAY In beiden Faellen heisst FORMULA der \define{Grenzwert} der Funktionenfolge.

(Pol bei FORMULA!) Man kann also nicht erwarten, dass die abgebrochene Taylorentwocklung die Funktion fuer FORMULA sinnvoll approximiert.

(Pythagoras)

(Statt EQN schreibt man kurz FORMULA.) REF Ist FORMULA messbar, so ist FORMULA.

(Trotz der Bezeichnungsweise besteht kein inhaltlicher Zusammenhang mit charakteristischen Funktionen.)

(Uebung: Fuer FORMULA sind die 6 moeglichen zyklischen Vertauschungen FORMULA, FORMULA, usw.

(Vieles davon uebertraegt sich analog auf Funktionenraeume; jedoch werden die Konzepte und Beweise erheblich technischer und erfordern wesentlich mehr Sorgfalt in der Durchfuehrung.)

(Wegen der Monotonie reicht es fuer EQN offenbar, FORMULA zu zeigen.)

(durch Widerspruch): Waere FORMULA, so waere FORMULA im Widerspruch zum Axiom (B1).

(fuer FORMULA):

(induktiv) Fuer FORMULA ist die Aussage mit FORMULA richtig.

(vgl. Satz REF) Die Moebiustransformation FORMULA bildet die imaginaere Zahlengerade FORMULA auf den Einheitskreis FORMULA ab.

* (G2) Fuer alle FORMULA gibt es einen Weg FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

* (Insbesondere ist FORMULA selbst ein Gebiet).

.

.

. Sei FORMULA, und FORMULA bezeichne die Matrix, die aus FORMULA durch Streichen der PREFIX ten Zeile und der PREFIX ten Spalte entsteht.

15, A-1090 Wien, Oesterreich email: Arnold.Neumaier@univie.ac.at copyright \copyright by Arnold Neumaier

155.

17).

Abbildungsgruppen haben in der Physik als \define{Symmetriegruppen} besondere Bedeutung.

Aber alles laesst sich leicht auf beliebige endlich-dimensionale Vektorraeume FORMULA uebertragen.

Aber auch schon das Zeichnen der besten Geraden FORMULA oder Parabel FORMULA durch eine Anzahl fehlerbehafteter Punkte ist ein einfaches Modellanpassungsproblem.

Ableiten ergibt DISPLAY Fuer jedes FORMULA ist daher DISPLAY also FORMULA.

Abweichungen von dieser Regelung werden durch Klammern gekennzeichnet.

Alle FORMULA zusammen bilden daher eine Basis von FORMULA.

Alle hoeheren Ableitungen sind also ebenfalls Null, und die Taylorreihe um FORMULA wird zu einem Polynom.

Alle vernuenftigen Raeume endlicher Dimension sind lokalkompakt; insbesondere gilt:

Allerdings ist diese spezielle Wahl in der Praxis wegen extremer Empfindlichkeit gegenueber Rundungsfehlern nicht zu empfehlen; wir verzichten daher auch auf den Beweis. Wir erwaehnen noch eine interessante Folgerung.

Allerdings ist es moeglich, dass die Norm unendliche Werte annimmt, und FORMULA kann auch fuer FORMULA verschwinden.

Allerdings sind die Koordinaten FORMULA fuer Nord- und Suedpol, FORMULA nicht eindeutig bestimmt (FORMULA bzw. FORMULA beliebig).

Allerdings verweisen wir fuer eine eingehendere Behandlung von Approximationsaufgaben auf die Numerische Mathematik oder die Approximationstheorie, und behandeln hier von den Approximationstechniken nur die Pade-Approximation.

Alles bisher Gesagte uebertraegt sich ohne weiteres auf stueckweise PREFIX Kurven, indem man die Wegintegrale additiv aus den Teilintegralen ueber die Teilkurven zusammensetzt (Uebungsaufgabe).

Allgemein folgt aus der Stetigkeit von FORMULA und EQN, dass FORMULA offen, also eine PREFIX Flaeche, ist.

Allgemeiner gilt nun:

Allgemeiner laesst sich beweisen, dass es zu jeder Menge paarweise kommutierender Matrizen FORMULA (FORMULA) stets eine unitaere Matrix FORMULA gibt, so dass alle Matrizen FORMULA (FORMULA) obere Dreiecksmatrizen (und im Fall, dass alle FORMULA hermitesch sind, sogar reelle Diagonalmatrizen) sind.

Als Abbildungen von FORMULA in sich nennt man diese Funktionen auch \define{Moebiustransformationen}.

Als Abbildungen zwischen Raeumen FORMULA gleicher Dimension sind FORMULA und FORMULA also bijektiv, und daher Umkehrabbildungen voneinander.

Als Anwendung beweisen wir

Als Anwendung beweisen wir den Integralsatz und die Integralformel von Cauchy, und zeigen, dass sich jede komplex stetig differenzierbare Funktion in eine konvergente Potenzreihe entwickeln laesst.

Als Anwendung beweisen wir eine Abschaetzung fuer FORMULA, die in der statistischen Mechanik und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle spielt.

Als Anwendung beweisen wir:

Als Anwendung der unitaeren Spektralzerlegung beweisen wir das bisher fehlende Argument im Beweis der Charakterisierung der Abstandsinvarianz (Satz REF).

Als Anwendung folgt, dass man in der Regel (naemlich bei Bestehen einer Rangbedingung fuer die Ableitung) bei FORMULA Gleichungen die FORMULA Unbekannten so aufloesen kann, dass gerade FORMULA Parameter frei gewaehlt werden koennen, die Loesungen also eine durch diese Variablen parametrisierte PREFIX Flaeche bilden.

Als Beispiel beweisen wir:

Als Folgerung erhalten wir:

Als Linearkombination der FORMULA ist FORMULA ein Polynom vom Grad FORMULA und es gilt FORMULA, da in der Summe die Terme mit FORMULA verschwinden.

Als Motivation und Anwendung behandeln wir einige Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie, u.a. das Stieltjes-Integral.

Als Produkt einer reellen Matrix mit seiner Transponierten ist der metrische Tensor FORMULA stets positiv semidefinit (Proposition REF); FORMULA ist sogar positiv definit, da seine Determinante FORMULA nach Proposition REF positiv ist.

Als Spezialfall betrachten wir den eindimensionalen Weg FORMULA mit FORMULA.

Als Spezialfall der Gleichung FORMULA kann man nun auch inverse Matrizen berechnen.

Als Spezialfall erhalten wir fuer FORMULA Aussagen ueber eindimensionale Integrale ueber unbeschraenkte Intervalle, insbesondere die Gammafunktion.

Als Vereinigung von (beliebig vielen) offenen Mengen ist FORMULA wieder offen, und nach Konstruktion ist FORMULA.

Als einfache Anwendung des Logarithmus erwaehnen wir

Als einfachste Klasse konkreter Funktionen haben Polynome und rationale Funktionen eine grosse praktische Bedeutung.

Als letzten topologischen Begriff praezisieren wir die Vorstellung des "Zusammenhaengens".

Als letztes verallgemeinern wir die Formel fuer die partielle Integration auf Volumenintegrale.

Als naechstes untersuchen wir, unter welchen Bedingungen man unendliche Reihen gliedweise addieren, multiplizieren, integrieren und ableiten darf.

Als rechteckige obere Dreiecksmatrix hat naemlich FORMULA wegen FORMULA die Form FORMULA.

Als sie nun nach Osten zogen, fanden sie eine Ebene im Lande Schinar und wohnten daselbst.

Als weiteren Spezialfall betrachten wir die konstante skalare Funktion FORMULA.

Als wichtigen Spezialfall behandeln wir ausserdem die Determinante. Da in den Anwendungen haeufig Tensorfelder betrachtet werden, deren Komponenten noch von einer Ortsvariablen abhaengen, also Funktionen sind, werden wir von den Komponenten nur verlangen, dass sie zu einem kommutativen Ring FORMULA gehoeren, der den Konstantenkoerper FORMULA enthaelt; die wichtigen Spezialfaelle sind also DISPLAY linear ist.

Also besteht FORMULA aus den Funktionen, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden sind.

Also bilden die Moebiustransformationen eine Abbildungsgruppe.

Also bleibt nur ein Term uebrig, DISPLAY so dass EQN gilt.

Also enthaelt FORMULA eine Umgebung von FORMULA, d.h. FORMULA ist kein Randpunkt.

Also enthaelt FORMULA eine Umgebung von FORMULA.

Also existieren die Umkehrfunktionen und sind im Innern von FORMULA differenzierbar.

Also gelten EQN - EQN, und die Formel EQN - EQN folgen daraus mit den Additionstheoremen. FORMULA

Also gibt es die eindeutige Loesung FORMULA.

Also gibt es zu jedem FORMULA genau ein Urbild FORMULA, und DISPLAY ist selbst eine Moebiustransformation (FORMULA).

Also gilt DISPLAY und DISPLAY falls FORMULA.

Also gilt EQN fuer FORMULA und FORMULA.

Also gilt EQN und EQN.

Also gilt EQN, und fuer FORMULA folgt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt EQN.

Also gilt FORMULA fuer FORMULA, und da FORMULA ebenfalls Nullmenge ist (Proposition REF), folgt FORMULA.

Also gilt FORMULA.

Also gilt ITEM.

Also gilt ITEM.

Also gilt ITEM.

Also gilt die Behauptung fuer FORMULA statt FORMULA, und daher allgemein.

Also gilt:

Also haengt die rechte Seite von EQN nur von FORMULA ab und definiert daher eine Abbildung DISPLAY Die Linearitaet dieser Abbildung ist klar, und (D1) ergibt sich, wenn man in EQN FORMULA fuer alle FORMULA setzt.

Also hat der Eigenwert nur die geometrische Vielfachheit 1, es gibt keine zwei linear unabhaengigen Eigenvektoren, und die Matrix ist nicht diagonalisierbar, sondern defektiv.

Also hat die PREFIX Form fuer FORMULA den Wert 1, und nach Satz REF muss EQN daher die Determinante sein.

Also hat jede Cauchy-Folge in FORMULA einen Grenzwert, d.h. FORMULA ist Banachraum.

Also ist (die PREFIX Umgebung) FORMULA in FORMULA enthalten, d.h. FORMULA ist offen.

Also ist (vgl. Definition REF) FORMULA FORMULA.

Also ist DISPLAY

Also ist DISPLAY

Also ist DISPLAY

Also ist DISPLAY Bei jeder Transposition aendert sich also das Vorzeichen.

Also ist DISPLAY Daher bilden die Linearformen FORMULA mit DISPLAY die duale Basis zur Standardbasis FORMULA von FORMULA.

Also ist DISPLAY Der wesentliche Unterschied zur klassischen Physik drueckt sich darin aus, dass Orts- und Impulskoordinaten mit demselben Index nicht mehr miteinander vertauschbar sind, d.h. es ist FORMULA.

Also ist DISPLAY Die Menge FORMULA ist offen, und wegen EQN ist FORMULA Wegen FORMULA ist FORMULA abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge FORMULA, also selbst kompakt.

Also ist DISPLAY Einsetzen in EQN ergibt nun EQN.

Also ist DISPLAY Ersetzt man FORMULA durch FORMULA und benutzt FORMULA und EQN, so folgt EQN.

Also ist DISPLAY Fuer FORMULA ist DISPLAY also FORMULA

Also ist DISPLAY ITEM Fuer die nichtdiagonalisierbare Matrix FORMULA aus Beispiel REF ist FORMULA mit der strikten oberen Dreiecksmatrix FORMULA.

Also ist DISPLAY d.h. EQN gilt.

Also ist DISPLAY die gesuchte Partialbruchzerlegung, wie eine Probe bestaetigt.

Also ist DISPLAY ein Integral, das sich mit dem Residuensatz ausrechnen laesst.

Also ist DISPLAY fuer FORMULA, und fuer FORMULA bekommt man analog dieselbe Formel.

Also ist DISPLAY fuer FORMULA.

Also ist DISPLAY fuer alle FORMULA und daher fuer alle FORMULA.

Also ist DISPLAY und DISPLAY Nach Proposition REF ist FORMULA also unitaer.

Also ist DISPLAY und wegen FORMULA folgt EQN.

Also ist FORMULA

Also ist FORMULA (die letzte Gleichheit folgt mit Induktion, vgl. Satz REF), und das Supremum der Schranken ist FORMULA.

Also ist FORMULA absolut konvergent.

Also ist FORMULA beschraenkt.

Also ist FORMULA das einzige Polynom mit EQN.

Also ist FORMULA die Identitaet und aus der Definition von FORMULA folgt FORMULA.

Also ist FORMULA eindeutig.

Also ist FORMULA eine Loesung des homogenen Systems und FORMULA.

Also ist FORMULA einer der beiden sogenannten \define{Eigenwerte} DISPLAY des Systems. Die Koeffizienten FORMULA der allgemeinen homogenen Loesung DISPLAY erhaelt man dann aus den Anfangsbedingungen FORMULA durch Loesen eines linearen Gleichungssystems fuer FORMULA und FORMULA (Einsetzen von FORMULA in EQN und seine Ableitung).

Also ist FORMULA fuer alle FORMULA.

Also ist FORMULA fuer genuegend kleine FORMULA.

Also ist FORMULA gleichwertig mit FORMULA, d.h. FORMULA.

Also ist FORMULA in FORMULA stetig.

Also ist FORMULA in der PREFIX Norm beliebig genau durch Treppenfunktionen approximierbar, also integrierbar.

Also ist FORMULA kein Randpunkt von FORMULA.

Also ist FORMULA kompakt.

Also ist FORMULA kompakt.

Also ist FORMULA kompakt.

Also ist FORMULA lokal integrierbar, d.h. FORMULA ist messbar.

Also ist FORMULA lokal integrierbar.

Also ist FORMULA monoton fallend.

Also ist FORMULA normierte untere Dreiecksmatrix.

Also ist FORMULA relativ zu FORMULA nicht offen.

Also ist FORMULA streng monoton wachsend.

Also ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar, und es ist DISPLAY

Also ist FORMULA und daher FORMULA.

Also ist FORMULA und die Aussage folgt durch Taylorentwicklung.

Also ist FORMULA und es folgt DISPLAY daher gilt die untere Abschaetzung in EQN.

Also ist FORMULA unitaer und FORMULA.

Also ist FORMULA, d.h. FORMULA ist ein Eigenwert, insbesondere in FORMULA.

Also ist FORMULA, d.h. FORMULA ist wirklich konstant.

Also ist FORMULA, d.h. es ist FORMULA.

Also ist FORMULA, und da FORMULA beliebig ist, folgt EQN.

Also ist FORMULA, und daher FORMULA nach ITEM.

Also ist FORMULA, und daraus folgt FORMULA.

Also ist FORMULA, und es folgt FORMULA.

Also ist FORMULA, und im Grenzwert FORMULA folgt EQN.

Also ist FORMULA, und nach Definition von FORMULA ergibt sich EQN.

Also ist FORMULA, und wegen FORMULA ist DISPLAY Ersetzt man FORMULA durch FORMULA so erhaelt man aus EQN und EQN DISPLAY Nach Voraussetzung bleibt die rechte Seite fuer FORMULA beschraenkt, nach Satz REF existiert also auch DISPLAY Da FORMULA Nullmenge ist, folgt EQN.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist FORMULA.

Also ist det FORMULA falls FORMULA, d.h. det ist alternierend und damit eine PREFIX Form.

Also ist die Darstellung eindeutig.

Also ist die Maximalzahl linear unabhaengiger Zeilen gerade der Rang von FORMULA, und das ist dasselbe wie der Rang von FORMULA.

Also ist die Reihe konvergent.

Also ist die Summe linear in FORMULA.

Also ist die rechte Seite von EQN eine alternierende Multilinearform mit FORMULA Argumentspalten, also eine PREFIX Form.

Also ist eine Linearform FORMULA dasselbe wie eine lineare Abbildung FORMULA.

Also ist etwa FORMULA richtig, falls FORMULA, im allgemeinen jedoch falsch.

Also kann die Reihe fuer FORMULA nicht konvergieren.

Also kann es hoechstens einen Haeufungspunkt geben.

Also konvergiert FORMULA fuer FORMULA gegen FORMULA.

Also konvergiert die Reihe fuer FORMULA tatsaechlich gegen FORMULA

Also konvergiert jede Cauchyfolge im FORMULA, d.h. FORMULA ist Banachraum.

Also liegen auch die FORMULA in FORMULA.

Also liegt FORMULA ganz in FORMULA.

Also loest FORMULA das Anfangswertproblem EQN.

Also moechte man DISPLAY schreiben koennen, wo FORMULA durch EQN gegeben ist und kompakten Traeger (naemlich abgeschlossen nach Definition und beschraenkt, da FORMULA) hat.

Also muessen alle FORMULA verschwinden, d.h. es ist FORMULA.

Also muss EQN richtig sein.

Also muss FORMULA kompakt sein.

Also muss FORMULA sein.

Also muss FORMULA sein.

Also muss FORMULA unabhaengig von FORMULA und natuerlich auch unabhaengig von FORMULA sein.

Also muss ein Haeufungspunkt in FORMULA existieren.

Also sind FORMULA, FORMULA und FORMULA lokal integrierbar, d.h. FORMULA, FORMULA und FORMULA sind messbar.

Also sind alle Eigenwerte nichtnegativ.

Also sind alle FORMULA regulaere Punkte, und daher FORMULA.

Also sind auch FORMULA und FORMULA absolut konvergent.

Also ueberdecken die offenen Umgebungen FORMULA aus ITEM die kompakte Menge FORMULA, da sie jedes FORMULA ueberdecken.

Also verschwinden alle Ableitungen an der Stelle FORMULA, und wir finden FORMULA in einer ganzen Umgebung von FORMULA.

Also versuchen wir, durch direkte Rechnung das Integral zu berechnen.

Alternierende Differentialformen treten innerhalb der Mathematik bei der Integration ueber Flaechen und in der Differentialtopologie auf.

Am Ausgangspunkt ist die Auslenkung gerade gleich dem Radius, FORMULA.

Am gebraeuchlichsten sind das uns vertraute Dezimalsystem (zur Basis FORMULA) und fuer die elektronische Rechnung die binaere Zahldarstellung (zur Basis FORMULA).

An Stelle eines gebundenen Zustands hat man dann einen sogen.

An Umgebungen sollen nur Kugelumgebungen erscheinen, der Hausdorff-Raum wird auf das Topologie-Kapitel verschoben.

An jedem Punkt FORMULA kann man FORMULA linear unabhaengige Spalten von FORMULA auswaehlen.

Analog ergibt sich FORMULA.

Analog folgt FORMULA und FORMULA.

Analog wie Vektoren und Matrizen Objekte sind, deren Komponenten durch ein bzw. zwei Indices festgelegt sind, sind Tensoren Objekte, deren Komponenten durch mehrere Indices festgelegt sind.

Analog zeigt man die Existenz von FORMULA mit FORMULA fuer alle FORMULA.

Analoge Identifikationsprozesse werden auch spaeter immer wieder vorkommen.

Analysis und lineare Algebra Vorlesungsskript Version vom REF.2008 Prof. Dr. Arnold Neumaier Fakultaet fuer Mathematik, Universitaet Wien Nordbergstr.

Analysis und lineare Algebra werden nicht getrennt behandelt, sondern so, dass ihre Wechselwirkung schon frueh deutlich und nutzbar wird.

Andere Mengen werden durch die Eigenschaften ihrer Elemente angegeben, z.B. bezeichnet FORMULA die Menge aller Elemente FORMULA mit der Eigenschaft FORMULA.

Andernfalls suchen wir uns das kleinste FORMULA, fuer das die FORMULA te Spalte von FORMULA eine Komponente FORMULA enthaelt.

Anders als bei reellen Funktionen ist der Konvergenzradius immer positiv, und die Summe stellt immer den entsprechenden Funktionswert dar.

Anders als in der klassischen Physik werden dabei Beobachtbare Groessen (Observable) nicht durch die Zahlen, sondern durch Operatoren dargestellt, die Wahrscheinlichkeits-Wellenfunktionen (Orbitale) aufeinander abbilden.

Andrerseits ist Vieles unserer Kontrolle entzogen, da wir die Folgen unsrer Technik oft nicht absch"tzen koennen und auch boese Erfahrungen damit machen.

Andrerseits wird DISPLAY nicht beliebig klein, also ist die Folge nicht gleichmaessig konvergent.

Angenommen FORMULA waere nicht kompakt.

Angenommen, EQN gilt fuer ein FORMULA.

Angenommen, EQN gilt mit FORMULA statt FORMULA.

Angenommen, alle FORMULA sind nichtleer.

Angenommen, die Aussage gilt fuer FORMULA statt FORMULA.

Angenommen, die Aussage gilt fuer FORMULA statt FORMULA.

Angenommen, die Behauptung gilt fuer ein FORMULA.

Angenommen, die FORMULA bilden ebenfalls eine Teilung der Eins, und die FORMULA sind zugehoerige Karten mit FORMULA.

Angenommen, sie gilt fuer kleinere Werte von FORMULA statt FORMULA.

Ansonsten werden unter dem Stichwort Konvention auch abkuerzende Schreibweisen vorgestellt.

Anstelle des hier gewaehlten Aufbaus des Integralbegriffs findet man in vielen Buechern den umgekehrten Weg, der mit einem Mass beginnt.

Approximation und Konvergenz in der PREFIX Norm ist fuer das Rechnen mit Integralen dagegen besonders wichtig.

Auch der naechste Satz gilt nur fuer endliche Dimensionen.

Auch die meisten Programmpakete fuer symbolisches Rechnen koennen viele Integrale exakt auswerten.

Auch diesen Begriff setzen wir als intuitiv bekannt voraus und praezisieren ihn nur durch eine Konvention:

Auch im hier behandelten einfachen Fall koennen die entstehenden Eigenwertprobleme schon fuer Matrizen der Dimension FORMULA nicht mehr explizit (und fuer FORMULA nur umstaendlich) geloest werden.

Auch in allgemeineren Faellen lassen sich die Erwartungswerte aller wichtigen Funktionen FORMULA bei Kenntnis von FORMULA berechnen.

Auch wenn Sie nicht Mathematik studieren, ist es ausserordentlich wichtig, dass Sie sich mit der Mathematik, dieser Sprache ueber die Struktur der Welt, gruendlich vertraut machen, da sie die Grundlage ist, auf der alles Spaetere aufgebaut ist.

Auf aehnliche Weise kann man Ungleichungen als Nebenbedingungen beruecksichtigen.

Auf aehnliche Weise zeigt man auch, dass jede monotone Funktion FORMULA Stieltjes-integrierbar ist.

Auf anderen Methoden beruht ein weiterer wichtiger Approximationssatz, der ohne Beweis zitiert werden soll:

Auf dem Weg findet man nun leicht einen Randpunkt, der zu FORMULA gehoert, weil FORMULA abgeschlossen ist.

Auf den Beweis dafuer wollen wir verzichten, da er keine wesentliche Einsicht bringt.

Auf die spezielle Natur der Objekte, mit denen wir "rechnen", kommt es dabei nicht an; in diesem Sinn ist in diesem Kapitel alles "abstrakt".

Auf diese Weise lassen sich auch groessere Determinanten mit vertretbarem Aufwand berechnen.

Auf diese, z.B. in der Quantentheorie sehr wichtige Technik koennen wir hier leider nicht mehr eingehen.

Auf ein solches Teilchen wirkt eine Kraft DISPLAY in Richtung groesstmoeglicher Veringerung der potentiellen Energie. Betrachtet man z.B. die Erde als Euklidische Kugel (um 0) vom Radius FORMULA und der Masse FORMULA, und ignoriert die Einfluesse von raeumlichen Inhomogenitaeten (Erzlagerstaetten, andere Himmelskoerper, etc.), so hat man in FORMULA ein Gravitationspotential DISPLAY FORMULA ist dabei die sogenannte Gravitationkonstante.

Aus DISPLAY folgt EQN, aus DISPLAY folgt EQN.

Aus DISPLAY fuer ein FORMULA folgt dann DISPLAY Widerspruch.

Aus DISPLAY fuer ein FORMULA folgt dann DISPLAY Widerspruch.

Aus Definition REF erhaelt man DISPLAY und die Spurformel folgt durch Vergleich der Koeffizienten DISPLAY von FORMULA.

Aus EQN erhaelt man nun (durch Aufspalten der Summe) DISPLAY Die Indizierung der zweiten Summe verschiebt sich dabei, da der Index FORMULA fehlt.

Aus EQN findet man durch Multiplikation mit FORMULA die Beziehung FORMULA; also ist DISPLAY mit der Matrix FORMULA, und es wird FORMULA.

Aus EQN folgt DISPLAY weil FORMULA.

Aus EQN folgt ausserdem fuer die Spalten FORMULA von FORMULA die Beziehung DISPLAY fuer alle FORMULA, also sind die Spalten von FORMULA Normalenvektoren von FORMULA im Punkt FORMULA.

Aus EQN folgt damit FORMULA, also FORMULA.

Aus EQN folgt dann DISPLAY Mit partieller Integration folgt daraus DISPLAY Wegen FORMULA koennen wir dies abschaetzen durch DISPLAY da die letzte Summe von FORMULA unabhaengig ist.

Aus EQN folgt dann DISPLAY die Inverse ist also beschraenkt.

Aus EQN folgt induktiv DISPLAY Wegen FORMULA ist FORMULA, also ist die Folge der FORMULA monoton fallend und beschraenkt.

Aus EQN folgt nun FORMULA fuer FORMULA.

Aus EQN folgt nun die Stetigkeit von FORMULA.

Aus EQN und EQN folgt dann DISPLAY also DISPLAY In dieser Formel koennen wir nun die bisherige Forderung, dass FORMULA nichtsingulaer ist, fallen lassen.

Aus EQN und EQN folgt dann DISPLAY also DISPLAY In dieser Formel koennen wir nun die bisherige Forderung, dass FORMULA nichtsingulaer ist, fallen lassen.

Aus EQN und der Definition der PREFIX Norm. FORMULA

Aus FORMULA (wie eben gezeigt) ergibt sich FORMULA nach EQN.

Aus FORMULA ergibt sich FORMULA, also FORMULA nach EQN.

Aus FORMULA folgt die Symmetrie der Hessematrix.

Aus FORMULA folgt wieder FORMULA Man bekommt FORMULA als Permutation von FORMULA, DISPLAY FORMULA durch Loesen von FORMULA DISPLAY FORMULA hat PREFIX Stufenform und wegen FORMULA ist das Gleichungssystem FORMULA loesbar.

Aus FORMULA fuer alle FORMULA folgt EQN, und EQN ergibt sich aus FORMULA fuer alle FORMULA.

Aus FORMULA und EQN bekommt man naemlich den Widerspruch FORMULA.

Aus Proposition REF folgt nun DISPLAY da alle Terme nichtnegativ sind und mindestens einer positiv ist.

Aus Satz REF folgt daher FORMULA und DISPLAY Zusammen mit EQN folgt FORMULA

Aus Satz REF folgt daher FORMULA.

Aus Satz REF folgt die absolute Konvergenz, und die gleichmaessige Konvergenz in FORMULA fuer FORMULA.

Aus dem Integralsatz Satz REF und der Cauchy'schen Integralformel EQN ergibt sich sofort ein Rezept, mit dem man die meisten in Anwendungen auftretenden Residuen ausrechnen kann.

Aus dem Satz REF von Dirichlet erhalten wir DISPLAY also DISPLAY Als naechstes betrachten wir die durch periodische Fortsetzung von DISPLAY entstehende stetige Funktion FORMULA.

Aus dem vorhergehenden Beweis erhaelt man eine Darstellung EQN mit FORMULA und FORMULA; die Matrix FORMULA ist diagonal.

Aus den Eigenschaften des Kreuzprodukts FORMULA folgt DISPLAY in Analogie zur Antisymmetrie von Bilinearformen.

Aus den ersten 7 Summanden der nur bedingt konvergenten Reihe DISPLAY bekommt man FORMULA, eine sehr schlechte Approximation an den exakten Wert FORMULA.

Aus der Bijektivitaet der affinen Abbildung folgt die Invertierbarkeit von FORMULA; wir koennen nach FORMULA aufloesen, FORMULA.

Aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung folgt die Interpretation des Gradienten FORMULA von FORMULA als die Richtung des staerksten Anstiegs, falls FORMULA.

Aus der Charakterisierung des Volumenintegrals als eindeutig bestimmtes normiertes translationsinvariantes Integral leiten wir dann die Substitutionsregel ab, die die Integration in krummlinigen Koordinaten (z.B. Polarkoordinaten) erlaubt.

Aus der Darstellung EQN folgt nun EQN, also erzeugen die FORMULA den Dualraum.

Aus der Formel fuer die Ableitung der Umkehrfunktion (Satz REF) ergibt sich DISPLAY ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA, also FORMULA definiert, und EQN ergibt sich mit DISPLAY indem man entweder den Zaehler vereinfacht oder mit dem Nenner kuerzt.

Aus der Gleichung FORMULA findet man als zugehoerige Eigenvektoren nur die Vielfachen von FORMULA.

Aus der Induktionsannahme, dass EQN unter den entsprechenden Voraussetzungen an FORMULA fuer FORMULA statt FORMULA gilt, folgt nun fuer FORMULA die Beziehung DISPLAY Wieder nach EQN gilt also DISPLAY Also gilt EQN allgemein.

Aus der Interpolationsformel erhaelt man nun leicht eine Summendarstellung rationaler Funktionen.

Aus der Konvergenz FORMULA allein laesst sich noch nicht auf die Konvergenz der Ableitungen oder auf die Differenzierbarkeit von FORMULA schliessen, wie ein Gegenbeispiel in Forster I, Beispiel REF zeigt.

Aus der Wegunabhaengigkeit folgt nach Satz REF, dass FORMULA ist, also ist FORMULA eine Hessematrix, die nach Satz REF symmetrisch ist.

Aus der zweiten Gleichung folgt FORMULA, und aus der ersten dann FORMULA.

Aus diesem Satz ziehen wir nun einige Folgerungen, die wieder zeigen, dass die Klasse der analytischen Funktionen wesentlich eingeschraenkter ist als die der reellen stetig differenzierbaren Funktionen.

Aus einer Zerlegung FORMULA mit einer Diagonalmatrix FORMULA und einer regulaeren Matrix FORMULA bekommt man eine ebensolche Zerlegung von FORMULA, naemlich FORMULA.

Aus einer beliebigen Darstellung FORMULA mit FORMULA und FORMULA folgt FORMULA; wegen FORMULA und FORMULA folgt also FORMULA und daher FORMULA, FORMULA.

Aus historischen Gruenden wird eine konkrete Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingungen auch ein lineares bzw. nichtlineares Programm genannt, je nachdem ob die Zielfunktion FORMULA und die Nebenbedingungen FORMULA linear sind oder nicht.

Ausgehend von FORMULA aus Proposition REF, FORMULA und FORMULA erhalten wir so induktiv fuer alle in [0,1] liegenden abbrechenden Binaerzahlen FORMULA (d.h. FORMULA mit FORMULA fuer ein FORMULA) offene Mengen FORMULA und kompakte Mengen FORMULA mit DISPLAY Dies gilt sogar fuer beliebige abbrechende Binaerzahlen FORMULA, falls wir noch DISPLAY definieren.

Aussage ITEM der Proposition motiviert, in der endlichen Summe EQN die Zahl FORMULA gegen FORMULA gehen zu lassen.

Ausser den Objekten, mit denen wir rechnen koennen, benoetigen wir als weiteren grundlegenden Teil der mathematischen Sprache den Begriff der Abbildung.

Ausser der Transposition kann man mit Matrizen noch weitere nuetzliche Transformationen durchfuehren.

Ausserdem behandeln wir alternierende PREFIX Linearformen in Funktionenraeumen; diese Differentialformen fuehren im PREFIX Dimensionalen auf die z.B. im Elektromagnetismus wichtigen Differentialoperatoren grad, rot und div.

Ausserdem definieren wir die Zahl FORMULA sowie Winkel und Polarkoordinaten.

Ausserdem gilt DISPLAY

Ausserdem gilt FORMULA und DISPLAY

Ausserdem gilt FORMULA, falls FORMULA.

Ausserdem gilt die Abschaetzung DISPLAY

Ausserdem gilt die \define{Produktregel}

Ausserdem gilt fuer FORMULA und FORMULA die Kettenregel DISPLAY

Ausserdem ist FORMULA.

Ausserdem sei DISPLAY mit FORMULA. Fuer FORMULA.

Ausserdem untersuchen wir, unter welchen Bedingungen Kurvenintegrale nur vom Anfangs- und Endpunkt abhaengig sind.

Ausserdem wurde versucht, wichtige, in der Physik frueh benoetigte Konzepte (insbesondere Vektorprodukt und Gradient) so bald wie moeglich bereitzustellen, ohne dass die logische Konsequenz darunter leidet.

Ausserdem zeigen wir, wie periodische Funktionen als Loesung gewisser Differentialgleichungen entstehen, und behandeln insbesondere gedaempfte Schwingungen und das Phaenomen der Resonanz.

Axiome und Regeln ueber Ungleichungen werden wir dagegen formulieren und beweisen muessen.

Baustatik Matrizen der NASA, gesammelt von Alex Pothen, aus der University of Florida Sparse Matrix Collection.

Beachte ausserdem, dass normalerweise FORMULA ist: Damit beide Ausdruecke Sinn machen, muss FORMULA und FORMULA sein.

Bedingung EQN erlaubt es, Eigenschaften der Flaeche auf einzelnen Karten zu studieren und hinterher zusammenzusetzen.

Bedingung EQN garantiert die lineare Unabhaengigkeit der FORMULA Tangentialrichtungen entlang den Koordinatenlinien, sorgt also dafuer, dass die Flaeche wirklich PREFIX dimensional ist.

Bei Vernachlaessigung der Reibung (FORMULA, also FORMULA) erhaelt man wieder rein imaginaere Eigenwerte FORMULA, also periodische harmonische Schwingungen.

Bei den uebrigen Punkten, also bei Punkten im Spektrum, koennen Loesungen jedoch im Prinzip beliebig gross werden.

Bei der Division durch lineare Faktoren kann man die Rechnung auf bequeme Weise erledigen, indem man nur mit den Koeffizienten rechnet, ohne die Potenzen von FORMULA jeweils hinzuschreiben.

Bei der Wiederholung von Experimenten entstehen gewoehnlich geringfuegig unterschiedliche Ergebnisse.

Bei diesem Verfahren konstruiert man die Vektoren FORMULA der Reihe nach aus den FORMULA, so dass EQN gilt.

Bei einem Flugzeug kann dies dann beispielsweise zum Bruch fuehren; die Berechnung von Eigenwerten spielt deshalb in der Praxis eine lebenswichtige Rolle.

Bei einem Koerper denke man an die Menge FORMULA der reellen Zahlen (und, falls bekannt, an die Menge FORMULA der komplexen Zahlen).

Bei einer durch EQN gegebenen Flaeche ist die \define{Normale} in FORMULA, das heisst der zur Flaeche in FORMULA orthogonale Unterraum, gerade von den Spalten von FORMULA aufgespannt, besteht also aus allen Spaltenvektoren der Form FORMULA, wobei FORMULA ein Koeffizientenvektor ist, den man den \define{Lagrange-Multiplikator} nennt.

Bei kleinen Geschwindigkeiten FORMULA liegt praktisch die ganze mechanische Energie EQN als potentielle Energie vor, FORMULA.

Bei laengeren Ausdruecken haben die Operationen folgende Prioritaet:

Bei nur bedingter Konvergenz oder absoluter Konvergenz in einer anderen Norm geht in der Regel die gleichmaessige Konvergenz verloren, und die Aussagen des Satzes werden falsch.

Beide Aussagen folgen also aus Satz REF und Satz REF, da nach der Kettenregel DISPLAY symmetrisch ist.

Beides ergibt sich sofort durch Einsetzen in die Definition.

Beides zusammen ergibt FORMULA.

Beidesmal folgt die absolute Konvergenz aus Satz REF

Beim Zusammenbinden der einzelnen Kapitel ergaben sich ein paar kleinere Kompatibilitaetsprobleme mit den Latex-Labels. Daher ist das Outlay nicht perfekt, und die Numerierung noch nicht ganz in Ordnung, Verweise auf Gleichungen gehen z.T.

Beispiele fuer die Anwendung der Hauptkomponentenanalyse bilden die Extraktion dominanter Bewegungsformen in der Wettervorhersage (aber auch z.B. von Boersenkursen) und die Datenkompression bei Bildern.

Beispielsweise ist FORMULA dicht in FORMULA.

Bemerkung: Analytische Funktionen FORMULA, als reelle Funktionen FORMULA aufgefasst, haben stets FORMULA.

Bemerkung: Analytische Funktionen FORMULA, als reelle Funktionen FORMULA aufgefasst, haben stets FORMULA.

Bemerkung: Im FORMULA kann FORMULA beliebige ganzzahlige Werte annehmen, im FORMULA nur FORMULA.

Bemerkung: Im FORMULA kann FORMULA beliebige ganzzahlige Werte annehmen, im FORMULA nur FORMULA.

Bemerkungen von Guenter Mayer: Im Lemma von Sard wird C(F) in zweierlei Bedeutung benutzt: Einmal als Teilmenge der Bildmenge (s. 2.

Bemerkungen von Guenter Mayer: Im Lemma von Sard wird C(F) in zweierlei Bedeutung benutzt: Einmal als Teilmenge der Bildmenge (s. 2.

Beruecksichtigen wir nun aeussere Kraefte, so erhalten wir die Gleichung DISPLAY als Bewegungsgleichung fuer kleine Schwingungen um ein stabiles Gleichgewicht.

Beschreibt der PREFIX Weg FORMULA dieselbe Kurve wie FORMULA, so gilt FORMULA wegen EQN und der Kettenregel.

Bestimmte Werte der Gammafunktion lassen sich leicht mit EQN berechnen.

Betrachten wir nur die PREFIX te Spalte als variabel, so ist in der Summe im Term mit FORMULA der Ausdruck FORMULA konstant; in den uebrigen Termen ist FORMULA konstant und FORMULA linear.

Betrachtet man dann FORMULA als unabhaengige Variablen, so findet man, dass sich die Entropie als Funktion FORMULA schreiben laesst, und aus Gleichheit in EQN folgt durch Festhalten von je zwei (durch die Indizes angegebenen) Variablen: DISPLAY Mit EQN lassen sich also Temperatur, Druck und chemisches Potential aus dem Entropiefunktional FORMULA berechnen.

Bewegungen mit FORMULA haben FORMULA, erhalten deshalb auch die Orientierung, und lassen sich daher als \define{Drehungen} im FORMULA auffassen.

Bezeichnen nun FORMULA und FORMULA die Zahl der positiven Diagonalelemente von FORMULA und FORMULA, so folgt FORMULA, also FORMULA.

Bezeichnen wir die zugehoerigen FORMULA mit FORMULA, so erhalten wir EQN.

Bezeichnen wir mit FORMULA und FORMULA den kleineren und groesseren Wert von FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA und FORMULA, also FORMULA wegen sgn FORMULA.

Bezeichnen wir seinen Mittelpunkt mit FORMULA, so hat FORMULA die gesuchte Eigenschaft.

Bezeichnet man die zu den uebrigen Spalten gehoerigen Variablen mit FORMULA, so ist der Satz ueber implizite Funktionen anwendbar und liefert eine Karte fuer eine Umgebung von FORMULA. FORMULA

Bilden wir nun die Diagonalmatrix FORMULA mit den Diagonalelementen FORMULA, so finden wir FORMULA.

Bilden wir nun die Diagonalmatrix FORMULA mit den Diagonalelementen FORMULA, so ist DISPLAY fuer alle FORMULA, also FORMULA.

Bisher haben wir uns fast nur mit PREFIX Linearformen ueber FORMULA befasst.

Bleibt FORMULA konstant, so ist FORMULA, und aus EQN folgt FORMULA, also FORMULA.

Bricht man das Licht mit Hilfe eines Prismas, so sieht man diese Frequenzen als dunkle Absorptions- oder helle Emmissionslinien im Spektrum.

DISPLAY

DISPLAY Andererseits ist DISPLAY Die beiden Integrale sind also nicht vertauschbar, der Satz von Fubini war nicht anwendbar, was bestaetigt, dass FORMULA ueber FORMULA tatsaechlich nicht integrierbar ist.

DISPLAY Ausserdem ist z.B. FORMULA und FORMULA.

DISPLAY In (a) wurde FORMULA durch FORMULA ersetzt, in (b) wurden in der zweiten und dritten Spalte gemeinsame Faktoren gekuerzt, in (c) wurde FORMULA durch FORMULA ersetzt, in (d) wurde nach der ersten Zeile entwickelt.

DISPLAY Man sieht, dass sich Zeilen- und Spaltenvektoren genau wie einzeilige und einspaltige Matrizen verhalten.

DISPLAY der besagt, dass sich die Gesamtaenderungen der inneren, mechanischen und chemischen Energie gegenseitig aufheben.

DISPLAY eine Funktion FORMULA definiert, und die Ableitung von FORMULA ist DISPLAY

DISPLAY heisst die \define{Wahrscheinlichkeit} (engl. probability) der Aussage FORMULA.

Da FORMULA (Lipschitz-) stetig ist, folgt FORMULA, also ist FORMULA Fixpunkt.

Da FORMULA Banachraum ist, gibt es einen Grenzwert, den wir FORMULA nennen.

Da FORMULA Banachraum ist, konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert FORMULA, und aus EQN folgt DISPLAY also EQN.

Da FORMULA Haeufungspunkt von Nullstellen von FORMULA ist, gilt dasselbe von FORMULA, wegen der Stetigkeit von FORMULA ist dann auch FORMULA, Widerspruch.

Da FORMULA Nullmenge ist, gibt es eine Funktion FORMULA mit FORMULA und FORMULA fuer FORMULA.

Da FORMULA Stufenform hat, gilt dasselbe natuerlich auch fuer FORMULA.

Da FORMULA abgeschlossen ist folgt FORMULA.

Da FORMULA abgeschlossen ist, enthaelt es alle Randpunkte; also ist FORMULA, Widerspruch.

Da FORMULA abgeschlossen ist, ist FORMULA offen, also nach demselben Argument FORMULA offen, also FORMULA abgeschlossen.

Da FORMULA abgeschlossen und beschraenkt ist, ist es kompakt, also existieren DISPLAY Fuer FORMULA ist dann FORMULA, wegen FORMULA also DISPLAY Aus den Rechenregeln fuer Integrale folgt nun DISPLAY Daher existiert ein FORMULA mit DISPLAY Nach dem Zwischenwertsatz nimmt FORMULA wegen EQN jeden Wert zwischen FORMULA und FORMULA an, also gibt es ein FORMULA mit FORMULA.

Da FORMULA als Polynom vom Grad FORMULA mindestens eine und hoechstens FORMULA Nullstellen hat, ist FORMULA nichtleer und endlich.

Da FORMULA beliebig nahe an FORMULA gewaehlt werden kann, folgt FORMULA.

Da FORMULA beliebig war, folgt EQN.

Da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA, und da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA.

Da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA.

Da FORMULA beliebig war, folgt aus EQN FORMULA.

Da FORMULA beliebig war, folgt daraus EQN.

Da FORMULA beliebig war, ist FORMULA ein Haeufungspunkt.

Da FORMULA beliebig war, kann FORMULA keine Randpunkte enthalten, ist also offen.

Da FORMULA beliebig war, muessen alle Randpunkte zu FORMULA gehoeren, d.h. FORMULA ist abgeschlossen.

Da FORMULA beliebig war, muss die FORMULA te Ableitung identisch verschwinden.

Da FORMULA beschraenkt ist, ist FORMULA, nach Satz REF ITEM also FORMULA fuer alle FORMULA.

Da FORMULA beschraenkt ist, ist die rechte Seite von EQN stetig, also ergibt sich durch Grenzuebergang die gewuenschte Beziehung FORMULA.

Da FORMULA bijektiv ist, ist also DISPLAY Da diese Schranke fuer FORMULA angenommen wird, ist FORMULA.

Da FORMULA der Funktionswert des Polynoms DISPLAY an der Stelle FORMULA ist, laesst sich eine in PREFIX adischer Zahldarstellung gegebene natuerliche Zahl mit Hilfe des Hornerschemas leicht ins Dezimalsystem umrechnen und umgekehrt.

Da FORMULA ein Gebiet ist, enthaelt es eine PREFIX Umgebung von FORMULA.

Da FORMULA ein skalarer Faktor ist, folgt fuer fast alle FORMULA auch DISPLAY Nach Definition von FORMULA gilt also FORMULA.

Da FORMULA eine Diagonalmatrix ist, ist DISPLAY also sind die Spalten von FORMULA Eigenvektoren von FORMULA zu den Eigenwerten FORMULA.

Da FORMULA eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen FORMULA ist, koennen wir diese Bedingung mit FORMULA in der Form DISPLAY schreiben.

Da FORMULA eine endlich-dimensionale Kugel ist, ist FORMULA kompakt; also ist DISPLAY endlich.

Da FORMULA hermitesch ist, ist FORMULA, also ist auch FORMULA hermitesch.

Da FORMULA in FORMULA stetig ist, ist jede der Mengen FORMULA abgeschlossene Teilmenge der kompakten Menge FORMULA, also selbst kompakt.

Da FORMULA injektiv ist, ist das gleichwertig zu FORMULA.

Da FORMULA kompakt ist, gibt es eine endliche Teilueberdeckung, und durch evtl.

Da FORMULA kompakt ist, ist FORMULA beschraenkt, also FORMULA.

Da FORMULA kompakt ist, kann man endlich viele FORMULA auswaehlen, die FORMULA ueberdecken; die FORMULA ueberdecken dann FORMULA.

Da FORMULA konvex ist, folgt nach Satz REF die Lipschitzstetigkeit von FORMULA in FORMULA mit Lipschitzkonstante FORMULA.

Da FORMULA nach Annahme offen ist, enthaelt es eine PREFIX Umgebung von FORMULA.

Da FORMULA nach Konstruktion eine Vereinigung von hoechstens FORMULA abgeschlossenen Intervallen ist, liegt FORMULA in FORMULA; auch FORMULA liegt daher in allen FORMULA.

Da FORMULA nicht verschwindet, ist FORMULA, also FORMULA parallel zu FORMULA.

Da FORMULA offen ist und FORMULA, koennen wir FORMULA so waehlen, dass die Kugel FORMULA in FORMULA liegt, und durch Verkleinern von FORMULA koennen wir erreichen, dass auch FORMULA ist.

Da FORMULA offen ist, folgt aus ITEM, dass es ein Gebiet ist.

Da FORMULA offen ist, ist es eine Umgebung von FORMULA, und wegen EQN und FORMULA folgt EQN.

Da FORMULA offen ist, ist fuer genuegend kleine FORMULA durch FORMULA ein PREFIX Weg FORMULA gegeben, und es ist FORMULA, also FORMULA.

Da FORMULA positiv definit ist, sind nach dem Satz von Sylvester die Diagonalelemente der mittleren Matrix positiv; insbesondere ist FORMULA und daher FORMULA.

Da FORMULA randfrei ist, gibt es einen Wuerfel FORMULA mit Mittelpunkt FORMULA, der zu FORMULA disjunkt ist und in allen FORMULA liegt.

Da FORMULA randfrei ist, gibt es einen Wuerfel FORMULA mit Mittelpunkt FORMULA, der zu FORMULA disjunkt ist und in allen FORMULA liegt.

Da FORMULA reell ist, gibt es eine orthogonale Spektralzerlegung FORMULA mit einer rellen unitaeren Matrix FORMULA, also ist FORMULA und FORMULA.

Da FORMULA reell ist, ist FORMULA, also FORMULA.

Da FORMULA regulaer ist, bilden die Spalten FORMULA von FORMULA eine Basis von FORMULA, und wegen FORMULA sind alle Spalten Eigenvektoren.

Da FORMULA regulaer ist, gibt es nach dem Satz ueber implizite Funktionen, angewandt auf FORMULA, zu jeder Nullstelle FORMULA von FORMULA eine offene Umgebung FORMULA, in der FORMULA nichtsingulaer und FORMULA eindeutig und stetig umkehrbar ist.

Da FORMULA regulaer ist, gibt es nach dem Satz ueber implizite Funktionen, angewandt auf FORMULA, zu jeder Nullstelle FORMULA von FORMULA eine offene Umgebung FORMULA, in der FORMULA nichtsingulaer und FORMULA eindeutig und stetig umkehrbar ist.

Da FORMULA regulaer ist, gilt dasselbe fuer FORMULA, und es folgt FORMULA.

Da FORMULA stationaerer Punkt ist, verschwindet der Gradient FORMULA, und die quadratische Approximation von Satz REF liefert fuer FORMULA die Beziehung DISPLAY Schreiben wir also FORMULA, so ergibt sich fuer einen festen Richtungsvektor FORMULA DISPLAY

Da FORMULA stetig ist, gibt es zu jedem FORMULA ein FORMULA mit DISPLAY Die offenen Kugeln FORMULA (FORMULA) ueberdecken FORMULA; und da FORMULA kompakt ist, gibt es eine endliche Teilueberdeckung FORMULA).

Da FORMULA stetig ist, gilt DISPLAY Wegen der Monotonie von FORMULA folgt DISPLAY und ebenso FORMULA.

Da FORMULA stetig ist, ist DISPLAY Sind FORMULA und FORMULA Loesungen von EQN, EQN, so ist DISPLAY Aus der vorigen Proposition, angewandt mit FORMULA, folgt FORMULA fuer FORMULA, und da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA fuer alle FORMULA

Da FORMULA stetig ist, ist fuer alle FORMULA in einer geeigneten, in FORMULA liegenden PREFIX Umgebung von FORMULA die Differenz FORMULA beliebig klein, also sicher FORMULA; also ist DISPLAY Da FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar ist, ist DISPLAY fuer alle positiven FORMULA.

Da FORMULA stetig ist, nimmt FORMULA sein Infimum in FORMULA an (Satz REF), etwa bei FORMULA.

Da FORMULA streng monoton wachsend ist, ist der Skalar FORMULA, also DISPLAY daher bleibt auch EQN ungeaendert.

Da FORMULA und FORMULA beliebig auf FORMULA waren, ist FORMULA auch in FORMULA konstant. FORMULA

Da FORMULA und FORMULA regulaer sind, ist FORMULA.

Da FORMULA und FORMULA stetig sind, ist FORMULA relativ zu FORMULA auch abgeschlossen (Proposition REF).

Da FORMULA und FORMULA stetig sind, sind FORMULA und FORMULA beschraenkt.

Da FORMULA unitaer ist, haben FORMULA und FORMULA dieselbe PREFIX Norm, und es ist FORMULA.

Da FORMULA unitaer ist, sind die Spalten von FORMULA paarweise orthogonal, und da FORMULA regulaer ist, bilden die Spalten eine Basis des FORMULA.

Da FORMULA von einem FORMULA ueberdeckt wird, ist fuer das betreffende FORMULA naemlich FORMULA, und FORMULA, also FORMULA.

Da FORMULA zu FORMULA aehnlich ist, FORMULA, folgt FORMULA.

Da FORMULA zusammenhaengend und FORMULA nichtleer ist (FORMULA), muss nach Satz REF also FORMULA sein.

Da Funktionenraeume unendlich-dimensional sind, sind unterschiedliche Konvergenzbegriffe naemlich nicht mehr gleichwertig.

Da Koordinatensysteme bijektive lineare Abbildungen sind, sind FORMULA und FORMULA regulaer, also auch FORMULA.

Da Verschiebungen die Abstaende nicht aendern, laesst auch FORMULA alle Abstaende invariant.

Da aehnliche Matrizen dieselben Eigenwerte haben, kann man versuchen, zu einer Matrix FORMULA eine moeglichst einfache aehnliche Matrix FORMULA zu finden, deren Eigenwerte man sofort angeben kann.

Da alle Eigenwerte zum Spektrum gehoeren, folgt EQN.

Da alle FORMULA in FORMULA liegen und FORMULA abgeschlossen ist (Aufgabe), gilt FORMULA.

Da analytische Funktionen beliebig oft differenzierbar sind, kann man ihre Taylorreihe bilden.

Da auch FORMULA, FORMULA, FORMULA, FORMULA und FORMULA in FORMULA liegen, folgt die erste Behauptung aus EQN -- EQN und der Definition von FORMULA.

Da dann auch FORMULA ist, ist FORMULA singulaer, also FORMULA.

Da dann die Beziehung DISPLAY folgt, nennt man die Menge der Funktionen FORMULA eine Zerlegung der Eins.

Da der Einheitskreis im FORMULA das "Volumen" FORMULA vol FORMULA vol FORMULA hat, folgt aus EQN FORMULA und daraus mit EQN und EQN induktiv die Formel EQN.

Da der Zaehlergrad um 1 hoeher ist als der Nennergrad, muss man fuer die Partialbruchzerlegung den Ansatz DISPLAY machen (zu quadratischen Faktoren gehoeren immer zwei Terme!).

Da die Ableitung EQN wieder eine Potenzreihe ist, ist auch FORMULA wieder differenzierbar, und induktiv sieht man, dass FORMULA ist, mit den hoeheren Ableitungen DISPLAY Setzt man hier FORMULA ein, so fallen alle Terme mit FORMULA weg und wir erhalten DISPLAY woraus sich EQN FORMULA

Da die Daten in der Regel fehlerbehaftet sind, muss die Zahl FORMULA der Daten (bzw. allgemeiner der Residuen) wesentlich groesser sein als die Zahl FORMULA der Modellparameter, damit das Datenanpassungproblem ohne weitere Vorgaben zuverlaessige Ergebnisse liefert.

Da die Eigenschaft FORMULA beim Produktbilden und Invertieren erhalten bleibt, gilt dasselbe auch fuer FORMULA.

Da die Eigenwerte verschieden sind, kann man den gemeinsamen Faktor kuerzen und findet FORMULA.

Da die Einheitsmatrix mit jeder Matrix vertauschbar ist, folgt DISPLAY

Da die FORMULA eine Abzaehlung von FORMULA bilden, gibt es zu jedem FORMULA ein FORMULA mit FORMULA.

Da die FORMULA monoton fallen, gilt dasselbe auch fuer die FORMULA, und EQN folgt.

Da die FORMULA te Ableitung von FORMULA identisch verschwindet, erhaelt man durch Taylorentwicklung um FORMULA die Beziehung DISPLAY Da FORMULA nicht konstant ist, muss mindestens eine Ableitung FORMULA sein.

Da die FORMULA ueberdecken, gibt es ein FORMULA mit FORMULA.

Da die Folge der FORMULA beschraenkt ist, hat sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass (Satz REF) mindestens einen Haeufungspunkt FORMULA, und es gibt eine konvergente Teilfolge mit FORMULA.

Da die Menge FORMULA nach Voraussetzung kompakt ist, hat die offene Ueberdeckung von FORMULA durch die FORMULA eine endliche Teilueberdeckung, d.h. es gibt eine endliche Teilmenge FORMULA von FORMULA mit DISPLAY Wir koennen daher die Zahl FORMULA max FORMULA bilden.

Da die Menge, ueber die das Supremum genommen wird, mit wachsendem FORMULA kleiner wird, ist FORMULA.

Da die Summe der positiven Terme allein und die der negativen allein beide divergieren, kann man das Verfahren immer weiter fortsetzen, und es ist nicht schwer zu zeigen, dass die so entstehende Anordnung der Reihe tatsaechlich gegen FORMULA konvergiert.

Da die Ungleichung EQN punktweise gilt, gibt es zu jedem FORMULA einen Index FORMULA mit DISPLAY Wir muessen die Abhaengigkeit von FORMULA beseitigen, indem wir ein Kompaktheitsargument benutzen.

Da die linke Seite ganzzahlig ist, muss nach dem Zwischenwertsatz FORMULA konstant sein.

Da die linke Seite ganzzahlig ist, muss nach dem Zwischenwertsatz FORMULA konstant sein.

Da die linke Seite von EQN sich bei Vertauschen von FORMULA und FORMULA sich nicht aendert, gilt dasselbe fuer die rechte Seite, und EQN folgt.

Da die mechanische Energie abnimmt, wird man erwarten, dass das System nicht in einem beliebigen stationaeren Punkt FORMULA zur Ruhe kommt, sondern in einem lokalen Minimum.

Da die stetige Funktion FORMULA in dem kompakten Intervall FORMULA gleichmaessig stetig ist, gibt es zu jedem FORMULA ein FORMULA mit DISPLAY fuer alle FORMULA mit FORMULA.

Da dies fuer FORMULA richtig ist, nehmen wir FORMULA an.

Da dies fuer FORMULA schon der Fall ist, nehmen wir an, dass wir ein solches FORMULA haben, und konstruieren FORMULA wie folgt: Wir halbieren den Wuerfel FORMULA in der ersten Komponente.

Da eine positiv definite Matrix positive Diagonalelemente besitzt, ist FORMULA.

Da es Koerper mit FORMULA gibt, halten wir fuer Zahlen ausdruecklich fest:

Da es nach Satz REF keine weiteren Loesungen der Eigenwertgleichung gibt, ist FORMULA.

Da fuer FORMULA auch eine Vertauschung der Interpretationsgrenzen noetig ist, faellt das Vorzeichen von FORMULA weg.

Da fuer kompaktes FORMULA jedes FORMULA endlichen Traeger hat, ist jede Funktion FORMULA lokal integrierbar bez.

Da fuhr Gott, der Herr, hernieder, dass er saehe die Stadt und den Turm, die die Menschenkinder bauten.

Da hier FORMULA ist, ist der Lagrange-Multiplikator FORMULA einfach eine Zahl, und die Lagrange-Funktion ist DISPLAY Am Minimum ist FORMULA, also FORMULA.

Da im zweiten Beispiel FORMULA gilt, sieht man, dass man vorsichtig sein muss und nicht alles von "normalen" Zahlen gewohnte als Rechenregeln in Ringen nehmen darf.

Da in der Praxis unstetige, periodische Schaltprozesse eine Rolle spielen, betrachten wir Funktionen, die "stueckweise" gewisse Eigenschaften haben.

Da jede Cauchyfolge beschraenkt ist, hat sie einen Haeufungspunkt, nach Proposition REF also genau einen, und dieser ist der Grenzwert.

Da jede reellwertige Funktion FORMULA sich als Differenz von FORMULA und FORMULA schreiben laesst, ist FORMULA als Differenz zweier nichtnegativer Zahlen reell.

Da jede stetige Funktion lokal integrierbar ist, folgt die Integrierbarkeit aus Satz REF.

Da jedes FORMULA nur ein Folgenglied enthaelt, alle Folgenglieder aber in FORMULA liegen, nimmt die Folge nur endlich viele Werte an.

Da jedes FORMULA zu FORMULA disjunkt ist, ist FORMULA zu deren Vereinigung disjunkt, und da diese FORMULA enthaelt, enthaelt FORMULA keinen Punkt von FORMULA.

Da lineare Abbildungen im endlich-dimensionalen Fall stetig sind, koennen wir Proposition REF ITEM mit FORMULA anwenden und finden, dass die FORMULA offen sind.

Da man dies nach FORMULA aufloesen kann, besteht die Menge EQN also aus allen Punkten DISPLAY mit FORMULA und ist daher ein Ellipsoid.

Da nach Proposition REF die PREFIX Norm bei unitaeren Abbildungen invariant bleibt, ist FORMULA mit FORMULA von der Norm FORMULA.

Da nach Satz REF der Fehler FORMULA in EQN fuer genuegend kleine Schrittweiten FORMULA beliebig klein wird, bezeichnet man das Integral DISPLAY als die \define{Bogenlaenge} der Kurve FORMULA.

Da sich EQN beim Hinzunehmen von Stufen offenbar nicht aendert (warum?), ist EQN wohldefiniert.

Da sich FORMULA nicht durch endlich viele FORMULA ueberdecken laesst, gilt dasselbe fuer eine der beiden Haelften von FORMULA; diese nennen wir FORMULA.

Da sich jede PREFIX Form als Ausdruck EQN schreiben laesst (s. Kapitel REF), kann man EQN als Definition des Integrals ueber eine PREFIX Form ansehen.

Da sich jede beliebige Funktion FORMULA als FORMULA schreiben laesst, ist DISPLAY also DISPLAY Allgemeiner gilt diese Formel fuer den Erwartungswert von Funktionen, die von einer PREFIX fachen Alternative FORMULA mit den moeglichen Werten FORMULA abhaengen.

Da sich stetige Funktionen beliebig genau durch rationale (oft auch stueckweise rationale) Funktionen approximieren lassen, ist ihr Verhalten auf gewisse Weise auch typisch fuer allgemeinere Funktionen.

Da solche Frequenzen beliebig nahe beieinander liegen koennen (anders als \define{harmonische} Frequenzen FORMULA), ergibt sich im Grenzfall unendlich vieler Frequenzen das sogenannte \define{Fourierintegral} DISPLAY das in der Physik eine wichtige Rolle spielt, in dieser Vorlesung aber aus Zeitgruenden nicht mehr behandelt werden kann.

Da unitaere Matrizen die euklidische Norm nicht aendern, ergibt sich mit FORMULA die Darstellung DISPLAY Man sieht hieraus sofort, dass man in den transformierten Koordinaten hoechstens die ersten FORMULA Koordinaten beliebig klein machen kann.

Da wir das Kriterium nicht fuer Beweise verwenden, koennen wir den Beweis auf spaeter (nach Satz REF) verschieben.

Da wir nach Voraussetzung in einem Banachraum rechnen, existiert der Limes FORMULA.

Da wir schon wissen, wie die Ableitung aussehen muss, reicht es, zu zeigen, dass das Fehlerglied bei der Linearisierung, DISPLAY fuer festes FORMULA von der Groessenordnung FORMULA ist.

Dabei beschraenken wir uns der Einfachheit halber auf die Behandlung glatter Flaechen (ohne Knicke).

Dabei ist FORMULA (Ort-Raum, klassisch) oder FORMULA (Raum-Zeit, relativistisch).

Dabei ist eine polynomiale Funktion eine Linearkombination von Monomen der Form FORMULA.

Dabei kann man sogar die Transformationsmatrix noch als unitaere Matrix waehlen.

Dabei legen wir durch Axiome fest, wie man mit diesen Begriffen umgehen darf; dann untersuchen wir, welche Umformungen von den Axiomen her erlaubt sind und welche nicht.

Dabei verwenden wir die Regel FORMULA (Uebungsaufgabe!).

Dabei verwenden wir die \define{Konvention}, dass Formeln, die die Zeichen FORMULA und/oder FORMULA enthalten, so zu lesen sind, dass entweder stets das obere oder stets das untere Zeichen zu nehmen sind; z.B. ist EQN eine Abkuerzung fuer die beiden Formeln DISPLAY

Dabei wird der unendlich ferne Punkt der Geraden auf den Punkt FORMULA des Kreises abgebildet.

Dadurch wird eine Funktion FORMULA definiert.

Dafuer gibt es spezielle Vorlesungen; wir behandeln hier nur einige Grundbegriffe.

Daher beschreibt EQN fuer FORMULA einen Wachstumsprozess und fuer FORMULA einen Zerfallsprozess. Fuer komplexe Werte von FORMULA wird sich zeigen, dass der Realteil von FORMULA eine gedaempfte (Re FORMULA) bzw. angefachte (Re FORMULA Schwingung beschreibt.

Daher bilden die unitaeren PREFIX Matrizen eine Gruppe.

Daher bin ich fuer die Mitteilung von Druckfehlern und Ungenauigkeiten sowie fuer konstruktive Kritik an der Darstellung, Wuensche fuer zusaetzliche Beispiele, Erklaerungen und Bilder dankbar.

Daher enthaelt FORMULA keine Randpunkte, ist also offen.

Daher existiert FORMULA.

Daher existiert die Umkehrfunktion FORMULA, und es ist DISPLAY

Daher gibt es eine kleinste Zahl FORMULA, so dass FORMULA von FORMULA linear abhaengig ist, DISPLAY Das Polynom DISPLAY ist dann das normierte Polynom FORMULA kleinsten Grades, fuer das FORMULA ist (warum?).

Daher gilt EQN fuer DISPLAY und wir finden DISPLAY Daher ist der Abbildungsgrad FORMULA unabhaengig von der Wahl von FORMULA mit EQN und wir koennen diesen Wert mit FORMULA bezeichnen.

Daher gilt EQN fuer DISPLAY und wir finden DISPLAY Daher ist der Abbildungsgrad FORMULA unabhaengig von der Wahl von FORMULA mit EQN und wir koennen diesen Wert mit FORMULA bezeichnen.

Daher gilt EQN fuer FORMULA.

Daher gilt EQN in allen Faellen.

Daher gilt EQN, und die Behauptung folgt aus ITEM. FORMULA

Daher gilt EQN.

Daher gilt EQN.

Daher gilt EQN.

Daher gilt EQN.

Daher gilt EQN.

Daher gilt ITEM, falls EQN erfuellt ist.

Daher gilt ITEM, falls EQN erfuellt ist.

Daher gilt ITEM.

Daher gilt ITEM.

Daher gilt ITEM.

Daher gilt auch EQN.

Daher haben FORMULA und FORMULA auch dieselbe Signatur.

Daher hat FORMULA genau den Grad FORMULA.

Daher hat FORMULA keine Inverse, FORMULA kann also kein regulaerer Punkt von FORMULA sein.

Daher hat jede andere Anordnung der Summe denselben Grenzwert.

Daher ist DISPLAY (FORMULA ist konstant).

Daher ist DISPLAY (Kreisumfang!), und fuer FORMULA ergibt sich FORMULA.

Daher ist DISPLAY Fuer irgendein solches FORMULA folgt FORMULA; also ist FORMULA beschraenkt in FORMULA, d.h. FORMULA.

Daher ist DISPLAY Ist FORMULA, so ist DISPLAY also gilt EQN.

Daher ist DISPLAY die Linearfaktorzerlegung von FORMULA, und DISPLAY die entsprechende reelle Faktorisierung in lineare und quadratische Faktoren.

Daher ist DISPLAY unabhaengig von FORMULA (genuegend gross), und daher EQN eine sinnvolle auf beliebige randfreie PREFIX Funktionen erweiterte Definition des Abbildungsgrads. Da FORMULA wegen EQN im regulaeren Fall ganzzahlig ist, gilt dasselbe natuerlich jetzt fuer beliebige randfreie FORMULA.

Daher ist DISPLAY unabhaengig von FORMULA (genuegend gross), und daher EQN eine sinnvolle auf beliebige randfreie PREFIX Funktionen erweiterte Definition des Abbildungsgrads. Da FORMULA wegen EQN im regulaeren Fall ganzzahlig ist, gilt dasselbe natuerlich jetzt fuer beliebige randfreie FORMULA.

Daher ist DISPLAY und daraus folgt die Behauptung.

Daher ist DISPLAY und das ist die Formel EQN.

Daher ist DISPLAY woraus die Integralformel fuer FORMULA folgt.

Daher ist EQN anwendbar und liefert FORMULA.

Daher ist EQN unabhaengig von FORMULA, und offensichtlich ist FORMULA linear und monoton.

Daher ist FORMULA Haeufungspunkt einer Folge aus FORMULA und es folgt FORMULA

Daher ist FORMULA alternierend.

Daher ist FORMULA beschraenkt.

Daher ist FORMULA definiert.

Daher ist FORMULA diagonalisierbar.

Daher ist FORMULA durch EQN eindeutig festgelegt.

Daher ist FORMULA ein Koerper.

Daher ist FORMULA ein Produkt von FORMULA Transpsitionen.

Daher ist FORMULA ein Ring.

Daher ist FORMULA ein Unterraum von FORMULA.

Daher ist FORMULA ein Vektorraum der Dimension FORMULA, und als surjektive Abbildung zwischen Vektorraeumen der Dimension FORMULA ist FORMULA bijektiv.

Daher ist FORMULA eine abgeschlossene Teilmenge der Kugel FORMULA.

Daher ist FORMULA fuer fast alle FORMULA, d.h. EQN gilt.

Daher ist FORMULA gerade die Binaerzahl, die aus FORMULA durch Abbrechen nach PREFIX ten Stelle nach dem Komma entsteht.

Daher ist FORMULA in FORMULA enthalten, und wegen DISPLAY ist sogar FORMULA.

Daher ist FORMULA in FORMULA kontrahierend.

Daher ist FORMULA in der Form DISPLAY mit einem skalaren Potential FORMULA darstellbar.

Daher ist FORMULA injektiv, also bijektiv, und FORMULA.

Daher ist FORMULA injektiv, und als quadratische Matrix daher regulaer.

Daher ist FORMULA konstant, etwa FORMULA.

Daher ist FORMULA lokal integrierbar, also FORMULA messbar.

Daher ist FORMULA lokal integrierbar, also FORMULA messbar.

Daher ist FORMULA monoton wachsend.

Daher ist FORMULA oder FORMULA, d.h. es ist FORMULA oder FORMULA, d.h. FORMULA oder FORMULA ist nichtnegativ.

Daher ist FORMULA sogar bijektiv.

Daher ist FORMULA stetig, also beschraenkt.

Daher ist FORMULA stetig.

Daher ist FORMULA stetig.

Daher ist FORMULA und dann auch FORMULA.

Daher ist FORMULA, also FORMULA laesst sich also beliebig genau durch die Funktionen FORMULA approximieren und liegt daher in FORMULA

Daher ist FORMULA, also FORMULA und daher DISPLAY Also ist FORMULA beschraenkt.

Daher ist FORMULA, also FORMULA.

Daher ist FORMULA, und FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist FORMULA.

Daher ist auch DISPLAY

Daher ist auch DISPLAY

Daher ist auch FORMULA fuer kleine FORMULA, und wir erhalten aus EQN and EQN die Beziehung DISPLAY Nach Definition der Ableitung gilt also EQN und FORMULA ist stetig differenzierbar.

Daher ist auch FORMULA, d.h. es ist FORMULA, wegen FORMULA also auch FORMULA.

Daher ist der Satz von der monotonen Konvergenz anwendbar und liefert FORMULA.

Daher ist die Folge FORMULA der Koordinaten beschraenkt.

Daher ist die Reihe EQN fuer Re FORMULA absolut konvergent.

Daher ist durch FORMULA eine Funktion FORMULA im Streifen FORMULA \{x\in \Cz |-\frac\pi2< Im x< \frac\pi2\} FORMULA definiert.

Daher ist mindestens ein FORMULA leer, und es folgt FORMULA.

Daher ist mit FORMULA auch FORMULA eine Nullstelle von FORMULA.

Daher kann FORMULA kein Haeufungspunkt sein; d.h., fuer jeden Haeufungspunkt FORMULA muss FORMULA gelten.

Daher kann es nur einen Fixpunkt geben.

Daher kann man FORMULA und die FORMULA stetig durch DISPLAY auf ganz FORMULA fortsetzen.

Daher kann man FORMULA zu einer Basis FORMULA ergaenzen.

Daher kann man bei geringer Energiezufuhr aus dem \define{Potentialtopf}, in dem das lokale Minimum FORMULA liegt, nicht entweichen.

Daher koennen sich die Nullstellen von FORMULA nirgends haeufen, und da FORMULA beschraenkt ist, ist DISPLAY endlich.

Daher koennen sich die Nullstellen von FORMULA nirgends haeufen, und da FORMULA beschraenkt ist, ist DISPLAY endlich.

Daher konvergiert jede Cauchyfolge aus FORMULA, d.h. FORMULA ist Banachraum.

Daher laesst FORMULA alle Vektoren in FORMULA unveraendert.

Daher laesst sich die Gleichung FORMULA nach dem Satz ueber implizite Funktionen in einer genuegend kleinen PREFIX Umgebung von FORMULA eindeutig nach FORMULA aufloesen, derart, dass eine stetig differenzierbare Funktion FORMULA mit FORMULA und FORMULA entsteht.

Daher muss FORMULA sein, d.h. FORMULA ist Nullstelle von FORMULA.

Daher reduziert sich die Summe EQN auf FORMULA, d.h. FORMULA ist eindeutig bestimmt.

Daher reichen schon endlich viele FORMULA aus, um FORMULA zu ueberdecken.

Daher sind alle FORMULA im Kreis FORMULA regulaere Punkte.

Daher sind die FORMULA linear unabhaengig.

Daher sind die Grundrechnungsarten innerhalb von FORMULA definiert.

Daher sind die singulaeren Werte DISPLAY nichtnegative reelle Zahlen.

Daher verschwindet der Gesamtausdruck, d.h. es ist FORMULA.

Damit bleiben alle Groessen in dem obigen Beweis reell, so dass auch die resultierende Faktorisierung reell ist.

Damit diese Ungleichung mehr als eine Loesung hat, muss FORMULA positiv sein; der FORMULA entsprechende Vektor FORMULA erfuellt dann die Bedingung FORMULA.

Damit ergibt sich aus EQN fuer FORMULA statt FORMULA die Beziehung DISPLAY Die untere Schranke wird angenommen, d.h. es ist DISPLAY da man FORMULA wegen FORMULA loesen kann.

Damit folgt aus Satz REF unmittelbar (fuer FORMULA): DISPLAY

Damit hat man in EQN wieder die gewuenschte Form hergestellt.

Damit ist DISPLAY also ist FORMULA.

Damit ist DISPLAY nach EQN also DISPLAY wegen Beispiel REF.

Damit ist auch FORMULA und FORMULA.

Damit koennen wir FORMULA in der Form DISPLAY schreiben.

Damit lassen sich rotationssymmetrische Funktionen im FORMULA leicht integrieren.

Damit lassen sich viele Flaechen durch geeignetes Zerschneiden berechnen.

Damit man das auf beliebige defektive Matrizen anwenden kann, genuegen die bisherigen Faktorisierungen noch nicht.

Damit wird DISPLAY Da FORMULA beliebig war, koennen wir FORMULA waehlen und erhalten EQN.

Damit wird DISPLAY nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung also DISPLAY Da FORMULA stetig ist, folgt DISPLAY Daraus folgt EQN.

Damit wird FORMULA, oder DISPLAY Bewegungen komplizierterer Systeme werden durch analoge Differentialgleichungen beschrieben, in denen FORMULA ein hoeher-dimensionaler Zustandsvektor fuer die Positionen aller beteiligter Teile ist; an die Stelle von FORMULA und FORMULA treten dabei symmetrische positiv definite Matrizen FORMULA (\define{Massenmatrix}) und FORMULA (\define{Daempfungsmatrix}).

Damit wird fuer genuegend kleine FORMULA auch DISPLAY so dass FORMULA tatsaechlich die Ableitung von FORMULA ist.

Dann bezeichnet FORMULA die aus der Matrix FORMULA durch Streichen der Zeilen mit Index FORMULA entstehende PREFIX Matrix.

Dann enthaelt die Umgebung FORMULA (wie jede Umgebung) einen Punkt FORMULA, und nach Konstruktion ist FORMULA, also FORMULA.

Dann entspricht eine bijektive Abbildung naemlich gerade einer Umordnung von FORMULA.

Dann ergibt sich die allgemeine Loesung FORMULA der Gleichung FORMULA spaltenweise durch Loesen der dreieckigen Gleichungssysteme DISPLAY

Dann gibt es Punkte FORMULA mit DISPLAY Ist FORMULA (bzw. FORMULA und ist FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, so gilt ausserdem DISPLAY

Dann gibt es ein FORMULA mit DISPLAY

Dann gibt es ein FORMULA, so dass jede Kugel vom Radius FORMULA ganz in einem FORMULA enthalten oder disjunkt zu FORMULA ist.

Dann gibt es eine offene Ueberdeckung FORMULA von FORMULA, die keine endliche Teilueberdeckung von FORMULA enthaelt.

Dann gibt es fuer jedes FORMULA einen Index FORMULA mit FORMULA (sogar unendlich viele!), und es folgt FORMULA.

Dann gibt es genau eine Abbildung, die jeder stetigen Funktion FORMULA mit DISPLAY eine ganze Zahl FORMULA zuordnet, die die folgenden Eigenschaften hat: ITEM Ist FORMULA, ist FORMULA fuer alle Nullstellen FORMULA von FORMULA nichtsingulaer, und gilt EQN, so ist DISPLAY und diese Summe hat nur endlich viele Glieder.

Dann gibt es genau eine Abbildung, die jeder stetigen Funktion FORMULA mit DISPLAY eine ganze Zahl FORMULA zuordnet, die die folgenden Eigenschaften hat: ITEM Ist FORMULA, ist FORMULA fuer alle Nullstellen FORMULA von FORMULA nichtsingulaer, und gilt EQN, so ist DISPLAY und diese Summe hat nur endlich viele Glieder.

Dann gibt es naemlich zu jedem Eigenwert bis aufs Vorzeichen nur einen Eigenvektor der richtigen Laenge.

Dann gibt es zu jedem FORMULA einen PREFIX Weg FORMULA mit FORMULA.

Dann gibt es zu jeder offenen Menge FORMULA eine Funktion FORMULA mit DISPLAY

Dann gilt DISPLAY

Dann gilt DISPLAY

Dann gilt DISPLAY

Dann gilt DISPLAY

Dann gilt DISPLAY wobei die FORMULA die singulaeren Werte von FORMULA sind.

Dann gilt FORMULA fuer fast alle FORMULA, etwa fuer FORMULA, und fuer FORMULA ist FORMULA.

Dann gilt im Ring Lin FORMULA der linearen Operatoren auf FORMULA die Beziehung DISPLAY (wobei FORMULA und FORMULA Multiplikationsoperatoren sind).

Dann gilt nach der Kettenregel DISPLAY Wegen EQN ist die linke Seite dieser Gleichung Null, und Aufloesen nach FORMULA ergibt die Gleichung EQN; FORMULA ist stetig, da FORMULA beschraenkt ist.

Dann gilt:

Dann gilt:

Dann hat FORMULA die behaupteten Eigenschaften.

Dann hat FORMULA eine endliche Norm, und fuer FORMULA ist FORMULA.

Dann hat die Abbildung FORMULA eine beschraenkte Inverse, und es ist DISPLAY

Dann ist DISPLAY

Dann ist DISPLAY

Dann ist DISPLAY (Bernoulli'sche Ungleichung).

Dann ist DISPLAY Hat FORMULA nur einfache komplexe Nullstellen, so kann man FORMULA mit dem obigen Satz in Partialbrueche zerlegen.

Dann ist DISPLAY Nun ist FORMULA, also ist FORMULA, d.h. DISPLAY ITEM Sei FORMULA.

Dann ist DISPLAY Weil die FORMULA monoton wachsend und beschraenkt sind, geht dieser Ausdruck fuer FORMULA gegen Null.

Dann ist DISPLAY fuer alle FORMULA, also FORMULA, und daher FORMULA.

Dann ist DISPLAY und die Loesung des linearen Gleichungssystems DISPLAY hat die Komponenten DISPLAY wobei FORMULA aus FORMULA entsteht, indem man die PREFIX te Spalte FORMULA durch die rechte Seite FORMULA ersetzt.

Dann ist FORMULA ein Polynom vom Grad FORMULA, und nach der Gradformel muss FORMULA sein, also FORMULA, FORMULA.

Dann ist FORMULA fuer FORMULA, also FORMULA.

Dann ist FORMULA fuer FORMULA, also induktiv FORMULA fuer FORMULA.

Dann ist FORMULA fuer FORMULA, und mit FORMULA ergibt sich wie zuvor EQN.

Dann ist FORMULA fuer alle FORMULA.

Dann ist FORMULA fuer beliebige komplexe Argumente FORMULA.

Dann ist FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, und fuer FORMULA gilt die \define{Kettenregel} DISPLAY

Dann ist FORMULA mit FORMULA aus EQN, und FORMULA mit dem analog zu EQN aus FORMULA gebildeten FORMULA.

Dann ist FORMULA offen.

Dann ist FORMULA und FORMULA, also sind FORMULA und FORMULA verschiedene Abbildungen.

Dann ist FORMULA, also FORMULA und FORMULA, also FORMULA.

Dann ist FORMULA, also FORMULA und daher FORMULA.

Dann ist FORMULA, also FORMULA und daher FORMULA.

Dann ist FORMULA, also auch FORMULA.

Dann ist FORMULA, die erste Spalte von FORMULA ist also FORMULA.

Dann ist FORMULA, und da FORMULA eine Diagonalmatrix ist, ist dies eine Spektralzerlegung von FORMULA.

Dann ist FORMULA, und da FORMULA offen ist, ist FORMULA eine Umgebung von FORMULA.

Dann ist FORMULA, und wegen FORMULA folgt aus dem vorigen Satz FORMULA, also EQN.

Dann ist FORMULA, wegen der Stetigkeit der Determinate also DISPLAY Wegen der eindeutigen Umkehrbarkeit liegt in FORMULA keine weitere Nullstelle von FORMULA.

Dann ist FORMULA, wegen der Stetigkeit der Determinate also DISPLAY Wegen der eindeutigen Umkehrbarkeit liegt in FORMULA keine weitere Nullstelle von FORMULA.

Dann ist das Gleichungssystem FORMULA genau dann fuer alle FORMULA loesbar, wenn das konjugiert transponierte System FORMULA nur die triviale Loesung besitzt.

Dann ist die Folge der Suprema FORMULA monoton fallend und nach unten durch FORMULA (warum?) beschraenkt.

Dann ist die Gleichung FORMULA genau dann loesbar, wenn FORMULA fuer alle FORMULA gilt.

Dann ist die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA stetig differenzierbar, und es ist (" FORMULA ") DISPLAY ITEM Ist FORMULA und FORMULA eines der Intervalle FORMULA, FORMULA, FORMULA oder FORMULA, so ist DISPLAY und insbesondere DISPLAY

Dann ist die durch DISPLAY definierte Hessematrix FORMULA von FORMULA an der Stelle FORMULA symmetrisch, und fuer FORMULA gilt DISPLAY Statt FORMULA schreibt man auch FORMULA.

Dann ist durch DISPLAY eine Funktion FORMULA definiert.

Dann ist eine explizite Loesung meistens unmoeglich, qualitativ bleibt das hier Gesagte jedoch weitgehend richtig.

Dann ist fuer jede in FORMULA verlaufende PREFIX -Kurve FORMULA durch.

Dann ist jedes monotone lineare Funktional FORMULA ein Daniell-Funktional.

Dann ist offensichtlich auch DISPLAY Ist FORMULA, so heisst die Zahl DISPLAY die \define{Kreisfrequenz} der Funktion (und der Periode).

Dann kann man EQN durch quadratische Ergaenzung auf die aequivalente Form DISPLAY mit FORMULA und FORMULA bringen.

Dann laesst sich jede natuerliche Zahl FORMULA eindeutig in der Form DISPLAY mit ganzen Zahlen FORMULA schreiben.

Dann liegen die Funktionen FORMULA und FORMULA in FORMULA.

Dann liegen in jeder Umgebung von FORMULA Folgenglieder FORMULA und der Punkt FORMULA, also ist FORMULA Randpunkt.

Dann nimmt man die Aussagen REF - REF als Axiome, die an den Anfang gestellt werden.

Dann sind FORMULA und (falls FORMULA fuer FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, und es gilt DISPLAY Ist ausserdem FORMULA Lin FORMULA beschraenkt, so ist auch FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, und DISPLAY

Dann sind FORMULA und FORMULA abgeschlossen, und int FORMULA ist offen.

Dann sind naemlich FORMULA stets linear abhaengig, also ist nach Satz REF eine PREFIX Form ueberall Null.

Dann stimmt die Ableitung mit der fuer Wege definierten Ableitung ueberein.

Dann waere FORMULA fuer ein FORMULA.

Daraus folgt DISPLAY Wegen FORMULA folgt FORMULA.

Daraus folgt EQN.

Daraus folgt EQN.

Daraus folgt EQN.

Daraus folgt EQN.

Daraus folgt EQN.

Daraus folgt FORMULA, und EQN ergibt FORMULA fuer alle FORMULA.

Daraus folgt FORMULA.

Daraus folgt FORMULA; wegen FORMULA hat cos also in ]0,2[ einen Zeichenwechsel und daher eine Nullstelle.

Daraus folgt ITEM, und ITEM ist der Spezialfall FORMULA.

Daraus folgt ITEM.

Daraus folgt aber, dass FORMULA unitaer sein muss; allerdings koennen wir das erst spaeter (Proposition REF) beweisen, da dazu die unitaere Spektralzerlegung benoetigt wird.

Daraus folgt auch EQN.

Daraus folgt die Behauptung.

Daraus folgt die Behauptung.

Daraus folgt die Stetigkeit von FORMULA.

Das Ausrechnen von Integralen ueber unbeschraenkte Intervalle erfordert Grenzprozesse; wir muessen also zuerst Rechenregeln dafuer herleiten.

Das Beispiel laesst sich verallgemeinern.

Das Besondere am Koerper der komplexen Zahlen ist, dass sich immer Nullstellen finden lassen, und sich daher FORMULA zu einer Konstante reduziert.

Das Bild FORMULA der Treppenfunktion FORMULA heisst das \define{Stieltjes-Integral} von FORMULA bez.

Das Bild FORMULA des ganzen Definitionsbereichs wird auch mit Range FORMULA ("Bild von FORMULA "; engl. range = Bereich) bezeichnet.

Das Ergebnis ist ein normierter Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.

Das FORMULA in EQN ist selbstverstaendlich keine Ableitung von FORMULA; es ist nur eine weitere Art, variable Elemente zu bezeichnen, und soll lediglich die Symmetrie in der Formel betonen.

Das Gegenteil der Behauptung ist also FORMULA, und dies wird im Konjunktiv vorausgesetzt.

Das Gegenteil der Behauptung muss also falsch sein, die Behauptung also richtig.

Das Gleichungssystem muss daher mindestens FORMULA Gleichungen enthalten.

Das Gravitationsfeld wird beschrieben durch Angabe einer Potentialfunktion FORMULA (ein Skalarfeld), die zu jedem FORMULA die potentielle Energie FORMULA angibt, die ein in FORMULA befindliches Teilchen (fester Masse FORMULA) haben wuerde.

Das Hintereinanderausfuehren von FORMULA und der Moebiustransformation FORMULA mit DISPLAY ergibt DISPLAY und ist wegen DISPLAY wieder eine Moebiustransformation.

Das Inhaltverzeichnis ist auch noch nicht perfekt: Umlaute sind nicht korrekt, auch werden einige der algebraischen Kapitel noch nicht beruecksichtigt, All das wird in der naechsten Version korrigiert.

Das Integral DISPLAY bleibt wegen FORMULA fuer alle FORMULA beschraenkt, so dass EQN fuer FORMULA und FORMULA, FORMULA erfuellt ist.

Das Integral der charakteristischen Funktion eines Intervalls, DISPLAY ist gerade die Laenge des Intervalls. Im Mehrdimensionalen ist es vorteilhaft, zuerst das mehrdimensionale Integral FORMULA, das sogenannte Lebesgue-Integral, zu definieren und dann das Volumen einer Menge M, die im FORMULA ja eine viel kompliziertere Gestalt haben kann, durch FORMULA zu erklaeren.

Das Kurvenintegral FORMULA haengt genau dann nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve FORMULA in FORMULA ab, wenn sich FORMULA in der Form DISPLAY schreiben laesst.

Das Kurvenintegral ergibt sich fuer den Spezialfall FORMULA (wobei dieses FORMULA natuerlich nichts mit der Bezeichnung fuer Formen zu tun hat).

Das Mass der Menge FORMULA ist DISPLAY (Beweise dieser Aussagen als Uebungsaufgabe.)

Das Matrizenprodukt kann man sich uebersichtlich im Falk'schen Schema merken: Die Berechnung von FORMULA ist schwieriger und wird weiter unten beschrieben.

Das Minimum wird genau dann angenommen, wenn FORMULA der von den FORMULA ersten singulaeren Vektoren von FORMULA aufgespannte Unterraum ist.

Das Modell ist brauchbar in Situationen, wo Wuerfel genuegend symmetrisch gearbeitet sind oder wo soviele Wuerfel beteiligt sind, dass man davon ausgehen kann, dass sich die Maengel der verschiedenen Wuerfel im Mittel ausgleichen.

Das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt fuehrt zur orthogonalen Zerlegung beliebiger Matrizen.

Das Polynom FORMULA mit DISPLAY hat FORMULA als Koeffizienten von FORMULA Wegen FORMULA ist FORMULA, und man kann speziell FORMULA waehlen, so dass dieser Koeffizient verschwindet.

Das Prinzip dieser Methode ist es, einen geeigneten Ausdruck fuer die \define{Residuen}, d.h. die Abweichungen der Daten vom Modell zu finden und die Parameter so zu waehlen, dass die Residuen moeglicht klein werden.

Das Produkt FORMULA laesst sich also beliebig genau durch die Funktionen FORMULA approximieren und liegt daher in FORMULA.

Das Produkt der zugehoerigen Linearfaktoren ist ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten: DISPLAY Gleichzeitige Abdivision der beiden Linearfaktoren liefert also wieder ein Polynom mit reellen Koeffizienten.

Das Punktspektrum und daher das Spektrum ist FORMULA, denn fuer jedes FORMULA sind die Wege mit FORMULA wegen FORMULA Eigenfunktionen zum Eigenwert FORMULA.

Das Symbol FORMULA bezeichnet die \define{Transposition} von FORMULA und FORMULA, die FORMULA und FORMULA vertauscht und die uebrigen Indices festlaesst.

Das System ist also in der Naehe von FORMULA gefangen.

Das System schwingt also sowohl in den Frequenzen der Anregung (\define{erzwungene Schwingung}) als auch in denen des isolierten Systems; allerdings ist der homogene Anteil gedaempft, so dass nach Beenden des sogenannten Einschwingvorgangs im wesentlichen nur noch der Einfluss der Anregung uebrigbleibt.

Das Urbild von EQN unter FORMULA besteht aus allen Punkten FORMULA mit DISPLAY Durch Multiplikation mit FORMULA wird diese Gleichung zu DISPLAY Ausmultiplizieren (mit FORMULA) und neu Zusammenfassen ergibt nun DISPLAY Das ist wieder eine Gleichung der Form EQN.

Das Vektorfeld FORMULA heisst in diesem Fall konservativ.

Das Vorgehen im Beweis von ITEM ist konstruktiv und wird zur praktischen Durchfuehrung der Polynomdivision benutzt.

Das \define{Gradmass} fuer Winkel ist durch DISPLAY festgelegt.

Das charakteristische Polynom der Matrix DISPLAY ist DISPLAY die Eigenwerte sind wie zu erwarten positiv und reell.

Das dortige Beispiel REF zeigt, dass auch beim Integrieren von Grenzwerten Sorgfalt noetig ist; punktweise Konvergenz sichert nicht die Konvergenz der Integrale.

Das dritte Integral wird nach der Substitution FORMULA, FORMULA abgeschaetzt durch DISPLAY Also ist DISPLAY und fuer FORMULA folgt die erste Behauptung.

Das durch (D1) und (D2) bestimmte lineare Funktional FORMULA heisst das zu FORMULA gehoerige \define{vervollstaendigte Integral}.

Das durch das monotone lineare Funktional DISPLAY fuer messbare Teilmengen FORMULA von FORMULA definierte Mass DISPLAY heisst der \define{PREFIX Flaecheninhalt} (oder das \define{PREFIX Volumen}) von FORMULA.

Das ergibt sich allgemeiner fuer die Loesung einer Matrixgleichung FORMULA aus dem folgenden Satz.

Das erklaert die Bezeichnungsweise `Spektrum' fuer die Menge der nicht regulaeren Punkte.

Das folgende Beispiel soll zur Vorsicht mahnen.

Das folgt sofort aus der erweiterten Integralformel, wenn man FORMULA in EQN durch FORMULA ersetzt.

Das gilt allgemein:

Das gilt fuer alle FORMULA, also ist FORMULA.

Das ist aequivalent zu FORMULA.

Das ist fuer stueckweise glatte Raender der Fall, wie wir bald sehen werden.)

Das ist im Komplexen stets der Fall.

Das ist in scharfem Kontrast zu dem, was etwa fuer stetig differenzierbare reelle Funktionen in der Ebene gilt.

Das ist insbesondere in der Relativitaetstheorie von Bedeutung, wo die Raumzeit durch eine PREFIX dimensionale abstrakte Flaeche beschrieben wird.

Das ist richtig fuer FORMULA, da dann FORMULA sein muss, was ein leeres Produkt ist.

Das ist tatsaechlich der Fall, und falls die FORMULA genuegend schnell klein werden, reicht dies schon fuer absolute Konvergenz:

Das ist unvermeidlich angesichts dessen, was Sie sich vorgenommen haben: Physik zu studieren, d.h. umfassende Kenntnisse ueber die Wirkungsweise der Natur zu erwerben, um sie spaeter in einer sich schnell wandelnden Welt zu nutzen.

Das naechste Integral spielt in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine zentrale Rolle (Gauss'sche Normalverteilung).

Das positive Vorzeichen der Determinante bedeutet, dass die zu den beiden Karten gehoerigen krummlinigen Koordinatensysteme im Punkt FORMULA gleich orientiert sind.

Das qualitative Verhalten entspricht dem bei grosser Reibung.

Das richtige Konzept ist das der Multilinearform, dessen Eigenschaften in diesem Kapitel untersucht werden.

Das runde FORMULA steht statt FORMULA, um zu betonen, dass es sich um partielle Ableitungen handelt.

Das vielleicht wichtigste Beispiel dazu ist die Computer-Tomographie.

Das wichtigste Hilfsmittel beim Umgang mit Polynomen ist die Polynomdivision.

Dass EQN die einzige Moeglichkeit ist, sieht man direkt fuer FORMULA: DISPLAY und fuer FORMULA DISPLAY Der allgemeine Fall geht analog (genau genommen induktiv), ist aber haesslich hinzuschreiben.

Dass das positive Vorzeichen gilt, folgt aus der als Naechstes zu beweisenden Ungleichung EQN.

Dass die Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen ausreicht, um fuer das durch EQN definierte FORMULA die Approximationseigenschaft EQN zu zeigen, erfordert zusaetzliche Hilfsmittel (Mittelwertsatz); auf den Beweis wird verzichtet, da er keine wesentliche Einsicht vermittelt.

Dass dieser Unterschied keine Pedanterie ist, zeigt spaeter Beispiel REF.

Dass dieses Integral existiert, sieht man durch Aufspalten des Integrations-intervalls in FORMULA und FORMULA.

Dass ein monotones Funktional entsteht, folgt daraus, dass das Volumenintegral monoton ist und die Faktoren FORMULA und FORMULA nichtnegativ sind.

Dass es nicht immer in der Naehe von FORMULA eine Nullstelle geben muss, zeigt das Beispiel FORMULA.

Dass fuer das Integral gleichmaessige Konvergenz ausreicht, ergibt sich aus dem naechsten Satz.

Dass man vorsichtig sein muss, wenn man Integration und Grenzwertbildung vertauschen will, zeigt die Folge der durch DISPLAY

Dass sich beidesmal eine untere Dreiecksmatrix ergeben hat, ist kein Zufall, sondern folgt aus deren Gruppeneigenschaft.

Dass, wie im Beispiel, der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen unstetig ist, kann bei gleichmaessiger Konvergenz nicht passieren:

Dasselbe Argument mit vertauschten Rollen liefert aber FORMULA.

Dasselbe gilt auch fuer die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA, die wohldefiniert ist, da die Summe fuer jedes FORMULA hoechstens zwei Terme FORMULA hat und stets positiv ist.

Dasselbe gilt fuer FORMULA, falls FORMULA, da dann FORMULA mit dem richtigen Vorzeichen immer noch beliebig gross werden kann.

Dasselbe gilt fuer die Menge FORMULA aller unitaeren PREFIX Matrizen FORMULA ueber FORMULA mit FORMULA.

Dazu approximieren wir ein beliebiges randfreies FORMULA durch Funktionen FORMULA mit DISPLAY Nach dem Approximationssatz von Weierstrass (Satz REF) ist das stets moeglich, da FORMULA beschraenkt ist.

Dazu approximieren wir ein beliebiges randfreies FORMULA durch Funktionen FORMULA mit DISPLAY Nach dem Approximationssatz von Weierstrass (Satz REF) ist das stets moeglich, da FORMULA beschraenkt ist.

Dazu benutzen wir Polarkoordinaten FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

Dazu berechnen wir DISPLAY Da diese Schranke unabhaengig von FORMULA ist, ist DISPLAY Da die Folge FORMULA gleichmaessig konvergent ist, ist sie eine Cauchy-Folge, und aus EQN folgt, dass die FORMULA ebenfalls eine Cauchy-Folge bilden.

Dazu berechnen wir DISPLAY Mit FORMULA ist wegen FORMULA also DISPLAY und nach Satz REF folgt die absolute Konvergenz von EQN.

Dazu berechnen wir die Ableitung.

Dazu berechnen wir: DISPLAY also ist DISPLAY und diese untere Schranke ist gerade der Wert von FORMULA, wenn alle FORMULA sind.

Dazu berechnet man die Singulaere-Werte-Zerlegung FORMULA der Matrix FORMULA und approximiert FORMULA durch eine einfachere Diagonalmatrix FORMULA, indem man alle nicht signifikanten singulaeren Werte durch Null ersetzt.

Dazu beweisen wir zunaechst ein Hilfsresultat (vgl. Kapitel 13, gleichmaessige Stetigkeit).

Dazu brauchen wir noch ein paar Vorbereitungen.

Dazu entwickeln wir FORMULA und FORMULA in eine Taylorreihe um FORMULA.

Dazu erinnern wir zunaechst an die Formeln DISPLAY

Dazu gehoert in gewisser Weise auch schon das bisher in normierten Raeumen Gesagte.

Dazu machen wir den \define{Exponentialansatz} DISPLAY mit geeigneten FORMULA.

Dazu muss man eine Substitution waehlen, die das gegebene Integral in ein Integral entlang einer geschlossenen Kurve ueberfuehrt.

Dazu nutzen wir die Tatsache aus, dass diese Definitionsbereiche eine offene Ueberdeckung von FORMULA und daher auch von der kompakten Menge FORMULA bilden.

Dazu reicht es jetzt naemlich, einen beliebigen Weg durch eine Folge von integrierbaren Wegen beliebig genau gleichmaessig zu approximieren.

Dazu schauen wir uns zunaechst einige spezielle Matrizen an.

Dazu schreiben wir EQN in der Form DISPLAY Wir sagen, wir haben die Deteminante nach der dritten Spalte entwickelt.

Dazu sei FORMULA.

Dazu setzen wir DISPLAY und erhalten die gewuenschte Zerlegung aus DISPLAY mit der normierten unteren Dreiecksmatrix FORMULA und der Diagonalmatrix FORMULA.

Dazu setzen wir voraus, dass die Anregung FORMULA als Linearkombination DISPLAY von Exponentialfunktionen ausgedrueckt werden kann.

Dazu sind einige Vorbereitungen noetig.

Dazu waehlen wir ein FORMULA.

Dazu waehlen wir eine beliebige Hutfunktion FORMULA mit Traeger in FORMULA und FORMULA.

Dazu waehlen wir eine beliebige Hutfunktion FORMULA mit Traeger in FORMULA und FORMULA.

Dazu zerlegt man den Nenner in Faktoren, d.h. man muss die Nullstellen FORMULA des Nenners finden und der Reihe nach die Faktoren FORMULA oder bei komplexen Nullstellen FORMULA die Faktoren FORMULA abdividieren.

Definieren wir nun die Diagonalmatrix FORMULA mit FORMULA, so wird EQN zu FORMULA, und die weitere Substitution FORMULA fuehrt auf den Einheitskreis FORMULA.

Definite Matrizen bilden daher ein unentbehrliches Handwerkszeug in vielen praktischen Anwendungen, wo mehrdimensionale Datenanalyse notwendig ist oder Optimierungsprobleme geloest werden muessen.

Definitheit und Signatur sind Eigenschaften von Matrizen, die mit der Zahl der positiven Eigenwerte zusammenhaengen; dazu gehoeren ebenfalls Matrixzerlegungen, u.a. die Cholesky-Zerlegung.

Den Abbildungsbegriff veranschaulicht man sich am besten als Projektion eines physikalischen Objekts auf eine Leinwand.

Den Satz von Pythagoras nutzen wir zur Herleitung der Beziehung DISPLAY Die axiomatische Methode geht von den hier motivierten Begriffen aus und legt fest, welche Regeln fuer den Umgang damit gelten.

Den Umgang mit logischen Argumenten, mit Mengen, Abbildungen und Relationen nehmen wir als intuitiv bekannt an.

Den Vektor der Residuen schreiben wir als FORMULA; FORMULA ist also eine Abbildung vom Raum FORMULA der Parametervektoren in den Raum FORMULA der Residuenvektoren.

Den kleinsten Wert fuer FORMULA erhaelt man offenbar, wenn man FORMULA als Loesung des dreieckigen Gleichungssystems DISPLAY waehlt.

Denn das bedeutet fuer dich, dass du lebst und alt wirst und wohnen bleibst an dem Ort, an den dich Gott stellen wird.

Denn fuer endliche FORMULA ist FORMULA endlich, kann aber beliebig gross werden.

Denn in jeder PREFIX Umgebung liegen unendlich viele FORMULA, und fuer fast alle dieser Indices (also ebenfalls fuer unendlich viele) liegt FORMULA in einer PREFIX Umgebung von FORMULA, also FORMULA in einer PREFIX Umgebung von FORMULA.

Denn nach dem Lemma von Sard gibt es eine fuer jedes stetig differenzierbare FORMULA eine Nullfolge FORMULA (waehle in jeder Kugel FORMULA einen Punkt FORMULA).

Denn nach dem Lemma von Sard gibt es eine fuer jedes stetig differenzierbare FORMULA eine Nullfolge FORMULA (waehle in jeder Kugel FORMULA einen Punkt FORMULA).

Der "natuerliche" Definitionsbereich ist in diesem Fall Def FORMULA.

Der Abbildungsgrad im FORMULA ist also genau dann von Null verschieden, wenn am Rand ein Zeichenwechsel vorliegt.

Der Abbildungsgrad im FORMULA ist also genau dann von Null verschieden, wenn am Rand ein Zeichenwechsel vorliegt.

Der Abbildungsgrad ist ein Konzept, das es ermoeglicht, unter schwachen Voraussetzungen an eine vektorwertige Funktion FORMULA die Existenz von Nullstellen zu zeigen.

Der Abbildungsgrad ist ein Konzept, das es ermoeglicht, unter schwachen Voraussetzungen an eine vektorwertige Funktion FORMULA die Existenz von Nullstellen zu zeigen.

Der Allgemeinfall ergibt sich daraus durch Induktion.

Der Begriff der aeusseren Ableitung von Differentialformen bereitet schliesslich den Boden fuer die Integralsaetze der mehrdimensionalen Integralrechnung.

Der Begriff des Zusammenhangs wird oft benoetigt, um die Eindeutigkeit von Objekten zu zeigen.

Der Betrag (Abstand vom Nullpunkt) ist konstant, FORMULA.

Der Beweis ist schwierig und soll weggelassen werden.

Der Beweis ist schwierig und wird hier nicht gegeben.

Der Durchschnitt FORMULA der offenen Mengen FORMULA ist offen und enthaelt nach Konstruktion FORMULA; also ist FORMULA eine Umgebung von FORMULA.

Der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen braucht nicht offen zu sein: DISPLAY Die Vereinigung beliebig vieler abgeschlossener Mengen braucht nicht abgeschlossen zu sein: DISPLAY

Der Faktor FORMULA hat die konjugiert komplexen Nullstellen FORMULA, laesst sich also reell nicht weiter zerlegen.

Der Fall FORMULA folgt durch Multiplikation mit FORMULA.

Der Fall FORMULA folgt durch Multiplikation mit FORMULA.

Der Fall, dass FORMULA ein Skalarfeld ueber FORMULA ist, verdient besonders hervorgehoben zu werden.

Der Fixpunktsatz von Banach ist auch nuetzlich, um den Fehler von Naeherungsloesungen von beliebigen Gleichungen und Gleichungssystemen abzuschaetzen:

Der Flaecheninhalt zwischen der PREFIX Achse und dem Graph von FORMULA hat aber den konstanten Wert 2, daher konvergieren die FORMULA in der PREFIX Norm (bez.

Der Grad kann durchaus kleiner sein.

Der Grad von FORMULA ist offenbar hoechstens FORMULA, also wieder kleiner als der Nennergrad.

Der Graph einer Funktion FORMULA (FORMULA offen) ist die Menge DISPLAY Durch FORMULA wird eine Karte FORMULA definiert.

Der Grenzuebergang FORMULA liefert nun DISPLAY Da FORMULA beliebig war, folgt EQN, und damit der Satz.

Der Grund dafuer, dass man nur offene Mengen zulaesst, liegt darin, dass man Situationen ausschliessen will, wo "asymptotische" oder "singulaere" Phaenomene passieren koennen: z.B. im Unendlichen oder am Rand eines offenen Intervalls, wo stetige Funktionen unbeschraenkt werden koennen.

Der Grund liegt darin, dass es wichtige Ringe gibt, in denen manche der gewohnten Regeln falsch sind.

Der Grundzustand und 3 Resonanzschwingungen eines Gerueestes.

Der Identitaetssatz bildet zusammen mit Satz REF und der Tatsache, dass jede Potenzreihe im Innern ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion darstellt, den Ausgangspunkt fuer die analytische Fortsetzung analytischer Funktionen.

Der Lagrange-Multiplikator berechnet sich durch Einsetzen in die Nebenbedingung FORMULA, also DISPLAY zu FORMULA, so dass sich die Loesung DISPLAY ergibt.

Der Name fuer den metrischen Tensor erklaert sich durch sein Auftreten bei der Laengenmessung von Kurven.

Der Nullraum ist also nichttrivial (ausser wenn FORMULA ist, und die Matrix offensichtlich singulaer ist), und die Matrix ist dann singulaer.

Der Nullraum von FORMULA hat aber die Dimension FORMULA, wie man sofort aus der Loesungsformel fuer Systeme in Stufenform (Satz REF) entnimmt.

Der PREFIX dimensionale Vektorraum FORMULA ueber den rationalen Zahlen ist kein Banachraum, da er bei allen irrationalen Zahlen Loecher hat.

Der Punkt FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA und FORMULA ist nun ein Haeufungspunkt der Folge FORMULA.

Der Raum DISPLAY heisst der zu FORMULA gehoerige \define{invariante Unterraum} von FORMULA.

Der Raum FORMULA besteht nur aus dem leeren Tupel () und ist ein nulldimensionaler Raum.

Der Residuensatz ist nuetzlich, um gewisse reelle Integrale auszurechnen.

Der Ring der Ziffern einer Uhr hat "Nullteiler" (z.B. ist FORMULA), und wir werden auch bald wichtige Ringe kennen lernen, die nicht kommutativ sind.

Der Satz sagt also, unter welchen Umstaenden in der Naehe eines Punktes FORMULA mit kleinem Residuum FORMULA eine Nullstelle FORMULA existiert, und wie weit sie hoechstens von FORMULA entfernt ist.

Der Tensor EQN heisst der \define{Levi-Civita-Tensor}.

Der Unterschied zwischen Konvergenz in der PREFIX Norm und punktweiser oder gleichmaessiger Konvergenz zeigt sich z.B. an den fuer FORMULA durch DISPLAY definierten Funktionen FORMULA.

Der Vektorraum aller Linearformen ueber FORMULA heisst der \define{Dualraum} von FORMULA, und wird mit FORMULA bezeichnet.

Der Wichtigkeit wegen formulieren wir fuer diesen Spezialfall einen Teil von Satz REF besonders und eine Folgerung daraus.

Der Zaehler laesst sich faktorisieren als FORMULA, und der Nenner als FORMULA.

Der \define{Rand} FORMULA von FORMULA ist die Menge aller Randpunkte von FORMULA.

Der \define{Winkel} zwischen zwei Vektoren FORMULA ist DISPLAY

Der aufwendigere Existenzbeweis dient dazu, auf einfache Weise den noch fehlenden Teil ITEM zu beweisen.

Der besondere Name fuer komplex differenzierbare Funktionen ist gerechtfertigt, weil -- anders als im Reellen -- die komplexe Differenzierbarkeit viele weiteren Eigenschaften nach sich zieht; analytische Funktionen sind von ihren Eigenschaften her die "schoensten" Funktionen in der Analysis. Wir streifen hier nur einige grundlegenden Ergebnisse und verweisen fuer ein tieferes Eindringen auf die Funktionentheorie oder komplexe Analysis (zwei Namen fuer dasselbe Themengebiet).

Der bisher unbewiesen gebliebene Satz REF folgt nun im positiv definiten Fall, und der semidefinite Fall folgt wegen der Stetigkeit der Determinanten durch Grenzuebergang FORMULA, da (Eigenwertkriterium!) FORMULA genau dann positiv semidefinit ist, wenn FORMULA fuer alle FORMULA positiv definit ist.

Der einzige Term vom Grad FORMULA ist dabei das Produkt FORMULA mit hoechstem Koeffizient FORMULA.

Der groesste singulaere Wert ist nun FORMULA, also ist FORMULA.

Der naechste Satz gibt hinreichende Bedingungen fuer die Integrierbarkeit von Funktionen, die unbeschraenkten Trager haben oder eine Singularitaet besitzen.

Der naechste Schritt in der Theorie ist die Erweiterung des Integrals von Funktionen in FORMULA auf beliebige integrierbare Funktionen, also im Fall des Stieltjes-Integrals von Treppenfunktionen auf z.B. stetige oder monotone Funktionen.

Der normierten Vektor DISPLAY mit derselben Orientierung heisst der aeussere Normalenvektor von FORMULA in FORMULA.

Der staerkste Anstieg erfolgt also in Richtung des Gradienten.

Der tatsaechliche Fehler ist dann etwa proportional zur Norm des Residuums FORMULA, mit einem Faktor, der zwischen FORMULA und FORMULA liegt, fuer kleine FORMULA also nahe bei 1.

Der unorientierte Flaecheninhalt FORMULA misst in gewisser Weise die Groesse einer Funktion und hat, wie wir sehen werden, einige der Eigenschaften einer Norm.

Der zum Spatprodukt DISPLAY gehoerige Tensor hat die Komponenten DISPLAY wie man leicht mit Hilfe von EQN nachrechnet.

Derartige Fragestellungen werden im Rahmen der numerischen Mathematik behandelt.

Deshalb ist das Loesungsverhalten fuer Gleichungen der Form FORMULA mit oberen Dreiecksmatrizen FORMULA auch etwas komplizierter.

Diagonalmatrizen haben immer Nullzeilen oder Nullspalten, ausser wenn sie quadratisch sind, wo es von den Diagonalelementen abhaengt.

Die Abbildung FORMULA ist stetig, nimmt also ihr Maximum in der kompakten Menge FORMULA an, etwa bei FORMULA.

Die Abbildungen FORMULA von FORMULA nach FORMULA sind dann durch die Bilder FORMULA und FORMULA festgelegt.

Die Ableitung an der Stelle FORMULA kann man statt mit der Formel DISPLAY einfacher mit dem Hornerschema fuer FORMULA berechnen: DISPLAY

Die Ableitung ist DISPLAY mit DISPLAY Die Laenge des zum Winkelbereich FORMULA gehoerigen Bogens ist also DISPLAY Fuer den Kreis mit dem Radius FORMULA ist FORMULA konstant, also hat ein Kreisbogen die Laenge DISPLAY Im Einheitskreis FORMULA ist die Laenge eines Bogens zum Winkel FORMULA also gerade FORMULA, d.h. der Winkel wurde im \define{Bogenmass} gemessen.

Die Ableitung ist eine geometrische Reihe, DISPLAY Fuer Re FORMULA hat FORMULA das Betragsquadrat DISPLAY also ist FORMULA.

Die Ableitung von FORMULA an der Stelle FORMULA wird mit FORMULA oder FORMULA und die Ableitung von FORMULA an der Stelle FORMULA mit FORMULA oder FORMULA bezeichnet.

Die Amplitude einer harmonischen Schwingung mit Kreisfrequenz FORMULA wird also \define{exponentiell gedaempft} mit einem Faktor FORMULA; die entstehende Schwingung oszilliert nicht mehr periodisch.

Die Anfangsauslenkung klingt also exponentiell ab, ohne dass eine periodische Schwingung um die Ruhelage entsteht.

Die Anwendung der Regeln erfolgt meistens durch Einsetzen von anderen Buchstaben oder Ausdruecken in die Regeln, bei gleichzeitigem Setzten von noetigen Klammern und Weglassen von ueberfluessigen Klammern.

Die Anzahl FORMULA der Indices ist in physikalischen Anwendungen meist FORMULA; die Faelle FORMULA (Matrizen), FORMULA (Vektoren) und sogar FORMULA (Skalare) sind dabei formal eingeschlossen.

Die Approximationsaussagen sind konsistent mit der physikalischen Intuition von FORMULA als infinitesimalen Zuwachs FORMULA fuer FORMULA.

Die Auslenkung zum Zeitpunkt FORMULA ist DISPLAY und die Geschwindigkeit ist DISPLAY Traegt man FORMULA gegen FORMULA im Phasendiagramm auf, erhaelt man eine Kreislinie, die in der Periode FORMULA durchlaufen wird.

Die Aussage gilt offensichtlich fuer FORMULA, wo FORMULA und FORMULA ist.

Die Aussage ist mit FORMULA richtig fuer FORMULA.

Die Bedingung EQN garantiert naemlich, dass in der Summe EQN fuer FORMULA nur ein Term uebrigbleibt, der gerade den Wert FORMULA annimmt: DISPLAY Fuer FORMULA gilt nun FORMULA mit FORMULA also DISPLAY Wir wollen nun FORMULA ausserdem so waehlen, dass fuer den konstanten Weg FORMULA auch der Naeherungsweg konstant ist, FORMULA.

Die Bedingung EQN ist etwas unhandlich, wenn FORMULA das Vorzeichen wechselt.

Die Bedingung FORMULA garantiert (warum?), dass Zaehler und Nenner keine gemeinsame Nullstelle haben.

Die Bedingungen REF und REF werden zu DISPLAY Wegen der Stetigkeit von FORMULA ist EQN fuer kleine FORMULA und kleine FORMULA erfuellt, und durch Verkleinern von FORMULA kann man wegen der Stetigkeit von FORMULA auch EQN erreichen.

Die Begriffe "Nullmenge" und "fast ueberall" haengen also wesentlich vom betrachteten Integral FORMULA ab.

Die Begriffsbildung laesst sich dadurch motivieren, dass wir das bestimmte Integral FORMULA als Integral ueber ganz FORMULA auffassen wollen, wobei der Verlauf von FORMULA ausserhalb von FORMULA nichts zum Integral beitragen darf.

Die Berechnung der Taylorentwicklung geschieht natuerlich ueber die Koeffizienten, die man aus den hoeheren Ableitungen an der Stelle FORMULA bekommt.

Die Berechnung von Matrixfunktionen ist fuer diagonalisierbare Matrizen leicht mit Hilfe der Spektralzerlegung, denn es gilt:

Die Betragsummen DISPLAY sind wegen FORMULA monoton wachsend und bleiben wegen DISPLAY (unabhaengig von FORMULA) beschraenkt, sind also nach Satz REF konvergent.

Die Beweise lassen wir aus Zeitgruenden weg.

Die Beweise sind technisch und koennen uebergangen werden.

Die Bezeichnung ergibt sich aus der Uebereinstimmung von FORMULA mit der in Proposition REF definierten Abbildung FORMULA (Uebungsaufgabe).

Die Bezeichnungsweise ist durch Traditionen geregelt.

Die Darstellung EQN der rationalen Funktion FORMULA als Summe gebrochen-linearer Funktionen nennt man eine \define{Partialbruchzerlegung} von FORMULA.

Die Darstellung EQN wird jetzt zu DISPLAY also ist der Dualraum von FORMULA identisch mit dem Raum FORMULA der PREFIX dimensionalen Zeilenvektoren.

Die Definitheit des metrischen Tensors charakterisiert sogen.

Die Definition EQN und damit der Laplaceoperator DISPLAY macht auch im FORMULA Sinn.

Die Details behandelt man in Vorlesungen ueber numerische Mathematik.

Die Details ersparen wir uns. ITEM Aus EQN folgt DISPLAY falls die Koordinaten konvergieren; also gilt dann FORMULA.

Die Deteils ersparen wir uns. FORMULA

Die Diagonalelemente von FORMULA sind gerade die Quadrate der euklidischen Laengen der entsprechenden Spalten von FORMULA.

Die Differentialgleichung DISPLAY beschreibt eine \define{gedaempfte erzwungene Schwingung} eines Punktes FORMULA mit Masse FORMULA, Reibungskoeffizient FORMULA, Steifigkeit FORMULA, und aeusserer Anregung FORMULA.Die Anregungskraft FORMULA steht im Gleichgewicht mit der \define{Beschleunigungskraft} FORMULA, der \define{Reibungskraft} FORMULA und der \define{Rueckstellkraft} FORMULA (Hooke'sches Gesetz).

Die Dimension FORMULA heisst \define{geometrische Vielfachheit} des Eigenwerts FORMULA.

Die Dimensionsaussage ergibt sich gleich aus dem Beweis von ITEM.

Die Divergenz FORMULA eines Vektorfeldes FORMULA in FORMULA beschreibt die Quellstaerke eines durch FORMULA bestimmten Flusses am Punkt FORMULA.

Die Dreicksungleichung FORMULA folgt aus EQN wegen DISPLAY Es bleibt zu zeigen, dass EQN tatsaechlich gilt.

Die Eigenfrequenzen FORMULA ergeben sich in diesem Fall aus der Gleichung DISPLAY d.h. die Quadrate FORMULA sind gerade die Eigenwerte der Matrix FORMULA.

Die Eigenfunktionen sind gerade die Wellenfunktionen der gebundenen Zustaende, wo die Energie nur gewisse festgelegte Werte, naemlich die Eigenwerte (im Punktspektrum) annehmen kann.

Die Eigenschaft ITEM nennt man die \define{Homotopieinvarianz} des Abbildungsgrads.

Die Eigenschaft ITEM nennt man die \define{Homotopieinvarianz} des Abbildungsgrads.

Die Eigenschaften EQN - EQN der Beispiele lassen sich auf den Allgemeinfall uebertragen.

Die Eigenvektoren zum Eigenwert FORMULA erhaelt man aus FORMULA als beliebige Vielfache von FORMULA, und die zum Eigenwert FORMULA aus FORMULA als beliebige Vielfache von FORMULA.

Die Eigenwerte sind alle positiv, also ist FORMULA tatsaechlich positiv definit.

Die Eigenwerte sind genau die Nullstellen davon, also die FORMULA.

Die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. ITEM FORMULA habe die Eigenwerte FORMULA, wobei jeder Eigenwert entsprechend seiner algebraischen Vielfachheit wiederholt wird.

Die Eigenwerte von FORMULA sind dieselben wie die Eigenwerte der zu FORMULA aehnlichen Matrix FORMULA.

Die Einheitskugel kann also durch FORMULA beschrieben werden.

Die Ergebnisse sind aber natuerlich auch in anderen Faellen richtig, und koennen daher auch zur Definition der Oberflaeche usw.

Die Eulersche Zahl FORMULA ist durch die unendliche Reihe DISPLAY definiert.

Die Exponentialfunktion spielt eine ganz fundamentale Rolle in den Anwendungen, da sie die einfachsten Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreibt.

Die FORMULA bilden eine offene Ueberdeckung der kompakten Menge FORMULA, so dass endlich viele FORMULA ausreichen, um FORMULA zu ueberdecken.

Die FORMULA bilden eine offene Ueberdeckung von FORMULA, so dass endlich viele FORMULA ausreichen, um FORMULA zu ueberdecken.

Die FORMULA erfuellen FORMULA, konvergieren also gegen Null.

Die FORMULA ergeben sich dann eindeutig aus EQN.

Die FORMULA koennen sogar so gewaehlt werden, dass die einzigen Nichtnullen in FORMULA Einsen auf gewissen Plaetzen der oberen Nebendiagonalen sind.

Die FORMULA te Spalte ist naemlich das Bild von FORMULA, also ein Vielfaches von FORMULA.

Die FORMULA ueberdecken FORMULA; es gibt also endlich viele davon, etwa FORMULA, die FORMULA schon ueberdecken.

Die FORMULA ueberdecken FORMULA; es gibt also endlich viele davon, etwa FORMULA, die FORMULA schon ueberdecken.

Die Fehlerabschaetzung EQN folgt aus EQN und EQN FORMULA

Die Fehlerabschaetzung folgt aus Proposition REF mit FORMULA

Die Folge FORMULA aus FORMULA mit FORMULA ist wegen FORMULA ebenfalls beschraenkt und hat nach Induktionsannahme einen Haeufungspunkt FORMULA.

Die Folge der FORMULA hat wegen der Kompaktheit von FORMULA nach Satz REF einen Haeufungspunkt FORMULA, und durch Grenzuebergang in EQN -- fuer eine gegen FORMULA konvergente Teilfolge -- folgt FORMULA.

Die Folge der FORMULA ist monoton wachsend und nach oben durch FORMULA beschraenkt, nach Satz REF ist also FORMULA.

Die Folge konvergiert wegen FORMULA fuer FORMULA gleichmaessig (also auch punktweise und erst recht fast ueberall) gegen FORMULA.

Die Folge konvergiert wegen FORMULA gleichmaessig (also auch punktweise und erst recht fast ueberall) gegen FORMULA.

Die Forderung der gleichmaessigen Stetigkeit ist etwas staerker als die der Stetigkeit, da fuer stetige Funktionen das FORMULA von FORMULA abhaengen darf (vgl. Proposition REF, FORMULA, FORMULA), fuer gleichmaessig stetige Funktionen FORMULA aber unabhaengig von FORMULA sein muss. Die Bedingung EQN sagt (fuer festes FORMULA) anschaulich, dass der Graph von FORMULA keine allzu scharfen Knicke haben darf und nicht allzu steil ansteigt oder abfaellt.

Die Formel EQN ist in der allgemeinen Relativitaetstheorie von Bedeutung (Herleitung der Feldgleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung).

Die Formel EQN vereinfacht sich dann fuer die PREFIX Norm zu DISPLAY

Die Formel FORMULA folgt analog.

Die Formel FORMULA fuer FORMULA ergibt sich schliesslich wie in Proposition REF.

Die Formel FORMULA ist nicht gueltig, da FORMULA fuer FORMULA nicht definiert ist und fuer FORMULA die falsche Dimension FORMULA statt (wie FORMULA) FORMULA hat.

Die Formel fuer die \define{Linearisierung} wird damit zu DISPLAY und die \define{Kettenregel} wird zu DISPLAY oder symbolisch mit Differentialen DISPLAY

Die Frage nach der Darstellung vom Omega als Vereinigung abzaehlbar vieler offener Wuerfel ist meines Erachtens nicht in einem Satz abzuhandeln.

Die Frage nach der Darstellung vom Omega als Vereinigung abzaehlbar vieler offener Wuerfel ist meines Erachtens nicht in einem Satz abzuhandeln.

Die Funktion FORMULA hat im reellen Intervall FORMULA genau eine Nullstelle, die \define{Kreiszahl} FORMULA.

Die Funktion FORMULA mit DISPLAY hat nach der Kettenregel die Ableitung FORMULA, und induktiv ergeben sich die hoeheren Ableitungen DISPLAY Also ist fuer feste FORMULA und kleine FORMULA DISPLAY Ersetzen wir hier FORMULA durch FORMULA, so folgt EQN.

Die Funktionen aus FORMULA sind gerade die FORMULA, fuer die die Summe DISPLAY absolut konvergiert; der Wert der Summe selbst ist dann das "Integral".

Die Funktionswerte von FORMULA bei FORMULA ergeben sich wie folgt zu FORMULA.

Die Gleichgewichtsenergie ist dann FORMULA.

Die Graphik laesst einen naeherungsweise linearen Zusammenhang zwischen den FORMULA und den FORMULA vermuten.

Die Grundrechnungsarten machen wir uns dabei daduch verfuegbar, dass wir verlangen, dass die Zahlen einen Koerper bilden.

Die Hauptachsen sind nicht eindeutig bestimmt.

Die Hauptschwierigkeit macht der Beweis der noch fehlenden Integraleigenschaft DISPLAY Man muss sorgfaeltig argumentieren, da die Sprungstellen an den Stufen Schwierigkeiten machen und ganz irregulaer liegen koennen.

Die Identitaet und die zyklischen Vertauschungen sind (fuer FORMULA!) gerade Permutationen, die Transpositionen sind ungerade Permutationen.

Die Information, die man in der Praxis hat, bezieht sich stets auf die Erwartungswerte von Funktionen FORMULA einer ausgezeichneten Zufallsvariablen oder eines ausgezeichneten Zufallsvektors. Die gesamte Information ueber eine reellwertige Zufallsvariable FORMULA steckt z.B. in der durch DISPLAY definierten \define{kumulativen Verteilungsfunktion} FORMULA.

Die Integraleigenschaft EQN ergibt sich erst spaeter aus Satz REF.

Die Integrierbarkeit in FORMULA folgt aus EQN mit FORMULA statt FORMULA und FORMULA, und die Integrierbarkeit in FORMULA folgt aus EQN mit FORMULA statt FORMULA und FORMULA, da FORMULA fuer FORMULA, also FORMULA ist.

Die Koeffizienten FORMULA heissen die \define{Fourierkoeffizienten} von FORMULA.

Die Koeffizienten FORMULA in EQN ergeben sich aus DISPLAY

Die Koeffizienten von FORMULA und FORMULA sind also eindeutig bestimmt und haengen nur von den FORMULA ab.

Die Komponenten FORMULA erhaelt man als Werte an der Stelle FORMULA: DISPLAY ITEM FORMULA.

Die Komponenten enthaelt man jetzt aus DISPLAY Zwei Spezialfaelle sind besonders wichtig: Aus EQN folgt leicht DISPLAY ist FORMULA fuer FORMULA, und DISPLAY ist FORMULA fuer FORMULA ITEM FORMULA Eine einfache Trilinearform ist das Spatprodukt von drei Vektoren FORMULA DISPLAY dem man die Linearitaet in jedem Argument ebenfalls ansieht.

Die Konstruktion der Schur-Zerlegung in konkreten Faellen folgt genau dem Beweis. Die Rechnungen sind schon fuer PREFIX Matrizen aufwendig und werden in der Praxis per Computer erledigt.

Die Konstruktion entspricht der Konstruktion von FORMULA aus FORMULA.

Die Konvergenz nur bedingt konvergenter Reihen ist stets ausserordentlich langsam, daher sind sie fuer das praktisch Rechnen nicht geeignet.

Die Koordinaten haengen jetzt von der gewaehlten Basis ab, aber die Determinante einer linearen Selbstabbildung erweist sich als unabhaengig von der Basis.

Die Kurve FORMULA ist also einfach das reelle Intervall FORMULA, in positiver Richtung durchlaufen, und das Kurvenintegral EQN reduziert sich dann auf das gewoehnliche Integral DISPLAY Waehlen wir in der Riemannschen Summe FORMULA, so erhaelt man aus Satz REF die sogenannte \define{Rechteckregel} zur genaeherten Integration: DISPLAY Das Produkt FORMULA laesst sich als Flaecheninhalt eines Rechtecks deuten, das je zur Haelfte ueber und unterhalb dem Graphen von FORMULA verlaeuft.

Die Laengen der FORMULA Hauptachsen sind durch FORMULA eindeutig bestimmt; in einer Darstellung EQN sind diese Laengen gerade die Wurzeln der Eigenwerte von FORMULA (mit ihrer algebraischen Vielfachheit).

Die Lichtquanten haben dann eine Frequenz FORMULA, die wegen der grundlegenden Beziehung FORMULA (mit dem Planck'schen Wirkungsquantum FORMULA, einer universellen Konstanten) ebenfalls nur bestimmte Werte annimmt.

Die Loesung von EQN ist nun DISPLAY Die Komponenten von FORMULA sind aber DISPLAY also ist DISPLAY

Die Loesung von EQN wird durch den folgenden Satz gegeben.

Die Loesungen eines homogenen Gleichungssystems FORMULA sind genau die Elemente im Nullraum (Kern) von FORMULA.

Die Loesungen von EQN heissen die \define{Eigenwerte} des Systems. Multipliziert man EQN mit FORMULA, so erhaelt man wieder die Gleichung DISPLAY mit DISPLAY Insbesondere gilt fuer die Eigenwerte des Systems wie in Beispiel REF die Aussage Re FORMULA, d.h. das unbelastete System schwingt wieder in einer Ueberlagerung von gedaempften harmonischen Schwingungen (natuerlich nur in der harmonischen Approximation -- daher der Name).

Die Loesungsmenge FORMULA ist in diesem Fall eine affine Menge der Dimension FORMULA.

Die Masstheorie tritt in den Anwendungen vor allem im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie auf, spielt aber auch bei der mathematischen Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen eine wichtige (in der Physik allerdings weniger ausgepraegte) Rolle.

Die Mathematik ist die Einheitssprache der modernen Welt -- ueberall, in allen Laendern, wird dieselbe mathematische Sprache gesprochen.

Die Matrix FORMULA ist dann nach Proposition REF unitaer, und fuer die aus den FORMULA zusammengesetzte obere Dreiecksmatrix FORMULA gilt fuer FORMULA wegen EQN DISPLAY Also ist FORMULA eine orthogonale Zerlegung von FORMULA.

Die Matrix FORMULA ist genau dann symmetrisch, wenn DISPLAY gilt (fuer FORMULA ist dies automatisch erfuellt).

Die Menge DISPLAY heisst die \define{Huelle} von FORMULA, und die Menge DISPLAY heisst das \define{Innere} von FORMULA (engl. \define{int}erior).

Die Menge FORMULA heisst \define{messbar}, falls FORMULA lokal integrierbar ist.

Die Menge FORMULA ist abgeschlossen relativ zu FORMULA, mit Rand FORMULA und Innerem int FORMULA.

Die Menge FORMULA ist dann eine FORMULA enthaltende offene Teilmenge der kompakten Menge FORMULA.

Die Menge FORMULA ist dann offen und zur offenen Menge FORMULA disjunkt, also liegt FORMULA in der abgeschlossenen Menge FORMULA.

Die Menge FORMULA ist ein abgeschlossene Teilmenge der Einheitskugel, nach Proposition REF und REF also kompakt.

Die Menge FORMULA ist hier ein Teilchenraum FORMULA, wobei FORMULA die Zahl der betrachteten Teilchen ist, FORMULA stellt die (komplexe) Wahrscheinlichkeitsamplitude dafuer dar, dass die FORMULA Teilchen sich an den Orten FORMULA befinden, und FORMULA die (reelle) Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Menge der Permutationen von FORMULA bezeichnen wir mit FORMULA.

Die Menge der integrierbaren Funktionen wird mit FORMULA bezeichnet.

Die Methode der Approximation mit einer Zerlegung der Einslaesst sich noch in vielen anderen Situationen anwenden.

Die Methode der kleinsten Quadrate minimiert die Summe FORMULA der Residuen.

Die Methoden aus diesem Kapitel werden in Vorlesungen ueber Funktionalanalysis, Masstheorie oder abstrakte harmonische Analyse weiterentwickelt.

Die Monotonie von FORMULA folgt wegen FORMULA, weil aus FORMULA die Ungleichung DISPLAY folgt.

Die Nebenbedingung hat also die Form FORMULA.

Die Nullteilerfreiheit zeigen wir \define{durch Widerspruch}, d.h. wir nehmen das Gegenteil der Behauptung an, und zeigen, dass man daraus eine mit den Voraussetzungen unvertraegliche Aussage bekommt.

Die PREFIX Komponente von FORMULA ist also das Element FORMULA, wo FORMULA die Elemente von FORMULA in aufsteigender Reihenfolge sind.

Die PREFIX Matrix FORMULA hat dann ebenfalls Rang FORMULA, ist also regulaer.

Die PREFIX Norm hat, wie wir gleich sehen werden, fast die Eigenschaften einer echten Norm.

Die PREFIX Norm ist DISPLAY und die einzige Nullmenge ist die leere Menge.

Die PREFIX te Komponente von FORMULA ergibt sich DISPLAY und EQN folgt.

Die Pade-Approximation eignet sich auch, um langsam konvergente unendliche Reihen auszuwerten.

Die Parameter sind hier Groessen, die die Wetterkarte im Jetztzeitpunkt bestimmen.

Die Partialbruchzerlegung EQN enthaelt dann zwei konjugiert komplexe Summanden, deren Summe sich mit EQN reell darstellen laesst, DISPLAY Der Zaehler FORMULA hat tatsaechlich reelle Koeffizienten, da er sich fuer reelle FORMULA beim Konjugieren nicht aendert.

Die Partialbuchzerlegung EQN existiert nur, wenn der Nenner sich in Linearfaktoren zerlegen laesst.

Die Potentielle Energie ist rotationssymmetrisch und nimmt mit wachsendem Abstand FORMULA zum Erdmittelpunkt zu; die Konstante legt den Nullpunkt der Energiemessung fest; verlangt man FORMULA auf der Erdoberfaeche, so folgt FORMULA.

Die Potenzen FORMULA koennen nicht alle linear unabhaengig sein, da der Raum aller PREFIX Matrizen endlichdimensional ist (Dimension FORMULA).

Die Potenzreihe fuer FORMULA ist im Intervall ]0,2[ alternierend, denn fuer FORMULA ist FORMULA und FORMULA.

Die Quadratsumme ist also am kleinsten, wenn alle FORMULA gleich gross sind und daher den PREFIX ten Teil der Summe betragen.

Die Reduktion von FORMULA auf Dreiecksgestalt FORMULA (\define{Faktorisierung}) und anschliessende Loesung der dreieckigen Gleichungssysteme EQN (\define{Ruecksubstitution}) bezeichnet man als \define{Gauss'sches Eliminationsverfahren}, kurz \define{Gauss-Elimination}.

Die Regeln REF und REF zeigen, dass sich fuer festes FORMULA die Abbildung FORMULA wie eine Ableitung von FORMULA verhaelt.

Die Reihe DISPLAY hat den Konvergenzradius DISPLAY stellt also fuer FORMULA eine PREFIX Funktion dar.

Die Reihe EQN heisst \define{konvergent}, falls der Grenzwert DISPLAY existiert, und \define{divergent} sonst.

Die Reihe EQN konvergiert gleichmaessig in jedem abgeschlossenen Intervall, in dem FORMULA stetig ist.

Die Reihe FORMULA ist alternierend, da FORMULA monoton gegen Null konvergiert.

Die Reihe ist nur bedingt konverengt, da fuer FORMULA die Beziehung DISPLAY im Widerspruch zu Satz REF steht.

Die Reihen aus Beispiel REF werden haeufig als sogenannte Majoranten benutzt, um die Konvergenz von Reihen zu zeigen und die Fehler der Teilsummen abzuschaetzen.

Die Residuen sind offensichtlich eine Funktion der Parameter im Modell.

Die Rotation FORMULA eines Vektorfeldes FORMULA in FORMULA beschreibt die Wirbeldichte eines durch FORMULA bestimmten Flusses am Punkt FORMULA.

Die Saetze REF und REF lassen sich jetzt so ausdruecken:

Die Schranke geht fuer FORMULA gegen Null; also ist FORMULA,und aus EQN folgt FORMULA.

Die Schranke ist unabhaengig von FORMULA; also gilt FORMULA.

Die Schwerkraft am Punkt FORMULA ergibt sich aus EQN und EQN nach der Kettenregel zu DISPLAY Man sieht, dass die Schwerkraft parallel zu FORMULA ist, wegen dem Vorzeichen also in Richtung des Erdmittelpunktes zeigt; die Staerke der Kraft faellt wegen FORMULA umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zum Erdmittelpunkt.

Die Seiten von FORMULA sind aber genau halb so lang wie die Seiten von FORMULA; also ist FORMULA ein Wuerfel der Seitenlaenge FORMULA.

Die Singulaere-Werte-Zerlegung ist ein fuer viele Probleme der Datenanalyse grundlegendes Werkzeug; exemplarisch dafuer schauen wir uns eine Anwendung in der Bildverarbeitung (Datenkompression) an.

Die Singulaere-Werte-Zerlegung ist fuer die Datenanalyse von sehr grosser Bedeutung.

Die Singulaere-Werte-Zerlegung ist schliesslich ein fuer viele Probleme der Datenanalyse grundlegendes Werkzeug; exemplarisch dafuer schauen wir uns eine Anwendung in der Bildverarbeitung (Datenkompression) an.

Die Skizze im Beweis des Lemmas habe ich uebrigens nicht ganz verstanden.

Die Skizze im Beweis des Lemmas habe ich uebrigens nicht ganz verstanden.

Die Spalten einer Matrix FORMULA sind genau dann orthogonal, wenn FORMULA eine Diagonalmatrix ist.

Die Spalten von FORMULA nennt man die \define{singulaeren Vektoren} von FORMULA.

Die Substitution FORMULA ergibt nun DISPLAY der Ausdruck EQN bleibt bei der Substitution also ungeaendert.

Die Summe DISPLAY hat daher nur endlich viele Summanden FORMULA und ist daher wohldefiniert.

Die Summe FORMULA ist fuer FORMULA auf FORMULA absolut und gleichmaessig konvergent.

Die Summe der Flaecheninhalte FORMULA ueberschaetzt den Flaecheninhalt FORMULA natuerlich, aber umso weniger, je besser die Approximation ist; das Infimum ueber alle Approximationen von oben ergibt dann den "wahren" Flaecheninhalt.

Die Summe der Vorzeichen nennt man den Abbildungsgrad.

Die Summe der Vorzeichen nennt man den Abbildungsgrad.

Die Summe ergibt die gesuchte Formel, da sich die zu den Verbindungsstuecken gehoerigen Teilintegrale gegenseitig aufheben und auf den Kreislinien die Durchlaufrichtung umgekehrt werden muss.

Die Summe in EQN approximiert also die Flaeche zwischen dem Graphen in FORMULA und der PREFIX Achse, wobei Flaechenstuecke, die unterhalb der PREFIX Achse liegen, als negativ gerechnet werden.

Die Summe in EQN laesst sich als Gesamtlaenge eines Streckenzugs deuten, der die Kurve FORMULA approximiert.

Die Tangentialebene erhaelt man durch Translation des Tangentialraumes, indem man den Nullpunkt nach FORMULA verschiebt; sie ist also eine PREFIX dimensionale affine Menge und kann in der Form FORMULA geschrieben werden.

Die Tatsache, dass harmonische Schwingungen Linearkombinationen von speziellen Schwingungen FORMULA (oder sin FORMULA und cos FORMULA) sind, ist ein Spezialfall des folgenden Satzes, der fuer lineare Differentialgleichungen gilt.

Die Tatsache, dass jede hermitesche Matrix eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren hat, ergibt nun mit Hilfe von orthogonalen Projektionen eine uebersichtliche Darstellung der Zerlegung in Eigenraeume.

Die Umkehrabbildung ist FORMULA mit FORMULA, also ist DISPLAY ein Integral, das sich mit dem Residuensatz ausrechnen laesst.

Die Umkehrfunktionen FORMULA von FORMULA ("\define{Arcus Cosinus}") und FORMULA von FORMULA ("\define{Arcus Sinus}") sind ebenfalls streng monoton fallend (bzw. wachsend), und es gilt DISPLAY DISPLAY DISPLAY ITEM Die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA ("\define{Tangens}") ist stetig differenzierbar und streng monoton wachsend mit Bild FORMULA und Umkehrfunktion \define{arctan}: FORMULA ("\define{Arcus Tangens}").

Die Vektoren FORMULA heissen die zu FORMULA gehoerigen \define{Eigenvektoren} von FORMULA.

Die Vektorfelder FORMULA und das Skalarfeld FORMULA sind zeitabhaengig, also Funktionen von FORMULA bzw. FORMULA; der Operator FORMULA bezieht sich nur auf die Ortsvariablen FORMULA.

Die Verwendung dieser Begriffe erlaubt uns in verschiedener Weise, durch Approximation Existenzbeweise zu fuehren.

Die Volumenabschaetzung eine Zeile darueber sollte ausfuehrlicher hergeleitet werden.

Die Volumenabschaetzung eine Zeile darueber sollte ausfuehrlicher hergeleitet werden.

Die Voraussetzungen von ITEM sind also mit FORMULA statt FORMULA erfuellt; daher ist DISPLAY in FORMULA stetig.

Die Vorzeichen in EQN sind so gewaehlt, dass sich ein uebersichtlicher Zusammenhang mit Kettenregel und Dachprodukt ergibt:

Die Vorzeichen zu den FORMULA bilden ein Schachbrett-artiges Muster; fuer FORMULA etwa DISPLAY

Die Wahrscheinlichkeiten FORMULA (FORMULA) liegen dann in FORMULA und addieren sich wegen FORMULA zu 1.

Die Zahl FORMULA ist von Null verschieden.

Die Zahlen DISPLAY sind reell und positiv, da die Diagonalelemente von FORMULA und FORMULA nach absteigender Groesse geordnet sind und nach Annahme gleichviele positive und (wegen dem gleichen Rang) gleichviele negative Elemente enthalten.

Die Zerlegung findet man immer wie im Beispiel REF:

Die \define{Adjunkte} von FORMULA ist die Matrix FORMULA mit Koeffizienten DISPLAY

Die \define{Determinante} der quadratischen Matrix FORMULA ist DISPLAY

Die \define{Eigenschwingungen} ergeben sich fuer das abgeschlossene System FORMULA aus dem \define{quadratischen Eigenwertproblem} DISPLAY Dieses homogene Gleichungssystem ist genau dann nichttrivial loesbar, wenn die \define{charakteristische Gleichung} (oder \define{Saekulargleichung}) DISPLAY erfuellt ist.

Die \define{Gammafunktion} ist fuer FORMULA durch DISPLAY definiert.

Die \define{Koordinaten einer PREFIX Linearform FORMULA ueber dem} PREFIX dimensionalen Raum FORMULA bezueglich einer Basis FORMULA von FORMULA sind definiert durch DISPLAY Ist FORMULA das zu dieser Basis gehoerige Koordinatensystem mit FORMULA, so nennt man die (durch FORMULA indizierte) Familie der Koordinaten EQN den im Koordinatensystem FORMULA zu FORMULA gehoerigen \define{Tensor}.

Die \define{PREFIX Norm} FORMULA erfuellt die Normaxiome im FORMULA, und fuer FORMULA gilt die \define{Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung} DISPLAY Gleichheit gilt in EQN genau dann, wenn FORMULA und FORMULA parallel (d.h. linear abhaengig) sind.

Die \define{lineare Differentialgleichung} DISPLAY mit stetigen Funktionen FORMULA und FORMULA hat hoechstens eine Loesung FORMULA mit vorgegebener Anfangsbedingung DISPLAY

Die `normale' Bernoulli-Ungleichung EQN gilt also nicht fuer alle Exponenten; z.B. ist DISPLAY

Die affinen Transformationen FORMULA (FORMULA) sind spezielle Moebiustransformationen mit FORMULA.

Die algebraische Seite des Sachverhalts ist zum praktischen Rechnen wichtig und soll daher zuerst bewiesen werden:

Die allgemeine Loesung ist also DISPLAY und indem man beispielsweise FORMULA setzt, erhaelt man spezielle Loesungen DISPLAY ITEM Das lineare Gleichungssystem DISPLAY laesst sich in Matrixform als FORMULA mit FORMULA und der Matrix FORMULA aus Beispiel REF schreiben.

Die andere Formel von EQN ergibt sich aus FORMULA.

Die andere Gleichung in EQN ist schwieriger zu zeigen.

Die behauptete Dimensionsformel folgt sofort, wenn wir beweisen koennen, dass alle FORMULA zusammen eine Basis von FORMULA bilden.

Die benutzten Regeln schreiben wir ueber die Gleichheitszeichen und Folaustriagepfeile; "Vor" bedeutet "nach Voraussetzung", "Ann" bedeutet "nach Annahme" und "def" bedeutet "nach Definition" oder "gemaess einer schon definierten Abkuerzung".

Die besonderen Eigenschaften analytischer Funktionen beruhen auf dem folgenden grundlegenden Satz.

Die dadurch definierte Abbildung FORMULA ist stetig.

Die dort im Beweis verwendete Funktion FORMULA hat naemlich eine Stammfunktion DISPLAY Die Approximationswege EQN sind daher integrierbar: DISPLAY

Die durch DISPLAY definierten Linearformen erfuellen FORMULA, und nach dem vorigen Satz sind sie eindeutig bestimmt.

Die durch EQN definierte Abbildung ist offenbar in jedem Argument linear, also eine PREFIX Linearform.

Die durch EQN definierten Multiplikationsoperatoren werden wieder mit dem Buchstaben FORMULA bezeichnet.

Die durch FORMULA definerte Halbwertszeit FORMULA des Amplitudenzerfalls ist umgekehrt proportional zum Reibungskoeffizient, DISPLAY Wie man aus EQN sieht, vergroessert sich die Frequenz mit abnehmender Reibung; im Grenzfall fehlender Reibung, FORMULA, erhaelt man eine periodische harmonische Schwingung der maximalen Kreisfrequenz DISPLAY ITEM Bei grosser Reibung ist FORMULA, und beide Loesungen EQN sind reell und negativ (wegen FORMULA).

Die durch FORMULA definierte Funktion FORMULA hat die Taylorreihe DISPLAY mit dem Konvergenzradius FORMULA.

Die echten Unterdeterminanten FORMULA sind nach Induktionsannahme ebenfalls positiv.

Die eindeutig bestimmten Linearformen FORMULA mit Koordinaten DISPLAY bilden eine Basis von FORMULA, die zu FORMULA \define{duale Basis}, und fuer beliebige FORMULA gilt DISPLAY Insbesondere gilt DISPLAY

Die einfachsten rationalen Funktionen sind \define{gebrochen lineare Funktionen} der Form DISPLAY mit FORMULA.

Die einzelnen Terme sind die aenderungen FORMULA (Waermeverlust), FORMULA der inneren Energie, FORMULA der mechanischen Energie und FORMULA der chemischen Energie.

Die entstehende Matrix FORMULA hat dann in der FORMULA ten Spalte lauter Nullen, und nach Konstruktion in den vorherigen Spalten auch.

Die entstehende PREFIX Matrix FORMULA ist offenbar immer noch eine obere Dreiecksmatrix, und es ist FORMULA.

Die erste Formel ergibt sich wegen FORMULA aus FORMULA, und die zweite mit FORMULA.

Die erste Spalte von FORMULA laesst sich wegen DISPLAY als DISPLAY schreiben, ist also parallel zu FORMULA.

Die ersten FORMULA Spalten von FORMULA verschwinden naemlich wegen FORMULA.

Die fehlende Eigenschaft wird daher durch das folgende Resultat geliefert.

Die folgende Aussage besagt, dass es bis auf einen konstanten Faktor (entsprechend einer Wahl der Einheiten) eigentlich nur ein einziges "natuerliches" Integral im FORMULA gibt.

Die folgende grobe, aber einfache Schranke ueber Wahrscheinlichkeiten ist sehr nuetzlich.

Die folgenden Aussagen sind einfach Umformulierungen von Ergebnissen von Kapitel 5 (Proposition REF, Proposition REF, Satz REF und Satz REF) in der Sprache der linearen Gleichungssysteme.

Die folgenden Aussagen sind gleichwertig:

Die folgenden Aussagen ueber eine lineare Selbstabbildung FORMULA eines endlich-dimensionalen Vektorraums FORMULA ueber FORMULA sind gleichwertig: ITEM FORMULA ist diagonalisierbar.

Die folgenden Begriffe des Rings (bzw. des Koerpers) zeichnen Mengen aus, mit deren Elementen man aehnlich umgehen kann wie mit den aus der Schule bekannten ganzen (bzw. reellen) Zahlen.

Die folgenden einfachen Eigenschaften geben Hinweise, wie man vorgehen muss (vgl. auch Beispiel REF).

Die fuer FORMULA umlaufende positiv orientierte geschlossene Kurven FORMULA in FORMULA mit FORMULA von FORMULA unabhaengige Zahl DISPLAY heisst das \define{Residuum} von FORMULA an der Stelle FORMULA.

Die fuer reelle FORMULA und FORMULA definierte \define{Potenz} DISPLAY hat fuer FORMULA die Eigenschaften DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY

Die gekruemmten Raeume der allgemeinen Relativitaetstheorie haben dagegen einen metrischen Tensor mit einem negativen Eigenwert und daher einer Determinante FORMULA; sie lassen sich daher nicht in einen Euklidischen Raum einbetten.

Die genannten Saetze reichen (zusammen mit den Folgerungen in den Uebungsaufgaben) aus, die meisten vorkommenden Summen auf Konvergenz oder absolute Konvergenz zu pruefen und ggf.

Die geometrische Bedeutung unitaerer Matrizen ergibt sich aus dem folgenden Satz.

Die gewaehlten Bezeichnungen passen sinnvoll zueinander, denn es gilt:

Die grossen Kapitel 5, 9, 13, 18, 20 werden vermutlich noch geteilt.

Die hinreichende Bedingung aus Satz REF erfordert, dass FORMULA fuer ein FORMULA ist; aus EQN erkennt man leider nur FORMULA.

Die in EQN und EQN auftretenden Summen heissen \define{Riemannsche Summen} zur Zerlegung EQN.

Die in diesem Kapitel hergeleiteten Ableitungsformeln ergeben durch Umkehrung Formeln fuer die Stammfunktionen FORMULA einiger wichtiger Funktionen FORMULA:

Die lineare Substitutionsregel EQN erlaubt schon einige weitere Volumenberechnungen:

Die linearen Abbildungen von FORMULA in sich selbst heissen \define{lineare Operatoren} auf FORMULA.

Die mathematisch praezise Formulierung dieses Sachverhaltes erfordert Flaechenintegrale und den Integralsatz von Stokes und kann daher hier noch nicht gegeben werden.

Die mathematisch praezise Formulierung dieses Sachverhaltes erfordert Oberflaechenintegrale und den Gaussschen Integralsatz und kann daher hier noch nicht gegeben werden.

Die messbaren Teilmengen von FORMULA koennen dann als \define{Ereignisse} interpretiert werden, und das Mass FORMULA als die \define{Wahrscheinlichkeit} dafuer, dass FORMULA eintritt.

Die naechsten drei Saetze werden fuer den Limes von Folgen formuliert, gelten aber entsprechend auch fuer den Limes von Funktionswerten.

Die naehere Untersuchung, welche Polynome in welchen Koerpern Nullstellen haben, wird im Rahmen der Algebra abgehandelt.

Die natuerliche Interpretation der Wahrscheinlichkeit ist die als erwartete relative Haeufigkeit.

Die noch fehlende Aussage ueber die Vielfachheit folgt aus DISPLAY

Die oberen Dreiecksmatrizen in den Beispielen REF waren nicht normiert, und auch nicht unbedingt quadratisch.

Die obigen Regeln sind so angeordnet, dass sie sich in der angegebenen Reihenfolge beweisen lassen; die einzige Ausnahme ist das Kommutativgesetz EQN, das erst nach den Formeln EQN bewiesen wird.

Die offenen Kugeln FORMULA bilden ebenfalls eine offene Ueberdeckung der kompakten Menge FORMULA.

Die offenen Mengen FORMULA erfuellen also DISPLAY Da die FORMULA kompakte Teilmengen von FORMULA sind, gibt es nach Satz REF Funktionen FORMULA mit FORMULA.

Die orthogonale Zerlegung ist grundlegend fuer die Methode der kleinsten Quadrate zur Anpassung mathematischer Modelle an gegebene Daten.

Die positiven singulaeren Werte von FORMULA sind also gerade die der Groesse nach geordneten Wurzeln der positiven Eigenwerte von FORMULA und sind daher durch FORMULA eindeutig bestimmt.

Die praktische Berechnung der Fourierkoeffizienten EQN geschieht mittels der sogenannten schnellen Fouriertransformation, die in Vorlesungen ueber Numerische Analysis behandelt wird.

Die praktische Bestimmung der Loesung komplizierterer Optimierungsaufgaben wird in Vorlesungen ueber Optimierung (oder lineare/nichtlineare Programmierung) behandelt.

Die rechte Seite ist als Funktion von FORMULA stetig differenzierbar; nach Satz REF ist auch die linke Seite stetig differenzierbar, und man darf unter dem Integral ableiten.

Die schwaechere Bedingung FORMULA reicht fuer Konvergenz nicht aus; ein Gegenbeispiel bildet die divergierende Folge FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA

Die sich fuer die konstante Funktion FORMULA ergebende Funktion FORMULA (oft auch FORMULA geschrieben) heisst die \define{charakteristische Funktion} der Menge FORMULA.

Die sich fuer die konstante Funktion FORMULA ergebende Funktion FORMULA heisst die \define{charakteristische Funktion} der Menge FORMULA.

Die so entstehende Funktion ist in ganz FORMULA beliebig oft differenzierbar und hat den Traeger FORMULA.

Die so konstruierte Folge FORMULA hat wegen ITEM einen Haeufungspunkt FORMULA.

Die stueckweise Ableitung von FORMULA ist FORMULA, also ist DISPLAY Einsetzen von FORMULA ergibt DISPLAY also nebenbei die interessante Formel DISPLAY Damit folgt DISPLAY Wie fuer eine stetige Funktion mit Knicken FORMULA zu erwarten, fallen die Koeffizienten wie FORMULA.

Die transponierten Matrizen FORMULA und FORMULA sind auch regulaer, und da FORMULA symmetrisch ist, ist FORMULA.

Die uebrigen Formeln erhaelt man direkt durch Einsetzen der Definitionen (Uebungsaufgabe!).

Die umgekehrte Ungleichung folgt aus Proposition REF.

Die unitaeren Gruppen spielen in der Elementarteilchentheorie eine zentrale Rolle, naemlich als Eichgruppen (innere Symmetriegruppen) U(1) der Photonen, SU(2) der W-Bosonen und SU(3) der Quarks. Allgemeiner sieht man wie im Beweis von ITEM:

Die wichtigsten Funktionenreihen sind Potenzreihen, die wir als naechstes untersuchen.

Die zahlreichen Abbildungen wurden dankenswerterweise von Dr. Waltraud Huyer und Mag. Erich Dolejsi erstellt.

Die zugehoerige lineare Abbildung FORMULA ist dann bijektiv, und FORMULA ist eine zu FORMULA aehnliche PREFIX Matrix.

Die zugehoerigen FORMULA sind dann wegen FORMULA unbeschraenkt und EQN kann kein Ellipsoid darstellen.

Die zugehoerigen Matrixzerlegungen, die Schur-Zerlegung und die Jordansche Normalform fuer beliebige quadratische Matrizen sowie die Spektralzerlegung fuer diagonalisierbare, insbesondere fuer hermitesche Matrizen beschreiben die in einer Matrix enthaltene Spektralinformation in kompakter Form.

Die zusammengesetzte Abbildung DISPLAY ist ebenfalls affin und bildet die Einheitskugel auf sich ab.

Die zweite Behauptung ergibt sich ebenso, wenn man die wegen FORMULA staerkere asymptotische Voraussetzung FORMULA fuer FORMULA benutzt.

Die zweite Formel folgt analog, d.h. durch mechanisches uebertragen dieses Argumentes auf die andere Situation (Uebungsaufgabe!).

Die zweite Gleichung liefert FORMULA, also ist der Mittelpunkt eindeutig, und die erste liefert FORMULA.

Dies bedeutet (vgl. Kapitel REF, dass die von der Schule her gewohnten Regeln fuer den Umgang mit Rechenoperationen, Umformungen und Einsetzungen in allen Gleichungen benutzt werden koennen.

Dies bedeutet aber FORMULA.

Dies bedeutet lineare Konvergenz.

Dies definiert den Abbildungsgrad fuer beliebige randfreie FORMULA.

Dies definiert den Abbildungsgrad fuer beliebige randfreie FORMULA.

Dies entspricht der ueblichen physikalischen Interpretation von FORMULA als infinitesimaler Groesse.

Dies erfordert FORMULA.

Dies erlaubt grosszuegigere Umformungen.

Dies geht aber nach Satz REF.

Dies gilt auch fuer FORMULA.

Dies hat zur Folge, dass dann die Energie einer Anregung fast vollstaendig vom System aufgenommen wird, so dass eine andauernde, kleine Anregung zu so grossen Auslenkungen fuehren kann, dass die harmonische Approximation nicht mehr gueltig ist.

Dies hat zur Folge, dass man fuer das Integral von PREFIX Formen zusaetzlich die Orientierbarkeit der Flaeche voraussetzen muss. (Kurven = PREFIX Flaechen sind stets orientiert!)

Dies ist analog zum Resonanzprinzip in der Physik, wo Schwingungen durch aeussere Kraefte normalerweise (bei regulaeren Frequenzen) in der Amplitude beschraenkt bleiben, bei bestimmten Resonanzfrequenzen dagegen beliebig stark wachsen koennen.

Dies ist der Fall FORMULA von Satz REF.

Dies ist die Integralversion der Aussage, dass sich Summenzeichen bei absolut konvergenten Doppelsummen vertauschen lassen.

Dies legt nahe, dass im Fall der Konvergenz die FORMULA eine Nullfolge bilden.

Dies machen wir wieder im allgemeinen Fall.

Dies motiviert die Transposition in der Definition des Gradienten.

Dies wird auch fuer viele spaetere Formeln gelten, und es ist nuetzlich, sich bei neuen Formeln zu fragen, was sie als Handlungsanweisung bedeuten.

Dies zeigt die Gueltigkeit von EQN und EQN.

Dies zu zeigen ist nicht ganz leicht und wird auf spaeter (Satz REF) verschoben.

Diese Abbildung bildet den Ursprung auf sich ab, erhaelt die Abstaende zum Ursprung, und bildet daher die euklidische Einheitskugel auf sich ab.

Diese Einheitssprache und ihre technische Nutzung gibt den Menschen eine ungeheure Macht ueber die Natur.

Diese Regeln (Axiome) sind so gewaehlt, dass sie unserer Vorstellung von Zahlen entsprechen.

Diese \define{harmonische Analyse} periodischer Funktionen ist sehr wichtig fuer die Anwendungen in Physik und Technik.

Diese bilden also eine offene Ueberdeckung von FORMULA.

Diese ist fuer glatte Funktionen leicht aus der Betrachtung der Nulldurchgaenge im Eindimensionalen zu erhalten.

Diese ist fuer glatte Funktionen leicht aus der Betrachtung der Nulldurchgaenge im Eindimensionalen zu erhalten.

Diese von der speziellen Zerlegung unabhaengige Zahl nennt man die \define{Signatur} (oder den \define{Traegheitsindex}) von FORMULA.

Diese vorlaeufige Version soll spaeter zu einem Buch ausgearbeitet werden.

Diese zentralen Saetze geben auf der begrifflichen Ebene vollstaendig Auskunft ueber die Topologie endlichdimensionaler Vektorraeume.

Dieselbe Flaeche kann durch viele verschiedene Atlanten beschrieben werden; die geometrischen Eigenschaften muessen sich als davon unabhaengig erweisen.

Dieser Ausdruck tritt so oft auf, wie wir ihn als FORMULA anordnen koennen, und das geht auf genau FORMULA Arten.

Dieser Fall ist etwas seltsam, aber als Grenzfall doch manchmal nuetzlich.

Dieser Mangel wird durch die Definition von "fast ueberall" behoben: dieser Zusatz schluckt alle Aenderungen von Funktionen, die sich nicht auf den Flaecheninhalt auswirken.

Dieser Satz verallgemeinert das allgemeine Kommutativgesetz (Proposition REF auf absolut konvergente unendliche Summen.

Dieser ist der Grenzwert (Uebungsaufgabe).

Dieses Beispiel stellt den einfachsten Fall dar -- in nichtdiskreten Hausdorffraeumen sind nicht mehr alle Funktionen stetig, dann brauchen auch nicht mehr alle Funktionen lokal integrierbar zu sein und nicht mehr alle Mengen messbar.

Dieses Kapitel befasst sich mit der Summation von unendlich vielen Zahlen, Vektoren oder Funktionen.

Dieses Produkt ist wegen EQN FORMULA, und nimmt diesen Wert genau dann an, wenn FORMULA ein Vielfaches von FORMULA ist (da FORMULA vorausgesetzt wurde).

Direkt aus der Definition ergibt sich (mit der trivialen Zerlegung der Eins FORMULA):

Direkt aus der Definition erhaelt man andererseits DISPLAY Wie es sein muss, stimmt das mit der durch Einsetzen von EQN in EQN erhaltenen Formel ueberein; fehlende Terme wie FORMULA haben als Koeffizienten FORMULA.

Direkt durch Einsetzen der Definitionen.

Distributionen durch lineare Funktionale.) ITEM Der Raum FORMULA aller Funktionen FORMULA, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte annehmen, ist ein absoluter Funktionenraum, und FORMULA ist ein Integral auf FORMULA.

Dividiert man in EQN durch FORMULA und benutzt EQN, so findet man die Formel FORMULA, und wegen FORMULA folgt EQN.

Division mit Rest ergibt FORMULA mit FORMULA, wir koennen also FORMULA eindeutig in der Form FORMULA darstellen.

Dort fanden wir eine Zerlegung DISPLAY mit FORMULA.

Durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich erhaelt man dann ein lineares Gleichungssystem fuer die unbekannten Koeffizienten FORMULA.

Durch DISPLAY wird daher eine stetig differenzierbare Funktion FORMULA definiert.

Durch DISPLAY wird ein monotones lineares Funktional FORMULA auf FORMULA definiert.

Durch DISPLAY wird ein translationsinvariantes monotones lineares Funktional auf FORMULA definiert, und nach Satz REF ist DISPLAY fuer eine gewisse Konstante FORMULA.

Durch DISPLAY wird eine Funktion FORMULA definiert, deren FORMULA te Ableitung die Form DISPLAY mit rationalen FORMULA besitzt (Induktion!).

Durch EQN ist eine Potenzreihe mit Konvergenzradius DISPLAY definiert, also eine Funktion DISPLAY von FORMULA nach FORMULA.

Durch Einsetzen in EQN folgt die Behauptung.

Durch FORMULA wird eine Funktion FORMULA definiert.

Durch Integration erhaelt man:

Durch Multiplikation von FORMULA mit einer Konstanten erhaelt man sofort DISPLAY Ein Beispiel einer Aussage ist FORMULA =" FORMULA ", wenn FORMULA eine Zufallsvariable ist.

Durch Permutation der Spalten von FORMULA und entsprechende Permutationen der Zeilen und Spalten von FORMULA kann man erreichen, dass die Diagonalelemente von FORMULA nach absteigender Groesse geordnet sind.

Durch Potenzreihen darstellbare Funktionen haben besonders schoene Eigenschaften, die ausfuehrlich in Vorlesungen ueber Funktionentheorie behandelt werden.

Durch Rotation eines ebenen Wegs FORMULA um die PREFIX Achse entsteht die zweidimensionale Rotationsflaeche DISPLAY Durch Aufschlitzen und Wegnehmen des Rands erhaelt man durch DISPLAY eine Karte FORMULA, die bis auf eine zweidimensionale Nullmenge ganz FORMULA umfasst.

Durch Taylorentwicklung erhalten wir wegen FORMULA die Formel DISPLAY Einsetzen von FORMULA und FORMULA und Subtraktion ergibt DISPLAY Einsetzen der Formeln EQN und EQN liefert die Beziehung EQN.

Durch Translation FORMULA und Grenzwertbildung folgt der Allgemeinfall.

Durch Vergleich mit EQN sieht man DISPLAY Von den 6 Permutationen ist eine die Identitaet FORMULA, drei sind Transpositionen, naemlich DISPLAY und die uebrigen beiden, DISPLAY sind zyklische Vertauschungen.

Durch Wiederholung dieses Prozesses der \define{Abdivision} von Linearfaktoren ergibt sich das folgende Resultat.

Durch evtl.

Durch geeignete Vervollstaendigung erhaelt man einen Raum FORMULA von integrierbaren Funktionen, in dem man ein groesstmoegliches Mass an Flexibilitaet fuer die Durchfuehrung von Grenzprozessen hat.

Dynamische Systeme werden auch oft im Phasenraum FORMULA (Orts- und Impulskoordinaten von FORMULA Teilchen) beschrieben.

EQN besagt, dass die partielle Ableitung FORMULA berechnet werden kann, indem man in FORMULA alle Komponenten FORMULA festhaelt, und FORMULA als Funktion von FORMULA allein betrachtet und abgeleitet wird.

EQN besagt, dass man die Ableitung spaltenweise durch partielles Ableiten nach den einzelnen Variablen erhaelt; fuer ein Skalarfeld ist insbesondere FORMULA ein Zeilenvektor.

EQN drueckt aus, dass sich Ort FORMULA und Impuls FORMULA desselben Teilchens (FORMULA) in derselben Richtung (FORMULA) nicht gleichzeitig beliebig scharf definieren lassen (was nur bei Kommutativitaet moeglich waere).

EQN ergibt sich aus DISPLAY fuer FORMULA, da dann FORMULA und FORMULA disjunkt sind und daher alle FORMULA verschwinden.

EQN ergibt sich aus EQN fuer FORMULA wegen FORMULA

EQN ergibt sich aus EQN wegen DISPLAY und EQN folgt aus EQN wegen DISPLAY Wegen EQN gilt FORMULA fuer FORMULA, und wegen EQN dann FORMULA fuer FORMULA

EQN ergibt sich nun aus FORMULA, EQN aus FORMULA, und EQN aus FORMULA \strl EQN ad/bc. FORMULA

EQN ergibt sich schliesslich aus FORMULA und FORMULA.

EQN erscheint also als Summe der Beitraege FORMULA; daher schreibt man die rechte Seite von EQN als FORMULA, DISPLAY Zur beliebig guten Approximation der meisten interessanten Funktionen FORMULA sind Treppenfunktionen mit beliebig kleinen Stufen noetig, und fuer stetige FORMULA werden die FORMULA dann beliebig klein.

EQN folgt aus DISPLAY und EQN aus DISPLAY EQN folgt aus FORMULA; die zweite Formel ist der Spezialfall FORMULA.

EQN folgt aus DISPLAY und EQN aus FORMULA.

EQN folgt aus EQN und EQN (Uebungsaufgabe!).

EQN folgt aus EQN, indem man FORMULA durch FORMULA ersetzt: FORMULA.

EQN folgt aus FORMULA und DISPLAY Fuer allgemeines FORMULA betrachten wir zunaechst einen einzelnen Term von EQN.

EQN folgt aus FORMULA und FORMULA fuer FORMULA.

EQN folgt aus FORMULA und der Positivitaet von FORMULA bzw. FORMULA auf den Wertebereichen von FORMULA bzw. FORMULA.

EQN folgt aus FORMULA.

EQN folgt aus Proposition REF EQN, indem man FORMULA durch Funktionen aus FORMULA approximiert.

EQN folgt fuer FORMULA aus Satz REF, und allgemein induktiv mit dem Satz von Fubini.

EQN folgt nun sofort aus FORMULA.

EQN folgt wegen FORMULA, und EQN wegen FORMULA, wobei der Term mit FORMULA wegen EQN wegfaellt.

EQN folgt wie im Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung (Satz REF).

EQN folgt, indem man in EQN FORMULA setzt und die Substitutionen FORMULA durchfuehrt.

EQN heisst dann die \define{Jordan'sche Normalform} von FORMULA.

EQN heisst die \define{Cramer'sche Regel}.

EQN heisst die \define{PREFIX adische Zahldarstellung} von FORMULA, FORMULA die zur Darstellung verwendete \define{Basis} und die FORMULA die \define{Ziffern}.

EQN heisst die \define{harmonische Approximation} des Systems. In der Ingenieurspraxis geht man oft direkt von EQN aus; die Zustandsvektoren sind oft sehr hochdimensional (um etwa die Verformung eines Flugzeuges bei Beanspruchung durch Wind und Motoren zu modellieren), und die Matrizen FORMULA werden mit sogenannten Finite-Elemente-Methoden berechnet.

EQN ist absichtlich in dieser Reihenfolge geschrieben, weil die Formel in dieser Form noch in allgemeineren Situationen richtig bleibt, wo FORMULA.

EQN ist besonders dann wichtig, wenn man die Gleichung EQN nicht mehr in geschlossener Form nach FORMULA aufloesen kann.

EQN ist der Spezialfall FORMULA von EQN.

EQN ist klar fuer FORMULA oder FORMULA.

EQN ist praktisch sehr nuetzlich, um eine Gleichung FORMULA bei gegebenem FORMULA nach FORMULA aufzuloesen.

EQN und EQN folgen damit aus FORMULA.

EQN und EQN folgen direkt aus EQN, EQN folgt aus EQN und EQN, EQN aus EQN, und EQN aus EQN.

EQN und EQN sind trivial, und EQN folgt aus DISPLAY EQN -- EQN gehen analog, und EQN folgt aus DISPLAY da FORMULA ein Zeilenvektor mit den Komponenten FORMULA ist.

EQN wird analog FORMULA

EQN wird in der Praxis als Fehlerabschaetzung benutzt, indem man fuer FORMULA eine Naeherungsloesung, d.h. einen Punkt mit FORMULA einsetzt.

EQN, EQN, EQN folgen, da die Abbildungen FORMULA und fuer FORMULA auch FORMULA stetig sind.

EQN: Aus FORMULA ergibt sich FORMULA nach Regel EQN.

EQN: Aus FORMULA ergibt sich FORMULA nach der Kuerzungsregel EQN.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA mit EQN.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA nach EQN.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA nach der Kuerzungsregel EQN.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA, nach EQN also FORMULA, da die zweite Moeglichkeit FORMULA ausgeschlossen wurde.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA.

EQN: Aus FORMULA folgt FORMULA.

EQN: Aus der Voraussetzung folgt FORMULA, nach EQN also FORMULA.

EQN: Aus der Voraussetzung folgt FORMULA.

EQN: Aus der Voraussetzung folgt FORMULA.

EQN: Es ist FORMULA wegen EQN.

EQN: Es ist FORMULA.

EQN: FORMULA gibt die erste Formel.

EQN: FORMULA nach der Konvention ueber Prioritaeten.

EQN: FORMULA.

EQN: FORMULA.

EQN: FORMULA.

EQN: FORMULA.

EQN: Ist FORMULA, so ist FORMULA Nullmenge, also FORMULA fuer FORMULA, und daher FORMULA.

EQN: Jedes Bild FORMULA unter FORMULA ist auch Bild FORMULA von FORMULA unter FORMULA.

EQN: Nach Definition gibt es eine Nullmenge FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA und eine Nullmenge FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

EQN: Nach Definition von FORMULA koennen wir nichtnegative Funktionen FORMULA mit DISPLAY waehlen.

EQN: Nach Satz REF kann man FORMULA in der Form FORMULA mit Koordinatensystemen FORMULA von FORMULA und FORMULA von FORMULA und einer Diagonalmatrix FORMULA mit Einsen und Nullen auf der Diagonalen schreiben.

EQN: Nach Voraussetzung gibt es ein FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

EQN: Sei FORMULA, FORMULA.

EQN: Wegen FORMULA gilt FORMULA fuer FORMULA, also ist FORMULA.

EQN: Wegen des Aequivalenzpfeils muessen wir einen Vorwaertsbeweis und einen Rueckwaertsbeweis fuehren.

EQN: Wir zeigen zunaechst, dass FORMULA und FORMULA denselben Nullraum haben.

EQN: wird am Ende bewiesen und fuer EQN - EQN nicht benutzt.

Ebenso besteht FORMULA aus allen \define{Tripeln} FORMULA mit FORMULA.

Ebenso definiert FORMULA keine analytische Funktion, obwohl in beiden Faellen FORMULA als Funktion der reellen Variablen FORMULA und FORMULA stetig differenzierbar ist.

Ebenso folgen EQN und EQN.

Ebenso gilt fuer FORMULA die Gleichung FORMULA, also ist auch FORMULA unitaer.

Ebenso ist DISPLAY aber (trotz punktweiser und gleichmaessiger Konvergenz) DISPLAY

Ebenso ist FORMULA also FORMULA, und das liefert die untere Abschaetzung in EQN.

Ebenso ist FORMULA die FORMULA te Komponente von FORMULA, und EQN folgt.

Ebenso ist FORMULA.

Ebenso ist die Multiplikation zweier Matrizen nur dann moeglich, wenn die erste Matrix genausoviele Spalten hat wie die zweite Zeilen, da die zweite (zuerst ausgefuehrte) Matrix in den Raum abbilden muss, von dem aus die erste Matrix abbildet.

Ebenso konvergiert die Folge der FORMULA, und wegen EQN ist der Limes derselbe.

Ebenso laesst sich die partielle Integration auf den FORMULA ausdehnen und erlaubt einen Ausblick auf den Gaussschen Integralsatz.

Ebenso zeigt man FORMULA, falls FORMULA int FORMULA.

Eigenwerte und Eigenvektoren sind das mathematische Aequivalent physikalischer Eigenschaften, die mit Begriffen wie Spektrum, Schwingung und Resonanz zu tun haben.

Ein Atlas FORMULA fuer FORMULA heisst \define{orientiert}, falls DISPLAY fuer jeden Punkt FORMULA im Durchschnitt des Bildes zweier beliebiger Karten FORMULA und FORMULA.

Ein Blick in eine beliebige wissenschaftliche Bibliothek vermittelt einen guten Eindruck davon.

Ein Eigenvektor FORMULA heisst \define{normiert}, falls FORMULA.

Ein Fehler von FORMULA ist fuer praktische Zwecke viel zu gross, da man fuer hohe Genauigkeiten viel zuviele Summanden addieren muss. Ein Fehler FORMULA ist akzeptabel, falls FORMULA nicht zu nahe bei FORMULA liegt.

Ein Komma zwischen Formeln wird in der Regel als "und" interpretiert.

Ein Ring FORMULA heisst \define{kommutativ}, falls

Ein Vergleich mit der zu FORMULA aehnlichen oberen Dreiecksmatrix EQN zeigt, dass FORMULA gerade FORMULA Zeilen haben muss. Einsetzen in EQN ergibt FORMULA und daher FORMULA.

Ein Vergleich von Beispiel REF und REF mit EQN ergibt fuer FORMULA die Beziehung DISPLAY

Ein Wechsel des Zustands ist mit einem Quantensprung verbunden, der mit der Abgabe oder Aufnahme eines Lichtquants (in Hochenergieexperimenten auch anderer Teilchen) der Differenzenergie FORMULA einhergeht.

Ein \define{Gebiet} in FORMULA ist eine nichtleere Teilmenge FORMULA von FORMULA mit den Eigenschaften: * (G1) Fuer alle FORMULA enthaelt FORMULA eine Kugel um FORMULA.

Ein \define{Koerper} ist ein Ring FORMULA, der zu jedem FORMULA und FORMULA den \define{Quotienten} FORMULA enthaelt, und wo fuer FORMULA die Axiome

Ein \define{Ring} ist eine Menge FORMULA, in dem die \define{Null} 0, die \define{Eins} 1 und zu je zwei Elementen FORMULA die \define{Summe} FORMULA, die \define{Differenz} FORMULA und das \define{Produkt} FORMULA (kurz FORMULA) liegen, und wo fuer alle FORMULA die folgenden Axiome gelten:

Ein analoges Approximationsargument zeigt nun, dass die zum Beweis von ITEM benutzte Zusatzbedingung EQN ueberfluessig ist.

Ein analoges Approximationsargument zeigt nun, dass die zum Beweis von ITEM benutzte Zusatzbedingung EQN ueberfluessig ist.

Ein beliebiges lineares Gleichungssystem mit FORMULA Gleichungen und FORMULA Variablen FORMULA, etwa DISPLAY kann kurz in Matrixform FORMULA geschrieben werden.

Ein dynamisches System (1) beschreibt einen lokalen Prozess, da die momentane Aenderung von FORMULA nur vom Feld FORMULA an der Stelle FORMULA abhaengt.

Ein guenstiger Ansatz dafuer ist DISPLAY wobei FORMULA eine PREFIX Funktion mit DISPLAY ist (eine Hutfunktion).

Ein homogenes Gleichungssystem hat immer die \define{triviale Loesung} FORMULA.

Ein mathematisches Modell fuer eine Problemklasse enthaelt in der Regel einige (oft sogar viele) Parameter, deren Zahlenwerte variiert werden koennen und je nach ihren Werten verschiedene konkrete Probleme beschreiben.

Ein moegliches Aussehen einer PREFIX Matrix in PREFIX Stufenform ist DISPLAY wobei FORMULA fuer beliebige Zahlen und FORMULA fuer Zahlen FORMULA stehen.

Ein negatives Vielfaches ergibt einen Abstieg, und FORMULA gibt die Richtung des staerksten Abstiegs an.

Ein normierter Raum V heisst \define{Banachraum}, falls jede Cauchyfolge in V konvergiert.

Ein paar andere Rechenregeln gelten nicht in allen Ringen; man hat deshalb besondere Namen fuer die Ringe mit diesen zusaetzlichen Eigenschaften.

Ein physikalisch wichtiges Beispiel eines Gebiets, das nicht einfach zusammenhaengend ist, erhaelt man, wenn man vom FORMULA das Bild eines geschlossenen, glatten Wegs (Kupferdraht) entfernt.

Ein randfreies FORMULA hat mindestens FORMULA Nullstellen in FORMULA.

Ein randfreies FORMULA hat mindestens FORMULA Nullstellen in FORMULA.

Ein senkrecht auf allen FORMULA stehender Vektor FORMULA heisst ein \define{Normalenvektor} von FORMULA im Punkt FORMULA.

Ein solcher Vektor existiert wegen ITEM sicher.

Ein stationaerer Punkt, der kein Extremwert ist, heisst \define{Sattelpunkt}.

Ein typisches Beispiel ist die fuer festes FORMULA durch DISPLAY definierte Linearform.

Eindeutigkeit: Ist FORMULA mit FORMULA, FORMULA, so liegt die ganze Zahl FORMULA in FORMULA, sie muss also Null sein.

Eine (\define{alternierende}) \define{Differentialform} PREFIX ter Ordnung ueber FORMULA kurz eine PREFIX Form ueber FORMULA ist eine PREFIX Form FORMULA mit Werten im Ring FORMULA aller Funktionen von FORMULA nach FORMULA.

Eine Bilinearform FORMULA hat zwei Vektoren als Argumente und ist linear in jedem Argument separat: DISPLAY Ein typisches Beispiel ist die fuer festes FORMULA durch DISPLAY definierte Bilinearform; man "sieht" die Linearitaet in FORMULA (bei festem FORMULA) und in FORMULA (bei festem FORMULA) sofort aus dieser Darstellung.

Eine Faktorisierung EQN mit diesen Eigenschaften nennt man eine \define{Singulaere-Werte-Zerlegung} von FORMULA.

Eine Faktorisierung EQN mit diesen Eigenschaften nennt man eine \define{unitaere} (fuer FORMULA auch \define{orthogonale}) \define{Spektralzerlegung} von FORMULA.

Eine Folge FORMULA reeller Zahlen heisst \define{monoton} wachsend (fallend)}, falls DISPLAY

Eine Folge hat genau dann eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert FORMULA, falls FORMULA ein Haeufungspunkt der Folge ist.

Eine Folge mit der Eigenschaft DISPLAY heisst \define{Cauchy-Folge}.

Eine Funktion FORMULA heisst \define{PREFIX Pade-Approximation} einer Funktion FORMULA an der Stelle FORMULA, wenn sich FORMULA als Quotient eines Polynoms FORMULA vom Grad FORMULA und eines Polynoms FORMULA vom Grad FORMULA schreiben laesst und die Beziehung DISPLAY gilt.

Eine Kurve ist anschaulich gesprochen das Bild eines Weges, mit der Durchlaufrichtung versehen; abstrakt gesprochen ist eine Kurve die aequivalenzklasse aller Wege, die durch streng monotone PREFIX -Substitutionen auseinander hervorgehen.

Eine Linearform hat einen Vektor als Argument und ist linear in diesem Argument.

Eine Menge FORMULA heisst \define{kompakt}, wenn man aus \define{jeder} Familie FORMULA von offenen Mengen FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY endlich viele Mengen FORMULA so auswaehlen kann, dass immer noch DISPLAY gilt.

Eine PREFIX Flaeche heisst \define{orientiert}, wenn sie mit einem orientierten Atlas versehen ist.

Eine PREFIX Linearform FORMULA ist festgelegt durch das Bild FORMULA des leeren Tupels; also sind die PREFIX Linearformen (bis auf die Bezeichnungsweise) gerade die Skalare (fuer FORMULA) bzw. Skalarfelder (fuer FORMULA.

Eine PREFIX reihige quadratische obere Dreiecksmatrix hat dann die Form DISPLAY mit FORMULA und FORMULA.

Eine Reihe die das Leibniz-Kriterium erfuellt, heisst \define{alternierend}.

Eine Spektralzerlegung ist FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

Eine Teilmenge FORMULA des FORMULA, die das Bild der offenen (abgeschlossenen) euklidischen Einheitskugel unter einer bijektiven affinen Abbildung ist, DISPLAY heisst offenes (abgeschlossenes) \define{Ellipsoid}, fuer FORMULA auch \define{Ellipse}.

Eine Teilmenge FORMULA von FORMULA heisst \define{dicht} in FORMULA, falls FORMULA.

Eine Zahl FORMULA heisst \define{reell}, falls FORMULA.

Eine \define{Nullstelle} von FORMULA ist ein Punkt FORMULA mit FORMULA.

Eine \define{Orthonormalbasis} eines Vektorraums FORMULA ist ein Orthonormalsystem, das FORMULA erzeugt.

Eine \define{Zufallsvariable} ist eine Funktion FORMULA; die Zahl FORMULA heisst die \define{Realisierung} von FORMULA im Experiment FORMULA, und die Zahl DISPLAY heisst der \define{Erwartungswert} von FORMULA.

Eine affine Abbildung FORMULA bildet genau dann die euklidische Einheitskugel auf sich ab, wenn FORMULA unitaer und FORMULA ist.

Eine andere Anwendung des Residuensatzes erlaubt die Berechnung des "Fourierintegrals" rationaler Funktionen.

Eine andere uebliche Bezeichnung ist FORMULA, wenn der Definitionsbereich FORMULA betont werden soll.

Eine ausgezeichnete Rolle spielen dabei die PREFIX Formen:

Eine einfache Loesung ergibt sich, falls FORMULA Stufenform hat.

Eine gebraeuchliche Art, Abbildungen zu definieren, besteht darin, einen Ausdruck zu bilden, der fuer alle FORMULA Sinn macht, in einem Koerper FORMULA also etwa FORMULA.

Eine hermitesche Dreiecksmatrix ist aber diagonal, da FORMULA fuer FORMULA und FORMULA fuer FORMULA, und die Diagonalelemente sind wegen FORMULA reell.

Eine hermitesche Matrix FORMULA hat genau dann eine Zerlegung FORMULA mit einer regulaeren Diagonalmatrix FORMULA und einer normierten unteren Dreiecksmatrix FORMULA, wenn die fuehrenden PREFIX dimensionalen Untermatrizen DISPLAY alle regulaer sind.

Eine hermitesche Matrix FORMULA ist genau dann positiv definit (semidefinit), wenn die FORMULA \define{fuehrenden Unterdeterminanten} FORMULA (FORMULA) positiv (nichtnegativ) sind.

Eine konvergente unendliche Reihe der Form DISPLAY heisst \define{Fourierreihe}.

Eine lineare Abbildung FORMULA L FORMULA heisst \define{beschraenkt}, falls DISPLAY FORMULA und FORMULA heissen \define{Supremumsnormen}.

Eine lineare Abbildung FORMULA L FORMULA ist genau dann stetig, wenn sie beschraenkt ist.

Eine lineare Selbstabbildung FORMULA ist genau dann bijektiv, wenn FORMULA.

Eine lineare Selbstabbildung heisst \define{diagonalisierbar}, wenn sie zu einer Diagonalmatrix aehnlich ist, und \define{defektiv}, falls es einen Eigenwert gibt, dessen geometrische Vielfachheit kleiner ist als seine algebraische Vielfachheit.

Eine offene Kugel ohne Mittelpunkt ist also ein Gebiet.

Eine offene, wegzusammenhaengende Teilmenge eines normierten Raumes heisst ein \define{Gebiet}.

Eine solche Zerlegung nennt man eine \define{Spektralzerlegung} von FORMULA.

Eine symmetrische, positiv definite Matrix hat lauter positive Eigenwerte FORMULA; ist FORMULA der kleinste Eigenwert, so hat FORMULA immer noch nichtnegative Eigenwerte FORMULA, ist also positiv semidefinit.

Eine systematische Theorie geht weit ueber den Rahmen einer Einfuehrung hinaus; jedoch kann man anhand der sogen.

Eine unendliche Reihe der Form DISPLAY mit FORMULA und Koeffizienten FORMULA heisst \define{Potenzreihe} (in FORMULA).

Eine unitaere Matrix mit reellen Koeffizienten heisst \define{orthogonal}.

Eine weitere wichtige Anwendung der Singulaere-Werte-Zerlegung, auf die wir nicht weiter eingehen koennen, ist die Loesung von sogen.

Eine wichtige, nicht "elementar" darstellbare Funktion ist durch das \define{Gausssche Fehlerintegral} DISPLAY definiert; wie wir noch sehen werden, ist der Faktor so gewaehlt, dass FORMULA ist.

Eine zugehoeriger Weg ist dann durch DISPLAY

Einen PREFIX Weg FORMULA mit FORMULA koennen wir zu einem stueckweise PREFIX Weg FORMULA mit DISPLAY ergaenzen.

Eines der beiden Integrale FORMULA hat also den Wert FORMULA, das andere den Wert FORMULA.

Einfache quasiperiodische Funktionen entstehen durch Linearkombinationen weniger Exponentialfunktionen FORMULA mit inkommensurablen Frequenzen FORMULA.

Einsetzen ergibt FORMULA.

Einsetzen in EQN ergibt EQN.

Einsetzen in EQN ergibt FORMULA, also die Behauptung.

Einsetzen in EQN ergibt dann FORMULA, d.h. FORMULA ist ein stationaerer Punkt von FORMULA.

Einsetzen in EQN ergibt nach Kuerzen mit FORMULA die Beziehung FORMULA.

Einsetzen in EQN ergibt zwei Doppelsummen DISPLAY Vertauscht man in der zweiten Summe FORMULA mit FORMULA, so findet man wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen genau dieselben Terme wie in der ersten Summe, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.

Einsetzen in EQN zeigt, dass wir genau dann eine Loesung haben, wenn DISPLAY ist.

Einsetzen in die Potenzreihe der Exponentialfunktion ergibt also FORMULA.

Einsetzen! FORMULA

Elemente von FORMULA nennt man auch \define{Permutationen} von FORMULA, insbesondere dann, wenn man sich die Elemente von FORMULA aufgereiht denken kann.

Elimination von FORMULA und FORMULA aus EQN ergibt dann zwei gekoppelte Gleichungen fuer FORMULA und FORMULA (vgl. Honerkamp/Roemer, REF).

Entsprechend werden wir fuer andere durch Ausdruecke definierte Abbildungen verfahren.

Er ist wichtig in der algebraischen Zahlentheorie).

Er spielt in vielen partiellen Differentialgleichungen der Physik eine grosse Rolle.

Er verallgemeinert den Zwischenwertsatz im FORMULA, der Existenz (aber nicht unbedingt Eindeutigkeit) einer Nullstelle von FORMULA garantiert, falls FORMULA am Rand einen Zeichenwechsel hat, FORMULA.

Er verallgemeinert den Zwischenwertsatz im FORMULA, der Existenz (aber nicht unbedingt Eindeutigkeit) einer Nullstelle von FORMULA garantiert, falls FORMULA am Rand einen Zeichenwechsel hat, FORMULA.

Ersetzen wir in EQN FORMULA durch FORMULA, so erhalten wir DISPLAY und wegen FORMULA folgt EQN.

Ersetzt man FORMULA durch FORMULA, so folgt wegen FORMULA auch DISPLAY also gilt EQN.

Erst durch die Wahl des Buchstabens FORMULA bzw. FORMULA im Argument von FORMULA -- oder aus dem Kontext -- wird klar, ob FORMULA eine Abbildung aus FORMULA (wie in EQN) oder eine PREFIX Form mit Werten in FORMULA (wie in EQN) darstellt.

Es bleibt noch zu zeigen, dass fuer Re FORMULA die Gleichung EQN gilt.

Es bleibt zu zeigen, dass FORMULA tatsaechlich differenzierbar ist.

Es bleibt zu zeigen, dass det eine PREFIX Form ist.

Es bleibt, den Radius FORMULA so zu waehlen, dass der Traeger jedes FORMULA ganz im Definitionsbereich einer Karte liegt.

Es ergeben sich Begriffe, die sich in ihren Eigenschaften etwas unterscheiden.

Es ergeben sich also keine Bezeichnungsprobleme, wenn man die lineare Abbildung in diesem Fall mit dem Vektor identfiziert.

Es folgt EQN; offensichtlich kann man die FORMULA beliebig waehlen und dann mit EQN die uebrigen Komponenten ausrechnen.

Es folgt FORMULA und daher FORMULA, FORMULA, FORMULA und schliesslich FORMULA.

Es folgt FORMULA, wegen EQN also FORMULA.

Es folgt FORMULA.

Es folgt, dass der Grad FORMULA des Minimalpolynoms hoechstens FORMULA ist.

Es geht aber immer mit dem folgenden Satz.

Es gelte (D1) und (D2): Ist FORMULA, so ist FORMULA fuer geeignete Folge FORMULA aus FORMULA.

Es gelten die Formeln DISPLAY

Es gibt daher ein FORMULA mit FORMULA und ein FORMULA mit FORMULA, und FORMULA ergibt einen Widerspruch mit EQN.

Es gibt genau ein lineares Funktional FORMULA auf FORMULA mit den beiden Eigenschaften \rm (D1) FORMULA fuer FORMULA, \rm (D2) FORMULA fuer FORMULA.

Es gibt genau eine Linearform FORMULA mit vorgegebenen Koordinaten DISPLAY bezueglich einer Basis FORMULA von FORMULA, naemlich die Linearform FORMULA mit DISPLAY wo FORMULA das zur Basis gehoerige Koordinatensystem ist.

Es gibt genau eine PREFIX Form FORMULA ueber FORMULA mit FORMULA, naemlich die durch DISPLAY definierte \define{Determinantenform} FORMULA.

Es gibt genau eine PREFIX Linearform FORMULA ueber FORMULA mit vorgegebenen \define{Koordinaten} DISPLAY naemlich die PREFIX Linearform mit DISPLAY Die (durch FORMULA indizierte) Familie der Koordinaten nennt man einen \define{Tensor} PREFIX ter Stufe} (fuer FORMULA: \define{Vektor}, fuer FORMULA: \define{Matrix}, fuer FORMULA: \define{Skalar}; hier muss man die leere Folge, das leere Tupel und das leere Produkt betrachten).

Es gilt (C4) FORMULA, FORMULA, (C5) FORMULA falls FORMULA, (C6) FORMULA.

Es gilt DISPLAY

Es gilt DISPLAY

Es gilt DISPLAY DISPLAY

Es gilt DISPLAY also DISPLAY Fuer die Abweichung FORMULA gilt also FORMULA und DISPLAY Die Beitraege zu dieser Summe verschwinden fuer FORMULA, da die FORMULA paarweise unabhaengig sind, und fuer FORMULA sind sie DISPLAY da FORMULA.

Es gilt DISPLAY mit DISPLAY

Es gilt DISPLAY wobei FORMULA als Vektor mit den Komponenten FORMULA aufgefasst wird.

Es gilt naemlich der \define{Satz von Riesz}: Ist FORMULA ein normierter Raum, in dem die Einheitskugel FORMULA kompakt ist, so ist FORMULA (ohne Beweis).

Es gilt: DISPLAY insbesondere kommt es beim Dachprodukt auf die Reihenfolge der Faktoren an! Man sagt, das Dachprodukt ist \define{antikommutativ}.

Es gilt: REF FORMULA und FORMULA sind messbar.

Es heisst auch, die Begriffe so auf die Wirklichkeit anwenden zu koennen, dass die Welt an Konturen und Uebersichtlichkeit gewinnt.

Es heisst, die Sprache so zu beherrschen, dass alle Begriffe mit Sinn gefuellt sind und anderen durch Beispiele oder Erklaerungen begreiflich gemacht werden koennen.

Es ist DISPLAY

Es ist DISPLAY Also ist FORMULA, wie nach EQN zu erwarten war, da FORMULA nicht stetig ist, also FORMULA.

Es ist DISPLAY Aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung und Proposition REF ergibt sich weiter DISPLAY Die Behauptung folgt daraus mit Hilfe der Definitionen.

Es ist DISPLAY Einsetzen von FORMULA ergibt FORMULA, also DISPLAY Da FORMULA stetig ist, ist FORMULA.

Es ist DISPLAY In FORMULA wurde benutzt, dass A stetig ist (Satz REF).

Es ist DISPLAY Ist FORMULA, so folgt daraus EQN.

Es ist DISPLAY eine von FORMULA unabhaengige Konstante ist.

Es ist DISPLAY falls FORMULA.

Es ist DISPLAY fuer FORMULA, also FORMULA, und wegen FORMULA folgt die Behauptung.

Es ist FORMULA und FORMULA.

Es ist FORMULA, und mit FORMULA folgt induktiv FORMULA Also ist Satz REF anwendbar und zeigt, dass FORMULA existiert.

Es ist FORMULA, und wegen FORMULA ist FORMULA und FORMULA.

Es ist FORMULA.

Es ist FORMULA.

Es ist FORMULA.

Es ist also DISPLAY und nach Division durch FORMULA folgt EQN fuer FORMULA statt FORMULA.

Es ist das Standardverfahren zur Loesung linearer Gleichungssysteme.

Es ist erstaunlich, dass sich all die vielen Regeln aus so wenigen Axiomen herleiten lassen.

Es ist interessant, dass man (wie in Beispiel REF) den Fehler abschaetzen kann, ohne die Teilsumme berechnet zu haben.

Es ist interessant, dass man gar nicht wissen muss, wie die Komponenten von FORMULA aussehen und trotzdem FORMULA berechnen kann.

Es ist leicht zu sehen, dass das die einzigen Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind.

Es ist naemlich DISPLAY

Es ist naemlich FORMULA, wo FORMULA die Vielfachheit des Eigenwerts FORMULA ist.

Es ist nicht schwer zu zeigen (Uebungsaufgabe; zuerst FORMULA betrachten!), dass eine PREFIX Linearform genau dann symmetrisch ist, wenn (fuer beliebige Indices) DISPLAY gilt; schwieriger, aber auch interessanter und fuer die Anwendungen wichtiger ist eine entsprechende Charakterisierung der alternierenden PREFIX Linearformen.

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass dieses Integral bei einem Basiswechsel unveraendert bleibt.

Es ist nuetzlich, die mathematischen Grundvorlesungen als einen Intensiv-Sprachkurs anzusehen.

Es ist wichtig, daran zu denken, dass nicht alle fuer Zahlen gueltige Rechenregeln gefordert werden.

Es reicht, den Fall des Minimums zu beweisen.

Es sei FORMULA und FORMULA, und FORMULA (mit FORMULA, FORMULA) sei eine permutierte Dreieckszerlegung der um die rechte Seite erweiterten Koeffizientenmatrix FORMULA.

Es sei FORMULA und FORMULA.

Es sei FORMULA und FORMULA.

Es sei FORMULA, und FORMULA sei ueber alle FORMULA integrierbar.

Es sei FORMULA.

Es wird Ihnen nicht schwerfallen, moderne Parallelen zu der folgenden alten Geschichte festzustellen: Es hatte aber alle Welt einerlei Zunge und Sprache.

Es wird sich zeigen, dass dieses Vorgehen fuer FORMULA gerade auf das bestimmte Integral (und Verallgemeinerungen davon) fuehrt.

Etwas allgemeiner laesst sich zeigen, dass DISPLAY aber im konkreten Rechnen laeuft das meistens gerade auf den im Satz formulierten Fall hinaus. Zum Beispiel ist DISPLAY

Existenz: Fuer endliche FORMULA, FORMULA und FORMULA rechnet man leicht nach, dass FORMULA mit FORMULA die geforderten Eigenschaften hat.

Existiert ein FORMULA mit DISPLAY und ist FORMULA fuer ein FORMULA, so ist FORMULA fuer alle FORMULA.

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

FORMULA

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FORMULA (die \define{leere Menge}), FORMULA, FORMULA, usw.


FORMULA ITEM Es gilt stets FORMULA.




FORMULA enthaelt also alle fuer die Berechnung von Erwartungswerten noetige Information, da nur die FORMULA mit FORMULA zum Erwartungswert FORMULA beitragen.


FORMULA faellt also fuer FORMULA und waechst fuer FORMULA, und hat daher sein Minimum bei FORMULA.

FORMULA fuer FORMULA; analog fuer mehr als drei Terme FORMULA und andere Relationen FORMULA.

FORMULA geht dann von FORMULA aber FORMULA von FORMULA.

FORMULA habe PREFIX Stufenform.

FORMULA hat Stufenform, da die erste nicht verschwindende Spalte von FORMULA die FORMULA te ist, und FORMULA Stufenform mit FORMULA fuehrenden Nullspalten hat.

FORMULA hat dann Grad FORMULA, also ist FORMULA mit FORMULA, und es ergibt sich DISPLAY mit FORMULA.

FORMULA heisst \define{beschraenkt} in FORMULA, falls DISPLAY

FORMULA heisst \define{differenzierbar}, im Gebiet FORMULA, falls FORMULA und es eine Abbildung FORMULA gibt, so dass fuer alle FORMULA die Beziehung DISPLAY gilt.

FORMULA heisst \define{integrierbar ueber} FORMULA, falls die abgeschnittene Funktion FORMULA integrierbar ist.

FORMULA heisst \define{integrierbar} (bez.

FORMULA heisst \define{normiert}, falls alle Diagonalelemente FORMULA sind.

FORMULA heisst \define{stetig} bzw. \define{PREFIX mal stetig differenzierbar}, falls alle FORMULA diese Eigenschaft haben.

FORMULA heisst daher das \define{Minimalpolynom} von FORMULA.

FORMULA heisst dann das \define{Produkt} von FORMULA und FORMULA.

FORMULA heisst dann ein \define{Homoeomorphismus}.

FORMULA heisst dann eine FORMULA und FORMULA verbindende \define{Homotopie}.

FORMULA heisst das zu FORMULA gehoerige Vektorpotential.

FORMULA heisst die \define{Vielfachheit} der Nullstelle FORMULA; Nullstellen der Vielfachheit 1 heissen \define{einfache}, die anderen \define{mehrfache} Nullstellen.

FORMULA heisst im Experiment FORMULA \define{wahr}, falls FORMULA, andernfalls \define{falsch}.

FORMULA ist Urbild der offenen Menge FORMULA unter der stetigen Umkehrabbildung FORMULA, und ist daher selbst offen (Proposition REF); ausserdem liegt FORMULA in FORMULA.

FORMULA ist Urbild der offenen Menge FORMULA unter der stetigen Umkehrabbildung FORMULA, und ist daher selbst offen (Proposition REF); ausserdem liegt FORMULA in FORMULA.

FORMULA ist also ein Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie vom Mittelpunkt zu FORMULA.

FORMULA ist also sinnlos.

FORMULA ist also weder Maximum noch Minimum von FORMULA, sondern ein Sattelpunkt.

FORMULA ist dann aber auch nicht injektiv, da Definitionsbereich und Zielraum dieselbe endliche Dimension haben.

FORMULA ist die FORMULA te Komponente des Vektors FORMULA und daraus folgt EQN.

FORMULA ist die gesuchte endliche Teilueberdeckung.

FORMULA ist ein absoluter Funktionenraum, d.h. DISPLAY Ausserdem gilt FORMULA fuer alle FORMULA.

FORMULA ist eine Linearkombination von FORMULA, DISPLAY Multiplikation mit FORMULA fuer FORMULA ergibt FORMULA, also muss man DISPLAY waehlen.

FORMULA ist eine PREFIX Matrix vom Rang FORMULA, also ist FORMULA.

FORMULA ist eine Permutationsmatrix, zur Permutation FORMULA mit FORMULA

FORMULA ist eine Rang PREFIX Matrix, FORMULA mit FORMULA.

FORMULA ist in den Experimenten FORMULA mit FORMULA wahr; in den uebrigen Experimenten ist FORMULA falsch.

FORMULA ist in diesem Kapitel stets ein Banachraum; der wichtigste Fall ist hier eindimensional, FORMULA.

FORMULA ist stetig falls FORMULA beschraenkt ist.

FORMULA ist stetig und nach Satz REF ist DISPLAY wegen DISPLAY ITEM FORMULA sei kompakt.

FORMULA ist wegen FORMULA.


FORMULA sei Banachraum, FORMULA abgeschlossen und nicht leer.

FORMULA sei Gebiet, FORMULA.

FORMULA sei Gebiet, FORMULA.

FORMULA sei Hausdorffraum, FORMULA Teilmenge von FORMULA.

FORMULA sei Koerper, FORMULA.

FORMULA sei Koerper.

FORMULA sei PREFIX Form ueber FORMULA.

FORMULA sei PREFIX mal stetig differenzierbar.

FORMULA sei Ring.

FORMULA sei Unterraum von FORMULA.

FORMULA sei die groessere Loesung FORMULA der Gleichung FORMULA Dies hat die Form EQN mit FORMULA, und die Loesung kann in diesem Fall explizit angegeben werden: DISPLAY Statt dies direkt abzuleiten, kann man Formel FORMULA anwenden und erhaelt DISPLAY z.B. ist FORMULA und FORMULA.

FORMULA sei die linke Seite von EQN.

FORMULA sei ein Ensemble von vergangenen, zukuenftigen oder auch nur vorgestellten Wuerfen mit einem (realen oder vorgestellten, festen oder bei jedem Wurf anderen) Wuerfel, der als Ergebnis eines Wurfs eine Augenzahl in FORMULA liefert.

FORMULA sei ein Gebiet, FORMULA.

FORMULA sei ein Gebiet, in dem Gravitationskraefte herrschen.

FORMULA sei ein Gebiet.

FORMULA sei ein Gebiet.

FORMULA sei ein Gebiet.

FORMULA sei ein Hausdorffraum, FORMULA sei ein Banachraum.

FORMULA sei ein Hausdorffraum.

FORMULA sei ein Integral auf dem absoluten Funktionenraum FORMULA mit der Eigenschaft FORMULA.

FORMULA sei ein Koerper, der zu jedem FORMULA den \define{Betrag} FORMULA und die \define{Konjugierte} FORMULA enthaelt.

FORMULA sei ein Koordinatensystem des PREFIX dimensionalen normierten Raums FORMULA ueber FORMULA oder FORMULA.

FORMULA sei ein PREFIX Vektorfeld im Gebiet FORMULA.

FORMULA sei ein PREFIX Vektorfeld im Gebiet FORMULA.

FORMULA sei ein Weg, der FORMULA verbindet.

FORMULA sei ein Weg.

FORMULA sei ein \define{diskreter} Hausdorffraum, d.h. ein Raum, in dem jede Menge FORMULA mit FORMULA Umgebung von FORMULA ist; man denke an FORMULA oder FORMULA.

FORMULA sei ein lokalkompakter Hausdorfraum.

FORMULA sei ein stetiges Vektorfeld im Gebiet FORMULA.

FORMULA sei eine Abbildung.

FORMULA sei eine Folge aus FORMULA mit DISPLAY Ist FORMULA, so gilt DISPLAY Man sagt dann, die Folge konvergiert (mindestens) \define{linear} gegen FORMULA.

FORMULA sei eine Folge im Banachraum FORMULA, FORMULA.

FORMULA sei eine Folge reellwertiger Funktionen aus FORMULA.

FORMULA sei eine Folge reellwertiger Funktionen aus FORMULA.

FORMULA sei eine Folge von integrierbaren Wegen, die gleichmaessig gegen FORMULA konvergieren.

FORMULA sei eine PREFIX Flaeche.

FORMULA sei eine Permutation mit EQN und es sei FORMULA.

FORMULA sei eine Teilmenge von FORMULA mit FORMULA.

FORMULA sei eine abzaehlbare Familie in FORMULA, und FORMULA sei absolut konvergent.

FORMULA sei eine durch den PREFIX -Weg FORMULA beschriebene Kurve.

FORMULA sei eine durch den PREFIX Weg FORMULA beschriebene Kurve.

FORMULA sei eine endliche Indexmenge.

FORMULA sei eine hermitesche Matrix mit den (nach Folgerung REF reellen) Eigenwerten FORMULA.

FORMULA sei eine im Gebiet FORMULA analytische Funktion.

FORMULA sei eine im Gebiet FORMULA analytische Funktion.

FORMULA sei eine lineare Selbstabbildung des Banachraumes FORMULA mit FORMULA.

FORMULA sei eine lineare Selbstabbildung.

FORMULA sei eine natuerliche Zahl FORMULA.

FORMULA sei eine nichtleere Menge.

FORMULA sei eine positiv orientierte geschlossene Kurve in FORMULA, und FORMULA (FORMULA) seien paarweise disjunkte offene Kreise im Innern von FORMULA.

FORMULA sei im Gebiet FORMULA differenzierbar.

FORMULA sei in FORMULA stetig differenzierbar und FORMULA sei in FORMULA stetig differenzierbar.

FORMULA sei in der kompakten Menge FORMULA stetig.

FORMULA sei in der offenen Kugel FORMULA stetig differenzierbar.

FORMULA sei in einer Umgebung des stationaeren Punktes FORMULA zweimal stetig differenzierbar.

FORMULA sei kompakt, FORMULA abgeschlossen.

FORMULA sei kompakte Teilmenge eines lokalkompakten Hausdorffraums FORMULA.

FORMULA sei lineare Selbstabbildung eines PREFIX dimensionalen Vektorraums FORMULA ueber FORMULA.

FORMULA sei lineare Selbstabbildung eines PREFIX dimensionalen Vektorraums FORMULA ueber FORMULA.

FORMULA sei offen und FORMULA sei injektiv.

FORMULA sei offen und FORMULA, FORMULA, FORMULA eine Teilmenge von FORMULA.

FORMULA sei offen und FORMULA, FORMULA.

FORMULA sei offen und beschraenkt.

FORMULA sei offen und beschraenkt.

FORMULA sei offen und beschraenkt.

FORMULA sei offen und beschraenkt.

FORMULA sei offen, und FORMULA sei stetig differenzierbar.

FORMULA sei offen.

FORMULA sei offen.

FORMULA sei regulaer.

FORMULA sei sternfoermig bezueglich FORMULA.

FORMULA sei sternfoermig bezueglich FORMULA.

FORMULA sei stetig differenzierbare PREFIX Form ueber FORMULA.

FORMULA sei stetig im Gebiet FORMULA und FORMULA sei stetig differenzierbar in einem Gebiet FORMULA Gilt DISPLAY und hat die lineare Abbildung FORMULA fuer alle FORMULA eine beschraenkte Inverse, so ist FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, und es ist DISPLAY

FORMULA sei stetig, und es sei DISPLAY Dann gilt FORMULA.

FORMULA sei stueckweise stetig und stueckweise monoton.

FORMULA sei symmetrisch und positiv definit.

FORMULA sei zur offenen konvexen Menge FORMULA homoeomorph, und FORMULA sei ein Homoeorphismus. Sind FORMULA, so ist (wegen der Konvexitaet von FORMULA) durch DISPLAY ein Weg FORMULA definiert (das Urbild der Strecke FORMULA); also ist FORMULA wegzusammenhaengend.

FORMULA seien Folgen in FORMULA.

FORMULA seien PREFIX konvergente Folgen in FORMULA.

FORMULA seien Treppenfunktionen.

FORMULA seien offen und beschraenkt.

FORMULA seien offen und beschraenkt.

FORMULA u:=x/z FORMULA u[s,t]:=(x[s,t]z(t)-x(t)z[s,t])/z(s)z(t) FORMULA s=t FORMULA \dot u(t)= (\dot x(t)z(t)-x(t)\dot z(t))/z(t)^2.

FORMULA u:=xz FORMULA u[s,t]:=x[s,t]z(s)+x(t)z[s,t].

FORMULA und FORMULA heissen \define{disjunkt}, falls FORMULA (d.h. kein gemeinsames Element).

FORMULA und FORMULA seien PREFIX Wege zu den Kurven FORMULA und FORMULA, mit Anfangs- und Endpunkten FORMULA und FORMULA, und FORMULA mit DISPLAY sei eine die beiden Wege verbindende Homotopie.

FORMULA und FORMULA seien im Gebiet FORMULA stetig differenzierbar.

FORMULA und FORMULA seien offen, FORMULA.

FORMULA wird von einem der beiden ueber FORMULA (obenherum) oder FORMULA (untenherum) fuehrenden positiv orientierten Kurven FORMULA und FORMULA umlaufen, wenn man die Verbindungslinien so waehlt, dass FORMULA nicht auf ihnen liegt.


FORMULA) nicht gegen Null (und nach Proposition REF ueberhaupt nicht).

FORMULA), falls es eine Funktion FORMULA gibt mit DISPLAY Zwei Funktionen FORMULA heissen \define{fast ueberall gleich} (bez.

FORMULA), falls es eine Nullmenge FORMULA gibt mit DISPLAY Wir schreiben dann FORMULA fuer \define{fast alle} FORMULA, oder noch kuerzer DISPLAY Wir erweitern diese Bezeichnung entsprechend auf Ungleichungen und auf Funktionen, die nur auf FORMULA fuer eine Nullmenge FORMULA definiert sind.

FORMULA), falls sich FORMULA in der PREFIX Norm beliebig genau durch Funktionen FORMULA approximieren laesst, FORMULA.

FORMULA).

FORMULA, FORMULA seien Folgen aus FORMULA und FORMULA.

FORMULA, FORMULA seien Polynome mit FORMULA, und FORMULA habe keine reellen Nullstellen.

FORMULA, Homotopieinvarianz, und ausw'ahlen einer Teilfolge FORMULA.

FORMULA, Homotopieinvarianz, und ausw'ahlen einer Teilfolge FORMULA.

FORMULA, eingeschraenkt auf diese Spalten, ist dann nichtsingulaer.

FORMULA, falls DISPLAY und ein \define{lokales Maximum}, falls FORMULA dort ein Maximum bez.

FORMULA, falls DISPLAY und ein \define{lokales Minimum}, falls FORMULA dort ein Minimum bez.

FORMULA, falls das Bild FORMULA von FORMULA ganz in FORMULA enthalten ist.

FORMULA.

FORMULA; also ist auch jede Teilmenge von FORMULA messbar.

Falls aber FORMULA mehrfache Nullstellen hat, kann es keine Darstellung der Form FORMULA mehr geben (warum nicht?).

Falls kein Energieaustausch stattfindet (geschlossenes System), ist die rechte Seite von EQN Null, wegen FORMULA (3.Hauptsatz) also FORMULA, d.h. die Entropie kann in einem geschlossenen System nicht abnehmen (2.Hauptsatz).

Falls keine geschlossenen Formeln existieren, muss man Methoden der numerischen Mathematik verwenden.

Finites Elemente Gitter fuer einen Commanche Helikopter.

Folge, konvergent (divergent) ITEM FORMULA heisst \define{Grenzwert} oder \define{Limes} der Funktion FORMULA fuer FORMULA, falls fuer alle FORMULA ein FORMULA existiert, so dass die Menge DISPLAY nicht leer ist und DISPLAY Man schreibt dann DISPLAY Statt EQN sagt man auch DISPLAY (d.h. fuer alle mit Ausnahme von endlich vielen Indices).

Formeln fuer viele ausgerechnete Integrale findet man in sogen.

Formeln, in denen der Wert FORMULA vorkommt, werden entsprechend den Regeln DISPLAY fuer alle FORMULA interpretiert.

Fuer Anregungen der Form DISPLAY jetzt mit Vektoren FORMULA, fuehrt der Exponentialansatz wieder zu einer Loesung der Form DISPLAY wobei die FORMULA Loesungen der linearen Gleichungssysteme DISPLAY sind.

Fuer DISPLAY gilt dann DISPLAY nach Induktionsannahme gibt es also ein FORMULA mit DISPLAY Nun waehlen wir eine Hutfunktion FORMULA mit Traeger in FORMULA und FORMULA und setzen DISPLAY Dann ist FORMULA und DISPLAY und wegen FORMULA ist DISPLAY mit FORMULA fuer FORMULA.

Fuer DISPLAY gilt dann DISPLAY nach Induktionsannahme gibt es also ein FORMULA mit DISPLAY Nun waehlen wir eine Hutfunktion FORMULA mit Traeger in FORMULA und FORMULA und setzen DISPLAY Dann ist FORMULA und DISPLAY und wegen FORMULA ist DISPLAY mit FORMULA fuer FORMULA.

Fuer Elemente FORMULA aus einem Ring FORMULA nennt man DISPLAY den \define{Kommutator} von FORMULA und FORMULA.

Fuer FORMULA Im FORMULA ist FORMULA also ist Re FORMULA fuer FORMULA.

Fuer FORMULA bekommt man nur FORMULA, und die uebrigen Spalten von FORMULA aus FORMULA.

Fuer FORMULA benutzt man die Substitution FORMULA, die das Intervall FORMULA auf den Einheitskreis abbildet.

Fuer FORMULA beweisen wir den Satz in Kapitel REF; der Allgemeinfall laesst sich darauf zurueckfuehren (siehe z.B. Forster III, \S 19, Satz 6).

Fuer FORMULA bezeichnen wir mit FORMULA die durch DISPLAY definierte Abbildung.

Fuer FORMULA bezeichnet FORMULA die Abbildung, die FORMULA auf FORMULA abbildet und FORMULA die Abbildung, die FORMULA auf FORMULA abbildet.

Fuer FORMULA bezeichnet FORMULA die Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen FORMULA mit FORMULA fuer alle FORMULA, und FORMULA bezeichnet den Durchschnitt aller FORMULA (FORMULA), also die Menge aller beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen FORMULA.

Fuer FORMULA bildet jede Moebiustransformation Geraden und Kreise der projektiv abgeschlossenen komplexen Zahlenebene auf Geraden oder Kreise ab.

Fuer FORMULA definieren wir durch DISPLAY eine Funktion FORMULA, und nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz ist FORMULA.

Fuer FORMULA enthaelt die Summe gerade 3 Terme, die wie zuvor zu FORMULA zusammengefasst werden koennen.

Fuer FORMULA entstehen also zwei gleiche Zeilen, und die Determinante verschwindet; fuer FORMULA passiert gar nichts, und wir erhalten det FORMULA.

Fuer FORMULA erhaelt man DISPLAY Also ist DISPLAY mit EQN also DISPLAY Fuer FORMULA geht diese Schranke gegen FORMULA; also ist FORMULA eine Cauchy-Folge und daher konvergent.

Fuer FORMULA erhaelt man dann die Bedingungen DISPLAY die man nach FORMULA aufloesen kann.

Fuer FORMULA fasst man FORMULA wieder als 2 PREFIX dimensionalen Vektorraum auf und kann dann die Ergebnisse uebertragen.

Fuer FORMULA folgen die Ausagen, wenn man FORMULA als 2 PREFIX dimensionalen Vektorraum ueber FORMULA auffasst.

Fuer FORMULA folgt EQN.

Fuer FORMULA folgt andererseits FORMULA, also FORMULA.

Fuer FORMULA folgt aus EQN DISPLAY und fuer FORMULA ergibt sich wegen FORMULA die Fehlerabschaetzung EQN.

Fuer FORMULA folgt dasselbe, indem man in EQN FORMULA durch FORMULA ersetzt.

Fuer FORMULA folgt speziell FORMULA.

Fuer FORMULA geht FORMULA staerker gegen Null als jedes Polynom in FORMULA, also ist FORMULA.

Fuer FORMULA geht analog FORMULA, fuer FORMULA geht FORMULA und fuer FORMULA geht FORMULA.

Fuer FORMULA geht daher die obere Schranke in EQN gegen Null; also ist FORMULA.

Fuer FORMULA gelte DISPLAY Dann ist die durch FORMULA definierte (rotationssymmetrische) Funktion FORMULA ueber die PREFIX dimensionale Kugel FORMULA integrierbar, und es gilt DISPLAY

Fuer FORMULA gelten die Formeln DISPLAY

Fuer FORMULA gelten die Paare FORMULA und FORMULA als verschieden! Dagegen sind die Mengen FORMULA und FORMULA dieselben.

Fuer FORMULA gilt DISPLAY

Fuer FORMULA gilt DISPLAY

Fuer FORMULA gilt DISPLAY

Fuer FORMULA gilt DISPLAY Sind FORMULA und FORMULA reellwertig, so gilt ausserdem DISPLAY

Fuer FORMULA gilt DISPLAY da FORMULA linear und FORMULA fest ist.

Fuer FORMULA gilt also FORMULA und nach FORMULA ist FORMULA eindeutig bestimmt.

Fuer FORMULA gilt dann DISPLAY

Fuer FORMULA gilt dann DISPLAY Es reicht also, FORMULA so klein zu waehlen, dass beliebige FORMULA mit FORMULA in einer gemeinsamen Kugel FORMULA liegen.

Fuer FORMULA gilt dann DISPLAY Fuer FORMULA gilt dasselbe, falls FORMULA.

Fuer FORMULA gilt dann FORMULA.

Fuer FORMULA gilt die \define{Produktformel} DISPLAY

Fuer FORMULA gilt:

Fuer FORMULA gilt: DISPLAY Ist FORMULA ein Zahlkoerper, so gilt ebenso DISPLAY und es ist DISPLAY

Fuer FORMULA hat die Differentialgleichung FORMULA mit der Anfangsbedingung FORMULA die eindeutige Loesung FORMULA.

Fuer FORMULA hat die Summe in EQN nur einen einzigen Term (mit FORMULA, keine Zeile gestrichen).

Fuer FORMULA ist DISPLAY Daher ist FORMULA fuer fast alle FORMULA, und mit FORMULA ist wieder Satz REF anwendbar und liefert EQN.

Fuer FORMULA ist DISPLAY Die Loesung von DISPLAY ist im Fall FORMULA durch DISPLAY gegeben, also DISPLAY Fuer FORMULA (und eigentlich schon fuer FORMULA) ist die Cramersche Regel zur praktischen Rechnung unbrauchbar, da die Determinanten muehsam zu berechnen sind.

Fuer FORMULA ist DISPLAY Fuer FORMULA ergibt partielle Integration DISPLAY Im Grenzwert FORMULA folgt daraus DISPLAY Wegen FORMULA folgt aus EQN schliesslich induktiv DISPLAY

Fuer FORMULA ist DISPLAY Fuer FORMULA ergibt sich insbesondere wieder (vgl. Beispiel REF) DISPLAY

Fuer FORMULA ist DISPLAY Nach Definition des Dachprodukts erhaelt man durch Entwickeln nach der ersten Zeile DISPLAY mit den Unterdeterminanten DISPLAY Wegen FORMULA ist DISPLAY Setzen wir nun EQN in EQN ein, so folgt DISPLAY DISPLAY

Fuer FORMULA ist DISPLAY Wegen der absoluten Konvergenz ist nach Satz REF gliedweise Integration der Reihe erlaubt; mit der Cauchy'schen Integralformel ergibt sich DISPLAY

Fuer FORMULA ist DISPLAY also DISPLAY Daher gilt EQN.

Fuer FORMULA ist DISPLAY also ist DISPLAY aehnlich arbeitet man mit raeumlichen Polarkoordinaten und mit anderen krummlinigen Koordinatensystemen.

Fuer FORMULA ist DISPLAY also ist FORMULA, und dies ist stetig nach ITEM.

Fuer FORMULA ist DISPLAY fuer FORMULA ist DISPLAY und fuer FORMULA ist DISPLAY Beispielsweise ist DISPLAY DISPLAY DISPLAY Fuer FORMULA ist die Formel EQN umstaendlich, da FORMULA Terme zu berechnen sind.

Fuer FORMULA ist EQN trivial.

Fuer FORMULA ist FORMULA die einzige Teilmenge FORMULA mit FORMULA, und man braucht keine Zeile zu streichen: DISPLAY Fuer FORMULA erhaelt man eine PREFIX Form FORMULA fuer jede Moeglichkeit, aus FORMULA eine PREFIX Matrix auszuwaehlen.

Fuer FORMULA ist FORMULA eine Stammfunktion, die wegen der Periodizitaet der Exponentialfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat; also verschwindet das Integral in diesem Fall.

Fuer FORMULA ist FORMULA in FORMULA stetig, also existiert DISPLAY Wir berechnen die Ableitung von FORMULA.

Fuer FORMULA ist FORMULA keine obere Schranke, also gibt es ein FORMULA mit FORMULA.

Fuer FORMULA ist FORMULA nach EQN fuer FORMULA statt FORMULA, nach EQN also FORMULA.

Fuer FORMULA ist FORMULA, also gilt EQN allgemein und EQN auch fuer FORMULA.

Fuer FORMULA ist FORMULA, und mit der Substitution FORMULA ist DISPLAY Daher gilt EQN fuer FORMULA.

Fuer FORMULA ist Supp FORMULA kompakt, liegt also in einer Kugel FORMULA; und wegen FORMULA fuer FORMULA Supp FORMULA ist FORMULA, falls ein FORMULA.

Fuer FORMULA ist alles klar (FORMULA).

Fuer FORMULA ist also FORMULA, d.h. FORMULA, und fuer FORMULA folgt FORMULA, also FORMULA.

Fuer FORMULA ist dann DISPLAY Wir substituieren FORMULA und finden DISPLAY Die Flaeche eines Kreises mit dem Radius FORMULA ist also FORMULA.

Fuer FORMULA ist dann DISPLAY also FORMULA.

Fuer FORMULA ist dann FORMULA, also FORMULA.

Fuer FORMULA ist das klar; wir nehmen also an, die Aussage sei richtig fuer ein FORMULA, und es sei FORMULA mit FORMULA wie in EQN.

Fuer FORMULA ist der Punkt FORMULA eine Quelle (Senke), d.h. es fliesst mehr (weniger) aus FORMULA heraus als in FORMULA hineinfliesst.

Fuer FORMULA ist der zweite Faktor nichtnegativ, und aus dem Mittelwertsatz folgt (mit FORMULA statt FORMULA und FORMULA) DISPLAY Der Fall FORMULA geht nach Multiplikation mit FORMULA analog.

Fuer FORMULA ist die Reihe EQN alternierend, nach Satz REF also FORMULA; daher gilt auch EQN allgemein.

Fuer FORMULA ist die Summe leer, also FORMULA und fuer FORMULA braucht man zur Berechnung von FORMULA nur die schon bekannten FORMULA mit FORMULA.

Fuer FORMULA ist fuer FORMULA eine lineare Abbildung von FORMULA; wegen FORMULA ist diese Abbildung durch die Multiplikation mit dem Vektor FORMULA gegeben.

Fuer FORMULA ist jede lineare Abbildung von V nach W beschraenkt, also stetig.

Fuer FORMULA ist jedoch das folgende Determinantenkriterium die am einfachsten nachpruefbare Bedingung fuer (Semi-)Definitheit.

Fuer FORMULA ist man damit fertig.

Fuer FORMULA koennen wir EQN in Koordinaten ausdruecken, indem wir das PREFIX te Argument FORMULA als FORMULA schreiben: DISPLAY Wegen der Symmetrie koennen wir die FORMULA so umordnen, dass Ableitungen mit kleineren Indizes zuerst kommen.

Fuer FORMULA mit FORMULA ist wegen FORMULA: DISPLAY Mit FORMULA laesst sich siese Determinante schreiben als DISPLAY Die PREFIX Formen FORMULA und FORMULA haben also dieselben Bilder und stimmen daher ueberein.

Fuer FORMULA nehmen wir an, die Aussage gilt fuer Polynome vom Grad FORMULA anstelle von FORMULA.

Fuer FORMULA oder FORMULA gilt:

Fuer FORMULA redet man von \define{Linearformen}, Bilinearformen und \define{Trilinearformen}.

Fuer FORMULA sagt die Formel EQN nur in den Faellen FORMULA und FORMULA etwas Interessantes.

Fuer FORMULA setzen wir DISPLAY Dann ist FORMULA.

Fuer FORMULA setzen wir FORMULA.

Fuer FORMULA setzt man DISPLAY DISPLAY Fuer FORMULA benutzt man ausserdem die Abkuerzungen DISPLAY

Fuer FORMULA und FORMULA bekommt man zwei Determinanten, die durch FORMULA Transpositionen benachbarter Spalten ineinander ueberfuehrt werden koennen; also ist FORMULA und die beiden Summanden heben sich wegen der Vorzeichenregelung in EQN weg.

Fuer FORMULA und FORMULA erhalten wir (fuer beliebige FORMULA) durch Quadrieren des Betrags von EQN die asymptotische Beziehung DISPLAY Wegen EQN muss das fuer beliebig kleine FORMULA mindestens FORMULA sein, also DISPLAY Fuer FORMULA ist aber im Widerspruch dazu DISPLAY wenn man DISPLAY setzt.

Fuer FORMULA und FORMULA gilt DISPLAY

Fuer FORMULA und FORMULA gilt DISPLAY

Fuer FORMULA und FORMULA ist (wegen der Sternfoermigkeit von FORMULA) FORMULA, also FORMULA.

Fuer FORMULA und FORMULA ist (wegen der Sternfoermigkeit von FORMULA) FORMULA, also FORMULA.

Fuer FORMULA und FORMULA ist nun DISPLAY Aus Satz REF, angewandt mit FORMULA statt FORMULA und der (konvexen) Kugel FORMULA ergibt sich DISPLAY fuer alle FORMULA.

Fuer FORMULA und beliebige FORMULA gilt DISPLAY Insbesondere gilt DISPLAY

Fuer FORMULA, FORMULA, waehlt man einfach DISPLAY Wir nehmen daher an, der Satz gilt fuer FORMULA statt FORMULA, und setzen FORMULA und FORMULA.

Fuer FORMULA, FORMULA, waehlt man einfach DISPLAY Wir nehmen daher an, der Satz gilt fuer FORMULA statt FORMULA, und setzen FORMULA und FORMULA.

Fuer ITEM sei auf Lehrbuecher der Topologie verwiesen (z.B. Franz, Topologie I, FORMULA.

Fuer Integrale ueber einen PREFIX dimensionalen Quader gilt DISPLAY Insbesondere ist DISPLAY

Fuer Koerper gelten ausser den bisherige Regeln noch die gewohnten Regeln fuer die Division:

Fuer Leser eines Buchs haette ich mir hier groessere Ausfuehrlichkeit gewuenscht.

Fuer Leser eines Buchs haette ich mir hier groessere Ausfuehrlichkeit gewuenscht.

Fuer Matrizen mit nur einer Zeile FORMULA ist die Aussage trivial, da FORMULA die Bedingungen erfuellt.

Fuer PREFIX Matrizen kann man die Inverse explizit angeben:

Fuer PREFIX dimensionale Vektorraeume sind also nur die PREFIX Formen mit FORMULA interessant.

Fuer Polynome ueber endlichen Koerpern, die in der Codierungstheorie und der Kryptographie eine grosse Rolle spielen, wird aber das meiste falsch.) \define{Polynomdivision und Hornerschema.} Die Darstellung eines Polynoms FORMULA in der Form DISPLAY ist eindeutig, da die Potenzen FORMULA linear unabhaengig sind.

Fuer Reihen, die nicht absolut konvergent sind, sind diese Regeln aber falsch; daher muss man beim Rechnen mit nicht absolut konvergenten Reihen besondere Vorsicht walten lassen.

Fuer Ringe bleiben die gewohnten Regeln fuer Addition und Subtraktion richtig; bei der Multiplikation gibt es aber wesentliche Einschraenkungen.

Fuer Vektorfelder FORMULA gilt DISPLAY DISPLAY

Fuer Vektorfelder FORMULA haengt das Integral FORMULA nur von den Werten von FORMULA (und eventuell FORMULA) auf FORMULA ab.

Fuer \define{separable} Funktionen, d.h. Funktionen FORMULA mit DISPLAY gilt DISPLAY

Fuer alle FORMULA gilt DISPLAY Setzen wir speziell den Wert FORMULA ein (fuer den die rechte Seite am kleinsten wird), so erhalten wir DISPLAY Also ist FORMULA, und daraus folgt EQN.

Fuer alle FORMULA ist also FORMULA, d.h. FORMULA, im Widerspruch zu FORMULA.

Fuer beliebige FORMULA gelten die folgenden Regeln: DISPLAY

Fuer beliebige FORMULA gilt DISPLAY Sind alle Funktionen von FORMULA beschraenkt, so gilt auch DISPLAY

Fuer beliebige FORMULA ist FORMULA, also FORMULA und daher FORMULA.

Fuer beliebige Polynome FORMULA gilt die \define{Gradformel} DISPLAY und die Beziehung DISPLAY

Fuer beliebige geschlossene Kurven FORMULA in FORMULA definiert man die \define{Umlaufszahl} (oder \define{Windungszahl}) um Punkte FORMULA, die nicht auf FORMULA liegen, durch DISPLAY

Fuer beliebiges FORMULA ist FORMULA und FORMULA hat die Norm FORMULA.

Fuer beliebiges FORMULA und FORMULA gilt DISPLAY Den ersten und dritten Term kann man fuer genuegend grosse FORMULA kleiner als FORMULA machen, den zweiten (fuer ein solches FORMULA) fuer FORMULA aus einer geeigneten Umgebung von FORMULA ebenso.

Fuer beliebiges FORMULA und FORMULA gilt dann DISPLAY also ist DISPLAY Daher ist die Folge FORMULA eine Cauchy-Folge in FORMULA.

Fuer beliebiges, reellwertiges FORMULA ist FORMULA in FORMULA stetig und FORMULA, also FORMULA, daher auch FORMULA.

Fuer beschraenkte reelle Folgen kann man den kleinsten und groessten Haeufungspunkt als Grenzwert ausdruecken:

Fuer das Integral FORMULA kann man die Moebiustransformation FORMULA benutzen, die die reelle Achse auf den Einheitskreis (ohne FORMULA) abbildet (vgl. Satz REF), und zwar im richtigen Umlaufsinn.

Fuer das Volumenintegral wird FORMULA gerade das Volumen der Menge FORMULA sein.

Fuer das inhomogene System kann man aus EQN nur dann eine Loesung gewinnen, wenn kein FORMULA Eigenwert des Systems ist.

Fuer das untere Zeichen ist das die Behauptung; fuer das obere Zeichen folgt FORMULA.

Fuer den Vektor DISPLAY gilt nach EQN FORMULA.

Fuer den Wert FORMULA der Summe gilt DISPLAY

Fuer den wesentlich aufwendigeren Beweis des folgenden Satzes verweisen wir auf \sc Fletcher \cite??.

Fuer die Anwendungen auf Matrizen ist FORMULA ein Standardvektorraum.

Fuer die Anwendungen auf Matrizen ist FORMULA ein Standardvektorraum; in den Anwendungen auf die Quantenphysik ist FORMULA ein Funktionenraum (der Hilbertraum der Wellenfunktionen).

Fuer die Anwendungen sehr wichtig ist die Frage, wann Kurvenintegrale ueber verschiedene Kurven mit gleichem Anfangspunkt und gleichem Endpunkt denselben Wert haben.

Fuer die Berechnung beliebiger Determinanten benoetigen wir noch

Fuer die Division ist DISPLAY wegen DISPLAY kann man den Nenner FORMULA durch FORMULA ersetzen, und erhaelt im Quotienten einen zusaetzlichen Fehler FORMULA.

Fuer die FORMULA te Spalte FORMULA folgt aus EQN mit FORMULA wegen FORMULA fuer FORMULA induktiv die Beziehung FORMULA fuer FORMULA, und dann FORMULA Also ist FORMULA fuer FORMULA und FORMULA d.h. FORMULA ist ebenfalls normierte untere Dreiecksmatrix.

Fuer die Herleitung darf man nur solche Eigenschaften verwenden, die Axiome, Abkuerzungen oder schon bewiesene Formeln sind.

Fuer die Integration sind punktweise und gleichmaessige Konvergenz auch deshalb zu unflexibel, weil sie fast ueberall gleiche Funktionen unterschiedlich behandeln.

Fuer die Matrix FORMULA gilt daher DISPLAY

Fuer die Nullmatrix jeder Dimension hat z.B. das Minimalpolynom FORMULA nur den Grad FORMULA.

Fuer die Operatoren aus Beispiel REF erhaelt man insbesondere DISPLAY wegen FORMULA und REF also DISPLAY Man nennt EQN die kanonischen Vertauschungsrelationen der Quantenmechanik.

Fuer die PREFIX Form EQN ergibt sich fuer FORMULA DISPLAY also ist durch EQN tatsaechlich eine PREFIX Form definiert.

Fuer die Permutation FORMULA gilt dann FORMULA fuer FORMULA und FORMULA, also ist FORMULA ein Produkt von FORMULA Transpositionen.

Fuer die Permutation FORMULA gilt dann FORMULA, und FORMULA, schliesslich FORMULA fuer FORMULA.

Fuer die Physik sind vor allem Kurven im FORMULA und in FORMULA von Interesse.

Fuer die Summe FORMULA gilt dann die Fehlerabschaetzung DISPLAY Man nennt FORMULA eine \define{konvergente Majorante} von FORMULA.

Fuer die Summen DISPLAY gilt DISPLAY DISPLAY DISPLAY Wir muessen zeigen, dass die Teilsummen DISPLAY eine Cauchy-Folge bilden.

Fuer die Theorie sind sie aber unentbehrlich, z.B. sind die bei der harmonischen Analyse von Funktionen auftretenden Fourierreihen oft nur bedingt konvergent.

Fuer die Vereinigung FORMULA der offenen Intervalle FORMULA (FORMULA) folgt daraus DISPLAY Wir betrachten nun die Mengen DISPLAY Wegen FORMULA, sind die FORMULA ineinander geschachtelt.

Fuer die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA gilt DISPLAY

Fuer die durch FORMULA definierte Funktion FORMULA gilt FORMULA und FORMULA.

Fuer die durch FORMULA definierte Funktionenfolge gilt FORMULA, also DISPLAY Nach Satz REF fogt die absolute und gleichmaessige Konvergenz.

Fuer die geometrische Deutung siehe Proposition REF.

Fuer die komplexe Zahlenebene betrachtet man analog die stereographische Projektion vom Nordpol einer am Suedpol bei 0 angehefteten Einheitskugel.

Fuer die obere Abschaetzung in EQN betrachten wir die zum Koordinatensystem FORMULA gehoerige Basis FORMULA.

Fuer die uebrigen Summanden erhalten wir die richtig sortierten Ausdruecke DISPLAY wobei FORMULA der Index mit FORMULA (bzw. FORMULA falls FORMULA, falls FORMULA) ist.

Fuer die zusammengesetzte Permutationsmatrix DISPLAY gilt dann DISPLAY Also ist FORMULA mit den Dreiecksmatrizen DISPLAY Offensichtlich ist FORMULA normiert.

Fuer diese gilt FORMULA, also DISPLAY Also gilt EQN.

Fuer ein FORMULA sei FORMULA PREFIX mal stetig differenzierbar und stueckweise (FORMULA +2)-mal stetig differenzierbar.

Fuer ein Polynom DISPLAY vom Grad FORMULA ist die Steigung DISPLAY ein Polynom vom Grad FORMULA, dessen Koeffizienten sich nach DISPLAY berechnen.

Fuer ein System in der Naehe des Gleichgewichts erhalten wir also aus EQN die quadratische Approximation DISPLAY mit der Matrix DISPLAY und aus EQN erhaelt man die lineare Approximation DISPLAY Da fuer grosse FORMULA kleine Auslenkungen FORMULA schon einen grossen Mindestenergiebedarf FORMULA erfordern, signalisiert die Matrix FORMULA den Grad an Unbeweglichkeit des Systems. FORMULA wird daher als \define{Steifigkeitsmatrix} bezeichnet.

Fuer ein Vektorfeld FORMULA in FORMULA gilt DISPLAY Ist FORMULA einfach zusammenhaengend, so gilt umgekehrt DISPLAY fuer ein geeignetes Skalarfeld FORMULA.

Fuer eine Anregung der Frequenz FORMULA ist der Exponent FORMULA, im Fall kleiner Reibung wegen der Faktorenzerlegung FORMULA, also DISPLAY Der Ausdruck unter der Wurzel wird am kleinsten (die Verstaerkung also maximal) fuer FORMULA, wobei DISPLAY und dann ist DISPLAY Die \define{Resonanzfrequenz} FORMULA liegt also wegen FORMULA um so naeher ber der \define{Eigenfrequenz} FORMULA des Systems, je kleiner die Reibung ist, und die Verstaerkung ist dann umgekehrt proportional zum Reibungskoeffizienten.

Fuer eine PREFIX Matrix FORMULA ist DISPLAY also hat FORMULA das charakteristische Polynom DISPLAY Die beiden Eigenwerte FORMULA erhaelt man also durch Loesen der quadratischen Gleichung FORMULA und die zugehoerigen Eigenwerte durch Loesen der entsprechenden homogenen Gleichungssysteme FORMULA.

Fuer eine beliebige Loesung FORMULA des homogenen Gleichungssystems FORMULA gilt umgekehrt FORMULA, d.h. FORMULA ist eine Loesung des inhomogenen Systems. ITEM Die Loesungen bilden wegen ITEM eine Translation des Nullraums von FORMULA, also eine affine Menge der Dimension FORMULA.

Fuer eine beschraenkte Folge FORMULA in FORMULA betrachten wir die Folge FORMULA aus FORMULA mit FORMULA.

Fuer eine feste Karte FORMULA bildet die zu FORMULA aehnliche Selbstabbildung FORMULA den Standardvektorraum FORMULA in sich ab, ist also eine quadratische Matrix.

Fuer eine genuegend grosse Zahl paarweise unabhaengiger Experimente approximiert die relative Haeufigkeit, mit der eine Aussage zutrifft, die Wahrscheinlichkeit dieser Aussage mit einer Wahrscheinlichkeit, die beliebig nahe an 1 herankommt.

Fuer eine hermitesche Matrix FORMULA sind die folgenden Aussagen gleichwertig: ITEM Es gibt eine untere Dreiecksmatrix FORMULA mit positiven Diagonalelementen, so dass FORMULA.

Fuer eine rationale Funktion mit reellen Koeffizienten gilt das natuerlich fuer Zaehler und Nenner.

Fuer einen beliebigen Kreis ist der \define{Umfang} die Laenge des Bogens zum Winkel FORMULA, nach EQN hat ein Kreis vom Radius FORMULA also den Umfang FORMULA.

Fuer einfache Kurven hat die Umlaufszahl stets den Wert FORMULA oder FORMULA (fuer positiv orientierte Kurven) bzw. FORMULA (fuer negativ orientierte Kurven).

Fuer festes FORMULA ist die Menge DISPLAY eine Vereinigung von den endlich vielen disjunkten halboffenen Intervallen FORMULA, insbesondere beschraenkt, und aus FORMULA folgt FORMULA.

Fuer festes FORMULA setzen wir FORMULA (FORMULA) und definieren dazu die Treppenfunktion DISPLAY Fuer FORMULA ist FORMULA, nach dem Hilfssatz also FORMULA.

Fuer genuegend grosse FORMULA ist mit FORMULA auch FORMULA randfrei, und FORMULA ist auch eine Hutfunktion mit Traeger in FORMULA.

Fuer genuegend grosse FORMULA ist mit FORMULA auch FORMULA randfrei, und FORMULA ist auch eine Hutfunktion mit Traeger in FORMULA.

Fuer genuegend grosse FORMULA liegt jeder solche Wuerfel in einer Kugel von vorgegebenen Radius FORMULA, den wir spaeter waehlen werden.

Fuer genuegend kleine FORMULA ist FORMULA int FORMULA (da int FORMULA offen ist), also DISPLAY Fuer genuegend kleine FORMULA ist das Fehlerglied FORMULA, also folgt DISPLAY Dies widerspricht EQN.

Fuer groessere FORMULA wird man normalerweise den Computer zu Hilfe nehmen, wo die Existenz der Cholesky-Zerlegung (Satz REF) das effizienteste Kriterium ist.

Fuer grosse FORMULA wird FORMULA beliebig klein und wir hoffen, dass FORMULA integrierbar ist.

Fuer jede Abzaehlung FORMULA von FORMULA heisst die Reihe FORMULA eine \define{Anordnung} der Summe EQN.

Fuer jede Folge FORMULA in FORMULA gilt DISPLAY

Fuer jede Folge FORMULA positiver Zahlen gilt DISPLAY

Fuer jede Loesung der Differentialgleichung DISPLAY mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen FORMULA und einem stetig differenzierbaren Potential FORMULA nimmt die \define{(mechanische) Energie} DISPLAY monoton ab.

Fuer jede PREFIX Form FORMULA ueber FORMULA gilt

Fuer jede Wahrscheinlichkeit gilt DISPLAY

Fuer jede beschraenkte reelle Folge FORMULA existieren die Grenzwerte DISPLAY Beide Grenzwerte sind Haeufungspunkte der Folge, und fuer jeden Haeufungspunkt FORMULA gilt DISPLAY (Man schreibt auch FORMULA statt FORMULA und FORMULA statt FORMULA.)

Fuer jede kompakte Teilmenge FORMULA eines lokalkompakten Hausdorffraums FORMULA gilt:

Fuer jede lineare Selbstabbildung FORMULA ist die Determinante FORMULA der zu FORMULA im Koordinatensystem FORMULA gehoerigen Matrix FORMULA unabhaengig von FORMULA.

Fuer jede stetig differenzierbare PREFIX Form FORMULA ueber FORMULA gilt:

Fuer jeden endlich-dimensionalen normierten Raum FORMULA ueber FORMULA oder FORMULA gilt:

Fuer jedes FORMULA gilt dann DISPLAY Das erste Integral hat den Wert DISPLAY und das zweite Integral laesst sich mit EQN abschaetzen durch DISPLAY Nach Proposition REF ist FORMULA.

Fuer jedes FORMULA ist die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA eine symmetrische PREFIX Linearform mit Werten in FORMULA.

Fuer kleine FORMULA gilt dann DISPLAY (Die exakte PREFIX Form FORMULA laesst sich also im Limes FORMULA als alternierende Summe infinitesimaler Differenzen interpretieren.) Insbesondere gilt fuer ein PREFIX Skalarfeld FORMULA (der Fall FORMULA) DISPLAY

Fuer kleine FORMULA ist EQN in der Regel mit FORMULA -- falls existent -- erfuellt, und wegen FORMULA gilt EQN, falls das Residuum FORMULA genuegend klein ist.

Fuer kleine reelle FORMULA ist naemlich FORMULA, fuer kleine rein imaginaere FORMULA dagegen FORMULA.

Fuer kompakte Mengen FORMULA gilt:

Fuer konstantes FORMULA und FORMULA erhaelt man die Laengenkreise, fuer konstantes FORMULA und FORMULA die Breitenkreise, und hat damit ein krummliniges Koordinatensystem auf der Kugeloberflaeche.

Fuer messbare FORMULA und beliebige FORMULA definieren wir DISPLAY Dann gilt DISPLAY

Fuer monotone lineare Funktionale FORMULA gilt DISPLAY Insbesondere ist FORMULA reell, wenn FORMULA reellwertig ist.

Fuer rationale Funktionen mit reellen Koeffizienten kann es jedoch vorkommen, dass der Nenner komplexe Nullstellen hat und die Partialbruchzerlegung wird dann selbst komplex.

Fuer reelle FORMULA ist FORMULA nach Proposition REF reell, und direkt aus der Definition EQN folgen EQN und EQN falls FORMULA.

Fuer reelle FORMULA ist FORMULA reell, und es gilt DISPLAY DISPLAY Fuer FORMULA gilt ausserdem DISPLAY DISPLAY Insbesondere gilt DISPLAY DISPLAY

Fuer reelle Potenzreihen mit komplexem Argument brauchen wir noch:

Fuer regulaere Punkte FORMULA sind die Loesungen von linearen Gleichungen FORMULA bei beschraenktem FORMULA wegen FORMULA ebenfalls beschraenkt.

Fuer rein imaginaere Argumente FORMULA folgt aus EQN die Beziehung FORMULA; also liegen alle Zahlen FORMULA auf dem komplexen Einheitskreis FORMULA, und aus der aus Kapitel 2 vertrauten Figur FORMULA entnimmt man die Beziehungen DISPLAY Da wir die trigonometrischen Funktionen in Kapitel REF nicht definiert hatten, holen wir das jetzt nach:

Fuer symmetrisches positiv definites FORMULA definieren wir die Untermatrix FORMULA, den Vektor FORMULA und die Zahl FORMULA.

Fuer viele Anwendungen braucht man eine Erweiterung der Integralformel, in der aus einem Gebiet stoerende Punkte entfernt werden, indem kleine Kreise herausgeschnitten werden.

Gegeben seien FORMULA Paare FORMULA (FORMULA) gemaess der folgenden Tabelle.

Geht man in einem Gebiet FORMULA, in dem FORMULA stetig differenzierbar ist, von FORMULA einen Schritt FORMULA von kleiner, aber fester Laenge, so aendert sich FORMULA um FORMULA.

Gelten ITEM - ITEM, so ist die Zerlegung in ITEM eindeutig bestimmt; sie heisst die \define{Cholesky-Zerlegung} von FORMULA.

Gelten die Voraussetzungen von ITEM, so nennen wir FORMULA regulaer und definieren den Abbildungsgrad durch die Formel EQN.

Gelten die Voraussetzungen von ITEM, so nennen wir FORMULA regulaer und definieren den Abbildungsgrad durch die Formel EQN.

Gelten diese Aussagen, so existiert eine Zerlegung DISPLAY wo FORMULA eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonale die Eigenwerte von FORMULA entsprechend ihrer Vielfachheit enthaelt, und FORMULA ein Isomorphismus ist, dessen Spalten zugehoerige Eigenvektoren sind.

Genaue Definitionen von FORMULA werden in Kapitel 3 gegeben; bis dahin benutzen wir diese Mengen nur fuer Beispiele.

Genauer kann man fuer das Restglied die Formel DISPLAY zeigen (s. etwa Forster I, \S20, Satz REF).

Genauso sieht man FORMULA.

Geometrisch bildet der orthogonale Projektor also einen Punkt FORMULA auf den am naechsten liegenden Punkt FORMULA von FORMULA ab; die Gerade durch FORMULA und FORMULA ist parallel zu FORMULA und steht senkrecht auf FORMULA.

Geschlossene "eifoermige" Kurven im FORMULA lassen sich in Polarkoordinaten durch die Gleichung FORMULA darstellen, mit FORMULA.

Gibt es ein FORMULA mit FORMULA, so findet man fuer das kleinste solche FORMULA durch Ausklammern von FORMULA, dass sich FORMULA in einer Umgebung von FORMULA als FORMULA mit einer in dieser Umgebung analytischen Funktion FORMULA mit FORMULA schreiben laesst.

Gibt es eine reelle Folge FORMULA mit DISPLAY derart, dass FORMULA konvergiert, so ist FORMULA absolut konvergent.

Gilt DISPLAY so gibt es zu jedem FORMULA einen Index FORMULA mit DISPLAY

Gilt DISPLAY so ist die Reihe FORMULA absolut konvergent und fuer den Grenzwert FORMULA gilt die Fehlerabschaetzung DISPLAY

Gilt DISPLAY und ist DISPLAY so konvergiert FORMULA gegen FORMULA, und fuer den Wert FORMULA der Summe gilt die Fehlerabschaetzung DISPLAY

Gilt EQN fuer ein FORMULA, so folgt DISPLAY also gilt EQN fuer FORMULA statt FORMULA, und daher allgemein.

Gilt EQN, so ist FORMULA und DISPLAY Ist FORMULA, so ist FORMULA.

Gilt FORMULA, so gibt es eine Zahl FORMULA mit FORMULA fuer genuegend grosse FORMULA, und FORMULA ist fuer FORMULA eine konvergente Majorante (Beispiel REF).

Gilt Gleichheit in EQN, so folgt aus EQN FORMULA, also FORMULA, d.h. FORMULA und FORMULA sind parallel.

Gilt ausserdem FORMULA, so heisst FORMULA ein \define{Wahrscheinlichkeitsmass}.

Gilt beides, so ist FORMULA, und fuer FORMULA (folgt nach Division durch FORMULA, im Widerspruch zu (B1).

Gilt umgekehrt EQN, so erhalten wir durch Anwenden auf FORMULA DISPLAY Nun ist DISPLAY Da auch FORMULA gilt, ist das Produkt nur dann FORMULA,wenn FORMULA und FORMULA, also FORMULA ist; in diesem Fall hat EQN den Wert FORMULA.

Gilt umgekehrt FORMULA, so folgt aus EQN DISPLAY also konvergieren die Koordinaten.

Gleichheit kann nur dann gelten, wenn FORMULA; durch Multiplikation mit FORMULA ergibt sich daraus aber FORMULA, also FORMULA.

Gleichung EQN laesst sich als lineare Differentialgleichung fuer den Zustand DISPLAY im \define{Phasenraum} FORMULA schreiben: DISPLAY mit DISPLAY Wir koennen die Gesamtheit der Loesungen also nach dem Superpositionsprinzip bestimmen.

Gleichzeitig geben wir dem Integral die traditionelle Interpretation als Flaecheninhalt.

Grenzwerte beschreiben das Verhalten im Unendlichen oder am Rande von Defini-tionsbereichen.

Haben FORMULA und FORMULA dasselbe Bild, so ist FORMULA also ist FORMULA injektiv.

Haben alle Aussagen FORMULA die Wahrscheinlichkeit FORMULA, so ist FORMULA die Wahrscheinlichkeit der \define{relativen Haeufigkeit} DISPLAY Ausserdem gilt fuer alle FORMULA, FORMULA und FORMULA die Beziehung DISPLAY

Haben umgekehrt FORMULA und FORMULA denselben Rang FORMULA und dieselbe Signatur FORMULA, so betrachten wir die unitaeren Spektralzerlegungen FORMULA und FORMULA.

Haengt das Integral FORMULA nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve FORMULA in FORMULA ab, so ist die Matrix FORMULA fuer alle FORMULA symmetrisch.

Haetten wir die Existenz des Integrals von FORMULA schon gewusst, waere der Beweis von EQN eine direkte Konsequenz von Satz REF gewesen.

Haeufig kann man fuer FORMULA eine affine Funktion waehlen!

Haeufig kann man fuer FORMULA eine affine Funktion waehlen!

Hamilton-Operators FORMULA spielt eine zentrale Rolle; es besteht aus der Gesamtheit der Energieniveaus, die ein System von Teilchen annehmen kann.

Hat FORMULA aber linear abhaengige Spalten, so muss man das Verfahren geringfuegig abaendern, da dann der Vektor EQN verschwinden kann.

Hat FORMULA eine eindeutige Nullstelle FORMULA, ist FORMULA nichtsingulaer, und gibt es eine Homotopie zwischen FORMULA und FORMULA mit DISPLAY so hat FORMULA mindestens eine Nullstelle in FORMULA.

Hat FORMULA eine eindeutige Nullstelle FORMULA, ist FORMULA nichtsingulaer, und gibt es eine Homotopie zwischen FORMULA und FORMULA mit DISPLAY so hat FORMULA mindestens eine Nullstelle in FORMULA.

Hat FORMULA in FORMULA ein lokales Minimum (bzw. Maximum) ueber DISPLAY und hat FORMULA den Rang FORMULA, so gibt es einen Vektor FORMULA derart, dass FORMULA ein stationaerer Punkt der durch DISPLAY definierten \define{Lagrange-Funktion} FORMULA ist und die Komplementaritaetsbedingungen DISPLAY gelten.

Hat FORMULA in FORMULA ein lokales Minimum (bzw. Maximum) ueber FORMULA und hat FORMULA den Rang FORMULA, so gibt es einen Vektor FORMULA derart, dass FORMULA ein stationaerer Punkt der durch DISPLAY definierten \define{Lagrange-Funktion} FORMULA ist.

Hat FORMULA) kompakten Traeger und gilt DISPLAY so gibt es ein FORMULA derart dass DISPLAY Ist FORMULA ein Quader, der FORMULA enthaelt, so kann man FORMULA so waehlen, dass auch FORMULA.

Hat FORMULA) kompakten Traeger und gilt DISPLAY so gibt es ein FORMULA derart dass DISPLAY Ist FORMULA ein Quader, der FORMULA enthaelt, so kann man FORMULA so waehlen, dass auch FORMULA.

Hat jedes Element FORMULA hoechstens ein Urbild, so heisst FORMULA \define{injektiv}.

Herausheben der FORMULA Faktoren FORMULA in den ersten FORMULA Spalten der Determinante FORMULA zeigt, dass die algebraische Vielfachheit von FORMULA mindestens FORMULA ist.

Hier brauchen wir nur einige Abschaetzungen.

Hier ist FORMULA und FORMULA ist die Richtung der Normalen zur Hyperebene.

Hier wird von der Regel FORMULA fueer die \define{Transponierte} FORMULA mit den Komponenten FORMULA (Spiegelung der MAtrix an der Hauptdiagonalen) Gebrauch gemacht.

Hierbei benutzten wir in EQN die Relation DISPLAY (Aufgabe 19 ITEM vom letzten Semester).

Hilbertraum, und das Spektrum des sogen.

ITEM (C2) ist dadurch motiviert, dass wir erwarten, dass (in reibungsfreien Systemen) die Zeitumkehr nichts Wesentliches aendert; die Gueltigkeit von (C2) haengt aber nicht von physikalischer Intuition ab, sondern wird einfach verlangt.

ITEM (C3) ist der Satz von Pythagoras. Was in der Schule ein aus der Anschauung beweisbarer Satz war, ist hier ein Ausgangspunkt, der wieder einfach verlangt wird.

ITEM (Fuer FORMULA Mit FORMULA ist FORMULA und FORMULA, also folgt die Behauptung aus dem Satz von der majorisierten Konvergenz.

ITEM (\define{Satz von Bolzano-Weierstrass}) Jede beschraenkte Folge aus FORMULA hat mindestens einen Haeufungspunkt.

ITEM (\define{Satz von Heine-Borel}) Eine Teilmenge von FORMULA ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschraenkt ist.

ITEM (ii-iii) EQN und EQN gelten, da die Umkehrfunktion FORMULA monoton wachsend, positiv und unbeschraenkt ist.

ITEM -- ITEM folgen sofort aus ITEM und ITEM und Satz REF.

ITEM Abzaehlbare Teilmengen des FORMULA sind Nullmengen.

ITEM Addiert man zu einer Zeile (oder Spalte) von FORMULA das PREFIX fache einer anderen Zeile (oder Spalte), so aendert sich FORMULA nicht.

ITEM Aehnliche Matrizen FORMULA und FORMULA haben dieselben Eigenwerte und dasselbe charakteristische Polynom FORMULA.

ITEM Aehnliche lineare Selbstabbildungen haben dasselbe Spektrum.

ITEM Alle fuehrenden Unterdeterminanten FORMULA (FORMULA) sind positiv.

ITEM Alle fuehrenden Untermatrizen FORMULA (FORMULA) sind positiv definit.

ITEM Allgemein ergeben sich aus FORMULA und FORMULA die Optimalitaetsbedingungen DISPLAY

ITEM Angenommen, die Folge FORMULA aus FORMULA habe keinen Haeufungspunkt in FORMULA.

ITEM Aus DISPLAY folgt fuer die Folge FORMULA in FORMULA die Beziehung DISPLAY ITEM Die Folge FORMULA aus FORMULA konvergiert genau dann gegen FORMULA, wenn fuer FORMULA die Komponentenfolgen FORMULA gegen FORMULA konvergieren.

ITEM Aus EQN bzw. EQN und der Fehlerabschaetzung in Satz REF folgt fuer die Teilsummen im Fall ITEM DISPLAY falls man die Konstanten in den Landau-Symbolen kennt, kann man den Fehler auch genau abschaetzen.

ITEM Aus EQN folgt DISPLAY da alle Koeffizienten in EQN ausser FORMULA selbst bei Variation von FORMULA Konstanten sind.

ITEM Aus FORMULA folgt EQN, und fuer FORMULA folgt FORMULA, also FORMULA.

ITEM Aus FORMULA folgt FORMULA und FORMULA durch Multiplikation mit FORMULA von links bzw. rechts. Umgekehrt folgt aus FORMULA, dass FORMULA surjektiv ist, als quadratische Matrix also regulaer, und dann ergibt sich FORMULA durch Multiplikation mit FORMULA von links. Ebenso folgt aus FORMULA, dass FORMULA injektiv ist, als quadratische Matrix also regulaer, und dann ergibt sich FORMULA durch Multiplikation mit FORMULA von rechts. ITEM FORMULA ist eine reelle Zahl (konjugieren aendert nichts), also FORMULA und DISPLAY ITEM Sind FORMULA und FORMULA unitaere PREFIX Matrizen, so gilt fuer FORMULA die Gleichung FORMULA, also ist auch FORMULA unitaer.

ITEM Aus FORMULA folgt naemlich FORMULA.

ITEM Aus FORMULA mit FORMULA und FORMULA folgt die Behauptung mit ITEM.

ITEM Aus FORMULA mit beschraenktem FORMULA und FORMULA folgt naemlich FORMULA.

ITEM Aus Proposition REF folgt, dass mit FORMULA auch FORMULA in FORMULA liegt, also ist FORMULA wohldefiniert.

ITEM Aus einer permutierten Dreieckszerlegung FORMULA bekommt man FORMULA spaltenweise durch Loesen der dreieckigen Gleichungssysteme FORMULA (FORMULA).

ITEM Bei Skalarfeldern FORMULA schreibt man statt FORMULA kuerzer FORMULA

ITEM Bei \define{geringer} Reibung ist FORMULA und DISPLAY woraus sich die Loesungen DISPLAY (und ihre Linearkombinationen -- sogenannte \define{gedaempfte harmonische Schwingungen}) ergeben.

ITEM Da FORMULA ein Gebiet ist, gibt es eine Umgebung FORMULA von FORMULA mit FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM Da FORMULA eine konvergente Majorante von FORMULA ist, ist diese Summe absolut konvergent.

ITEM Da FORMULA kompakt ist und FORMULA stetig, nimmt FORMULA sein Maximum an, ist also beschraenkt.

ITEM Da FORMULA konvex ist, ist fuer feste FORMULA durch DISPLAY ein glatter Weg FORMULA definiert, mit Ableitung FORMULA Wegen EQN gilt fuer FORMULA DISPLAY mit einer durch FORMULA definierten Funktion FORMULA.

ITEM Da FORMULA lokalkompakt ist, gibt es zu jedem FORMULA eine kompakte Umgebung FORMULA, nach Definition einer Umgebung also auch eine offene Umgebung FORMULA.

ITEM Da FORMULA regulaer ist, folgt aus FORMULA, dass FORMULA und FORMULA denselben Rang haben.

ITEM Da unitaere Matrizen regulaer sind, haben FORMULA und FORMULA denselben Rang, und wegen FORMULA ist FORMULA.

ITEM Das Anfangswertproblem DISPLAY hat fuer FORMULA die eindeutige Loesung FORMULA, wobei DISPLAY die sogenannte \define{Exponentialfunktion} FORMULA mit FORMULA definiert.

ITEM Das Bild FORMULA besteht aus den Vektoren FORMULA mit FORMULA.

ITEM Das Borel-Mass FORMULA existiert fuer beliebige Mengen FORMULA, hat aber -- wie wie sehen werden -- nur fuer messbare Mengen FORMULA die gewuenschten Eigenschaften beim Zusammensetzen von Mengen.

ITEM Das Punktspektrum von FORMULA ist stets im Spektrum FORMULA enthalten.

ITEM Das Spektrum FORMULA ist nichtleer und endlich; es besteht genau aus den Eigenwerten von FORMULA.

ITEM Das Volumen einer PREFIX dimensionalen (Euklidischen) Kugel vom Radius FORMULA ist FORMULA.

ITEM Das Volumen eines von den Punkten FORMULA aufgespannten \define{Simplex} DISPLAY ist FORMULA.

ITEM Das Volumen eines von den Vektoren FORMULA im FORMULA aufgespannten \define{Parallelotops} (oder \define{Parallelepipeds}) DISPLAY ist FORMULA.

ITEM Das \define{kartesische Produkt} der Mengen FORMULA und FORMULA ist die Menge FORMULA aller \define{Paare} FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

ITEM Das charakteristische Polynom hat den hoechsten Koeffizienten FORMULA, also die Faktorzerlegung DISPLAY Fuer FORMULA ergibt sich die Determinantenformel.

ITEM Das folgt sofort aus Satz REF, da die Loesung von FORMULA genau dann immer existiert und eindeutig ist, wenn FORMULA, FORMULA, FORMULA, also wenn FORMULA fuer FORMULA.

ITEM Das folgt wegen FORMULA bzw. FORMULA

ITEM Das lineare Gleichungssystem DISPLAY laesst sich in Matrixform als FORMULA mit DISPLAY schreiben.

ITEM Das vervollstaendigte Stieltjes-Integral wird wieder mit FORMULA bezeichnet.

ITEM Der Beweis wird konstruktiv mit dem \define{Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt} gefuehrt.

ITEM Der Durchschnitt von beliebig vielen abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen; die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.

ITEM Der Grenzwert jeder \define{gleichmaessig} konvergierenden Folge FORMULA von stetigen Funktionen FORMULA ist stetig.

ITEM Der Raum FORMULA aller Treppenfunktionen ist ein absoluter Funktionenraum.

ITEM Der Weg FORMULA mit FORMULA ist wegen DISPLAY ein PREFIX Weg.

ITEM Der Weg FORMULA mit FORMULA verbindet die Punkte FORMULA, und wegen FORMULA fuer FORMULA liegt der ganze Weg in FORMULA; also gilt (G2).

ITEM Der Winkel haengt nur von den Richtungen von FORMULA ab: Ist FORMULA mit FORMULA, so gilt FORMULA.

ITEM Der \define{Rang} eines Gleichungssystems EQN ist der Rang der Koeffizientenmatrix, FORMULA.

ITEM Der \define{Tangentenialraum} FORMULA einer PREFIX Flaeche FORMULA im Punkt FORMULA besteht aus allen Vektoren FORMULA, fuer die es einen PREFIX Weg FORMULA mit FORMULA und FORMULA gibt.

ITEM Der \define{Traeger} (engl. support) von FORMULA ist die kleinste abgeschlossene Menge FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

ITEM Die Abbildung FORMULA ist durch die Forderung EQN eindeutig bestimmt, und heisst die \define{Ableitung} von FORMULA.

ITEM Die Abbildung FORMULA mit FORMULA heisst \define{Identitaet} auf FORMULA; wir bezeichnen sie immer mit FORMULA.

ITEM Die Ableitung FORMULA ist eine lineare Selbstabbildung des Vektorraums FORMULA der beliebig oft differenzierbaren Wege im FORMULA.

ITEM Die Assoziativitaet FORMULA gilt wegen EQN.

ITEM Die Aussage EQN gilt nach Definition von FORMULA, und die Abschaetzung EQN folgt aus dem folgenden Hilfssatz (mit FORMULA).

ITEM Die Aussagen fuer FORMULA folgen analog.

ITEM Die Definition einer Abkuerzung FORMULA fuer eine Formel FORMULA schreiben wir als FORMULA (oder FORMULA), aber FORMULA falls FORMULA ein logischer Ausdruck ist.

ITEM Die Diagonalelemente FORMULA sind durch FORMULA eindeutig bestimmt.

ITEM Die Eigenwerte einer quadratischen Dreiecksmatrix sind genau ihre Diagonalelemente.

ITEM Die Eigenwerte von FORMULA sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von FORMULA.

ITEM Die Exponentialfunktion ist periodisch mit der Periode FORMULA.

ITEM Die Funktion FORMULA (bzw. FORMULA) ist im Intervall FORMULA (bzw. FORMULA streng monoton fallend (bzw. wachsend) und hat dort das Bild FORMULA.

ITEM Die Funktion FORMULA und FORMULA sind periodisch mit der Periode FORMULA.

ITEM Die Hessematrix ist ein Mass fuer die Abweichung vom linearen Verhalten von FORMULA.

ITEM Die Kommutativitaet ist als Axiom (K1) gefordert.

ITEM Die Linearitaet in jedem Argument ergibt sich aus den entsprechenden Eigenschaften von det und FORMULA.

ITEM Die Loesungen eines loesbaren linearen Gleichungssystems FORMULA (FORMULA, FORMULA) bilden eine affine Menge der Dimension FORMULA.

ITEM Die Matrix FORMULA aus dem vorigen Beispiel hat die beiden linear unabhaengigen Eigenvektoren FORMULA und FORMULA zu den Eigenwerten FORMULA und FORMULA.

ITEM Die Matrix FORMULA entsteht aus FORMULA, indem man fuer FORMULA von der jten Zeile von FORMULA das PREFIX Fache der Linearkombination FORMULA aller Zeilen von FORMULA abzieht: FORMULA.

ITEM Die Matrix FORMULA hat FORMULA als charakteristisches Polynom und daher den einzigen Eigenwert FORMULA mit algebraischer Vielfachheit 2.

ITEM Die Matrix FORMULA ist wegen DISPLAY hermitesch, hat also reelle Diagonalelemente.

ITEM Die Maximalzahl linear unabhaengiger Spalten von FORMULA ist FORMULA.

ITEM Die Maximalzahl linear unabhaengiger Zeilen von FORMULA ist FORMULA.

ITEM Die Menge DISPLAY ist ein Unterraum von FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

ITEM Die Menge EQN ist genau dann ein Ellipsoid, wenn FORMULA positiv definit ist und es einen Punkt FORMULA mit FORMULA gibt.

ITEM Die Menge FORMULA aller nicht regulaeren Punkte von FORMULA heisst das \define{Spektrum} von FORMULA, und die Menge aller Eigenwerte von FORMULA heisst das \define{Punktspektrum} von FORMULA.

ITEM Die Menge FORMULA aller unitaeren PREFIX Matrizen ueber FORMULA bildet eine Gruppe.

ITEM Die Menge FORMULA der reellen Zahlen ist ein Koerper.

ITEM Die Menge FORMULA ist kompakt, also nimmt die stetige Funktion FORMULA auf FORMULA ihr Minimum an einem Punkt FORMULA an, und nach Konstruktion von FORMULA ist FORMULA.

ITEM Die Menge der Transformationen FORMULA mit FORMULA bilden eine nichtabelsche Gruppe, falls FORMULA mehr als zwei Elemente enthaelt: Es ist FORMULA also DISPLAY Vertauscht man hier FORMULA und FORMULA, so findet man DISPLAY Fuer FORMULA und FORMULA ist FORMULA also ist das Kommutativgesetz verletzt.

ITEM Die Menge der \define{Streckungen} FORMULA mit FORMULA bilden eine abelsche Gruppe, es ist FORMULA und FORMULA.

ITEM Die Menge der \define{Translationen} FORMULA mit FORMULA bilden eine abelsche Gruppe.

ITEM Die Mengen DISPLAY heissen die \define{abgeschlossene} (bzw. \define{offene}) \define{Euklidische Kugel} um FORMULA mit \define{Radius} FORMULA.

ITEM Die Moebiustransformationen sind bijektiv und bilden eine Gruppe.

ITEM Die Multilinearitaet uebertraegt sich von FORMULA sofort auf FORMULA; ebenso die Tatsache, dass FORMULA alternierend ist.

ITEM Die PREFIX Matrix FORMULA heisst der zur Karte FORMULA gehoerige \define{metrische Tensor}.

ITEM Die Reihe EQN heisst \define{absolut konvergent}, falls FORMULA konvergiert, und die Summe EQN heisst \define{absolut konvergent}, falls (mindestens) eine Anordnung von FORMULA konvergiert; offensichtlich ist dann FORMULA auch absolut konvergent.

ITEM Die Saetze REF - REF gelten nicht mehr fuer komplexwertige oder vektorwertige Funktionen! ITEM Die Formel EQN, oder FORMULA ist auch eine Art Linearisierung von FORMULA, aber statt den Fehlerterm wegzuwerfen, wird der Fehler in das Argument FORMULA gesteckt, von dem man jetzt nur noch die ungenaue Information FORMULA hat.

ITEM Die Spalten von FORMULA sind wegen DISPLAY Eigenvektoren zu den Eigenwerten FORMULA.

ITEM Die Spalten von FORMULA, die sogen.

ITEM Die Unstetigkeitsstellen von FORMULA (und damit evtl.

ITEM Die Vereinigung und der Durchschnitt abzaehlbar vieler messbarer Mengen ist wieder messbar.

ITEM Die Vereinigung von abzaehlbar vielen Nullmengen ist wieder Nullmenge.

ITEM Die Zahlengerade FORMULA ist nicht kompakt, da man aus der Ueberdeckung mit den offenen Intervallen FORMULA gar keine echte Teilueberdeckung auswaehlen kann, erst recht also keine endliche: ITEM Auch das offene Intervall FORMULA ist nicht kompakt.

ITEM Die Zufallsvariablen FORMULA heissen \define{paarweise unabhaengig}, falls DISPLAY und alle Funktionen FORMULA mit FORMULA.

ITEM Die \define{Transponierte} der Matrix FORMULA ist die Matrix FORMULA mit den Komponenten FORMULA ITEM Ist FORMULA ein Zahlkoerper, so heisst die Matrix FORMULA mit den Komponenten FORMULA die \define{konjugiert Transponierte} der Matrix FORMULA.

ITEM Die \define{aeussere Ableitung} einer stetig differenzierbaren PREFIX Form FORMULA ist die (FORMULA)-Form FORMULA mit DISPLAY ITEM Eine (FORMULA)-Form heisst \define{exakt} (oder \define{total}), falls sie sich in der Form FORMULA mit einer PREFIX Form FORMULA schreiben laesst.

ITEM Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts FORMULA von FORMULA ist mindestens so gross wie seine geometrische Vielfachheit FORMULA.

ITEM Die einzigen ganzen Funktionen FORMULA mit DISPLAY sind die Polynome vom Grad FORMULA.

ITEM Die fuer Skalarfelder FORMULA ebenfalls sinnvolle Kombination DISPLAY verschwindet im Allgemeinen nicht.

ITEM Die meisten Argumente entsprechen denen im Beweis zum Satz REF, wobei FORMULA und FORMULA durch FORMULA und FORMULA zu ersetzen sind.

ITEM Die obige Identifikation legt ausserdem nahe, allgemein die Menge aller Abbildungen von FORMULA nach FORMULA mit FORMULA zu bezeichnen, so dass FORMULA wird.

ITEM Die rechte Seite ist FORMULA, und der zweite Term faellt weg, da zwei Argumente gleich sind.

ITEM Division von FORMULA durch FORMULA ergibt DISPLAY ITEM Division von FORMULA durch FORMULA ergibt DISPLAY Fuer FORMULA reduziert sich die rechte Seite auf FORMULA; also ist FORMULA, und der Faktor FORMULA erweist sich als die Steigung FORMULA.

ITEM Durch DISPLAY wird im Konvergenzkreis FORMULA der Reihe eine Funktion FORMULA mit FORMULA definiert.

ITEM Durchschnitt und Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen (bzw. offenen) Mengen sind abgeschlossen (bzw. offen).

ITEM EQN -- EQN folgen direkt aus Proposition REF und der Definition der PREFIX Norm.

ITEM EQN besagt, dass fuer grosse FORMULA die FORMULA beliebig nahe beisammen bleiben, sich also irgendwo im Raum haeufen - an einem Haeufungspunkt oder einem 'Loch', und ein Banachraum ist daher anschaulich ein 'Raum ohne Loecher'.

ITEM EQN fogt aus EQN wegen FORMULA, und EQN folgen aus FORMULA.

ITEM EQN gilt, da in der Summe EQN nur der Term mit FORMULA beitraegt.

ITEM Ein Ausdruck der Form DISPLAY mit Koeffizienten FORMULA heisst \define{(unendliche) Reihe}.

ITEM Ein Gebiet FORMULA heisst \define{einfach zusammenhaengend}, wenn alle Wege mit denselben Anfangs- und Endpunkten zueinander homotop sind.

ITEM Ein Hausdorffraum FORMULA heisst \define{wegzusammenhaengend}, falls es zu je zwei Punkten FORMULA einen Weg FORMULA gibt.

ITEM Ein Polynom FORMULA vom Grad FORMULA hat hoechstens FORMULA verschiedene Nullstellen FORMULA.

ITEM Ein Unterraum FORMULA von FORMULA heisst \define{invariant} bzgl.

ITEM Ein \define{Experiment} ist ein Element von FORMULA; das Paar FORMULA wird als \define{Ensemble} von Experimenten bezeichnet.

ITEM Ein \define{Orthonormalsystem} ist eine Menge paarweise orthogonaler Vektoren der Laenge 1.

ITEM Ein inhomogenes Gleichungssystem EQN ist genau dann eindeutig loesbar, wenn die rechte Seite FORMULA im Bildraum von FORMULA liegt und das zugehoerige homogene Gleichungssystem nur die triviale Loesung hat.

ITEM Ein inhomogenes Gleichungssystem mit gleich vielen Gleichungen wie Unbekannten ist genau dann eindeutig loesbar, wenn das zugehoerige homogene Gleichungssystem nur die triviale Loesung hat.

ITEM Ein monotones lineares Funktional FORMULA auf einem absoluten Funktionenraum FORMULA heisst ein \define{Integral} auf FORMULA, falls die \define{Integraleigenschaft} DISPLAY gilt.

ITEM Eindeutigkeit.

ITEM Eindeutigkeit.

ITEM Eindeutigkeit: Angenommen, die geforderten Eigenschaften gelten fuer FORMULA und FORMULA statt FORMULA.

ITEM Eine Abbildung FORMULA, die jeder messbaren Menge FORMULA einer PREFIX Algebra FORMULA ein FORMULA zuordnet, heisst ein \define{Mass} (ueber FORMULA), falls die Axiome REF - REF gelten.

ITEM Eine Folge hat hoechstens einen Grenzwert.

ITEM Eine Funktion FORMULA heisst \define{analytisch} (oder \define{holomorph}) im Gebiet FORMULA, falls FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar ist.

ITEM Eine Funktion FORMULA heisst \define{periodisch} mit der Periode FORMULA, falls FORMULA und FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM Eine Funktion FORMULA heisst \define{rotationssymmetrisch}, falls es eine Funktion FORMULA gibt mit FORMULA und DISPLAY

ITEM Eine Funktion FORMULA heisst \define{stueckweise monoton}, falls es endlich viele Punkte FORMULA gibt, so dass FORMULA in jedem Intervall FORMULA monoton wachsend oder monoton fallend ist.

ITEM Eine Gruppe FORMULA heisst \define{abelsch}, falls das Kommutativgesetz FORMULA fuer alle FORMULA gilt.

ITEM Eine Matrix FORMULA heisst \define{unitaer}, falls sie regulaer ist und FORMULA gilt.

ITEM Eine Matrix FORMULA, die alle Einheitsvektoren FORMULA (FORMULA) als Eigenvektoren hat, ist eine Diagonalmatrix.

ITEM Eine Menge FORMULA heisst \define{p-Flaeche} oder \define{p-dimensionale Mannigfaltigkeit}, falls es eine Familie von PREFIX Karten FORMULA gibt mit DISPLAY Die Menge FORMULA heisst dann ein \define{Atlas} fuer FORMULA, und jede PREFIX Karte FORMULA mit FORMULA heisst eine \define{Karte von} FORMULA.

ITEM Eine Menge FORMULA ist genau dann ein Gebiet, wenn FORMULA offen ist und es keine nichtleere, echte offene Teilmenge FORMULA von FORMULA gibt, die relativ zu FORMULA abgeschlossen ist.

ITEM Eine PREFIX Form FORMULA heisst \define{geschlossen}, falls FORMULA.

ITEM Eine PREFIX Linearform B heisst \define{symmetrisch}, falls DISPLAY und \define{alternierend}, falls DISPLAY (Als Grenzfaelle sind PREFIX Linearformen mit FORMULA zugleich symmetrisch und alternierend.) ITEM Eine alternierende PREFIX Linearform wird kurz als \define{p-Form} bezeichnet; die Menge aller PREFIX Formen ueber FORMULA (mit Werten in FORMULA) ist ein Vektorraum, der mit FORMULA (gelesen "Dach- FORMULA von FORMULA ") bezeichnet wird.

ITEM Eine Teilmenge FORMULA heisst \define{beschraenkt}, falls eine Zahl FORMULA mit DISPLAY existiert.

ITEM Eine Zahl FORMULA heisst \define{nichtnegativ}, falls FORMULA.

ITEM Eine \define{(glatte) p-Karte} ist eine injektive Abbildung FORMULA mit FORMULA offen und DISPLAY Ein \define{p-Flaechenstueck} ist das Bild FORMULA einer PREFIX Karte FORMULA.

ITEM Eine \define{(unendliche) Summe} ist ein Ausdruck der Form DISPLAY mit einer abzaehlbar unendlichen Indexmenge FORMULA und einer Familie FORMULA mit Werten FORMULA.

ITEM Eine \define{Abbildungsgruppe} auf FORMULA ist eine Menge FORMULA von bijektiven Abbildungen von FORMULA nach FORMULA mit den Eigenschaften FORMULA ITEM Eine (abstrakte) \define{Gruppe} ist eine nichtleere Menge FORMULA von Elementen mit einer Multiplikation, die zwei Elementen FORMULA ein \define{Produkt} FORMULA so zuordnet, dass FORMULA (Assoziativgesetz) gilt, und wo jedem FORMULA eine \define{Inverse} FORMULA so zugeordnet ist, dass FORMULA.

ITEM Eine \define{Abbildung} FORMULA (gelesen: " FORMULA von FORMULA nach FORMULA ") ist eine Vorschrift, die jedem Element FORMULA der Menge FORMULA =: Def FORMULA dem \define{Definitionsbereich} von FORMULA ein \define{Bild} FORMULA (gelesen: " FORMULA von FORMULA) aus der Menge FORMULA (dem \define{Zielbereich} von FORMULA) zuordnet.

ITEM Eine \define{Aussage} ist eine Abbildung FORMULA (engl. true = wahr, false = falsch) derart, dass die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA in FORMULA liegt.

ITEM Eine \define{Inversion} der Permutation FORMULA ist ein Paar FORMULA mit FORMULA und FORMULA; FORMULA heisst \define{gerade (ungerade)} falls die Zahl der Inversionen von FORMULA gerade (ungerade) ist.

ITEM Eine \define{Menge} FORMULA besteht aus Objekten mit (in irgendeiner Hinsicht) gleichen Eigenschaften.

ITEM Eine \define{Permutationsmatrix} ist eine Matrix FORMULA mit den Komponenten DISPLAY wobei FORMULA eine Permutation der Zahlen FORMULA ist.

ITEM Eine \define{Rang PREFIX Matrix} ist eine Matrix der Form FORMULA mit den Komponenten DISPLAY

ITEM Eine \define{Teilfolge} der Folge FORMULA (FORMULA) ist eine Folge der Form FORMULA (FORMULA), wobei die FORMULA (FORMULA) eine unbeschraenkte Folge natuerlicher Zahlen bilden.

ITEM Eine \define{linke untere Dreiecksmatrix} ist eine Matrix FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

ITEM Eine \define{rechte obere Dreiecksmatrix} ist eine Matrix FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA ITEM Eine \define{Diagonalmatrix} ist eine Matrix FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

ITEM Eine abgeschlossene Menge FORMULA enthaelt zu jedem FORMULA die PREFIX Umgebung FORMULA, die abgeschlossen und beschraenkt ist, im FORMULA also kompakt.

ITEM Eine geschlossene Kurve FORMULA heisst \define{positiv orientiert}, falls sie einfach ist, in einem Gebiet der Form FORMULA liegt und dort zur Kreislinie FORMULA homotop ist.

ITEM Eine hermitesche Matrix FORMULA ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte von FORMULA positiv sind.

ITEM Eine hermitesche Matrix FORMULA ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte von FORMULA nichtnegativ sind.

ITEM Eine im Gebiet FORMULA analytische Funktion FORMULA hat in jeder kompakten Teilmenge FORMULA hoechstens endlich viele Nullstellen.

ITEM Eine in FORMULA differenzierbare Funktion FORMULA ist genau dann stetig, wenn FORMULA fuer alle FORMULA beschraenkt ist.

ITEM Eine komplexe Zahl FORMULA heisst \define{Eigenwert} von FORMULA, falls FORMULA.

ITEM Eine komplexe Zahl FORMULA heisst \define{regulaerer Punkt} von FORMULA, falls FORMULA eine beschraenkte Inverse hat.

ITEM Eine lineare Abbildung FORMULA heisst \define{Linearform} (= PREFIX Linearform) (oder \define{lineares Funktional}, wenn FORMULA ein Funktionenraum ist).

ITEM Eine offene Menge FORMULA enthaelt zu jedem FORMULA eine PREFIX Umgebung FORMULA, die im FORMULA kompakt ist.

ITEM Eine periodische Funktion FORMULA mit Periode FORMULA heisst \define{stueckweise monoton} (bzw. \define{stetig}, bzw. \define{PREFIX mal stetig differenzierbar}), falls FORMULA diese Eigenschaft im Intervall FORMULA besitzt.

ITEM Eine quadratische Matrix FORMULA heisst \define{positiv definit}, falls DISPLAY und \define{positiv semidefinit}, falls DISPLAY (Fuer FORMULA ist in diesen Formeln das FORMULA ueberfluessig.) ITEM FORMULA heisst \define{negativ (semi)definit}, falls FORMULA positiv (semi)definit ist.

ITEM Eine quadratische Matrix FORMULA ist genau dann positiv (semi)definit, wenn die hermitesche Matrix FORMULA positiv (semi)definit ist.

ITEM Eine quadratische Matrix FORMULA mit permutierter Dreieckszerlegung FORMULA ist genau dann regulaer, wenn FORMULA regulaer ist.

ITEM Eine quadratische obere Dreiecksmatrix FORMULA ist genau dann regulaer, wenn alle Diagonalelemente FORMULA (FORMULA) von Null verschieden sind.

ITEM Eine reelle Folge mit Grenzwert Null heisst \define{Nullfolge}.

ITEM Elemente von FORMULA heissen \define{Zahlen}.

ITEM Ersetzt man eine Zeile (oder Spalte) von FORMULA durch ihr PREFIX faches, so multipliziert sich FORMULA mit FORMULA.

ITEM Es gelten die Formeln DISPLAY ITEM FORMULA ist genau dann invertierbar, wenn FORMULA.

ITEM Es gelten die Regeln DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY

ITEM Es gelten die Ungleichungen DISPLAY ITEM Fuer FORMULA gilt DISPLAY ITEM Fuer FORMULA gilt DISPLAY ITEM Fuer FORMULA gilt DISPLAY

ITEM Es gelten die \define{Additionstheoreme} DISPLAY DISPLAY

ITEM Es genuegt, zu zeigen, dass das Komplement offen ist.

ITEM Es gibt Konstanten FORMULA mit DISPLAY ITEM Eine Folge FORMULA aus FORMULA konvergiert genau dann gegen FORMULA, wenn die Folge FORMULA ihrer Koordinaten gegen die Koordinaten FORMULA von FORMULA konvergieren.

ITEM Es gibt ein FORMULA, so dass die Potenzreihe EQN fuer alle FORMULA mit FORMULA divergiert und fuer alle FORMULA mit FORMULA konvergiert.

ITEM Es gibt eindeutig bestimmte Matrizen FORMULA (naemlich die orthogonalen Projektoren FORMULA auf die Eigenraeume FORMULA) mit den Eigenschaften DISPLAY Man nennt FORMULA die zu FORMULA gehoerige \define{Spektralschar}.

ITEM Es gibt eine eindeutige Zerlegung DISPLAY mit einem Polynom FORMULA ohne Nullstellen und natuerlichen Zahlen FORMULA.

ITEM Es gibt eine offene Menge FORMULA und eine kompakte Menge FORMULA mit FORMULA.

ITEM Es gibt genau eine PREFIX Linearform FORMULA ueber FORMULA mit vorgegebenen Koordinaten EQN im Koordinatensystem FORMULA, naemlich die PREFIX Linearform FORMULA mit DISPLAY ITEM In einem beliebigen anderen Koordinatensystem FORMULA hat FORMULA die Koordinaten DISPLAY wobei FORMULA die Transformationsmatrix zwischen den Koordinatensystemen ist.

ITEM Es gilt DISPLAY ITEM Die Funktion FORMULA ist im Gebiet FORMULA stetig differenzierbar; der Gradient DISPLAY ist der auf die Laenge 1 normierte Vektor in Richtung FORMULA.

ITEM Es gilt DISPLAY ITEM Ist FORMULA eine Permutationsmatrix, so ist DISPLAY

ITEM Es gilt DISPLAY und fuer reelle FORMULA gilt DISPLAY ITEM Die Koeffizienten FORMULA bestimmen sich aus DISPLAY d.h. die Taylorentwicklung von FORMULA an der Stelle FORMULA stimmt mit der Potenzreihe ueberein.

ITEM Es gilt DISPLAY wobei Terme mit FORMULA wegzulassen sind.

ITEM Es gilt FORMULA.

ITEM Es ist DISPLAY

ITEM Es ist DISPLAY da der Integrand in FORMULA analytisch ist.

ITEM Es ist DISPLAY da der Integrand in FORMULA analytisch ist.

ITEM Es ist FORMULA mit FORMULA.

ITEM Es ist FORMULA mit einer unitaeren Matrix FORMULA und einer oberen Dreiecksmatrix FORMULA.

ITEM Es ist FORMULA und FORMULA.

ITEM Es ist FORMULA, falls FORMULA ITEM Die rechte Seite ist FORMULA Die folgenden illustrierenden Rechnungen dienen gleichzeitig dazu, die Loesung linearer Gleichungssysteme vorzubereiten.

ITEM Es ist FORMULA, falls FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM Es ist FORMULA, nach ITEM also FORMULA.

ITEM Es ist dann naemlich FORMULA, also FORMULA.

ITEM Es ist dann naemlich FORMULA.

ITEM Es ist naemlich DISPLAY Wegen der Linearitaet des Erwartungswertes und EQN folgt daraus EQN.

ITEM Es ist naemlich DISPLAY und DISPLAY

ITEM Es ist naemlich FORMULA.

ITEM Es ist oft nuetzlich, ohne Umstaende von einer Notation zu einer anderen gleichwertigen Notation uebergehen zu koennen.

ITEM Es laesst sich zeigen, dass sich jeder normierte Raum FORMULA durch Hinzufuegen aller "Loecher" so zu einem Banachraum FORMULA "vervollstaendigt" werden kann, dass FORMULA in FORMULA "dicht" liegt.

ITEM Existenz.

ITEM Existenz: FORMULA ist eine ganze Zahl und es ist FORMULA.

ITEM FORMULA (Assoziativgesetze) ITEM FORMULA (Distributivgesetze) ITEM FORMULA (Umkehrung der Addition) ITEM FORMULA (Neutrale Elemente) ITEM FORMULA (Nichtentartung)

ITEM FORMULA (Involution) ITEM FORMULA, (Invarianz) ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM FORMULA

ITEM FORMULA ITEM: Angenommen FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Es ist FORMULA, und Gleichheit gilt nur fuer FORMULA; da FORMULA wegen der positiven Diagonalelemente regulaer ist, also nur fuer FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: FORMULA besitzt genau dann eine Basis aus Eigenvektoren von FORMULA, wenn sich jeder Punkt von FORMULA als Linearkombination von Eigenvektoren darstellen laesst.

ITEM FORMULA ITEM: Fuellt man einen Vektor FORMULA mit Nullen zu einem Vektor FORMULA auf, so ist FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Fuer FORMULA ist FORMULA, also geht FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Fuer FORMULA ist mit FORMULA sicher FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Hat FORMULA eine Basis aus Eigenvektoren, so ist die lineare Abbildung FORMULA, die diese Basis als Spalten hat, ein Isomorphismus. Mit den zugehoerigen Eigenwerten FORMULA gilt FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Ist FORMULA diagonalisierbar, so gibt es einen Isomorphismus FORMULA und eine Diagonalmatrix FORMULA, so dass FORMULA, also FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Waehle eine konvergente Teilfolge mit Limes FORMULA; nach ITEM folgt FORMULA.

ITEM FORMULA ITEM: Wir muessen zeigen, dass FORMULA alle seine Randpunkte enthaelt.

ITEM FORMULA \cal F FORMULA sei stetig in einer Umgebung FORMULA eines Punktes FORMULA mit FORMULA.

ITEM FORMULA beschraenkt FORMULA.

ITEM FORMULA besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von FORMULA.

ITEM FORMULA bezeichnet die (kommutative) Algebra aller Funktionen FORMULA.

ITEM FORMULA bezeichnet die Menge aller stetigen Funktionen FORMULA mit kompaktem Traeger.

ITEM FORMULA definiert keine analytische Funktion, da die Steigung FORMULA fuer FORMULA nicht stetig ergaenzbar ist.

ITEM FORMULA enthaelt eine Zahl FORMULA mit FORMULA.

ITEM FORMULA falls FORMULA linear abhaengig sind.

ITEM FORMULA fuer FORMULA.

ITEM FORMULA fuer alle FORMULA

ITEM FORMULA fuer alle FORMULA, und \define{nullteilerfrei}, falls ITEM FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM FORMULA hat eine eindeutige \define{Koordinatendarstellung} durch eine von den PREFIX Teilmengen FORMULA von FORMULA indizierte Familie von Funktionen FORMULA, derart, dass DISPLAY

ITEM FORMULA heisst \define{Extremwert} von FORMULA, falls FORMULA lokales Maximum oder lokales Minimum von FORMULA ist, und \define{stationaerer Punkt} (oder \define{kritischer Punkt}) von FORMULA, falls FORMULA in einer Umgebung von FORMULA stetig differenzierbar ist und FORMULA gilt.

ITEM FORMULA heisst \define{Grenzwert} oder \define{Limes} der Folge FORMULA aus FORMULA, falls zu jedem FORMULA eine Zahl FORMULA existiert mit DISPLAY Man schreibt dann DISPLAY Die Folge heisst \define{konvergent}, falls ein Grenzwert existiert, und \define{divergent} sonst.

ITEM FORMULA heisst \define{Haeufungspunkt} der Folge FORMULA aus FORMULA, falls jede Umgebung von FORMULA unendlich viele Folgenglieder FORMULA enthaelt.

ITEM FORMULA heisst \define{Lipschitz-stetig} in FORMULA, falls FORMULA und eine Konstante FORMULA existiert mit DISPLAY FORMULA heisst \define{Lipschitz-Konstante} von FORMULA in FORMULA.

ITEM FORMULA heisst \define{Nullmenge} (bez.

ITEM FORMULA heisst \define{Randpunkt} von FORMULA, falls es in jeder Umgebung von FORMULA Punkte aus FORMULA und Punkte nicht aus FORMULA gibt.

ITEM FORMULA heisst \define{ganz}, falls FORMULA in ganz FORMULA analytisch ist.

ITEM FORMULA heisst \define{gleichmaessig stetig} in FORMULA, falls FORMULA und zu jedem FORMULA ein FORMULA existiert mit DISPLAY

ITEM FORMULA heisst \define{integrierbar ueber} dem Intervall FORMULA (FORMULA), falls FORMULA Lebesgue-integrierbar ist; analog fuer halboffene und abgeschlossene Intervalle.

ITEM FORMULA heisst \define{konvex}, falls DISPLAY d.h. falls mit je zwei Punkten auch die Verbindungsstrecke in FORMULA liegt.

ITEM FORMULA heisst \define{lokal integrierbar} falls FORMULA fuer alle kompakten Teilmengen FORMULA.

ITEM FORMULA heisst \define{lokalkompakt}, falls jeder Punkt FORMULA eine kompakte Umgebung besitzt.

ITEM FORMULA heisst \define{offen}, falls FORMULA keinen seiner Randpunkte enthaelt, und \define{abgeschlossen}, falls FORMULA alle seine Randpunkte enthaelt.

ITEM FORMULA heisst \define{stueckweise PREFIX mal stetig differenzierbar}, falls es endlich viele Punkte FORMULA gibt, so dass FORMULA in jedem Intervall FORMULA PREFIX mal stetig differenzierbar ist und die Grenzwerte DISPLAY existieren.

ITEM FORMULA heisst \define{stueckweise stetig}, falls es endlich viele Punkte FORMULA a_m=b FORMULA gibt, so dass FORMULA in jedem Intervall FORMULA stetig ist und die Grenzwerte DISPLAY existieren.

ITEM FORMULA heisst analytisch (oder holomorph) in FORMULA, falls FORMULA in einer Umgebung von FORMULA stetig differenzierbar ist.

ITEM FORMULA heisst das \define{zu} EQN \define{gehoerige} homogene Gleichungssystem.

ITEM FORMULA heisst eine FORMULA \define{-Algebra}, falls in FORMULA gewisse Teilmengen als \define{messbar} ausgezeichnet sind, so dass die Axiome REF - REF gelten.

ITEM FORMULA ist (tatsaechlich) ein invarianter Unterraum von FORMULA.

ITEM FORMULA ist Nullmenge.

ITEM FORMULA ist abgeschlossen und beschraenkt.

ITEM FORMULA ist abgeschlossen.

ITEM FORMULA ist abgeschlossene Teilmenge der kompakten Teilmenge FORMULA aus ITEM; also ist FORMULA selbst kompakt.

ITEM FORMULA ist aequivalent zu FORMULA, also zu FORMULA und FORMULA; die Faelle FORMULA und FORMULA (fuer FORMULA) bzw. FORMULA (fuer FORMULA) sind dabei eingeschlossen.

ITEM FORMULA ist das Komplement der nach ITEM offenen Menge DISPLAY also ist FORMULA abgeschlossen.

ITEM FORMULA ist der Durchschnitt der nach ITEM abgeschlossenen Mengen FORMULA und DISPLAY ist also selbst abgeschlossen.

ITEM FORMULA ist ein Banachraum.

ITEM FORMULA ist eine stetig differenzierbare Abbildung mit partiellen Ableitungen DISPLAY ITEM Ist FORMULA eine stetig differenzierbare matrixwertige Abbildung mit FORMULA fuer FORMULA, so ist DISPLAY

ITEM FORMULA ist genau dann Umgebung von FORMULA, wenn FORMULA Umgebung von FORMULA ist.

ITEM FORMULA ist genau dann ein Eigenpaar, wenn die \define{Eigenwertgleichung} DISPLAY erfuellt ist.

ITEM FORMULA ist genau dann injektiv, wenn FORMULA.

ITEM FORMULA ist genau dann offen, wenn FORMULA abgeschlossen ist.

ITEM FORMULA ist genau dann regulaer, wenn FORMULA.

ITEM FORMULA ist genau dann surjektiv, wenn FORMULA.

ITEM FORMULA ist genau dann unitaer, wenn die Spalten von FORMULA eine Orthonormalbasis von FORMULA bilden.

ITEM FORMULA ist genau dann unitaer, wenn eine der beiden gleichwertigen Bedingungen FORMULA und FORMULA gilt.

ITEM FORMULA ist genau dann wegunabhaengig, wenn FORMULA exakt ist, d.h. FORMULA fuer ein [4] FORMULA.

ITEM FORMULA ist injektiv und FORMULA surjektiv.

ITEM FORMULA ist mit den punktweisen Operationen ein kommutativer Ring.

ITEM FORMULA ist nicht defektiv.

ITEM FORMULA ist positiv definit.

ITEM FORMULA ist stets abgeschlossen.

ITEM FORMULA linear unabhaengig.

ITEM FORMULA offen FORMULA ist Nullmenge.

ITEM FORMULA sei Haeufungspunkt der Folge FORMULA.

ITEM FORMULA sei Teilmenge von FORMULA.

ITEM FORMULA sei ein Orthonormalsystem.

ITEM FORMULA sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten.

ITEM FORMULA sei ein Polynom vom Grad FORMULA, und FORMULA.

ITEM FORMULA sei eine Cauchy-Folge in FORMULA.

ITEM FORMULA sei eine beliebige offene Ueberdeckung von FORMULA.

ITEM FORMULA sei gleichmaessig konvergent gegen FORMULA.

ITEM FORMULA sei in FORMULA stetig und FORMULA.

ITEM FORMULA sei in int FORMULA stetig differenzierbar und FORMULA int FORMULA.

ITEM FORMULA surjektiv, FORMULA injektiv.

ITEM FORMULA und FORMULA sind Banachraeume.

ITEM FORMULA und FORMULA sind offen und abgeschlossen.

ITEM FORMULA, (kommutative Multiplikation) ITEM FORMULA, falls FORMULA (Umkehrung der Multiplikation)

ITEM FORMULA, FORMULA.

ITEM FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA.

ITEM FORMULA: Einziger Haeufungspunkt 0, konvergent mit Limes 0.

ITEM FORMULA: Einziger Haeufungspunkt 0, konvergent mit Limes 0.

ITEM FORMULA: Haeufungspunkte FORMULA und FORMULA, divergent.

ITEM FORMULA: Haeufungspunkte FORMULA und FORMULA, divergent.

ITEM FORMULA: kein Haeufungspunkt, divergent.

ITEM Fuer Abbildungen FORMULA setzen wir DISPLAY FORMULA heisst das \define{Signum} (=Vorzeichen) von FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA aus ITEM durch Induktion; wegen FORMULA mit FORMULA folgt der Allgemeinfall aus ITEM.

ITEM Fuer FORMULA bezeichnet FORMULA die \define{{Transposition} von FORMULA und FORMULA, d.h. die Permutation, die FORMULA mit FORMULA vertauscht und alle uebrigen Elemente festlaesst.

ITEM Fuer FORMULA definieren wir die Relationen FORMULA punktweise durch DISPLAY und die Funktionen FORMULA, FORMULA, FORMULA und FORMULA punktweise durch DISPLAY fuer FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA definiert FORMULA ein Skalarfeld (genannt eine \define{affine Quadrik}, fuer FORMULA ein \define{Kegelschnitt}).

ITEM Fuer FORMULA ergibt sich leider in EQN die zweideutige Bezeichnungsweise FORMULA, in der erst durch die Wahl der Buchstaben gekennzeichnet ist, welches Argument das lineare ist.

ITEM Fuer FORMULA folgt EQN sofort aus EQN und Satz REF, und da FORMULA eine Nullmenge ist, gilt EQN auch fuer die uebrigen drei Faelle.

ITEM Fuer FORMULA heisst DISPLAY das \define{(Borel-)Mass} von FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA heisst DISPLAY das \define{Bild} von FORMULA (unter FORMULA), und fuer FORMULA heisst DISPLAY das \define{Urbild} von FORMULA (unter FORMULA).

ITEM Fuer FORMULA heisst DISPLAY die \define{PREFIX Norm} von FORMULA (bez.

ITEM Fuer FORMULA heisst die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA die \define{Richtungsableitung} von FORMULA nach FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist (vgl. EQN) DISPLAY Die exakten PREFIX Formen sind gerade die totalen Differentiale.

ITEM Fuer FORMULA ist DISPLAY also verschwinden die Komponenten: DISPLAY Das Lemma von Poincare sagt hier, dass sich umgekehrt jedes Vektorfeld FORMULA mit FORMULA fuer konvexe oder sternfoermige Gebiete FORMULA als Gradient FORMULA eines Skalarfeldes FORMULA schreiben laesst.

ITEM Fuer FORMULA ist EQN klar.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA ein absoluter Funktionenraum und DISPLAY ist ein Integral.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA mit DISPLAY Bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von FORMULA sind dies genau die Komponenten der Rotation FORMULA, und wir erhalten DISPLAY Man erhaelt dasselbe Ergebnis auch aus EQN: DISPLAY wegen FORMULA und FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA nach EQN, fuer FORMULA gilt also DISPLAY Daher ist FORMULA, und da FORMULA beliebig war, folgt DISPLAY Daraus folgt EQN.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA, da im FORMULA ten Term der Summe fuer FORMULA der zweite Faktor und fuer FORMULA der erste Faktor verschwindet.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA, und EQN wird zu FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist die Abbildung FORMULA mit DISPLAY linear.

ITEM Fuer FORMULA ist genau eine der Zahlen FORMULA und FORMULA nichtnegativ.

ITEM Fuer FORMULA ist jede Funktion FORMULA mit DISPLAY periodisch mit Kreisfrequenz FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist nach Proposition REF DISPLAY ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA eine PREFIX Form in FORMULA, also FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA ist sgn FORMULA, wegen sgn FORMULA also auch sgn FORMULA ITEM Wir beweisen induktiv, dass sich jede Permutation FORMULA mit DISPLAY als Produkt von hoechstens FORMULA Transpositionen schreiben laesst.

ITEM Fuer FORMULA koennen wir FORMULA fuer FORMULA waehlen und erhalten aus EQN die Ungleichung FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA nennt man Vol FORMULA das \define{Volumen} (bzw. fuer FORMULA die \define{Flaeche}, fuer FORMULA die \define{Laenge}) von FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA schreiben wir DISPLAY falls FORMULA durch FORMULA \define{teilbar} ist, d.h. FORMULA ganzzahlig ist, andernfalls DISPLAY

ITEM Fuer FORMULA setzt man DISPLAY FORMULA heisst die \define{Laenge} von FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA sind Abbildungen FORMULA ebenso durch Tripel in FORMULA festgelegt.

ITEM Fuer FORMULA und FORMULA ist die Schranke in EQN FORMULA, und EQN gilt fuer FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA und FORMULA ist die Schranke in EQN FORMULA, und EQN gilt fuer FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA und FORMULA ist die Schranke in EQN FORMULA, und EQN gilt fuer FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA und FORMULA ist die Schranke in EQN FORMULA, und EQN gilt fuer FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA und beliebige Teilmengen FORMULA bezeichnen wir mit FORMULA die durch DISPLAY definierte ("ausserhalb von FORMULA abgeschnittene") Funktion FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA und beliebige Teilmengen FORMULA von FORMULA bezeichnen wir mit FORMULA die durch DISPLAY definierte ("ausserhalb von FORMULA abgeschnittene") Funktion FORMULA.

ITEM Fuer FORMULA, FORMULA regulaer ist DISPLAY

ITEM Fuer Re FORMULA definiert die Potenzreihe DISPLAY eine PREFIX Funktion FORMULA, den \define{Logarithmus}.

ITEM Fuer Re FORMULA gilt DISPLAY ITEM Fuer reelle FORMULA ist FORMULA reell, und fuer FORMULA gilt DISPLAY

ITEM Fuer Teilmengen FORMULA von FORMULA mit FORMULA ist die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA eine PREFIX Form ueber FORMULA definiert.

ITEM Fuer alle FORMULA definiert DISPLAY eine PREFIX Form FORMULA mit Werten in FORMULA.

ITEM Fuer alle FORMULA gilt die Vertauschungsrelation DISPLAY

ITEM Fuer alle FORMULA ist die Reihe FORMULA absolut und gleichmaessig konvergent, und es gilt DISPLAY ITEM Sind alle FORMULA stetig, so ist auch FORMULA stetig.

ITEM Fuer alle FORMULA ist die Richtungsableitung FORMULA eine lineare Abbildung von FORMULA in sich selbst.

ITEM Fuer beliebige Abbildungen FORMULA, FORMULA: FORMULA gilt DISPLAY ITEM Fuer Permutationen FORMULA gilt DISPLAY ITEM Jede Permutation FORMULA laesst sich als Produkt von hoechstens FORMULA Transpositionen schreiben.

ITEM Fuer beliebige FORMULA gilt DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY DISPLAY ITEM Fuer FORMULA gilt DISPLAY insbesondere sind cos und sin fuer reelle Argumente reellwertig.

ITEM Fuer beliebige FORMULA ist FORMULA Loesung von FORMULA, also FORMULA nach FORMULA und FORMULA.

ITEM Fuer beliebige FORMULA und FORMULA gilt DISPLAY

ITEM Fuer beliebige Matrizen FORMULA sind die Matrizen FORMULA und FORMULA positiv semidefinit.

ITEM Fuer beliebige Permutationen FORMULA gilt DISPLAY die Permutationsmatrizen bilden also eine Gruppe.

ITEM Fuer die Eindeutigkeit nehmen wir an, FORMULA sei irgendein Fixpunkt von FORMULA.

ITEM Fuer die Fehlerabschaetzung berechnen wir DISPLAY Also ist FORMULA, was wegen FORMULA die obere Abschaetzung in EQN ergibt.

ITEM Fuer die Folge FORMULA aus dem vorigen Beispiel gilt DISPLAY also ist die Folge punktweise konvergent.

ITEM Fuer die Matrix FORMULA aus Beispiel REF ist FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

ITEM Fuer die aeussere Ableitung einer stetig differenzierbaren PREFIX Form DISPLAY gilt DISPLAY ITEM Fuer die aeussere Ableitung einer stetig differenzierbaren PREFIX Form DISPLAY gilt DISPLAY mit der \define{Divergenz} DISPLAY

ITEM Fuer die aeussere Ableitung einer stetig differenzierbaren PREFIX Form FORMULA gilt DISPLAY Insbesondere ist FORMULA die aeussere Ableitung der PREFIX ten Koordinatenabbildung FORMULA.

ITEM Fuer die affine Funktion FORMULA mit DISPLAY ist FORMULA, also ist FORMULA differenzierbar und FORMULA unabhaengig von FORMULA.

ITEM Fuer die durch FORMULA definierte Folge gilt FORMULA also ist die Folge monoton wachsend und nach oben beschraenkt.

ITEM Fuer ein Gebiet FORMULA bezeichnet FORMULA die Menge aller stetigen und beschraenkten Funktionen FORMULA.

ITEM Fuer eine Cauchy-Folge FORMULA und beliebige FORMULA gibt es ein FORMULA mit DISPLAY Fuer FORMULA folgt DISPLAY also ist DISPLAY Daher ist die Folge beschraenkt.

ITEM Fuer eine PREFIX Menge FORMULA betrachten wir einen Term von EQN: Wegen EQN ist DISPLAY Wegen FORMULA und FORMULA verschwinden in EQN die Terme mit FORMULA.

ITEM Fuer eine \define{{rechte obere Dreiecksmatrix} FORMULA (die durch FORMULA fuer FORMULA definiert ist) gilt DISPLAY ITEM Fuer eine \define{linke untere Dreiecksmatrix} FORMULA (die durch FORMULA fuer FORMULA definiert ist) gilt DISPLAY ITEM Fuer eine \define{Diagonalmatrix} FORMULA (die durch FORMULA fuer FORMULA definiert ist) gilt DISPLAY

ITEM Fuer eine beliebige Loesung FORMULA von FORMULA gilt FORMULA, also FORMULA, und daher DISPLAY Insbesondere folgt aus FORMULA mit EQN, dass FORMULA ist; d.h. die homogene Gleichung hat nur die triviale Loesung.

ITEM Fuer eine beliebige Zahl FORMULA ist FORMULA also gibt es ein FORMULA mit FORMULA Fuer FORMULA ist dann FORMULA also kann die PREFIX Umgebung von FORMULA nur noch endlich viele FORMULA enthalten.

ITEM Fuer eine von einer unendlichen Menge FORMULA indizierte Folge von Funktionen FORMULA in FORMULA schreiben wir FORMULA fuer die durch DISPLAY fuer FORMULA definierte Funktion FORMULA.

ITEM Fuer fast alle FORMULA ist FORMULA, die durch DISPLAY f.ue.

ITEM Fuer festes FORMULA hat die durch FORMULA definierte Funktion FORMULA die Ableitung FORMULA.

ITEM Fuer hermitesche Matrizen FORMULA ist FORMULA reell (der Realteil in Definition REF also ueberfluessig).

ITEM Fuer jede konvergente Folge FORMULA mit Grenzwert FORMULA gilt DISPLAY Denn in der Teilsumme DISPLAY heben sich die FORMULA paarweise weg, so dass DISPLAY ITEM \define{{(Geometrische Reihe})} FORMULA Fuer FORMULA ist DISPLAY Denn mit der Nullfolge FORMULA ist DISPLAY ITEM Es ist DISPLAY Denn mit der Nullfolge FORMULA ist DISPLAY

ITEM Fuer jede lineare Abbildung FORMULA ist die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA eine PREFIX Form ueber FORMULA definiert.

ITEM Fuer jede unitaere Matrix FORMULA gilt FORMULA.

ITEM Fuer jedes kompakte FORMULA ist FORMULA und FORMULA.

ITEM Fuer jedes stetige Skalarfeld FORMULA mit kompaktem Traeger ist das \define{skalare Flaechenintegral} DISPLAY unabhaengig von der Wahl der Teilung der Eins FORMULA auf FORMULA mit FORMULA und der zugehoerigen Karten FORMULA, und definiert ein monotones lineares Funktional auf FORMULA.

ITEM Fuer jedes stetige Skalarfeld FORMULA und jedes FORMULA gibt es ein FORMULA derart, dass fuer beliebige Zerlegungen EQN mit den Schrittweiten EQN und fuer beliebige FORMULA die Abschaetzung DISPLAY gilt.

ITEM Fuer jedes stetige Vektorfeld FORMULA ist das \define{vektorielle Kurvenintegral} DISPLAY unabhaengig von der Wahl des FORMULA beschreibenden Wegs. ITEM Fuer jedes stetige Skalarfeld FORMULA ist das \define{skalare Kurvenintegral} DISPLAY unabhaengig von der Wahl des C beschreibenden Weges. (Statt FORMULA schreibt man meistens FORMULA und nennt FORMULA das \define{Linienelement}).

ITEM Fuer jedes stetige Vektorfeld FORMULA und jedes FORMULA gibt es ein FORMULA derart, dass fuer beliebige \define{Zerlegungen} DISPLAY mit den \define{Schrittweiten} DISPLAY und fuer beliebige FORMULA die Abschaetzung DISPLAY gilt.

ITEM Fuer kompakte Mengen FORMULA ist FORMULA.

ITEM Fuer kompaktes FORMULA ist FORMULA.

ITEM Fuer stetig differenzierbare PREFIX Formen FORMULA und FORMULA gilt DISPLAY d.h. die aeussere Ableitung ist eine linearer Operator von FORMULA nach FORMULA.

ITEM Fuer zweimal stetig differenzierbare PREFIX Formen FORMULA gilt DISPLAY

ITEM Gilt EQN, so gilt fuer jeden PREFIX Weg FORMULA mit FORMULA die Beziehung DISPLAY ITEM Gilt EQN fuer jede in FORMULA verlaufende Kurve FORMULA von FORMULA nach FORMULA, so koennen wir durch EQN eine Potentialfunktion FORMULA definieren.

ITEM Gilt FORMULA, so gibt es eine Zahl FORMULA mit FORMULA fuer genuegend grosse FORMULA, und FORMULA ist eine konvergente Majorante (Beispiel REF).

ITEM Gilt fuer FORMULA DISPLAY so ist FORMULA absolut konvergent.

ITEM Gilt umgekehrt FORMULA fuer FORMULA, so gibt es fuer jedes FORMULA ein FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA, also enthaelt die PREFIX Umgebung von FORMULA unendlich viele Glieder der Folge.

ITEM Haben zwei im Gebiet FORMULA analytische Funktionen an unendlich vielen Punkten einer kompakten Teilmenge von FORMULA denselben Funktionswert, so stimmen sie auf ganz FORMULA ueberein.

ITEM Haengt FORMULA fuer jedes feste FORMULA stetig differenzierbar von FORMULA ab und ist FORMULA, so ist FORMULA stetig differenzierbar, und es ist DISPLAY

ITEM Haengt FORMULA fuer jedes feste FORMULA stetig von FORMULA ab, und ist FORMULA, so ist FORMULA stetig.

ITEM Hat FORMULA bei FORMULA ein lokales Minimum (Maximum), so ist die Hessematrix FORMULA positiv (negativ) semidefinit.

ITEM Hat FORMULA in FORMULA unendlich viele Nullstellen, so haben diese einen Haeufungspunkt FORMULA.

ITEM Hat FORMULA nur die triviale Loesung, so ist FORMULA und daher FORMULA.

ITEM Hat jedes Element FORMULA genau ein Urbild FORMULA, ist also FORMULA, so heisst FORMULA \define{bijektiv} (oder eine \define{Bijektion} von FORMULA nach FORMULA), und die durch die Urbilder definierte Abbildung FORMULA heisst die \define{Umkehrabbildung} oder \define{Inverse} von FORMULA.

ITEM Hat jedes Element FORMULA mindestens ein Urbild, so heisst FORMULA \define{surjektiv}.

ITEM Hier geht der Beweis genau analog, nur dass man statt EQN die (aus EQN folgende) Beziehung DISPLAY benutzen muss. Da in der Transformationsformel der Betrag der Determinante auftritt, sieht man, dass diese Herleitung nur dann gueltig ist, wenn DISPLAY ist, was gerade durch die Orientierung gewaehrleistet wird.

ITEM Hier ist FORMULA, also ist Proposition REF mit FORMULA anwendbar.

ITEM Im FORMULA ist jede abgeschlossene und beschraenkte Menge kompakt.

ITEM Im Grenzfall FORMULA erhaelt man FORMULA und der Ansatz EQN hat nicht genuegend Freiheitsgrade, um beliebige Anfangsbedingungen zu erfuellen.

ITEM Im projektiven Abschluss der komplexen Zahlenebene FORMULA vereinbart man, dass der unendlich ferne Punkt FORMULA zu allen Geraden dazugehoert.

ITEM Im wichtigen Spezialfall FORMULA haben wir mit den betrachteten Faellen schon alle Moeglichkeiten behandelt: DISPLAY

ITEM Im wichtigsten Spezialfall FORMULA schreibt man FORMULA statt FORMULA, nennt Funktionen FORMULA \define{Lebesgue-integrierbar}, und FORMULA das \define{Lebesgue-Integral} von FORMULA.

ITEM In Definition REF ist fuer FORMULA DISPLAY mit FORMULA, also FORMULA, und EQN folgt.

ITEM In EQN kann man FORMULA und FORMULA als Vektoren mit den FORMULA Komponenten FORMULA bzw. FORMULA auffassen.

ITEM In Komponenten lautet die Gleichung FORMULA ausfuehrlich DISPLAY und daraus folgt EQN.

ITEM In diesem Fall hat naemlich die Differenz in der kompakten Menge unendlich viele Nullstellen.

ITEM In einem Banachraum V ist jeder Weg integrierbar.

ITEM In einer unitaeren Spektralzerlegung EQN sind die Diagonalelemente von FORMULA gerade die Eigenwerte von FORMULA, und die Spalten von FORMULA sind zugehoerige Eigenvektoren, die paarweise orthogonal sind.

ITEM In jedem Kreis FORMULA mit FORMULA konvergiert die Potenzreihe EQN absolut und gleichmaessig.

ITEM In jedem kommutativen Ring gelten die \define{binomischen Formeln} DISPLAY ITEM In jedem nullteilerfreien Ring gelten die \define{Kuerzungsregeln} DISPLAY

ITEM In jeder Abbildungsgruppe gelten FORMULA und FORMULA.

ITEM In jeder Gruppe FORMULA gibt es eine eindeutige Identitaet FORMULA mit DISPLAY fuer alle FORMULA, und es gilt DISPLAY

ITEM Insbesondere ist eine in ganz FORMULA analytische und beschraenkte Funktion eine Konstante \define{(Satz von Liouville)}.

ITEM Ist FORMULA FORMULA stetig in FORMULA und ist FORMULA eine konvergente Folge aus FORMULA mit Grenzwert FORMULA, so gilt DISPLAY

ITEM Ist FORMULA Loesung der \define{inhomogenen} linearen Differentialgleichung DISPLAY so erhaelt man \define{alle} Loesungen von EQN, indem man zu FORMULA eine beliebige Loesung der zugehoerigen homogenen Gleichung EQN addiert.

ITEM Ist FORMULA abgeschlossen und FORMULA kompakt, so ist FORMULA kompakt, also FORMULA nach Satz REF.

ITEM Ist FORMULA abgeschlossen, so ist FORMULA abgeschlossen.

ITEM Ist FORMULA absolut konvergent, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA aehnlich zu FORMULA, so ist FORMULA aehnlich zu FORMULA.

ITEM Ist FORMULA beschraenkt, so ist FORMULA, falls FORMULA, also ist FORMULA stetig.

ITEM Ist FORMULA beschraenkt, so ist das Spektrum beschraenkt, FORMULA.

ITEM Ist FORMULA bez.

ITEM Ist FORMULA bijektiv und sind FORMULA und FORMULA beschraenkt, so sind FORMULA und FORMULA aehnlich.

ITEM Ist FORMULA ein Gebiet in FORMULA, so ist auch jede Menge FORMULA mit endlichen FORMULA ein Gebiet.

ITEM Ist FORMULA ein Haeufungspunkt der Folge FORMULA aus FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA ein Skalarfeld, so heissen die Mengen der Form FORMULA die \define{Niveauflaechen} (fuer FORMULA \define{Niveaulinien} oder \define{Hoehenlinien}) von FORMULA.

ITEM Ist FORMULA ein Vektorfeld, so heisst die Menge der FORMULA Wege FORMULA mit DISPLAY das zu FORMULA gehoerige \define{dynamische System}, und die Bilder dieser Wege heissen \define{Feldlinien} (oder \define{Stromlinien}) von FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Abbildung mit DISPLAY so ist (Differenz zu EQN): FORMULA; also gibt es zu jedem FORMULA eine Umgebung FORMULA von FORMULA mit DISPLAY Ist FORMULA eine Kugel in FORMULA und FORMULA, so hat FORMULA die Norm FORMULA, liegt also in FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Abbildung und FORMULA eine Teilmenge von FORMULA, so heisst die Abbildung FORMULA (" FORMULA eingeschraenkt auf FORMULA ") mit Def FORMULA und DISPLAY die \define{Einschraenkung} von FORMULA auf FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Abbildung von FORMULA nach FORMULA und FORMULA eine Abbildung von FORMULA nach FORMULA, so wird durch die \define{Nacheinanderausfuehrung} DISPLAY eine Abbildung FORMULA (" FORMULA nach FORMULA ") von FORMULA nach FORMULA definiert.

ITEM Ist FORMULA eine Diagonalmatrix, so ist DISPLAY Insbesondere ist stets FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Folge aus FORMULA mit Grenzwert FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Folge von Wegen FORMULA, die gleichmaessig gegen den Weg FORMULA konvergiert, so konvergieren die Stammfunktionen FORMULA gleichmaessig gegen eine Stammfunktion von FORMULA: DISPLAY

ITEM Ist FORMULA eine Karte der PREFIX Flaeche FORMULA, FORMULA und FORMULA, so ist die Ableitung FORMULA eine bijektive lineare Abbildung von FORMULA nach FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine Matrix mit FORMULA, so ist FORMULA der orthogonale Projektor auf FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine \define{Treppenfunktion} mit Stufen bei} FORMULA, d.h. verschwindet FORMULA fuer FORMULA und nimmt FORMULA in jedem Intervall FORMULA einen konstanten Wert an, so gilt DISPLAY ITEM Die kumulative Verteilungsfunktion ist monoton wachsend und es gilt DISPLAY Man nennt eine Funktion FORMULA mit der Eigenschaft EQN \define{linksstetig}.

ITEM Ist FORMULA eine beschraenkte Folge aus FORMULA, so ist FORMULA, nach Satz REF also FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine hermitesche Matrix mit dem einzigen Eigenwert FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine monoton fallende Nullfolge und sind die Teilsummen FORMULA beschraenkt, so konvergiert FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine monoton wachsende linksstetige Funktion, so ist durch EQN (fuer Treppenfunktionen FORMULA mit Stufen bei FORMULA) eine lineare Abbildung FORMULA definiert, und FORMULA ist ein Integral.

ITEM Ist FORMULA eine nichttriviale Loesung FORMULA, so kann das System FORMULA keine Loesung haben.

ITEM Ist FORMULA eine spezielle Loesung und FORMULA irgendeine Loesung, so ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Ist FORMULA eine strikte obere Dreiecksmatrix, so ist DISPLAY ITEM Fuer sogen.

ITEM Ist FORMULA eine weitere Zerlegung mit einer Diagonalmatrix FORMULA und einer regulaeren Matrix FORMULA, so ist die Zahl der positiven Diagonalelemente von FORMULA und FORMULA gleich.

ITEM Ist FORMULA fuer alle FORMULA beschraenkt, so ist FORMULA, also FORMULA, und aus EQN folgt FORMULA.

ITEM Ist FORMULA fuer ein FORMULA, so ist die Lagrange-Funktion nach oben und unten unbeschraenkt.

ITEM Ist FORMULA im Punktspektrum von FORMULA, so ist FORMULA nichtleer, FORMULA also nicht injektiv.

ITEM Ist FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar, so folgt aus EQN, EQN und EQN die Relation DISPLAY also gilt EQN; und FORMULA ist stetig, da FORMULA stetig ist.

ITEM Ist FORMULA in FORMULA stetig und gilt fuer ein FORMULA die Beziehung DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar.

ITEM Ist FORMULA in FORMULA stetig und gilt fuer ein FORMULA die Beziehung DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar.

ITEM Ist FORMULA in FORMULA stetig und gilt fuer ein FORMULA die Beziehung DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar.

ITEM Ist FORMULA in FORMULA stetig und gilt fuer ein FORMULA die Beziehung DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar.

ITEM Ist FORMULA in Polarkordinaten EQN gegeben, so ist FORMULA der Winkel zwischen FORMULA und FORMULA, d.h. der positiven PREFIX Achse.

ITEM Ist FORMULA in der kompakten Menge FORMULA stetig, so ist FORMULA in FORMULA sogar gleichmaessig stetig.

ITEM Ist FORMULA in der kompakten und konvexen Menge stetig differenzierbar, so ist FORMULA in FORMULA Lipschitz-stetig.

ITEM Ist FORMULA in der konvexen Menge FORMULA stetig differenzierbar, und ist DISPLAY so ist FORMULA in FORMULA Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante FORMULA.

ITEM Ist FORMULA in einer Umgebung eines Extremwerts FORMULA stetig differenzierbar, so ist FORMULA eine Nullstelle des Gradienten, d.h. ein stationaerer Punkt.

ITEM Ist FORMULA in einer Umgebung von FORMULA stetig differenzierbar und gilt FORMULA, so ist DISPLAY ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so ist DISPLAY

ITEM Ist FORMULA integrierbar, so ist DISPLAY ITEM (\define{partielle Integration}) Sind FORMULA und FORMULA integrierbar, so ist DISPLAY

ITEM Ist FORMULA integrierbar, so ist DISPLAY \input125.pstex_t ITEM Sind FORMULA und FORMULA integrierbar, und ist FORMULA fuer FORMULA, so ist DISPLAY

ITEM Ist FORMULA integrierbar, so schreiben wir DISPLAY

ITEM Ist FORMULA integrierbar, so schreiben wir DISPLAY um die Abhaengigkeit von FORMULA von FORMULA zum Ausdruck zu bringen.

ITEM Ist FORMULA invertierbar, so ist FORMULA; insbesondere ist dann FORMULA, und Aufloesen nach FORMULA ergibt EQN.

ITEM Ist FORMULA irgendeine PREFIX Linearform mit Koordinaten EQN, so hat die durch DISPLAY definierte PREFIX Linearform FORMULA ueber FORMULA die (Standard-)Koordinaten DISPLAY ist also nach Satz REF eindeutig bestimmt, und aus EQN ergibt sich fuer FORMULA DISPLAY nach Satz REF EQN also die Formel EQN.

ITEM Ist FORMULA kompakt, so ist FORMULA kompakt.

ITEM Ist FORMULA kompakt, so ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Ist FORMULA konvergent, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA lokal integrierbar und FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA lokal integrierbar und ist FORMULA fuer ein FORMULA beschraenkt, so ist FORMULA integrierbar.

ITEM Ist FORMULA messbar und FORMULA, so ist FORMULA und FORMULA.

ITEM Ist FORMULA messbar, so hat der durch DISPLAY definierte \define{Kegel} (mit Grundflaeche FORMULA und Hoehe FORMULA) im FORMULA das Volumen FORMULA.

ITEM Ist FORMULA messbar, und FORMULA affin, so ist DISPLAY Insbesondere ist das Volumen invariant unter Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

ITEM Ist FORMULA mit einer Diagonalmatrix FORMULA und einer nichtsingulaeren Matrix FORMULA, so ist die FORMULA te Spalte von FORMULA ein Eigenvektor zum Eigenwert FORMULA.

ITEM Ist FORMULA mit einer oberen Dreiecksmatrix FORMULA und einer nichtsingulaeren Matrix FORMULA, so ist die erste Spalte von FORMULA ein Eigenvektor zum Eigenwert FORMULA.

ITEM Ist FORMULA nach FORMULA stetig differenzierbar, so ist DISPLAY also DISPLAY Fuer festes FORMULA ist FORMULA stetig differenzierbar, und wegen FORMULA ist DISPLAY Fuer FORMULA strebt FORMULA gegen FORMULA, und wegen der Stetigkeit von FORMULA und FORMULA ist FORMULA fuer FORMULA in einer Umgebung von FORMULA, da dies fuer FORMULA gilt.

ITEM Ist FORMULA nicht positiv semidefinit, so koennen wir FORMULA so waehlen, dass FORMULA wird.

ITEM Ist FORMULA normiert, so fordert man zusaetzlich die Beschraenktheit der Linearformen DISPLAY Der Dualraum ist dann also wieder ein normierter Raum.

ITEM Ist FORMULA oder FORMULA, und gilt FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA offen relativ zu FORMULA, so ist FORMULA offen relativ zu FORMULA.

ITEM Ist FORMULA offen und FORMULA kompakt, so ist FORMULA kompakt, also FORMULA nach Satz REF.

ITEM Ist FORMULA orientiert, so ist fuer jede stetige PREFIX Form FORMULA auf FORMULA mit kompakten Traeger das \define{orientierte Flaechenintegral} DISPLAY mit DISPLAY unabhaengig von der Wahl der Teilung der Eins FORMULA auf FORMULA mit FORMULA und der zugehoerigen Karten FORMULA, und definiert ein lineares Funktional auf FORMULA.

ITEM Ist FORMULA positiv definit und FORMULA, so ist FORMULA, also nach Definition FORMULA.

ITEM Ist FORMULA positiv semidefinit und FORMULA ein in der PREFIX Norm normierter Eigenvektor zum Eigenwert FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM Ist FORMULA regulaer, so auch FORMULA, da FORMULA Automorphismen von FORMULA sind und die Automorphismen eine Gruppe bilden.

ITEM Ist FORMULA regulaer, so ist auch FORMULA regulaer, und es ist DISPLAY ITEM Ist FORMULA regulaer, so ist auch FORMULA regulaer, und es ist DISPLAY ITEM Ist FORMULA regulaer und symmetrisch oder Hermitesch, so gilt dasselbe von FORMULA.

ITEM Ist FORMULA regulaerer Punkt von FORMULA, so ist FORMULA wegen FORMULA beschraenkt.

ITEM Ist FORMULA so ist nach Satz REF FORMULA, wegen EQN und EQN also FORMULA, und EQN folgt.

ITEM Ist FORMULA stetig in FORMULA und gibt es ein FORMULA mit DISPLAY so ist FORMULA lokal integrierbar.

ITEM Ist FORMULA stetig, so gibt es eine Umgebung FORMULA von FORMULA mit FORMULA.

ITEM Ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar FORMULA, so setzen wir DISPLAY wegen Satz REF stimmt dies fuer in FORMULA stetige FORMULA mit der Definition aus Kapitel REF ueberein.

ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so heisst die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA der \define{Gradient} des Skalarfeldes FORMULA; man schreibt statt FORMULA auch grad FORMULA.

ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA die Matrix mit den permutierten Zeilen DISPLAY ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA die Matrix mit den permutierten Spalten DISPLAY

ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA und EQN gilt.

ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so sind FORMULA und FORMULA regulaer, und es gilt FORMULA und FORMULA.

ITEM Ist FORMULA und FORMULA, und ist FORMULA endlich, so ist FORMULA und EQN gilt.

ITEM Ist FORMULA und etwa FORMULA, so ist DISPLAY Da FORMULA alternierend ist, sind alle Terme mit FORMULA Null, also ist DISPLAY ITEM folgt durch Widerspruch aus ITEM.

ITEM Ist FORMULA und ist DISPLAY so ist FORMULA unabhaengig von FORMULA.

ITEM Ist FORMULA und ist DISPLAY so ist FORMULA unabhaengig von FORMULA.

ITEM Ist FORMULA wegunabhaengig, so ist FORMULA geschlossen, d.h. FORMULA; umgekehrt ist in einfach zusammenhaengenden Gebieten jede geschlossene PREFIX Form FORMULA exakt, also FORMULA wegunabhaengig.

ITEM Ist FORMULA, so enthaelt FORMULA die Kugel um FORMULA mit Radius FORMULA, also gilt (G1).

ITEM Ist FORMULA, so gibt es einen PREFIX Weg FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

ITEM Ist FORMULA, so gilt DISPLAY ITEM Sind FORMULA, so gilt DISPLAY

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA fuer alle FORMULA, also FORMULA.

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA nichtsingulaer und FORMULA bijektiv, also DISPLAY Der Fall FORMULA ergibt sich durch Stetigkeitsargumente.

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA, also gilt EQN in diesem Fall.

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA, und in einer genuegend kleinen Umgebung von FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA, und wie eben hat FORMULA eine beschraenkte Inverse.

ITEM Ist FORMULA, so ist die Matrix DISPLAY unitaer, und es gilt FORMULA.

ITEM Ist der Spezialfall FORMULA von ITEM; es genuegt also, ITEM zu beweisen.

ITEM Ist die Hessematrix FORMULA positiv (negativ) definit, so hat FORMULA bei FORMULA ein lokales Minimum (Maximum).

ITEM Ist f in FORMULA stetig differenzierbar, so gilt fuer FORMULA und FORMULA die Beziehung DISPLAY ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA genau dann stetig differenzierbar in FORMULA wenn die fuer FORMULA durch DISPLAY definierten partiellen Ableitungen FORMULA existieren und stetig sind.

ITEM Ist naemlich FORMULA eine Dreiecksmatrix, so ist auch FORMULA eine Dreiecksmatrix, also FORMULA.

ITEM Jede Cauchy-Folge in FORMULA ist nach Proposition REF beschraenkt und hat hoechstens einen Haeufungspunkt, nach dem eben bewiesenen also genau einen.

ITEM Jede Cauchy-Folge ist beschraenkt und hat hoechstens einen Haeufungspunkt.

ITEM Jede Folge aus FORMULA hat einen Haeufungspunkt in FORMULA.

ITEM Jede Funktion FORMULA ist lokal integrierbar.

ITEM Jede Matrix FORMULA laesst sich in der Form DISPLAY mit einer unitaeren Matrix FORMULA, einer reellen Diagonalmatrix DISPLAY und einer unitaeren Matrix FORMULA schreiben.

ITEM Jede Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzkreises analytisch.

ITEM Jede abgeschlossene Menge FORMULA ist messbar.

ITEM Jede abgeschlossene Teilmenge FORMULA ist lokalkompakt.

ITEM Jede auf ihrem Traeger stetige Funktion FORMULA ist lokal integrierbar.

ITEM Jede beschraenkte Menge FORMULA nichtnegativer Zahlen hat ein Supremum, d.h. eine Schranke FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY (FORMULA ist also eine "kleinste" obere Schranke.)

ITEM Jede hermitesche Matrix FORMULA laesst sich in der Form DISPLAY mit einer unitaeren Matrix FORMULA und einer reellen Diagonalmatrix FORMULA schreiben, deren Diagonalelemente nach absteigender Groesse geordnet sind.

ITEM Jede hermitesche Matrix ist diagonalisierbar; es gibt eine Basis von orthogonalen Eigenvektoren, und alle Eigenwerte sind reell.

ITEM Jede in einer kompakten Menge FORMULA stetige reellwertige Funktion nimmt dort ihr Minimum und Maximum an.

ITEM Jede komplexe Zahl FORMULA laesst sich eindeutig in der Form DISPLAY schreiben; es ist DISPLAY mit DISPLAY ITEM Jeder Vektor FORMULA laesst sich eindeutig in der Form DISPLAY schreiben.

ITEM Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

ITEM Jede monoton wachsende und nach oben beschraenkte reelle Folge FORMULA ist konvergent, und es gilt DISPLAY ITEM Jede monoton fallende und nach unten beschraenkte reelle Folge FORMULA ist konvergent, und es gilt DISPLAY

ITEM Jede nichtnegative Zahl ist reell.

ITEM Jede normierte untere Dreiecksmatrix FORMULA ist regulaer, und fuer FORMULA laesst sich FORMULA rekursiv aus den Gleichungen DISPLAY berechnen.

ITEM Jede offene Menge FORMULA ist messbar.

ITEM Jede offene Teilmenge FORMULA ist lokalkompakt.

ITEM Jede positiv definite Matrix ist regulaer.

ITEM Jede rationale Funktion FORMULA laesst sich ueber FORMULA eindeutig in Linearfaktoren zerlegen, DISPLAY ITEM Jede rationale Funktion laesst sich ueber FORMULA in lineare oder quadratische Faktoren zerlegen.

ITEM Jede rationale Funktion FORMULA mit Polynomen FORMULA (FORMULA) ist im Gebiet FORMULA analytisch, wobei FORMULA die (endliche) Menge der Nullstellen von FORMULA ist.

ITEM Jeder Koerper ist kommutativ und nullteilerfrei.

ITEM Jeder Vektor FORMULA laesst sich auf eindeutige Weise als Summe von Vektoren in FORMULA schreiben, naemlich DISPLAY

ITEM Jedes FORMULA laesst sich eindeutig als FORMULA mit FORMULA, FORMULA zerlegen, und es ist DISPLAY Die Abbildung FORMULA ist linear, und es gilt DISPLAY Man nennt FORMULA die \define{orthogonale Projektion} von FORMULA auf FORMULA, und FORMULA den \define{orthogonalen Projektor} auf FORMULA.

ITEM Jedes offene (abgeschlossene) Ellipsoid FORMULA ist beschraenkt und laesst sich in der Form DISPLAY mit einer symmetrischen, positiv definiten Matrix FORMULA, einem Vektor FORMULA und einer Zahl FORMULA schreiben.

ITEM Konvergenz der Reihe EQN.

ITEM Konvergieren die Funktionen FORMULA punktweise gegen FORMULA, und sind alle FORMULA periodisch mit Periode FORMULA, so ist auch FORMULA periodisch mit Periode FORMULA.

ITEM Man drueckt die Symmetrie kurz duch FORMULA aus.

ITEM Man muss naemlich gerade FORMULA loesen.

ITEM Man nennt FORMULA den \define{projektiven Abschluss} von FORMULA, und vereinbart die Rechenregeln DISPLAY FORMULA und andere Operationen mit FORMULA sind nicht erklaert.

ITEM Man sagt, FORMULA hat an der Stelle FORMULA ein \define{(globales) Maximum} bez.

ITEM Man sagt, FORMULA hat an der Stelle FORMULA ein \define{(globales) Minimum} bez.

ITEM Man sagt, zwei Abbildungen FORMULA \define{kommutieren}, falls FORMULA.

ITEM Man schreibt DISPLAY falls eine Nullfolge FORMULA mit DISPLAY existiert, und DISPLAY falls eine Konstante FORMULA mit DISPLAY existiert.

ITEM Man zeigt naemlich induktiv, dass die ersten FORMULA Spalten von FORMULA verschwinden.

ITEM Mengen mit wenigen Elementen werden durch Auflisten ihrer Elemente angegeben.

ITEM Mit FORMULA bezeichnen wir den Vektorraum der beschraenkten Funktionen FORMULA mit der Supremumsnorm FORMULA.

ITEM Mit FORMULA bezeichnen wir einen \define{absoluten Funktionenraum} (oder \define{Funktionenverband}) ueber FORMULA, d.h. einen Unterraum von FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY (Fuer reellwertige FORMULA liegen dann auch FORMULA und FORMULA in FORMULA.) ITEM Ein monotones lineares Funktional ueber FORMULA ist eine lineare Abbildung FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY fuer alle FORMULA.

ITEM Mit FORMULA ist FORMULA falls FORMULA gerade, FORMULA falls FORMULA ungerade; also ist ITEM anwendbar.

ITEM Mit FORMULA und FORMULA sind auch FORMULA und FORMULA nichtnegativ.

ITEM Mit den Teilsummen EQN ist FORMULA, also FORMULA.

ITEM Nach Definition ist fuer einen FORMULA beschreibenden PREFIX Weg FORMULA DISPLAY also gilt EQN.

ITEM Nach Definition von FORMULA gibt es Folgen FORMULA aus FORMULA mit FORMULA Da FORMULA kompakten Traeger hat, ist FORMULA, nach ITEM also DISPLAY Fuer ein genuegend grosses FORMULA wird der erste Term FORMULA, und fuer dieses FORMULA und genuegend grosse FORMULA wird der zweite Term FORMULA.

ITEM Nach Definition von FORMULA ist FORMULA gleichwertig mit FORMULA, also FORMULA.

ITEM Nach Definition von FORMULA ist fuer FORMULA auch FORMULA beliebig oft stetig differenzierbar, also bildet FORMULA den Ring FORMULA in sich selbst ab.

ITEM Nach ITEM existiert eine orthogonale Zerlegung FORMULA mit einer oberen Dreiecksmatrix FORMULA mit einer einzigen Spalte.

ITEM Nach Proposition REF ITEM ist FORMULA offen relativ zu FORMULA, nach ITEM also FORMULA offen relativ zu FORMULA, wieder nach REF ITEM also FORMULA abgeschlossen.

ITEM Nach Proposition REF ist FORMULA kompakt, nach Satz REF also beschraenkt.

ITEM Nach Satz REF ist jede kompakte Menge abgeschlossen und beschraenkt.

ITEM Nach Satz REF konvergiert die Reihe im Konvergenzkreis mit Radius DISPLAY also in ganz FORMULA, und in jedem Kreis FORMULA ist die Reihe absolut konvergent.

ITEM Nach dem Trennungsaxiom fuer Hausdorffraeume gibt es zu jedem FORMULA wegen FORMULA disjunkte offene Umgebungen FORMULA von FORMULA und FORMULA von FORMULA.

ITEM Nach der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung ist FORMULA, also DISPLAY und EQN folgt.

ITEM Nach der Kettenregel ist DISPLAY Aus EQN folgt aber FORMULA; wegen der Linearitaet der Spur ist also DISPLAY Also gilt EQN.

ITEM Nun betrachten wir eine beliebige Abzaehlung FORMULA (FORMULA) von FORMULA und setzen DISPLAY Fuer FORMULA ist dann DISPLAY und fuer FORMULA erhalten wir DISPLAY

ITEM O.B.d.A. sei FORMULA.

ITEM O.B.d.A. sei FORMULA; d.h. wir gehen von einer bestimmten Anordnung aus und setzen DISPLAY Fuer FORMULA ist DISPLAY Fuer FORMULA geht die Schranke FORMULA gegen FORMULA; also ist die Folge FORMULA eine Cauchyfolge.

ITEM Offenbar ist FORMULA, falls alle FORMULA.

ITEM Offensichtlich ist FORMULA ein absoluter Funktionenraum.

ITEM Offensichtlich ist FORMULA.

ITEM Offensichtlich muss FORMULA gelten.

ITEM Oft wird statt FORMULA auch die Umkehrabbildung FORMULA als Karte bezeichnet; da FORMULA aber Punkte der Flaeche mit Koordinaten markiert, ist die Bezeichnung Koordinatensystem fuer FORMULA angemessener.

ITEM Partielle Integration von EQN ergibt DISPLAY Dabei wurde in FORMULA benutzt, dass FORMULA und FORMULA periodisch mit Periode FORMULA sind, so dass der erste Term wegfaellt.

ITEM Sei FORMULA und FORMULA sei eine Loesung des homogenen Systems der Gleichungen DISPLAY Wegen EQN gilt dann DISPLAY und DISPLAY Also ist FORMULA und in der letzten Ungleichung muessen alle FORMULA mit FORMULA verschwinden.

ITEM Sei FORMULA und FORMULA.

ITEM Sei FORMULA und FORMULA.

ITEM Sei FORMULA und FORMULA.

ITEM Sei FORMULA, mit FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei FORMULA.

ITEM Sei zunaechst FORMULA und FORMULA eine ganze Zahl FORMULA.

ITEM Sei zunaechst FORMULA.

ITEM Setze DISPLAY Nach dem Mittelwertsatz ist FORMULA fuer ein FORMULA, also ist FORMULA.

ITEM Setze FORMULA.

ITEM Setze FORMULA.

ITEM Setze FORMULA.

ITEM Sind FORMULA Loesungen der \define{homogenen} linearen Differentialgleichung DISPLAY so ist auch jede Linearkombination FORMULA Loesung von EQN.

ITEM Sind FORMULA Loesungen der \define{linearen} Differentialgleichung DISPLAY so ist FORMULA Loesung der Differentialgleichung DISPLAY

ITEM Sind FORMULA abzaehlbar viele disjunkte Mengen, so gilt DISPLAY ITEM Ist FORMULA eine absteigende Folge messbarer Mengen (also FORMULA) und ist FORMULA, so gilt DISPLAY ITEM Fuer messbare Mengen FORMULA gilt DISPLAY ITEM Es ist FORMULA.

ITEM Sind FORMULA hermitesche Matrizen, so gibt es genau dann eine regulaere Matrix FORMULA mit FORMULA, wenn FORMULA und FORMULA gleichen Rang und gleiche Signatur haben.

ITEM Sind FORMULA in einer Umgebung von FORMULA stetig differenzierbar und gilt FORMULA, so ist DISPLAY ITEM Sind FORMULA in einer Umgebung von FORMULA PREFIX mal stetig differenzierbar und gilt FORMULA fuer FORMULA so ist DISPLAY

ITEM Sind FORMULA linear unabhaengige Spalten von FORMULA mit maximalem FORMULA, so sind die uebrigen Spalten von diesen linear abhaengig, also wird FORMULA schon von FORMULA aufgespannt.

ITEM Sind FORMULA linear unabhaengige Vektoren in FORMULA, so gibt es ein Orthonormalsystem FORMULA mit DISPLAY ITEM Jedes Orthonormalsystem in FORMULA ist linear unabhaengig und laesst sich durch Hinzunahme geeigneter Vektoren zu einer Orthonormalbasis von FORMULA ergaenzen.

ITEM Sind FORMULA linear unabhaengige Zeilen von FORMULA, so sind FORMULA linear unabhaengige Spalten von FORMULA.

ITEM Sind FORMULA und FORMULA Grenzwerte, so gibt es zu jedem FORMULA einen Index FORMULA mit FORMULA und FORMULA, also ist FORMULA.

ITEM Sind FORMULA und FORMULA beide PREFIX mal stetig differenzierbar, so sind FORMULA und FORMULA noch PREFIX mal stetig differenzierbar.

ITEM Sind FORMULA und FORMULA normierte untere Dreiecksmatrizen, so gilt dasselbe auch fuer FORMULA und FORMULA; d.h. die normierten unteren Dreiecksmatrizen bilden eine Gruppe.

ITEM Sind FORMULA und FORMULA zwei im Gebiet FORMULA homotope geschlossene Wege, so gilt DISPLAY ITEM Ist FORMULA ein im Gebiet FORMULA verlaufender geschlossener Weg, so gilt DISPLAY falls FORMULA einfach zusammenhaengend ist.

ITEM Sind FORMULA verschiedene Eigenwerte von FORMULA, so ist DISPLAY

ITEM Sind alle FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar und ist auch FORMULA absolut konvergent, so ist auch FORMULA in FORMULA stetig differenzierbar und es gilt DISPLAY ITEM Ist FORMULA und sind alle FORMULA stetig in FORMULA, so konvergiert auch die Summe der Integrale absolut, und es ist DISPLAY

ITEM Teil ITEM sagt, dass Reihen, bei denen die Summanden zu langsam, naemlich nur wie FORMULA gegen Null gehen, nicht absolut konvergent sein koennen; Teil ITEM sagt, dass schon bei etwas schnellerer Konvergenz der Summanden gegen Null, naemlich wie FORMULA, die absolute Konvergenz folgt.

ITEM Teilmengen einer Nullmenge sind wieder Nullmengen.

ITEM Um den Wert des Integrals zu bestimmen, gehen wir induktiv vor.

ITEM Um die Integrierbarkeit zu zeigen, schaetzen wir FORMULA nach unten ab.

ITEM Um die Matrix DISPLAY auf obere Dreiecksform zu bringen, koennen wir Vielfache der ersten Zeile nicht gebrauchen, um die Komponenten in der ersten Spalte zu Null zu machen.

ITEM Um die Matrix DISPLAY auf obere Dreiecksgestalt zu transformieren, ziehen wir von der zweiten und dritten Zeile von FORMULA das PREFIX bzw. PREFIX fache der ersten Zeile FORMULA ab und erhalten DISPLAY Wegen FORMULA koennen wir dasselbe fuer FORMULA durch Multiplikation mit der Matrix DISPLAY erreichen: DISPLAY Ziehen wir nun das Doppelte der zweiten Zeile FORMULA von FORMULA von der dritten ab, so erhalten wir ebenso die Matrix DISPLAY in oberer Dreiecksform.

ITEM Um die inhomogene Gleichung zu loesen, erfuellen wir EQN durch DISPLAY Die (fuer FORMULA noetige) Einschraenkung FORMULA ist fuer periodische Anregungen stets erfuellt, da dann FORMULA rein imaginaer ist, waehrend Re FORMULA.

ITEM Um zu zeigen, dass FORMULA surjektiv ist, muessen wir zu jedem FORMULA eine Loesung von FORMULA finden.

ITEM Um zu zeigen, dass der Grenzwert wirklich FORMULA ist, berechnen wir den Fehler DISPLAY der abgebrochenen Fourierreihe an einer festen Stelle FORMULA.

ITEM Unter den Voraussetzungen von Satz REF ist FORMULA, und die Spalten von FORMULA sind Normalenvektoren.

ITEM Wegen DISPLAY sind die Spalten FORMULA und FORMULA fuer all FORMULA genau dann orthogonal, wenn FORMULA eine Diagonalmatrix ist.

ITEM Wegen EQN ist EQN eine Darstellung als Summe von Vektoren in FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA folgt nach dem Satz ueber majorisierte Konvergenz FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA folgt nach dem Satz ueber majorisierte Konvergenz FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA fuer FORMULA und FORMULA fuer FORMULA gelten die Monotoniebehauptungen.

ITEM Wegen FORMULA fuer FORMULA verschwinden alle Differentialformen der Ordnung FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA genuegt es, zu zeigen, dass FORMULA ist, und durch eine lineare Transformation kann man o.B.d.A. erreichen, dass FORMULA ist.

ITEM Wegen FORMULA ist FORMULA das Bild von FORMULA unter der Abbildung FORMULA, also ist FORMULA surjektiv.

ITEM Wegen FORMULA ist FORMULA hermitesch, und wegen DISPLAY ist FORMULA gleichwertig zu FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA ist FORMULA.

ITEM Wegen FORMULA und FORMULA folgt FORMULA; Aus ITEM ergibt sich FORMULA.

ITEM Wegen ITEM ist FORMULA.

ITEM Wegen der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung ist das Argument des arccos aus FORMULA; der Winkel ist also wohldefiniert, und liegt in FORMULA.

ITEM Wenden wir ITEM auf FORMULA an, so finden wir DISPLAY und nach Vertauschen von FORMULA und FORMULA folgt EQN.

ITEM Wieder durch Einsetzen.

ITEM Wir betrachten eine Orthonormalbasis FORMULA aus Eigenvektoren FORMULA von FORMULA.

ITEM Wir beweisen EQN durch Widerspruch.

ITEM Wir fuegen in das Integral ueber FORMULA in EQN den Faktor FORMULA ein und erhalten DISPLAY Fuer FORMULA hat die Gleichung FORMULA eine eindeutige Loesung FORMULA, und nach dem Satz ueber implizite Funktionen ist DISPLAY also DISPLAY Daher ist DISPLAY Nach der Transformationsregel fuer Volumenintegrale ergibt sich daraus fuer die Substitution FORMULA die Beziehung DISPLAY Aus EQN folgt wegen FORMULA daher \small DISPLAY Daher ist der Ausdruck EQN tatsaechlich unabhaengig von der Teilung der Eins und den zugehoerigen Karten.

ITEM Wir nennen ein lineares Gleichungssystem DISPLAY \define{homogen}, falls FORMULA, andernfalls \define{inhomogen}.

ITEM Wir nennen eine durch einen Weg FORMULA gegebene Kurve FORMULA in FORMULA \define{einfach}, falls FORMULA injektiv ist (d.h., falls der Weg keine Doppelpunkte hat).

ITEM Wir setzen FORMULA.

ITEM Wir setzen zusaetzlich voraus,dass FORMULA ist; das erspart uns kompliziertere topologische Ueberlegungen und reicht fuer unsere Anwendungen aus. Mit FORMULA bezeichnen wir die Vereinigung aller offenen PREFIX Umgebungen von Punkten aus FORMULA.

ITEM Wir verwenden die logischen Zeichen DISPLAY Das Wort "oder" bezeichnet stets ein nicht-ausschliessendes oder: gilt " FORMULA oder FORMULA ", so koennen insbesondere auch FORMULA und FORMULA beide gelten.

ITEM Wir waehlen eine Karte FORMULA wie in ITEM, und haben FORMULA fuer alle FORMULA.

ITEM Wir waehlen eine Orthonormalbasis FORMULA von FORMULA und ergaenzen sie zu einer Orthonormalbasis FORMULA von FORMULA.

ITEM Wir wenden Satz REF mit FORMULA, FORMULA und FORMULA statt FORMULA an.

ITEM Wir zeigen induktiv, dass jede beschraenkte Folge im FORMULA einen Haeufungspunkt hat; Fuer FORMULA gilt dies nach Satz REF.

ITEM Wir zeigen nun induktiv, dass fuer die durch EQN definierten Fourierkoeffizienten die Beziehung EQN gilt.

ITEM Wir zeigen zunaechst, dass der Ausdruck DISPLAY die Eigenschaft DISPLAY hat.

ITEM Wir zeigen, dass die rechte Seite von EQN eine PREFIX Form ist.

ITEM Wir zerlegen das Integral auf der rechten Seite von EQN in die Teilintegrale ueber die einzelnen Intervalle der Zerlegung, DISPLAY Setzen wir dies in EQN ein und benutzen die Relation DISPLAY so erhalten wir fuer die linke Seite von EQN DISPLAY nach der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung.

ITEM Zu FORMULA gehoert die Basis FORMULA.

ITEM Zu je drei paarweise verschiedenen Punkten FORMULA gibt es genau eine Moebiustransformation FORMULA mit FORMULA.

ITEM Zu jedem FORMULA gibt es ein FORMULA mit DISPLAY Zu diesem FORMULA gibt es ein FORMULA mit EQN fuer FORMULA; also ist FORMULA fuer FORMULA, wegen EQN also FORMULA.

ITEM Zu jedem FORMULA gibt es eine offene Umgebung FORMULA mit FORMULA.

ITEM Zu jedem Skalarfeld FORMULA gehoert eine PREFIX Form DISPLAY (das leere Dachprodukt FORMULA hat den Wert 1) und eine PREFIX Form DISPLAY mit DISPLAY Nach Satz REF ITEM entsteht umgekehrt jede PREFIX Form und jede PREFIX Form ueber FORMULA auf diese Weise.

ITEM Zu jedem Vektor FORMULA gibt es eine unitaere Matrix FORMULA, deren erste Spalte parallel zu FORMULA ist.

ITEM Zu jedem Vektorfeld FORMULA ueber FORMULA gehoert auch eine (FORMULA)-Form, DISPLAY definiert durch DISPLAY (Warum ist das eine (FORMULA)-Form?) Entwicklung von EQN nach der ersten Zeile liefert DISPLAY also DISPLAY Ein Vergleich mit EQN liefert fuer den Formenvektor FORMULA die Komponenten FORMULA Im Kontext der Flaechenintegration nennt man FORMULA das Flaechenelement.

ITEM Zu jedem Vektorfeld FORMULA ueber FORMULA gehoert eine PREFIX Form DISPLAY mit DISPLAY und nach Satz REF ITEM laesst sich jede PREFIX Form ueber FORMULA auf diese Weise darstellen.

ITEM Zu jedem offenen (abgeschlossenen) Ellipsoid FORMULA gibt es einen Punkt FORMULA und eine Matrix FORMULA derart, dass FORMULA diagonal ist und DISPLAY FORMULA ist durch FORMULA eindeutig bestimmt und heisst der \define{Mittelpunkt} von FORMULA; in einer Darstellung EQN ist der Mittelpunkt gerade der Vektor FORMULA.

ITEM Zu jeder Matrix FORMULA gibt es eine unitaere Matrix FORMULA und eine obere Dreiecksmatrix FORMULA mit FORMULA.

ITEM Zu jeder offenen Menge FORMULA gibt es eine offene Menge FORMULA mit FORMULA und kompaktem FORMULA.

ITEM Zum Nachweis der Existenz waehlen wir FORMULA und betrachten die durch DISPLAY rekursiv definierte Folge FORMULA Wegen EQN liegen alle FORMULA in FORMULA.

ITEM Zunaechst sei FORMULA.

ITEM Zwei Abbildungen FORMULA heissen \define{gleich}, FORMULA, falls Def FORMULA Def FORMULA und FORMULA fuer alle FORMULA aus dem gemeinsamen Definitionsbereich.

ITEM Zwei Mengen FORMULA heissen \define{homoeomorph}, wenn es eine stetige Bijektion FORMULA gibt, deren Inverse FORMULA ebenfalls stetig ist.

ITEM Zwei Wege FORMULA heissen zueinander \define{homotop}, wenn eine \define{stetige} Funktion FORMULA existiert mit DISPLAY (d.h. die Anfangs- und Endpunkte bleiben fest).

ITEM \define{(Division mit Rest)} Zu je zwei ganzen Zahlen FORMULA (FORMULA) gibt es eindeutig bestimmte Zahlen FORMULA (den \define{Quotienten}) und FORMULA (den \define{Rest}) mit DISPLAY ITEM \define{(Polynomdivision)} Zu je zwei Polynomen FORMULA (FORMULA) gibt es eindeutig bestimmte Polynome FORMULA (den \define{Quotienten}) und FORMULA (den \define{Rest}) mit DISPLAY Ist FORMULA, so ist FORMULA.

ITEM \define{(Vertauschbarkeit von PREFIX Limes und Integral)} Ist FORMULA, so gilt FORMULA und DISPLAY d.h. es ist DISPLAY ITEM \define{{(Satz von der monotonen Konvergenz})} Ist FORMULA oder FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA und EQN gilt.

ITEM \define{Durchschnitt} FORMULA (" FORMULA geschnitten FORMULA "), \define{Vereinigung} FORMULA (" FORMULA vereinigt FORMULA ") und \define{Differenz} FORMULA (" FORMULA ohne FORMULA ") von zwei Mengen FORMULA sind Mengen mit DISPLAY

ITEM \define{Entwicklung nach der i-ten Zeile}: Fuer jedes FORMULA gilt DISPLAY ITEM \define{Entwicklung nach der k-ten Spalte}: Fuer jedes FORMULA gilt DISPLAY

ITEM \define{{(Lemma von Fatou})} Ist FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA und DISPLAY ITEM \define{{(Satz von der majorisierten Konvergenz})} Ist FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA und EQN gilt.

ITEM analog.

ITEM beweisen wir durch Induktion nach FORMULA.

ITEM ergibt sich aus ITEM wegen EQN mit FORMULA und FORMULA.

ITEM ergibt sich sofort aus Satz REF

ITEM folgt analog; Probleme macht hoechstens der Fall FORMULA; aber dann ist FORMULA, und alles stimmt.

ITEM folgt aus DISPLAY und ITEM aus DISPLAY

ITEM folgt aus FORMULA, da nur der Summand mit FORMULA zur Summe beitraegt.

ITEM folgt aus ITEM mit FORMULA statt FORMULA, wegen FORMULA FORMULA.

ITEM folgt aus Satz REF mit Satz REF und Proposition REF.

ITEM folgt direkt aus Satz REF, da die Identitaet eine Karte ist.

ITEM folgt direkt aus Satz REF.

ITEM folgt direkt aus der Definition, da die FORMULA linear sind.

ITEM folgt durch wiederholte Abdivision, ITEM aus der Gradformel EQN und ITEM dann aus ITEM.

ITEM folgt ebenso aus FORMULA.

ITEM folgt ebenso.

ITEM folgt fuer Polynome aus ITEM und Proposition REF, und durch Quotientenbildung fuer rationale Funktionen.

ITEM folgt fuer Spalten aus der Multilinearitaet, und dann fuer Zeilen wegen FORMULA ITEM folgt fuer Spalten aus Satz REF, und dann fuer Zeilen wegen FORMULA.

ITEM folgt mit FORMULA statt FORMULA aus Satz REF, ITEM ebenso aus Satz REF und ITEM ebenso aus Satz REF

ITEM folgt sofort aus ITEM, da die FORMULA eine Basis von FORMULA bilden.

ITEM folgt sofort aus der Definition, und ITEM aus EQN und EQN.

ITEM geht induktiv durch mehrmaliges Wegnehmen einzelner Punkte FORMULA.

ITEM gilt nach Satz REF, da FORMULA mit DISPLAY gleichbedeutend ist.

ITEM gilt nach Satz REF, da fuer FORMULA die aeussere Ableitung FORMULA wegen DISPLAY genau dann verschwindet, wenn FORMULA symmetrisch ist.

ITEM gilt, da FORMULA gleichwertig ist zu DISPLAY

ITEM gilt, da FORMULA offenbar linear ist.

ITEM ist der Spezialfall FORMULA von ITEM; es reicht also ITEM zu zeigen.

ITEM ist der Spezialfall FORMULA von Satz REF, und ITEM gilt ebenfalls nach Satz REF, da die Differenz zweier Loesungen von EQN eine Loesung von EQN ist.

ITEM nach Cavalieri.

ITEM und ITEM folgen sofort aus Satz REF, und ITEM gilt wegen DISPLAY ITEM Fuer FORMULA gilt: DISPLAY

ITEM {(Leibniz-Kriterium)} Ist FORMULA eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert FORMULA gegen einen Wert FORMULA mit DISPLAY d.h. der Fehler beim Abbruch der Reihe ist hoechstens gleich dem ersten weggelassenen Glied.

ITEM: Es ist DISPLAY Ist FORMULA hermitesch, so folgt, dass FORMULA beim Konjugieren unveraendert bleibt, also reell ist.

Ideale Wuerfel sind ein sogenanntes Modell realer Situationen.

Idealisiert man weiter, indem man ausser der Reversibilitaet fordert, dass kein Waermeverlust eintritt, FORMULA (fuer ein isoliertes System, was streng nur am absoluten Nullpunkt FORMULA gilt), so wird aus EQN der Energieerhaltungssatz (1.Hauptsatz).

Im Beispiel EQN folgt insbesondere, dass der Rand der offenen Kugel FORMULA aus allen Punkten mit FORMULA, d.h. mit FORMULA besteht, und dass der aeussere Normalenvektor im Randpunkt FORMULA durch FORMULA gegeben ist.

Im Beispiel mit den Treppenfunktionen haengt das damit zusammen, dass der Flaecheninhalt eines "Strichs" (etwa zum Graph von FORMULA fuer FORMULA) Null ist.

Im Beweis von Satz REF wurde in Gleichung (6.

Im FORMULA ist dieses Gebiet einfach zusammenhaengend (aber Satz REF ist nicht anwendbar), im FORMULA dagegen nicht (Spiralen um den Mittelpunkt sind nur dann homotop, wenn sie dieselbe "Windungszahl" haben).

Im FORMULA laesst sich eine Kugeloberflaeche vom Radius FORMULA auf verschiedene Weise darstellen, als DISPLAY oder als DISPLAY EQN ist eine implizite Darstellung durch Zwangsbedingungen, EQN eine explizite Parameterdarstellung durch Kugelkoordinaten (= raeumliche Polarkoordinaten).

Im Fall FORMULA ergeben sich die Koordinaten aus DISPLAY

Im Fall FORMULA hat sie die Koordinaten DISPLAY

Im Fall FORMULA heisst FORMULA ein \define{Skalarfeld} (auf FORMULA), im Fall FORMULA ein \define{Vektorfeld} (auf FORMULA), und im Fall FORMULA ein \define{Tensorfeld} (auf FORMULA).

Im Fall der Konvergenz bezeichnet man den Grenzwert ebenfalls mit der Formel EQN.

Im Fall der Konvergenz ist die entstehende Funktion wieder periodisch mit Kreisfrequenz FORMULA.

Im Fall der absoluten Konvergenz sind fuer endliche Indexmengen FORMULA die Teilsummen DISPLAY beschraenkt, da FORMULA und FORMULA beschraenkt sind.

Im Fall des Leibniz-Kriteriums laesst sich die Fehlerabschaetzung noch etwas verbessern (Uebungsaufgabe).

Im Fall hermitescher Matrizen lassen sich weiterreichende Aussagen machen.

Im Fall, dass FORMULA konstant bleibt, ist auch FORMULA konstant und zwar ist FORMULA ein stationaerer Punkt von FORMULA.

Im Folgenden beziehen wir uns fuer FORMULA immer auf das durch EQN definierte monotone lineare Funktional FORMULA.

Im Folgenden werden wir oft Funktionen durch fast ueberall gleiche ersetzen, ohne dies jedesmal ausdruecklich zu rechtfertigen.

Im Grenzwert FORMULA erhaelt man die genaue Groesse dieser Flaeche.

Im Limes FORMULA (also FORMULA) findet man FORMULA.

Im Mehrdimensionalen benutzt man die Linearisierungseigenschaft zur Definition der Ableitung.

Im Mehrdimensionalen ist der Rand komplizierter als im FORMULA, und man verlangt in der Regel, dass FORMULA auf dem Rand ist.

Im Mehrdimensionalen ist der Rand komplizierter als im FORMULA, und man verlangt in der Regel, dass FORMULA auf dem Rand ist.

Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik sind die folgenden Begriffe gebraeuchlich.

Im Rahmen der benutzten Approximation liegen also alle FORMULA in der Naehe des PREFIX dimensionalen Unterraums, der von den ersten FORMULA singulaeren Vektoren aufgespannt wird.

Im Rest des Kapitels betrachten wir nur noch den Spezialfall, wo FORMULA ein Standardvektorraum ist, die linearen Selbstabbildungen also quadratische Matrizen sind.

Im Rest des Kapitels betrachten wir parameterabhaengige Integrale.

Im Rest des Kapitels ist FORMULA ein fester absoluter Funktionenraum und FORMULA ein festes Integral auf FORMULA.

Im Rest dieses Kapitels ist FORMULA ein festes monotones lineares Funktional und FORMULA das zugehoerige Daniell-Integral.

Im Spezialfall FORMULA sind dies genau 3 Bedingungen, die sich auch als DISPLAY schreiben lassen.

Im Spezialfall FORMULA sind in EQN alle FORMULA mit hoechstens zwei Ausnahmen Null.

Im Unendlich-dimensionalen ist die entsprechende Aussage falsch.

Im Unterschied zu den in den frueheren Kapiteln gemachten Aussagen sind diese Existenzaussagen nicht konstruktiv, und muessen in den Anwendungen durch konstruktive Naeherungsverfahren ergaenzt werden; dies geschieht in der Numerischen Analysis.

Im Unterschied zum Banachschen Fixpunktsatz braucht man keine Kontraktionseigenschaft nachzuweisen, verliert allerdings dafuer die Eindeutigkeitsaussage.

Im Unterschied zum Banachschen Fixpunktsatz braucht man keine Kontraktionseigenschaft nachzuweisen, verliert allerdings dafuer die Eindeutigkeitsaussage.

Im Vergleich zur Schule wird Ihnen das Tempo vielleicht manchmal atemberaubend schnell vorkommen.

Im ersten Studienjahr muessen angehende Mathematiker und Naturwissenschaftler diese Sprache lernen.

Im hier vorliegenden Fall ist FORMULA die Voraussetzung und FORMULA die Behauptung.

Im letzten Fall ist es ohne formale Hilfsmittel schon unuebersichtlich zu sehen, dass FORMULA erfuellt ist.

Im mathematischen Sprachgebrauch ordnet man jedoch unter Topologie vor allem die Aussagen ein, deren Gueltigkeit von zusaetzlichen topologischen Eigenschaften abhaengt.

Im naechsten Kapitel werden alle Begriffe im Kontext des physikalischen Raumes (FORMULA und FORMULA) konkretisiert; jedoch muss man sich im Klaren darueber sein, dass die Begriffe auch in anderen Zusammenhaengen mit anderer Bedeutung anwendbar sind.

Im projektiven Abschluss der komplexen Zahlenebene bilden Moebiustransformationen in der Regel Kreise auf Kreise ab.

Im rest des Kapitels ist FORMULA stets ein Banachraum ueber FORMULA.

Im schon behandelten Beispiel REF mit den Wuerfeln ist FORMULA, also DISPLAY wo FORMULA die durch DISPLAY definierte \define{Heaviside-Funktion} ist.

Im stabilen Gleichgewicht nimmt das Potential daher nicht seinen kleinsten Wert ueber ganz FORMULA, sondern nur ueber der Flaeche EQN an.

Im vorliegenden Rahmen koennen wir nur wenige allgemeine Aussagen behandeln, und konzentrieren uns hauptsaechlich auf den einfacheren endlich-dimensionalen Fall.

Im wichtigsten Spezialfall FORMULA kann man fuer reellwertige Treppenfunktionen FORMULA mit Stufen bei FORMULA das Integral DISPLAY als den (\define{orientierten}, d.h. unterhalb der PREFIX Achse negativ gezaehlten) und FORMULA als den (\define{unorientierten}, d.h. auch unterhalb der PREFIX Achse positiv gezaehlten) \define{Flaecheninhalt} zwischen dem Graph von FORMULA und der PREFIX Achse interpretieren (warum?).

In Beispiel REF (und fuer das Stieltjes-Integral FORMULA mit stetigem FORMULA) sind alle endlichen Mengen Nullmengen, in Beispiel REF alle Mengen, die zu FORMULA disjunkt sind, in Beispiel REF alle Mengen, die FORMULA nicht enthalten, und in Beispiel REF ist die leere Menge die einzige Nullmenge (Beweise als Uebungsaufgabe).

In Beispiel REF hatten wir FORMULA zerlegt als DISPLAY Aus FORMULA folgt FORMULA.

In FORMULA bedeutet die Orientierung fuer FORMULA (Kurven) die Auszeichnung einer Durchlaufrichtung (vorwaerts/rueckwaerts), fuer FORMULA (Flaechen) die Auszeichnung einer Ober- bzw. Unterseite (oder Aussen- bzw. Innenseite), und fuer FORMULA die Auszeichnung eines rechtshaendigen bzw. linkshaendigen Koordinatensystems. Es ist bemerkenswert, dass es im Unterschied zu den stets orientierten Kurven nichtorientierbare Flaechen (z.B. das bekannte Moebiusband) gibt.

In FORMULA ist jede abgeschlossene Kugel kompakt.

In FORMULA sind genau die endlichen Teilmengen kompakt, und alle Funktionen FORMULA sind stetig.

In ITEM folgt nicht unbedingt FORMULA.

In Kapitel 20 will ich versuchen, auf unendliche Reihen zu verzichten; dann koennte man vielleicht das Kapitel dem ueber Topologie voranstellen.

In Komponenten ausgeschrieben lautet eine Zerlegung FORMULA der beschriebenen Form DISPLAY Man sieht daraus, dass die Komponenten der fuehrenden PREFIX dimensionalen Untermatrizen FORMULA nur von den entsprechenden Untermatrizen von FORMULA und FORMULA abhaengen.

In Rang PREFIX Matrizen sind je zwei Zeilen (und je zwei Spalten) linear abhaengig, d.h. alle Zeilen (und alle Spalten) sind Vielfache desselben Zeilenvektors (bzw. Spaltenvektors).

In beiden Faellen ist also DISPLAY Wir bilden nun die zugehoerige unitaere Matrix FORMULA.

In den Bildern ist die Umlaufrichtung der Kurven durch Pfeile gekennzeichnet und das Innere grau getoent.

In den Grundlagen, die in diesem Buch erarbeitet werden, ist diese Sprache voellig einheitliche; in Spezialgebieten, die noch in Entwicklung sind, gibt es jeweils Dialekte, die durch verschiedene Traditionen gepraegt sind.

In den folgenden Beispielen messen wir die unabhaengige Variable in Vielfachen der Kreisfrequenz, so dass also o.B.d.A. FORMULA und daher FORMULA ist.

In den interessantesten Faellen (stueckweise glatter Rand) haengt das Integral nur von den Werten von FORMULA auf FORMULA ab und wird dort durch ein Oberflaechenintegral gegeben; das ist der Gauss`sche Integralsatz.

In der Faktorisierung EQN kann man daher konjugiert komplexe Linearfaktoren stets zu reellen quadratischen Faktoren zusammenfassen.

In der Naehe von Unstetigkeitsstellen von FORMULA bricht diese Interpretation allerdings zusammen.

In der Physik haben periodische Prozesse vor allem deshalb eine grosse Bedeutung, weil Systeme in Gleichgewichtsnaehe mehr oder weniger periodische Bewegungen um das Gleichgewicht ausfuehren.

In der Physik spielen lineare Operatoren eine ganz zentrale Rolle in der Quantenmechanik.

In der Physik spielen vor allem PREFIX Formen (Thermodynamik) und PREFIX Formen (Hamilton'sche Mechanik) eine Rolle.

In der Physik treten Kurvenintegrale u.a. bei der Berechnung von Potentialen zu konservativen Vektorfeldern auf; die Formulierung mit PREFIX Formen (Differentialen) spielt in der Thermodynamik eine grosse Rolle.

In der Physik wird dieses Integral als DISPLAY mit der sogenannten \define{Deltafunktion} FORMULA geschrieben.

In der Praxis rechnet man Integrale, die man in den Tafeln nicht findet, in der Regel mit Verfahren der numerischen Mathematik aus. In diesem Kapitel behandeln wir Skalarprodukt, bras und kets Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, FORMULA, Laenge, Winkel abgeschlossene und vollstaendige Unterraeume, Hilbertraum orthogonale Projektion orthogonale Polynome, Legendre-Polynome; Gaussquadratur; Hermite-Polynome Isometrien, Rotation, Spiegelung, orthogonale Gruppe, Euler-Winkel, PREFIX Zerlegung adjungierte Abbildungen In diesem Kapitel zeigen wir, wie sich fast beliebige periodische Funktionen als sogenannte Fourierreihen schreiben lassen, d.h. als Linearkombination geeigneter Exponentialfunktionen.

In der Praxis treten zum Teil Probleme auf, weil man in der Regel nur mit beschraenkter Rechengenauigkeit arbeiten kann, und man muss bei der Wahl der Permutationen (der sogenannten Pivotsuche) Sorgfalt walten lassen.

In der Praxis werden sowohl die Normalgleichungen EQN als auch das sich aus einer orthogonalen Faktorisierung ergebende dreieckige Gleichungssystem EQN zur Loesung von linearen Kleinste-Quadrate-Problemen benutzt.

In der Quantenphysik ist FORMULA ein sogen.

In der Quantenphysik sind die Zufallsvariablen lineare Operatoren, die eine nichtkommutative Algebra bilden und wegen der fehlenden Kommutativitaet ergeben sich Quanteneffekte, z.B. die Unschaerferelationen.)

In der Thermodynamik (Bsp) sind die relevanten Groessen Funktionen des (hochdimensionalen) Zustandsvektors FORMULA der Molekuele eines Gases. Der Hauptsatz der Thermodynamik drueckt eine Ungleichung zwischen PREFIX Formen aus: DISPLAY mit den extensiven Groessen FORMULA (Entropie), FORMULA (innere Energie), FORMULA (Volumen), FORMULA (Zahl der Molekuele der Sorte FORMULA) und den konjugierten intensiven Groessen FORMULA (absolute Temperatur), FORMULA (Druck) und FORMULA (chemisches Potential der Sorte FORMULA).

In der mathematischen Tradition steht die koordinatenabhaengige Definition durch PREFIX Linearformen im Vordergrund.

In der neuen Version ist F im Beweis zu Satz REF doppeldeutig: einmal wird F fuer eine Funktion von x und dann in der Homotopie als Funktion von t und x verwendet.

In der neuen Version ist F im Beweis zu Satz REF doppeldeutig: einmal wird F fuer eine Funktion von x und dann in der Homotopie als Funktion von t und x verwendet.

In der physikalischen Tradition geht man bei der Definition von Tensoren von dem Transformationsgesetz bei Wechsel der Koordinaten aus. Das Gesetz EQN entspricht einem \define{PREFIX fach kovarianten Tensor}.

In diesem Fall braucht der Gradient FORMULA (d.h. die vom Potential ausgeuebte Kraft) daher nicht Null zu werden, sondern wird sich auf einen Wert senkrecht zur Flaeche einstellen.

In diesem Fall erhaelt man alle Loesungen, indem man die FORMULA Komponenten FORMULA mit FORMULA beliebig waehlt, und die uebrigen Komponenten rueckwaerts rekursiv aus den Gleichungen DISPLAY berechnet.

In diesem Fall erhaelt man aus der Tschebyshev-Ungleichung FORMULA und daher EQN.

In diesem Fall gilt DISPLAY

In diesem Fall gilt DISPLAY Ausserdem gilt fuer FORMULA DISPLAY und fuer FORMULA DISPLAY

In diesem Fall ist DISPLAY fuer jede in FORMULA verlaufende Kurve FORMULA von FORMULA nach FORMULA.

In diesem Fall ist DISPLAY fuer jede in FORMULA verlaufende Kurve FORMULA von FORMULA nach FORMULA.

In diesem Fall ist FORMULA die exakte Zahl der Nullstellen (entsprechend ihrer Vielfachheit gezaehlt).

In diesem Fall ist FORMULA die exakte Zahl der Nullstellen (entsprechend ihrer Vielfachheit gezaehlt).

In diesem Fall muss man zusaetzliche Ueberlegungen anstellen, damit der Rechenaufwand gering gehalten werden kann.

In diesem Kapitel behandeln wir die Grundlagen der Masstheorie, die fuer eine genaue Definition von Volumen und Volumenintegral, Oberflaeche und Oberflaechenintegral notwendig sind.

In diesem Kapitel behandeln wir die mathematische Beschreibung von PREFIX dimensionalen Flaechen im FORMULA durch implizite Funktionen bzw. Zwangsbedingungen und durch Karten bzw. krummlinige Koordinatensysteme.

In diesem Kapitel behandeln wir gewisse Aspekte der Analysis vom Standpunkt der linearen Algebra aus. Wir zeigen, dass sich die partiellen Ableitungen und Richtungsableitungen als lineare Abbildungen, sogenannte Differentialoperatoren, interpretieren lassen, stellen den fuer die Elementarteilchenphysik wichtigen Begriff der Lie-Algebra vor, und leiten eine Formel fuer die Taylorentwicklung von Skalarfeldern her.

In diesem Kapitel behandeln wir rationale Funktionen, d.h. Polynome und ihre Quotienten.

In diesem Kapitel definieren wir die wichtigsten elementaren Funktionen, naemlich die Exponentialfunktion, die allgemeine Potenz, die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen.

In diesem Kapitel geht es um verschiedene Fragestellungen der linearen Algebra, die sich mit Hilfe von Matrixzerlegungen uebersichtlich behandeln lassen.

In diesem Kapitel ist FORMULA irgendeine Menge (unter der man sich einfach FORMULA vorstellen kann).

In diesem Kapitel ist FORMULA stets ein Banachraum ueber FORMULA oder FORMULA.

In diesem Kapitel ist FORMULA stets ein Zahlkoerper.

In diesem Kapitel ist FORMULA, und Kugeln sind stets in der euklidischen Norm FORMULA zu verstehen.

In diesem Kapitel konkretisieren wir (endlich!) die Aussagen der letzten beiden Kapitel, indem wir sie auf die Integration im FORMULA anwenden.

In diesem Kapitel lernen wir die wichtigsten Begriffe kennen, auf denen Mathematiker ihre Theorien aufbauen: Mengen, Ringe, Koerper, Abbildungen und Gruppen.

In diesem Kapitel stellen wir das Rechnen mit Integralen auf eine allgemeinere Grundlage.

In diesem Kapitel untersuchen wir Kurvenintegrale, zeigen, wie sich Integrale als Grenzwerte von Summen darstellen lassen und definieren die Laenge von Wegen.

In dieser Reihenfolge zuerst genannte Operationen werden zuerst ausgefuehrt.

In dieser Umgebung gilt dann FORMULA.

In einem Banachraum FORMULA ist jede Folge FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY und FORMULA linear konvergent, und fuer den Grenzwert FORMULA gilt DISPLAY

In einem Banachraum konvergiert jede Anordnung einer absolut konvergenten Summe EQN, und der -- ebenfalls mit EQN bezeichnete -- Grenzwert ist unabhaengig von der Anordnung.

In einem beliebigen Koordinatensystem FORMULA hat FORMULA die Koordinaten DISPLAY

In einer Umgebung von FORMULA haben daher alle Loesungen von FORMULA die Form DISPLAY Die Voraussetzung des Satzes besagt also, dass die Funktion FORMULA ein lokales Extremum in FORMULA hat, d.h. es gilt DISPLAY Mit der Abkuerzung FORMULA ist nun DISPLAY Also ist FORMULA, d.h. FORMULA ist stationaerer Punkt von FORMULA. FORMULA

In einer unendlichen Reihe haben also die Summanden eine festgelegte Reihenfolge, in einer unendlichen Summe nicht.

In einfachen Faellen sind die Residuen gerade die Differenzen zwischen den tatsaechlichen Daten und den vom Modell vorhergesagten Werten.

In einfachen, grundlegenden Faellen laesst sich die Summe leicht ausrechnen:

In einigen Kapiteln habe ich noch einige groessere Aenderungen vor: In Kapitel 6 soll der Grenzwertbegriff schon eingefuehrt und zur Definition der Ableitung benutzt werden, dann soll die Steigungsinterpretation bewiesen und benutzt werden.

In hochdimensionalen Gleichungssystemen, wie sie in vielen Anwendungen vorkommen (manchmal mit Millionen von Variablen!), sind die Matrizen meist \define{duennbesetzt}, d.h. die meisten Koeffizienten sind Null.

In jedem Ring gelten fuer Kommutatoren die \define{Lie-Algebra-Gesetze}

In praktischen Anwendungen sind FORMULA oft zeitabhaengig, und z.T.

In unserem Fall findet man durch Probieren die Nullstelle FORMULA, also den Faktor FORMULA, und erhaelt FORMULA.

In vielen Faellen ist der Konvergenzradius naemlich Null, d.h. die Summanden werden fuer FORMULA nicht oder nicht genuegend schnell klein.

In vielen Gedankenexperimenten wird von idealen Wuerfeln ausgegangen, in denen alle Augenzahlen gleich wahrscheinlich sind; dann sind wegen FORMULA alle FORMULA.

Indem man diesen Prozess fuer FORMULA durchfuehrt, findet man also ein Orthonormalsystem mit den geforderten Eigenschaften.

Indem man ggf.

Induktion und Entwicklung nach der ersten Spalte bzw. Zeile (Uebungsaufgabe).

Induktiv ergibt sich EQN fuer FORMULA, denn aus FORMULA folgt DISPLAY und fuer FORMULA ist DISPLAY Schliesslich folgt FORMULA aus Proposition REF, und DISPLAY ergibt FORMULA.

Induktiv folgt ITEM.

Innerhalb jeder vorgegebenen Genauigkeit reichen endlich viele Punkte schon aus, um ganz FORMULA zu "beschreiben"; natuerlich braucht man umso mehr Punkte (grosses FORMULA in EQN), je kleiner FORMULA ist.

Insbesondere befreien wir uns von der bisherigen Einschraenkung, dass das bestimmte Integral nur fuer stetige Funktionen und ueber beschraenkte Intervalle definiert war.

Insbesondere behandeln wir Potenzreihen, die viele praktisch relevante Funktionen wie die Exponentialfunktion definieren.

Insbesondere gilt DISPLAY

Insbesondere hat die Einheitsmatrix den einzigen Eigenwert 1.

Insbesondere ist DISPLAY

Insbesondere ist DISPLAY Da die Determinante einer normierten Dreiecksmatrix den Wert 1 hat, folgt DISPLAY Ist FORMULA regulaer, so hat FORMULA keine Nullspalte, also sind alle Diagonalelemente von Null verschieden, und daher alle FORMULA, d.h. die FORMULA sind regulaer.

Insbesondere ist DISPLAY ITEM Fuer FORMULA mit FORMULA heisst DISPLAY der PREFIX dimensionale \define{Quader} mit linkem unteren Eckpunkt FORMULA und rechtem oberen Eckpunkt FORMULA.

Insbesondere ist DISPLAY Jedes FORMULA laesst sich eindeutig als Linearkombination DISPLAY schreiben; es ist also FORMULA mit DISPLAY insbesondere sind FORMULA und FORMULA orthogonal.

Insbesondere ist FORMULA beschraenkt, also FORMULA kompakt.

Insbesondere ist FORMULA ein PREFIX dimensionaler Vektorraum.

Insbesondere ist FORMULA injektiv, und als quadratische Matrix daher regulaer.

Insbesondere ist FORMULA streng monoton wachsend.

Insbesondere ist FORMULA, also FORMULA.

Insbesondere ist FORMULA.

Insbesondere ist der Grad FORMULA und der \define{hoechste Koeffizient} FORMULA von FORMULA wohlbestimmt.

Insbesondere ist fuer FORMULA jede lineare Abbildung von FORMULA nach FORMULA stetig.

Insbesondere ist mit FORMULA auch FORMULA unitaer.

Insbesondere muessen die Randpunkte FORMULA des linken Intervalls auch Randpunkte des rechten Intervalls sein, also FORMULA erfuellen.

Insbesondere muss man auf die Reihenfolge der Faktoren achten und darf nicht ohne weiteres gemeinsame Faktoren kuerzen.

Insbesondere sind FORMULA in ganz FORMULA analytisch, also ganze Funktionen.

Insbesondere sind alle offenen Mengen FORMULA orientierbare PREFIX Flaechen, mit der Identitaet als Karte.

Insbesondere sind die Eigenwerte von FORMULA gerade die Zahlen FORMULA.

Insbesondere zeigt EQN, dass FORMULA durch die partiellen Ableitungen schon festgelegt ist.

Insgesamt erhalten wir DISPLAY Wie vom letzten Satz her zu erwarten, ist das Ergebnis unabhaengig von FORMULA.

Integrale ueber Mengen, die keine Quader sind, kann man oft -- insbesondere in zwei Dimensionen FORMULA -- mit dem folgenden Satz berechnen.

Integrale ueber unbeschraenkte Intervalle koennen nun (unter bestimmten Bedingungen) als Grenzwerte von Integralen mit endlichen Grenzen berechnet werden:

Integraltafeln.

Interessanterweise genuegt genau dieselbe Information, um die entsprechenden Pade-Approximationen (aus den Gleichungen EQN und EQN des nachfolgenden Beweises) zu berechnen.

Interpretation: Die FORMULA koennen nicht schnell genug weglaufen von FORMULA um divergent zu sein.

Interpretiert wird die Ungleichung EQN als Kurvenintegral DISPLAY ueber die vom zeitabhaengigen Zustandvektor FORMULA im Phasenraum beschriebene Kurve FORMULA.

Intuitive geometrische Beispiele fuer Abbildungsgruppen, denen wir bald eine praezise Definition geben werden, sind die Menge der Translationen in der Ebene oder im Raum, die Menge der Drehungen um einen festen Punkt, oder die Menge der Abbildungen, die aus einer Drehung um einen beliebigen Punkt und einer nachfolgenden Translation bestehen.

Ist DISPLAY nichtleer und gilt DISPLAY so ist FORMULA eine PREFIX Flaeche.

Ist DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar und es gilt DISPLAY

Ist DISPLAY und ist (mit FORMULA fuer FORMULA) die Matrix DISPLAY regulaer, so gibt es durch FORMULA eindeutig bestimmte Polynome FORMULA vom Grad FORMULA und FORMULA vom Grad FORMULA mit FORMULA und DISPLAY

Ist FORMULA analytisch im Gebiet FORMULA und FORMULA eine durch den PREFIX Weg FORMULA gegebene Kurve, so definieren wir das \define{komplexe Kurvenintegral} DISPLAY und analog DISPLAY Fuer stueckweise PREFIX Wege sind die entsprechenden Integrale als Summe der Integrale ueber die PREFIX Teilwege definiert.

Ist FORMULA bijektiv, so gilt ebenso FORMULA, und EQN folgt.

Ist FORMULA bijektiv, so ist die Inverse beschraenkt, da FORMULA endlich-dimensional ist.

Ist FORMULA der kleinste solche Index, so ist DISPLAY mit DISPLAY Insbesondere ist FORMULA.

Ist FORMULA die Nullmatrix, so geht wieder FORMULA.

Ist FORMULA die Zahl der positiven singulaeren Werte, so ist DISPLAY Fuer die Vektoren FORMULA gilt DISPLAY Fuer FORMULA findet man, dass die Vektoren FORMULA fuer FORMULA ein Orthonormalsystem bilden, das wir zu einer Orthonormalbasis FORMULA von FORMULA ergaenzen.

Ist FORMULA durch eine Potenzreihe DISPLAY mit Konvergenzradius FORMULA darstellbar, so konvergiert die Reihe DISPLAY fuer beliebige Matrizen FORMULA mit FORMULA absolut.

Ist FORMULA ein Banachraum, gibt es eine injektive lineare Abbildung FORMULA mit DISPLAY und ist DISPLAY so hat FORMULA in FORMULA genau eine Nullstelle FORMULA, und es gilt DISPLAY

Ist FORMULA ein PREFIX Weg und FORMULA der zugehoerige Weg auf der Karte FORMULA, so ist FORMULA, also FORMULA und daher DISPLAY Fuer das skalare Kurvenintegral ueber die durch FORMULA beschriebene Kurve FORMULA ergibt sich DISPLAY Insbesondere erhaelt man fuer die Laenge von FORMULA den Ausdruck DISPLAY Bei der Flaechenberechnung kommt dann die Determinante FORMULA ins Spiel, wie wir bald sehen werden.

Ist FORMULA ein Produkt von FORMULA Transpositionen FORMULA, so ist also FORMULA; wegen EQN und EQN ist aber auch FORMULA.

Ist FORMULA ein beliebiges Koordinatensystem und FORMULA die zugehoerige Transformationsmatrix, so ist FORMULA, also DISPLAY nach Satz REF also DISPLAY

Ist FORMULA ein durch die Karte FORMULA gegebenes Flaechenstueck, so ist DISPLAY und DISPLAY

Ist FORMULA eine Permutation, so ergibt sich FORMULA aus FORMULA wegen FORMULA durch Multiplikation mit je einem Faktor FORMULA fuer jede Inversion von FORMULA, also insgesamt durch Multiplikation mit sgn FORMULA.

Ist FORMULA eine exakte PREFIX Form, so ist FORMULA fuer eine PREFIX Form FORMULA, also FORMULA.

Ist FORMULA eine in FORMULA enthaltene Kugel, so gehoert fuer FORMULA der Vektor FORMULA zu FORMULA, also zu FORMULA, und es ist FORMULA.

Ist FORMULA eine nichtleere, echte, relativ zu FORMULA abgeschlossene Teilmenge von FORMULA, so waehlen wir FORMULA und einen Weg FORMULA, der FORMULA und FORMULA verbindet.

Ist FORMULA eine offene Ueberdeckung von FORMULA, so erhalten wir durch Hinzufuegen der offenen Menge FORMULA eine offene Ueberdeckung von FORMULA.

Ist FORMULA eine permutierte Dreieckszerlegung von FORMULA mit FORMULA in PREFIX Stufenform, so ist FORMULA.

Ist FORMULA eine positiv orientierte geschlossene Kurve in FORMULA mit FORMULA, so gilt DISPLAY

Ist FORMULA eine reelle Zufallsvariable mit FORMULA, so gilt fuer jede Zahl FORMULA die Beziehung DISPLAY

Ist FORMULA fuer alle FORMULA symmetrisch, so gilt DISPLAY fuer beliebige in FORMULA zueinander homotope Kurven FORMULA mit denselben Endpunkten.

Ist FORMULA fuer alle FORMULA, so ist wegen der Stetigkeit von min auch FORMULA, und EQN folgt. FORMULA

Ist FORMULA im Gebiet FORMULA stetig differenzierbar und gilt FORMULA fuer alle FORMULA, so ist FORMULA in FORMULA konstant.

Ist FORMULA in FORMULA \define{kontrahierend}, d.h. gilt DISPLAY so hat die Gleichung FORMULA genau eine Loesung FORMULA (ein \define{Fixpunkt} von FORMULA), und es gilt DISPLAY

Ist FORMULA in FORMULA analytisch, so gilt FORMULA, und fuer ganzzahlige FORMULA gilt DISPLAY

Ist FORMULA in der kompakten Menge FORMULA stetig, so ist FORMULA in FORMULA beschraenkt: DISPLAY

Ist FORMULA in dieser Umgebung nach den ersten FORMULA Variablen stetig differenzierbar und ist die partielle Ableitung FORMULA nichtsingulaer, so gibt es Umgebungen FORMULA von FORMULA und FORMULA von FORMULA mit FORMULA derart, dass die Gleichung FORMULA fuer alle FORMULA genau eine Loesung FORMULA hat.

Ist FORMULA in einem Gebiet, das FORMULA und FORMULA enthaelt, analytisch, so gilt DISPLAY fuer alle FORMULA.

Ist FORMULA injektiv, so hat jedes Bild von FORMULA nur ein Urbild, dasselbe gilt dann aber auch von FORMULA.

Ist FORMULA keine Permutation, so gibt es Indices FORMULA mit FORMULA; wegen FORMULA ist dann FORMULA, und wegen FORMULA gilt wieder ITEM.

Ist FORMULA keine Permutation, so gibt es zwei Ziffern FORMULA mit FORMULA.

Ist FORMULA konvex, so kann man wegen FORMULA die magnetische Feldstaerke in der Form DISPLAY mit einem Vektorpotential FORMULA schreiben und erhaelt dann aus EQN DISPLAY also FORMULA.

Ist FORMULA lim FORMULA mit FORMULA, so gilt nach EQN FORMULA lim FORMULA.

Ist FORMULA mit FORMULA, so ist FORMULA fuer genuegend grosse FORMULA.

Ist FORMULA nicht einfach zusammenhaengend, so kann man dies meist erzwingen, indem man von FORMULA gewisse Schnitte entfernt.

Ist FORMULA nicht invertierbar, so sind die Spalten von FORMULA linear abhaengig, und nach Satz REF ist dann FORMULA.

Ist FORMULA periodisch mit Periode FORMULA und Kreisfrequenz FORMULA und gilt DISPLAY so laesst sich FORMULA in eine Fourierreihe EQN entwickeln, und die Koeffizienten sind eindeutig durch DISPLAY bestimmt.

Ist FORMULA periodisch mit Periode FORMULA und Kreisfrequenz FORMULA, so besitzt FORMULA eine absolut und gleichmaessig konvergente Fourierreihe EQN mit eindeutig bestimmten Fourierkoeffizienten EQN.

Ist FORMULA positiv definit, so ist FORMULA, nach Wahl von FORMULA gilt also DISPLAY Ist FORMULA, so hat FORMULA die Norm 1, liegt also in FORMULA, und aus EQN ergibt sich DISPLAY fuer FORMULA, aber natuerlich auch fuer FORMULA.

Ist FORMULA reell und FORMULA, so folgt FORMULA; da die Exponentialfunktion im Reellen streng monoton wachsend ist (FORMULA, ist FORMULA die einzige Loesung von FORMULA.

Ist FORMULA so folgt die Injektivitaet von FORMULA schon aus EQN: FORMULA ist naemlich nichtsingulaer wegen Satz REF; also ist FORMULA, und daher FORMULA.

Ist FORMULA so ist auch FORMULA, also verschwindet die Determinante.

Ist FORMULA stetig, so ist DISPLAY

Ist FORMULA stetig, so ist FORMULA (Stieltjes-)integrierbar, d.h. FORMULA fuer alle monoton wachsenden linksstetigen Funktionen FORMULA.

Ist FORMULA stueckweise stetig differenzierbar, so gilt DISPLAY

Ist FORMULA surjektiv, so kann man jede Gleichung FORMULA nach FORMULA aufloesen, also ist umgekehrt jedes Bild FORMULA unter FORMULA auch Bild FORMULA unter FORMULA.

Ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar FORMULA, so setzen wir DISPLAY Insbesondere ist DISPLAY

Ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar, so ist DISPLAY

Ist FORMULA ueber alle beschraenkten Teilintervalle von FORMULA integrierbar und gilt DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar, und es gilt DISPLAY

Ist FORMULA ueber alle kompakten Teilintervalle von FORMULA integrierbar und gilt DISPLAY so ist FORMULA ueber FORMULA integrierbar, und es gilt DISPLAY

Ist FORMULA und FORMULA mit FORMULA, so gilt DISPLAY Im Spezialfall FORMULA fuer alle FORMULA folgt DISPLAY d.h. die Folge der FORMULA bildet eine Cauchyfolge (in FORMULA) und konvergiert daher.

Ist FORMULA unitaer und FORMULA, so bleibt der Nullpunkt und der Abstand vom Nullpunkt erhalten; daher wird die euklidische Einheitskugel auf sich abgebildet.

Ist FORMULA unitaer, so folgt aus Proposition \ref p REF ITEM die Gleichung DISPLAY Also bleiben dann alle Abstaende invariant.

Ist FORMULA unsymmetrisch, so ist FORMULA symmetrisch; wegen FORMULA kann man also o.B.d.A. annehmen, dass FORMULA symmetrisch ist.

Ist FORMULA zu einer offenen konvexen Menge homoeomorph, so ist FORMULA ein einfach zusammenhaengendes Gebiet.

Ist FORMULA, so entfaellt dieser Unterschied.

Ist FORMULA, so folgt DISPLAY also verschwinden alle FORMULA.

Ist FORMULA, so gelten fuer FORMULA die Formeln DISPLAY

Ist FORMULA, so gibt es Vektoren FORMULA (FORMULA) mit FORMULA.

Ist FORMULA, so gibt es genau einen Vektor FORMULA mit DISPLAY Man kann FORMULA aus den sogen.

Ist FORMULA, so gilt EQN mit FORMULA statt FORMULA, also ist FORMULA ein Produkt von FORMULA Transpositionen.

Ist FORMULA, so hat FORMULA linear unabhaengige Zeilen, etwa die mit Index FORMULA.

Ist FORMULA, so hat die Menge DISPLAY das Mass Null.

Ist FORMULA, so hat die Menge DISPLAY das Mass Null.

Ist FORMULA, so ist DISPLAY

Ist FORMULA, so ist DISPLAY also gilt auch EQN.

Ist FORMULA, so ist DISPLAY fuer alle FORMULA, also sind FORMULA linear unabhaengig.

Ist FORMULA, so ist FORMULA fuer fast alle FORMULA, etwa fuer FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA in einem FORMULA enthalten, also FORMULA; daher bilden die FORMULA eine offene Ueberdeckung von FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA mit FORMULA, wegen FORMULA also FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA nach EQN und EQN, und umgekehrt folgt aus FORMULA, dass FORMULA ist.

Ist FORMULA, so ist FORMULA stetig in FORMULA, also integrierbar.

Ist FORMULA, so ist FORMULA und FORMULA, also in EQN und EQN FORMULA (Matrix FORMULA Skalar) und FORMULA (Spaltenvektor FORMULA Zeilenvektor).

Ist FORMULA, so ist FORMULA, also FORMULA also FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA, also FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA, also FORMULA; daher ist FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA, da das Infimum auf der kompakten Menge angenommen wird.

Ist FORMULA, so ist FORMULA, und EQN gilt ebenfalls. ITEM (vi) Nach Satz REF ist FORMULA, und fuer FORMULA folgt wegen EQN wieder FORMULA FORMULA

Ist FORMULA, so ist FORMULA.

Ist FORMULA, so ist FORMULA.

Ist FORMULA, so ist auch FORMULA, also FORMULA wegen EQN.

Ist FORMULA, so ist der Vektor FORMULA und FORMULA.

Ist FORMULA, so ist die erste Spalte von FORMULA nach Proposition REF ein Eigenvektor von FORMULA.

Ist FORMULA, so ist fuer nichtsingulaere FORMULA und beliebige FORMULA die Funktion FORMULA integrierbar, und es gilt DISPLAY

Ist FORMULA, so ist wegen DISPLAY auch DISPLAY also FORMULA und EQN.

Ist FORMULA, so kann man durch Polynomdivision Polynome FORMULA und FORMULA mit FORMULA und FORMULA bestimmen.

Ist FORMULA, so muss jede Umgebung von FORMULA Punkte FORMULA mit FORMULA, FORMULA enthalten, wegen der Stetigkeit von FORMULA ist also FORMULA.

Ist FORMULA, so setzen wir DISPLAY Damit ist DISPLAY also DISPLAY Daher ist die Summe FORMULA in der PREFIX Norm absolut konvergent.

Ist FORMULA, so setzen wir FORMULA, FORMULA.

Ist FORMULA, so setzen wir FORMULA; nach Vorraussetzung ist FORMULA endlich.

Ist FORMULA, so sind FORMULA und FORMULA invertierbar, und es ist DISPLAY da FORMULA und FORMULA unitaer sind.

Ist FORMULA, so sind die Spalten von FORMULA linear abhaengig, also gibt es einen Vektor FORMULA mit FORMULA.

Ist FORMULA, so wenden wir EQN auf ein FORMULA mit FORMULA an und finden DISPLAY wegen der Linearitaet des Integrals also EQN.

Ist aber FORMULA und FORMULA, so haengt EQN gar nicht von FORMULA ab.

Ist aber FORMULA, so folgt, dass FORMULA und FORMULA auf Null abgebildet werden.

Ist also FORMULA nichtleer, so enthaelt es mit einem Punkt FORMULA auch die ganze Gerade FORMULA, und ist wieder unbeschraenkt.

Ist also FORMULA, so kann FORMULA nicht bijektiv sein.

Ist ausserdem FORMULA aehnlich zu FORMULA, so ist FORMULA auch aehnlich zu FORMULA.

Ist ausserdem FORMULA mit beschraenktem FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

Ist dann FORMULA und FORMULA, also FORMULA, und wie vorher DISPLAY Also ist der Satz ueber majorisierte Konvergenz anwendbar und FORMULA ist integrierbar.

Ist das nicht der Fall, so heissen die Perioden \define{inkommensurabel}; fuer FORMULA bedeutet das gerade, dass FORMULA / FORMULA irrational ist (Uebungsaufgabe).

Ist die Aenderung einer Funktion FORMULA proportional zu FORMULA selbst, DISPLAY so waechst ein Anfangswert FORMULA, falls FORMULA, und er faellt, falls FORMULA.

Ist die Bewegung eines mechanischen Systems mit Potential FORMULA durch Zwangsbedingungen auf eine Flaeche EQN im Zustandsraum eingeschraenkt, so kann das Potential nur auf dieser Flaeche variieren.

Ist die Reihe EQN absolut und gleichmaessig konvergent, so erhaelt man durch Multiplikation mit FORMULA und Integration die Formel DISPLAY Wegen DISPLAY fallen die Terme mit FORMULA weg, und wir erhalten DISPLAY also gilt EQN, und die Koeffizienten sind eindeutig bestimmt.

Ist die binaere Darstellung gegeben, so findet man die dezimale Darstellung mit dem Hornerschema: DISPLAY Ist die dezimale Darstellung gegeben, so findet man die binaere Darstellung durch wiederholte Division mit Rest (im Diagramm rechts anfangen!): DISPLAY (Man nimmt sozusagen das Hornerschema rueckwaerts.)

Ist dies stets der Fall, so haengt bei festem Anfangspunkt FORMULA das Integral DISPLAY nur vom Endpunkt FORMULA der Kurve FORMULA ab, und definiert damit ein Potential FORMULA (Beispiel: FORMULA Kraft, FORMULA Arbeit, FORMULA potentielle Energie, falls Arbeit wegunabhaengig).

Ist ein FORMULA, so ist EQN sicher dann erfuellt, wenn FORMULA ist und FORMULA so gross ist, dass FORMULA gilt.

Ist etwa FORMULA =" FORMULA " fuer FORMULA, so ist FORMULA fuer FORMULA die Aussage, die in den Experimenten FORMULA mit FORMULA wahr und in den uebrigen Experimenten falsch ist.

Ist etwa FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA.

Ist insbesondere FORMULA, so ist FORMULA eine Darstellung der gesuchten Art, also FORMULA und FORMULA.

Ist nun FORMULA beliebig, so ist FORMULA fuer ein FORMULA.

Ist nun FORMULA eine Homotopie mit der Eigenschaft EQN und ist DISPLAY so ist DISPLAY offenbar stetig von FORMULA abhaengig.

Ist nun FORMULA eine Homotopie mit der Eigenschaft EQN und ist DISPLAY so ist DISPLAY offenbar stetig von FORMULA abhaengig.

Ist nun FORMULA eine beliebige Karte von FORMULA, so ist FORMULA eine nichtsingulaere quadratische Matrix.

Ist nun FORMULA eine beliebige Kugel mit FORMULA, so liegt ein Punkt FORMULA in einer der Kugeln FORMULA, und wegen DISPLAY liegt die Kugel FORMULA in FORMULA und daher in FORMULA.

Ist umgekehrt FORMULA mit FORMULA, so hat FORMULA wegen EQN die Form FORMULA, also ist FORMULA.

Ist umgekehrt FORMULA regulaer, so aus demselben Grund auch FORMULA.

Ist umgekehrt FORMULA stetig, so ist FORMULA, und aus EQN folgt fuer beliebige FORMULA, dass DISPLAY gilt.

Ist umgekehrt FORMULA symmetrisch, so folgt die Wegunabhaengigkeit aus dem folgenden allgemeineren Ergebnis, da nach Definition REF in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet beliebige Wege mit denselben Endpunkten zueinander homotop sind.

Ist umgekehrt FORMULA und FORMULA, so ist FORMULA nach EQN.

Ist umgekehrt FORMULA, so gibt es eine Nullmenge FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

Ist umgekehrt FORMULA, so ist FORMULA; FORMULA.

Ist z.B. FORMULA eine periodische Kraft, so ist FORMULA dieselbe, aber erst zur Zeit FORMULA eingeschaltete Kraft.) Die kumulativen Verteilungsfunktion FORMULA ist stueckweise konstant und springt in kleinen Umgebungen von FORMULA mit FORMULA um FORMULA (falls die FORMULA paarweise verschieden sind).

Ist z.B. FORMULA mit FORMULA und FORMULA fuer FORMULA, ist zwar FORMULA, aber fuer FORMULA existiert der Limes FORMULA nicht, und fuer FORMULA ist FORMULA und nicht FORMULA.

Ist z.B. FORMULA, so ist FORMULA mit den Nullstellen FORMULA und FORMULA.

Je nach Anfangswerten ergibt sich aus EQN eine monotone Daempfung oder ein einmaliger Durchgang durch die Ruhelage FORMULA (Uebungsaufgabe!).

Je nach dem Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel erhaelt man ein unterschiedliches physikalisches Verhalten.

Je nachdem, welchen Fehler man toleriert, kann man FORMULA und damit den Unterraum kleiner oder groesser waehlen.

Je naeher sich FORMULA einem der Eigenwerte FORMULA des Systems naehert, um so kleiner wird FORMULA, also wird die Anregung FORMULA wegen EQN in der Naehe der Eigenwerte verstaerkt (\define{Resonanz}).

Jede PREFIX Form FORMULA ueber FORMULA laesst sich eindeutig als Linearkombination DISPLAY schreiben, d.h. die Formen FORMULA bilden eine Basis von FORMULA.

Jede Zahl FORMULA mit EQN heisst eine \define{Schranke} von FORMULA.

Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist kompakt.

Jede beschraenkte Folge in FORMULA hat mindestens einen Haeufungspunkt; insbesondere ist FORMULA ein Banachraum.

Jede exakte Form ist geschlossen.

Jede geschlossene PREFIX Form ueber einem konvexen (oder wenigstens sternfoermigen) Gebiet ist exakt.

Jede gleichmaessig konvergente Folge ist punktweise konvergent (mit gleichem Grenzwert); eine punktweise konvergente Folge braucht aber nicht gleichmaessig konvergent zu sein.

Jede in einem Gebiet FORMULA analytische Funktion FORMULA ist dort beliebig oft differenzierbar, und es gilt die \define{Cauchy'sche Integralformel} DISPLAY fuer jede FORMULA umlaufende positiv orientierte geschlossene Kurve FORMULA in FORMULA mit FORMULA.

Jede in einer kompakten Teilmenge FORMULA von FORMULA stetige reellwertige Funktion laesst sich in FORMULA durch polynomiale Funktionen beliebig genau gleichmaessig approximieren.

Jede injektive Abbildung FORMULA ist insbesondere eine Bijektion von FORMULA nach FORMULA.

Jede komplexe quadratische Matrix mit genau FORMULA verschiedenen Eigenwerten FORMULA ist zu einer Blockdiagonalmatrix der Form DISPLAY mit strikten oberen Dreiecksmatrizen FORMULA aehnlich.

Jede offene Kugel FORMULA ist ein Gebiet.

Jede stetige Funktion FORMULA kann beliebig genau durch stetig differenzierbare Funktionen FORMULA mit FORMULA approximiert werden.

Jede stetige Funktion FORMULA kann beliebig genau durch stetig differenzierbare Funktionen FORMULA mit FORMULA approximiert werden.

Jeder Koerper FORMULA, in dem Betrag und Konjugierte mit den Axiomen (BPREFIX 3) und (CPREFIX 3) definiert sind und wo nicht alle Zahlen reell sind, heisst \define{Koerper der komplexen Zahlen} (Bezeichnung FORMULA).

Jeder Term der Determinante ist ein Produkt von FORMULA konstanten oder linearen Faktoren, also ein Polynom vom Grad hoechstens FORMULA.

Jedes Element FORMULA mit FORMULA heisst ein \define{Urbild} von FORMULA.

Jedes FORMULA hat genau ein Bild, aber FORMULA kann kein, ein oder mehrere Urbilder besitzen.

Jedes FORMULA ist Linearkombination FORMULA; fuer FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

Jedes translationsinvariante monotone lineare Funktional FORMULA auf FORMULA ist ein Vielfaches von FORMULA.

Jedoch erscheinen Geraden als Grenzfaelle, naemlich Kreise mit unendlich grossem Radius durch den unendlich fernen Punkt.

Jedoch gibt es stets eine etwas allgemeinere Summendarstellung, auf deren Beweis wir verzichten:

Jedoch ist die Berechnung der Eigenwerte unnoetig muehsam.

Jedoch sind alle Flaechenstuecke orientierbar, da hier ein Atlas mit einer einzigen Karte ausreicht und die Bedingung EQN fuer FORMULA wegen FORMULA stets erfuellt ist.

Jetzt koennen wir Formeln angeben, nach denen sich ihre Integrale fuer stetig differenzierbare FORMULA ausrechnen lassen.

Jetzt werden wir weitere topologische Begriffe nutzen lernen: Rand, offen, abgeschlossen, kompakt, zusammenhaengend.

Kapitel 13), die Folge FORMULA aus FORMULA konvergiert ITEM \define{punktweise} gegen FORMULA, in Formeln FORMULA, falls DISPLAY ITEM \define{gleichmaessig} gegen FORMULA, in Formeln FORMULA, falls (mit FORMULA) DISPLAY ITEM \define{fast ueberall} gegen FORMULA, in Formeln FORMULA, falls die Menge der FORMULA, fuer die FORMULA \define{nicht} gegen FORMULA konvergiert, eine Nullmenge ist; ITEM \define{in der PREFIX Norm} (oder: \define{im Mittel}) gegen FORMULA, in Formeln FORMULA, falls DISPLAY In allen Faellen heisst FORMULA der \define{Grenzwert} oder \define{Limes} der Funktionenfolge.

Kapitel 16 ist noch nicht ausgearbeitet und besteht derzeit nur aus ein paar Stichpunkten.

Kennt man eine Zerlegung FORMULA der permutierten Matrix FORMULA, so bekommt man die Loesungen aus den drei Schritten FORMULA und FORMULA als Loesung von FORMULA.

Kompakte Mengen sind das kontinuierliche Analogon von endlichen Mengen.

Komplexe Zahlen sind grundlegend fuer das Verstaendnis von Physik: Schwingungen (mechanische, elektromagnetische) und Wahrscheinlichkeitswellen (in der Quantenphysik) werden z.B. damit beschrieben.

Konstante Funktionen werden mit ihrem Funktionswert identifiziert.

Konvergiert die Folge FORMULA aus FORMULA punktweise und die Folge FORMULA der Ableitungen gleichmaessig, so ist der Grenzwert FORMULA in FORMULA, und die Ableitung berechnet sich aus DISPLAY

Konvergiert die Reihe umgekehrt fuer FORMULA, so ist nach Satz REF FORMULA fuer fast alle FORMULA.

Kurzgefasst: FORMULA beliebig: Lipschitz-stetig FORMULA gleichmaessig stetig FORMULA stetig, FORMULA kompakt: Lipschitz-stetig FORMULA (gleichmaessig) stetig FORMULA beschraenkt, FORMULA kompakt und konvex: stetig differenzierbar FORMULA Lipschitz-stetig.

Leider ist FORMULA in der Regel nicht mehr stetig, und muss in der PREFIX Norm durch stetige Funktionen approximiert werden.

Liegt FORMULA ganz in FORMULA, so konvergiert die Taylorreihe von FORMULA in FORMULA fuer alle FORMULA gegen FORMULA, DISPLAY

Liegt FORMULA in einem dieser Wuerfel FORMULA und ist DISPLAY so ist DISPLAY (vgl. Zeichnung!) und daher DISPLAY Da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA fuer alle FORMULA.

Liegt FORMULA in einem dieser Wuerfel FORMULA und ist DISPLAY so ist DISPLAY (vgl. Zeichnung!) und daher DISPLAY Da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA fuer alle FORMULA.

Liegt die Strecke FORMULA in FORMULA, so gilt DISPLAY Fuer FORMULA ist auch DISPLAY

Lineare Algebra I \=: \= 1, 3, (4), 6, 8, 9, [11), [12] \hfill Analysis I \>: \> 2, (4), 5, 7, 10, [11), [12] Lineare Algebra II \>: \> (16), 18, [20], mehr analytische Geometrie Analysis II \>: \> 14, 15, (16), 17, 19, [20], 21, 22, 23

Lineare Operatoren, die aus den Richtungsableitungen und (fuer FORMULA) den Multiplikationsoperatoren DISPLAY durch Summen- und Produktbildung entstehen, heissen \define{Differentialoperatoren}.

Linearkombinationen von periodischen Funktionen mit verschiedenen Perioden FORMULA,..., FORMULA heissen \define{quasiperiodisch}; sie sind nur dann periodisch, wenn die Perioden ein gemeinsames Vielfaches T mit FORMULA mod FORMULA besitzen.

Machen Sie sich die Muehe, Ihr Handwerk gruendlich zu lernen, und gebrauchen Sie Ihr Wissen dann so, dass sich niemand fuer Ihr Handeln schaemen muss. Ich wuensche Ihnen Kraft, Ausdauer und Erfolg im Studium und im spaeteren Leben! Arnold Neumaier Dies ist eine rigorose, einheitliche Darstellung des Basisstoffs der Mathematik, unter besonderer Beruecksichtigung der Belange von Physikstudenten.

Man beachte den Faktor FORMULA, der dafuer sorgt, dass die Vorzeichen in der Summe alternieren (=abwechseln).

Man beachte die Analogie zur Loesung linearer Gleichungssysteme!

Man beachte, dass FORMULA und FORMULA durch FORMULA eindeutig festgelegt sind und FORMULA nach der Proposition eine bijektive lineare Abbildung von FORMULA in sich, also eine nichtsingulaere PREFIX Matrix ist.

Man beachte, dass der Mittelwert konstanter Funktionen gerade gleich dem konstanten Funktionswert ist; insbesondere ist FORMULA.

Man beachte, dass der Satz auf dem Rand des Konvergenzkreises keine Aussage macht; im Fall der Konvergenz ist jedoch die Konvergenzgeschwindigkeit auf dem Rand fuer die praktische Rechnung meist zu langsam.

Man beachte, dass die Addition zweier Matrizen nur dann moeglich ist, wenn sie dieselbe Groesse haben, da sie vom selben Raum FORMULA in denselben Raum FORMULA abbilden muessen.

Man beachte, dass diese Definitionen von der Wahl des Integrals FORMULA abhaengen, und dass die Grenzwerte FORMULA und FORMULA nur fast ueberall eindeutig bestimmt sind.

Man beachte, dass fuer FORMULA das erste FORMULA in EQN die Identitaet FORMULA auf FORMULA ist, das zweite FORMULA dagegen die Identitaet FORMULA auf FORMULA.

Man beachte, dass in FORMULA verknotete und unverknotete Wege homotop sind, sich also nicht jede Homotopie physikalisch durch Verzerrung und Verschiebung allein beschreiben laesst --- Kreuzung von Wegstuecken muss auch zugelassen werden.

Man beachte, dass sich mit DISPLAY der Partialbruch DISPLAY als Summe noch einfacherer Partialbrueche schreiben laesst.

Man bekommt FORMULA durch Loesen von FORMULA, DISPLAY FORMULA hat PREFIX Stufenform, und wegen FORMULA ist das Gleichungssystem FORMULA loesbar.

Man braucht Definitheitseigenschaften ausserdem bei der Beurteilung, ob an einem stationaeren Punkt einer mehrdimensionalen Funktion ein Minimum oder ein Maximum vorliegt (s. Kap.

Man braucht ausserdem eine Zusatzbedingung, die dem Zeichenwechsel im Eindimensionalen entspricht.

Man braucht ausserdem eine Zusatzbedingung, die dem Zeichenwechsel im Eindimensionalen entspricht.

Man braucht sich FORMULA und FORMULA nicht zu merken, wenn man die rechte Seite FORMULA eines linearen Gleichungssystems FORMULA gleichzeitig mit der Koeffizientenmatrix FORMULA bearbeitet.

Man denke dabei an den Wuerfel, FORMULA.

Man entwickelt nach Zeilen oder Spalten mit vielen Nullen, damit moeglichst viele Glieder Null werden, und schreibt DISPLAY um die Uebersicht zu behalten: DISPLAY DISPLAY

Man erhaelt alle Loesungen FORMULA, indem man FORMULA beliebig waehlt und dann FORMULA aus DISPLAY berechnet.

Man erhaelt die Terme DISPLAY in Uebereinstimmung mit Satz REF.

Man erhaelt dies gerade als Spezialfall, wenn man fuer FORMULA und FORMULA diskrete Hausdorffraeume waehlt.

Man gewoehne sich daran, beim Invertieren eines Produkts die Reihenfolge wie in EQN zu vertauschen.

Man haette genausogut FORMULA schreiben koennen.

Man kann also reelle rationale Funktionen stets als Summe von Termen FORMULA mit FORMULA, FORMULA schreiben.

Man kann auch EQN als Axiom nehmen und daraus FORMULA herleiten.

Man kann aus dieser Ueberdeckung zwar einige Mengen weglassen, z.B. FORMULA aber endlich viele FORMULA reichen zur Ueberdeckung nicht aus, weil man damit nicht beliebig nahe an FORMULA herankommt: Ist FORMULA der groesste ausgewaehlte Index, so liegen die Punkte FORMULA in keinem der ausgewaehlten FORMULA.

Man kann den vorigen Satz nun so formulieren:

Man kann deshalb die Abbildung FORMULA ebensogut durch das Paar FORMULA in FORMULA beschreiben.

Man kann die Argumente einer PREFIX Linearform FORMULA also zu einer einzigen Matrix zusammenfassen: DISPLAY Je nach den Umstaenden verwenden wir diese kuerzere Bezeichnungsweise.

Man kann die FORMULA als sukzessive Korrekturen zu den Teilsummen DISPLAY ansehen, denn es ist FORMULA.

Man kann die Grenzwertbeziehungen durch Landausymbole ausdruecken:

Man kann diese naemlich auf geeignete Weise durch sogenannte Treppenfunktionen approximieren, und Erwartungswerte von Treppenfunktionen lassen sich wie folgt berechnen.

Man kann eine unitaere Matrix mit der in Satz REF geforderten Eigenschaft explizit angeben, naemlich FORMULA mit DISPLAY Um dies zu sehen, bemerken wir zunaechst, dass DISPLAY eine Zahl vom Betrag 1 mit der Eigenschaft FORMULA, FORMULA ist.

Man kann in diesem Fall eine reelle Partialbruchzerlegung finden, indem man benutzt, dass komplexe Nullstellen in konjugiert komplexen Paaren FORMULA auftreten.

Man kann nicht winfach FORMULA schliessen, da die Determinante zunaechst nur fuer quadratische Matrizen, d.h. lineare Abbildungen von FORMULA nach FORMULA definiert ist, und auch EQN nur fuer lineare Selbstabbildungen Sinn macht.

Man kann sich aber nie ganz sicher sein, wie nahe die (in der Praxis unbeobachtbare) Wahrscheinlichkeit dieser Aussage an der (beobachtbaren) relativen Haeufigkeit liegt.

Man kann sich den projektiven Abschluss von FORMULA als Zusammenbiegen der reellen Zahlengeraden und Zusammenheften der Enden bei FORMULA vorstellen.

Man kann sich die Mengen FORMULA zunaechst als offene PREFIX Umgebungen denken, und FORMULA etwa als die Genauigkeit, mit der die Koordinaten eines Punktes gemessen werden koennen.

Man kann uebrigens die Ungleichung EQN auch aus der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung erhalten.

Man kann zeigen, dass FORMULA durch die Axiome bis auf Isomorphie (d.h. bis auf Bezeichnungsweise) festgelegt ist.

Man kann zeigen, dass FORMULA stets eine ganze Zahl ist, naemlich die Zahl der positiv orientierten Windungen von FORMULA um FORMULA abzueglich der Zahl der negativ orientierten Windungen von FORMULA um FORMULA.

Man kann zeigen, dass auch die uebrigen Regeln von Proposition REF richtig bleiben, falls alle auftretenden Summen absolut konvergent sind.

Man kann zeigen, dass der Fehler in EQN fuer FORMULA und PREFIX mal stetig differenzierbare Funktion FORMULA die Groessenordnung FORMULA hat.

Man liest FORMULA als "Menge aller FORMULA mit FORMULA ".

Man nennt DISPLAY die \define{Determinante} der linearen Selbstabbildung FORMULA.

Man nennt EQN das \define{Hornerschema} zur Berechnung von FORMULA.

Man nennt FORMULA \define{aehnlich} zu FORMULA, wenn es einen Isomorphismus FORMULA gibt, so dass FORMULA und FORMULA beschraenkt sind und FORMULA gilt.

Man nennt FORMULA \define{randfrei}, wenn EQN gilt; dann heisst FORMULA der \define{Abbildungsgrad} von FORMULA in FORMULA, und DISPLAY der Abbildungsgrad von FORMULA in FORMULA bei FORMULA.

Man nennt FORMULA \define{randfrei}, wenn EQN gilt; dann heisst FORMULA der \define{Abbildungsgrad} von FORMULA in FORMULA, und DISPLAY der Abbildungsgrad von FORMULA in FORMULA bei FORMULA.

Man nennt FORMULA das \define{charakteristische Polynom} von FORMULA.

Man nennt FORMULA das \define{orthogonale Komplement} von FORMULA.

Man nennt FORMULA nach dem Entdecker des Vervollstaendigungsprozesses auch ein Daniell-Integral.)

Man nennt Funktionen FORMULA mit FORMULA harmonische Funktionen.

Man nennt daher diese singulaeren Vektoren auch \define{Hauptkomponenten} und das ganze Vorgehen eine \define{Hauptkomponentenanalyse}.

Man nennt das durch EQN eindeutig bestimmte Polynom vom Grad FORMULA das \define{Interpolationspolynom} zu den \define{Stuetzstellen} FORMULA (FORMULA).

Man nennt den dadurch definierten linearen Differentialoperator FORMULA den Laplace-Operator.

Man nennt die FORMULA \define{unitaere Gruppen}, die FORMULA \define{spezielle unitaere Gruppen}, die FORMULA \define{orthogonale Gruppen} und die FORMULA \define{spezielle orthogonale Gruppen}.

Man nennt die Vielfachheit der Nullstelle FORMULA die \define{algebraische Vielfachheit} des Eigenwerts FORMULA.

Man nennt eine solche Form auch Pfaff'sche Form.

Man nennt eine solche Zerlegung eine \define{orthogonale Zerlegung} von FORMULA.

Man rechnet daher in der Praxis mit Methoden der numerischen Mathematik.

Man rechnet nun leicht nach, dass sich EQN zu DISPLAY vereinfacht, da sich die Integration ueber FORMULA explizit durchfuehren laesst.

Man sagt dafuer kurz: Jede \define{Ueberdeckung} (1) von FORMULA mit offenen Mengen FORMULA (oder noch kuerzer: Jede \define{offene Ueberdeckung} von FORMULA) enthaelt eine endliche Teilueberdeckung.

Man sagt dann, FORMULA \define{umlaeuft} den Punkt FORMULA, und nennt die Menge FORMULA der Mittelpunkte FORMULA mit dieser Eigenschaft das \define{Innere} von FORMULA.

Man sagt dann, durch DISPLAY sei eine Abbildung FORMULA definiert.

Man sagt, bei FORMULA liegt ein \define{stabiles Gleichgewicht} vor, das System \define{schwingt um die Gleichgewichtslage}.

Man sagt, eine obere Dreiecksmatrix FORMULA hat \define{PREFIX Stufenform}, falls fuer FORMULA die FORMULA te Zeile eine Komponente FORMULA enthaelt, der kleinste solche Index FORMULA die Beziehung FORMULA erfuellt, und alle Zeilen mit Index FORMULA verschwinden.

Man sagt, zwei Wege FORMULA und FORMULA \define{{beschreiben dieselbe Kurve}, falls es eine stetig differenzierbare, streng monoton wachsende und bijektive Abbildung FORMULA gibt mit DISPLAY Die Wege FORMULA nennt man \define{Parameterdarstellungen} der Kurve.

Man schreibt DISPLAY Statt " FORMULA " sagt man auch oft " FORMULA \define{verschwindet}".

Man schreibt FORMULA.

Man schreibt aber FORMULA und FORMULA, wenn man die Paare und Tripel in der Form FORMULA bzw. FORMULA schreibt.

Man schreibt auch DISPLAY wenn man das Argument FORMULA betonen will.

Man schreibt dann DISPLAY und fuer FORMULA DISPLAY

Man schreibt deshalb statt FORMULA auch FORMULA oder FORMULA, falls die Variablen mit FORMULA bezeichnet werden.

Man schreibt solche Aehnlichkeitsaussagen in der Regel als aequivalente Faktorisierungen FORMULA, wobei man je nachdem Einschraenkungen an FORMULA oder FORMULA verlangt.

Man schreibt statt FORMULA auch FORMULA, und nennt DISPLAY die (oder das) \define{Inverse} von FORMULA.

Man sieht an diesem Gegenbeispiel auch, dass es noetig ist, offene Mengen beliebig kleiner "Laenge" in der Ueberdeckung zuzulassen.

Man sieht aus EQN -- EQN, dass die Nacheinanderausfuehrung von Abbildungen sich aehnlich verhaelt wie die Multiplikation von Zahlen; vgl. Uhr, Zahlengerade, Rechenschieber! Um diese Aehnlichkeit noch mehr zu betonen, benutzt man fuer Abbildungen oft die sogenannte Operatorschreibweise, in der man unnoetige Klammern und Nacheinanderausfuehrungssymbole weglaesst.

Man sieht aus der Cauchy'schen Integralformel, dass die Funktionswerte einer analytischen Funktion (und ihre Ableitungen) im Innern einer positiv orientierten geschlossenen Kurve FORMULA durch die Werte von FORMULA auf FORMULA schon voellig festgelegt sind.

Man sieht aus der zweiten Herleitung, dass fuer FORMULA die "richtige" Verallgemeinerung der Rotation PREFIX dimensional ist, so dass hier der Fall FORMULA speziell ist.

Man sieht daher, dass saemtliche nicht reelle Nullstellen paarweise konjugiert komplex auftreten, und die Vielfachheiten jedes solchen Paars sind dieselben.

Man sieht daraus auch, dass man die Bedingung FORMULA (die der absoluten Konvergenz der Doppelsumme entspricht) nicht weglassen darf.

Man sieht, dass wenn an allen Nullstellen FORMULA die Ableitung FORMULA ist, die Vorzeichen von FORMULA abwechselnd FORMULA und FORMULA sind.

Man sieht, dass wenn an allen Nullstellen FORMULA die Ableitung FORMULA ist, die Vorzeichen von FORMULA abwechselnd FORMULA und FORMULA sind.

Man stellt sich aber alle Begriffe konkret vor, indem man an ein oder zwei einfache Situationen anstelle der abstrakten Situation denkt; solche Beispiele fuer eine "angemessene" Anschauung werden zu allen Begriffen gegeben.

Man verwechsle das Innere einer positiv orientierten Kurve FORMULA nicht mit dem Inneren des Bildes von FORMULA, was im allgemeinen leer ist!

Man wendet Umformungen an, um zusaetzliche Nullen zu erzeugen, damit man die Determinante leichter entwickeln kann.

Mathematisch beschreibt man diese und andere sogen.

Mathematisch laesst sich das praezisieren durch sogen.

Matrizen der Form EQN heissen \define{Toeplitz-Matrizen}; sie spielen eine wichtige Rolle in der Nachrichtentechnik (Signalverarbeitung).

Mehr Einsicht in die Natur der Normalgleichungen erhaelt man mit Hilfe einer orthogonalen Zerlegung FORMULA von FORMULA.

Mehr ist machbar geworden, als je fuer moeglich gehalten wurde, und die Grenzen sind kaum abzusehen.

Mehrfache Anwendung von EQN ergibt nun DISPLAY und wegen FORMULA folgt EQN.

Meist genuegt fuer die Integrierbarkeit der Nachweis einer einfachen asymptotischen Beziehung:

Merkregel: FORMULA.

Merkregel: FORMULA.

Messen wir die Groesse von FORMULA durch die euklidische Norm FORMULA, so ist der beste Wert fuer FORMULA derjenige, der die Summe der Quadrate der einzelnen Residuen am kleinsten macht; daher der Name des Verfahrens. Im Allgemeinfall ist die Bestimmung des besten Werts eine Aufgabe der Optimierungstheorie; im (praktisch sehr wichtigen) linearen Fall ist die Aufgabe jedoch so uebersichtlich, dass sie ohne viel Theorie geloest werden kann.

Mindestens einer dieser Werte muss dann unendlich oft vorkommen, waere also ein Haeufungspunkt, Widerspruch.

Mit (C2), (C4), (C5) folgt ebenso FORMULA und (fuer FORMULA) FORMULA.

Mit (in der Regel) grossen lateinischen Buchstaben FORMULA, bezeichnen wir Abbildungen, fuer die wir die \define{Operatorenschreibweise} DISPLAY verwenden, soweit die rechten Seiten definiert sind.

Mit EQN ergibt sich daraus DISPLAY Mit FORMULA ist nun DISPLAY und da FORMULA beliebig war, folgt FORMULA.

Mit EQN folgt FORMULA, also FORMULA.

Mit EQN folgt FORMULA.

Mit EQN und EQN sind die beiden Gleichungen EQN automatisch erfuellt.

Mit FORMULA bezeichnen wir das Volumen der (euklidischen) Einheitskugel im FORMULA, DISPLAY ITEM Wir nennen DISPLAY das \define{Volumenintegral} von FORMULA.

Mit FORMULA bezeichnen wir den Unterraum der stetigen und beschraenkten Funktionen.

Mit FORMULA bezeichnen wir die Menge aller lokal integrierbaren Funktionen FORMULA.

Mit FORMULA folgt aus EQN FORMULA, also EQN und EQN.

Mit FORMULA ist FORMULA die eindeutige Zerlegung in ITEM, also FORMULA der orthogonale Projektor.

Mit FORMULA ist dann DISPLAY Das ist auch die einzige solche Darstellung von FORMULA, da aus FORMULA sofort FORMULA mit FORMULA und FORMULA folgt und die Division mit Rest eindeutig ist.

Mit FORMULA ist wegen FORMULA dann auch FORMULA.

Mit FORMULA ist wieder DISPLAY Wir haben also DISPLAY mit der Matrix DISPLAY die sich als untere Dreiecksmatrix herausstellt.

Mit FORMULA und FORMULA folgt DISPLAY ITEM Es ist FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA, nach EQN also FORMULA mit DISPLAY

Mit FORMULA und FORMULA hat also die Gleichung FORMULA fuer alle FORMULA genau eine Loesung FORMULA, die wir mit FORMULA bezeichnen.

Mit FORMULA und FORMULA ist dann FORMULA, FORMULA nichtsingulaer und FORMULA.

Mit FORMULA, FORMULA ist FORMULA, also DISPLAY mit FORMULA.

Mit Hilfe der Determinanten lassen sich nun auch die uebrigen PREFIX Formen bestimmen.

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung (siehe REF) kann man naemlich jede rationale Funktion als Linearkombination einfacher (komplexer) rationaler Funktionen der Form FORMULA schreiben, und diese mit Hilfe von DISPLAY integrieren.

Mit Hilfe der allgemeinen Theorie von Kapitel PREFIX -21 lassen sich die Integrale nun so vervollstaendigen, dass auch bestimmte Funktionen mit nichtkompaktem Traeger oder Unstetigkeiten integriert werden koennen.

Mit Hilfe dieser Formel haben wir nicht nur den Bezug zum bestimmten Integral hergestellt; wir koennen jetzt auch die Notation des bestimmten Integrals auf den Fall erweitern, wo eine oder beide Integrationsgrenzen unendlich sind.

Mit Hilfe dieser Formeln und der folgenden Spezialfaelle der Substitutionsregel: DISPLAY (fuer reelle FORMULA) und DISPLAY erhaelt man die weiteren Formeln DISPLAY Insbesondere reichen diese Formeln aus, um beliebige rationale Funktionen zu integrieren.

Mit Hilfe von EQN lassen sich die zugehoerigen Matrizen bestimmen: Zum Skalarprodukt gehoert die Matrix mit Komponenten DISPLAY also die Einheitsmatrix, zur Minkowski-Metrik die (mit 0:3 statt 1:4 indizierte) Matrix DISPLAY Die Komponentendarstellung uebertraegt sich auf allgemeine PREFIX Linearformen ueber endlichdimensionalen Vektorraeumen FORMULA; wir betrachten jedoch zunaechst nur den Fall FORMULA in der Standardbasis.

Mit Hilfe von FORMULA koennen wir die Taylorentwicklung ins Mehrdimensionale ausdehnen:

Mit ITEM folgt also FORMULA.

Mit Mathematik vertraut sein -- das heisst, ein klares intuitives Bild von den mathematischen Begriffen zu haben, sie von innen und aussen zu kennen und ihre Zusammenhaenge deutlich machen zu koennen.

Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich wegen der Symmetrie von FORMULA: DISPLAY da FORMULA positiv definit ist.

Mit dem Vektor FORMULA ist naemlich DISPLAY also DISPLAY

Mit den durch FORMULA definierten Funktionen FORMULA ist auch DISPLAY also ist die Reihe in FORMULA sogar gleichmaessig konvergent.

Mit der Abkuerzung FORMULA finden wir, dass FORMULA zu DISPLAY gleichwertig ist, und das hat die Form EQN mit FORMULA.

Mit der Dimensionsformel ergibt sich daraus FORMULA.

Mit der Substitution FORMULA wird FORMULA, und es ist genau dann FORMULA, wenn FORMULA.

Mit der Wahl DISPLAY ist FORMULA ein Vektor der Laenge 1 mit DISPLAY fuer FORMULA, und es gilt EQN.

Mit diesen Hilfsmitteln ausgeruestet, koennen wir nun auch andere Existenzprobleme der Analysis anpacken: das Loesen von Gleichungen, die Approximation von Funktionen, und im naechsten Kapitel die Existenz von Integralen.

Mit dieser Relation erhalten wir auch DISPLAY Daher hat die Funktion DISPLAY die Ableitung DISPLAY FORMULA ist also konstant, und wegen FORMULA gilt FORMULA fuer alle FORMULA.

Mit einer Abzaehlung FORMULA von FORMULA konvergieren die Teilsummen FORMULA gegen DISPLAY gleichmaessig, also auch punktweise, d.h. es gilt die Beziehung DISPLAY Wegen EQN folgt EQN.

Mit einer konvergenten Potenzreihe kann dagegen eine Funktion beliebig genau berechnet werden.

Moderne Wettervorhersagen beruhen z.B. unter anderem darauf, dass die Anfangswerte der partiellen Differentialgleichungen, nach denen die Wetterentwicklung berechnet wird, mit Hilfe der aktuellen, von Messstationen gelieferten Wetterdaten korrigiert werden koennen.

Multilinearitaet ist klar, und die Normierungseigenschaft det FORMULA gilt auch, da fuer FORMULA in der Summe EQN nur der Term mit FORMULA, also FORMULA uebrig bleibt.

Multiplikation mit FORMULA gibt wegen EQN und EQN die Beziehung FORMULA; also ist FORMULA eindeutig bestimmt.

Multiplikation mit dem Hauptnenner FORMULA ergibt DISPLAY und durch Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen von FORMULA findet man DISPLAY Dieses lineare Gleichungssystem laesst sich leicht loesen und ergibt DISPLAY Fuer das Integral erhaelt man also DISPLAY

Multiplikation von DISPLAY mit FORMULA ergibt nun DISPLAY Koeffizientenvergleich liefert die Bedingungen FORMULA, FORMULA, FORMULA, die durch FORMULA, FORMULA, FORMULA erfuellt werden.

Multiplizieren wir die definierende Gleichung mit 2 und multiplizieren wir aus, so erhalten wir die aequivalente Definition DISPLAY von der Form EQN, mit DISPLAY Die orthogonale Spektralzerlegung der Matrix FORMULA wurde schon in Beispiel REF berechnet.

Nach (D2) gilt ausserdem DISPLAY also folgt EQN, wenn wir FORMULA zeigen koennen.

Nach Annahme ist also DISPLAY mit der Matrix FORMULA, und die Matrix FORMULA ist diagonal.

Nach Beispiel REF ergibt sich durch Polynomdivision FORMULA, FORMULA.

Nach Definition der Ableitung folgt dann naemlich FORMULA fuer alle FORMULA, und da die punktweise Konvergenz aus der gleichmaessigen folgt (Proposition REF), ergibt sich EQN (mit FORMULA statt FORMULA).

Nach Definition der Kompaktheit koennen wir also endlich viele dieser Kugeln auswaehlen, die FORMULA immer noch ueberdecken, etwa FORMULA, FORMULA, und nach Konstruktion liegt FORMULA noch ganz in FORMULA.

Nach Definition der Stetigkeit gibt es also eine Umgebung FORMULA von FORMULA (relativ zu FORMULA) mit FORMULA fuer alle FORMULA.

Nach Definition folgt EQN.

Nach Definition von FORMULA gibt es FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

Nach Definition von FORMULA gibt es Folgen FORMULA aus FORMULA mit FORMULA, FORMULA.

Nach Definition von FORMULA gilt FORMULA mit FORMULA.

Nach Definition von FORMULA gilt dann fuer fast alle FORMULA die Ungleichung FORMULA DISPLAY Fuer FORMULA ist daher DISPLAY Also ist FORMULA mit FORMULA, und nach Satz REF ist die Reihe absolut konvergent.

Nach Definition von FORMULA ist FORMULA und es gibt ein FORMULA mit FORMULA.

Nach Definition von FORMULA ist FORMULA, und wegen FORMULA und FORMULA ist FORMULA.

Nach Definition von FORMULA ist das gerade EQN.

Nach EQN folgt FORMULA.

Nach EQN fuer FORMULA statt FORMULA ist DISPLAY Sortieren wir die Faktoren so um, dass sie nach dem zweiten Index geordnet sind, so erhalten wir FORMULA Wegen FORMULA wird die Summe zu DISPLAY also gilt EQN.

Nach EQN und EQN ist also FORMULA.

Nach EQN und der Definition des Kurvenintegrals ist DISPLAY Die Behauptung folgt also, wenn wir zeigen dass FORMULA konstant ist.

Nach ITEM ist FORMULA, also auch DISPLAY Nach Konstruktion ist der Wert FORMULA gleich der Zahl der FORMULA mit FORMULA, also gerade gleich der groessten ganzen Zahl FORMULA.

Nach ITEM ist FORMULA, da FORMULA als Nullraum ein Unterraum ist.

Nach Induktionsannahme gibt es eine unitaere Matrix FORMULA und eine obere Dreiecksmatrix FORMULA mit FORMULA.

Nach Konstruktion gilt nun DISPLAY Durch DISPLAY werden nun Funktionen FORMULA definiert, deren Traeger Wuerfel mit Mittelpunkt FORMULA und Seitenlaenge FORMULA sind.

Nach Konstruktion ist FORMULA, also FORMULA.

Nach Konstruktion ist FORMULA.

Nach Konstruktion liegt FORMULA also in FORMULA.

Nach Konstruktion von FORMULA sind nur die ersten FORMULA Komponenten von FORMULA von Null verschieden; also ist FORMULA eine Linearkombination der ersten FORMULA singulaeren Vektoren.

Nach Proposition REF gibt es stets eine Teilung der Eins FORMULA auf FORMULA und zugehoerige Karten FORMULA mit FORMULA.

Nach Proposition REF ist DISPLAY Wegen DISPLAY folgt EQN aus EQN, und wegen DISPLAY folgt EQN aus EQN.

Nach Proposition REF ist FORMULA offen, also ein Gebiet.

Nach Proposition REF ist also FORMULA fuer alle kompakten FORMULA.

Nach Proposition REF ist daher FORMULA unitaer und FORMULA.

Nach Proposition REF sind FORMULA und FORMULA aehnlich, also hat FORMULA dasselbe charakteristische Polynom wie FORMULA, also diese Eigenwerte mit derselben Vielfachheit wie FORMULA.

Nach Proposition REF und REF ist FORMULA also kompakt.

Nach Satz REF (ii,iv) ist die Summe EQN also in FORMULA stetig und integrierbar, und durch gliedweise Integration ergibt sich EQN.

Nach Satz REF bilden die FORMULA also eine Basis von FORMULA.

Nach Satz REF darf man FORMULA gliedweise ableiten und erhaelt DISPLAY Man kann den Faktor FORMULA aber ebenso nach hinten herausziehen und erhaelt dann FORMULA.

Nach Satz REF folgt DISPLAY Wegen FORMULA und FORMULA folgt EQN fuer FORMULA d.h. FORMULA ist Lipschitz-stetig.

Nach Satz REF folgt FORMULA; daher ist FORMULA Haeufungspunkt der Folge FORMULA.

Nach Satz REF gibt es also genau ein FORMULA mit FORMULA, nach EQN also mit FORMULA.

Nach Satz REF gibt es einen Haeufungspunkt FORMULA, und nach Proposition REF eine konvergente Teilfolge FORMULA fuer FORMULA.

Nach Satz REF hat also FORMULA eine Loesung FORMULA, und diese erfuellt FORMULA, ist also ein Fixpunkt von FORMULA.

Nach Satz REF hat also FORMULA eine Loesung FORMULA, und diese erfuellt FORMULA, ist also ein Fixpunkt von FORMULA.

Nach Satz REF hat daher die Abbildung FORMULA eine beschraenkte Inverse.

Nach Satz REF ist DISPLAY Nach dem Satz von Fubini ist aber auch DISPLAY Fuer FORMULA ergibt sich durch Vergleich der beiden Ausdruecke DISPLAY Einsetzen in EQN ergibt EQN, und Vergleich mit EQN ergibt EQN.

Nach Satz REF ist DISPLAY also FORMULA FORMULA.

Nach Satz REF ist FORMULA also in FORMULA stetig differenzierbar; da man FORMULA beliebig nahe an FORMULA waehlen kann, also auch in FORMULA.

Nach Satz REF ist FORMULA also surjektiv, d.h. jedes FORMULA ist als Bild FORMULA eines Vektors FORMULA darstellbar.

Nach Satz REF ist FORMULA regulaer, also haben die Normalgleichungen EQN eine eindeutige Loesung FORMULA.

Nach Satz REF ist also DISPLAY und eine Probe (Ausdruck auf Hauptnenner bringen) bestaetigt dies. ITEM Sei FORMULA und FORMULA.

Nach Satz REF ist also FORMULA und DISPLAY Also gilt EQN.

Nach Satz REF ist also FORMULA, und daher FORMULA.

Nach Satz REF ist das genau dann der Fall, wenn FORMULA positiv definit ist (und nach Proposition REF uebertraegt sich die Definitheit auch auf den unsymmetrischen Fall).

Nach Satz REF ist det FORMULA, und Division durch det FORMULA ergibt DISPLAY also ist EQN die Inverse von FORMULA.

Nach Satz REF ist die Loesung eindeutig bestimmt.

Nach Satz REF ist sie (im stabilen Gleichgewicht) stets symmetrisch und positiv semidefinit, und normalerweise ist sie positiv definit.

Nach Satz REF nimmt FORMULA also auf FORMULA sein Minimum an, d.h. es gibt ein FORMULA mit DISPLAY Wegen FORMULA ist FORMULA, also FORMULA und daher FORMULA.

Nach Satz REF, angewandt auf die eindimensionale Kurve von FORMULA nach FORMULA, koennen wir EQN unter dem Integral ableiten, und erhalten DISPLAY Wegen der Symmetrie von FORMULA laesst sich das weiter umformen zu DISPLAY da man durch Ableiten von EQN die Gleichungen FORMULA erhaelt.

Nach Satz REF.

Nach Voraussetzung gilt FORMULA und FORMULA, also ist FORMULA nach dem Satz ueber majorisierte Konvergenz, und daher FORMULA.

Nach Voraussetzung ist FORMULA und FORMULA fuer FORMULA, induktiv also DISPLAY Setzen wir DISPLAY und benutzen wir FORMULA, so finden wir DISPLAY also DISPLAY Daher ist DISPLAY Fuer FORMULA folgt FORMULA.

Nach Voraussetzung ist FORMULA, also ist FORMULA, im Widerspruch zur Voraussetzung FORMULA.

Nach Voraussetzung ist FORMULA, nach EQN also DISPLAY Fuer ein genuegend grosses FORMULA wird der erste Term FORMULA, und fuer dieses FORMULA und genuegend grosse FORMULA wird der zweite Term FORMULA.

Nach dem Cauchy'schen Integralsatz aendert sich die Umlaufszahl bei Homotopien in FORMULA nicht.

Nach dem Fundamentalsatz ist FORMULA mit einer Konstanten FORMULA.

Nach dem Hilfssatz gibt es ein FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA; also ist auch FORMULA.

Nach dem Hilfssatz sind die FORMULA Polynome vom Grad FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein FORMULA mit DISPLAY fuer alle FORMULA mit FORMULA (gleichmaessige Stetigkeit der Ableitung).

Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein FORMULA mit DISPLAY fuer alle FORMULA mit FORMULA (gleichmaessige Stetigkeit der Ableitung).

Nach dem Newtonschen Kraftgesetz (Kraft=Masse FORMULA Beschleunigung) gilt fuer die Beschleunigung FORMULA die Gleichung DISPLAY Die Gesamtenergie des Teilchens zur Zeit FORMULA setzt sich aus der kinetischen Energie FORMULA und der potentiellen Energie FORMULA zusammen, also DISPLAY Die zeitliche Aenderung der Gesamtenergie ergibt sich aus der Produktregel und der Kettenregel zu DISPLAY d.h. die Gesamtenergie bleibt zeitlich konstant.

Nach dem Satz ueber majorisierte Konvergenz folgt nun FORMULA, und daher DISPLAY

Nach dem Satz von Fubini ist dann DISPLAY wegen DISPLAY da integrierbare Funktionen fuer FORMULA beliebig klein werden.

Nach dem Superpositionsprinzip erhalten wir eine spezielle Loesung von EQN, EQN mit DISPLAY und die allgemeine Loesung durch Addieren einer homogenen Loesung EQN, EQN.

Nach dem vorigen Satz ist die eben konstruierte Grenzfunktion FORMULA stetig differenzierbar (.

Nach den linearen Operatoren aus FORMULA wollen wir als naechstes interessante Multilinearformen mit Werten im Ring FORMULA untersuchen.

Nach der Definition des Limes gibt es ein FORMULA mit FORMULA, und aus EQN wird DISPLAY Daher gilt EQN.

Nach der Dimensionsformel (Satz REF) ist aber FORMULA.

Nach der Kettenregel hat der Weg FORMULA mit FORMULA die Ableitung FORMULA also ist FORMULA konstant (vgl. Satz REF) und daher FORMULA.

Nach der Kettenregel ist DISPLAY noch stetig differenzierbar, und analog sind DISPLAY noch stetig.

Nach der Proposition ist jeder Normalenvektor in FORMULA parallel zu FORMULA und die Tangential(hyper)ebene steht senkrecht auf FORMULA.

Nach der vorigen Proposition gilt ITEM also fuer alle Permutationen.

Nehmen wir an, die Aussage gilt schon fuer FORMULA statt FORMULA, so finden wir eine Zerlegung FORMULA fuer FORMULA, und wir brauchen sie nur auf FORMULA zu erweitern.

Nehmen wir an, die Aussage gilt schon fuer FORMULA statt FORMULA, so koennen wir wieder EQN bilden.

Nehmen wir die Behauptung fuer FORMULA statt FORMULA als richtig an, so finden wir eine Zerlegung EQN fuer FORMULA, und wir brauchen sie nur auf FORMULA zu erweitern.

Normalerweise ist FORMULA int FORMULA, aber in pathologischen Faellen (z.B. FORMULA braucht das nicht der Fall zu sein.

Normalerweise ist der Traeger gerade FORMULA, z.B. immer dann, wenn FORMULA nur an endlich vielen Stellen Null wird.

Nun benutzen wir, dass nach Induktionsannahme FORMULA eine Dreieckszerlegung besitzt, FORMULA.

Nun folgt die Behauptung aus Satz REF

Nun ist DISPLAY also DISPLAY Insbesondere ist der Traeger von FORMULA eine (nach Definition des Traegers abgeschlossene) Teilmenge der kompakten Menge FORMULA, also selbst kompakt, d.h. es ist FORMULA.

Nun ist DISPLAY also gilt DISPLAY Daher ist FORMULA schon festgelegt.

Nun ist DISPLAY also gilt fuer den optimalen Parametervektor die Gleichung FORMULA, aus der die Normalgleichungen folgen.

Nun ist DISPLAY mit der oberen Dreiecksmatrix DISPLAY und der Matrix DISPLAY die wegen DISPLAY unitaer ist.

Nun ist DISPLAY und wegen FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

Nun ist FORMULA ein PREFIX Weg in FORMULA mit DISPLAY und aus FORMULA ergibt sich DISPLAY Ist umgekehrt FORMULA, so ist FORMULA fuer ein FORMULA.

Nun ist FORMULA fuer genuegend grosse FORMULA, also DISPLAY fuer alle FORMULA.

Nun ist FORMULA genau dann Eigenwert von FORMULA, wenn FORMULA singulaer ist, also FORMULA, d.h. wenn FORMULA Nullstelle des charakteristischen Polynoms von FORMULA ist.

Nun ist FORMULA genau dann, wenn FORMULA, also FORMULA ist, daher ist FORMULA, also FORMULA.

Nun ist FORMULA von Null verschieden, denn FORMULA liegt in FORMULA, aber FORMULA liegt wegen der linearen Unabhaengigkeit von FORMULA nicht in dieser Menge.

Nun ist FORMULA, also DISPLAY Fuer FORMULA folgt die Behauptung.

Nun ist aber FORMULA die Summe der algebraischen Vielfachheiten; wegen Proposition REF gilt das aber genau dann, wenn alle algebraischen Vielfachheiten mit den geometrischen uebereinstimmen.

Nun ist nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung DISPLAY und nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist DISPLAY Also laesst sich die linke Seite von EQN vereinfachen zu DISPLAY Da die stetige Funktion FORMULA im kompakten Intervall FORMULA gleichmaessig stetig ist, erreicht man fuer vorgegebenes FORMULA durch eventuelles Verkleinern des FORMULA aus ITEM, dass DISPLAY Damit laesst sich die Summe weiter abschaetzen zu DISPLAY und wenn wir DISPLAY waehlen, folgt EQN.

Nun laesst sich jedes FORMULA eindeutig als Linearkombination von FORMULA schreiben; also ist FORMULA eindeutig als Linearkombination der FORMULA dargestellt.

Nun muessen wir noch den Beweis von EQN nachholen.

Nun sieht man sofort, dass FORMULA und FORMULA Treppenfunktionen mit denselben Stufen sind, und EQN ein lineares Funktional ist.

O.B.d.A. sei FORMULA, FORMULA; der allgemeine Fall folgt durch lineare Substitution.

O.B.d.A. sei FORMULA.

Offenbar bilden die PREFIX Linearformen ueber FORMULA wieder einen PREFIX Vektorraum.

Offenbar gilt dann auch (Induktion) DISPLAY

Offenbar hat man bei der obigen Konstruktion des Abbildungsgrads keinerlei Freiheiten, so dass der Abbildungsgrad eindeutig bestimmt ist.

Offenbar hat man bei der obigen Konstruktion des Abbildungsgrads keinerlei Freiheiten, so dass der Abbildungsgrad eindeutig bestimmt ist.

Offenbar ist FORMULA Ring und Vektorraum, also eine Algebra.

Offenbar ist FORMULA eine surjektive lineare Abbildung von FORMULA nach FORMULA.

Offenbar ist FORMULA symmetrisch, und da aus FORMULA folgt, dass FORMULA ist, also auch FORMULA, ist FORMULA positiv definit.

Offenbar ist FORMULA und wegen FORMULA ist DISPLAY Da die FORMULA gerade FORMULA aufspannen, ist ausserdem FORMULA.

Offenbar ist das bis auf die Reihenfolge der singulaeren Werte (die umgekehrt werden muss) gerade eine Singulaere-Werte-Zerlegung von FORMULA.

Offenbar ist die Linksstetigkeit eine Abschwaechung der Stetigkeit, da sie z.B. auch fuer Treppenfunktionen wie die von Beispiel REF, erfuellt ist.

Offenbar ist jede Lipschitz-stetige Funktion gleichmaessig stetig (waehle FORMULA).

Offenbar ist jede bei FORMULA abgebrochene Taylorentwicklung eine PREFIX Pade-Approximation.

Offenbar kann man jeden Eigenvektor normieren, indem man ihn durch seine Norm teilt.

Offenbar steckt die meiste Information ueber die Lage der FORMULA in den singulaeren Vektoren zu den groessten singulaeren Werten.

Offensichtlich haengt der Wert der FORMULA in der Praxis davon ab, wie man das Ensemble gewaehlt hat.

Offensichtlich ist FORMULA ein monotones lineares Funktional.

Offensichtlich ist jede gleichmaessig konvergente Folge auch punktweise konvergent, und jede punktweise konvergente Folge auch fast ueberall konvergent, jeweils mit demselben Limes.

Offensichtlich ist naemlich FORMULA.

Offensichtlich sind die FORMULA stetig, und da FORMULA nach Satz REF ein Banachraum ist (weil FORMULA als Banachraum vorausgesetzt war), konvergieren die FORMULA gleichmaessig gegen eine Grenzfunktion FORMULA Nach Konstruktion EQN ist nun FORMULA, nach Voraussetzung konvergiert also die Folge der Ableitungen FORMULA gleichmaessig gegen FORMULA.

Oft idealisiert man und betrachtet nur reversible Vorgaenge, die durch ein Gleichheitszeichen in EQN definiert sind; dann kann man EQN so ausdruecken, dass die PREFIX Form FORMULA exakt ist, mit der Entropie als zugehoerigem (Waerme-)Potential.

Oft kann man die Summanden in ein Produkt zerlegen, FORMULA, so dass der erste Faktor FORMULA beschraenkt bleibt, aber "oszilliert" (z.B. sich im Vorzeichen aendert) und der zweite Faktor FORMULA monoton gegen Null geht.

Operationen gleicher Prioritaet werden von links nach rechts bearbeitet.

Ortskoordinaten werden durch Multiplikationsoperatoren FORMULA beschrieben, Impulskoordinaten durch die (komplexen) Differentialoperatoren DISPLAY (Dabei ist FORMULA das sogenannte Planck'sche Wirkungsquantum).

PREFIX Formen treten in vielen Anwendungen auf, zum Beispiel werden die Elektronenhuellen von Atomen oder Molekuelen durch "antisymmetrische Wellenfunktionen" beschrieben, die nichts anderes sind als PREFIX Formen ueber dem (unendlichdimensionalen) Raum FORMULA der "Ein-Elektron-Wellenfunktionen"; FORMULA ist dabei die Anzahl der Elektronen; FORMULA entspricht dem Zustand des PREFIX ten Elektrons. Die Eigenschaft EQN drueckt das Pauli-Verbot aus, dass zwei Elektronen im Atom nicht denselben Zustand einnehmen koennen.

PREFIX dimensionale Flaechen FORMULA sind dann (stueckweise) durch stetige Abbildungen FORMULA definiert, und deren Ableitung FORMULA ist eine FORMULA - Matrix, auf deren Spalten eine PREFIX Form FORMULA operiert.

Pade-Approximation einen interessanten Einblick in die Moeglichkeiten rationaler Approximation bekommen.

Passiert dies fuer ein FORMULA, so muss man FORMULA waehlen, und fuer FORMULA einen beliebigen zu FORMULA orthogonalen Vektor der Laenge 1.

Permutationsmatrizen haben ihren Namen von der Tatsache, dass sie bei Anwendung auf einen Vektor dessen Komponenten permutieren: DISPLAY Im obigen Beispiel ist DISPLAY d.h. FORMULA gehoert zur inversen Permutation.

Physikalisch entspricht das der Notwendigkeit, beim Herantasten an eine Singularitaet (z.B. absoluter Nullpunkt, Urknall) in immer kleineren Abstaenden vorgehen zu muessen.

Potenz, Produkt ohne Multiplikationspunkt, Quotient, Produkt mit Multiplikationspunkt, Summe oder Differenz, mengentheoretische Relationen, logische Relationen.

Punkte in der Naehe des Nordpols entsprechen dann betragsmaessig grossen Zahlen und der Nordpol selbst entspricht FORMULA.

Quasiperiodische Funktionen oszillieren wie periodische Funktionen, aber unregelmaessig.

REF FORMULA REF FORMULA REF FORMULA \define{{(Jacobi-Identitaet})} FORMULA

REF Ist FORMULA eine aufsteigende Folge messbarer Mengen mit Vereinigung FORMULA, d.h. gilt DISPLAY so ist auch FORMULA messbar.

REF Mit FORMULA und FORMULA sind auch FORMULA und FORMULA messbar.

REF Sind FORMULA und FORMULA disjunkte messbare Mengen, so ist DISPLAY REF Ist FORMULA eine aufsteigende Folge messbarer Mengen mit Vereinigung FORMULA, so ist DISPLAY

REF) fuer das Restglied die Formel DISPLAY hergeleitet.

REF.1).

REF: FORMULA

REF: FORMULA REF: FORMULA REF: Es ist FORMULA Nach Ausmultiplizieren kuerzt sich jeder positive Term gegen einen negativen weg, so dass sich der Ausdruck zu Null vereinfacht.

REF: FORMULA.

REF: Fuer disjunkte FORMULA und FORMULA ist FORMULA.

REF: Sind FORMULA und FORMULA messbar und ist FORMULA kompakt, so ist FORMULA nach Proposition REF.

REF: Wegen EQN gilt FORMULA; wegen FORMULA ist der Satz von der monotonen Konvergenz anwendbar und liefert FORMULA.

REF: folgt aus Satz REF, da FORMULA und FORMULA abgeschlossen (relativ zu FORMULA) sind.

Rationale Funktionen haben dagegen oft ausgezeichnete globale Approximationseigenschaften.

Riemannsche Geometrien.

Rotationssymmetrische Funktionen lassen sich ueber Kugeln mit dem folgenden Satz integrieren; die wesentliche Beobachtung ist, dass eine solche Funktion nur vom Abstand FORMULA vom Rotationszentrum FORMULA abhaengen kann, sich also in der Form FORMULA schreiben laesst.

Ruhepunkte FORMULA liegen auf der reellen Achse; dort hat die Konjugation keinen Effekt, FORMULA.

Satz REF (in Verbindung mit Proposition REF, falls FORMULA nicht hermitesch ist) gibt eine explizit nachpruefbare Bedingung dafuer, ob eine gegebene PREFIX Matrix FORMULA positiv (semi-)definit ist.

Satz REF + Sard.

Satz REF + Sard.

Satz REF ITEM sagt wieder, dass sich jede (FORMULA)-Form ueber FORMULA in der Form EQN, also auch in der Form EQN oder EQN darstellen laesst.

Satz REF besagt, dass man in beliebigen Basen und Normen rechnen kann, ohne dass sich topologisch etwas aendert.

Satz REF enthaelt drei Existenzaussagen: ueber Grenzwerte von Cauchyfolgen, ueber Haeufungspunkte, und ueber endliche Teilueberdeckungen.

Schliesslich folgt EQN aus DISPLAY da FORMULA beschraenkt ist.

Schliesslich hat jedes FORMULA eine Darstellung als Linearkombination FORMULA, und wie im Beweis von Satz REF ist FORMULA.

Schliesslich ist DISPLAY also DISPLAY so dass auch (D2) gilt.

Schliesslich ist EQN gerade der Satz von Pythagoras fuer die orthogonalen Vektoren FORMULA und FORMULA, DISPLAY ITEM Ist FORMULA, so ist FORMULA fuer ein FORMULA, also FORMULA.

Schliesslich ist FORMULA Loesung von FORMULA also FORMULA

Schliesslich ist FORMULA die FORMULA te Komponente von FORMULA, und die FORMULA te Komponente davon ist FORMULA.

Schliesslich ist FORMULA, da FORMULA reell ist; also gilt EQN.

Schliesslich zeigen wir noch, wie man aus Linearformen (alternierende) PREFIX Formen mit hoeherem FORMULA gewinnen kann:

Schreiben wir FORMULA so finden wir DISPLAY Also ist FORMULA eine symmetrische PREFIX Linearform.

Schulkenntnisse ueber elementare Funktionen werden lediglich in Kapitel 3 und in einigen Beispielen und Rechenaufgaben vorausgesetzt; diese werden aber spaeter (Kapitel 15) ebenfalls rigoros fundiert.

Sei DISPLAY Ausmultiplizieren des Produkts DISPLAY ergibt als Koeffizient von FORMULA den Term DISPLAY woraus die Behauptung folgt.

Sei DISPLAY Dann ist DISPLAY Wir zerlegen FORMULA in FORMULA Wuerfel der Seitenlaenge FORMULA und waehlen FORMULA so gross, dass FORMULA.

Sei DISPLAY Dann ist DISPLAY Wir zerlegen FORMULA in FORMULA Wuerfel der Seitenlaenge FORMULA und waehlen FORMULA so gross, dass FORMULA.

Sei DISPLAY FORMULA und FORMULA sind untere Dreiecksmatrizen, FORMULA und FORMULA obere, und FORMULA, FORMULA und FORMULA sind Diagonalmatrizen.

Sei FORMULA Die Elemente von FORMULA sind PREFIX Tupel von Spaltenvektoren der Laenge FORMULA, also PREFIX Matrizen.

Sei FORMULA Die Folge FORMULA der durch FORMULA definierten Funktionen konvergiert punktweise, aber nicht gleichmaessig gegen die Funktion FORMULA mit DISPLAY Die Folge FORMULA der durch FORMULA definierten Funktion konvergiert punktweise und gleichmaessig gegen FORMULA.

Sei FORMULA der Wert des Supremums in ITEM; dann ist DISPLAY Fuer eine Kreislinie FORMULA (FORMULA) folgt wegen FORMULA und FORMULA aus EQN die Ungleichung DISPLAY Die rechte Seite geht fuer FORMULA gegen Null; also muss FORMULA sein.

Sei FORMULA ein Quader, dessen Inneres den Traeger von FORMULA enthaelt.

Sei FORMULA ein Quader, dessen Inneres den Traeger von FORMULA enthaelt.

Sei FORMULA in FORMULA stetig.

Sei FORMULA und FORMULA Dann gilt DISPLAY und fuer FORMULA auch DISPLAY Gilt ausserdem FORMULA fuer alle FORMULA, so ist DISPLAY

Sei FORMULA und FORMULA fest.

Sei FORMULA und FORMULA.

Sei FORMULA und FORMULA.

Sei FORMULA und FORMULA.

Sei FORMULA, FORMULA und DISPLAY ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA eine Gerade, falls FORMULA; fuer FORMULA ist FORMULA, und fuer FORMULA ist FORMULA ITEM Fuer FORMULA ist FORMULA ein Kreis um FORMULA mit Radius FORMULA, falls FORMULA; fuer FORMULA ist FORMULA und fuer FORMULA ist FORMULA.

Sei FORMULA, die Menge DISPLAY sei nicht leer, und es sei DISPLAY Wir illustrieren diese Annahme mit dem konkreten Fall DISPLAY wo FORMULA in EQN eine offene Kugel ist.

Sei FORMULA, und FORMULA bezeichne den orthogonalen Projektor auf den Unterraum FORMULA von FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei FORMULA.

Sei also FORMULA ein regulaerer Punkt.

Sei dazu FORMULA, und FORMULA sei eine Abbildung, fuer die die Funktionen FORMULA alle zu FORMULA gehoeren.

Seien FORMULA, FORMULA, FORMULA.

Seien FORMULA.

Seine Determinante wird mit FORMULA bezeichnet.

Selbst fuer FORMULA ist meist FORMULA.

Setze FORMULA.

Setzen wir ausserdem FORMULA und FORMULA, so ist DISPLAY Die Beziehung FORMULA ist nun gleichwertig mit FORMULA, also gilt DISPLAY Angenommen, es waere FORMULA.

Setzen wir die Naeherung EQN in die Differentialgleichung EQN ein und vernachlaessigen wir den Fehler, so erhalten wir DISPLAY Gewoehnlich wird der Nullpunkt von FORMULA noch in den Gleichgewichtspunkt verschoben, so dass FORMULA also die \define{Auslenkung aus der Gleichgewichtslage} beschreibt.

Setzen wir dies in EQN ein und benutzen wir die Definition EQN fuer die FORMULA, so finden wir DISPLAY Fuer FORMULA mod FORMULA verschwindet der Integrand, und sonst laesst sich die Summe als endliche geometrische Reihe aufsummieren.

Setzen wir fuer festes FORMULA speziell DISPLAY so bleibt von beiden Summen nur ein Term: FORMULA.

Setzt man Einheitsvektoren ein, so bleiben in der Summe fuer FORMULA nur die Terme uebrig, fuer die alle Produkte FORMULA sind.

Setzt man FORMULA in EQN ein, so ergibt sich FORMULA, also DISPLAY Summieren ergibt DISPLAY und DISPLAY also DISPLAY

Setzt man die Einheitsmatrix FORMULA ein, so verschwinden alle Terme der Summe mit FORMULA (eine Spalte ist Null), und fuer FORMULA bleibt FORMULA.

Setzt man nun FORMULA fuer alle FORMULA, so ist DISPLAY also gilt FORMULA.

Sie bilden also eine Basis von FORMULA.

Sie dient in der Praxis vor allem dazu, zu einer langen Liste von Vektoren FORMULA in einem hochdimensionalen Raum FORMULA einen niedrigdimensionalen Unterraum zu finden, in dessen Naehe alle FORMULA liegen.

Sie heissen die \define{singulaeren Werte} von FORMULA.

Sie koennen sich leicht davon ueberzeugen, indem Sie einmal in ein paar wahllos herausgegriffene wissenschaftliche Fachbuecher aus Ihrer Bibliothek hineinschauen.

Sie sind aber eindeutig bis auf Vorzeichen und Reihenfolge, wenn ihre Laengen alle verschieden sind.

Sie sind auch unentbehrliche Grundbegriffe fuer ein Verstaendnis der Quantenmechanik.

Sie treten in geometrischer Verkleidung als Ellipsoide auf, wie sie zum Beispiel in der mehrdimensionalen Statistik als Konfidenzbereiche der Gauss'schen Normalverteilung auftreten.

Sie verallgemeinert die Division mit Rest bei natuerlichen Zahlen.

Sie zeichnen sich durch einige besonders schoene Eigenschaften aus, insbesondere die Moeglichkeit der Zerlegung in Linearfaktoren und der Partialbruchzerlegung.

Sind FORMULA Linearformen ueber FORMULA, so ist das durch DISPLAY definierte \define{aeussere Produkt} (oder \define{Dachprodukt}) von FORMULA eine PREFIX Form.

Sind FORMULA die verschiedenen Eigenwerte, so ist das aequivalent zu FORMULA und daher zu FORMULA.

Sind FORMULA und FORMULA beliebige Folgen aus FORMULA mit FORMULA, FORMULA fuer FORMULA, so ist FORMULA.

Sind FORMULA und FORMULA integrierbar, so gilt DISPLAY

Sind FORMULA und FORMULA reellwertig, so definieren wir FORMULA und FORMULA punktweise durch DISPLAY fuer FORMULA.

Sind FORMULA und FORMULA zwei monotone lineare Funktionale ueber FORMULA und FORMULA, so ist durch DISPLAY ein monotones lineares Funktional FORMULA ueber FORMULA definiert.

Sind FORMULA und alle Eigenwerte von FORMULA reell, so kann das Eigenpaar FORMULA reell gewaehlt werden, und die Matrix aus dem Hilfssatz wird reell.

Sind FORMULA und alle Eigenwerte von FORMULA reell, so koennen FORMULA und FORMULA reell gewaehlt werden.

Sind FORMULA und alle FORMULA reell, so gilt fuer die Funktion EQN im Konvergenzkreis DISPLAY Insbesondere ist FORMULA fuer reelle Argumente FORMULA reell.

Sind FORMULA zwei Wege, so ist durch DISPLAY eine FORMULA und FORMULA verbindende Homotopie FORMULA definiert; also ist FORMULA einfach zusammen- haengend.

Sind FORMULA, so ist (nach Definition von FORMULA) FORMULA und FORMULA fuer gewisse Folgen FORMULA, FORMULA aus FORMULA.

Sind alle FORMULA, so ist auch FORMULA wegen ITEM, also ist auch FORMULA Banachraum.

Sind alle Indices verschieden, so wird durch FORMULA eine Permutation definiert, und nach Satz REF ist DISPLAY Einsetzen in Satz REF ergibt DISPLAY Daher ist FORMULA det.

Sind alle genuegend grossen FORMULA, so gilt ausserdem DISPLAY FORMULA heisst der \define{Konvergenzradius} der Reihe, und der offene Kreis FORMULA ihr \define{Konvergenzkreis}; dies schliesst die Grenzfaelle FORMULA und FORMULA ein.

Sind also FORMULA, so sind auch FORMULA und FORMULA beliebig oft stetig differenzierbar, also gilt FORMULA.

Sind die FORMULA alle verschieden, so ordnen wir FORMULA der Groesse nach wie in EQN an, und erhalten eine Permutation FORMULA Sym FORMULA mit FORMULA Daher ist DISPLAY Einsetzen in Satz REF ergibt DISPLAY FORMULA und FORMULA bilden also gleiche Matrizen auf dieselben Elemente ab und sind daher gleich.

Sind die FORMULA nicht alle verschieden, so sind zwei Argumente von FORMULA gleich und die Koordinate verschwindet.

Sind die Reihen DISPLAY (absolut) konvergent und ist FORMULA Lin FORMULA beschraenkt, so sind auch die Reihen DISPLAY (absolut) konvergent, und es gilt DISPLAY DISPLAY

Sind die zweiten partiellen Ableitungen also stetig, so darf man Richtungsableitungen vertauschen.)

Sind nur die ersten FORMULA singulaeren Werte signifikant (d.h. genuegend gross), so erhaelt man DISPLAY mit FORMULA.

Sind umgekehrt FORMULA und FORMULA parallel, so ist entweder FORMULA fuer ein FORMULA und FORMULA, oder FORMULA und FORMULA; also gilt EQN mit Gleichheit.

Sind umgekehrt alle Eigenwerte nichtnegativ, so finden wir mit einer unitaeren Spektralzerlegung FORMULA von FORMULA und FORMULA die geforderte Beziehung FORMULA.

Sind umgekehrt alle FORMULA regulaer, so zeigen wir die Existenz einer Zerlegung FORMULA der beschriebenen Form induktiv.

Sind zwei Spalten gleich, FORMULA, so verschwindet FORMULA fuer FORMULA, da immer noch zwei Spalten gleich sind.

Sind zwei der Indices gleich, so ist die entsprechende Koordinate Null.

Skalarfelder: Temperatur, Dichte, Druck; Vektorfelder: Geschwindigkeit einer stroemenden Fluessigkeit, Magnetfeld, Schwerkraft.

So wollen wir im naechsten Kapitel auch vorgehen.

Solange die Wege den Schnitt nicht kreuzen, ist fuer symmetrische FORMULA die Wegunabhaengigkeit der Kurvenintegrale gewaehrleistet.

Solche Approximationen sind oft sehr nuetzliche lokale Approximationen, aber als globale Approximationen ueber einen groesseren Bereich sind sie meist unbrauchbar.

Solche Information kann durchaus nuetzlich sein.

Solche Probleme bearbeitet man mit statistischen Verfahren, von denen die Methode der kleinsten Quadrate eines der grundlegendsten ist.

Soll also EQN ein Ellipsoid darstellen, so muessen alle FORMULA positiv sein.

Soweit die Nacheinanderausfuehrung Sinn macht, gilt stets DISPLAY und falls FORMULA bijektiv ist, auch DISPLAY

Spaeter werden wir das Kurvenintegral auf Oberflaechenintegrale FORMULA verallgemeinern.

Spezialfaelle werden wir spaeter anders beweisen.)

Spezialisieren wir nun EQN auf FORMULA mit reellem FORMULA und beliebigem FORMULA, so erhalten wir DISPLAY Das gilt offenbar genau dann, wenn FORMULA ist.

Spezialisiert man EQN auf FORMULA, so folgt FORMULA fuer genuegend grosse FORMULA, so dass dann DISPLAY gilt.

Statt EQN und EQN schreibt man auch DISPLAY ITEM FORMULA heisst \define{einseitiger Grenzwert} von FORMULA fuer FORMULA (bzw. FORMULA), falls FORMULA ein nichtleeres Intervall FORMULA (bzw. FORMULA) enthaelt, so dass FORMULA Grenzwert der auf dieses Intervall eingeschraenkten Funktion ist.

Statt FORMULA schreiben wir auch FORMULA und statt FORMULA auch FORMULA.

Statt FORMULA schreibt man fuer FORMULA auch DISPLAY ITEM Ist FORMULA und FORMULA, so nennt man FORMULA \define{ueber} FORMULA \define{integrierbar}, und DISPLAY heisst das \define{Volumenintegral von} FORMULA \define{ueber} FORMULA.

Statt dessen beweisen wir eine einfachere Version, die schaerfere Voraussetzungen macht, dafuer aber auch genauere Konvergenzaussagen enthaelt.

Statt mit komplexer Zwischenrechnung kann man die reelle Version der Partialbruchzerlegung natuerlich auch analog zu Beispiel REF durch einen Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten und anschliessenden Koeffizientenvergleich bestimmen.

Stimmen FORMULA und FORMULA auf FORMULA ueberein, so ist die Funktion FORMULA auf FORMULA samt ihrer Ableitung Null.

Streuzustaende gehoeren nicht zum Punktspektrum, sondern zum sogen.

Streuzustaende haben also Energien, zu denen es keine Eigenfunktionen im Hilbertraum gibt.

Streuzustand, und die Energie ist nicht mehr gequantelt.

Stufen hinzunimmt, kann man erreichen, dass FORMULA und FORMULA mit derselben Stufenfolge FORMULA dargestellt sind.

Subtraktion geeigneter Vielfacher der letzten Zeile ergibt DISPLAY mit FORMULA, und Entwickeln nach der letzten Spalte ergibt dann DISPLAY Schreiben wir FORMULA und FORMULA so ist DISPLAY Nun ist nach dem Satz von Fubini DISPLAY Nach Induktionsannahme (und Translationsinvarianz) folgt DISPLAY Also gilt EQN allgemein.

Symmetrie kann sich dabei auf Versuchsanordnungen beziehen, die unter bestimmten Abbildungen unveraendert (\define{invariant}) bleiben (z.B. Kugelsymmetrie als Invarianz unter Drehungen um den Mittelpunkt), aber auch auf physikalische Gesetze (Galilei-Invarianz unter Translationen, Rotationen und Zeitverschiebungen; Lorentz-Invarianz und Poincare-Invarianz in der Relativitaetstheorie, innere Symmetrien in der Elementarteilchentheorie).

Symmetrische PREFIX Linearformen treten bei der mehrdimensionalen Taylorentwicklung von Skalarfeldern auf.

Symmetrische PREFIX Linearformen treten hauptsaechlich fuer FORMULA auf; wichtige Beispiele symmetrischer Bilinearformen sind das Skalarprodukt DISPLAY und in der Relativitaetstheorie die Minkowski-Metrik DISPLAY dabei ist FORMULA ist die Zeitkoordinate, FORMULA sind die Raumkoordinaten, FORMULA ist die Lichtgeschwindigkeit.

Tangentialebenen machen nur fuer in einen Vektorraum eingebetteten Flaechen Sinn, waehrend (wie in der Differentialgeometrie gezeigt wird) Tangentialraeume fuer abstrakte Flaechen unabhaengig von einer Einbettung definiert werden koennen.

Tatsaechlich geht FORMULA.

Tatsaechlich ist DISPLAY

Tatsaechlich kann man durch geschicktes Umordnen der Reihe Konvergenz zu einer beliebigen Zahl FORMULA erreichen: man summiert (der Groesse nach) positive Terme, bis man zum ersten mal groesser wird als FORMULA, addiert dann negative Terme, bis man wieder kleiner als FORMULA ist, addiert dann wieder positive Terme, usw.

Taylorentwicklung liefert die Formel EQN.

Teilen wir nun analog der Reihe nach die zweite,..., FORMULA te Komponente, so finden wir zunehmend kleinere Quader FORMULA, die sich nicht durch endlich viele FORMULA ueberdecken lassen.

Tensoren sind Verallgemeinerungen von Vektoren und Matrizen.

Topologie ist die Theorie der aus dem Umgebungsbegriff abgeleiteten Definitionen und Saetze.

Treten dabei die Indizes FORMULA genau FORMULA mal auf, so ist FORMULA, und wir erhalten einen Ausdruck FORMULA.

Trotzdem gibt es noch wichtige Beziehungen.

Ueber den gemachten Fehler gilt die folgende Optimalitaetsaussage.

Ueberschreitet die von aussen zugefuegte Energie eine gewisse Schwelle, so reicht sie aus, um die Teilchen voneinander zu trennen.

Um EQN zu zeigen, nehmen wir an, dass FORMULA in FORMULA differenzierbar ist.

Um EQN zu zeigen, waehlen wir FORMULA beliebig.

Um FORMULA als Haeufungspunkt nachzuweisen, konstruieren wir eine gegen FORMULA konvergente Teilfolge FORMULA Dazu waehlen wir uns ein FORMULA mit FORMULA Wegen FORMULA gibt es ein FORMULA mit FORMULA und es ist FORMULA also FORMULA Also konvergieren die FORMULA gegen FORMULA Daher ist FORMULA ein Haeufungspunkt.

Um FORMULA zu zeigen, waehlen wir FORMULA beliebig und zeigen, dass DISPLAY gilt.

Um Funktionen der Form FORMULA flexibel approximieren zu koennen, brauchen wir eine praezise Version der anschaulichen Aussage, dass zwischen einer kompakten Menge und dem Rand einer sie umfassenden offenen Menge genuegend Platz ist, um von einem konstanten Plateau der Hoehe 1 in FORMULA stetig zu einem konstanten Plateau der Hoehe 0 ausserhalb von FORMULA ueberzugehen.

Um Integrale auf Flaechen zu definieren, benutzen wir einen wichtigen Trick mit einer Teilung der Eins, der uns erlaubt, den Allgemeinfall auf den Fall einer einzigen Karte zurueckzufuehren.

Um also das Daniell-Integral benutzen zu koennen, genuegt nach Satz REF die folgende Aussage:

Um dem Rang eine anschauliche Interpretation geben zu koennen, beweisen wir zuerst ein paar Rechenregeln.

Um die Bezeichnung einfacher zu halten, werden wir jedoch in diesem Kapitel die Notation der Daniell-Integrale benutzen, die im Hinblick auf spaeter also als DISPLAY gedacht werden koennen.

Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nehmen wir an, es sei FORMULA mit FORMULA.

Um die Existenz einer Singulaere-Werte-Zerlegung zu zeigen, gehen wir umgekehrt von einer Spektralzerlegung FORMULA von FORMULA aus. Die Diagonalelemente von FORMULA sind nach absteigender Groesse geordnet; sie sind nichtnegativ, da FORMULA positiv semidefinit ist (Proposition REF und Satz REF).

Um die Partialbruchzerlegung im Fall mehrfacher Nullstellen zu berechnen, benutzt man EQN und bestimmt anschliessend die Partialbruchzerlegung von DISPLAY indem man in die aequivalente Formel DISPLAY fuer die Polynome FORMULA den Ansatz EQN einsetzt.

Um die Partialbruchzerlegung zu bekommen, zerlegen wir FORMULA; wegen der doppelten Nullstelle muessen wir den Ansatz DISPLAY mit zu bestimmenden Koeffizienten FORMULA machen.

Um die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen analysieren zu koennen, benutzt man den Begriff des Erwartungswerts. Im einfachsten Fall wird eine endliche Menge FORMULA von Experimenten (eine Teilmenge der Menge FORMULA aller denkbaren gleichwertigen Experimente) durchgefuehrt; wir erhalten im Experiment FORMULA fuer eine Groesse FORMULA das Resultat FORMULA, und daher das mittlere Resultat DISPLAY Abgesehen von den Bezeichnungen (FORMULA statt FORMULA und FORMULA statt FORMULA) ist gerade FORMULA mit dem monotonen linearen Funktional aus REF.

Um die Stetigkeit zu zeigen, nehmen wir eine beliebige Folge FORMULA in FORMULA mit Grenzwert FORMULA, und wenden den Satz noch einmal mit FORMULA statt FORMULA und FORMULA statt FORMULA an.

Um die Uebersicht zu behalten, brauchen wir eine Sprache, in der man komplexe Zusammenhaenge sehr knapp darstellen kann -- die Mathematik.

Um dies zu sehen, betrachten wir eine Abbildung FORMULA, und erweitern FORMULA zu einer Abbildung, die jeder Zufallsvariablen FORMULA die Aussage FORMULA zuordnet, die FORMULA auf FORMULA abbildet.

Um dies zu sehen, knuepfen wir an Beispiel REF an, beruecksichtigen aber in der Newton'schen Bewegungsgleichung ausser dem Einfluss des Potentials FORMULA auch noch eine der Geschwindigkeit entgegengesetzte \define{Reibungskraft} FORMULA mit einem positiven \define{Reibungskoeffizienten} FORMULA und eine aeussere \define{Antriebskraft} FORMULA.

Um diese Abweichung von der Kommutativitaet zu beschreiben, fuehrt man den Begriff des Kommutators ein.

Um diesen Satz anwenden zu koennen, brauchen wir noch den Wert von FORMULA.

Um einen Widerspruch zu erhalten, spezialisieren wir EQN auf Vielfache FORMULA des FORMULA ten Einheitsvektors mit reellem FORMULA und erhalten DISPLAY Beide Ungleichungen beschreiben Intervalle fuer FORMULA, die identisch sein muessen.

Um weitere Moeglichkeiten fuer die Berechnung von Volumenintegralen zu erhalten, benoetigen wir eine Verallgemeinerung der Substitutionsregel.

Um zu sehen, dass die 7 Summanden betraechtlich mehr Information enthalten, berechnen wir die PREFIX Pade-Approximation von DISPLAY Das Gleichungssystem EQN wird zu DISPLAY und liefert FORMULA, also DISPLAY EQN ergibt dann DISPLAY und erhalten den viel besseren Wert DISPLAY

Um zu zeigen, dass EQN auch gliedweise abgeleitet werden darf, muss man nachpruefen, dass auch die Reihe EQN absolut konvergent ist.

Um zu zeigen, dass FORMULA offen ist, konstruieren wir zu jedem FORMULA eine PREFIX Umgebung, die ganz in FORMULA liegt.

Um zu zeigen, dass det alternierend ist, nehmen wir FORMULA an.

Um zu zeigen, wie nuetzlich das Lemma von Poincare in der Physik ist, betrachten wir die Maxwell-Gleichungen DISPLAY Diese Gleichungen beschreiben (in gegeigneten Einheiten, so dass FORMULA) die Relationen zwischen der elektrischen Feldstaerke FORMULA, der magnetischen Feldstaerke FORMULA, der Ladungsdichte FORMULA und der Stomdichte FORMULA in einem Gebiet FORMULA.

Um zugleich eine Grundlage fuer die spaetere Behandlung der mehrdimensionalen Integration zu schaffen, formulieren wir die noetigen Konzepte abstrakt, indem wir allgemein von monotonen linearen Funktionalen ausgehen.

Umgekehrt bilde FORMULA die euklidische Einheitskugel auf sich ab.

Umgekehrt braucht fuer FORMULA die Taylorentwicklung einer Funktion FORMULA nicht zu konvergieren.

Umgekehrt erfuellen die durch EQN definierten FORMULA und FORMULA die Beziehung EQN.

Umgekehrt folgt aus EQN wieder FORMULA und daher DISPLAY also FORMULA.

Umgekehrt folgt aus FORMULA fuer FORMULA wegen DISPLAY dass fuer kleine FORMULA stets FORMULA und FORMULA ist.

Umgekehrt folgt aus der Symmetrie von FORMULA fuer alle FORMULA die Wegunabhaengigkeit in FORMULA, falls das Gebiet FORMULA einfach zusammenhaengend ist.

Umgekehrt gilt fuer jede Loesung DISPLAY also ist FORMULA konstant, also FORMULA (FORMULA einsetzen!) und daher FORMULA.

Umgekehrt hat eine Diagonalmatrix FORMULA stets die Einheitsvektoren FORMULA als Eigenvektoren, und wegen FORMULA sind die Diagonalelemente FORMULA die zugehoerigen Eigenwerte.

Umgekehrt ist EQN wegen der Linearitaet von FORMULA eine PREFIX Linearform, und wegen FORMULA ist FORMULA, also gilt EQN.

Umgekehrt ist jede PREFIX Linearform FORMULA mit irgendeiner der Eigenschaften ITEM, ITEM, ITEM oder (falls FORMULA in FORMULA) auch ITEM alternierend, also eine PREFIX Form.

Umgekehrt sei FORMULA abgeschlossen und beschraenkt, und FORMULA eine offene Ueberdeckung von FORMULA.

Umgekehrt sei FORMULA eine affine Abbildung, die alle Abstaende invariant laesst.

Umkehr der Zeitrichtung entspricht der Betrachtung von FORMULA statt FORMULA und liefert den konjugierten Punkt FORMULA.

Umkehrabbildung und Produkt von bijektiven Abbildungen von FORMULA sind naemlich offensichtlich wieder bijektiv.

Umkehrungen als Uebungsaufgabe.

Und EQN ergibt sich aus FORMULA fuer FORMULA.

Und der Herr sprach: Siehe, es ist einerlei Volk und einerlei Sprache unter ihnen allen, und dies ist erst der Anfang ihres Tuns; nun wird ihnen nichts mehr verwehrt werden koennen von allem, was sie sich vorgenommen haben zu tun.

Und es ist FORMULA, da nur der Term mit FORMULA beitraegt.

Und fuer diagonalisierbare Matrizen ist das Minimalpolynom gerade das Produkt der FORMULA ueber die verschiedenen Eigenwerte FORMULA von FORMULA (warum?); das Minimalpolynom einer diagonalisierbaren Matrix mit einem mehrfachen Eigenwert hat also den Grad FORMULA.

Und fuer komplexwertiges FORMULA ist FORMULA, da FORMULA und FORMULA in FORMULA liegen.

Und sie sprachen untereinander: Wohlauf, lasst uns Ziegel streichen und brennen! -- und nahmen Ziegel als Stein und Erdharz als Moertel und sprachen: Wohlauf, lasst uns eine Stadt und einen Turm bauen, dessen Spitze bis an den Himmel reiche, damit wir uns einen Namen machen: denn wir werden sonst zerstreut in alle Laender.

Und vertraut sein erlaubt auch, die innere Schoenheit der Mathematik zu sehen und zu geniessen.

Und wegen FORMULA haben die Spalten genau dann die Laenge 1, wenn alle Diagonalelemente 1 sind.

Und wegen FORMULA ist FORMULA, nach Definition von FORMULA also FORMULA.

Und wegen FORMULA sind die Laengen der Hauptachsen als Wurzeln der Eigenwerte von FORMULA bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Und wenn die Taylorentwicklung konvergiert, konvergiert sie nicht einmal unbedingt gegen den entsprechenden Funktionswert! Man muss also zwischen einer konvergenten Potenzreihe und einer asymptotischen (Taylor-)Reihe unterscheiden! Eine asymptotische Reihe eignet sich in der Regel nur zur Approximation einer Funktion, indem man sie spaetestens dann abbricht, wenn die Betraege der Summanden wieder zu wachsen beginnen.

Unendliche Summen werden in Kapitel 14 ausfuehrlich behandelt.

Unitaere (bzw. im Reellen orthogonale) Matrizen definieren starre Bewegungen von Koerpern und liefern kompakte Beschreibungen von Systemen orthogonaler Vektoren.

Unitaere Abbildungen stellen also wie Translationen abstandserhaltende und daher starre Bewegungen dar.

Unser kollektives Wissen ueber diese Welt hat sich im Lauf der Zeit immer mehr verfeinert.

Unter dem Einfluss der Kraft bewegt sich ein Teilchen im Gravitationsfeld auf einem PREFIX Weg FORMULA gibt seinen Ort und FORMULA seine Geschwindigkeit zur Zeit FORMULA an.

Unter den symmetrische Matrizen bilden die positiv definiten die bei weitem wichtigste Klasse.

Unter denselben Voraussetzungen ist DISPLAY

Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen gilt auch die Umkehrung.

Unter staerkeren Voraussetzungen an die Glattheit von FORMULA klingen die FORMULA staerker ab, und man kann die absolte Konvergenz der Fourierreihe zeigen.

Verbesserung z.B. durch Iteration DISPLAY mit FORMULA Vorschrift zum Verbessern einer Naeherung, z.B. nach EQN.

Vereinfacht werden wir fuer eine solche Abbildung auch die Schreibweisen DISPLAY oder DISPLAY benutzen.

Vertauschen der Spalten von FORMULA und der entsprechenden Komponenten von FORMULA koennen wir erreichen, dass die ersten FORMULA Spalten von FORMULA linear unabhaengig sind.

Vertieft werden die hier behandelten Begriffe in Vorlesungen ueber Differentialgeometrie und -topologie.

Viele praktisch relevante periodische Funktionen entstehen durch \define{periodische Fortsetzung} einer stetigen Funktion FORMULA durch die Definition DISPLAY Im Fall der Unstetigkeit beim Aneinandersetzen sorgt die Definition in EQN dafuer, dass an den Nahtstellen die Dirichletbedingung EQN erfuellt ist.

Viele weitere Beispiele finden sich in den Tafeln zur Fourieranalyse (z.B. Bronstein, Kap.

Viele weitere Integrale lassen sich explizit berechnen und sind in Integraltafeln zusammengestellt (z.B. Bronstein, REF.3).

Von diesen hat bisher nur der Begriff des Gebiets eine Rolle gespielt.

Von jedem beliebigen Objekt FORMULA steht fest, ob es zu FORMULA gehoert: DISPLAY oder ob es nicht zu FORMULA gehoert (FORMULA).

Vor der Diskussion des Abbildungsgrads im FORMULA beweisen wir zuerst eine Hilfsaussage, die uns erlaubt, eine zusaetzliche Regularitaetsannahme zu machen.

Vor der Diskussion des Abbildungsgrads im FORMULA beweisen wir zuerst eine Hilfsaussage, die uns erlaubt, eine zusaetzliche Regularitaetsannahme zu machen.

Vor einem Beweis dieser geometrischen Aussage machen wir uns dies am Beispiel einer Hyperebene FORMULA klar.

Waehlen wir ein FORMULA mit FORMULA, so finden wir DISPLAY nach Proposition REF, und diese Schranke ist endlich.

Waehlen wir naemlich speziell FORMULA und FORMULA fuer FORMULA, so gilt sicher EQN; also ist DISPLAY Zusammen mit EQN ergibt sich EQN und daher die Behauptung.

Waehlen wir nun FORMULA in EQN in einer so kleinen Umgebung von FORMULA, dass das Restglied FORMULA ist, so folgt DISPLAY Also ist FORMULA fuer alle FORMULA aus dieser Umgebung von FORMULA, d.h. FORMULA hat bei FORMULA ein lokales Minimum.

Waehlen wir nun FORMULA so gross, dass FORMULA und FORMULA, so folgt fuer alle FORMULA die Ungleichung FORMULA wird also von FORMULA allein ueberdeckt, Widerspruch.

Waehlen wir nun FORMULA so klein, dass das Restglied FORMULA wird, so erhalten wir DISPLAY Also hat FORMULA bei FORMULA kein lokales Minimum.

Waehlen wir speziell FORMULA, so ist FORMULA, und die Schranke in EQN geht fuer FORMULA gegen Null.

Waehrend es wegen Proposition REF ITEM klar ist, dass EQN im Fall der Konvergenz eine periodische Funktion darstellt, ist es nicht offensichtlich, welche periodischen Funktionen sich umgekehrt in der Form EQN darstellen lassen.

Waere FORMULA ein anderes Polynom vom Grad FORMULA mit FORMULA fuer alle FORMULA, so waere FORMULA ein nichtverschwindendes Polynom vom Grad FORMULA mit FORMULA Nullstellen FORMULA (FORMULA) im Widerspruch zu Proposition REF.

Waere FORMULA nicht beschraenkt, so gaebe es zu jedem FORMULA ein FORMULA mit FORMULA.

Waere FORMULA, so waere FORMULA fuer fast alle FORMULA, also fuer alle genuegend grosse FORMULA DISPLAY Gilt EQN etwa fuer FORMULA, so ist DISPLAY Diese untere Schranke wird fuer FORMULA beliebig gross, also bleiben die endlichen Teilsummen der Normen nicht beschraenkt, im Widerspruch zur absoluten Konvergenz.

Waere die Schlussfolgerung falsch, so waeren FORMULA und FORMULA beide FORMULA, und dann nach (R7) auch FORMULA, Widerspruch.

Waeren FORMULA und FORMULA zwei verschiedene Haeufungspunkte, so waere FORMULA, und die Kugeln FORMULA und FORMULA enthielten beide unendlich viele Folgenglieder.

Wann man allerdings konkrete Stoerungen FORMULA im Rahmen der Rechen- oder Messgenauigkeit als "infinitesimal" betrachten kann, kann nur durch eine Analyse des Fehlerterms entschieden werden.

Warnung.

Was Mose vor ueber 3000 Jahren seinem Volk ausrichten liess, gilt auch noch heute: Ich habe euch Leben und Tod, Segen und Fluch vorgelegt, damit du das Leben erwaehlst und am Leben bleibst, du und deine Nachkommen, indem ihr den Herrn, euern Gott, liebt und seiner Stimme gehorcht und ihm treu bleibt.

Was ist FORMULA? (Uebungsaufgabe) ITEM Die Menge FORMULA aller bijektiven Abbildungen einer Menge FORMULA auf sich ist eine Gruppe; man nennt sie die \define{symmetrische Gruppe} auf FORMULA.

Wege durch die "Schlaufen" und Wege daran vorbei sind z.B. nicht homotop.

Wegen (C4) und (C5) ist FORMULA, und die Rechengesetze fuer Koerper gelten, da sie in FORMULA gelten.

Wegen DISPLAY (Probe machen!) ist dann DISPLAY Teilen wir FORMULA entsprechend den Bloecken von FORMULA in Teilvektoren FORMULA auf, so finden wir DISPLAY Da nach Wahl der Anordnung der Eigenwerte FORMULA fuer alle FORMULA gilt, laesst sich FORMULA so waehlen, dass FORMULA fuer FORMULA (d.h. wenn ein neuer Block beginnt) ganz verschwindet, und fuer FORMULA ueberall ausser im letzten Block.

Wegen DISPLAY ergibt sich die Formel EQN aus EQN, wenn man FORMULA durch FORMULA mit FORMULA ersetzt.

Wegen DISPLAY folgt FORMULA.

Wegen DISPLAY folgt dann auch EQN.

Wegen DISPLAY fuer FORMULA hat FORMULA die Form DISPLAY mit einer PREFIX dimensionalen Einheitsmatrix im linken oberen Eck.

Wegen DISPLAY ist DISPLAY Fuer genuegend kleine FORMULA ist (gleichmaessige Konvergenz!) FORMULA fuer alle FORMULA, also folgt DISPLAY fuer genuegend kleine FORMULA.

Wegen DISPLAY ist DISPLAY also gilt EQN.

Wegen DISPLAY ist DISPLAY also gilt die obere Abschaetzung mit FORMULA.

Wegen DISPLAY ist DISPLAY da die Rang 1 Matrix FORMULA die Eigenwerte 0 (mit Vielfachheit FORMULA) und FORMULA (einfach) hat (Uebungsaufgabe).

Wegen DISPLAY ist Satz REF anwendbar und zeigt, dass FORMULA existiert.

Wegen DISPLAY ist also FORMULA beschraenkt durch FORMULA.

Wegen EQN bzw. EQN ist FORMULA fuer ein FORMULA, also DISPLAY

Wegen EQN bzw. EQN ist FORMULA fuer ein FORMULA, also DISPLAY EQN bzw. EQN folgen nun aus dem vorigen Satz, sobald wir die entsprechenden Voraussetzungen erfuellt haben.

Wegen EQN erfordert dies die Bedingung DISPLAY EQN und EQN lassen sich durch viele Funktionen erfuellen z.B. durch die Funktion mit DISPLAY Die Ableitung DISPLAY ist noch stetig, also ist EQN ein PREFIX Weg.

Wegen EQN fuer FORMULA statt FORMULA koennen wir zu jedem FORMULA eine Zahl FORMULA finden, so dass DISPLAY Wegen der Definition der PREFIX Norm gibt es nichtnegative Funktionen FORMULA mit DISPLAY Also ist FORMULA, und daher DISPLAY Da FORMULA beliebig war, folgt fuer FORMULA die Ungleichung FORMULA, und daher EQN.

Wegen EQN ist DISPLAY Da FORMULA kompakt ist, ist FORMULA endlich, fuer FORMULA tragen daher nur die endlich vielen FORMULA mit FORMULA bei.

Wegen EQN ist FORMULA, also FORMULA.

Wegen EQN ist ausserdem DISPLAY also DISPLAY Das ist EQN; daher gilt ITEM.

Wegen EQN koennen wir FORMULA in der Form DISPLAY schreiben, da in der Summe rechts die Terme mit FORMULA verschwinden und der Summand fuer FORMULA sich zu FORMULA vereinfacht.

Wegen EQN und FORMULA ist fuer dieses FORMULA sicher FORMULA, und die rechte Seite von EQN laesst sich weiter abschaetzen durch DISPLAY Also folgt EQN mit der Wahl DISPLAY ITEM Analog wie in ITEM kann man erreichen, dass DISPLAY Wenn wir nun auch DISPLAY zeigen koennen, folgt EQN.

Wegen FORMULA bzw. FORMULA und dem Zwischenwertsatz ist FORMULA das Bild von FORMULA und FORMULA auf den angegebenen Intervallen.

Wegen FORMULA enthaelt die Umgebung FORMULA aber nur endlich viele Folgenglieder, naemlich hoechstens die mit FORMULA, Widerspruch.

Wegen FORMULA ergibt sich dann aus EQN FORMULA, also FORMULA.

Wegen FORMULA findet man, dass DISPLAY unabhaengig von der benutzten Karte ist.

Wegen FORMULA folgt FORMULA, und wegen EQN folgt EQN.

Wegen FORMULA folgt aus ITEM mit FORMULA also FORMULA, also FORMULA; daher gilt EQN.

Wegen FORMULA folgt aus dem Satz von Fubini DISPLAY da FORMULA fuer FORMULA.

Wegen FORMULA fuer FORMULA ist DISPLAY

Wegen FORMULA fuer FORMULA kann es nur dann Loesungen geben, wenn FORMULA fuer FORMULA.

Wegen FORMULA fuer alle FORMULA ist FORMULA monoton wachsend und da FORMULA stetig ist, ist das Stieltjes-Integral FORMULA definiert.

Wegen FORMULA fuer alle FORMULA ist FORMULA, also ist FORMULA ein kommutativer Ring.

Wegen FORMULA fuer alle FORMULA und FORMULA ist FORMULA eine lineare Abbildung.

Wegen FORMULA g_k\uparrow f FORMULA folgt FORMULA nach ITEM.

Wegen FORMULA gibt es Zahlen FORMULA, FORMULA mit FORMULA und FORMULA.

Wegen FORMULA gilt DISPLAY Also ist FORMULA eine Cauchy-Folge.

Wegen FORMULA gilt schliesslich auch FORMULA, und daher FORMULA

Wegen FORMULA hat FORMULA die einfachen Nullstellen FORMULA, und es ist FORMULA, FORMULA.

Wegen FORMULA hat der Gradient die Laenge 1 und seine Richtung ist die von FORMULA.

Wegen FORMULA ist DISPLAY Division durch FORMULA gibt FORMULA.

Wegen FORMULA ist EQN gleichwertig zu FORMULA, also wegen EQN und FORMULA fuer FORMULA zu DISPLAY Diese Aussage gilt aber genau dann, wenn DISPLAY und DISPLAY Wegen FORMULA ist EQN gleichwertig zum linearen Gleichungssystem DISPLAY das wegen der Voraussetzung eindeutig nach den FORMULA aufloesbar ist.

Wegen FORMULA ist FORMULA fuer FORMULA, also gibt es eine Konstante FORMULA mit DISPLAY Nach dem Residuensatz ist DISPLAY Das zweite Integral laesst sich nach der Substitution FORMULA, FORMULA durch DISPLAY abschaetzen, und das letzte Integral ergibt sich analog zu FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA konstant, wegen FORMULA ist also FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA lim FORMULA mit geeigneten FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA nach dem Satz ueber monotone Konvergenz integrierbar, also DISPLAY Nach dem Satz ueber majorisierte Konvergenz folgt nun FORMULA, also EQN.

Wegen FORMULA ist FORMULA nach dem Satz ueber monotone Konvergenz integrierbar, also FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA stetig.

Wegen FORMULA ist FORMULA und Gleichheit gilt nur fuer FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA zu FORMULA disjunkt.

Wegen FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA, also ist FORMULA differenzierbar und FORMULA (ein Zeilenvektor).

Wegen FORMULA ist FORMULA, also laesst sich wieder ITEM anwenden und liefert wegen FORMULA die Beziehung DISPLAY Also ist FORMULA, d.h. FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA, wegen DISPLAY ist also FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA.

Wegen FORMULA ist FORMULA.

Wegen FORMULA ist also FORMULA fuer FORMULA und FORMULA fuer FORMULA.

Wegen FORMULA ist ausserdem FORMULA, also nach dem Satz von der monotonen Konvergenz FORMULA.

Wegen FORMULA ist cos in diesem Intervall streng monoton fallend, hat also genau eine Nullstelle.

Wegen FORMULA ist dann FORMULA, also liegt FORMULA in FORMULA.

Wegen FORMULA ist die Folge beschraenkt, hat also einen Haeufungspunkt FORMULA und daher eine gegen FORMULA konvergente Teilfolge FORMULA.

Wegen FORMULA ist in FORMULA DISPLAY Der Flaecheninhalt zwischen Kurve und PREFIX Achse bleibt konstant; also konvergieren die FORMULA in der PREFIX Norm nicht gegen 0.

Wegen FORMULA ist nun FORMULA, und wegen sgn FORMULA sgn FORMULA sgn FORMULA sgn FORMULA heben sich die Summanden in EQN paarweise weg.

Wegen FORMULA kann das aber nicht fuer beide Vorzeichen gleichzeitig richtig sein, Widerspruch.

Wegen FORMULA kann man EQN in etwas laxer Schreibweise als DISPLAY ausdruecken, was bei Interpretation der Differentiale als infinitesimale Groessen (und nach Ersetzen von FORMULA durch FORMULA) gerade der physikalischen Rechenpraxis entspricht.

Wegen FORMULA kann man auch EQN anwenden und erhaelt FORMULA mit DISPLAY Man sieht, dass unterhalb der Diagonale von FORMULA gerade die Multiplikatoren stehen, die bei den Transformationen benutzt werden.

Wegen FORMULA kann man sich die Differenzen FORMULA als Differenzen FORMULA von FORMULA in der Naehe von FORMULA vorstellen (die Vorstellung wird umso praeziser, je schmaler die einzelnen Stufen sind).

Wegen FORMULA koennen wir FORMULA setzen.

Wegen FORMULA liegt FORMULA in einer Kugel um 0 mit Radius FORMULA, ist also beschraenkt.

Wegen FORMULA muss man also FORMULA waehlen, falls FORMULA (d.h. FORMULA) ist, und FORMULA falls FORMULA (d.h. FORMULA) ist.

Wegen FORMULA und EQN ist FORMULA fuer alle FORMULA, nach Satz REF also DISPLAY Ausserdem ist DISPLAY Fuer FORMULA gilt nun DISPLAY also FORMULA.

Wegen FORMULA und FORMULA folgt DISPLAY wegen EQN also FORMULA.

Wegen FORMULA und FORMULA folgt FORMULA und damit FORMULA.

Wegen FORMULA und FORMULA fuer FORMULA folgt FORMULA fuer FORMULA, und nach dem Zwischenwertsatz ist das Bild von FORMULA auf FORMULA ganz FORMULA.

Wegen FORMULA und FORMULA fuer FORMULA folgt aus Proposition REF, dass alle FORMULA in FORMULA liegen.

Wegen FORMULA und FORMULA fuer FORMULA hat also sin genau eine Nullstelle FORMULA, und es ist FORMULA.

Wegen FORMULA und FORMULA ist DISPLAY also DISPLAY Wegen FORMULA ist FORMULA, also DISPLAY Da dies fuer beliebige FORMULA gilt, folgt im Limes FORMULA, dass DISPLAY Also ist FORMULA eine untere Schranke fuer die Menge in EQN, und deshalb ist DISPLAY Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich, indem wir zeigen, dass das Infimum angenommen wird.

Wegen FORMULA und FORMULA verschwinden FORMULA und FORMULA ausserhalb von FORMULA; also ist FORMULA.

Wegen FORMULA verschwinden alle hoeheren Potenzen von FORMULA.

Wegen ITEM gilt auch FORMULA

Wegen ITEM ist FORMULA offen (relativ zu FORMULA).

Wegen ITEM liegen also die FORMULA in FORMULA.

Wegen REF und Satz REF ergibt sich DISPLAY REF: Zunaechst ist FORMULA, also DISPLAY Ist FORMULA, so folgt aus EQN die Gleichung FORMULA und die Behauptung folgt.

Wegen Re FORMULA ist FORMULA, also ist EQN mit FORMULA an Stelle von FORMULA anwendbar, und wir erhalten DISPLAY daher gilt EQN.

Wegen Satz REF genuegt es also zu zeigen, dass FORMULA endlich ist.

Wegen der Annahmen fallen alle Glieder mit einer Potenz FORMULA weg; also ist DISPLAY Division und kuerzen von FORMULA ergibt DISPLAY

Wegen der Definition EQN folgt EQN.

Wegen der Linksstetigkeit EQN gibt es Zahlen FORMULA mit FORMULA.

Wegen der Maximalitaet von FORMULA ist FORMULA, also FORMULA.

Wegen der Stetigkeit der Konjugation ist DISPLAY Fuer reelle FORMULA ist FORMULA also FORMULA, also FORMULA reell.

Wegen der Stetigkeit von FORMULA gibt es zu jedem FORMULA ein FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA.

Wegen der Stetigkeit von FORMULA und den FORMULA gibt es eine offene Umgebung FORMULA von FORMULA, so dass fuer alle FORMULA die Ungleichungen DISPLAY gelten; der Durchschnitt der entsprechenden (endlich vielen!) offenen Umgebungen zu den einzelnen Funktionen ist naemlich wieder eine offene Umgebung.

Wegen der Vertauschbarkeit der Richtungsableitung (Proposition REF) kommt es auf die Reihenfolge der FORMULA nicht an.

Wegen der gleichmaessigen Konvergenz FORMULA gibt es ein FORMULA mit DISPLAY Wegen der Stetigkeit von FORMULA gibt es ein FORMULA mit DISPLAY da FORMULA ein Gebiet ist, kann FORMULA so klein gewaehlt werden, dass die ganze Kugel FORMULA in FORMULA liegt.

Wegen der gleichmaessigen Konvergenz ist nach dem vorigen Satz der Grenzwert FORMULA eine stetige Funktion.

Wegen der moeglichen Pole einer rationalen Funktion ist es nuetzlich, den Zahlkoerper durch Hinzunehmen von FORMULA zu ergaenzen.

Weggelassen.

Weglassen von FORMULA erhaelt man eine endliche Teilueberdeckung von FORMULA.

Weiter ist FORMULA, so dass EQN gilt.

Wende Proposition REF auf die durch DISPLAY definierte lineare Abbildung an.

Wendet man darauf die Schritte FORMULA des obigen Orthogonalisierungsverfahrens an, findet man ein Orthonormalsystem FORMULA mit FORMULA, also eine Orthonormalbasis. ITEM Sind die Spalten FORMULA (FORMULA) von FORMULA linear unabhaengig, so ergaenzt man sie durch weitere Vektoren FORMULA zu einer Basis und wendet auf FORMULA das Orthogonalisierungsverfahren an.

Wenn die Abhaengigkeit von FORMULA betont werden soll, schreibt man statt FORMULA auch FORMULA, im Fall des Stieltjes-Integrals FORMULA aber FORMULA und FORMULA fuer FORMULA.

Wenn man will, kann man auch weiter zerlegen als Summe von Termen FORMULA mit FORMULA, FORMULA.

Wesentlich fuer die Nuetzlichkeit der eingefuehrten Konzepte ist, dass man die Menge FORMULA aller moeglichen Experimente nicht zu kennen braucht.

Wesentlich fuer die gleichmaessige Konvergenz ist also, dass man um die Grenzfunktion FORMULA einen ueberall gleichmaessig dicken " PREFIX Schlauch" legen kann, in dem fast alle FORMULA verlaufen; im ersten Beispiel bleibt aber in der Naehe von FORMULA der Fehler FORMULA gross.

Wichtigster Spezialfall ist FORMULA, FORMULA; in diesem Fall ist FORMULA Lin FORMULA.

Wie bei Kurvenintegralen (die sich hier als Fall FORMULA wieder ergeben) koennen wir zwei Arten von Flaechenintegralen definieren, ein skalares ueber Funktionen und ein vektorielles ueber PREFIX Formen, und wie dort kommt es darauf an, die Unabhaengigkeit von der speziellen Beschreibung der Flaeche nachzuweisen.

Wie der naechste Satz zeigt, ist das kein Zufall.

Wie die Abbildung zeigt, sind die PREFIX und PREFIX Pade-Approximationen DISPLAY dagegen weit brauchbarere Approximationen.

Wie im Beweis von Proposition REF folgt nun, dass FORMULA in ganz FORMULA verschwindet.

Wie im Beweis von Satz REF betrachten wir FORMULA.

Wie im Beweis von Satz REF ist DISPLAY der orthogonale Projektor auf FORMULA, und EQN und EQN folgen.

Wie im letzten Beispiel ergibt die Polynomdivision von FORMULA durch FORMULA stets den Funktionswert FORMULA an einer Stelle FORMULA sowie eine explizite Darstellung der Steigung FORMULA als Polynom von um eins verringerten Grad.

Wie im letzten Beweis setzen wir DISPLAY und finden DISPLAY Wegen FORMULA ist FORMULA, und mit FORMULA findet man, dass DISPLAY die eindeutige Cholesky-Zerlegung von FORMULA ist.

Wie in Proposition REF findet man, dass das komplexe Kurvenintegral linear ist und die Abschaetzung DISPLAY gilt.

Wie in diesen Beispielen kann man immer vorgehen.

Wie man an den Beispielen sieht und leicht allgemein zeigt, hat eine untere Dreiecksmatrix FORMULA mit FORMULA stets FORMULA Nullspalten am Ende, und eine obere Dreiecksmatrix FORMULA mit FORMULA ebenso FORMULA Nullzeilen am Ende.

Wie man an den Beweisen sieht, sind die Formeln EQN -- EQN eine kurze Schreibweise fuer Handlungsanweisungen, die zu korrekten Schluessen fuehren.

Wie man aus EQN fuer FORMULA sieht, kann man FORMULA genau dann FORMULA (und dann beliebig) waehlen, wenn FORMULA eine Nullstelle der quadratischen Gleichung DISPLAY ist.

Wie man schon am Beispiel REF sieht (alternierend nach REF), gibt es einige Permutationen, die den Tensor unveraendert lassen, aber auch solche, die das Vorzeichen aendern.

Wie sich aus Kapitel 17 ergibt, sind diese Resonanzfrequenzen tatsaechlich mathematisch durch Eigenwerte im (Punkt-)Spektrum beschreibbar.

Wie wir sehen werden, laesst sich das Stieltjes-Integral auf eine viel groessere Klasse FORMULA von Funktionen ausdehnen, und man hat dann allgemeiner DISPLAY Die Formel EQN kann man nun auch ohne Bezug auf einen zugrundeliegenden Erwartungswert dazu benutzen, um Integrale zu definieren.

Wieder sehen wir, dass man bei absoluter Konvergenz (diesmal in der Supremumsnorm FORMULA) gliedweise ableiten und integrieren darf.

Wieder sind REF und REF erfuellbar, und da wir die Nullstelle FORMULA von FORMULA schon kennen, erhalten wir aus REF die Abschaetzung DISPLAY woraus die Stetigkeit in FORMULA folgt.

Wieder tritt Resonanz ein, falls die Daempfung gering ist und eine Anregungsfrequenz in der Naehe einer Eigenfrequenz des Systems liegt.

Wiederholung desselben Arguments liefert dasselbe mit FORMULA fuer FORMULA statt FORMULA, und durch Linearkombination findet man DISPLAY fuer beliebige Polynome FORMULA.

Will man die komplexe Zwischenrechnung vermeiden, so kann man reelle rationale Funktionen, deren komplexe Nullstellen alle verschieden sind, als Linearkombination reeller Ausdruecke der Form DISPLAY schreiben und diese ebenfalls nach obigen Formeln integrieren.

Will man eine koordinatenunabhaengige Definition, so muss man alles mit PREFIX Formen interpretieren.

Will man z.B. die Funktion FORMULA mit FORMULA fuer FORMULA und FORMULA fuer FORMULA nach oben einigermassen genau durch eine Summe von Treppenfunktionen abschaetzen, so braucht man unendlich viele Summanden FORMULA mit zunehmend kleineren Flaecheninhalt FORMULA, die zusammengenommen die Unstetigkeitsstelle bei FORMULA ueberbruecken.

Wir beginnen mit dem Zusammenstellen einiger Eigenschaften des Raumes FORMULA aller beliebig oft differenzierbaren Skalarfelder FORMULA, wobei FORMULA ein Gebiet im normierten Raum FORMULA ist.

Wir behandeln Konvergenzkriterien und Methoden zur Berechnung von Grenzwerten.

Wir benutzen daher dieses Approximationsverfahren, um ein Mass FORMULA fuer die Groesse einer beliebigen Funktion FORMULA zu definieren, das sich fuer Treppenfunktionen gerade auf FORMULA reduziert.

Wir benutzen diese Konvention aber nicht.)

Wir berechnen das Integral von FORMULA (FORMULA) entlang der durch DISPLAY definierten \define{Kreislinie} FORMULA um FORMULA mit Radius FORMULA.

Wir berechnen die FORMULA te Komponente von FORMULA: Es ist DISPLAY dabei entsteht die Matrix FORMULA aus FORMULA, indem man die FORMULA te Zeile FORMULA von FORMULA durch die FORMULA te Zeile FORMULA ersetzt.

Wir berechnen zuerst die Schur-Zerlegung FORMULA, wobei wir dem Beweis von Satz REF gemaess als Diagonalelemente von FORMULA die Eigenwerte von FORMULA in einer beliebigen Reihenfolge angeben duerfen.

Wir bestimmen die Inversionen der FORMULA Permutationen aus FORMULA: DISPLAY Andere Abbildungen, etwa FORMULA, sind nicht bijektiv, also keine Permutationen; ihr Signum ist also Null.

Wir bestimmen die Koordinaten FORMULA einer PREFIX Form.

Wir bestimmen die Koordinaten FORMULA.

Wir betrachten FORMULA und die durch DISPLAY definierte stetige Funktion FORMULA.

Wir betrachten dazu die durch DISPLAY definierte Folge FORMULA.

Wir betrachten den Kreis FORMULA vom Radius FORMULA.

Wir betrachten die (konvexe und abgeschlossene) Kugel FORMULA mit FORMULA.

Wir betrachten die Abbildung FORMULA mit DISPLAY

Wir betrachten die Funktion FORMULA mit FORMULA ist stetig differenzierbar mit FORMULA, und nach dem vorigen Satz ist DISPLAY Nun ist FORMULA, also DISPLAY

Wir betrachten die Homotopie DISPLAY FORMULA hat eine eindeutige Nullstelle FORMULA und die Ableitung FORMULA ist nichtsingulaer.

Wir betrachten die Homotopie DISPLAY FORMULA hat eine eindeutige Nullstelle FORMULA und die Ableitung FORMULA ist nichtsingulaer.

Wir betrachten die Menge DISPLAY Die affine Abbildung DISPLAY bildet FORMULA offenbar auf den Einheitskreis FORMULA ab, und da die Abbildung bijektiv ist (warum?), ist FORMULA ein Ellipsoid.

Wir betrachten die Taylorreihe EQN.

Wir betrachten die aus den vier Seiten des Rechtecks mit den Ecken FORMULA, FORMULA, FORMULA und FORMULA bestehende Kurve FORMULA.

Wir betrachten die durch DISPLAY definierte Abbildung FORMULA; nach Proposition REF ist FORMULA eine PREFIX Form, und nach Satz REF ist FORMULA mit DISPLAY Also ist DISPLAY

Wir betrachten ein durch EQN gegebenes Ellipsoid FORMULA, und nehmen an, FORMULA sei abgeschlossen; der offene Fall geht analog.

Wir betrachten eine unitaere Spektralzerlegung FORMULA der hermiteschen Matrix FORMULA und machen die Substitution FORMULA.

Wir betrachten fuer feste FORMULA die Bilinearform FORMULA mit DISPLAY Da FORMULA alternierend ist, ist FORMULA, und fuer FORMULA erhalten wir DISPLAY nach ITEM.

Wir betrachten ingendeine Funktion FORMULA mit FORMULA und verwenden im folgenden Argument mehrfach die Translationsinvarianz (I) und den Satz von Fubini (F); der letztere ist anwendbar, da stetige Funktionen mit kompaktem Traeger stets integrierbar sind.

Wir betrachten nun den Fehler; wegen EQN, EQN ist DISPLAY und wegen FORMULA, FORMULA folgt DISPLAY Da FORMULA kompakt ist, ist die stetige Funktion FORMULA in FORMULA gleichmaessig stetig, also koennen wir FORMULA so waehlen, dass DISPLAY Waehlen wir nun FORMULA, so laesst sich dies auf die Ausdruecke in EQN anwenden, und wir erhalten DISPLAY Da dies fuer alle FORMULA gilt, folgt die Behauptung.

Wir betrachten nun den Sonderfall FORMULA.

Wir betrachten nun den Spezialfall FORMULA.

Wir betrachten nun die in der Definition der PREFIX Norm DISPLAY (vgl. Definition REF) auftretenden Terme.

Wir betrachten nur den PREFIX dimensionalen Fall FORMULA.

Wir betrachten nur zahlenwertige Funktionen; aber alle allgemeinen Ergebnisse des Kapitels lassen sich ohne wesentliche Aenderungen (Verwendung von Normen statt Betraegen) allgemeiner fuer Funktionen mit Werten in FORMULA und noch allgemeineren Raeumen formulieren und beweisen.

Wir betrachten wieder den physikalischen wichtigsten Fall FORMULA und knuepfen an Beispiel REF an.

Wir betrachten zunaechst das abgeschlossene System ohne aeussere Kraefte (FORMULA).

Wir betrachten zunaechst die aus DISPLAY durch periodische Fortsetzung entstehende unstetige Funktion FORMULA.

Wir betrachten zunaechst die homogene Gleichung, die dem Fehlen aeusserer Kraefte entspricht.

Wir beweisen induktiv die Ungleichung DISPLAY dabei halten wir FORMULA fest.

Wir beweisen nun die wichtigsten Rechenregeln fuer Kurvenintegrale.

Wir bezeichnen Kurven vorzugsweise mit dem Buchstaben FORMULA.

Wir bezeichnen die Menge der Indizes FORMULA, fuer die FORMULA Eigenvektor zum Eigenwert FORMULA ist, mit FORMULA; dann ist FORMULA.

Wir bezeichnen mit FORMULA die Matrix, die aus FORMULA durch Weglassen der ersten Zeile und Ersetzen der FORMULA ten Zeile FORMULA durch die erste Zeile entsteht; dann ist DISPLAY Wir ziehen nun von den Zeilen FORMULA von FORMULA das PREFIX Fache von FORMULA ab, wo FORMULA.

Wir brauchen dazu

Wir brauchen dazu eine vorbereitende Aussage:

Wir definieren FORMULA durch EQN und zeigen zunaechst ITEM.

Wir definieren nun FORMULA durch DISPLAY und zeigen DISPLAY Wegen FORMULA fuer FORMULA kann naemlich FORMULA nur fuer FORMULA gelten, nach Definition von FORMULA ist also FORMULA.

Wir diskutieren Reihenentwicklungen, Funktionalgleichungen, asymptotisches Verhalten, Ableitung und Integration, und behandeln einige systematische Methoden fuer die Integration von Ausdruecken, die elementare Funktionen enthalten.

Wir erhalten also DISPLAY Substituieren wir FORMULA, und schreiben DISPLAY so erhalten wir DISPLAY Da FORMULA und FORMULA periodisch mit Periode FORMULA sind, kann man das Integral auch von FORMULA bis FORMULA laufen lassen, und wir finden DISPLAY Da FORMULA stueckweise PREFIX mal stetig differenzierbar ist, ist FORMULA noch stueckweise stetig differenzierbar.

Wir erhalten also FORMULA.

Wir erhalten dabei auch Einsichten in den Aufbau der Loesungsmenge eines linearen Gleichungssystems. Als erstes schauen wir uns an, wie die Matrizenoperationen in Komponentendarstellung aussehen.

Wir erwaehnen das Beispiel schon hier, weil es die Motivation fuer die Namensgebung ist.) ITEM FORMULA ist ein absoluter Funktionenraum, und fuer endliche Mengen FORMULA ist der \define{Mittelwert} DISPLAY von FORMULA ueber FORMULA ist ein Integral.

Wir erweitern eine rationale Funktion FORMULA, mit Polynomen FORMULA (FORMULA), die keine gemeinsame Nullstelle besitzen (falls Zaehler und Nenner gemeinsame Nullstellen haben, muss man erst umformen, indem man geeignete Linearfaktoren kuerzt), zu einer Funktion auf dem projektiven Abschluss durch DISPLAY und DISPLAY fuer FORMULA.

Wir fassen saemtliche Parameter zu einem Parametervektor zusammen, den man ueblicherweise mit FORMULA bezeichnet (hier verwenden wir ausnahmsweise einen kleinen griechischen Buchstaben fuer einen Vektor).

Wir formulieren Kurvenintegrale ausserdem als Integrale ueber PREFIX Formen.

Wir formulieren die wesentlichen Vorstellungen davon in Konventionen, ohne dabei axiomatische Strenge anzustreben; dies wird in Vorlesungen der Logik oder der Mengenlehre getan.

Wir fuehren den Beweis exemplarisch anhand der Skizze.

Wir fuehren den Beweis in vier Teilschritten.

Wir gehen hier aber nicht weiter darauf ein.

Wir haben in diesem Kapitel die Kurvenintegrale im FORMULA mit Standardkoordinaten eingefuehrt.

Wir haben nun alle Konzepte bereit, die zur Integration ueber Flaechen benoetigt werden.

Wir identifizieren lineare Abbildungen von FORMULA nach FORMULA mit den zugehoerigen FORMULA -Matrizen bezueglich der Standardbasen; damit wird FORMULA eine FORMULA -Matrix \define{(Funktionalmatrix, Jakobimatrix).} Zur Diskussion der Bedeutung der Komponenten fuehren wir noch ein paar Bezeichnungen ein:

Wir illustrieren den Sachverhalt im vorigen Beweis: \input131.pstex_t box6cmNaeherung FORMULA z.B. aus Zeichnung.

Wir interpretieren das Phasendiagramm als komplexe Zahlenebene, indem wir FORMULA mit FORMULA setzen.

Wir kehren nun zum allgemeinen Fall zurueck und beweisen Rechenregeln fuer Grenzwerte von Funktionen.

Wir kehren nun zur Behandlung von Flaechen zurueck und formalisieren zunaechst einfache geometrische Sachverhalte.

Wir koennen (warum?) FORMULA als Vereinigung abzaehlbar vieler offener Wuerfel FORMULA der Seitenlaenge FORMULA darstellen.

Wir koennen (warum?) FORMULA als Vereinigung abzaehlbar vieler offener Wuerfel FORMULA der Seitenlaenge FORMULA darstellen.

Wir koennen also DISPLAY mit Matrizen FORMULA, FORMULA nichtsingulaer und Vektoren FORMULA, FORMULA schreiben.

Wir koennen also DISPLAY mit einem Vektor FORMULA und einer PREFIX Matrix FORMULA schreiben.

Wir koennen auf einem Stueck Papier (FORMULA) eine Karte der Groesse FORMULA zeichnen, in dem gewissen Punkten FORMULA die Namen zugehoeriger Punkte FORMULA zugeordnet sind (z.B. "Wien", "Berlin", "New York", wenn man sich FORMULA als Erdoberflaeche denkt), entsprechend der Abbildung FORMULA mit DISPLAY Wir legen den Begriff der Karte nun mathematisch fest, verlangen dabei die eindeutige Aufloesbarkeit, lassen ausserdem den Rand der Karte unbeschriftet und erlauben wie in einem Atlas, dass einzelne Karten nur einen Teil der Flaeche beschreiben.

Wir koennen daher die Umgebungen FORMULA so klein waehlen, dass sie paarweise disjunkt sind.

Wir koennen daher die Umgebungen FORMULA so klein waehlen, dass sie paarweise disjunkt sind.

Wir koennen daher endlich viele FORMULA auswaehlen, die FORMULA ueberdecken.

Wir koennen das Rezept EQN auf allgemeinere Funktionen FORMULA ausdehnen, und unter Beruecksichtigung der Qualitaet verschiedener Experimente usw.

Wir koennen nun beweisen, dass wir die Theorie des vorigen Kapitels fuer FORMULA anwenden koennen.

Wir koennen nun das Kleinste-Quadrate-Problem FORMULA mit Hilfe der orthogonalen Projektion geometrisch interpretieren: Ist FORMULA der orthogonale Projektor auf FORMULA, so bleibt FORMULA bei Multplikation mit FORMULA fest, also ist FORMULA und FORMULA.

Wir koennen nun die Haupteigenschaften von PREFIX Formen herleiten:

Wir koennen nun die wichtigen Konvergenzsaetze beweisen, die hinreichende Bedingungen dafuer angeben, wann man Integration und Grenzwertbildung vertauschen kann.

Wir konstruieren FORMULA durch Einschieben vieler "Zwiebelschalen" FORMULA zwischen FORMULA und FORMULA, die als Hoehenlinien von FORMULA interpretiert werden sollen, FORMULA.

Wir konstruieren zunaechst eine Folge FORMULA derart, dass jede Kugel FORMULA in FORMULA liegt und sich nicht durch endlich viele FORMULA ueberdecken laesst.

Wir konstruieren zurecht eine PREFIX Hutfunktion mit kompaktem Traeger.

Wir motivieren die Diskussion mit dem Beispiel einer harmonischen Schwingung.

Wir muessen daher Bedingungen fuer lokale Integrierbarkeit und Messbarkeit herleiten.

Wir muessen dazu zeigen, dass es zu jeder Umgebung FORMULA von FORMULA eine Umgebung FORMULA von FORMULA gibt mit DISPLAY Da FORMULA im Innern von E liegt, koennen wir abbrechende Binaerzahlen FORMULA mit FORMULA und FORMULA finden.

Wir muessen die Eigenschaft (D0) nachweisen, also DISPLAY Dazu muessen wir die Summe in REF fuer beliebige Folgen FORMULA mit REF nach unten abschaetzen.

Wir muessen eine endliche Teilueberdeckung finden.

Wir muessen uns daher die Permutationen etwas genauer ansehen.

Wir muessen uns jetzt noch von der Differenzierbarkeitsforderung befreien.

Wir muessen uns jetzt noch von der Differenzierbarkeitsforderung befreien.

Wir muessen zeigen, dass die beiden Abbildungen links und rechts von EQN ein beliebiges FORMULA auf dieselbe Funktion abbilden.

Wir nehmen also an, es waere FORMULA.

Wir nehmen daher an, es sei FORMULA und die Aussage ist richtig fuer Matrizen mit nur FORMULA Zeilen.

Wir nehmen nun die fuer Flaecheninhalte von Treppenfunktionen (den Fall FORMULA, FORMULA und FORMULA) gewonnene Intuition als Anschauung fuer einen systematischen Aufbau der Integrationstheorie.

Wir nutzen aus, dass FORMULA auf duennen Kugelschalen fast konstant ist.

Wir orthogonalisieren die Spalten FORMULA der Matrix DISPLAY Fuer FORMULA ist die Summe in EQN leer, also DISPLAY Fuer FORMULA ist FORMULA, also DISPLAY Ebenso ist FORMULA und FORMULA, also DISPLAY Als Ergebnis bekommt man die Orthonormalbasis FORMULA und die orthogonale Zerlegung FORMULA mit DISPLAY wie man durch Ausmultiplizieren bestaetigt.

Wir packen nun allmaehlich die Information aus, die in den Definitionen und Axiomen steckt, und stellen so unsere Rechengewohnheiten auf eine sichere Grundlage.

Wir sagen (cf.

Wir schaetzen die Summanden FORMULA durch eine geometrische Folge ab: Fuer FORMULA ist FORMULA, also DISPLAY Nach Satz REF ist die Reihe also absolut konvergent und beim Abbrechen nach dem PREFIX ten Glied macht man einen Fehler von hoechstens DISPLAY Fuer FORMULA ist beispielsweise DISPLAY und DISPLAY und da offensichtlich FORMULA gilt, ist DISPLAY Tatsaechlich ist FORMULA.

Wir schreiben (und sagen) FORMULA (" FORMULA \define{kleiner gleich} FORMULA ") oder FORMULA (" FORMULA \define{groesser gleich} FORMULA "), wenn FORMULA nichtnegativ ist.

Wir schreiben DISPLAY

Wir schreiben FORMULA fuer FORMULA.

Wir schreiben das als FORMULA mit DISPLAY Die Normalgleichungen FORMULA sind DISPLAY im konkreten Fall also DISPLAY und liefern die Loesung DISPLAY Die zugehoerige Gerade ist im Bild mit eingezeichnet.

Wir setzen DISPLAY Nach Definition von FORMULA ist dann FORMULA fuer alle Nullstellen von FORMULA nichtsingulaer.

Wir setzen DISPLAY Nach Definition von FORMULA ist dann FORMULA fuer alle Nullstellen von FORMULA nichtsingulaer.

Wir setzen DISPLAY mit einem noch zu bestimmenden Vektor FORMULA.

Wir setzen FORMULA (aber FORMULA falls FORMULA) und FORMULA; dann enthaelt FORMULA die Punkte FORMULA, und wir koennen den Weg FORMULA mit DISPLAY betrachten.

Wir setzen FORMULA.

Wir setzen FORMULA.

Wir setzen FORMULA.

Wir setzen daher voraus, dass der Residuenvektor (kurz das \define{Residuum}) in der Form FORMULA geschrieben werden kann; die Aufgabe besteht also darin, den Wert FORMULA von FORMULA zu finden, fuer den die Quadratsumme FORMULA moeglichst klein wird.

Wir setzten FORMULA als stetig differenzierbar voraus, und betrachten die durch DISPLAY definierte Funktion FORMULA.

Wir setzten FORMULA; dann ist FORMULA und FORMULA.

Wir sind nun in der Lage, zweifache Integrale zu definieren.

Wir suchen also nach einer Geraden FORMULA, die diesen Zusammenhang am besten beschreibt.

Wir uebertragen zunaechst einige der fuer Zahlen gewohnten Bezeichnungen punktweise auf Funktionen.

Wir untersuchen, wann der entsprechende Grenzwert Sinn macht und welche Eigenschaften diese unendlichen Summen haben.

Wir verallgemeinern nun die Regel EQN fuer FORMULA Determinanten.

Wir vertauschen daher die erste Zeile mit der guenstigeren dritten Zeile und erhalten DISPLAY Nun ziehen wir Vielfache der ersten Zeile ab, entsprechend FORMULA, und erhalten DISPLAY Zum Bearbeiten der zweiten Spalte eignet sich die zweite Zeile wieder nicht, und wir vertauschen nochmal die zweite und dritte Zeile: DISPLAY Nun ziehen wir Vielfache der zweiten Zeile ab, entsprechend FORMULA und erhalten DISPLAY Schliesslich ziehen wir entsprechend FORMULA Vielfache der dritten Zeile ab, und erhalten die gesuchte Dreiecksmatrix DISPLAY Insgesamt ist DISPLAY Da man beide Vertauschungen offenbar auch gleich am Anfang haette vornehmen koennen, ohne dass sich die Zahlenwerte aendern (nur die Reihenfolge!), koennen wir das als DISPLAY mit FORMULA schreiben, und erhalten mit DISPLAY diesmal eine Darstellung der Form FORMULA mit einer Permutationsmatrix FORMULA, einer unteren Dreiecksmatrix FORMULA und einer oberen Dreiecksmatrix FORMULA.

Wir waehlen FORMULA so, dass DISPLAY gilt.

Wir waehlen FORMULA wesentlich groesser als die Betraege aller Nullstellen von FORMULA.

Wir waehlen daher ein Eigenpaar FORMULA von FORMULA und gemaess Satz REF eine unitaere Matrix FORMULA, deren erste Spalte ein Vielfaches FORMULA von FORMULA ist.

Wir waehlen die Reihenfolge so, dass jeweils gleiche Eigenwerte nebeneinanderstehen.

Wir waehlen eine Basis FORMULA von FORMULA, und ergaenzen sie zu einer Basis FORMULA von FORMULA.

Wir waehlen eine grosse Zahl FORMULA und suchen nach einem Naeherungsweg FORMULA, der an den Stellen FORMULA mit FORMULA uebereinstimmt.

Wir waehlen fuer jedes FORMULA eine Basis FORMULA von FORMULA.

Wir wenden dann diese Faehigkeiten auf die Loesung linearer Gleichungssysteme an.

Wir wenden den vorigen Satz mit FORMULA und FORMULA an, wobei FORMULA und FORMULA beliebige Folgen aus FORMULA mit FORMULA, FORMULA fuer FORMULA sind.

Wir werden Gruppen nur in Form von Abbildungsgruppen benutzen, und daher nur FORMULA und FORMULA nachpruefen muessen.

Wir werden daher Paare und Tripel mit Abbildungen von FORMULA bzw. FORMULA in eine Menge \define{identifizieren}, d.h. als dasselbe betrachten.

Wir werden dann das Oberflaechenintegral durch DISPLAY definieren, wobei FORMULA ein PREFIX dimensionales Volumenintegral ist, das wir auch erst noch definieren muessen.

Wir werden sehen, dass in Koerpern alle in der Schule eingeuebte Regeln fuer die Umformung von Gleichungen gelten, waehrend man bei Ungleichungen aufpassen muss (z.B. ist FORMULA fuer Zahlen, aber es gibt Koerper mit FORMULA).

Wir wissen also, dass das homogene Gleichungssystem EQN nur die triviale Loesung besitzt.

Wir wissen schon (Satz REF), dass stetige Funktionen auf beschraenkten Intervallen Stieltjes-integrierbar (und daher Lebesgue-integrierbar) sind.

Wir wollen das Minimum der Quadratsumme FORMULA bestimmen, wenn die Summe FORMULA bekannt ist.

Wir wollen die (Stieltjes-)Integrierbarkeit stetiger Funktionen zeigen.

Wir wollen diese geometrische Interpretation des Integrals erweitern, indem wir alle stetigen und moeglichst viele unstetige Funktionen durch Treppenfunktionen approximieren.

Wir wollen jetzt geschlossene Formeln fuer die inverse Matrix und die Loesung regulaerer linearer Gleichungssysteme herleiten.

Wir wollen noch nachpruefen, dass wir wirklich das globale Minimum gefunden haben.

Wir wollen nun den Abbildungsgrad durch ein Integral ausdruecken.

Wir wollen nun den Abbildungsgrad durch ein Integral ausdruecken.

Wir wollen nun der bisher unmotivierten Bezeichnung FORMULA fuer die Koordinatenformen einen tieferen Sinn geben, indem wir einer Klasse von PREFIX Formen, den exakten Formen, eine "infinitesimale" Interpretation geben.

Wir zeigen nun induktiv, dass sich jedes solche FORMULA durch weitere Aehnlichkeitstransformationen auf die gesuchte Form bringen laesst.

Wir zeigen nun, dass FORMULA die gewuenschte Eigenschaft hat.

Wir zeigen nun, dass alle interessanten Mengen messbar sind.

Wir zeigen nun, dass die Funktion FORMULA mit DISPLAY in FORMULA kontrahierend ist.

Wir zeigen nun, dass sich -- wenigstens im Komplexen -- allgemeine rationale Funktionen stets als Produkte gebrochen linearer Funktionen und haeufig (aber nicht immer) als Summe gebrochen linearer Funktionen darstellen lassen.

Wir zeigen zunaechst, dass die Menge FORMULA relativ zu FORMULA offen und abgeschlossen ist.

Wir zeigen, dass dann EQN gilt.

Wir zeigen, dass die Darstellung eindeutig ist.

Wir zeigen, dass die Stammfunktion DISPLAY eine Cauchy-Folge in FORMULA bilden.

Wir zeigen, dass die rechte Seite von EQN existiert und nicht von der Wahl der Approximationsfolge FORMULA abhaengt.

Wir zeigen, wie man eine Funktion auf einer Flaeche minimiert und wie man sie ueber eine Flaeche integriert, beweisen die wichtigen Integralsaetze von Gauss und Stokes, und geben mit dem Abbildungsgrad ein wichtiges topologisches Werkzeug zum Nachweis der L'osbarkeit von Gleichungssystemen.

Wir ziehen nun drei fuer Anwendungen wichtige Folgerungen.

Wir ziehen nun drei fuer Anwendungen wichtige Folgerungen.

Wird von aussen FORMULA nur wenig Energie FORMULA zugefuehrt, so kann man damit nur Zustaende mit potentieller Energie DISPLAY erreichen, da FORMULA positiv definit ist.

Wohlauf, lasst uns herniederfahren und dort ihre Sprache verwirren, dass keiner des anderen Sprache verstehe! So zerstreute sie der Herr von dort in alle Laender, dass sie aufhoeren mussten, die Stadt zu bauen.

Z.B. gilt fuer Zahlen stets FORMULA, in der Quantenmechanik gilt aber fuer den Ort FORMULA und den Impuls FORMULA die Beziehung FORMULA (statt 0 wie bei Zahlen).

Z.B. ist fuer DISPLAY FORMULA in ausgeschriebener Form gegeben durch DISPLAY und man erhaelt sofort aus FORMULA die Loesung FORMULA.

Zeile des Lemmas) und dann als Teilmenge des Definitionsbereichs (s. Textpassage unterhalb der Zeichnung).

Zeile des Lemmas) und dann als Teilmenge des Definitionsbereichs (s. Textpassage unterhalb der Zeichnung).

Zu einem stetigen Vektorfeld FORMULA assoziieren wir eine stetige PREFIX Form FORMULA durch DISPLAY Mit der kanonischen Basis FORMULA des Dualraumes, gegeben durch [4] FORMULA, ist dann FORMULA die PREFIX Form mit DISPLAY Also ist DISPLAY und DISPLAY Die Bezeichnungsweise ist hier leider mehrdeutig.

Zu jedem FORMULA gibt es Umgebungen FORMULA von FORMULA und FORMULA von FORMULA mit FORMULA (Satz REF (H5)), und wir koennen (durch Verkleinern) FORMULA als offen waehlen.

Zu jedem FORMULA gibt es dann eine Umgebung, die nur endlich viele Folgenglieder enthaelt, also (nach Verkleinern) auch eine offene Umgebung FORMULA, die hoechstens ein Folgenglied enthaelt.

Zu jedem FORMULA gibt es eine offene Menge FORMULA, die FORMULA enthaelt, und in FORMULA eine abgeschlossene Kugel FORMULA um FORMULA.

Zu jeder Matrix FORMULA gibt es eine Permutationsmatrix FORMULA, eine normierte untere Dreiecksmatrix FORMULA und eine obere Dreiecksmatrix FORMULA in Stufenform, fuer die die Gleichung DISPLAY gilt.

Zu jeder Permutation FORMULA Sym FORMULA gibt es dann FORMULA mit FORMULA.

Zum Abschluss erwaehnen wir noch einen Zusammenhang zwischen Gleichungssystemen mit konjugiert transponierten Matrizen.

Zum Abschluss uebertragen wir noch die Regel fuer partielle Integration auf Integrale ueber ganz FORMULA.

Zum Beispiel erhaelt man durch Taylorentwicklung von FORMULA um FORMULA fuer rationale FORMULA und FORMULA die Formel DISPLAY und daraus je nach Vorzeichen von FORMULA eine verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung DISPLAY da FORMULA wegen FORMULA positiv ist.

Zum Beispiel ist DISPLAY

Zum Beispiel ist DISPLAY Wir leiten nun aus den Axiomen weitere Rechenregeln her.

Zum Beispiel ist FORMULA.

Zum Beispiel ist die punktierte Ebene FORMULA nicht einfach zusammenhaengend, aber die entlang der negativen PREFIX Achse aufgeschlitzte Ebene FORMULA ist einfach zusammenhaengend.

Zum Beispiel ueberdecken die offenen Mengen FORMULA das ganze Intervall.

Zum Beweis der Eindeutigkeit gehen wir wieder von der Darstellung EQN aus. Die Abbildung FORMULA bildet also die Einheitskugel auf das Ellipsoid FORMULA ab, und die Abbildung FORMULA das Ellipsoid FORMULA auf die Einheitskugel.

Zum Beweis der uebrigen Behauptungen nehmen wir an, FORMULA sei in der Form EQN gegeben.

Zum Beweis genuegen die Axiome REF - REF.

Zum Beweis von FORMULA gehen wir auf die Definition FORMULA zurueck (Definition REF).

Zum Nachweis der PREFIX Linearitaet genuegt es also, die Linearitaet im ersten Argument nachzupruefen.

Zum Nachweis der absoluten Konvergenz reichen die bisherigen Saetze aus. Es gibt aber konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren, und fuer diese bedingt konvergenten Reihen ist der Konvergenznachweis etwas schwieriger.

Zum doppelten Eigenwert FORMULA erhalten wir zugehoerige Eigenvektoren FORMULA aus DISPLAY und zum einfachen Eigenwert FORMULA erhalten wir zugehoerige Eigenvektoren FORMULA aus DISPLAY Eine orthogonale Spektralzerlegung (Probe machen!) ist FORMULA mit DISPLAY Wie zu erwarten, sind die Spalten von FORMULA paarweise orthogonale Eigenvektoren der Laenge 1.

Zunaechst benutzen wir Satz REF (fuer FORMULA), um eine Funktion FORMULA mit DISPLAY zu finden; dies geht, da FORMULA nach Varaussetzung kompakt ist.

Zunaechst denke man bei einem Ring stets an die Menge FORMULA der ganzen Zahlen und an die Menge FORMULA der Ziffern einer Uhr (mit 12=0).

Zunaechst ist DISPLAY Fuer FORMULA ist der Integrand konstant, also hat das Integral den Wert FORMULA.

Zunaechst ist FORMULA ein absoluter Funktionenraum, da FORMULA und FORMULA denselben Traeger haben und gleichzeitig stetig sind.

Zunaechst sei FORMULA, und FORMULA sei ein Koordinatensystem.

Zunaechst zeigen wir, dass kompakte Mengen trotz ihrer umstaendlichen Definition sehr nuetzliche Eigenschaften haben.

Zur Abkuerzung mathematischer Objekte benuetzen wir neben dem lateinischen Alphabet und einer Reihe von Sonderzeichen haeufig auch das \define{griechische Alphabet}: DISPLAY

Zur Approximation von Funktionen hat man eine Reihe verschiedener Grenzwertbegriffe, je nach dem, welche Intuition der Definition zugrundegelegt wird.

Zur Berechnung der Konstanten setzen wir FORMULA ein und erhalten DISPLAY also ist FORMULA.

Zur Berechnung von DISPLAY muss man zunaechst die Partialbruchzerlegung von FORMULA finden.

Zur Diskussion von Ableitung und Integration von Reihen arbeiten wir im Banachraum FORMULA der beschraenkten Funktionen FORMULA oder im Banachraum FORMULA der beschraenkten stetigen Funktionen FORMULA, vgl. Satz REF.

Zur Loesung von EQN genuegt es dann wegen dem Superpositionsprinzip den Fall DISPLAY zu betrachten.

Zur Motivation des Beweises nehmen wir zunaechst an, wir haetten eine Singulaere-Werte-Zerlegung EQN von FORMULA.

Zur Standardbasis FORMULA von FORMULA gehoert das Koordinatensystem FORMULA.

Zur Uebung interpretiere man REF - REF in dieser Sprechweise.

Zur genaueren Beschreibung der Approximation von Funktionen durch eine Folge von (immer genaueren) Naeherungsfunktionen muss man verschiedene Konvergenzbegriffe unterscheiden.

Zur praktischen Berechnung des Rangs benutzt man am besten Gauss-Elimination und wendet dann den folgenden Satz an.

Zur vollstaendigen Loesung muss man also eine weitere spezielle Loesung des homogenen Systems finden (Uebungsaufgabe).

Zusammen mit EQN folgt FORMULA fuer alle FORMULA, also FORMULA.

Zuvor beweisen wir jedoch die wichtigen Mittelwertsaetze.

Zwei Mengen FORMULA heissen \define{gleich} (Schreibweise FORMULA), falls DISPLAY Gilt nur DISPLAY so heisst FORMULA \define{Teilmenge} von FORMULA; man schreibt DISPLAY ITEM ist FORMULA irgendeine Beziehung zwischen Objekten (eine \define{Relation}), so schrieben wir FORMULA fuer die gegenteilige Beziehung nicht- FORMULA; z.B. bedeutet FORMULA also " FORMULA gehoert nicht zu FORMULA ".Ebenso schreiben wir DISPLAY z.B. bedeutet FORMULA also " FORMULA liegt in FORMULA und ist von Null verschieden".

Zwei Spalten FORMULA und FORMULA (FORMULA) stehen wegen DISPLAY aufeinander orthogonal.

Zwei einfache Spezialfaelle lohnt es sich zu merken:

Zwischen eine schon konstruierte kompakte Menge FORMULA und eine sie enthaltende offene Menge FORMULA schieben wir nach Proposition REF ITEM eine weitere offene Menge FORMULA mit Abschluss FORMULA und DISPLAY so ein, dass FORMULA kompakt ist.

[Grundformeln fuer Integrale] DISPLAY Entsprechende Regeln gelten fuer bestimmte Integrale, vorausgesetzt, die Integranden sind im Integrationsintervall definiert.

\centerline{\psfigfigure=ellipse.ps,height=7cm

\centerline{\psfigfigure=flaeche.ps,height=7cm

\centerline{\psfigfigure=glm1.ps,height=7cm

\centerline{\psfigfigure=homotopy.ps,height=4cm

\centerline{\psfigfigure=linfit.ps,height=5cm

\centerline{\psfigfigure=pade.ps

\centerline{\psfigfigure=umlauf.ps,height=8cm

\defineVorwort Wir leben in einer Welt von ungeheurer Komplexitaet.

\define{(Abstandsinvarianz)} Der euklidische Abstand FORMULA von zwei beliebigen Punkten FORMULA aendert sich bei einer affinen Abbildung FORMULA genau dann nicht, wenn FORMULA unitaer ist.

\define{(Cayley-Hamilton)} Ist FORMULA das charakteristische Polynom von FORMULA, so ist FORMULA.

\define{(Fixpunktsatz von Brouwer)} Ist FORMULA sternfoermig und beschraenkt, und ist FORMULA stetig, so hat FORMULA mindestens einen Fixpunkt.

\define{(Fixpunktsatz von Brouwer)} Ist FORMULA sternfoermig und beschraenkt, und ist FORMULA stetig, so hat FORMULA mindestens einen Fixpunkt.

\define{(Fredholm-Alternative)} FORMULA sei Zahlkoerper und FORMULA.

\define{(Fundamentalsatz der Algebra)} ITEM Jedes nichtkonstante Polynom hat mindestens eine Nullstelle in FORMULA.

\define{(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)} FORMULA sei eine beliebige stetig differenzierbare Funktion mit FORMULA fuer alle FORMULA.

\define{(Integralsatz von Cauchy)} FORMULA sei analytisch im Gebiet FORMULA.

\define{(Lagrange-Interpolation)} Fuer paarweise verschiedene FORMULA und beliebige zugehoerige Funktionswerte FORMULA (FORMULA) gibt es genau ein Polynom FORMULA vom Grad FORMULA mit der Eigenschaft DISPLAY naemlich DISPLAY

\define{(Lebesgue'sches Lemma)} FORMULA sei eine offene Ueberdeckung der kompakten Menge FORMULA.

\define{(Lemma von Sard)}.

\define{(Lemma von Sard)}.

\define{(Partialbruchzerlegung)} Hat FORMULA genau FORMULA komplexe Nullstellen FORMULA mit den Vielfachheiten FORMULA, so gibt es eine eindeutige Darstellung DISPLAY mit einem Polynom FORMULA vom Grad FORMULA und Polynomen FORMULA vom Grad FORMULA.

\define{(Partialbruchzerlegung, einfacher Fall)} Ist FORMULA und hat FORMULA lauter verschiedene Nullstellen FORMULA (FORMULA), so ist DISPLAY

\define{(Partielle Integration)} FORMULA seien Funktionen mit FORMULA.

\define{(Residuensatz)} FORMULA sei ein Gebiet, FORMULA eine in FORMULA analytische Funktion.

\define{(Schur-Normalform)} Jede quadratische Matrix FORMULA laesst sich in der Form FORMULA mit einer unitaeren Matrix FORMULA und einer oberen Dreiecksmatrix FORMULA schreiben.

\define{(Superpositionsprinzip)} ITEM Die allgemeine Loesung eines inhomogenen Gleichungssystems erhaelt man aus einer speziellen Loesung, indem man eine beliebige Loesung des zugehoerigen homogenen Gleichungssystems dazuaddiert.

\define{(Teilung der Eins)} Aus jedem Atlas einer PREFIX Flaeche FORMULA lassen sich zu einer kompakten Menge FORMULA endlich viele Karten FORMULA und nichtnegative Funktionen FORMULA mit FORMULA so auswaehlen, dass DISPLAY Man nennt die FORMULA eine \define{Teilung der Eins} auf FORMULA.

\define{(Traegheitssatz von Sylvester)} ITEM Hat eine hermitesche Matrix FORMULA eine Zerlegung FORMULA mit einer Diagonalmatrix FORMULA und einer regulaeren Matrix FORMULA, so sind alle Diagonalelemente von FORMULA reell.

\define{Definitheit.} Eine fuer die Anwendungen wichtige Klasse von Matrizen kann durch die Vorzeichen ihrer Eigenwerte charakterisiert werden.

\define{Die Methode der kleinsten Quadrate.} Ein in der Praxis ueberaus haeufiges Problem ist die Anpassung mathematischer Modelle an gegebene, fehlerbehaftete Daten.

\define{Elementare Spektraltheorie.} Die Spektraltheorie beschaeftigt sich mit Eigenwerten und Eigenvektoren von quadratischen Matrizen und allgemeiner von linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums.

\define{Ellipsoide.} Reelle symmetrische positiv definite Matrizen haben eine geometrische Interpretation als Koeffizientenmatrizen von Ellipsoiden; ihre Spektralzerlegung findet ebenfalls eine geometrische Deutung durch die Hauptachsen der Ellipsoide.

\define{Gesetz der grossen Zahlen} FORMULA seien paarweise unabhaengige Zufallsvariablen.

\define{Hauptachsen} von FORMULA, sind zueinander paarweise orthogonal; in einer Darstellung EQN sind sie geeignete Eigenvektoren von FORMULA.

\define{Interpolation und Partialbruchzerlegung}

\define{Lie-Algebren}, d.h. Vektorraeume, in denen eine Operation FORMULA mit den Eigenschaften REF -- REF definiert ist, spielen in der Elementarteilchenphysik eine grosse Rolle, wo sie die Symmetriegruppen der verschiedenen Teilchen klassifizieren.

\define{Matrixfunktionen.} Insbesondere fuer die Anwendungen auf Differentialgleichungen ist es interessant, Funktionen fuer Matrixargumente zu definieren.

\define{Merkregel}: Fuer FORMULA gilt DISPLAY

\define{Motivation} (anhand von Schulkenntnissen): Wir beginnen die Vorlesung mit einer Praezisierung des Begriffs der komplexen Zahl.

\define{Normalgleichungen} DISPLAY berechnen.

\define{Nullstellen und Faktorzerlegung.} Als unmittelbare Folgerung der Polynomdivision findet man fuer jede Nullstelle FORMULA eines Polynoms FORMULA die Zerlegung DISPLAY in ein Produkt eines Linearfaktors FORMULA und eines Polynoms, dessen Grad um eins geringer ist als der von FORMULA.

\define{Orthogonale Projektion und Spektralschar.} Die in der Spektralzerlegung enthaltene Information ueber die Eigenraeume laesst sich mit Hilfe orthogonaler Projektionen elegant darstellen.

\define{Orthogonalisierung.} Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen unitaeren Matrizen und Orthonormalsystemen etwas genauer betrachten.

\define{Pade-Approximation und Konvergenzbeschleunigung} Zur Approximation einer Funktion FORMULA kennen wir bisher vor allem die Taylorentwicklung, die FORMULA in der Naehe eines Punktes durch ein Polynom approximiert.

\define{Rationale Funktionen und projektiver Abschluss.} Eine \define{rationale Funktion} ist ein Quotient zweier Polynome.

\define{Schurzerlegung und unitaere Spektralzerlegung.} Waehrend man nach Beispiel REF zu einer gegebenen Matrix nicht immer eine dazu aehnliche Diagonalmatrix finden kann, gibt es immer eine aehnliche Dreiecksmatrix.

\define{Signatur.} Laesst man in einer Zerlegung der Form FORMULA die Bedingung fallen, dass FORMULA unitaer sein soll, so sind FORMULA und FORMULA normalerweise nicht mehr aehnlich.

\define{Singulaere Werte und Hauptkomponentenanalyse.} Fuer nicht hermitesche oder rechteckige Matrizen gibt es ein Analogon der Spektralzerlegung, die Singulaere-Werte-Zerlegung, in der links und rechts unterschiedliche unitaere Matrizen vorkommen.

\define{Wahrscheinlichkeit.} Zu den wichtigsten Anwendungen von monotonen linearen Funktionalen gehoeren die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik.

\define{Wichtig:} Ist A regulaer, so ist es einfacher, FORMULA oder FORMULA als Loesung von FORMULA bzw. FORMULA zu berechnen als durch explizites Berechnen von FORMULA und anschliessende Multiplikation! Nach diesen mehr rechnerischen Aspekten wollen wir nun noch einige allgemeine Eigenschaften der Loesungsmenge von linearen Gleichungssystemen betrachten.

\define{Wichtig:} Rechenregeln fuer Funktionsumformungen uebertragen sich auf Matrizen nur, wenn die beteiligten Matrizen vertauschbar sind.

\define{Zuordnung des Stoffs zu den traditionellen Vorlesungen:} (runde Klammern = kann sowohl im analytischen als auch im algebraischen Zweig behandelt werden; (eckige Klammern = nur zum Teil ins Gebiet fallend)

\define{allen} Variablen stetig differenzierbar, so ist FORMULA (in einer geeigneten Umgebung FORMULA) stetig differenzierbar, und es gilt DISPLAY

\define{blockdiagonale} Matrizen der Form DISPLAY mit kleineren quadratischen Untermatrizen FORMULA gilt DISPLAY


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als Uebungsaufgabe FORMULA

anstelle von FORMULA andere monotone lineare Funktionale FORMULA mit FORMULA in Betracht ziehen.

auch FORMULA geschrieben.) ITEM Fuer reellwertige FORMULA, FORMULA schreiben wir DISPLAY (" FORMULA \define{konvergiert von unten} gegen FORMULA "), DISPLAY (" FORMULA \define{konvergiert von oben} gegen FORMULA ").

auch am Rand geht im vorigem Beweis alles in Ordnung, weil auch halbe Kugeln noch konvex sind) und hat FORMULA als Ableitung.

auch von FORMULA) seien bei FORMULA.

austria EQN: Es ist FORMULA, und fuer FORMULA ergibt sich speziell FORMULA.

beliebig genau (mit Fehlerangabe) zu berechnen.

daher koennen wir Satz REF anwenden, und finden, dass der Grenzwert FORMULA existiert.

definierte Funktion FORMULA liegt in FORMULA, und es gilt DISPLAY

definierte Funktion FORMULA liegt in FORMULA, und es gilt DISPLAY ITEM Fuer fast alle FORMULA ist FORMULA, die durch DISPLAY f.ue.

definierten Funktionen FORMULA.

dem Lebesgue-Integral eine Nullmenge ist, ist es unerheblich, ob man die Intervallgrenzen mit dazunimmt oder nicht.)

dienen.

durch Induktion nach FORMULA.

eine Loesung.

einer Umgebung von FORMULA (relativ zu FORMULA) hat.

einer Umgebung von FORMULA (relativ zu FORMULA) hat.

etwas technisch; der Satz folgt aus dem linearen Spezialfall (Satz REF) durch stueckweise lineare Approximation von FORMULA mit Hilfe einer geeigneten (mehrdimensionalen) Teilung der Eins. Fuer Details siehe Forster III, FORMULA, Satz 3.

existiert also der Limes FORMULA.

f heisst \define{stetig differenzierbar} in FORMULA, falls FORMULA und FORMULA dort stetig sind.

gegeben.

gelten.

ins Leere, und auch sonst passen verschiedene Kleinigkeiten (z.B. Beweisende) nicht ganz.

inversen Problemen bei denen der Messung nicht zugaengliche Funktionen oder Bilder aus der Messung zugaenglichen Daten berechnet werden sollen.

kontinuierlichen Spektrum, das ebenfalls eine Teilmenge von FORMULA ist.

lll1&\alpha 0&1

muessen nichtlineare Effekte beruecksichtigt werden.

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s Als weitere Anwendung des Majorantenkriteriums beweisen wir:

s In diesem Kapitel lernen wir praktisch mit Matrizen rechnen, und schauen uns einige spezielle Klassen von Matrizen und ihre Wirkung an.

s Um zu sehen, unter welchen Voraussetzungen Zwangsbedingungen PREFIX Flaechen definieren, brauchen wir

siehe etwa Barner-Flohr, Analysis II, \S REF.

sind definiert durch DISPLAY usw.

singulaeren Spektrum.) Die streng mathematische Behandlung der Quantenphysik erfordert eine Theorie der Eigenwerte von linearen Operatoren in Funktionenraeumen, was in Vorlesungen ueber Funktionalanalysis oder Banachalgebren abgehandelt wird.

stereographische Projektion, indem man auf die Zahlengerade einen Einheitskreis mit dem Suedpol bei Null legt und die Gerade dann vom Nordpol aus auf den Kreis projiziert.

und die erste der beiden Beziehungen verifiziert die oben gemachte algebraische Aussage.

ungerade!)

von Satz REF: ITEM Da FORMULA Gebiet ist, enthaelt FORMULA eine Kugel FORMULA.

wird nicht gegeben; s. z.B. Forster II,\S 1.

{FORMULA z\in\Cz FORMULA z=a+ib FORMULA a, b\in\Rz FORMULA \fctRe z FORMULA \fctIm z FORMULA z FORMULA z \in \Cz FORMULA z \ne \overlinez.

{\rm Als Anwendung beweisen wir den \define{Satz ueber die Aequivalenz der Normen}; auch dieser gilt nur fuer endlich-dimensionale Raeume.}

{r|r@r|r} \hline FORMULA & FORMULA & FORMULA & FORMULA \hline REF & REF & REF & REF REF & REF & REF & REF REF & REF & REF & REF REF & REF & REF & REF REF & REF & REF & REF REF & REF & REF & REF \hline

|c|c|c| \hline FORMULA & FORMULA & FORMULA \hline 0 & FORMULA & FORMULA 1 & FORMULA & FORMULA 2 & FORMULA & FORMULA 3 & FORMULA &0 \hline