Interpreting informal mathematical language

by Arnold Neumaier

October 31, 2009


Most people think that mathematical language is very precise. Indeed, we usually understand each other easily when talking about familiar mathematics, and can easily recognize and resolve misunderstandings.

Within our project FMathL -- Formal Mathematical Language, we are trying to teach the computer abstract mathematics written in the usual informal language (such as in a Latex document). This requires to become very conscious of the precise meaning of mathematical statements, since they must bee unambiguously communicated to the computer.

It turns out that the interpretation of an informal text depends very much on which formalization of the informal mathematical language one has in mind when thinking about a mathematical subject -- even about very elementary things such as the natural numbers.

Therefore it is important to find out what is the dominant interpretation mode among the many possibilities.

I had naively supposed that my mode were the dominant mode, since I had seen lots of different kinds of mathematics during my life and never had any problems understanding other mathematicians, once the terminology was introduced.

However, recently I came across some category theorists who have a completely different interpretation framework. (See the links in my essay on Foundations of Mathematics.)

Therefore, on October 5, 2009, I posed to our faculty and to all research assistants of our mathematics department the following questionnaire.


A questionnaire


Eine Frage zur mathematischen Vorstellung
A question on mathematical intuition


Liebe Kolleginnen und Kollegen,
Dear collegues,

bitte nehmen Sie sich eine Minute Zeit, um die folgenden beiden Fragen (ohne grosses Nachdenken) zu beantworten:
please take a minute of your time to answer (from the top of your head) the following two questions:

1. Sind Primzahlen Bestandteil der mathematischen Struktur der natürlichen Zahlen?
(Ja/Nein)
Are prime numbers part of the mathematical structure of natural numbers?
(Yes/No)

2. Bilden die natürlichen Zahlen eine additive Halbgruppe?
(Ja/Nein).
Do the natural numbers form an additive semigroup?
(Yes/No)

Falls Ihre Zeit knapp ist, können Sie hier zu lesen aufhören und direkt antworten.
If you are short of time, you may stop reading here and reply directly.

Vielen Dank!
Thanks a lot!


Arnold Neumaier

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Für die Neugierigen:
For the curious:

Die Fragen zielen darauf ab, ob unsere Intuition der informellen Praxis oder der rigoros formalisierten Präzision folgt.
The questions aim at whether our intuition follows more cloesly informal practice or strictly formalized precision.

Bis heute hatte ich nämlich gedacht, dass beide Antworten intuitiv selbstverständlich Ja seien.
For until today, I had thought that both answers are trivially yes.

Heute stellte sich heraus, dass es Mathematiker gibt, deren Intuition hier meiner genau engegengesetzt ist.
Today it turned out that there are mathematicians whose intuition is here exactly opposite to mine.

Ich möchte mir daher ein statistisches Meinungsbild über die intuitiven Vorstellungsinhalte machen, die Mathematiker(innnen) zur Beziehung zwischen diesen Begriffen formen.
Therefore I want to form a statistical spectrum of opinion about the intuitive contents of the imagination that mathematicians form about the relation between these concepts.

Antworten mit einem Informationsgehalt von mehr als zwei Bits sind natürlich auch willkommen.
Replies with an information content of more than two bits are of course welcome, too.


Results

I got 34 answers within 10 days (from an estimated number of 170 mathematicians asked), and no further answers later. The tally came out to be

  • 1 yes, 2 yes: 30 (> 88 percent)
  • 1 yes, 2 ? : 1
  • 1 ? , 2 yes: 1
  • 1 no, 2 yes: 2


    Discussion

    My comments:

    To define prime numbers, one needs the multiplication. Thus the first question can be answered with yes only if multiplication (and further definitions based on it) is considered to be part of the ``mathematical structure of natural numbers''.

    Some people also think that a set N on which operations other than + are defined, is, strictly speaking, not a semigroup, though the pair (N,+) is one. These would have to answer no to the second question if they answer yes to the first -- unless they automatically strip N from its multiplicative structure and translate the second question to formally mean ``Is (N,+) a semigroup?''

    Some people think of the natural numbers as being defined by the Peano axioms only. Then there is only a distinguished zero and a successor function, not enough structure to have either primes or a semigroup. (This would require what is commonly called a conservative extension of a Peano system.) Then both questions are answered with no.

    Thus the answer depends very much on which formalization of the informal mathematical language one has in mind when thinking about natural numbers.

    The overwhelming majority seems to think like me that the natural numbers have all the structure one usually learns about it, and that saying that an object is an additive semigroup is the same as saying that one has an associative addition (no matter what other structure is present).


    Comments received from others:

  • 1: Wenn man aber die natürlichen Zahlen nur durch die Nachfolgefunktion definiert, ist es ein weiter Weg die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen und damit auch Primzahlen "anzuerkennen"
  • 1: weil ohne Aussenbezug innerhalb der natuerlichen Zahlen erklaerbar
  • 1: Bestandteil in einem weitern Sinn ja, aber Element nicht.
  • 1: "nein" für die Struktur (N,+), "ja" für (N,.) oder (N,+,.) --- Was ist "Struktur"?
  • 1: Nach genauerer Überlegung würde ich vielleicht eine kleine Einschränkung machen. Es geht um die natürlichen Zahlen, so wie sie in unserem Kulturkreis existieren. Nun gibt es andere Kulturen, die zu einem etwas anderen Zahlbegriff gekommen sind. Die Aborigines in Australien können nur bis 5 oder 6 zählen. Für diese Zahlen sind die Fragen sinnlos. Ob es auch Kulturen gibt, welche natürliche Zahlen haben, aber nicht damit rechnen können oder den Begriff der Primzahlen nicht entwickelt haben, weiß ich nicht. Die Antwort Ja wird auch von Berichten über ``idiots savants'' nahegelegt, die oft Primzahlen ``erkennen'', ohne sagen zu können, was Primzahlen sind, so wie das z.B. Oliver Sacks im Buch ``Der Mann, der seine Frau mit einem Hut verwechselte'' im Kapitel 23 ``Die Zwillinge'' beschrieben hat. Ich weiß nicht, ob es dafür plausible Erklärungen gibt.
  • 1: ich sehe, daß 'die mathematische Struktur der natürlichen Zahlen' nicht sehr wohldefiniert ist. Wenn diese Struktur heißen soll, die Arithmetik der natürlichen Zahlen, und so habe ich es interpretiert, dann ist die Antwort mit ja zu beantworten glaube ich.
  • 1: Intuitiv scheint mir, dass Frage eins nicht wohldefiniert ist: Was heisst "Bestandteil der mathematischen Struktur"? Dass es unter den nat.Zahlen Primzahlen gibt? Klar. Dass sie in der Definition vorkommen? Welche Definition - mengentheoretisch?
  • 1: Mit grossem Nachdenken kann man sich fragen, was es bedeutet, ob die Primzahlen Bestandteil der math. Struktur der nat"url. Zahlen sind, d.h. dass es sich bei den nat"url. Zahlen nicht nur um eine Menge handelt, sondern um eine Menge mit einer Nachfolgeroperation, und die gibt es ja bei den Primzahlen nicht (d.h. man kann nat"urlich eine definieren, aber sie ist nicht durch Addieren von 1 gegeben).

  • 2: Die natürlichen Zahlen als Menge: nein. Den natürlichen Zahlen mit Null kann man aber auf sehr natürliche Weise eine Halbgruppenstruktur geben.
  • 2: Bei der zweiten Frage scheint dies jenseits aller Intuition einfach eine Folge der Definitionen zu sein.
  • 2: Hier habe ich auch gleich "ja" geantwortet, dann habe ich kurz (5 Sekunden oder so) nachgedacht, ob da irgendein "Trick" dahintersteckt, aber keinen gesehen (also immer noch "ja").
  • 2: ja, und zwar das Urbeispiel einer additiven Halbgruppe.
  • 2: (N,+) ist definitiv eine Halbgruppe, warum sollte das nicht so sein?
  • 2: Die Frage "additive Halbgruppe" ist ziemlich klar, aber zur Vorsicht habe ich doch noch einmal im Internet die Definition einer Halbgruppe nachgelesen, ob ich etwas "ubersehen habe, und meine Antwort ist "Ja" geblieben. Gibt es wirklich Mathematiker, die diese Frage mit "Nein" beantworten??? Und warum?


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