--------------------------- Ein Theoretische-Physik-FAQ --------------------------- http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physik-faq.txt Dies ist eine Erg"anzung zum englischsprachigen ''theoretical physics FAQ'' auf http://wwwi.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html und enth"alt Antworten zu einigen Fragen der theoretischen Physik, die ich meinen Beitr"agen zur unmoderierten Newsgruppe de.sci.physik entnommen und editiert habe. Es betrifft Themen, die bisher nicht im (empfehlenswerten, viel umfangreicheren) ''theoretical physics FAQ'' enthalten sind, weil ich die Fragen original auf Deutsch beantwortet habe und nicht die Zeit zur "Ubersetzung fand. Das FAQ w"achst mit der Zeit. Die erste Version mit 10 Beitr"agen zu allgemeinen Themen und 17 Beitr"agen zur Thermischen Interpretation stammte vom 01.03.2005; die Version vom 13.03.2006 enth"ielt 27 Beitr"age zu allgemeinen Themen und 35 Beitr"age zur Thermischen Interpretation (urspr"unglicher Name: Konsistent-Experimente-Interpretation); die Version vom 01.10.2007 enth"ielt 40 Beitr"age zu allgemeinen Themen und 37 Beitr"age zur Thermischen Interpretation; seither hinzugekommene Beitr"age sind mit einem * im Inhaltsverzeichnis markiert. Korrekturen bzw. Verbesserungsvorschl"age bitte an mich pers"onlich schicken (Arnold.Neumaier@univie.ac.at), Fragen oder Diskussion bitte in der Newsgruppe de.sci.physik stellen! Viel Spass und Einsicht beim Lesen! Arnold Neumaier Universit"at Wien http://www.mat.univie.ac.at/~neum/ Pr"uft alles, und das Gute behaltet. (Paulus, 1. Thess. 5:21) Angaben wie quant-ph/0303047 verweisen auf Artikel im arxiv, die z.B. von http://xxx.uni-augsburg.de/form aus heruntergeladen werden k"onnen. ------------------ Inhaltsverzeichnis ------------------ (Um ein spezielles Thema zu lesen, suche man nach dem n"achsten Auftreten der Kennzeichnungsnummer, z.B. S2l. Die Nummern k"onnen sich "andern, wenn neue Antworten hinzukommen. Daher bitte FAQ-Beitr"age mit ihren "Uberschriften zitieren!) S1a. Was ist ein Feld? S1b. Tensoren oder Matrizen? S1c. Wie ist die Spur definiert? S1d. Quantenmessungen S1e. GNS-Konstruktion und Quantenmechanik S1f. Welche Mathematik braucht man f"ur die Physik? S1g. Ist ein Elektron punktf"ormig? S1h. Thermodynamik und Gleichgewicht S1i. Photonen als elektromagnetische Austauschteilchen S1k. Quantentomographie *S1l. Quantenspr"unge *S1m. Klassische statistische Mechanik S2a. Physik und Informationstheorie S2b. Quantensysteme sind praktisch immer verschr"ankt! S2c. Nichtlokalit"at und Kausalit"at S2d. Ununterscheidbarkeit S2e. Was f"ur Beobachtungen erkl"art die Quantenmechanik? S2f. Teilchenspuren und Quantenmechanik S2g. Quantensysteme sind praktisch immer gemischt! *S2h. Zeit in der Quantentheorie *S2i. Kopenhagen und Ensemble-Interpretation *S2j. Zweierlei Naturgesetze in der Kopenhagen-Interpretation *S2k. Kollaps und offene Quantensysteme *S2l. Quantenmechanik von Einzelsystemen *S2m. Der HERA Speicherring bei DESY als Quantensystem *S2n. Kollaps und Relativit"atstheorie *S2o. Effektive quantenmechanische Modelle *S2p. Quantenmechanik von Molek"ulen *S2q. Der Hilbertraum des Wasserstoffgases *S2r. Genauigkeit der QED S3a. Beobachter, Raum und Zeit S3b. Was heisst 'homogen' und 'isotrop'? S3c. Wie homogen und isotrop ist das Weltall? S3d. Wie soll man sich den gekr"ummten Raum vorstellen? S3e. Universum ohne Urknall? S3f. Das Alter des Universums S3g. Woraus besteht das Universum? S3h. Ist die Welt determiniert? *S3i. Diffeomorphismeninvariante klassische Mechanik S4a. Sind alle dynamischen Systeme linear? S5a. Was sind Anomalien? S6a. Gibt es Kugelblitze? S7a. Erkl"art die Wissenschaft die Welt? S7b. Das Uhrmacheruniversum S7c. Gott und Physik *S7d. Warum kann die Welt mathematisch beschrieben werden? S8a. Andere Physik FAQs S9a. Dank Die Antworten zu obigen Fragen beziehen sich nur auf die Erl"auterung traditioneller Aspekte der theoretischen Physik. Sie sind v"ollig unabh"angig von der Diskussion in den nun folgenden Abschnitten "uber verschiedene Aspekte meiner neuen und daher sicher kontroversen Thermischen Interpretation, mit der ich das Messproblem und den Zufall in der Quantenmechanik erkl"are. Die Anf"ange meiner Thermischen Interpretation werden in der (in diesem FAQ immer mit [EECQ] zitierten) Arbeit A. Neumaier, Ensembles and experiments in classical and quantum physics, Int. J. Mod. Phys. B 17 (2003), 2937-2980. quant-ph/0303047 http://www.mat.univie.ac.at/~neum/papers/physpapers.html#ensembles http://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/ensembles.pdf mit allen formalen Details beschrieben. Vieles Weitere (insbesondere die Herleitung der Bornschen Regel) ist aber noch unver"offentlicht und wird in diesem FAQ erstmals wenigstens qualitativ beschrieben. Siehe dazu auch A. Neumaier, Optical models for quantum mechanics, Slides of a lecture given on February 16, 2010 at the Institute for Theoretical Physics, University of Giessen, http://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/optslides.pdf und Kapitel 7 meines Online-Buchs Arnold Neumaier and Dennis Westra, Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras, 2008. (arXiv:0810.1019) S10. Die Thermische Interpretation S11. Wie liest man [EECQ] am besten? S12. Kernaussagen der Thermischen Interpretation S13. Motivation f"ur die Thermische Interpretation S14. Die einzigen Observablen der Physik sind Erwartungswerte S15. Zwei Arten von Erwartungswerten S16. Thermische und Kopenhagen-Interpretation S17. Warum ist niemand vor mir darauf gekommen? S20. Der Messprozess im Quantenuniversum S21. Das Quantenuniversum als formales Modell S22. Ein Modelluniversum S23. Physikalische Systeme und ihre Messung S24. Vorhersage im Stern-Gerlach Experiment S25. Was passiert einzelnen Photonen am Doppelspalt? S26. Der Quantenradierer in der Thermischen Interpretation S27. Muss man den ganzen Zustand des Universums kennen? S28. Kann man den Zustand des Universums falsifizieren? S30. Wie erkl"art sich der Zufall? S31. Ist der quantenmechanische Zufall objektiv? S32. Wie fasst man Wahrscheinlichkeitsverteilungen? S33. Was wird aus dem Superpositionsprinzip? S34. Spinmessung formal betrachtet S35. Was ist an Wigner's Analyse idealisiert? S36. Kollaps als bedingte Wahrscheinlichkeit? S40. Was sind die Beables der Interpretation? S41. Was ist ein Erwartungswert? S42. Was ist eine Pr"aparation? S43. Was ist eine mikroskopische Messung? S44. Aber man kann doch einzelne Photonen messen? S45. Was ist denn eigentlich ein Photon? S46. Gibt es Probleme mit Lokalit"at und Bells Ungleichungen? S47. Wie vertragen sich denn objektive Messwerte und Unitarit"at? S48. Wie verborgen sind die 'verborgenen Variablen'? S50. Wof"ur steht das Fragezeichen auf S.30 von [EECQ]? S51. Warum verlangt man (S1) auf S.30 von [EECQ]? ---------------------- S1a. Was ist ein Feld? ---------------------- Ein Feld ist einfach eine Gr"osse, die vom Ort abh"angt. Ein Br"otchen in meiner Hand hat eine inhomogene Massenverteilung und kann daher durch ein skalares Massenfeld rho(x) beschrieben werden. Dass das Br"otchen durch Kr"afte zusammengehalten wird, ist auch klar; sonst w"urde es ja bei Ber"uhrung zu Staub zerfallen. Diese Kr"afte sind ortsver"anderlich und gerichtet, bilden also ein Vektorfeld F(x). Alle Felder, die die Physik betrachtet, kommen auf "ahnliche Weise zustande. Dass ein paar davon unsichtbar sind (Gravitationsfeld, elektromagnetisches Feld), ist kein echtes Problem: Schall (ein Druckfeld) oder Rosenduft (ein chemisches Feld) sehen wir ja auch nicht, sondern erleben sie nur durch ihre materiellen Auswirkungen. Ein Feld ist die mathematische Beschreibung der Tatsache, dass dort, wo das Feld ist (genauer: von Null verschieden ist), Kr"afte auf ein daf"ur empf"angliches Objekt wirken. Dass letzteres etwa beim Magnetismus der Fall ist, leuchtet sofort ein, wenn man einen Magneten hat und ein Eisenobjekt in die N"ahe bringt. Damit kann man die Kr"afte auch ausmessen und so das zugeh"orige Feld kennenlernen. Erzeugt werden diese Kr"afte (also das Feld) von gewissen Objekten, die man in diesem Fall Magneten nennt. Ob man sich nun denkt, ''der Magnet wirkt auf die Ferne auf das Eisen'', oder ''der Magnet erzeugt in seiner Umgebung ein Feld, das auf das Eisen wirkt'', sind zwei unterschiedliche Ansichten desselben Prozesses, und mit obiger Definition des Feldes experimentell nicht unterscheidbar. Die letztere hat den Vorteil, dass sich die physikalischen Gesetzm"assigkeiten lokal formulieren lassen, und hat sich deshalb als die 'fundamentalere' durchgesetzt - also aus rein pragmatischen Gr"unden. Das 'ist' das Wesen des Felds - mehr gibt es dazu nicht zu sagen, ohne ins Metaphysische zu geraten. Und mehr braucht man auch nicht zu wissen, um damit arbeiten zu k"onnen. Mit dieser Beschreibung hat man also ein vollst"andiges Verst"andnis der qualitativen Aspekte. Wenn man allerdings kompliziertere Vorhersagen machen will, braucht man etwas mehr Wissen und Verst"andnis; das liefern dann die Maxwell-Gleichungen... F"ur das Gravitationsfeld und jedes andere Feld gilt entsprechendes. Allgemein gilt: Ein Vektorfeld ist genau dort, wo Kr"afte wirken, wenn bestimme Objekte dort anwesend sind. F"ur Skalarfelder gilt dasselbe mit der Modifikation, dass die Kr"afte vom zugeh"origen Gradientenfeld bestimmt werden, dass also nur _Unterschiede_ im Feld Kr"afte bewirken. Z.B. das Temperaturfeld: Temperaturunterschiede bringen die Molek"ule in eine kollektiv organisierte Bewegung, sofern sie sich bewegen k"onnen; sonst bewirken sie Stress im Material... Beides sind Zeichen f"ur vorhandene Kr"afte. ---------------------------- S1b. Tensoren oder Matrizen? ---------------------------- Hier ist eine mathematisch rigorose Version der Tensorrechnung, in der Tensoren zweiter Stufe auf nat"urliche Weise mit Matrizen identifiziert werden k"onnen. T^q = Tensorprodukt von q R"aumen T; insbesondere ist T0 die Algebra S der Skalarfelder und T1=T. T_p^q = Raum aller linearen Abbildungen von T^q nach T^p; Elemente sind (p,q)-Tensoren mit p oberen und q unteren Indices. T_0^q = T^q T_p0 =: T_p = (T^p)^* ist der sogenannte Dualraum von T^q; insbesondere ist T_1 = T^* der Dualraum von T; seine Elemente sind die Linearformen = Kovektoren. Die "Aquivalenz mit der traditionellen Definition von Tensoren als multilinearen Abbildungen von T_q tensor T^p --> S ergibt sich daraus, dass zu jedem A in T_p^q kanonisch ein B: T_q tensor T^p --> S mit B(s,t) = t(As) f"ur s in T^q, t in T_p zugeordnet werden kann, und umgekehrt. Da das Bild As von s unter A in T^p liegt, ist t(As) wohldefiniert und ein Skalar. Wenn eine Basis und eine Metrik auf T gegeben ist, ist auch eine Kobasis (auf T^*) gegeben, und man kann Koordinatenschreibweise verwenden. Dann schreiben Physiker - Elemente von T als Vektoren = Spaltenvektoren mit einem oberen Index - Elemente von T^* als Linearformen = Kovektoren = Zeilenvektoren mit einem unteren Index - Elemente von T^q als Multivektoren mit q oberen Indices, - Elemente von T_p als Multikovektoren mit p unteren Indices, - Elemente von T_p^q als gemischte Multi/ko/vektoren mit p unteren und q oberen Indices. Insbesondere ist (0,0)-Tensor = Skalar (1,0)-Tensor = Vektor (Vektor in T=T1) = Spaltenvektor (0,1)-Tensor = Kovektor (Vektor im Dualraum T^*=T_1) = Zeilenvektor (1,1)-Tensor = Matrix (lineare Abbildung von T nach T) Die Spalten der Matrix A_i^k sind dann Spaltenvektoren = Vektoren, und die Zeilen sind Zeilenvektoren = Kovektoren, und die ganze Indiziererei ist konsistent. (Man kann dasselbe Spiel auch treiben, indem man in allen Aussagen systematisch Zeilen und Spalten vertauscht. Das entspricht dann der Version, wie Matrizen und Vektoren etwa in misner/Thorne/Wheeler benutzt werden.) Kontraktionen gem"ass der Einsteinschen Summenkonvention beziehen sich immer auf Summen "uber Paare gleich bezeichneter Indices, und zwar immer genau einer unten und genau einer oben. Die Mathematiker schreiben in der linearen Algebra (wo keine Tensoren h"oherer Ordnung als 2 verwendet werden) aber alle Indices unten (egal ob Zeilenvektor, Spaltenvektor oder Matrix), geben alle Summen explizit an, verwenden explizite Buchstaben nur f"ur Spaltenvektoren und Matrizen, und schreiben bei fester Basis alle Zeilenvektoren mit Transposition (x^T ist der Zeilenvektor mit denselben Komponenten wie der Spaltenvektor x). Das hat viele Vorteile und erlaubt insbesondere eine indexfreie Notation, die besonders bei l"angeren Rechnungen den "Uberblich deutlich vereinfacht: Phys. Notation: s = x^k y_k x Vektor, y Kovektor Math. Notation: s = sum_k x_k y_k oder einfach s=x^Ty. Phys. Notation: y_i = A_i^k x_k x,y Vektoren, A Matrix Math. Notation: y_i = sum_k A_ik x_k oder einfach y=Ax. Phys. Notation: y_i = A_i^j B_j^k x_k x,y Vektoren, A,B Matrizen Math. Notation: y_i = sum_jk A_ij B_jk x_k oder einfach y=ABx. Phys. Notation: y_i = A_i^j B_j^k C_k^l D_l^m x_k x,y Vektoren, A,B,C,D Matrizen Math. Notation: y_i = sum_jklm A_ij B_jk C_kl D_lm x_k oder einfach y=ABCDx. Bei Tensoren h"oherer Ordnung gehen die Vorteile der Math. Notation wieder verloren. In der Riemannschen Geometrie ist eine Metrik g, ausgezeichnet, Phys. Notation: symmetrischer (0,2)-Tensor g_jk, g_jk=g_kj, g(x,y)=x^j g_jk y^k, Math. Notation: symmetrische Matrix g = g^T, g(x,y)=x^Tgy = sum_jk x^j g_jk y^k, Eine metrik ist stets als nichtausgeartet vorausgesetzt; d.h., g ist als matrix regul"ar, und hat daher eine Inverse g^{-1}. Die zu g geh"orige inverse Matrix bestimmt einen (2,0)-Tensor mit Komponenten g^jk = (g^{-1})_jk: Phys. Notation: g^jk Math. Notation: g^{-1} Mit ihrer Hilfe kann man (kontravariante) Vektoren und (kovariante) Kovektoren ineinander abbilden: Phys. Notation: x_k = x^j g_jk, x^j = g^jk x_k Math. Notation: braucht zwei verschiedene Buchstaben, da die beiden Vektoren numerisch unterschiedliche Komponenten haben. Bezeichnet x den (Spalten)Vektor und y^T den zugeh"origen (Zeilen)Kovektor, so ist y = gx, x = g^{-1}y. Analog geht man bei mehreren Indizes vor. Das Hochziehen nur eines Indexes in g ergibt die Einheitsmatrix: g^j_k = g_j^k = delta_jk (Kroneckersymbol) denn es ist g^j_k = g^jl g_lk (Hochziehen des ersten Index) = (g^{-1})_jl g-lk = (g^{-1}g)_jk (Summationskonvention und Produkt-Definition) = (1)_jk (Definition der Inversen) = delta_jk (Definition des Kroneckersymbol) -------------------------------- S1c. Wie ist die Spur definiert? -------------------------------- Wenn der Zustandsraum des gesamten Universums endlich w"are und N levels h"atte, w"aren S(x) und rho(t) beides N x N -Matrizen, und die Spur S(x,t) := trace rho(t) S(x) w"are die Summe der Diagonalelemente des Matrizenprodukts. Da aber schon ein einziges Teilchen ein kontinuierliches Spektrum hat, erst recht also das ganze Universum, ist N unendlich gross und man braucht Hilbertr"aume, um das Ganze zu beschreiben. In jedem Hilbertraum gibt es eine Klasse von Operatoren A, f"ur die die Spur trace A definiert ist (sogen. Spurklasseoperatoren). Aber ich will hier nicht die Hilbertraumtheorie erl"autern; daf"ur gibt es viele Lehrb"ucher. Ich empfehle, mal in ein Buch "uber statistische Mechanik hineinzuschauen und dort die Anfangsseiten des Quantenteils zu studieren. --------------------- S1d. Quantenmessungen --------------------- Eine Messung is eine Multiplikation des Zustands mit einem Operator P_s mit Wahrscheinlichkeit p_s=|P_s\psi|^2, und anschliessender Reskalierung psi' = P_s psi/sqrt(p_s). Dabei sind die P_s durch die experimentelle Anordnung bestimmte Operatoren mit sum_s P_s^*P_s = 1. Dies garantiert dass sum_s p_s = 1. (F"ur Messungen mit nichtdiskreten Messwerten muss man die Wahrscheinlichkeiten durch Wahrscheinlichkeitsdichten und die Summen durch Integrale ersetzen.) Mehrere Messungen entsprechen dem Produkt solcher Einzelmessungen. Warten von Zeit t bis Zeit t' ohne Messung entspricht der Multiplikation mit dem unit"aren P = exp (i(t-t')H) mit Wahrscheinlichkeit 1. Eine idealisierte von-Neumann-Messung entspricht dem Fall, dass P ein orthogonaler Projektor ist. Nachzulesen (in mehr oder weniger "ahnlicher Form) in jedem guten Buch "uber reale Messprozesse, z.B. V.B. Braginsky and F.Ya. Khalili, Quantum measurement, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1992 ----------------------------------------- S1e. GNS-Konstruktion und Quantenmechanik ----------------------------------------- Mathematische Physiker betrachten Quantenmechanik oft nicht im traditionellen Hilbertraumgewand, sondern etwas allgemeiner als Darstellungstheorie von C^*-Algebren. Die sogenannte GNS-Konstruktion bildet die Br"ucke zwischen der Betrachtungsweise der traditionellen theoretischen Physik und der der mathematischen Physik. Man braucht sie, um einander zu verstehen. Allein schon deshalb ist sie auch physikalisch relevant. Aber nicht _nur_ deshalb... Eine C^*-Algebra ist im Wesentlichen eine Menge E von Objekten, mit denen man wier mit komplexen Matrizen rechnen darf. Ein Zustand ist eine lineare Abbildung w:E-->C mit den Eigenschaften w(1) = 1, w(A^*A) >= 0 fuer alle a aus A. Der Zustand heisst rein (oder extrem), fall er sich nicht als echte konvexe Kombination anderer Zust"ande schreiben l"asst. In der C^*-Algebra E der nxn-Matrizen hat jeder reine Zustand die Form w(A)= psi^* A psi / psi^*psi mit psi ungleich 0. Insbesondere ist die durch w(A):=A_11 definierte Abbildung ein reiner Zustand. In der traditionellen Dirac-Schreibweise ist es der durch |1> repr"asentierte Zustand. Das weiss die C^*-Algebra aber nicht, da sie keinen Hilbertraum kennt. Wir definieren nun auf E das Skalarprodukt := w(A^*B). Leider ist immer dann =0, wenn die erste Spalte von A verschwindet. Da in einem Hilbertraum nur die Null die Norm Null haben soll, muss man alle A identifizieren, die sich in der ersten Spalte nicht voneinander unterscheiden. Mathematisch gesprochen gibt das denn Faktorraum. Intuitiv gesprochen ignoriert man einfach alle Spalten ausser der ersten. Die Objekte im Faktorraum sind also im Wesentlichen die Spaltenvektoren psi, und sie werden durch eine beliebige Matrix A mit der ersten Spalte psi repr"asentiert. Man sieht leicht, dass das Skalarprodukt nicht vom Repr"asentanten abh"angt und gerade das traditionelle Skalarprodukt und damit den Hilbertraum rekonstruiert. Die GNS-Konstruktion sagt nun einfach, dass dies nicht Zufall ist, sondern immer so sein muss, gleich welcher Zustand und welcher Hilbertraum. Die C^*-Algebra E der traditionellen Betrachtungsweise in einem festen Hilbertraum ist einfach die Algebra der beschr"ankten Operatoren (also nicht aller traditionellen Observablen); und daraus bekommt man den Hilbertraum per GNS zur"uck. Unbeschr"ankte Operatoren sind einfach Limiten von Elementen der C^*-Algebra. Sie sind also immer noch vorhanden, nur nicht mehr als prim"are Objekte. Zum Beispiel liegen die unit"aren Matrizen U(t), die die Zeitentwicklung beschreiben, in E, der Hamilton-Operator H := lim_[t to 0} (U(t)-1)/it aber nicht. S"amtliche Observablen entstehen auf diese Weise als infinitesimale Erzeugende von unit"aren Einparametergruppen in E. In der N-Teilchenmechanik bekommt man so auch nichts Neues, sondern genau das Alte in abstrakterem Gewand. Die Hamiltonsche Dynamik erscheint im neuen Gewand einfach als eine 1-Parameterschar von inneren Automorphismen der C^*-Algebra. Aber in der nichtrelativistischen Feldtheorie - und dazu geh"ort die gesamte statistische Mechanik im thermodynamischen Limes mit dazu! - bekommt man etwas flexibleres. Denn dann sind die kanonischen Kommutatorrelationen nicht mehr eindeutig repr"asentierbar, sondern haben nicht"aquivalente Darstellungen. Und die Dynamik spielt sich _nicht_ mehr in einem einzigen Hilbertraum ab, was sich darin "aussert, dass die Zeitentwicklung statt durch innere Automorphismen A(t) = U(t)A(0)U(t)^* jetzt durch "aussere Automorphismen gegeben sind, die die Darstellungen vermischen. In der statistischen Mechanik spiegelt sich das in der Schwierigkeit, den thermodynamischen Limes zu vollziehen. Man umgeht dort gew"ohnlich die Probleme, indem man sich zuerst auf endliches Volumen beschr"ankt, damit man weiter in _einem_ Hilbertraum arbeiten kann. Das gilt schon im Nichtrelativistischen (wo man das meiste versteht) und wird im Relativistischen soweit versch"arft, dass man bisher den relativistischen Fall nur in Dimensionen 2 und 3 versteht. Die ungel"osten Probleme liegen genau hier - der thermodynamische Limes mutiert zum Infrarotproblem der QFT, das f"ur die starke Wechselwirkung (Confinement) nicht einmal auf dem nichtrigorosen Niveau der theoretischen Physik verstanden wird. --------------------------------------------------- S1f. Welche Mathematik braucht man f"ur die Physik? --------------------------------------------------- Ich w"urde empfehlen, sich am Bronstein (Taschenbuch der Mathematik) zu orientieren - der enth"alt alles, was man an Grundlagen wirklich braucht, auf knappem Raum zusammen. D.h. gerade soviel Funktionalanalysis, Funktionentheorie oder Masstheorie wie unbedingt n"otig ist. (Die Vorlesungen dazu machen es nat"urtlich viel gr"undlicher und mit mehr Stoff, was f"ur die einen interessant und f"ur die anderen Ballast ist.) Damit kann man sich dann leicht in Originalliteratur oder weiterf"uhrende B"ucher einarbeiten, wenn es n"otig ist. "Ubung im Stoff des Bronstein muss man sich nat"urlich anderweitig besorgen, da es kein Lehrbuch ist. Insbesonder lernt man Numerik (und das zugeh"orige Programmieren) nur durch Tun! F"ur echte Grundlagenforschung in der theoretischen Physik (d.h., wenn man wirklich die anstehenden Probleme l"osen will) kann man aber nicht genug Bereiche der Mathematik verstehen! Jedenfalls ein St"uck weit. Vor allem die konzeptuelle Basis ist wichtig, und dass man die Haupts"atze und Hauptbegriffe wirklich in ihrer Bedeutung erfasst hat. Denn man weiss nicht, was die L"osung bringen wird. Die traditionelle mathematische Schmalspurausbildung der Physiker jedenfalls nicht, sonst w"aren diese Probleme schon gel"ost! Ein paar grundlegende offene Fragen sind in den Abschnitten S14a. Theoretical challenges close to experimental data S9b. Is QED consistent? S10c. Difficulties in quantizing gravity aus meinem theoretical physics FAQ auf http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physics-faq.txt angesprochen (leider auf Englisch). Was ''verstehen'' und ''Bedeutung erfassen'' genau besagt, ist schwer in ein paar Worten zu erl"autern. Man braucht nicht alle Beweise verstanden zu haben, um ein Verst"andnis der Begriffe zu haben. Aber man sollte genug durchgearbeitet zu haben, um ein zweites Buch "uber dasselbe Thema diagonal lesen zu k"onnen, und daraus schon soviel Information zu gewinnen, dass man beurteilen kann, ob und ggf. was daraus noch wichtig zu lesen w"are. Man muss genug gesehen haben, um zu wissen, wie die Begriffe verwendet werden, welche dauernd vorkommen (und deshalb genau verstanden werden wollen) und welche peripher sind (nur sporadisch und an unbedeutender Stelle vorkommend) und daher nicht so wichtig. Man muss wissen, wie die Begriffe auf ausserhalb der Disziplin liegende Sachverhalte angewandt werden. (Z.B. in der Differentialgeometrie: Was bedeuten alle Begriffe, wenn man die Mannigfaltigkeit auf die Vollkugel und die Kugeloberfl"ache spezialisiert?) Man muss sich soviel eingearbeitet haben, dass man selbst ein Gef"uhl daf"ur hat, was wichtig und unwichtig ist, also etwa _warum_ ein Satz Hauptsatz genannt wird und ein anderer nur ein Lemma. Das hat in der Regel seine inneren Gr"unde... Wenn man den Eindruck bekommt, 'jetzt passiert eigentlich nur noch dasselbe in Gr"un', weiss man, dass man das Wesentliche hat. ----------------------------------- S1g. Ist ein Elektron punktf"ormig? ----------------------------------- Genau gesagt, gibt es einzelne Elektronen gar nicht, sondern nur ein Quantenfeld vom Spin 1/2, das _alle_ (ca. 10^80?) Elektronen im Universum _gleichzeitig_ beschreibt. Der Versuch, daraus einzelne Elektronen zu identifizieren, f"uhrt ("ahnlich dem Versuch, in einem turbulenten Fl"ussigkeitsfeld einzelne Wirbel oder Wellen zu identifizieren) auf solche Paradoxien wie die Ununterscheidbarkeit der Elektronen. Ein einzelnes Elektron ist einfach ein bequemes K"urzel f"ur eine lokale Konzentration des Elektronenfelds in einem interessierenden Bereich des Raums, wenn es sich bei Ignorieren der Umgebung als 1-Elektron-Zustand des Elektronenfelds interpretieren l"asst. Die Zahl der Elektronen ist eine Kenngr"osse des _Zustands_ (d.h. der Wellenfunktion) und _nicht_ des Quantenfelds. Je gr"ober die Approximation, desto mehr Objekte erscheinen punktf"ormig. Unserer Sonne sind wir zu nah, aber alle Sterne in der Magellanschen Wolke, unsrer Nachbargalaxie, sind punktf"ormig. So "ahnlich wie wir unsere Sonne als bequemes K"urzel f"ur die gr"osste lokale Konzentration des Wasserstofffeldes in unsere N"ahe (sagen wir bis 1 Lichtjahr Abstand) ansehen k"onnen, und weitentfernte Sterne als punktf"ormige Lichtquellen, erscheint ein Elektron im gleichen Sinn punktf"ormig - der aus der QED folgende Ladungsradius eines einzelnen physikalischen Elektrons liegt weit unterhalb der Nachweisgrenze. In Wirklichkeit sind beides, Stern und Elektron, ausgedehnte Quantenobjekte, lokale Manifestationen des Zustands einiger weniger Quantenfelder, die durch das Standardmodell beschrieben sind. Eine detailliertere Diskussion des Ladungsradius findet sich im Beitrag ''Are electrons pointlike/structureless?'' meines theoretical physics FAQ auf http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physics-faq.txt ------------------------------------ S1h. Thermodynamik und Gleichgewicht ------------------------------------ Die Thermodynamik beschreibt das Verhalten makroskopischer Systeme im Gleichgewicht (statisch) und in Ver"anderung (dynamisch), obwohl in den g"angigen Darstellungen dies oft nicht klar herausgearbeitet wird. Im Gleichgewicht stehen alle Zustandsgr"ossen in festen Beziehungen, die aus der Zustandsgleichung durch die traditionellen Umformungen gewonnen werden k"onnen. Im Nichtgleichgewicht gilt das nicht mehr. Denn dann braucht man zur vollst"andigen Beschreibung des Systems orts- und zeitabh"angige Felder, die die "ortliche und zeitliche Variation der thermodynamischen Gr"ossen beschreiben. Der Physiker oder Ingenieur, der (z.B.) ein Gas beobachtet, weiss, dass das Gas im Gleichgewicht ist, wenn er lange genug gewartet hat (bei konstanten Randbedingungen), und dass dann alle intensiven Variablen konstante Werte haben, und sich die extensiven daraus bis auf einen Proportionalit"atsfaktor ausrechnen lassen. Das ergibt sich aus den Formeln der statistischen Mechanik. Es ist einfach eine Folge vom Gesetz der grossen Zahlen. Von reversiblen Vorg"angen spricht man, wenn man einn System die ganze Zeit "uber als im Gleichgewicht befindlich betrachten kann. Dann gelten die Formeln der Gleichgewichtsthermodynamik, und die Energie bleibt erhalten. Die "Anderungen der Energie gen"ugen daher der traditionellen Bilanzgleichung. Von irreversiblen Vorg"angen spricht man, wenn das nicht der Fall ist, d.h., wenn mindestens eine der intensiven Gr"ossen (also etwa die Temperatur, der druck, oder das chemische Potential) ortsabh"angig sind. Insbesondere gilt das * wenn man die Randbedingungen ver"andert (z.B. Erhitzen einer kalten Fl"ussigkeit; Erh"ohen des Drucks, usw.) * wenn man zwei Gleichgewichtssysteme, die in verschiedenen Zust"anden sind, miteinander in Kontakt bringt (Wegziehen einer Schiebewand, Zugeben einer Chemikalie, usw.) * bei chemischen Reaktionen. Dann gelten die Formeln der Gleichgewichtsthermodynamik _nicht_, und die Energie bleibt _nicht_ erhalten. (Der Energieerhaltungssatz wird verletzt oder nicht, je nachdem, wie man die Bilanz aufsetzt. Es h"angt von den Randbedingungen ab, die man im Experiment aufrecht erh"alt. Die Energie des Systems, die verloren geht, findet sich nat"urlich in seiner Umgebung wieder, aber das hat man normal nie vollst"andig unter Kontrolle, daher geht f"ur die Praxis Energie verloren.) Die "Anderungen der Energie gen"ugen daher _nicht_ der traditionellen Bilanzgleichung, sondern nur einer entsprechenden Ungleichung, da Energie 'dissipiert', d.h. verloren geht - in unbeobachtbare mikroskopische Details der Molekularbewegung. Die Thermodynamik erfasst n"amlich nur das mittlere Verhalten. Diese Ungleichung ist der Inhalt des zweiten Hauptsatzes in seiner allgemeinsten Form. Je nach den zus"atzlich angenommenen Randbedingungen ergeben sich als Spezialf"alle unterschiedliche Formulierungen, mit denen der Anf"anger konfrontiert wird. Etwa: * In einem isolierten System nimmt die Entropie nie ab. * Bei fester Temperatur nimmt die freie Helmholtz-Energie nie zu. * Bei fester Temperatur und festem Druck nimmt die freie Gibbs-Energie nie zu. In diesen F"allen braucht man zur korrekten Beschreibung des Systems dynamische Kenntnisse (z.B. Navier-Stokes-Gleichungen). Die Gleichgewichtsthermodynamik kann in diesen F"allen h"ochstens den Endzustand vorhersagen - n"amlich falls das System von der Dynamik wieder in einen Gleichgewichtszustand getrieben wird, was wegen der Dissipation oft der Fall ist. Nach Wiedererreichen des Gleichgewichts (zur Zeit t2) gelten wieder die allgemeinen Zustandsgleichungen, etwa S2=S(T2,P2,mu2) f"ur die Entropie wie im Gleichgewicht am Anfang (zur Zeit t1), etwa S1=S(T1,P1,mu1). Also kann die Entropie nach wie vor aus T,P,mu ausgerechnet werden, ist also durch den Zustand vollst'andig bestimmt. Aber... Bei konstanter Temperatur (T2=T1=T) gilt f"ur eine reversible "Anderung S2=S1, also k"onnen Druck und chemisches Potential nicht beliebige Werte angenommen haben, sondern nur solche, f"ur die S2=S(T,P2,mu2)=S1 ist. In einem irreversiblen Prozess k"onnen dagegen P2 und mu2 im Prinzip alle Werte mit S2=S(T,P2,mu2)>=S1 annehmen. Die Differenz T(S2-S1) ist die irreversibel verlorengegangene Energie. Ihr Wert wird nicht durch die Gleichgewichtsthermodynamik vorhergesagt, sondern nur durch eine Theorie des Nichtgleichgewicht. Der Wert der Entropie beim Wiedererreichen des Gleichgewichts h"angt daher zwar nur (wie bei reversiblen Vorg"angen) davon ab, welche Werte die intensiven Variablen am Ende haben, aber ihr Wert ist (anders als bei reversiblen Vorg'angen) gr"osser als vorher. Ver"andert sich auch die Temperatur (und jegliche W"armeleitung ist schon Nichtgleichgewicht), so ist allerdings eine kompliziertere Bilanz n"otig (Navier-Stokes-Gleichungen, Reaktions-Diffusionsgleichungen, usw.) Das Problem ist daher unterbestimmt, wenn man nur die Ausgangsdaten und die zugef"uhrte W"arme kennt. Die zugef"uhrte W"arme entscheidet erst zusammen mit den Details der Dynamik dar"uber, welcher Zustand erreicht wurde, und daher, wie gross die Entropie ist. Um aber eine Einsch"atzung des Ergebnisses zu bekommen (z.B. f"ur eine Absch"atzung des maximalen Wirkungsgrads) tut man zun"achst so, als sei der Prozess reversibel - dann l"asst sich ein idealisiertes S2_rev ausrechnen, und betrachtet die Differenz S2_irr = S2-S2_rev, die nach dem 2. Hauptsatz stets positiv ist, als den von der idealisierten Rechnung ignorierten irreversiblen Anteil der Entropie. Das ist aber ein reiner Buchhaltungstrick, und hat nichts mit den physikalischen Vorg"angen zu tun. Dass man also sehr viel mit Gleichgewichtsthermodynamik machen kann, liegt daran, dass man nur den Anfang und das Ende vergleicht, und dann Ungleichungen bekommt, die einem das theoretisch denkbar G"unstigste (d.h. reversibel vorhergesagte) liefert. In der Praxis ist man nie so gut, hat daher einen geringerer Wirkungsgrad. Der durch Gleichgewichtsthermodynamik nicht vorhersagbare Teil ist eben der irreversible. Jede "Anderung ist in der Praxis irreversibel, also darf man da die Gleichgewichtsregeln streng genommen gar nicht mehr anwenden. Wenn man aber gen"ugend vorsichtig zu Werke geht und wegen dem verbleibenden Rest ein Auge zudr"uckt, kann man so tun, als sei man jeden Moment in einem neuen Gleichgewicht. F"ur die "Anderungen gelten im Nichtgleichgewicht also nur Ungleichungen. Je weniger Dissipation, desto eher kann man sie durch die Gleichungen approximieren, die man aus der Gleichgewichts- betrachtung bekommt. Die Idealisierung auf Null Dissipation nennt sich reversibel. In Wirklichkeit ist aber kein Vorgang exakt reversibel realisierbar. Bei einem zeitabh"angigen Vorgang besteht das Problem oft darin, vorherzusagen, wie sich p und T im Lauf der Zeit "andern. Beliebige Zustandsgr"ossen f(p,T) ergeben sich (bei konstanter Teilchenzahl) daraus dann immer eindeutig. Aber bei einem reversiblen Vorgang bleibt die dem Experiment entsprechende Erhaltungsgr"osse (je nachdem Entropie, Helmholtzenergie, Gibbsenergie) konstant, und das schr"ankt die m"oglichen Werte von T und p ein. Man kontrolliert einen der Parameter, der andere reagiert darauf. Bleibt z.B. die Helmholtzenergie A(T,V) fest, und "andert man T reversibel, so "andert sich auch V derart, dass A konstant bleibt, und p kann man nach den "ublichen Formeln aus T und V und der Formel f"ur A ausrechnen. Darin liegt die Vorhersagekraft. Bei einem irreversiblen Vorgang nimmt A ab (Energieverlust durch Dissipation), und man kann aus der "Anderung von T weder V noch p ausrechnen (sondern bekommt nur Ungleichungen daf"ur). Wenn man allerdings V misst, ist P wieder dadurch festgelegt, nach derselben Formel. Im reversiblen Fall besteht also ein Zusammenhang zwischen p und T, der durch den Anfangszustand festgelegt ist; im irreversiblen Fall aber nicht. ------------------------------------------------------ S1i. Photonen als elektromagnetische Austauschteilchen ------------------------------------------------------ Auf der formalen Ebene kann man die Quantenmechanik der elektromagnetischen Wechselwirkung beschreiben, indem man das Photon als Austauschteilchen der Wechselwirkung sieht. Wie soll man sich das vorstellen? Nicht als einen tats"achlich passierenden Ablauf, wie es http://solstice.de/grundl_d_tph/sm_ww/sm_ww_01.html zu tun versucht, sondern als Bildchen in der formalen Beschreibung der Wechselwirkung durch Feynman-Diagramme. Die Bildchen stellen keine Ereignisse dar, sondern sind eine Abk"urzung f"ur komplizierte Mehrfachintegrale, die hinzuschreiben ausser in den einfachsten F"allen zu m"uhsam w"are. Deshalb heissen die Austauschteilchen auch ''virtuell'' (d.h. fiktiv), im Unterschied zu den ''reellen'' Teilchen, die sich wirklich messen lassen. Die Physiker lieben es, ihre abstrakten Gedankeng"ange mit Vokabeln, die eine Vorstellung suggerieren, etwas konkreter aussehen zu lassen, aber allzuernst soll man diese Vorstellungen nicht nehmen. Auch die Mathematiker lieben das, weil auch ihre Theorien abstrakt sind. Aber kein Mathematiker denkt beim K"orper der reellen Zahlen, die reellen Zahlen seien ein Tier oder Geist mit einem K"orper, und den Ring der ganzen Zahlen stellen sie sich auch nicht als rund vor... ----------------------- S1k. Quantentomographie ----------------------- Zur Quantentomographie gibt es ein h"ubsches B"uchlein von Ulf Leonhardt, Measuring the Quantum State of Light, Cambridge Univ. Press 1997. Wer lieber etwas online dazu lesen will, findet einen "Uberblicksartikel in http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0302028 (was allerdings nicht so leicht geniessbar ist). Hier sind die Details f"ur den Fall eines n-Level-Quantensystems, gegen"uber obigen Referenzen soweit vereinfacht, dass es jeder Abiturient verstehen sollte (auf die Singul"are-Werte-Zerlegung, die sicher kein Schulstoff ist, kann man notfalls auch verzichten...). 1. Ich habe einen unbekannten reinen Zustand psi in C^n, der von einer station"aren Quelle produziert wird und von dem ich zeigen will, dass er verschr"ankt ist (wenn er es ist). 2. Durch geeignetes Filtern kann ich ihn in den Zustand T psi transformieren, wobei T eine beliebige lineare Transformation ist. 3. Anschliessend messe ich z.B. eine bin"are Eigenschaft, die durch einen Projektionsoperator P = P^* = P2 gegeben ist. Ich bekomme - in einem Zeitintervall, das sich durch Vergleich mit einer trivialen Messung, die die Intensit"at des Strahls bestimmt, ergibt - den Wert 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von p_T = |P T psi|^2/|T psi|^2. (Eigentlich hat man ja einen Poissonprozess mit einer entsprechenden Eintrittsrate, und es k"onnen in den Messzeitraum auch mal 2 Detektionen fallen. Das muss man nat"urlich entsprechend mitz"ahlen.) Durch gen"ugend h"aufige Wiederholung kann ich p_T beliebig genau bestimmen. 4. Nun habe ich eine Beziehung der Form |P T psi|^2 = p_T |T psi|^2 die sich als = 0 (1_T) schreiben l"asst, unter Benutzung der allgemeing"ultigen Beziehung |A*psi|^2 = . 5. Jetzt wiederhole ich dieselbe Messreihe mit einer Reihe von anderen linearen Transformationen T. Jedesmal bekomme ich eine neue Gleichung (1_T). 6. Die Operatoren 1 und B_T = T^*P T - p_T T^*T spannen bei geeigneter Wahl der T's ("Ubungsaufgabe) den n^2-dimensionalen (reellen) Vektorraum aller Hermitischen Operatoren auf. Daher kann man jeden Operator A als Linearkombination solcher Operatoren darstellen und wegen <1>=1 und (1_T) den Erwartungswert von A bestimmen. Damit hat man alles, was n"otig ist, umz.B. eine Verletzung der Bellschen Ungleichung nachzupr"ufen. Da man schon ein ganzes Quantentomogramm aufgenommen hat, bekommt man mit diesem Protokoll sogar vollst"andige Information "uber den Zustand: 7. Die Gleichungen (1_T) stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem f"ur die zehn unabh"angigen Komponenten der Dichtematrix rho = psi psi^* dar. Bei geeigneter Wahl der T's hat der L"osungsraum die Dimension 1 (z.B. mit 100% Wahrscheinlichkeit bei n^2-1 zuf"allig gew"ahlten T's) und bestimmt daher rho bis auf einen Skalierungsfaktor, der aber durch die Normierungsbedingung <1>=1 festgelegt ist. Damit habe ich die Dichtematrix rho bestimmt. War das System wirklich rein pr"apariert, so hat dieses rho notwendig den Rang 1 und damit die Form rho = psi psi^*, mit psi in Richtung einer der Spalten von rho. Damit habe ich ein vollst"andiges Messprotokoll f"ur die Bestimmung des Zustands psi. 8. Bei endlich vielen Rohmessungen gilt nat"urlich (1_T) nur approximativ; in diesem Fall misst man p_T f"ur mehr als n^2-1 verschiedene T's, bestimmt die Koeffizienten von rho als singul"are Vektoren zum kleinsten singul"aren Wert der Koeffizientenmatrix der (1_T), und psi als singul"are Vektoren zum gr"ossten singul"aren Wert von rho. Bei unabh"angigen Messfehlern erh"alt man nach dem Gesetz der grossen Zahlen den tats"achlichen Zustand mit einer Genauigkeit von O(1/sqrt(N)). -------------------- S1l. Quantenspr"unge -------------------- Vielfach wird behauptet, Quantenspr"unge g"abe es nicht. Zu dieser Schlussfolgerung kam z.B. ein bekannter Vorrttag von Schr"odinger, den man in http://www.mikomma.de/schroe/quantumjumps.htm nachlesen kann. Der Vortrag stammt allerdings aus dem Jahr 1952 und ist l"angst "uberholt. Heutige Quantenoptiker beobachten und analysieren Quantenspr"unge routinem"assig. Siehe etwa RG Hulet, DJ Wineland, JC Bergquist, WM Itano Precise test of quantum jump theory Phys. Rev. A 37, 4544 - 4547 (1988) oder N Gisin, PL Knight, IC Percival, RC Thompson, and DC Wilson Quantum State Diffusion Theory and a Quantum Jump Experiment Journal of Modern Optics 40, 1663 (1993) Eine vielzitierte Arbeit ist MB Plenio, PL Knight The quantum-jump approach to dissipative dynamics in quantum optics Rev. Mod. Phys. 70, 101 - 144 (1998). ------------------------------------- S1m. Klassische statistische Mechanik ------------------------------------- Die folgende deterministische Theorie klassisch ununterscheidbarer Teilchen reproduziert die klassische statistische Mechanik mit korrekter Mischungsentropie. Observable sind Folgen f=(f_N, N=0,1,2,...) von Funktionen f_N von p_k und q_k (k=1:N), die unter Vertauschungen der Indizes invariant sind. Die Dynamik ist gegeben durch df_N(t)/dt = {f_N(t),H_N}, (1) wobei H_N die "ubliche N-Teilchen-Hamiltonfunktion und {.,.} die N-Teilchen-Poissonklammer ist. Offensichtlich ist dies eine deterministische Theorie f"ur eine unbestimmte Anzahl von ununterscheidbaren klassischen Punktteilchen. Die deterministische Dynamik l"asst den gemischten Zustand rho = Z^{-1} e^{-(beta H_N + mu N), der offensichtlich permutationsinvariant ist, invariant. Ein in diesem Zustand pr"apariertes grosskanonisches Ensemble von Systemen bleibt also in diesem Zustand; es liegt Gleichgewicht vor. Aus der Partitionsfunktion Z = sum_{N=0}^inf (h^3N/N!)^{-1} Z_N, (2) Z_N = integral dp^N dq^N e^{-(beta H_N + mu N), wobei h eine im Prinzip experimentell bestimmbare universelle Konstante ist, ergibt sich auf traditionelle Weise die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik, mit korrekter Mischungsentropie. Das Postulieren von (1) ist analog zum Postulieren von dA(t)/dt = i/hquer [H,A(t)] (1') f"ur Operatoren in der Quantenmechanik. Das Postulieren von (2) ist analog zum Postulieren von Z = sum_l e^{-(beta H_l+ mu N_l) (2') in der Quantenmechanik, wobei (H_l,N_l) das gemeinsame Spektrum von H und N durchl"auft. ----------------------------------- S2a. Physik und Informationstheorie ----------------------------------- Interpretiert man Quantenmechanik oder Thermodynamik im Lichte der Informationstheorie, so schleichen sich leicht Aussagen ein, die sich nach Subjektivit"at anh"oren - Bestimme Dinge h"angen anscheinend davon ab, was der Beobachter weiss, misst, zur Kenntnis nimmt, oder vergisst. Abgesehen davon, dass solche Begriffe in einer als objektiv geltenden Wissenschaft nichts zu suchen haben, sollte wenigstens eine _fundamentale_ Theorie wie die Quantenmechanik genau definieren k"onnen, was 'Wissen', 'Kenntnisse', usw., sofern sie einen Einfluss auf das Geschehen haben, eigentlich sind, Wie sich ein Experiment verh"alt, h"angt sicher nicht davon ab, was der davorstehende Experimentator weiss oder vergisst, sondern nur davon, wie das Experiment aufgebaut ist. Nehmen wir an, zwei Physiker stehen vor demselben Doppelspaltexperiment, das vor ihren Augen abl"auft, ohne dass sie nach der Pr"aparation darin eingreifen. (Das Interferenzmuster bei einem Doppelspaltversuch h"angt im Allgemeinen nicht davon ab, wieviele Leute sich den Schirm anschauen.) W"ahrenddessen verwirft einer einige seiner Kenntnisse "uber das System, der andere nicht. Es w"are _sehr_ verwunderlich, wenn dann der eine ein anderes Interferenzbild sehen w"urde als der andere. Objektive Physik _muss_ unabh"angig vom Beobachter und seinen Kenntnissen formulierbar sein. Wenn der zweite Physiker (oder ein Apparat) von jedem Lichtblitz weiß, ob er von einem linken oder rechten Photon erzeugt wurde, so liegt das an der experimentellen Anordnung, und _keiner_ der beiden Physiker sieht ein Interferenzmuster. Wenn ein Interferenzmuster entsteht, kann man also mit Sicherheit _prinzipiell_ von keinem der Lichtblitze wissen, ob er von einem linken oder rechten Photon erzeugt wurde. Das ist stock-konservative Kopenhagener Interpretation! Der zweite Physiker kann sich nat"urlich einbilden, es zu wissen, und dann die zwei Computerbilder vorzeigen. Das nennt man dann aber Phantasie, Wahnsinn oder Betrug. Soll's ja manchmal geben... Ein Apparat kann das nat"urlich nicht. Daher k"onnen Apparate nicht wahnsinnig werden und nicht betr"ugen (ausser wenn sie von Menschen gesteuert oder falsch programmiert werden). Tja, das wirft noch ganz andere Fragen auf. Sind wir Menschen weniger oder mehr als Apparate? Und warum?? ----------------------------------------------------- S2b. Quantensysteme sind praktisch immer verschr"ankt! ----------------------------------------------------- Zwei disjunkte Teilsysteme eines Quantensystems heissen miteinander verschr"ankt, falls ihr gemeinsamer Zustand sich nicht als Tensorprodukt der Zust"ande der beiden Teilsysteme schreiben l"asst. So wird dieser Begriff von allen Quanteninformationstheoretikern benutzt. Es gilt nun ganz allgemein: Quantensysteme sind mit Wahrscheinlichkeit 1 mit ihrer Umgebung verschr"ankt. Nehmen wir mal an, ein System S und seine Umgebung R seien zum Zeitpunkt t=0 unverschr"ankt, also in einem Zustand rho_ = rho_S tensor rho_R. Da das Universum U = S union R das einzige abgeschlossene physikalische System ist, das S enth"alt, muss im Fall, dass S nicht ganz U ist, S mit R wechselwirken. Also hat der Hamiltonoperator die Form H = H_S tensor 1_R + 1_S tensor H_R + sum_l V^l_S tensor W^l_R mit einer nichttrivialen Summe. Zum Zeitpunkt t>0 ist der Zustand dann rho_t = exp(-itH/hbar) rho_0 exp(itH/hbar). Nun ist es eine einfache "Ubungsaufgabe, zu verifizieren, dass das System f"ur kleine t>0 notwendig mit der Umgebung verschr"ankt ist, falls nicht ganz spezielle Voraussetzungen vorliegen, die unter St"orungen nicht stabil sind und daher nicht pr"apariert werden k"onnen. ('Einfach' auf der Ebene, in der Physiker gew"ohnlich argumentieren. Mathematisch rigoros ist das nicht mehr ganz trivial, sondern mann muss schon sorgf"altig argumentieren - im Wechselwirkungsbild und unter gewissen Kompaktheitsvoraussetzungen an die Wechselwirkungen.) Falls zuf"allig mal noch ein Zeitpunkt t_1 eintreten sollte, wo das System unverschr"ankt ist, gilt ein analoges Argument f"ur Zeiten t mit kleinem t-t_1. Es gibt also ein Kontinuum von Zeitpunkten wo das System mit seiner Umgebung verschr"ankt ist, und h"ochstens eine diskrete Menge von Zeitpunkten, wo dies nicht der Fall ist. Daher ist das System mit Wahrscheinlichkeit 1 zu allen Zeiten mit seiner Umgebung verschr"ankt. "Uberhaupt ist Verschr"ankung von Systemen das Generische (Typische), und Fehlen von Verschr"anktheit bei Teilsystemen mit gemeinsamer Vergangenheit die Ausnahme. Man kann diese Verschr"anktheit unter sorgf"altig gew"ahlten Bedingungen gezielt pr"aparieren, und auf diese Weise z.B. Aspekt-artige Experimente "uber viele Kilometer durchf"uhren, die die Verletzung der Bellschen Ungleichungen best"atigen. Unverschr"ankte System pr"apariert man dagegen, indem man unabh"angig gewonnene Teilsysteme koppelt. ------------------------------------ S2c. Nichtlokalit"at und Kausalit"at ------------------------------------ Kausalit"at ist 'Ausbreitung im Vorwärtslichkegel', und eine rein dynamische Angelegenheit. Nichtkausalit"at bedeutet, dass, wenn jemand am Punkt A etwas tut, er damit etwas an einem beliebig weit entfernten Punkt B instantan (oder wenigstens mit "Uberlichtgeschindigkeit) _beeinflussen_ kann, d.h., dass die Folgen einer lokalen "Anderung der Lagrangefunktion des Systems, die durch eine externe Handlung am Punkt A bedingt ist, sich instantan (oder wenigstens mit "Uberlichtgeschindigkeit) im Punkt B sp"urbar sind. Lokalit"at ist eine kinematische Angelegenheit. Nichtlokalit"at (d.h. Fehlen von Lokalit"at) bedeutet, dass es nichtklassische Korrelationen zwischen beliebig weit entfernten Objekten A und B geben kann. (Nicht damit verwechselt werden sollte der quantenfeldtheoretische Begriff der Lokalit"at, der durch ein Verschwinden der Kommutatoren lokaler Felder an jedem Paar raumartig zueinanderliegender punkte charakterisiert ist. Bells Ungleichungen und die dadurch implizierte Nichtlokalit"at vertragen sich vollkommen mit der quantenfeldtheoretischen Lokalit"at und Kausalit"at, wie sie etwa durch die Wightmanaxiome spezifiziert sind.) Die Korrelation ist eine mathematische Gr"osse, die _nichts_ mit Dynamik zu tun hat. Sie liegt dann vor, wenn man sie entweder aus der Theorie oder aus Daten ausgerechnet hat. Zum Vergleich zwischen Theorie und Wirklichkeit braucht man nat"urlich beides. Das Entscheidende ist, man kann sie erst dann aus den messbaren Daten ausrechnen, wenn man die Daten beider Seiten vorliegn hat. Also dann, wenn sich A und B treffen oder telefonieren, oder sonstwie auf normale, kausale Weise die entsprechende Information "ubertragen haben. (Und das geht _nicht_ schneller als das Licht!) Dann rechnet man, vergleicht mit der Theorie, und stellt fest: ''Tats"achlich, die Korrelationen sind genau so [nichtlokal], wie es die Quantenmechanik vorausgesagt hat!'' Aber die Vorhersagen sind zu wenig informativ, um es B zu erlauben, aus seinen eigenen Messungen auch nur das Geringste zu schliessen, was A getan hat. Daher kann B seinen Messungen keine Information "uber A entnehmen. Ausser nat"urlich solchen, die kausal gesendet wurden, oder solche, die eine gemeinsame Ursache in der Vergangenheit haben. Mehr dazu von Google unter dem Stichwort ''Bertlmanns Socken -Dr''. (Das '-Dr' schliesst Informationen "uber ein Buch mit dem Titel ''Dr. Bertlmanns Socken'' aus, das auch zum Thema geh"ort, aber alle andere Information dominieren w"urde... ------------------------- S2d. Ununterscheidbarkeit ------------------------- Ein Ensemble im Sinn der statistischen Mechanik wird gew"ohnlich gedacht als eine unbegrenzte Menge fiktiver (oder manchmal - n"amlich wenn sie gemessen werden - auch realer) Kopien des einen zu analysierenden Systems. Kopien, die in den relevanten Gr"ossen "ubereinstimmen, sich aber in den irrelevanten mikroskopischen Detais unterscheiden. Dies erlaubt es, "uber die irrelevanten Details zu mitteln und so relevante statistische Aussagen "uber relevante Gr"ossen zu bekommen. Das ist v"ollig unabh"angig davon, ob das System und die Kopien unterscheidbare Teilchen enthalten oder nicht. Die fiktiven Kopien w"aren durchaus unterscheidbar, wenn man sie mikroskopisch genau kennen w"urde. W"aren sie das n"amlich nicht, so w"urde sich aus einem Ensemble reiner Zust"ande nie ein gemischter ergeben k"onnen: Ein System ist n"amlich durch seinen Zustand charakterisiert, zwei Systeme unterscheiden sich also definitionsgem"ass genau dann, wenn sie unterschiedliche Zust"ande haben. In der traditionellen Interpretation hat ein vollst"andig beschriebenes Einzelsystem S_k einen reinen Zustand, gegeben durch rho_k = psi_k psi_k^* = |k> eine auf Norm 1 normierte Wellenfunktion ist. Das Ensemble, das das System S_k mit der Wahrscheinlichkeit p_k (sum_k p_k = 1) enth"alt, ist durch den gemischten Zustand rho = sum_k p_k rho_k charakterisiert. (Vgl. Landau und Lifschitz, Lehrbuch der Theroetischen Physik, Band 5, Statistische Physik I, Abschnitt 5, Die Dichtematrix.) W"aren alle S_k ununterscheidbar, so w"are psi_k = psi_1 = |1> f"ur alle k, also rho_k= |1><1| = rho_1 f"ur alle k und daher rho = sum_k p_k rho_k = sum_k p_k rho_1 = rho_1 Also w"are rho derselbe reine Zustand. In einem idealen Gas beispielsweise ist (wie in jedem anderen mit statistischer Mechanik behandelten System) der Zustand aber hochgradig gemischt. In jedem einzelnen System sind nun Teilchen, und bei denen kann es sich um unterscheidbare oder ununterscheidbare Teilchen handeln. Ein einzelnes Wassermolek"ul H_2O besteht zum Beispiel aus einem Sauerstoffkern O, zwei Wasserstoffkernen H und 10 Elektronen e Die Elektronen sind nicht im chemischen Symbol mit drin, da der Chemiker weiss, dass ein Wasserstoffatom normalerweise ein Elektron hat und ein Sauerstoffatom acht. Wenn das nicht der Fall ist, redet er von Ionen und schreibt fehlende Elektronen als zus"atzliche hochgestellte + und "uberz"ahlige als zus"atzliche hochgestellte -, wie etwa die Reaktion H_2O <--> H^+ + OH^-, die in w"assriger L"osung zum Teil stattfindet. (Das mittlere Plus ist nicht hochgestellt und bedeutet einfach 'und'.) H und O und e sind unterscheidbar, die beiden O's und die 10 e's aber nicht. Und zwar in jedem einzelnen H_2O-Molek"ul. Wenn man zwanzig H_2O-Molek"ule hat, sind die zwanzig O's ununterscheidbar, die vierzig H's und die 200 e's ebenso. Das bedeutet, dass sich _nichts_ ge"andert h"atte, wenn man welche der O's heimlich vertauschen w"urde ohne sonst den Zustand zu ver"andern, etc. (Formal, dass sich die Wellenfunktion bei entsprechenden Koordinatenvertauschungen nicht "andert.) Aber die H-atome sind nicht vollkommen ununterscheidbar, da man unterscheiden kann, ob zwei H-Atome am selben oder an verschiedenen H_2O-Molek"ulen sitzen. Der Symmetriefaktor f"ur (sagen wir n) H_2O-Molek"ule, der in der Partitionsfunktion ber"ucksichtigt werden muss, ist nicht (2n)!*n!, wie es im Fall vollkommen ununterscheidbare Teilchen w"are, sondern nur 2^n*n!, da man ohne experimentelle Konsequenzen die Molek"ule untereinander vertauschen kann und dann noch innerhalb jedes Molek"uls die beiden H_Atome. In Benzzoldampf ist der Symmetriefaktor 12^n*n!, da man ohne experimentelle Konsequenzen einzelne Benzolmolek"ule vertauschen kann, innerhalb eines (ringf"ormigen) Benzolmolek"uls aber nur die Symmetrien einer Diedergruppe mit 12 Elementen erlaubt sind. (Siehe auch den Eintrag ''Thermodynamik von Molek"ulen'' in diesem FAQ.) Man kann dies experimentell nachweisen, indem man a) die Mischungsentropie ausrechnet und mit dem Experiment vergleicht, b) gemessene Absorptions- oder Emissionsspektren misst und mit dem Ergebnis quantenmechanischer Rechnungen vergleicht. Nur bei korrekter Ber"ucksichtigung der Symmetriefaktoren entsprechend dem illustrierten Rezept ergeben sich korrekte Vorhersagen. Alles hat aber an sich nichts mit Quantenphysik zu tun: Die Teilchen in einem idealen Gas m"ussen auch klassisch ununterscheidbar sein, damit die Eigenschaften mit den gemessenen "ubereinstimmen. (Siehe den Beitrag '' Klassische statistische Mechanik'' in diesem FAQ.) Experimentalphysiker k"onnen nat"urlich l"angst nicht alles im formalen Sinn Unterscheidbare experimentell unterscheiden. Sie unterscheiden nur das, was ich 'relevante Gr"ossen' genannt habe. Das ist die Terminologie der statistischen Mechanik, die den Begriff 'ununterscheidbar' im von mir beschriebenen mikroskopischen, nicht im experimentellen Sinn verwendet. --------------------------------------------------------- S2e. Was f"ur Beobachtungen erkl"art die Quantenmechanik? --------------------------------------------------------- Die traditionelle QM erkl"art nur _einige_ Beobachtungen, n"amlich die Beobachtungen "uber relative H"aufigkeiten von Ereignissen, die oft genug passieren, um sie statistisch interpretieren zu k"onnen. Also z.B. Zerfallswahrscheinlichkeiten, Reaktionsraten, Streuquerschnitte, und Materialeigenschaften, die sich durch Mittelung "uber astronomisch viele Teilchen ergeben. Eine _hervorragende_ "Ubereinstimmung mit dem Experiment (auf viele Dezimalstellen genau) gibt es allerdings nur bei _nichtstatistischen_ Gr"ossen wie dem Lamb Shift, dessen 'Messung' von der traditionellen Karikatur des quantenmechanischen Messprozesses gar nicht erfasst wird. Das Lamb Shift ist n"amlich gar keine Observable im Sinn der Lehrbuch- Quantenmechanik, n"amlich kein hermitescher Operator, sondern eine reine Zahl, die Differenz zweier m"oglicher Energielevels im Spektrum eines solchen Operators. Die traditionelle QM erkl"art auch nicht, weshalb 1999 eine in Mitteleuropa sichtbare Sonnenfinsternis war, nicht einmal, wenn man die Wellenfunktion des Sonnensystems am 1. Januar 1999 um 0:00 MEZ exakt angeben k"onnte. Und zwar _prinzipiell_ nicht, wenn man der traditionellen Deutung folgt. Newton's klassische Mechanik hingegen erkl"art es, wenn man Ort und Impuls der Erde und der Sonne am 1. Januar 1999 um 0:00 MEZ (und ein paar geographische Daten) kennt. Das ist eben der Unterschied. In der klassischen Physik (und viel unserer Wirklichkeit wird davon beschrieben) tritt von dem M"oglichen nur ganz wenig ein. Die St"arke der Naturwissenschaften liegt gerade darin, dass sie oft vorherzusagen erlauben, was von dem M"oglichen verwirklicht werden kann. Sonnenfinsternisse k"onnen z.B. genau vorhergesagt werden, und sie treffen dann und nur dann ein, wenn es die Astronomen vorhersagen. Obwohl es einzelne Ereignisse sind, "uber die eine Statistik wenig hergibt. Aber nicht mit der Quantenmechanik. Beschreibt man das Sonnensystem als quantenmechanisches N-Teilchensystem (was es angeblich ist), so verschwindet pl"otzlich die Sicherheit, und alles, was man hat, ist eine komplizierte Wellenfunktion, die mit dem Rest des Weltalls verschr"ankt ist und nur noch M"oglichkeiten enth"alt. Jedenfalls in der traditionellen statistischen Interpretation der Quantenmechanik. In der Quantenmechanik gibt es - den traditionellen Interpretatione zufolge - keine Gewissheiten, das ist das Problem. Fr"uher, in der klassischen Physik, war das anders. Und daher braucht die g"angige Interpretation auch heute noch die klassische Physik, um "uberhaupt sagen zu k"onnen, was die Quantenphysik bedeuten soll. Experimente werden stets auf der klassischen Ebene gemacht, wo Dinge wirklich und nachpr"ufbar passieren. Man kann Experimente mit konkreten Apparaten nur mittels klassischer Physik, nicht mittels Quantenphysik beschreiben; letztere beschreibt nur die statistische Seite der Experimente. Jede Messung in einer Messkammer eines Teilchenbeschleunigers besteht aus klassischen Beobachtungen klassischer Variablen, aus denen die Quantenereignisse (Zerf"alle) mittels Methoden der klassischen Physik (Fit von Teilchenbahnen, die es quantenmechanisch angeblich gar nicht gibt) rekonstruiert werden. Selbstverst"andlich darf man die klassische Physik nur in ihrem Geltungsbereich benutzen, wenn man Experimente analysiert. Aber dort braucht man sie auch. Die Quantenmechanik kennt den Begriff einer Teilchenbahn nicht. Aber klassische Teilchenbahnen sind relativ gut bestimmt, weil hochenergetische Teilchen grosse Impulse haben, was laut Heisenberg'scher Unsch"arferelation eine gute Ortsaufl"osung erlaubt. Alle Hochenergieexperimente, und damit auch all unsre Kenntnisse "uber Quarks, Z-Bosonen, schwache und starke Wechselwirkung, etc. beruhen auf solchen oder "ahnlichen Techniken. Das, was in den Quantenmechanik-Lehrb"uchern "uber Messung eines Quantensystems steht, ist eine skurille Karikatur dessen, was wirklichkeitsnahe Messungen von relevanten Quantensystemen beinhalten. Solange man die Quantenmechanik nicht so erkl"aren kann, dass sie auf die klassische Ebene ganz verzichten kann (indem sie mit all ihren - definiten - Eigenschaften innerhalb der Quantenwelt rekonstruiert wird), fehlt etwas Entscheidendes. Die traditionelle Quantenphysik braucht also die klassische Physik, um "uberhaupt interpretiert werden zu k"onnen, und ist _daher_ unvollst"andig. Weil und solange dies fehlt, bleiben die Grundlagen der Quantenmechanik die tr"uben Gew"asser, die sie derzeit sind. Ohne klassische Physik gibt es auch keine Quantenphysik. --------------------------------------- S2f. Teilchenspuren und Quantenmechanik --------------------------------------- In der alten, aber nach wie vor interessanten Arbeit N.F. Mott, The wave mechanics of alpha-ray tracks, Proc. Roy. Soc. London A126 (1929), 79-84, wird erstmalig beschrieben, wie es kommt, dass Alphateilchen in Nebelkammern sichtbare und klassisch aussehende Spuren hinterlassen. In seiner Analyse der Teilchenspuren bekommt Mott aber nur eine Superposition von Spuren heraus, die nach Dekoh"arenz eine Mixtur von Spuren werden, aber nicht eine einzelne Spur, wie man sie misst. Mott rechnet nur Korrelationen aus. Im wesentlichen zeigt er, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Atome ionisiert werden, nur dann signifikant ist, wenn diese praktisch genau auf einer Geraden durch den radioaktiven Atomkern liegen, der das Alphateilchen aussendet. Alle Geraden sind v"ollig gleichberechtigt, und das Gesamtsystem (Teilchen + Gas) ist in einem reinen Zustand, einer Superposition aller dieser Geraden. Nichts von Dekoh"arenz, nichts vom "Ubergang zu einem gemischten Zustand, nichts vom Kollaps der Wellenfunktion. Er erkl"art nicht, warum man statt der Superposition eine einzelne Gerade beobachtet. Mott zeigt, dass ein Ensemble aus vielen Alphateilchen geradlinige Nebelkammerspuren im Plural hinterl"asst. Man kann aber beobachten, dass ein _einzelnes_ Alphateilchen _eine_ Spur hinterl"asst. Wenn man danach das Experiment abbricht, hat man etwas Objektives beobachtet, und man weiss, es ist ein einzelnes Alphateilchen dagewesen. Man weiss auch ungef"ahr, wo es gewesen ist. Wenn man - wie die minimale Interpretation - nicht behauptet, dass dem Einzelsystem eine objektive Wellenfunktion zukommt, ist in dieser Hinsicht nicht mehr zu fordern; das gibt die minimale Interpretation. Die Interpretation der Quantenmechanik geht aber gew"ohnlich von der Behauptung aus, messen k"onne man nur Eigenwerte von Operatoren, und bei der Messung gehe das Einzelsystem in einen zugeh"origen Eigenzustand "uber. Das ist aber in Mott's Analyse nicht ber"ucksichtigt; es scheitert auch schon daran, dass zu Orts- und Impulsoperatoren gar keine normierten Eigenzust"ande existieren. Was ist nun die - offenbar unkontrovers objektiv vorhandene - einzelne Spur? Sie ist das Ergebnis einer deterministischen Dynamik f"ur die Schr"odingergleichung des einzelnen Messapparats (d.h. der gesamten Nebelkammer). Man hat _kein_ Ensemble, sondern ein grosses Einzelsystem! Was dagegen ins Spiel kommt, ist die makroskopische Natur des Messapparats; die sorgt f"ur die Objektivit"at. Aber wie, das bleibt in der minimalen Interpretation schleierhaft. Selbst Dekoh"arenz sagt nur eine Mixtur von Spuren voraus, und nicht die einzelne Spur! Aber von dieser Problematik ist bei Mott mit keinem Wort die Rede! Er behandelt nicht einen dissipativen Vielteilchenprozess, der f"ur die irreversible Beobachtungsprodukte verantwortlich ist, sondern ein reversibles Dreiteilchenproblem (Alphateilchen und zwei Streuzentren).. Ausserdem l"asst die minimale Interpretation etwas offen. Zumindest f"ur grosse Systeme wie Galilei's Bleikugeln sollte ein Einzelsystem jedoch eine objektive Beschreibung haben. Die minimale Interpretation l"asst dies aber nicht zu. Da man keine Grenze angeben kann, ab der das der Fall ist, sollten aber auch kleine Einzelsysteme und daher einzelne Alphateilchen und andere Teilchen eine objektive Beschreibung haben. Dann ist die minimale Interpretation v"ollig unzureichend. Wer andrerseits dem Einzelsystem eine objektive Beschreibung zugesteht, muss auch zeigen k"onnen, dass - wie man stets beobachtet - das einzelne Alphateilchen eine einzelne Spur hinterl"asst. Mit Mott kann man aber nicht verstehen, wie aus der angeblich objektiven Beschreibung des _einzelnen_ Systems die _einzelne_ Spur herauskommt, sondern nur, dass ein ganzes Ensemble von Versuchen eine statistische Verteilung von Spuren liefert. Das ist ein signifikanter Unterschied. -------------------------------------------------- S2g. Quantensysteme sind praktisch immer gemischt! -------------------------------------------------- In den Lehrb"uchern findet man oft die Aussage, dass gemischte Zust"ande (Dichtematrizen) nur auf der Unkenntnis des Betrachters beruhen. Letzteres ist aber h"aufig nicht der Fall. Gemischte Systeme entstehen auch auf v"ollig beobachterunabh"angige Weise als Teilsysteme eines gr"osseren reinen Systems, da die die Beschränkung auf das Teilsystem (partielle Spurbildung der Dichtematrix) aus einem reinen Zustand in der Regel einen gemischten Zustand macht. Diese gemischten Zust"anden k"onnen nicht sinnvoll als auf Unkenntnis des Betrachters beruhend angesehen werden. Aber f"ur jemanden (nicht mich), der von einer subjektiven Interpretation der QM ausgeht (also: der Zustand codiert nur das, was wir von System wissen), kann ein nichttrivial grosses Gesamtsystem nie in einem reinen Zustand sein. Denn niemand ist in der Lage, ein vollst"andiges System von kommutierenden Variablen eines Quantensystems mit mehr als ein paar Freiheitsgraden auch nur einigermassen genau zu messen. Und alle Ungenauigkeiten "ubersetzen sich in Unkenntnis, also Unreinheit... Unabh"angig davon ist der Fall eines gr"osseren reinen Systems nat"urlich eine Idealisierung. Denn das gr"ossere System ist selbst auch Teil eines noch gr"osseren Systems und damit nach demselben Argument mit ziemlicher Sicherheit auch ein gemischter Zustand. Die einzigen Systeme, die - streng genommen - in einem reinen Zustand vorliegen k"onnen, sind also (unabh"angig davon, ob man eine subjektive oder objektive Interpretation der Quantenmechanik bevorzugt): 1. Das Universum als Ganzes, 2. Systeme mit so wenigen Freiheitsgraden (typischerweise nur ein paar Spins), dass man sie durch Pr"aparation (d.h.von-Neumann-Messung eines maximalen Systems von kommutierenden Variablen) in einen reinen Zustand bringen kann. ------------------------------- S2h. Zeit in der Quantentheorie ------------------------------- In der traditionellen Formulierung der Quantentheorie ist die Zeit keine Observable. Die Kommutatorregeln werden in der Quantenmechanik durch Ersetzen der klassischen Poissonklammern durch skalierte Kommutatoren ermittelt. Man sieht aber leicht, dass die Zeit in der klassischen nichtrelativistischen Mechanik keiner {t,H}=1 entsprechenden Relation gen"ugt - die Zeit ist klassisch nur ein Parameter, von dem alle Observablen abh"angen. Daher gibt es auch keine Ursache, quantenmechanisch einen Zeitoperator t zu postulieren und von [t,H]=i hquer auszugehen, obwohl die entsprechenden Relationen {x_j,p_k} = \delta_{jk}, [x_j,p_k] = \delta_{jk} i hquer f"ur Ort und Impuls gelten. Die Relation [t,H]=i hquer h"atte auch zur Folge, dass das Spektrum von H nach unten unbeschr"ankt ist, was physikalisch keinen Sinn macht. Der Grund daf"ur ist, dass die kanonischen Kommutatorrelationen die Darstellung bis auf Isomorphie eindeutig festlegen: Sind p und q selbstadjungierte Operatoren und gilt [q,p]=i hquer, so ist in der Darstellung, in der q diagonal ist, der Hilbertraum isomorph zu L^2(R) und p = - i hquer d/dq. Im Wesentlichen ist das Schr"odinger's "Aquivalenzbeweis der Heisenbergschen und der Schr"odingerschen Quantenmechanik. Traditionell l"auft diese Aussage allerdings unter dem Namen Stone - von Neumann Theorem. http://en.wikipedia.org/wiki/Stone-von_Neumann_theorem Mit t und H statt q und p folgt, dass H dasselbe Spektrum wie p hat, also ganz R als Spektrum hat und insbesondere nach unten unbeschr"ankt ist. Dies kann man heuristisch auf einfachere Weise sehen, wenn man voraussetzt, dass H einen nicht notwendig normierten Eigenvektor |E_0> zu einem Eigenwert E_0 hat. Dann ist |E>:=exp(i(E-E_0)t/hquer)|E_0> ein Eigenvektor von H zum Eigenwert E, wie man aus H|E> = H exp(i(E-E_0)t/hquer)|E_0> = exp(i(E-E_0)t/hquer)(H+E-E_0)|E_0> = exp(i(E-E_0)t/hquer) E|E_0> = E|E> sieht. Die Existenz von exp(i(E-E_0)t/hquer) ist wegen der Selbstadjungiertheit von t gesichert, allerdings nur als Operator auf dem Hilbertraum. Der Eigenvektor |E> liegt aber nicht im Hilbertraum; dazu m"usste er normierbar sein, was be kontinuierlichem Spektrum nicht geht. Daher ist dieses Argument mathematisch nicht stichhaltig. Ein mathematisch korrekter Beweis des Stone-von Neumann Theorem ist dagegen nichttrivial. Man kann n"amlich zu bestimmten Ausdr"ucken f"ur H formale Ausdr"ucke f"ur einen Operator T angeben, so dass [T,H]=i hquer ist. Z.B. gilt dies mit T=i hquer/2 (p^{-1} d/dp + d/dp p^{-1}) f"ur H=p^2/2m (freies Teilchen) und mit T = arctan(q/p) f"ur H=(p^2+q^2)/2 (harmonischer Oszillator). Dieser Operator T ist aber im ersten Fall bei p=0 singul"ar und nicht selbstadjungiert, und im zweiten Fall wegen der Mehrwertigkeit von arctan nicht einmal wohldefiniert. Die Selbstadjungiertheit wird aber gebraucht, um die Spektralzerlegung zu garantieren, die f"ur die Bornsche Regel unverzichtbar ist. Nahegelegt wird [t,H]=i hquer nur von zu oberfl"achlichen Anleihen bei der Relativit"atstheorie, in der Raum und Zeit analog behandelt werden. Aber dort haben weder Raum noch Zeit Observablencharakter, und auch die Relation [x_j,p_k]=i \delta_{jk} verliert dort ihre Bedeutung. Denn in einer irreduziblen Darstellung der Poincaregruppe (die ein relativistisches Teilchen beschreibt) haben nur der 4-Impuls und der 4-Drehimpuls Observablencharakter. Daraus lassen sich zwar (beobachterabh"angig) 3D Ortsvariable mit den richtigen Kommutatorregeln rekonstruieren (Newton-Wigner Positionsoperator), aber kein Zeitoperator. In der traditionellen Formulierung der Quantentheorie ist die Zeit also keine Observable. Trotzdem kann sie gemessen werden... Im Schr"odingerbild ist der Zustand f"ur fixe Zeiten definiert, und damit die Zeit ausgezeichnet. Hier ist Zeitmessung schwierig zu diskutieren, da die Zeit, zu der ein Zustand betrachtet wird, immer scharf ist. Im Heisenbergbild kommt die Zeit als Parameter in den Observablen vor, und ist damit auch ausgezeichnet, aber auf andere Weise. Parameter sind de facto einfach kontinuierliche Indices und keine Observablen. So wie 3 keine Observable ist, p_3 aber schon, so ist t keine Observable, H(t) aber schon. Observablen haben zu _jedem_ Zeitpunkt einen mittleren Wert; der Zeitpunkt (''jetzt'') ist dagegen nicht als Observable modelliert. Was man aber modellieren kann, ist dagegen eine Uhr, d.h. eine Observable, die sich auf vorhersagbare Weise mit der Zeit "andert. Hat man ein System, in dem eine Observable u(t) das Verhalten ubar(t) := = u_0 + v (t - t_0) (v nicht 0) (*) mit gen"ugender Genauigkeit erf"ullt, so hat man eine Uhr, und kann anhand von feststellen, wieviel Zeit T = Delta t zwischen zwei beobachteten Datens"atzen vergangen ist. Das ist die normale Art, wie wir auch klassisch Zeit messen. Dazu muss nat"urlich T gegen"uber der intrinsischen Unsch"arfe Sigma_T := |v^{-1}| sigma(u(t)) von T gross genug sein. Dabei ist sigma(u(t)) = sqrt(<(u(t)-ubar(t))^2>) die Standardabweichung von u(t) im ordnungsgem"assen (quantenmechanischen) Zustand <.>. Ist (*) signifikant fehlerbehaftet, so ist Sigma_T nat"urlich entsprechend gr"osser. In der relativistischen Quantenfeldtheorie (die fast immer im Heisenbergbild formuliert wird) wird aus der 1-dimensionalen Zeit t die 4-dimensionale Raumzeitposition x. Auch x tritt als Parameter der Observablen (Felder) auf, und ist daher keine Observable. Ort und Zeit sind zwar jetzt gleichberechtigt, aber beide als Nichtobservable. Die Observablen sind Felder; Orte und Zeiten werden durch unscharfe 1-dimensionale Weltlinien mit hoher modelliert. (Man denke an die Spur eines Teilchens in der Blasenkammer.) Jetzt braucht man zur Orts- und Zeitmessung ein 4-Vektorfeld u(x) mit = u_0 + V (x - x_0) und einer regul"aren 4x4-Matrix V, und die intrinsische Unsch"arfe nimmt die Form Sigma_T := sigma(V^{-1}u(x)) an, wobei sigma(a(x)) = sqrt(<(a(x)-abar(x))^*(a(x)-abar(x))>), abar(x)=. ist. Fazit: In der nichtrelativistischen Quantenmechanik wird Zeit immer indirekt "uber Observablen von Uhren in kalibirierten Zust"anden gemessen. In der relativistischen Quantenfeldtheorie gilt dasselbe f"ur Zeit _und_ Position. Das funktioniert allerdings nur, wenn man einzelnen Uhren einen wohldefinierten Zustand zuordnet, also eine Version der Kopenhagen-Interpretation zugrundelegt. Nach der minimalen statistischen Interpretation braucht man ein ganzes Ensemble von identisch pr"aparierten Uhren, um Zeit messen zu k"onnen... ------------------------------------------- S2i. Kopenhagen und Ensemble-Interpretation ------------------------------------------- http://de.wikipedia.org/wiki/Kopenhagener_Deutung ''Die Ensemble-Interpretation ist eine Variante der Kopenhagener Deutung, bei der die Quantentheorie nicht bezüglich einzelner Systeme, sondern bezüglich Ensembles von identisch präparierten Systemen betrachtet wird.'' Das ist der Hauptunterschied, und zwar ein wichtiger. Die Kopenhagen-Interpretation schreibt jedem Einzelsystem einen Zustand zu, die statistische Interpretation nur einem Ensemble von identisch pr"aparierten Systemen. Erstere hat oberfl"achliche Probleme damit, zwei unterschiedliche Dynamiken f"ur ein System anzubieten - unit"are Schr"odingergleichung wenn es unabh"angig ist, Kollaps wenn es gemessen wird. Das "uberrascht aber nicht, da im letzteren Fall die Messumgebung, die f"ur den Kollaps verantwortlich ist, nicht mitmodelliert wird, aber die Dynamik nat"urlich "andert. (Ein nicht wechselwirkendes System kann nat"urlich auch nicht gemessen werden.) Letztere hat Probleme damit, Systeme zu beschreiben, die (wie die Sonne) nicht mehrfach pr"apariert werden k"onnen. Beide haben Probleme damit, zu sagen, was passiert, wenn das System immer gr"osser gew"ahlt wird, bis es schliesslich das ganze Universum umfasst. Es gibt keine wohldefinierte Version der Kopenhagen-Interpretation; unterschiedliche Leute verstehen darunter unterschiedliches; der deutsche Wikipedia-Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Kopenhagener_Deutung gibt kein korrektes Bild von der Bandbreite des de facto Spielraums in der Kopenhagen-Interpretation. Das gewichtigste Dokument ist wohl HP Stapp The Copenhagen Interpretation American Journal of Physics 40 (1972), 1098-1116. F"ur die statistische Interpretation gilt "ublicherweise L.E. Ballentine, The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 42, 358-381 (1970) als autoritatives Dokument. ------------------------------------------------------------ S2j. Zweierlei Naturgesetze in der Kopenhagen-Interpretation ------------------------------------------------------------ In der Kopenhagen-Interpretation gibt es zweierlei Naturgesetze, also zwei Dynamiken - die unit"are, solange das System isoliert, also unbeobachtbar ist, und die dissipative, wenn das System beobachtet wird. Die unit"are Dynamik gilt nur f"ur abgeschlossene Systeme. Bekanntlich ist kein beobachtbares System (abgeschlossen ausser dem Universum als Ganzen), denn ohne Wechselwirkungen mit der Umgebung ist ein System unbeobachtbar. Also gilt die unit"are Dynamik nur, solange das System isoliert, also unbeobachtbar ist. Dies gilt auch in der modernen Form der Quantenmechanik. Wenn man also ganz penibel ist, ist das Universum als Ganzes das einzige System, das eine unit"are Dynamik hat, alle Teilsysteme wechselwirken mit ihrer Umgebung und sind daher offene Systeme mit Dissipation. Gl"ucklicherweise f"ur die Praxis (und die Entdeckung der Quantenmechanik) kann man die entstehende Dissipation oft vernachl"assigen, ohne das Problem allzusehr zu "andern (aber man verliert z.B. Information "uber die Breite von Spektrallinien...), so dass man kleine Systeme f"ur Lehrbuchzwecke oft als konservativ idealisiert. Aber aus der Quantenoptik weiss man, dass reale Prozesse nie ganz konservativ sind, und die Modellierung als offenes System wesentlich f"ur die "Ubereinstimmung mit dem Experiment ist. Die dissipative Dynamik heisst in der Kopenhagen-Interpretation Kollaps, und ist in der alten Form (den experimentellen M"oglichkeiten in der Anfangszeit entsprechend) stark idealisiert und zun"achst nur f"ur eine bestimmte Klasse von Messprozessen pr"azisiert: Im Fall einer sogenannten vollst"andigen von-Neumann-Messung geht das System w"ahrend der Messdauer (die meist idealisiert als instantan angenommen wird) in einen Eigenzustand des gemessenen Operators "uber. Ein Kollaps tritt laut Kopenhagen dann auf, wenn (durch Wechselwirkung mit der Umgebung) eine Beobachtung gemacht wurde, die in der Umgebung irreversibel gespeichert ist - unabh"angig davon, ob es ein Mensch zur Kenntnis nimmt oder nicht. Der Kollaps ist experimentell nachpr"ufbar; in der Quantenoptik werden regelm"assig dissipative Quantensysteme modelliert. Die verwendeten Modelle sind detaillierter als in der Kopenhagen-Interpretation, die idealisierte von-Neumann-Messungen voraussetzt, reproduzieren aber den Kollaps v"ollig objektiv, ausser dass er nicht instantan vor sich geht (wie es bei einer idealisierten von-Neumann-Messung sein m"usste), sondern ein klein bisschen Zeit braucht. Der Zustand eines einzelnen Atoms in einer Ionenfalle oder eines Elektrons in einem Quantenpunkt springt experimentell beobachtbar zwischen Eigenzust"anden von angeregt auf nicht angeregt und umgekehrt. Siehe z.B. den "Uberblicksartikel R. Hanson et al., Spins in few-electron quantum dots, http://arxiv.org/abs/cond-mat/0610433 Die Zeiten, wann der Zustand springt, sind nicht vorhersagbar. Aber die Statistik der Springzeiten schon. F"ur das Einzelsystem! Die Statistik bezieht sich zwar auch auf ein Ensemble, aber auf ein Ensemble von Observablen desselben Einzelsystems. (Sie bezieht sich insbesondere nicht auf ein Ensemble von "ahnlich pr"aparierten Systemen. Pr"apariert wird die ganze experimentelle Anordnung vor Beginn der ersten Messung, und dann nicht mehr). Die Messungen liefern Information "uber den Zustand dieses Einzelsystems als Funktion der Zeit. Der Zustand muss also zum Einzelsystem geh"oren. Dass man das auch statistisch interpretieren kann, ist kein Argument gegen die Kopenhageninterpretation - man behandelt ja auch Messungen an klassischen Einzelsystemen (Brownsche Bewegung etwa) statistisch, ohne daran zu zweifeln, dass ein einzelnes klassisches System wohldefinierte Zust"ande hat. Die Versuchsanordnung wird vor Beginn der Messungen pr"apariert. Die Pr"aparation stellt sicher, dass das System genau ein Atom (Ionenfalle) bzw. maximal ein Elektron (Quantendot) enth"alt, dass man das System also wirklich as eine Ionenfalle bzw. einen Quantendot betrachten darf. Mehr nicht. Der Zustand des Atoms/Elektrons kann zu Beginn in einen Eigenzustand von H (=H_atom bzw =H_elektron) gebracht werden. Dann werden Laser-Impulse dazugegeben und der Zustand kontinuierlich in der Zeit vermessen. Da das System jetzt wechselwirkt, kennt man den Zustand des Atoms/Elektrons nur noch aus der Messung, nicht mehr aus der Pr"aparation. Die Pr"aparation verhindert nur, dass z.B. ein zweites Elektron in den Quantendot kommen kann. Nur wenn man das Wort 'statistisch' ganz informell verwendet, hat man eine statistische Interpretation. Aber das ist dann nicht mehr die statistische Interpretation in der traditionellen Form von L.E. Ballentine, The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 42, 358-381 (1970), Das System passt also auf keinen Fall in die von Ballentine postulierte Ensemble-Form. Er fordert n"amlich (S.361 links oben): ''For example, the system may be a single electron, Then the ensemble will be the conceptual (infinite) set of all single electrons which have been subjected to some state preparation technique (to be specific for each state), generally by interaction with a suitable apparatus. [...] We say that a quantum state is a mathematical representation of the result of a certain state preparation procedure.'' Viele Systeme sind hinreichen isoliert, um approximativ als konservativ beschreiben zu werden. Aber diese Approximation produziert entsprechende Artifakte, z.B. unendlich d"unne Spektrallinien - die Linienbreite l"asst sich nur ausrechnen, wenn man Dissipation in Betracht zieht. Will man diese ber"ucksichtigen, muss man das System als offenes System behandeln. Will man das auf unit"are Weise tun, muss man also das System als Teilsystem eines gr"osseren behandeln, und Teilsystem+Messapparat modellieren. (Siehe den folgenden FAQ-Beitrag ''Kollaps und offene Quantensysteme''.) Allerdings gilt f"ur das System aus Teilsystem+Messapparat wieder dasselbe: Es ist nicht abgeschlossen und unterliegt einer dissipativen Dynamik, allerdings nur mit teilweisem Kollaps, da die Systemumgebung sicher nicht mehr ein vollst"andiges System kommutierender Observablen misst. Daher muss man dessen Umgebung auch mit einbeziehen. Das so vergr"osserte System hat wieder dasselbe Problem, und muss daher wieder vergr"ossert werden, usw. usw.. Man endet also damit, dass man das Universum als Ganzes vollst"andig beschreiben m"usste, denn nur dieses ist abgeschlossen genug, um _wirklich_ einer unit"aren Dynamik zu gen"ugen. Die Frage erhebt sich daher, ob man das Universum als Ganzes quantenmechanisch beschreiben kann - zun"achst unabh"angig davon, ob man seinen Zustand auch wirklich finden kann. In Ballentines statistischer Interpretation, die Hendrik van Hees zu vertreten vorgibt, geht das offenbar nicht, da man das Universum nicht pr"aparieren kann, sondern es so nehmen muss, wie es ist. Messen kann man jedoch viele seiner Observablen; allerdings kein _vollst"andiges_System_ kommutierender Observalben. In der in dem FAQ-Beitrag ''Quantenmechanik von Einzelsystemen'' angegebenen ensemblefreien, an Kopenhagen angelehnten Interpretation geht es dagegen problemlos, ohne dass sich irgendwelche andere Probleme ergeben. Also kann man f"ur die Interpretation der Quantenmechanik auf Ensembles "ahnlich pr"aparierter Systeme verzichten; man hat nur Vorteile davon. Und da man es kann, sollte man es (nach Ockhams Rat) auch tun. -------------------------------------- S2k. Kollaps und offene Quantensysteme -------------------------------------- Die Kopenhagen-Interpretation ist dem einzelnen System angemessen, allerdings in einer Idealisierung, die den Messprozess als instantan ansieht. Sie ist daher nur dann g"ultig, wenn die zeitliche Aufl"osung nicht allzu hoch ist. Bei besserer Aufl"osung stellt sie nur noch eine bequeme aber ungenaue Approximation dar. Die Theorie, die den alten Kollaps modern pr"azisiert, wird weit und breit unter dem Stichwort offene Quantensysteme diskutiert. Ein modernes Buch dazu ist HP Breuer, F Petruccione The Theory of Open Quantum Systems Oxford Univ. Press, Oxford 2002 Nach Approximation der Umgebung durch eine Gibbsverteilung und Projektion auf die relevanten Variablen des Systems bleibt ein dissipatives Quantensystem "ubrig, das im Mittel durch eine Lindblad-Dynamik charakterisiert ist, und im Einzelnen durch einen quanten-statistischen Prozess. Zur Herleitung der Dynamik wird stets _eine_einzelne_ Umgebung modelliert, _nicht_ ein Ensemble von Umgebungen. Man schreibt dieser _einen_ (im Gesamtexperiment tats"achlich vorliegenden) Umgebung einen wohldefinierten Gibbs-Zustand zu - eine relative grobe Approximation, aber ausreichend zur Herleitung der Grundgleichungen. (Die Koeffizienten werden sowieso an die Daten gefittet - vgl. den FAQ-Beitrag ''Effektive quantenmechanische Modelle'', also kommt es nicht auf ein quantitatives "Ubereinstimmen der Herleitung an.) Die Umgebung ist z.B. das einzelne Halbleiterpl"attchen, auf dem der Quantendot pr"apariert ist. Man braucht zur Herleitung der dissipativen Dynamik des Quantendots den Zustand des einzelnen Halbleiterpl"attchens. (In der statistischen Interpretation von Ballentine braucht man dagegen ein Ensemble von "ahnlich pr"aparierten Halbleiterpl"attchen, um die Modellierung des Systems aus Quantendots und Halbleiterpl"attchen zu interpretieren. Man macht die Versuche aber nicht mit einem Ensemble von Halbleiterpl"attchen, sondern nur mit _einem_ pr"aparierten solchen - und ist trotzdem erfolgreich. Offenbar ist das Ensemble von "ahnlich pr"aparierten Halbleiterpl"attchen irrelevanter Ballast, der von Ballentine's Definition erzwungen wird, mit Occam's Rasiermesser aber besser weggelassen wird.) Der alten Einteilung der Kopenhageninterpretation in Quanten- und klassische Welt entspricht in der modernen Theorie offener Quantensysteme die Einteilung in System und Umgebung. Inhaltlich ist es genau dasselbe. In der Umgebung werden n"amlich nur noch klassische (n"amlich makroskopische, thermodynamische) Variable modelliert. Dieser Einteilung haftet eine gewisse Willk"ur an, sowohl in der alten als auch in der modernen Form. Denn in der Natur gibt es keine abgegrenzten Systeme, nur die Natur als Ganzes. Es ist also Sache des Physikers, der ein Problem analysiert, wie er das Quantensystem abgrenzt. Normalerweise wird die Abgrenzung so vorgenommen, das das System analysierbar bleibt und die Genauigkeit f"ur den Vergleich mit dem Experiment noch ausreicht. Diese Willk"ur ist also dem Problem angemessen und nichts Fragw"urdiges. Der Fortschritt der modernen Theorie offener Systeme gegen"uber der einfachen Kopenhagen-Betrachtungsweise besteht darin, dass man quantitative und zeitlich aufgel"oste Details versteht, wo vorher nur Grundz"uge verstanden waren, und dass man das gr"ossere System als Quantensystem behandeln kann, ohne den Formalismus wechseln zu m"ussen. Man braucht also die klassische Welt nicht separat vorauszusetzen (aber dieser Teil geht schon auf von Neumann 1932 zur"uck). Aber das Klassische wird daf"ur in die Approximationsmethode hineingesteckt. Wenn man ein System "uber einen Gibbszustand modelliert, ist das "aquivalent dazu, nur die klassischen thermodynamischen Variablen f"ur relevant zu erkl"aren. Dann liefert der traditionelle Ansatz die Gibbsverteilung. (Aus der Sicht von Interpretationen, die den Zustand als Quintessenz der Information eines Beobachters "uber ein System auffassen, liegt hier ein Zirkelschluss vor: Der Beobachter steckt sein Wissen darum, dass die Umgebung im wesentlichen durch wenige klassische Variablen charakterisiert ist, in die Modellierung hinein, findet mittels dem Maximum-Entropie-Prinzip, dass sein Wissen einem Gibbs-Ensemble entspricht, und findet dann durch eine Analyse der mit diesem Ansatz f"ur die Umgebung reduzierten Dynamik f"ur das Teilsystem die ''emergence of a classical world'' f"ur das reduzierte offene Quantensystem. Aus der angenommenen Klassizit"at folgt also die Klassizit"at....) Unter Voraussetzungen, die ungef"ahr einer von-Neumann-Messung entsprechend (ungef"ahr, weil von-Neumann-Messungen idealisiert sind und nur in einem Limes existieren), ergibt sich eine Dynamik, in der aus einem gemischten Zustand im Grenzwert t--> unendlich ein reiner Zustand wird, der ein Eigenvektor des gemessenen Operators ist. Welcher, ist allerdings nur stochastisch bestimmt; die Lindblad-Dynamik ergibt Konvergenz gegen eine diagonale Dichtematrix. Da die Konvergenzrate sehr hoch ist, ist in vielen praktischen F"allen die Zeit, die zur Konvergenz n"otig ist, extrem kurz, so dass man quasi einen instantanen Kollaps bekommt. Im Limes unaufl"osbar kurzer Messzeiten ergibt sich _genau_ der alte Kollaps. Ebenso wie man f"ur kleine Geschwindigkeiten nichtrelativistisch rechnen darf, darf man bei grossen Zeiten Quantenspr"unge als instantan annehmen, auch wenn sie es exakt nie sind. Wer das nicht als G"ultigkeitsbeweis des Kollapses im Grenzfall geringer zeitlicher Aufl"osung anerkennt, d"urfte keinerlei historische Kontinuit"at bei Begriffen in der Physik unterstellen, wenn sich die Theorien verbessern. Man kann es Bohr, Heisenberg und von Neumann nicht ver"ubeln, dass sie bei den damalig "ublichen Aufl"osungen den dissipativen Messprozess als idealisierten Kollaps modellierten und nicht, wie es heute geschieht, als zeitlich aufgel"oste dissipative Dynamik. F"ur den experimentellen Nachweis von Quantenspr"ungen siehe etwa RG Hulet, DJ Wineland, JC Bergquist, WM Itano Precise test of quantum jump theory Phys. Rev. A 37, 4544 - 4547 (1988) oder N Gisin, PL Knight, IC Percival, RC Thompson, and DC Wilson Quantum State Diffusion Theory and a Quantum Jump Experiment Journal of Modern Optics 40, 1663 (1993) oder der "Uberblicksartikel MB Plenio, PL Knight The quantum-jump approach to dissipative dynamics in quantum optics Rev. Mod. Phys. 70, 101 - 144 (1998); Unsere Diskussion ergibt also: 1. Kopenhagen's Kollaps ist ein Grenzfall der modernen Sicht und kann durchaus (im Grenzfall) aufrechterhalten werden. 2. Die Tatsache, dass grosse Systeme einmalig sind und trotzdem einen wohldefinierten, objektiven Zustand haben, muss vorausgesetzt werden, damit die modernen Herleitungen des Verhaltens makroskopisch großer (offener) Systeme stichhaltig sind. Notwendig ist, dass einer einzelnen Umgebung (d.h. in letzterKkosequenz dem Universum mit Ausnahme des Systems) ein wohldefinierter Zustand zugeschrieben werden kann, der nicht "uber Ensembles charakterisierbar ist. 3. Die moderne Verwendung der Quantenmechanik erfordert also zwingend, dass jedem System ein (gemischter, zeitlich ver"anderlicher) quantenmechanischer Zustand zugeordnet ist, der alle objektiv vorhersagbaren Aspekte seines Verhaltens beschreibt. 3. In Ballentines statistischen Interpretation kann man aber nur Aussagen machen "uber Ensembles von Umgebungen, nicht "uber die einzelne, in einem Ein-Atom-Experiment konkret vorliegende Umgebung. Dies wird dem praktischen gebrauch der Quantenmechanik in Ein-Atom-Experimenten nicht gerecht. Daher ist die statistische Interpretation zumindest in Ballentines Version von 1970 "uberholt. --------------------------------------- S2l. Quantenmechanik von Einzelsystemen --------------------------------------- Wir messen das Alter des Universums nicht an einem Ensemble von Universen, und den Abstand Erde-Pluto am 1.1.2000 um 0:00 Uhr nicht an einem Ensemble von Planetensystemen. Und doch ist zumindest das letztere unbestreitbar ein Quantensystem. Offenbar muss es als m"oglich sein, Quantenmechanik auf Einzelsysteme anzuwenden. Allgemein gilt: Die Kenntnis des Zustands und damit aller Erwartungswerte besagt in _jedem_ Einzelfall, dass eine reelle Gr"osse X mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit von Xbar = um maximal ein kleines Vielfaches von sigma(X) = sqrt{<(X-Xbar)^2>} abweicht. Der Faktor f"ur eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit kann auch vorhergesagt werden. Ohne dieses Faktum w"are es praktisch unm"oglich, Aussagen "uber Erwartungswerte (und Statistik aller Art) zu verifizieren. Ist sigma(X) gen"ugend klein, braucht man kein Ensemble. Der beim Einzelsystem gemessene Wert ist in jedem Einzelfall vorhersagbar. Das verwenden wir bei den meisten allt"aglichen Messungen, die nur einmal (oder ganz wenige Male) durchgef"uhrt werden. Ist sigma(X) allerdings relativ gross, bekommt man keine Aussage von Wert "uber X. Aber man bekommt eine brauchbare Aussage "uber gemittelte Gr"ossen Z = (X_1+...+X_n)/n, wenn die X_i gen"ugend wenig korreliert sind. Denn nach dem Gesetz der grossen Zahlen ist im unkorrelierten Fall Zbar = Xbar, sigma(Z) = sigma(X)/sqrt{n}, und f"ur gen"ugend grosse n wird das beliebig klein. Der (gemischte, zeitlich ver"anderliche) quantenmechanischer Zustand eines Systems beschreibt die objektiv vorhersagbaren Eigenschaften in seinem Verhalten, nicht mehr und nicht weniger. Manche der Eigenschaften haben eine grosse Genauigkeit, andere nicht. Statistische Observablen tendieren dazu, kleinere Ungenauigkeiten zu haben und sind deshalb insbesondere bei winzigen Systemen aussagekr"aftiger. So wie beim Messen klassischer Observablen chaotischer Systeme auch. Diese Auffassung von Statistik ist 100%ig konsistent mit der Art, wie Statistik in Mathematik, Physik und Ingenieurswesen verwendet wird, und passt auf klassische Physik und Quantenphysik, inklusive statistischer Mechanik. Sie erkl"art zwanglos, warum zunehmend grosse Systeme zunehmend besser klassisch beschrieben werden k"onnen, ohne sagen zu m"ussen, wo man genau die Grenze zwischen klassisch und quantenmechanisch ziehen muss. Sie hat ausserdem den grossen Vorteil, dass sie unabh"angig von einer Ensemble-Interpretation ist, und sogar erlaubt, in detaillierter Weise (und observablenabh"angig) vorherzubestimmen, wie gross ein Ensemble sein muss und wie unabh"angig die einzelnen Realisierungen, damit man brauchbare Vorhersagen bekommt. Die Ensemble-Interpretation schweigt sich demgegen"uber "uber die n"otigen Eigenschaften des Ensembles und die notwendige Gr"osse weitgehend aus. L.E. Ballentine, The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys. 42, 358-381 (1970), der f"ur die statistische Interpretation als massgeblich gilt, redet sogar von 'infinite'... ----------------------------------------------------- S2m. Der HERA Speicherring bei DESY als Quantensystem ----------------------------------------------------- Betrachten wir einen Experimentator in einem typische Hochenergie- Experiment. Er pr"apariert eine Versuchsanordnung (ein Einzelobjekt) in einem bestimmten Zustand, in dem wiederholt Ereignisse des gesuchten Typs stattfinden. Die gesamte (einmalige) Versuchsanordnung [etwa der HERA Elektron-Proton Speicherring bei DESY inklusive Messanordnung] hat zu jedem Zeitpunkt einen wohldefinierten (unbekannten, gemischten) Quantenzustand, von denen der Experimentator mindestens die f"ur seine Beobachtungen relevanten Kenngr"ossen kennt (die werden n"amlich vorher gut kalibriert). Die Dynamik dieses Quantenzustands ist hinreichend genug bekannt, um gewisse Voraussagen "uber seine "Anderung w"ahrend der Dauer des Experiments zu machen. Insbesondere geh"oren zu diesen Voraussagen die "uber die Zeit gemittelten Erwartungswerte gewisser Observablen, aus denen z.B. Streuquerschnitte berechnet werden k"onnen. Die kann man mit den Messungen vergleichen. All das ist objektiv. Man braucht kein Ensemble von DESY's, um das gesamte System samt aller dort gemachter Beobachtungen quantenmechanisch zu interpretieren. Man braucht weder subjektive Elemente wie Deine Kenntnisse "uber DESY oder Dein Zurkenntnisnehmen (oder nicht) von dort gemachten Beobachtungen noch esoterische Annahmen der Art, dass die Quantenmechanik "uber ein einzelnes System nichts aussage. ------------------------------------- S2n. Kollaps und Relativit"atstheorie ------------------------------------- Die Kopenhagener Interpretation mit ihrem instantanen Kollaps des Zustandes scheint der relativistischen Kausalitätsstruktur zu widersprechen. Das ist aber nur bei oberfl"achlicher Betrachtungsweise so. Die Argumentation (in etwas anderem Kontext) in A. Peres Classical interventions in quantum systems. II. Relativistic invariance arXiv:quant-ph/9906034 "ubertrr"agt sich auf den Kollaps. Die mikrokausale Struktur der Quantenfeldtheorie sorgt daf"ur, dass Observable, die gleichzeitig an verschiedenen Orten gemessen werden k"onnen, kommutieren, unabh"angig von der Wahl der Hyperfl"ache konstanter Zeit, solange sie nur raumartig ist. Ein lokaler Kollaps ist also stets nur ein teilweiser, da man nie ein vollst"andiges System kommmutierendfer Observablen misst. ----------------------------------------- S2o. Effektive quantenmechanische Modelle ----------------------------------------- Quantenmechanische Modelle, die komplexere experimentelle Ergebnisse reproduzieren, sind in der Regel effektive Modelle, die nicht bei den fundamentalen Gegebenheiten ansetzen, sondern ''effektive'' Objekte (Constituent Quarks, Nukleonen, Atome, Valenzelektronen, Leitungselektronen, Phononen, usw.) und empirisch zu fittende ''effektive'' Parameter enthalten. Die Praxis in den meisten Anwendungen ist, dass man aus der Quantentheorie unter vereinfachten Annahmen ein Modell herleitet, und feststellt, dass dieses Modell mit geeigneten Parametern einen wesentlich gr"osseren G"ultigkeitsbereich hat als die Herleitung erkennen l"asst. Man fittet daher die Parameter des Modells an gewisse Schl"usseldaten und verwendet dann das Modell zur Vorhersage weiterer Daten und zur Analyse der Experimente. Das ist das Vorgehen nicht nur in der Quantenoptik, sondern auch in der statistischen Physik, Atomphysik, Kernphysik und Elementarteilchen- theorie. Wenige rechnen direkt mit dem Standardmodell und den wahren Fundamentalkonstanten (die "ubrigens auch gefittet werden m"ussen). Die meisten benutzen abgeleitete effektive Theorien, Quarkmodelle, Kernschalenmodelle, Schr"odingergleichungen, Dichtefunktionale, Zustandsgleichungen, deren Parameter zuerst an die vorhandenen Daten angepasst werden. _Nur_ dank dieser Flexibilit"at ist die Quantenmechanik in der Lage, so gut wie alle experimentellen Daten theoretisch zu erkl"aren. ----------------------------------- S2p. Quantenmechanik von Molek"ulen ----------------------------------- In der Chemie (Thermodynamik, Phasengleichgewichte, chemische Reaktionen, Infrarot- Raman, und Kernspinresonanz-Spektroskopie) rechnet man grunds"atzlich auf unterster Ebene in der Born-Oppenheimer N"aherung, wo man die Wellenfunktion in psi = psi_Kerne * psi_Elektronen faktorisiert. Sowohl Kerne als auch Elektronen sind hier ununterscheidbar modelliert. Da die Kerne viel schwerer sind als die Elektronen, reagieren sie so langsam, dass sich in guter N"aherung das Elektronengleichgewicht einspielt, ohne dass sich die Kerne viel bewegt haben. Daher kann man in der adiabatischen N"aherung das Elektronenproblem abkoppeln und die Kerne dort als klassisches externes Coulomb-Potential modellieren. In der Thermodynamik der Molek"ule modelliert man auf der Ebene der Atome. Die typischen chemischen Energien sind, wenn man von Laser-induzierter Chemie und Ausnahmereaktionen absieht, so gering, dass die Elektronen praktisch stets im Grundzustand sind. Das ist das, was in typischen Quantenchemiepaketen geschieht: Man rechnet sich den Grundzustand der Elektronenwolke in einer passenden Approximation (z.B. Hartree-Fock, MP2, CC, DFP) aus und bestimmt daraus die Ladungsdichte des Molek"uls, in Abh"angigkeit von den (klassischen) Positionen x_1,...,x_N der N Kerne. Ausserdem bekommt man die Energie des Grundzustands, die aus der Sicht der Kerne die potentielle Energie V(x_1,...,x_N) der Kerne in den Positionen darstellen. Eingesetzt in die Born-Oppenheimer N"aherung und gemittelt "uber den Elektronenzustand bleibt eine Vielteilchen-Schr"odingergleichung f"ur die Wellenfunktion psi(x_1,...,x_n) der Kerne, i hquer d/dt psi = (T+V) psi (*) mit der kinetischen Energie T= sum p_i2/2m_i und dem obigen effektiven Potential. Da die Elektronen herausgemittelt wurden, handelt es sich jetzt um durch Elektronen gedresste Kerne, also Atome. (*) ist immer noch eine Gleichung f"ur ununterscheidbare Atome, die Wellenfunktion psi ist nach wie vor ununterscheidbar, und das Potential V ist symmetrisch in den Koordinaten, die zu gleichartigen Kernen geh"oren. Dummerweise kennt niemand dieses Potential (ausrechnen kann man es nur punktweise, f"ur jede Kombination von Kernkoordinaten eine Rechnung eines Elektroneneigenwertproblems), und es ist ausser f"ur ein paar Zwei- und vielleicht Dreiteilchenprobleme nicht einmal in groben Z"ugen bekannt. Ausserdem gibt es auf der Ebene von (*) noch keine Chemie. Denn die Chemie arbeitet 1. nur in einem kleinen relevanten Energiebereich, und 2. braucht sie Modelle, in denen man von Molek"ulen reden kann. Das geht nur durch Symmetriebrechung. Konkret setzt man bei einem einzelnen Molek"ul voraus, dass man schon weiss, wo die Atome ungef"ahr sitzen, was man bei einem Molek"ul im Schwerpunktsystem auch wirklich weiss. Das macht ja gerade die Chemie aus, dass sie etwas "uber den Bau der Molek"ule aussagen kann. Man kann diese Kenntnis routinem"assig "uber R"ontgenstrukturanalysen oder verschiedener Arten von Spektroskopie erhalten. Zum Beispiel bestimmt man "uber R"ontgenstruktur oder NMR (Nuclear magnetic resonance) Spektroskopie experimentell die Struktur biologischer Proteine. "Uber Proteinfaltung (das entsprechende Problem der Strukturvorhersage) habe ich vor vielen Jahren einen dicken, vielzitierten "Uberblicksartikel geschrieben (author:Neumaier protein in scholar.google.com). Damit ist die Symmetrie gebrochen. Es bleibt nur noch eine reduzierte Symmetrie, n"amlich all das, was von der Strukturformel nicht festgelegt ist. Die bestimmt das notwendige Ausmass der Symmetrisierung in der molekularen Wellenfunktion. Dass die Symmetrie hier wirklich gebrochen ist, sieht man an der fehlenden Symmetrie der in der Chemie benutzten effektiven Potentiale (potential energy surfaces = force fields). Der Hamiltonoperator H eines Molek"uls enth"alt nur noch die reduzierte Symmetrie, die sich aus der Strukturformel ergibt. W"urde man gleichartige Atome trotzdem voll symmetrisieren, so w"urde das einer Modellierung im Hilbertraum der voll symmetrisierten Wellenfunktionen entsprechen. Der Hamiltonoperator bildet diesen Raum aber nicht in sich selbst ab: Ist psi vollst"andig symmetrisiert, so ist H psi praktisch nie vollst"andig symmetrisiert, wie man ohne grosse Rechnung sieht. Ein System aus N Argonatomen im Gas hat eine reduzierte Symmetriegruppe der Ordnung N!, da keine Bindungen vorliegen und damit keine Einschr"ankung des Orts vorliegt. Ein System aus N Argonatomen im gebundenen Cluster hat dagegen nur noch eine geringe Symmetrie, die der des Clusters entspricht. F"ur N-->unendlich ergibt sich hieraus, dass im festen Argon alle Atome voll unterscheidbar sind. Ein System aus N H_2-Molek"ulen hat eine reduzierte Symmetriegruppe der Ordnung N!*2^N, da man die Molek"ule nicht unterscheiden kann und innerhalb jedes Molek"uls die beiden H_Atome nicht. Ein einzelnes Molek"ul Ameisens"aure H-CO-O-H (wobei das O des CO aus der Schreibebene herausschauen sollte) hat keine Symmetrie mehr, und ein System von N solchen Molek"ulen hat eine reduzierte Symmetriegruppe der Ordnung N!. So kommen also die Symmetriefaktoren zustande, und entsprechend dieser reduzierten Symmetrie m"ussen die Wellenfunktionen symmetrisiert werden. In der konkreten Arbeit sucht man also das Potential in einer Umgebung einer festen Referenzlage (oder im Fall chemischer Reaktionen mehrerer solcher) zu beschreiben, und kann durch eine beschr"ankte Zahl von ab initio Rechnungen (d.h. der L"osung des entsprechenden Elektroneneigenwertproblems) und multivariaten Datenfits ein im interessierenden Bereich brauchbares effektives Potential bekommen. Daraus bekommt man mit dem bekannten quantenmechanischen Instrumentarium die Gleichgewichtsstrukturen, Spektren, freie Energien, Ladungsdichten, Reaktionsraten, usw., die man mit dem Experiment vergleichen kann. F"ur die Interpretation von Ladungsdichten und die resultierende operative Vorstellung der Chemiker von Atomen in Molek"ulen siehe z.B. den Enzyklop"adie-Artikel R.F.W. Bader Atoms in Molecules http://59.77.33.35/non-cgi/usrd8wqiernb/5/20/Atoms20in20Molec_1193580192.pdf oder Baders Webseiten http://www.chemistry.mcmaster.ca/faculty/bader/aim/aim_0.html ----------------------------------------- S2q. Der Hilbertraum des Wasserstoffgases ----------------------------------------- Der Hamiltonoperator eines Wasserstoffmolek"uls H_2 ist H_1(p,q) = p_1^2/2m +p_2^2/2m +V(|q_1-q_2|), wobei p=(p_1,p_2) und q=(q_1,q_2) beide 6-dimensional sind und V(r) ein 1-dimensionales Potential ist mit einem Pol bei r=0, einem Minimum mit V(r_0)<0 beim Gleichgewichtsabstand r_0 der Atome eines Wasserstoffmolek"uls, und V(r) --> 0 f"ur r --> unendlich. Der Ein-Molek"ul-Hilbertraum ist das symmetrisierte Tensorprodukt V_1 = W_1 v W_1 des Hilbertraums W_1=L^2(R^3) des Wasserstoffatoms, wenn wir Spin ignorieren. (v ist das symmetrisierte Tensorproduktzeichen.) Der Hamiltonoperator eines aus N Wasserstoffmolek"ulen H_2 bestehenden Gases ist H_N = sum_{k=1}^N H_1(p^k,q^k), wo p^k=(p_1^k,p_2^k), q^k=(q_1^k,q_2^k) die Koordinaten des k-ten Molek"uls sind. Er operiert auf dem N-Molek"ule-Hilbertraum V_N = V_1 v ... v V_1 (N Faktoren) der bez"uglich der q^k symmetrisierten Wellenfunktionen. Aus der entsprechenden Darstellung rechnet man die freie Energie von gasf"ormigem Wasserstoff korrekt aus. Die bez"uglich aller 2N H-Atome symmetrisierten Wellenfunktionen liegen im 2N-Atome-Hilbertraum W_2N = W_1 v ... v W_1 (2N Faktoren). H_N und W_2N sind physikalisch nicht "aquivalente Hilbertr"aume. W_2N ist nur ein winziger Teilraum von V_N. Der Hamiltonoperator H_N bildet diesen Raum nicht in sich selbst ab: Ist psi vollst"andig symmetrisiert, also psi aus W_2N, so ist H_N psi praktisch nie vollst"andig symmetrisiert, wie man ohne grosse Rechnung sieht. Wellenfunktionen von teilweise oder ganz in Molek"ulen gebundenen gleichartigen Atomen d"urfen also nicht vollst"andig symmetrisiert werden, sondern nur soweit, wie es die Symmetrie der vorliegenden Bindungen erlaubt. Darstellungstheoretisch ist das ein gewaltiger Unterschied, der sich auch beim Rechnen bemerkbar macht! Die Symmetriegruppe ist von Sym(2N) auf 2^N Sym(N) gebrochen, und entsprechend reduzieren sich die Symmetriefaktoren. ------------------------ S2r. Genauigkeit der QED ------------------------ QED in der Form der Dirac-Fock-Approximation und CI- , MCHF- oder CC-Rechnung ergibt z.B. (bezogen auf chemische experimentelle Daten) auf 0.001% genaue Energielevels f"ur viele Atome und kleine Molek"ule. Selbst f"ur schwere Atome ergeben sich gute Werte. Auf dem GSI Website gibt es z.B. die folgende Seite: Probing Quantum Electrodynamics in Strong Fields Lamb-Shift experiments on high-Z one-electron ions http://www-ap.gsi.de/Thomas/ap_html_research/gsi-qed_2.htm Dort findet man die folgenden Angaben aus dem Jahr 2003: Grundzustandsenergie (= Bindungs/Ionisierungsenergie) eines Elektrons um einen Urankern: 131816 eV Lamb Shift eines Elektrons um einen Urankern: 464 eV Experimentelle Genauigkeit 2003: +- 13 eV (2.8% des Shifts, 0.01% des Energieeigenwerts) Theoretische Genauigkeit der Vorhersagen: +- 1 eV (0.2% des Shifts, 0.0008% des Energieeigenwerts) Die Theorie steht also gut im Rennen. Abweichungen zum Experiment werden nicht berichtet. Probleme mit N"aherungsverfahren in der QED ergeben sich allgemein nur in starken Feldern. Uran hat ein wesentlich st"arkeres Zentralfeld als die kleinen Atome. Damit sind die relativistischen St"orungen, die ber"ucksichtigt werden m"ussen, mit einfacher St"orungstheorie nicht mehr zuverl"assig berechenbar. Auch ist der magnetische Formfaktor des Kerns hier schon von Bedeutung und nur ungenau bekannt. Ein Grossteil der Chemie spielt sich aber mit Atomen der Kernladungszahl Z<=8 ab, wo die Kr"afte und die resultierenden Geschwindigkeiten wesentlich kleiner sind. Die Verh"altnisse sind daher viel "ubersichtlicher, und mit einfacher St"orungstheorie ist eine noch h"ohere Genauigkeit erreichbar. ------------------------------ S3a. Beobachter, Raum und Zeit ------------------------------ Ein Beobachter im Sinn der speziellen Relativit"atstheorie hat einen zeitartigen 4-Impuls p und damit eine positive Masse m := sqrt(-p^2)/c, wo (\ = fett, Signatur -+++, p^2 = p dot p) p^2 := \p^2 - p_0^2. Das hat zur Folge, dass ein Beobachter, der zur Zeit t im Punkt x(t) ist, den Raum R(t) := {x | p dot x = p dot x(t)} als seinen affinen Ortsraum (Eigenraum) zur Zeit t erlebt. Im Lauf der Zeit sieht er die ganze Schar der parallelen R"aume R_tau := {x | p dot x = tau}. Genauer sieht ein gleichf"ormig bewegter Beobachter den Raum R_tau zur Zeit t := t0 + (p dot x0 - tau)/mc^2. wenn er zur Zeit t=t0 im Punkt x0 ist. Da p zeitartig ist, ist n"amlich (x-y)^2 >=0 f"ur x,y in R, also ist R(t) ein 3-dimensionaler Euklidischer Raum mit Abstand d(x,y) = sqrt((x-y)^2). F"ur einen sich gleichf"ormig bewegender Beobachter (p = const) ist die 4-Geschwindigkeit definitionsgem"ass konstant gleich xdot(t) = v := p/m, normiert zu v^2 = p^2/m^2 = -(mc)^2/m^2 = -c^2, also ist seine Weltlinie durch x(t) = x0 + (t-t0) v = x0 + (t-t0)/m p gegeben. Wegen p dot v = p dot p/m = p^2/m = -(mc)^2/m = -mc^2 findet man tau(t) = p dot x(t) = p dot x0 + (t-t0) p dot v = p dot x0 -mc^2 (t-t0), also ist seine Zeit gegeben durch t = t0 + (p dot x0 - tau)/mc^2. Man kann statt dessen die Weltlinie einfacher durch x(s) = x0 + s p, parametrisieren, wo x0 ein fixer Punkt auf der Weltlinie ist und s ein Parameter. Wir wollen mal x0 das 'Hier' und s den 'Nu' (englisch 'instant') nennen. Der durch s=0 definierte Zeitpunkt t0 ist dann das 'Jetzt'. Damit bekommt man zwischen Nu s und Zeit t die Beziehung t = t0 + s m. x0 und t0 haben keine absolute Bedeutung, da Ort und Zeit nicht absolut gemessen werden k"onnen, sondern nur Orts- und Zeitdifferenzen. Der Nu misst hingegen vom Bezugspunkt (dem 'hier und jetzt') aus und macht f"ur jeden Beobachter Sinn, der den Bezugspunkt kennt. Ein auf einem Lichstrahl plazierter ''Beobachter'' ist aber kein Beobachter mehr im oben pr"zisierten Sinn. Das Absprechen des Beobachterstatus hat schon ganz praktische Gr"unde. Z.B. muss ein auf einem Lichstrahl plazierter ''Beobachter'' masselos sein, sonst f"allt er sofort vom ihn bef"ordernden Photon herunter. Der ''Beobachter'' k"onnte also h"ochstens das Photon selbst sein. In welchen Sinn es aber ohne innere Struktur beobachten k"onnen sollte (es kann keine Messinstrumente, Aufzeichnungen, und "Ahnliches bei sich haben), bleibt im Dunkeln... Man kann aber durchaus auf der rein mathematischen Ebene diskutieren, wie die Welt von einem Photon wahrgenommen w"urde, wenn es beobachten k"onnte... Ein auf einem Lichstrahl plaziertes, sich also gleichf"ormig bewegendes und masseloses Photon erlebt die Welt total anders als ein 'klassischer' Beobachter!!! F"ur ein Photon ist m=0 und p daher lichtartig, p^2 = -(mc)^2 = 0. Eine 4-Geschwindigkeit l"asst sich nicht mehr definieren (Division durch Null). Man kann die Weltlinie des Photons (d.h. den Lichtstrahl) aber nach wie vor durch den Nu s parametrisieren, x(s) = x_0 + s p. Die Beziehung zwischen Nu und Zeit wird zu t = t0 + s m = t0 unabh"angig von s. Das heisst, das Photon erlebt zwar den Nu, aber keine Zeit. Immerhin erlebt ein Photon den Raum, aber ebenfalls auf seltsame Weise: Sein affiner Ortsraum R(s) := {x | p dot x = p dot x(s)} ist ein f"ur allemal fix, R(s) = R_tau, tau unabh"angig von s (aber abh"angig von der Weltlinie als Ganzes), da wegen p dot p = 0 auch p dot x(s) = p dot (x_0 + s p) = p dot x_0 von s unabh"angig ist. Eigentlich kein Wunder - da f"ur ein Photon die Zeit stehenbleibt, lernt es von der 4-dimensionalen Raumzeit nur drei Dimensionen kennen! Sein Ortsraum hat ausserdem einige Merkw"urdigkeiten: Wegen p dot p = 0 ist die Metrik degeneriert und nur noch semidefinit. Der Abstand d(x,y) = sqrt((x-y)^2). hat die Signatur ++0 und verschwindet f"ur alle Punkte x,y, deren Verbindungsstrecke parallel zur Weltlinie ist. Das Photon kann also nur zwei Raumdimensionen ausmessen, die dritte (zum Impuls parallele) ist ''gleichortig'', im selben Sinn wie in Newtons Raumzeit verschiedene Orte gleichzeitig sind. Der 3-dimensionale Ortsraum hat also zwei raumartige Dimensionen und eine lichtartige, ist also sozusagen eine 3-dimensionale 'Raumlicht' (statt der 4-dimensionalen Raumzeit des massiven Beobachters.) Insbesondere befindet sich das Photon immer am 'gleichen' Ort in diesem metrischen Sinn: Es bewegt sich n"amlich mit fortschreitendem Nu auf der in seinem 3-dimensionalen affinen Ortsraum befindlichen Weltlinie; aber die Punkte dieser Weltlinie haben alle den Abstand null voneinander. (Man nennt das die transversale Natur des Photons.) Ein echter (massiver) Beobachter l"auft dagegen stets senkrecht aus seinem aktuellen Raum hinaus und in den infinitesimal daneben liegenden Raum hinein. Interessant ist auch, was zwei (massive) Beobachter, die nicht im selben Boot (d.h. auf derselben Weltlinie) sitzen, erleben. Die beiden von ihnen wahrgenommenen R"aume haben (generisch) nur zwei Dimensionen gemeinsam, nicht drei; sie leben daher in verschiedenen Welten. Kein Wunder, dass es unter uns Menschen so viele Missverst"andnisse gibt, weil jeder seine eigene Welt hat !-) Man hat also eine 4-dimensionale Version des Ph"anomens der Perspektive. Eine freistehende Wand kann ganz breit oder ganz schmal aussehen, je nachdem von wo aus man drauf schaut. Nat"urlich "andert sich die Wand nicht durchs Draufschauen, aber es sieht so aus. Das gibt den Lorentzkontraktionen eine anschauliche Interpretation. ---------------------------------------- S3b. Was heisst 'homogen' und 'isotrop'? ---------------------------------------- Homogen = man kann nicht unterscheiden, wo man ist, da die Welt von allen Punkten aus exakt gleich aussieht. Auf mathematischer Ebene heisst das, dass es zu je zwei Raumzeitpunkten x und y einen Diffeomorphismus gibt, der x auf y abbildet und alle vorhandenen Felder unver"andert l"asst. Das bedeutet insbesondere, dass die Materie (in der homogenen Idealisierung) gleichm"assig im All verschmiert ist. Sonst k"onnte man einen materiell besetzten Punkt (z.B. eine Sonne) von einem leeren Punkt (z.B. irgenwo zwischen Erde und Mond) unterscheiden, was im homogenen Fall definitionsgem"ass nicht m"oglich ist. Isotrop = man kann nicht unterscheiden, in welche Richtung man schaut, weil es in jeder Richtung gleich aussieht. Auf mathematischer Ebene heisst das, dass es zu je zwei Richtungen u und v (Vektoren der L"ange 1) einen Diffeomorphismus gibt, der den Ort des Beobachters festl"asst, u in v "uberf"uhrt und alle vorhandenen Felder unver"andert l"asst. Also wie es etwa ein intelligenter Punkt mitten im Meer bei Windstille und gleichm"assig bedeckten Himmel erleben w"urde. Offensichtlich ist das ebenfalls eine Idealisierung, die darauf beruht, dass man nicht so genau hinschaut. Das hat daf"ur den Vorteil, dass man etwas rechnen kann - ohne diese Vereinfachung w"are die Kosmologie hoffnungslos kompliziert. Zum Gl"uck ist die Natur so aufgebaut, dass das grobe Hinsehen alles vereinfacht... --------------------------------------------- S3c. Wie homogen und isotrop ist das Weltall? --------------------------------------------- Wie im Abschnitt ''Was heisst 'homogen' und 'isotrop'?'' beschrieben, kann das Universum nicht v"ollig homogen und isotrop sein, da man sonst nicht zwischen leeren und materiebesetzten Teilen des Universums unterscheiden k"onnte. Innerhalb eines einzelnen Galaxienhaufens ist das Universum offensichtlich weder isotrop noch homogen, da ein Beobachter sich dort an den vorhandenen Galaxien orientieren kann und ein kanonisches Koordinatensystem - etwa an Hand der Entfernungen zu ausgezeichneten Galaxien(schwerpunkten) - bilden kann. Andrerseits ist das reale Universum approximativ ein Robertson-Walker-Friedmann-Universum - aber erst in einem Massstab betrachtet, in denen Galaxienhaufen als punktf"ormig angesehen werden k"onnen, und in einer Genauigkeit, in der man die entstehende Punktwolke als gleichf"ormige ideale Fl"ussigkeit betrachten kann. Man beobachtet systematische Rotverschiebung n"amlich nur bei den _entfernten_ Galaxien, die nicht mehr zum Virgo Supercluster, in dem unser Planetenystem sitzt liegen. Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Supercluster Wenn man das nicht beachtet, kommt man leicht zu unsinnigen Vorstellungen. Da es allerdings extrem viele (vermutlich ca. 10^7) solcher Haufen gibt, kann man sie n"aherungsweise als gleichf"ormige Verteilung ansehen, und die ist (bis auf relative Abweichungen von ca. 0.002%) homogen und isotrop, und war es seit der Zeit der Entkopplung der Hintergrundstrahlung, wie man auf Grund von Messungen der Hintergrundstrahlung weiss. Nur die Dichte dieser Wolke von Haufen verringert sich mit der Zeit, da auf Grund der Expansion des Universums alle Abst"ande ebenfalls im statistischen Mittel mit der Zeit immer gr"osser wurden. Kosmologische Modelle beschreiben das Universum daher in der Regel als ideale Fl"ussigkeit, die sich mit Gravitationstheorie und relativistischer Hydrodynamik beschreiben l"asst. Diese Theorie vernachl"assigt allerdings die k"ornige Detailstruktur des Weltalls und die dadurch verursachte Dissipation. Wie weit sich das auf unsere R"uckschl"usse auf das ganz fr"uhe Universum auswirkt, entzieht sich meiner Kenntnis. ------------------------------------------------------- S3d. Wie soll man sich den gekr"ummten Raum vorstellen? ------------------------------------------------------- Wer sich ein mechanisches Spannungsfeld in einem durch "aussere oder innere Kr"afte verformten elastischen K"orper vorstellen kann, hat schon eine Vorstellung von dem, was Physiker ein symmetrisches Tensorfeld nennen, in diesem Fall vom Spannungstensor. In der Elastizit"atstheorie geh"ort dazu ein weiteres symmetrisches Tensorfeld, der Verschiebungstensor, der angibt, wie sehr der K"orper im Vergleich zur Gleichgewichtslage verformt ist. Der gekr"ummte Raum ist einfach ein symmetrisches Tensorfeld im Raum, analog zum Verschiebungstensor. Das Weltall wird sozusagen als elastischer K"orper betrachtet, der von den vorhandenen Massen gegen"uber der flachen (Newtonschen) Gleichgewichtslage verformt ist. In der Regel nur ganz wenig, ausser in der N"ahe von schwarzen L"ochern oder tief im Innern gen"ugend schwerer Sterne. Damit hat man eine klare Vorstellung, die nicht tr"ugt - jedenfalls nicht, solange topologische Komplikationen keine Rolle spielen, der Raum also zu R^3 diffeomorph ist. Als flacher Vergleichsraum kann der Tangentialraum des Beobachters dienen, oder der eines daraus abgeleiteten Bezugssystems; f"ur astronomische Beobachtungen z.B. den Tangentialraum der Sonne. Die Subjektivit"at, die in der Wahl des flachen Bezugssystems liegt, ist analog zur Subjektivit"at in der Wahl des flachen Koordinatensystems f"ur die Gleichgewichtsform eines elastischen K"orpers. Man kann das Verschiebungsfeld des gekr"ummten Raums messen, indem man die Abweichungen von der Newtonschen Theorie misst und an die Formeln der Post-Newton-N"aherung der allgemeinen Relativit"atstheorie fittet. Man schaut sich also die Dynamik von messbaren Objekten an und misst ihre scheinbare Trajektorien. Das gibt genug Daten, um Abweichungen von der Newtonschen Theorie feststellen zu k"onnen. So waren etwa die Merkuranomalien schon lange vor Einstein gemessen worden. Ein mit der Messgenauigkeit konsistenter Fit des Planetensystems an die Newtonschen Bewegungsgleichungen war wegen dieser Anomalien schon damals nicht m"oglich; ein Fit an die Bewegungsgleichungen in einer Schwarzschildmetrik erwies sich dagegen als konsistent. Die scheinbaren Trajektorien enthalten also Information "uber die Kr"ummung. In der allgemeinen Relativit"atstheorie ist allerdings die Metrik ein 4-dimensionaler symmetrischer Tensor, und die Raumkr"ummung nur der Raumteil Teil dieses Tensors. Der Rest wird in der Lapse-Funktion und dem Shift-Vektor kodiert (s. etwa http://www.tat.physik.uni-tuebingen.de/~lehle/diplom/node9.html ), die nat"urlich auch in die Dynamik eingehen und mitgefittet werden m"ussen. ---------------------------- S3e. Universum ohne Urknall? ---------------------------- In der Tradition der Astrophysik spricht man davon, dass als Folge des Urknalls und der resultierenden Expansion des Weltalls der Raum zwischen den Galaxienhaufen immer leerer wird, sozusagen, weil sich letztere immer weiter voneinander entfernen. Der Raum ist immer expandiert, nach den g"angigen, als gesichert geltenden Vorstellungen. In Wirklichkeit wissen wir nat"urlich "uber die ferne Vergangenheit nur wenig und extrapolieren mit Hilfe von Modellen, die wir an heutigen Daten mehr oder weniger gut "uberpr"ufen k"onnen. Die Gr"osse des Weltalls ist durchaus bestimmbar relativ zu den Massst"aben, die wir hier auf der Erde definiert haben. Und wenn man diese als konstant betrachtet, was man nach der ART darf (aber nicht muss) und was wir per Konvention tun, dann w"achst das Weltall st"andig. Und das nennen wir die Expansion. Man sagt, man 'weiss', wenn sich alles konsistent in einer einzigen Theorie interpretieren l"asst. Und das ist hier der Fall - jedenfalls, wenn man die ersten Bruchteile einer Sekunde ausser Acht l"asst. Man k"onnte allerdings ebenso konsistent sagen, dass der Raum schon immer gleich gross war und sich nur unsere Massst"abe immer weiter verkleinern. Im Sinne der ART ist das nur eine Koordinatentransformation (Diffeomorphismus). In diesem Bild schrumpfen dann die Galaxienhaufen und alles, was darinnen ist, entsprechend mit der Zeit; in der Vergangenheit waren die Massst"abe entsprechend riesig. Man kann nat"urlich auch die Zeit beliebig monoton transformieren, ist ebenfalls nur ein Diffeomorphismus, und damit den Urknall auf t --> minus unendlich verschieben. Damit hat man ein plausibles, konsistentes Bild ohne Urknall. Ist nat"urlich weniger mediengerecht und darum nicht beliebt. Ausserdem macht das Rechnen in einem solchen Koordinatensystem etwas mehr Arbeit. Es befreit einen aber nicht davon, dass auf der mathematischen Ebene alle Weltlinien nach endlicher Eigenzeit in die Vergangenheit eine Singularit"at haben. Aber diese Weltlinien lassen sich physikalisch nicht beliebig weit zur"uckverfolgen, da eine physikalische Weltlinie physikalisch identifizierbare Einzelobjekte erfordert, die es im fr"uhen Universum nicht geben konnte. ----------------------------- S3h. Das Alter des Universums ----------------------------- Wie kann man angesichts der Relativit"atstheorie von einem wohldefinierten ''Alter des Universums'' reden? Obwohl die Allgemeine Relativit"atstheorie invariant unter ist, ist es die Natur nicht. Sie hat ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, n"amlich das Ruhsystem der Materie, die in allen kosmologischen Modellen als homogene und isotrope Fl"ussigkeit betrachtet wird. Dieses Koordinatensystem ist bis auf eine r"aumliche Drehung durch die Wahl des Ursprungs ('hier und jetzt') eindeutig bestimmt. Um von Alter zu sprechen, muss man den Raum-Zeit-Punkt festlegen, von dem aus man das Alter misst, Dies ist beobachterabh"angig, da ein Beobachter, der vor 500 Millionen Jahren gelebt hat, nat"urlich ein anderes Alter ermittelt als wir heute. Die Ursprungs- und Rotationsabh"angigkeit des Koordinatensystems hat auf Zeitdifferenzen (also Alter) keinen Einfluss. Damit ist das Alter des Universums (und ebenso das 'jetzt' - also eine raumartige Hyperfl"ache, die die gegenw"artigen Ereignisse definiert) durch Ort und Zeit des Beobachters festgelegt. Das hat nichts Subjektives an sich. Man kann das Alter des Universums relativ zu einem Raumzeitpunkt auch koordinatenunabh"angig definieren als die L"ange der l"angsten zeitartigen, in die Vergangenheit gerichteten Geod"ate. Das Ergebnis ist dasselbe; die Geod"ate endet in einer Singuarit"at, die man gew"ohnlich 'den Urknall' nennt. In einem r"aumlich isotropen Modell des Universums ("ublicherweise dem Robertson-Walker-Modell) ist das Alter des Universums die ausgezeichnete Zeitkoordinate. F"ur die Astronomen ist der Ursprung konventionell der Mittelpunkt der Erde (oder unserer Galaxis) zum Zeitpunkt 01.01.1900 oder ein "ahnliches Datum; f"ur kosmologische Betrachtungen kommt es auf ein paar hundert Jahre mehr oder weniger und auf ein paar Hundert Millionen Lichtjahre nicht an, und die Angaben sind im Wesentlichen dieselben, ob wir den Beobachter als im konventionellen Ursprung befindlich annehmen, oder am Ort und zur Zeit, wo die Frage 'Wie alt ist das Universum?' gestellt wird. F"ur die verwandte Frage, wie man zur Behauptung kommt, wir s"ahen den Andromedanebel heute so, wie er vor 2.5 Millionen Jahren in Wirklichkeit war (obwohl diese Aussage keinen relativistisch kovarianten Sinn macht) siehe das theoretical physics FAQ auf http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physics-faq.txt unter dem Thema ''What is time?'' ---------------------------------- S3g. Woraus besteht das Universum? ---------------------------------- Die Bestandteile des Universums sind gerade die Objekte (samt ihren Eigenschaften), die das Standardmodell und die allgemeine Relativit"atstheorie behandeln. Die Information dazu findet man in B"uchern "uber Standardmodell und Relativit"atstheorie. Als (anspruchsvolles) "Uberblicksbuch empfehle ich das Buch PDB Collins, AD Martin, EJ Squires Particle physics and cosmology Wiley, New York 1989 Es gibt einen sch"onen "Uberblick, behandelt auch die offenen Fragen und Alternativmodelle, und hat genug Referenzen zur Vertiefung. Man sollte aber schon ein bisschen Quantenfeldtheorie und Relativit"atstheorie gesehen haben... Interssiert man sich nur f"ur die Welt im Grossen (so ab Sterngr"osse), und ignoriert man elektromagnetische Felder (die Sterne i.A. haben), so kann man das Standardmodell praktisch vergessen (ausser f"ur das ganz fr"uhe Universum), und alles wird vergleichsweise einfach. Aber etwas Differentalgeometrie muss man dazu schon zu lernen bereit sein. (Die fehlende Mathematik kann man sich aus B"uchern aneignen. Ohne Mathematik ist es wirklich so gut wie unm"oglich, die moderne Physik zu verstehen. Man kann nat"urlich einfach Hawkings Kleine Geschichte der Zeit oder "Ahnliches lesen; das gibt qualitative Einsicht, soweit sie ohne Mathematik verst"andlich ist. Aber das ist doch eine grobe Vereinfachung dessen, was man verstehn kann, wenn man sich um die mathematischen Hintergr"unde k"ummert.) Auf dieser Ebene (Sterne und gr"osseres, ohne elektromagnetische Feinheiten) besteht die Welt aus einer 4-dimensionalen Mannigfaltigkeit von (Raumzeit-)Punkten, einem Materiefeld, beschrieben durch einen Energie-Impulstensor, ein Feld mit 10 Komponenten und aus einem Gravitationsfeld, beschrieben durch die Metrik, ebenfalls ein Feld mit 10 Komponenten. Das ist alles. Ein Feld mit n Komponenten ordnet _jedem_ Punkt n Zahlen zu (jedenfalls, wenn man sich mal f"ur ein Koordinatensystem entschieden hat). Dann kommen als Konsistenzbedingungen noch ein paar sogen. Feldgleichungen dazu, die insbesondere die Vergangenheit und Zukunft aus der Gegenwart vorherzusagen erlauben. Um die Felder wirklich zu 'kennen', braucht man dann nat"urlich jede Menge Beobachtungsdaten. Die besorgt die Astronomie. Sterne sind einfach Regionen der Raumzeit, in denen der Energie-Impuls-Tensor signifikant von Null verschioeden ist. Koordinaten sind allerdings subjektive Gr"ossen. Ein Stern 'hat' Koordinaten in den Augen dessen, der das Koordinatensystem definiert hat. "Andert man das letztere, "andern sich auch die Koordinaten. Objektiv sind nur die raumzeitlichen Abst"ande zwischen Teilchen, aber keine Koordinaten. Um Koordinaten wenigstens einigermassen objektiv zu definieren, muss man (subjektiv) 4 Positionen, also ausgezeichnete Sterne w"ahlen, und diese dazu benutzen, wie im GPS (Global Positioning System, Details siehe http://www.kowoma.de/gps/) andere Punkte durch 4 relative Koordinaten (da unser universum 4-dimensional ist) zu bezeichnen. Differentialgeometrisch nemnnt man das, was sich so ergibt, eine Karte, die wenigstens einen Teil des Universums mit Koordinaten versieht. ------------------------------- S3h. Ist die Welt determiniert? ------------------------------- Wir werden es wohl nie entscheiden k"onnen; es k"onnte aber durchaus sein, und mir erscheint es sehr wahrscheinlich, trotz der Quantenmechanik, die dagegen gew"ohnlich ins Feld gef"uhrt wird. (Warum Quantenargumente nicht ziehen, siehe die Diskussion der Thermischen Interpretation unten ab S10.) Determiniert heisst in der naturwissenschaftlichen Terminologie, dass die _vollst"andige_ Kenntnis der Gegenwart die vollst"andige Kenntnis der Vergangenheit und Zukunft impliziert. Die Gegenwart vollst"andig zu kennen ist uns Menschen aber verwehrt. Wir kennen einzeln vielleicht ein paar Gigabyte an Informationen "uber die Welt und kollektiv vielleicht ein paar Milliarden Gigabytes an unterschiedlicher, zuverl"assiger Information. Daran wird sich auch in der Zukunft nichts Gravierendes "andern; vielleicht ein Faktor 1000 oder 100000, wenn man grossz"ugig ist. Aber schon die genaue Beschreibung des Abstands von zwei Punkten enth"alt unendlich viel Information, die uns mangels exakter Messbarkeit nicht verf"ugbar ist. Vom genauen Zustand der ganzen Welt (un ihrer mikroskopischen Details) ganz zu schweigen... Dass diese Unkenntnis relevant ist, zeigen schon winzige Modellwelten: Ein 3-dimensionales chaotisches System - wie das den Lorentz-Attraktor bestimmende - ist determiniert im gebr"auchlichen Sinn des Wortes, n"amlich dass die Anfangsbedingungen - sechs reelle Zahlen -, wenn exakt bekannt, den Zustand zu jeder beliebigen Zeit festlegen. Da wir aber nur mit endlicher Genauigkeit messen k"onnen, haben wir nie genug Information "uber das System, um es exakt zu kennen (auch nicht nach beliebig langer Zeit!), und jegliche Ungenauigkeit macht die Vorhersage der Zukunft nach relativ kurzer Zeit unm"oglich. Dasselbe gilt auch f"ur die Vergangenheit, auch diese ist aus gegebenen Bedingungen in der Gegenwart nach relativ kurzer Zeit unm"oglich vorherzusagen. Und auch ein simulierender idealer Computer mit beschr"ankter Speicherkapazit"at macht nach kurzer Zeit riesige Vorhersagefehler! Was f"ur kleine chaotische Systeme wie das Lorentz System gilt, gilt erst recht f"ur grosse chaotische Systeme wie unsere Welt. Wir wissen z.B. "uber den Zustand der Welt am 09.02.1009 nur eine extrem winzige Menge von Bits, im Vergleich zu unserer Kenntnis vom Zustand heute, am 09.02.2009; allerdings wegen vorhandener schriftlicher Aufzeichnungen, denen wir vertrauen, ein klein wenig mehr als "uber den Zustand der Welt am 09.02.3009. Und wenn wir - statt alten Aufzeichnungen einfach zu vertrauen - an die Geschichte denselben strengen Massstab stellen w"urden wie an die Naturwissenschaft, w"are der Unterschied im Wissen "uber den 09.02.1009 und den 09.02.3009 kaum der Rede wert. Dass wir die Vergangenheit als determiniert und die Zukunft als nicht determiniert betrachten wollen ist einfach eine Folge der Tatsache, dass unser (individuelles und kollektives) Ged"achtnis so gebaut ist, dass wir ein paar f"ur uns markante Bits aus der Vergangenheit in die Gegenwart retten, aber das Markante der Zukunft uns "uberrascht - wenn etwas vorhersehbar ist, betrachten wir es ja als Gesetz, nicht als markantes Ereignis. Das Wesen der Welt h"angt aber nicht vom Denkverm"ogen von ein paar intelligente St"aubchen in ihr ab. Es gibt also keinen stichhaltigen Grund, die Vergangenheit f"ur besser determiniert als die Zukunft zu halten. Ist also die Zukunft nicht determiniert, so auch die Vergangenheit nicht. Ist aber die Vergangenheit determiniert, wof"ur man gute Gr"unde ins Feld f"uhren kann, so kann man mit demselben Recht die Zukunft f"ur determiniert halten. --------------------------------------------------- S3i. Diffeomorphismeninvariante klassische Mechanik --------------------------------------------------- Man darf die Noether-Erhaltungsgr"osse eines mechanischen Systems nicht kritiklos mit der Energie in eins setzen. In der traditionellen Lagrange-Formulierung der allgemeinen Relativit"atstheorie (ART) ist der Noether-Energieimpulstensor des Systems aus Gravitation+Materie ist identisch Null. Noether-Energie bleibt insofern erhalten. Aber mit unserer Vorstellung von Energieerhaltung hat das nichts mehr zu tun, da die Noether-Energie auch nicht fliesst: der Strom ist auch identisch Null. Was wir unter Energie verstehn, ist ein Raumintegral "uber den Energieimpulstensor der Materie allein, und daf"ur gibt es keinen Erhaltungssatz in Integralform. Etwas Analoges gilt auch in der Newtonschen Mechanik von N-Teilchensystemen. Hier ist die relevanten Mannigfaltigkeit 1-dimensional (Zeit alleine), und Diffeomorphismen sind stetig differenzierbaren bijektiven Transformation der Zeit, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Der Raum besteht sozusagen nur aus den in der Wirkung betrachteten N Massenpunkten; die Raumzeit besteht aus der Vereinigung der Weltlinien aller Massenpunkte. Das vereinfacht die Theorie ungemein. Nehmen wir z.B. die Lagrangefunktion L(q,qdot,t) := U(q(t)) qdot(t), wo q ein n-dimensionaler Spaltenvektor und U ein n-dimensionaler Zeilenvektoren ist. Die Wirkung S = integral L(q,qdot,t) dt ist diffeomorphismeninvariant, d.h., die Wirkung "andert sich nicht unter einem beliebigen Diffeomorphismus. Nachzurechnen mit der Substitutionsregel. Es passiert daher genau dasselbe wie in der ART: Die Noether-Energie ist identisch null und hat keinerlei physikalischen Inhalt. Denn man kann ein beliebiges Hamiltonsches System xdot=H_p(p,x) , pdot=-H_x(p,x) in die obige Form bringen, indem man q^T = (x^T,p^T,s), U(q) = (p^T,0^T,-H(p,x)) w"ahlt. H ist die physikalisch relevante Energie. Man nennt so etwas einen trivialen Erhaltungssatz... F"ur eine sorgf"altige Diskussion siehe etwa PJ Olver Applications of Lie groups to differential equations Springer, New York 1993 Section 4.3. Nebenbei bemerkt, kann man die ART diskretisieren, indem man endlich viele Punkte x_1,...x_n in R^3 nimmt, die Felder nur an diesen Punkten betrachtet, und r"aumliche Ableitungen durch die Ableitung einer geeigneten Interpolationsfunktion an diesen Punkten ersetzt. Aus einem 4D Feld Phi(x,t) wird dann ein zeitabh"angiger Vektor phi(t) mit Komponenten phi_k(t)=Phi(x_k,t). Der Raum hat in dieser Approximation keine kontinuierliche Struktur mehr, sondern besteht nur noch aus endlich vielen Punkten. Die Raumzeit also aus endlich vielen Geraden, die eine unzusammenh"angende 1-dimensionale Mannigfaltigkeit bilden. Im Sinn der Differentialgeometrie ist die Dimension die Dimension des Tangentialraums. Und der hat in einer so diskretisierten Raumzeit nur noch eine zeitliche Dimension, da r"aumlich keine infinitesimalen Bewegungen mehr m"oglich sind. F"ur quantitative Berechnungen braucht man nat"urlich numerisch ad"aquate Diskretisierungen und benutzt z.B. adaptive Gitter. Aber obige Primitivdiskretisierung w"urde (f"ur N--> unendlich) korrekte Approximationen liefern, wenn man die Metrik entsprechend diskretisiert (etwa in harmonischen Koordinaten) und Finite Elemente Verfahren f"ur hyperbolische Differentialgleichungen verwendet, um die kausale Struktur korrekt zu repr"asentieren. ------------------------------------------ S4a. Sind alle dynamischen Systeme linear? ------------------------------------------ Auf den ersten Blick nicht, da es dynamische Syteme gibt, die nicht linear sind. Trotzdem gibt es f"ur jedes nichtlineare dynamische System dy/dt = F(y) ein "aquivalentes lineares System in einem _viel_ gr"osseren Raum, n"amlich im Raum aller Funktionen f(y). Es ist n"amlich df(y)/dt = f'(y) dy/dt = f'(y) F(y)= Df(y) mit dem linearen Differentialoperator D = F(y)^T Nabla. Dieses vergr"osserte lineare System ist durchaus n"utzlich, da man damit eine Spektralanalyse des nichtlinearen Systems vornehmen kann, "ahnlich wie in der Quantenmechanik. ------------------------ S5a. Was sind Anomalien? ------------------------ Eine Anomalie in der Qunatenfeldtheorie ist, wenn das zur Definition des Pfadintegrals n"otige Mass notwendig weniger Symmetrien hat als die Wirkung im Integranden. Das "aussert sich in zus"atzlichen Schwinger-Termen in den Kommutatorrelationen. (Daher hat das Kind seinen Namen - wenn keine Anomalien da ist, dieht hier alles 'normal' aus!) Diese werden "ubersichtlich durch kohomologische Begriffe klassifiziert. Man braucht also Kenntnisse "uber Darstellungen von Lie-Algebren und elementare Kohomologietheorie. Verschiedene Arbeiten von Jackiw (siehe http://scholar.google.com) geben einen guten "Uberblick. ------------------------- S6a. Gibt es Kugelblitze? ------------------------- Vermutlich schon, wenn auch selten. Das Ph"anomen findet man sch"on beschrieben in http://www.gwup.org/skeptiker/archiv/2001/2/kugelblitze.html Die folgenden Referenzen (aus http://www.kfki.hu/fszemle/archivum/fsz0410/tard0410.html) habe ich zwar nicht gelesen, aber sollten die relevante Information enthalten. 1. J.D. BARRY: Ball Lightening and Bead Lightening: Extreme forms of Atmospheric Electricity Plenum Press, 1980 2. K. BERGER: Kugelblitz und Blitzforschung Naturwissenschaflen 60 (1973) 485 3. G. DIJKHUIS, J. PIJPELINK: Performance of high voltage tesl facility. Science of Ball Lightning First Intern. Symp. on Ball Lightning, Tokyo, 1988, Word Scientific Publ. 1989, p. 337 4. GY. EGELY: Hungarian Bull lightning Observations Hungarian Academy of Science, KFKI, 1987 5. M.S. HOWE: Theory of Vortex Sound Cambridge Univ. Press, 2003, p. 91 6. K. KAHLER: Die Elektrizität der Gewitter Sammlung Borntraege, Band 3 (1923) 7. P. KAPITZA Dokl. Acad. Nauk, USSR, 101 (1955) 245-248 8. H. KIKUCHI: Ball Lightning, Handbook of Atmospheric Electrodynamics, Vol. 1 ed. Volland, H., CRC Press, 1995, p. 167-187 9. P. KOLOC: The Plasma Configuration and Ball Lightning In: Science of Ball Lightning, ed. Y. Ohtsuki, Japan, Word Scientific Publ., 1989, p. 289-309 10. V. KOPIEV: Theory of Vortex Ring Noise In: Advances in Aeroacustics, ed. J. Anthoine, C. Schram, Karman Institute for Fluid Dynamics, 2001, p. 10, Fig. 8 11. J. LINGEMANN, G. PREMINGER: New Developments in the Management of Urolithiasis Igaku-Shoin Press, 1996, p. 29 12. L. LOEB: Static electrification Berlin, Springer, 1958 13. R. MUHLEISEN, H. FISCHER: Elektrische Aufladung von Hubschraubern Bonn, 1978, Forschungsbericht aus der Wehrtechnik: BMV g-FBWT 78-7 14. K. NICKEL: A fluid dynamical model for ball lightning ed. Y. Ohtsuki, 1988, p. 156; The Lifetime of Hill's Vortex Word Scientific Publ. Press, 1988, p. 177 15. Proc. of First Intern. Symp. on Ball Lightning, ed. Y. Ohtsuki, in: Science of Ball Lightning, Tokyo, 1988, Word Scientific Publ., 1989 16. Proc. of 5th Intern, Symp. on Ball Lightning, 1997, ed. Y. Ohtsuki, Tsugawa, Japan, 1997 17. V. RAKOV, M. UMANN: Lightning Physics and Effects Cambridge Univ. Press, 2003 18. M. SANDULOVICIU, ET AL.: Ball lightning like structures formed under controllable laboratory conditions Proc. of 5th Intern. Symp. on Ball Lightning, Tsugawa, Japan, (1997) p. 170-75 19. S. SINGER: The Nature of Ball Lightning Plenum Press, New York, 1971 20. M. STEINHOFF: Ball Lightning. An unsolved problem in atmospheric physics Kluwer Acad. Plenum Publ., 1999 21. S. STEFANOV: On the Energy of Ball Lightning Proc. of 5th Intern. Symp. on Ball Lightning, Tsugawa, Japan, 1997, p. 61-62 22. S. STEFANOV, ET AL.: Electric Machine in Ball Lightning Proc. of 5th Symp. on Ball Lightning, Tsugawa, Japan, 1997, p. 183-187 23. K. SUSLICK: Die chemischen Wirkungen von Ultraschall Spektrum der Wissenschaft, Apr. 1989, p. 60-66. 24. A. VLASOV: A ball lightning is u natural nuclear reactor? Proc. of 5th Symp. on Ball Lightning, 1997, p. 75-79 25. H. VOLLAND (ed.): Handbook of Atmospheric Electrodynamics, Vol. l. CRC Press, London, 1995 ---------------------------------------- S7a. Erkl"art die Wissenschaft die Welt? ---------------------------------------- Man liest und h"ort immer mal wieder Auusagen von der Art ''Physik erkl"art die Welt nicht, sondern beschreibt sie nur'' oder ''In der Physik haben metaphysische Aussagen keinen Platz''. Aber Wissenschaft ist auch Welterkl"arung, und ihre Grundprinzipien sind metaphysisch. Der Glaube an die Allgeming"ultigkeit natturwissenschaftlicher Gesetze ist etwas zutiefst Religi"oses, da wir aus dem stichprobenhaften Nachpr"ufen einiger Beobachtungen auf deren G"ultigkeit in der unbeobachtbaren Zukunft schliessen. http://de.wikipedia.org/wiki/Religion : ''Als Religion bezeichnet man eine Vielzahl ganz unterschiedlicher kultureller Phänomene, die menschliches Verhalten, Denkweisen und Wertvorstellungen normativ beeinflussen. [...] Eine einheitliche Definition des Begriffs existiert nicht. [...] Allerdings erfasst der westliche Ansatz einer Definition mit Hilfe des Begriffs 'Glaube' nicht alle Religionen, da dieser Terminus in einigen Religionen nicht oder kaum existiert und damit nicht das eigentliche Merkmal dieser Religionen sein kann. [...] In der Religionswissenschaft beispielsweise existieren viele unterschiedliche Definitionen nebeneinander.'' http://de.wikipedia.org/wiki/Religion : Dabei steht religio als gewissenhafte Beachtung überlieferter Regeln im Gegensatz zu superstitio als freier, ekstatischer Spiritualität. Also: Sich Halten an die Regeln gewissenhafter wissenschaftlicher Methodik (eine f"ur Wissenschaftler ziemlich unabdingbare pers"onliche Wert"uberzeugung) ist Religion und nicht Aberglaube. Einstein classified scientists very well during the celebration of Max Planck's 60th birthday in 1918. In the temple of science, he said, are three kinds of people. Many take to science out of a joyful sense of their superior intellectual power. For them research is a kind of sport that satisfies personal ambition. A second class of researchers engage in science to achieve purely utilitarian ends. But of the third: If "the angel of the Lord were to come and drive all the people belonging to these two categories out of the temple, a few people would be left, including Planck, and that is why we love him." http://www.americanscientist.org/template/AssetDetail/assetid/28525 Das Eingeben von erklaert beschreibt Physik und erklaert-nicht beschreibt Physik in Google ist auch instruktiv. Z.B. findet man in http://de.wikipedia.org/wiki/Theoretische_Physik : ''So erklärt die Quantenmechanik, warum die Materie fest ist und warum die chemischen Elemente sich so und nicht anders verhalten, sie ist Grundlage der Halbleiterphysik und damit der gesamten modernen Elektronik, und sie hat unser Weltbild grundlegend revolutioniert'' Roy J. Glauber, Physik-Nobelpreistr"ager 2005, schreibt in seiner Nobel Lecture u.a.: ''In those developments de Broglie, Heisenberg, Schrödinger and others accomplished literal miracles in explaining the structure of atoms.'' http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2005/glauber-lecture.pdf Astronomen versuchen, Erkl"arungen f"ur ihre beobachteten Daten zu finden, z.B. http://pds-rings.seti.org/reference/abstracts/porco1991_01.html An explanation for Neptune's ring arcs http://eric.ed.gov/ERICDocs/data/ericdocs2/content_storage_01/0000000b/80/25/ca/7e.pdf ''Science educators agree with philosophers that explanation is the very purpose of science itself.'' http://de.wikipedia.org/wiki/Naturwissenschaften ''Naturwissenschaften sind Wissenschaften, die sich mit der unbelebten und belebten Natur befassen, diese zu beschreiben und zu erklären versuchen. [...] Die Ansicht, was materiell (physisch) zu erklären sei, und was metaphysisch, also jenseits der materiellen Phänomene liegend und damit der materiellen Erklärung nicht zugänglich sei, unterliegt einem beständigen Wandel.'' http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_method ''Scientific researchers propose specific hypotheses as explanations of natural phenomena, and design experimental studies that test these predictions for accuracy.'' hhttp://en.wikipedia.org/wiki/Explanandum ''the event under discussion is explained by subsuming it under general laws, i.e., by showing that it occurred in accordance with those laws, by virtue of the realization of certain specified antecedent conditions'' http://plato.stanford.edu/entries/scientific-explanation ''Issues concerning scientific explanation have been a focus of philosophical attention from Pre-Socratic times through the modern period.'' Der Erfolg der Naturwissenschaft besteht darin, durch klare Beschreibungen zu erklären. Dass man mit wenigen fundamentalen Naturgesetzen den Mikrokosmos bis zum ganzen Universum recht ordentlich beschreiben kann, ist keineswegs selbstverständlich. Das empfinden wir als Erklärung. Allerdings: Auch die beste Erkl"arung endet bei Unerkl"artem. Trotzdem _ist_ es eine Erkl"arung. Jede Art von Erkl"arung ist von dieser Art, eine konsistente Beschreibung von etwas durch Dinge, die wir als grundlegend und keiner weiteren Erkl"arung bed"urftig voraussetzen. http://www.dwds.de/?woerterbuch=1&qu=erkl%C3%A4ren ''etw. (schwer zu Verstehendes) durch Worte klar, deutlich machen: eine Abbildung, die schwierige Textstelle e.; der Lehrer erklärt den Schülern eine Aufgabe; jmdm. etw. genau, gründlich, ausführlich, umständlich, kurz, wissenschaftlich, allgemeinverständlich, stundenlang e.; das erkläre ich dir am besten durch ein Beispiel, an einem Bild, mit Zahlen; erkläre mir doch einmal den Unterschied zwischen ...; wie erklärst du dir das?; eine erklärende Beschreibung; erklärende Worte; sich e. seine Erklärung finden: dieser Kreislauf erklärt sich schwer, ganz einfach, von selbst; das Defizit erklärt sich aus den hohen Unkosten'' ---------------------------- S7b. Das Uhrmacheruniversum ---------------------------- Die moderne, mit allen Aussagen der Naturwissenschaften vertr"agliche Version des alten teleologischen Arguments von Robert Hooke und Voltaire http://de.wikipedia.org/wiki/Uhrmacher-Analogie f"ur die Auffassung, dass das Universum durch das Wirken intelligenten Bewusstseins entstanden sein muss, lautet so: Das durch Quantenmechanik gesteuerte Universum funktioniert nach den darin implementierten Naturgesetzen in so grossem Massstab, dass Konstruktionen von Menschenhand neben der ''Allmacht und Vollkommenheit des grossen Sch"opfers'' verblassen m"ussen. Daher muss das Universum wie eine Uhr von einem intelligenten Wesen geplant worden sein. -------------------- S7c. Gott und Physik -------------------- Gott - die grosse Unbekannte http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/unbek.html Mathematik, Physik und Ewigkeit (mit einem Augenzwinkern betrachtet) http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/neumann.pdf Wahrheit und Vertrauen - ein Mathematiker redet von Gott http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/wuv.html Was ist Wahrheit? Gedanken eines Mathematikers http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/wiw.html Wissenschaft und Dogma http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/dogma.html How to Create a Universe - Instructions for an Apprentice God. A fantasy to be read at leisure time http://www.mat.univie.ac.at/~neum/other/turing.txt Eine nichtgehaltene Vorlesung http://www.mat.univie.ac.at/~neum/sciandf/ger/vorl.html --------------------------------------------------------- S7d. Warum kann die Welt mathematisch beschrieben werden? --------------------------------------------------------- F"ur jeden, der sich auskennt und das Wundern noch nicht verlernt hat, ist es verwunderlich, dass unsere Welt mit so grossem Erfolg mathematisch beschrieben werden kann. Denn die Mathematik hat ein Eigenleben, das nicht durch die Beschreibung der Natur pr"ajudiziert ist. Man kann sie nicht willk"urlich basteln, sondern muss sich an die ihr innewohnenden Gesetzm"assigkeiten halten. Wer immer die Gesetze der klassischen Logik anerkennt, findet auf ihrer Basis im wesentlichen (d.h. bis auf Bezeichnungsweise, Betonung und genauen Formulierung) dieselben zentralen Konzepte und S"atze. Man kann z.B. keine Mathematik machen, in dem die Klassifikation der semisimplen Liegruppen anders aussieht als in der unseren. Diese Klassifikation wirde gefunden lange bevor sie sich als extrem n"utzlich in der Quantenmechanik herausstellte, ja sogar lange bevor es Quantenmechanik "uberhaupt gab. Dass die dur die Logik schon im Wesentlichen determinierte Mathematik auf die (von der Logik unabh"angige) Natur anwendbar ist und soviel erkl"art, ist also "uberhaupt nicht selbstverst"andlich. Warum sich die Natur und das gesamte Universum, soweit wir es kennen, so verh"alt, dass sie mit mathematischen Methoden exzellent beschrieben werden kann, ist eine Frage, die den Rahmen der Naturwissenschaften sprengt. Die naheliegende Antwort ist: Weil sie von jemandem entworfen wurde, der viel von Mathematik versteht. Jedenfalls w"urden wir so argumentieren, wenn es sich um ein kleineres Objekt als das Universum handeln w"urde. F"ur mich ist dies ein klarer Hinweis auf die Existenz und die Macht Gottes. F"ur eine ausf"uhrlichere Diskussion siehe die beiden Klassiker E.P. Wigner The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 1-14. R. W. Hamming The unreasonable effectiveness of mathematics, Amer. Math. Monthly 87 (1980), 81-90. und viele weitere Essays, die unter dem Stichwort "unreasonable effectiveness" in scholar.google.com gefunden werden k"onnen. ----------------------- S8a. Andere Physik-FAQs ----------------------- http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html Physik und das Drumherum (Physics FAQ in German) http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/anettes-faq/anettes-faq.txt Anettes FAQ (Tensorrechnung und Allgemeine Relativit"atstheorie) http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physics-faq.txt A theoretical physics FAQ http://math.ucr.edu/home/baez/physics/ Usenet Physics FAQ http://www.physik.tu-dresden.de/studdocs/skripte.htm Vorlesungsskripte und Lehrmaterial Physik http://www.physik.tu-berlin.de/~erat/lect.html Skripte im WWW (Mathematik, Physik) http://www.freidok.uni-freiburg.de/volltexte/82/ Digitale Reproduktion des Lehrbuchs Honerkamp/Römer, Klassische theoretische Physik, 3. Aufl., 1993. --------- S9a. Dank --------- Ich danke Hendrik van Hees f"ur eine ausf"uhrliche Diskussion "uber die Thermische Interpretation im Fr"uhjahr 2004, und Lothar Wiese f"ur die Erstellung einer HTML-Version auf http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physik-faq.html Ausserdem danke ich denen, die mich durch ihre mehr oder weniger herausfordernden Beitr"age in der Newsgruppe de.sci.physik dazu angeregt haben, die obigen Antworten niederzuschreiben. Schliesslich danke ich Gott f"ur sein wundervolles, interessantes Universum und f"ur die Einsicht, die er mir geschenkt hat, dieses Wunder zu verstehen. ---------------------------------- S10. Die Thermische Interpretation ---------------------------------- Hier stelle ich meine eigene Interpretation der Quantenmechanik vor, die Thermische Interpretation. Die traditionelle Interpretation des orthodoxen Formalismus wird ge"andert, indem statt der Tradition, die nur von_Neumann-Messungen von Eigenwerten als objektiv wertet, davon ausgegangen wird, dass alle Rohmessungen Messungen von Erwartungswerten gewisser Operatoren (oder daraus berechenbarer abgeleiteter Konzepte) sind, und dass die quantenmechanischen Erwartungswerte nichts direkt mit statistischen Erwartungswerten (im Sinn von Mittelwerten von Messreihen) zu tun haben. Die so entstehende Interpretation.erlaubt, alle Experimente konsistent zu beschreiben, ohne die Quantenmechanik zu "andern. "Andern braucht man nur die Interpretation des orthodoxen Kalk"uls, im Einklang mit der Tatsache, dass Thermodynamik, Hydrodynamik, und Kinetik - also die Theorien, die unsere Messger"ate beschreiben - im Rahmen der statistischen Mechanik alle als Theorien von Erwartungswerten erscheinen. Die beobachteten Quanten-Wahrscheinlichkeiten erkl"aren sich - genau wie die im Lorentzattraktor beobachtbaren - durch sensitive Abh"angigkeit der gemessenen Erwartungswerte von den pr"aparierten Erwartungswerten. Zuf"alliges Verhalten stellt sich genau dann ein, wenn diese Sensitivit"at gegeben ist. (Das l"asst sich leicht mit semiklassischen Rechnungen zum Thema Quantenchaos best"atigen.) Details werden in den weiter unten folgenden FAQ-Beitr"agen gegeben. Ein kleiner Teil der Thermischen Interpretation ist schon in der Arbeit quant-ph/0303047 = Int. J. Mod. Phys. B 17 (2003), 2937-2980. http://www.mat.univie.ac.at/~neum/papers.html#ensembles ver"offentlicht, auf die ich mich in diesem FAQ mit [EECQ] beziehe. Diese Arbeit zeigt, wie sich die Thermische Interpretation aus meiner Analyse der quantenlogischen Grundlagen ergeben hat, sagt aber nichts "uber die Konsequenzen der neuen Interpretation und die Analyse echter Messprozesse. Eine Publikation dazu ist in Vorbereitung. In der Arbeit gehe ich aber zweigleisig vor und beschreibe zugleich die traditionelle statistische Interpretation. In dem meiner Darstellung zugrundegelegten abstrakten Ensemblebegriff ist eine probabilistische Interpretation _m"oglich_, aber nicht _notwendig_, und bei Einzelsystemen auch nicht sinnvoll. Wenn man Section 6 ("uber Wahrscheinlichkeit) aus [EECQ] entfernt, ist der Rest immer noch 1. vollkommen verst"andlich, 2. hundertprozentig mit der Praxis der Quantenmechanik kompatibel, 3. physikalisch interpretierbar, obwohl das Wort 'Wahrscheinlichkeit' kein einziges Mal mehr in den Mund genommen wird. Die ''squared probability amplitude''-Formel (24), die die Basis der traditionellen Interpretation der Quantenmechanik ist, ist bei mir nur eine Randbemerkung in dieser Section 6, und damit v"ollig unerheblich f"ur die Interpretation. Ich habe diesen Abschnitt nur deshalb eingef"ugt, um zu zeigen, dass meine Axiome vollst"andig genug sind, um den traditionellen quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitsbegriff bekommen zu k"onnen (falls man will). Dadurch, dass man gew"ohnlich diese Formel an den Anfang stellt, _schafft_ man sich erst die ganzen Interpretationsprobleme. Zudem verdirbt man sich so den engen Zusammenhang zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik, und bekommt ihn erst wieder, wenn man (bei den meisten Studenten erst mindestens ein Jahr sp"ater) in der statistischen Mechanik die Dichtematrix kennenlernt. Bis dahin ist aber schon soviel Porzellan kaputtgeschlagen worden, dass im Verst"andnis der Quantenmechanik ein heilloses Chaos herrscht, das dann kaum mehr zu heilen ist... Einiges "uber die Thermische Interpretation habe ich professionell aufgeschrieben; siehe dazu A. Neumaier, Optical models for quantum mechanics, Slides of a lecture given on February 16, 2010 at the Institute for Theoretical Physics, University of Giessen, http://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/optslides.pdf und Kapitel 7 meines Online-Buchs Arnold Neumaier and Dennis Westra, Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras, 2008. (arXiv:0810.1019) ------------------------------------ S11. Wie liest man [EECQ] am besten? ------------------------------------ Beim ersten Lesen kann man alle Beweise einfach "ubergehen (ausser man will einen bestimmten Punkt genau verstehen); ausserdem fast alle Formeln, die man nicht in einer Minute "Uberlegung verstehen kann. (Nur die Formeln in Definition 4.1, sowie (33)-(34) sind unverzichtbar zum Verst"andnis.) Numerierte Aussagen geben das formale Ger"ust der Theorie wieder; dabei sind Theoreme eher wichtig, Propositionen eher technisch. Es ist genug normaler Text dazwischen, der einen roten Faden liefert. Beim zweiten Lesen schaut man sich das genauer an, was man besser verstehen will, und geht bei Verweisen oder wenn Symbole oder Begriffe unbekannt sind, soweit zur"uck, bis man die entsprechenden Erkl"arungen findet. ------------------------------------------------------------ S12. Kernaussagen der Thermischen Interpretation ------------------------------------------------------------ Die Quantenmechanik beschreibt das Universum als Ganzes, und damit insbesondere alles, was man darin reproduzierbar messen kann - inklusive Einzelsysteme, Ensembles im statistischen Sinn, Detektoren und Physiker. Das Universum als Ganzes verh"alt sich deterministisch, und l"asst sich mit einer klassischen Hamiltonschen, durch eine Hamiltonfunktion und eine Poissonklammer definierten Dynamik beschreiben. Die klassischen Gr"ossen in dieser Dynamik sind die traditionell als Erwartungswerte bezeichneten Felder und Korrelationsfunktionen. Das Universum hat einen klassischen Zustandsraum, dessen reine Zust"ande alle Dichtematrizen der QM sind. (Die traditionelle Interpretation hat dagegen einen Quantenzustandsraum, dessen reine Zust"ande nur die Rang 1 Dichtematrizen sind. Diese Einschr"ankung verursacht die traditionellen Interpretationsprobleme.) Alle Eigenschaften physikalischer Systeme im Universum werden innerhalb eines einzigen mathematischen Modells des Universums und seiner Evolution hergeleitet. Insbesondere ist der Zustand jedes physikalischen Systems durch den Zustand des Universums vollst"andig festgelegt. Die Dynamik eines solchen Systems ergibt sich durch Projektion der Dynamik des Universums auf die Algebra der Gr"ossen des Systems und kann in der Markovn"aherung durch eine dissipative Differentialgleichung in Lindblad-Form beschrieben werden. Ist die Dissipation vernachl"assigbar, so erh"alt man die traditionelle von-Neumann-Gleichung f"ur die Dichtematrix des Systems. Ein wichtiges Merkmal der Thermischen Interpretation ist die konsequente Ber"ucksichtigung der Forderung, dass man (ausser in motivierenden Bemerkungen) nur "uber vorher mathematisch pr"azise definierte Objekte reden darf. Dies gew"ahrleistet ein logisch konsistentes Modell, innerhalb dessen die traditionellen Bestandteile unseren Universums samt ihrer mathematischen Beschreibung definiert und analysiert werden. Insbsondere wird der Messprozess modellimmanent durch Wechselwirkung eines Quantensystems mit einem Detektor, beide als Teilsysteme des Universums verstanden, modelliert. Damit wird die der Kopenhagen-Interpretation eigene Teilung der Welt in Quantensysteme und klassische Messger"ate "uberwunden. Was eine Messung darstellt, wird pr"azisiert. Der Zufall und die Quantenspr"unge ergeben sich als ausschliessliche Folge der in einer Beschreibung von Quantensystem und Detektor allein auf Grund der Markov-N"aherung nicht vollst"andig ber"ucksichten Wechselwirkung mit dem Rest des Universums. Insbesondere stehen die beobachtbaren Verteilungen der messbaren Zufallsvariablen im Einklang mit der statistischen Interpretation der Quantenmechanik. Die Bornsche Regel "uber Wahrscheinlichkeit als Quadrat des Absolutbetrags einer Amplitude ergibt sich in der Thermischen Interpretation direkt aus der Projektion des Vielteilchensystems auf die traditionelle reduzierten Beschreibung durch klassische Zeigervariable des Detektors plus Quantenzustand des gemessenen Quantensystems. Die Interpretation ist also hundertprozentig mit der Praxis der Quantenmechanik kompatibel, leitet aber die Wahrscheinlichkeitsinterpretation aus einfachen deterministischen Grundannahmen ab, statt sie als unerkl"arliches (und philosophisch problematisches) Postulat zu den Geheimnissen unseres Universums zu z"ahlen. --------------------------------------------------------------- S13. Motivation f"ur die Thermische Interpretation --------------------------------------------------------------- Alle quantitativen Beobachtungen in der Physik beruhen auf dem Ablesen makroskopischer Objekte - Zeiger, Filme, Z"ahler, usw., deren Physik durch die Thermodynamik beschrieben wird. Daraus erschliessen wir mit Hilfe der Theorien der Physik und numerischen rechnungen Information "uber die Mikrosysteme, die uns interessieren. Die 'rohen' Messgr"ossen sind also _immer_ thermodynamische Gr"ossen; nach den Aussagen der statistischen Physik also Funktionen von Erwartungswerten im entsprechenden grosskanonischen Ensemble. Auch bei einer _einzelnen_ Rohmessung hat man da ein Ensemble, aber kein echtes statistisches, sondern ein fiktives, virtuelles. Dieses wurde als Fiktion von Gibbs eingef"uhrt, damit man den formalen Apparat der statistischen Mechanik zur Herleitung der thermodynamischen Gesetze benutzen darf. In meiner Thermischen Interpretation nehme ich diese Tatsache zum Anlass, _jedem_ Einzelsystem (und nicht nur den thermodynamischen) ein virtuelles Ensemble zuzuordnen, das man nat"urlich _nicht_mehr_ statistisch deuten darf, ebensowenig wie man eine Temperaturmessung an einer Tasse Tee x-mal wiederholen muss, bevor man von einem Wert sprechen darf. Das Ablesen eines Zeigers oder das Auswerten eines Bildes, um ein Messergebnis daraus zu gewinnen.wird ebenso in der Regel nur einmal vorgenommen, evtl. zur Kontrolle ein zweites Mal. Stellt sich das Ablesen bei der Kontrolle als unzuverl"assig heraus, so wird die Einzelmessung zwar notiert, gilt aber nicht als reproduzierbar. Man macht dann (und nur dann) viele Einzelbeobachtungen und fasst diese dann statistisch zu einer Gesamtbeobachtung zusammen, etwa in Form von Bestwert (Mittel) und Fehler (Standardabweichung). Jede Einzelbeobachtung ist also ein thermodynamischer Erwartungswert auf Grund eines virtuellen, nichtstatistischen Ensembles; die Gesamtbeobachtung dagegen ist ein statistischer Erwartungswert auf Grund eines realen Ensembles aus vielen wiederholten Messungen. Beide Arten von Ensembles/Erwartungswerten gen"ugen denselben mathematischen Gesetzen, haben aber eine v"ollig unterschiedliche Bedeutung. Daher definiere ich ein abstraktes Ensemble lieber axiomatisch durch die relevanten Eigenschaften, siehe [EECQ] f"ur Details. Ebenso wie die Definition eines Vektorraums (der ja urspr"unglich auch durch 3-dimensionale Vektoren motiviert war und heute f"ur allerlei virtuelle Vektoren - Zahlenlisten, Matrizen, Funktionen,... benutzt wird), erlaubt das die saubere Trennung formaler Eingenschaften und ihrer inhaltlichen Bedeutung. Die grundlegende Annahme der Thermischen Interpretation ist nun die, dass die objektiven Aspekte des Universums durch ein Ensemble in diesem abstrakten Sinn gegeben ist, und alles Messbare durch Erwartungswerte in diesem Universalensemble oder Funktionen von solchen Erwartungswerten. Diese Annahme erfasst alles reproduzierbar Messbare auf einheitliche Weise: Naturkonstanten, Streuquerschnitte, Zerfallswahrscheinlichkeiten, Reaktionsraten, Transportkoeffizienten, thermodynamische Gr"ossen - kurz alles, was Experimentatoren messen und steuern k"onnen oder wollen! Ausgehend von dieser grundlegenden Annahme findet man objektive Grundlagen f"ur einen konsistenten Aufbau der Quantenmechanik, der 1. logisch einwandfrei ist, 2. eine klassische deterministische (symplektische oder Poisson-) Dynamik hat, 3. das Auftreten des klassischen und quantenmechanischen Zufalls in "Ubereinstimmung mit den Experimenten erkl"art, 4. Vollst"andig ist in dem Sinn, dass die Kenntnis des Zustandes des Universums (d.h. des Universalensembles) eine Kenntnis aller denkbaren Messwerte impliziert. Die Thermische Interpretation postuliert also eine deterministische Dynamik f"ur das Universum als Ganzes, und deduziert daraus eine approximative stochastische Dynamik f"ur jedes Teilsystem. Im Sinne der traditionellen Nomenklatur handelt es sich also um eine Theorie verborgener Variablen, in denen die klassischen Variablen die Gesamtheit der quantenmechanischen Erwartungswerte (oder gleichwertig alle Korrelationsfunktionen der BBGKY-Hierarchie) sind. ------------------------------------------------------------- S14. Die einzigen Observablen der Physik sind Erwartungswerte ------------------------------------------------------------- Die Thermische Interpretation sagt, dass die einzigen Observablen der Physik Erwartungswerte sind, die sich zeitlich und r"aumlich gen"ugend langsam "andern. Dazu geh"oren 1. Auf der globalem Ebene: die Materialeigenschaften von Stoffen, inklusive den Massen von Atomen, Protonen, Elektronen sowie Massen und Lebensdauern von instabilen Teilchen, die Spektren von Atomen und Molek"ulen, etc.. 2. Auf der Ebene des lokalen Gleichgewichts: Str"ome, Massendichten verschiedener Materialien, Druck, Temperatur, mechanische und elektromagneitsche Spannungsfelder, etc., die approximativ den hydrodynamischen Gleichungen (Navier-Stokes) gen"ugen und alles Erwartungswerte von mikroskopischen Operatoren oder daraus mittels Thermodynamik berechneter Gr"ossen sind. 3. Auf der Ebene der kinetischen Beschreibung (mikrolokales Gleichgewicht): Phasenraumdichten (Wignerfunktionen), die approximativ den Boltzmann-Gleichungen oder Vlasov-Gleichungen gen"ugen und alles Erwartungswerte von Einteilchenoperatoren sind. 4. Auf der molekularen Ebene: Dichtefunktionale, die approximativ den Hartree-Fock-Gleichungen oder CI-Gleichungen, etc. gen"ugen und ebenfalls Erwartungswerte von Einteilchenoperatoren sind. 5. Auf noch tieferer Ebene: effektive Feldgleichungen f"ur Atomkerne, die approximativ den Hartree-Fock-Bogoliubov--Gleichungen gen"ugen und ebenfalls Erwartungswerte von Einteilchenoperatoren sind. 6. Ausserdem: r"aumliche und zeitliche Korrelationsfunktionen, die das lineare Antwortverhalten bei Anreungen beschreiben; auch diese sind Erwartungswerte, diesmal aber von Zweiteilchenoperatoren. Nirgends beobachtet man mehr als Erwartungswerte. Auch die Interferenzmuster auf der Photoplatte sind Erwartungswerte von Teilchendichtefeldern, und die Klicks im Geigerz"ahler sind Erwartungswerte von Druckfeldern, die unser Ohr (oder ein entsprechender Detektor) wahrnimmt, etc. Auch die Klicks im Geigerz"ahler sind Erwartungswerte von Druckfeldern, die unser Ohr (oder ein entsprechender Detektor) wahrnimmt, etc. Die Klicks als irreduzible Messung eines diskreten Zustands eines einzelnen Mikrosystems aufzufassen ist zwar alte Tradition, aber h"ochstens indirekt ("uber selbst schon interpretationsbed"urftige Theorie) gerechtfertigt, und wird in der Thermischen Interpretation einfach fallengelassen. Sobald man das tut, verschwinden die Interpretationsprobleme der Quantenmechanik. Dass die statistische Mechanik Erwartungswerte statistisch interpretiert, ist rein historisch bedingt, da zur Zeit von Gibbs noch keine formal in der Masstheorie begr"undete Wahrscheinlichkeitstheorie existierte. Aber Gibbs, der Begr"under der statistischen Thermodynamik, war vorsichtiger als die meisten seiner Epigonen. In seinem Buch W. Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics, Yale Univ. Press, 1902 f"uhrt er Ensembles als fiktive, gedachte identische Kopien des beobachteten Einzelsystems im thermodynamischen Gleichgewicht ein, um eine Rechtfertigung f"ur seinen 'Missbrauch' der Wahrscheinlichkeitsrechnung f"ur die Modellierung eines Einzelsystems zu rechtfertigen: ''Let us imagine a great number of independent systems, identical in nature, but differing in phase, that is, in their condition with respect to configuration and velocity.'' (S.5) ''The application of this principle is not limited to cases in which there is a formal and explicit reference to an ensemble of systems. Yet the conception of such an ensemble may serve to give precision to notions of probability.'' (S.17) Es ist offensichtlich, dass Gibbs anschliessend davon ausgeht, dass seine Theorie f"ur jede einzelne Messung an einem Material im thermodynamischen Gleichgewicht gilt. Und die Erfahrung best"atigt ihn darin. ------------------------------------ S15. Zwei Arten von Erwartungswerten ------------------------------------ Ein h"aufiges Missverst"andnis beruht auf der mehrfachen Bedeutung des Begriffs 'Erwartungswert'. Mathematisch gesehen ist der Erwartungswert das Bild eines linearen Operators unter einer monotonen linearen Abbildung, nicht mehr und nicht weniger. Welche Interpretation wir dieser monotonen linearen Abbildung geben, steht uns (wie bei jedem mathematischen Begriff) frei. Die traditionelle Interpretation bezieht den Begriff auf die Tatsache, dass der Mittelwert einer Reihe von Messwerten in gleichartigen (''identisch pr"aparierten'') Szenarien omega_k (k=1:N) _empirisch = 1/N sum_k f(omega_k) (*) die Eigenschaften des mathematischen Erwartungswert hat (daher auch der Name). Schon die Identifikation dieses empirischen Begriffs mit dem mathematischen macht aber philosophische Schwierigkeiten, etwa bei einer Gauss-verteilten Zufallsvariable, weil man nicht genau sagen kann, wie die formale Variable zu den Messungen steht. Man stammelt dann etwas von Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen H"aufigkeit (aber nur im Grenzfall unendlich vieler Messungen, und nur mit Wahrscheinlichkeit 1) und hat schwierigkeiten, einem endlichen Ensemble eine stetige Verteilung zuzuordnen. Oder man redet von einem gedachten Endemble aller m"oglichkeiten, die die Messung h"atte haben k"onnen, um dies zu rationalisieren. Beides sind Zeichen, dass da etwas faul ist. Schon klassisch! Ebenso wie zu den Grundlagen der Quantenmechanik gibt es daher zu den philosophischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie eine ausgedehnte, kontroverse, Literatur! Sieht man sich dann ein klassisches chaotisches System an, so hat man einerseits eine deterministische Dynamik, andererseits ein in der Praxis stochastisches Verhalten. Dieses praktische stochastische Verhalten "aussert sich darin, dass man mit (*) zu zuf"allig genommenen Zeiten (die als Szenarien omega_k fungieren) einigermassen robust reproduzierbare Ergebnisse bekommt, wenn f eine gen"ugend sch"one Observable ist. (Und nur dann; man kann beliebig h"assliche Observable bauen...) Die so erhaltenen statistischen Mittelwerte sind typischerweise bis auf Fehler der Ordnung O(N^{-1/2} gleich dem durch = integral dmu f definierten Erwartungswert, wo mu das invariante Mass des zum deterministischen Orbit geh"origen Attraktors ist. Dieses Mass und damit alle sind ebenso objektiv dem System zugeordnet, wie die deterministische Trajektorie selbst. Die durch dieses invariante Mass f"ur das klassische _Einzelsystem_ objektiv festgelegten Erwartungswerte gen"ugen aber genau denselben Regeln wie der empirische Erwartungswert, in dem man Mittelwerte aus einem Ensemble von zuf"alligen zeitliche Stichproben bildet. Die sind also genauso objektive Observable des Einzelsystems wie die f selbst, nur dass sie zeitlich konstant sind. Messen lassen sie sich aber nur approximativ, genauso wie die Trajektorie selbst. Abwer im Unterschied zu den Werten der Trajektorie sind die _reproduzierbar_ approximativ messbar! Dasselbe l"asst sich (mit einigen Modifikationen, die ich hier nicht n"aher er"ortern will) auch im instation"aren Fall machen, und man bekommt zeitabh"angige objektive Erwartungswerte. Nat"urlich sind die so 'renormierten' Observablen nicht dasselbe wie die 'nackten' Observablen x(t), aber beide sind objektive Eigenschaften des Systems; nur die Vorschriften zur Messung sind verschieden, da es sich um verschiedene Observable handelt. Sieht man sich nun ein klassisches deterministisches, aber turbulentes System an, etwa hydrodynamische Gleichungen im turbulenten Bereich, so ist es gar nicht mehr m"oglich, etwa die Geschwindigkeit v(x,t) zu messen, da die hohen Frequenzen zwangsl"aufig unaufgel"ost bleiben. Und selbst bei beliebig hoher aber fixer Aufl"osung ist der Einfluss der noch h"oheren Frequenzen signifikant. Tats"achlich ist das Feld, das ein Ingenieur in einer _Einzelmessung_ im Windkanal misst, also stets eine Approximation an den Erwartungswert einer Zufallsvariable v(x,t), die den Feldgleichungen gen"ugt. Die in einer Einzelmessung anfallenden Messwerte sind also Approximationen des 'renormierten' , und _nicht_ die 'nackten', unbeobachtbaren v(x,t). Da noch sehr irregul"ar ist und sich kaum vorhersagen l"asst, ist ein Ingenieur statt dessen an einer mittleren, aber einigermassen vorhersagbaren grobk"ornigen Geschwindigkeit interessiert, die er aus dem Mitteln vieler Momentanfelder bekommt: vbar(x,t) := <>_emp = 1/N sum_k (mit kleinen Verschiebungen z_k,s_k). Diese mittlere Geschwindigkeit l"asst sich einigermassen gut durch Simulationen vorhersagen und ist deshalb praktisch relevant. Ebenso ist f"ur die Praxis wichtig, Information "uber die Abweichungen d(x,t) = -vbar(x,t) zu bekommen. Die ist in den Korrelationen _emp = 1/N sum_k d(x+z_k,t+s_k)d(x'+z_k,t'+s_k) und evtl. h"oheren Momenten enthalten. Man sieht also, dass es _zwei_ stochastische Ebenen gibt, die eine empirische, die mit den Messungen normale Statistik macht und der traditionellen Interpretation entspricht, und eine darunterliegende objektive, in der der Erwartungswert nicht mehr die Bedeutung eines statistischen Mittelwerts hat, sondern den eines rein mathematisch definierten Masses, das aus unmessbaren, beliebig hochfrequente Anteile enthaltenden 'nackten' Observablen v(x,t) beobachtbare 'renormierte' Variablen macht. Das ist genauer beschrieben in: H Grabert, Projection Operator Techniques in Nonequilibrium Statistical Mechanics, Springer Tracts in Modern Physics, 1982. Eine andere hierzu relevante, h"aufig zitierte Arbeit (die statt Projejtionsoperatoren aus der Quantenfeldteorie entliehene Diagrammtechniken verwendet) ist: PC Martin, ED Siggia, HA Rose, Statistical Dynamics of Classical Systems, Phys. Rev. A 8, 423-437 (1973). Interessanterweise (und daher leider die traditionelle Verwechslung nahelegend) haben beide Formen des Erwartungswerts genau dieselben mathematischen Eigenschaften, obwohl sie grundlegend verschiedene Dinge ausdr"ucken. Turbulente klassische Systeme haben eben keine nackten Observablen mehr (die sind dort genauso ill-defined wie in der Quantenfeldtheorie), sondern nur noch die renormierten. Aber um die Dynamik zu beschreiben und mit dem Experiment zu korrelieren, braucht man beide. F"ur Hintergrundmaterial: z.B. "turbulence renormalization" in http://scholar.google.com/ Diese Situation entspricht nun schon fast vollkommen der der Quantenmechanik. Der _einzige_ Unterschied ist der, dass in der Quantenmechanik die nackten Observablen aufh"oren, klassisch zu kommutieren, und zu Operatoren im Hilbertraum mutieren. Und in der relativistischen Quantenfeldtheorie kommt noch dazu, dass der Einfluss der unmessbar hohen Frequenzen in einem gewissen Sinn unendlich gross ist, so dass selbst das Renormierungsproblem schon zu erheblichen Schwierigkeiten f"uhrt. Ich hoffe, damit deutlich gemacht zu haben, in welchem Sinn die Thermische Interpretation zu verstehen ist. Die objektiven Gr"ossen sind die renormierten Erwartungswerte der nackten Feld-Operatoren f, in vollst"andiger Analogie zur oben geschilderten klassischen Situation. Gewisse makroskopische Operatoren S(omega) des Messapparats haben renormierte Werte , die mit Eigenschaften wie dem Spin eines einzelnen Teilchens im Experiment omega korrelieren, und werden daher als Pointervariablen benutzt. Macht man nun eine messung N mal in zuf"alligen, unabh"angigen Experimenten omega_k, ist die Verteilung der im Prinzip messbaren renormierten (und _nicht_, wie die Kopenhagen-Interpretation behauptet, die Verteilung irgendwelcher angeblich durch zuf"allige Zustandsreduktion entstehender Eigenwerte des Teilchens im Experiment omega_k) ungef"ahr die, die man bekommt, wenn man statt der Messwerte im Detektor die aus dem pr"aparierten Einteilchenzustand resultierende Verteilung gem"ass der Bornschen Regel zugrundelegt. Dies ist der nichttriviale Punkt, f"ur dessen Demonstration man den Projektionsoperatorformalismus der statistischen Mechanik braucht. ---------------------------------------------------------- S16. Thermische und Kopenhagen-Interpretation ---------------------------------------------------------- Die Kopenhagener Interpretation fordert nach Bohr ''die Grenzziehung zwischen einem zu untersuchenden Quantensystem und der klassisch zu beschreibenden Meßapparatur'' http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/epr/node4.html Klassisch beschrieben bedeutet: makroskopisch, mit Mitteln der Thermodynamik, beschreiben. Die einzigen thermodynamischen Gr"ossen, die es gibt, sind laut statistischer Mechanik Erwartungswerte von langsam ver"anderlichen mikroskopischen Operatoren. _Diese_ Erwartungswerte (z.B. der mittlere Ort einer Zeigerspitze) werden also in einem Experiment gemessen, und daraus werden R"uckschl"usse "uber die Eigenschaften des damit gekoppelten Quantensystems deduzuert. Alles, was die Thermische Interpretation tut, ist, diese Forderung der Kopenhagener Interpretation konsistent weiterzudenken, um die Spaltung der Welt in klassische Objekte und Quantenobjekte zu "uberwinden. Die Wahrscheinlichkeitsstruktur ergibt sich dabei aus der deterministischen Dynamik des Universums durch Reduktion der Komplexit"at auf die f"ur ein Modell relevanten Gr"ossen. Dies geschieht mittels traditioneller Instrumente der statistischen Mechanik (Projektionsoperator-Formalismus) auf analoge Weise, wie sich die stochastische Brownsche Bewegung f"ur ein Kolloid-Teilchen in einer klassischen Fl"ussigkeit aus der deterministischen Hamiltonschen Vielteilchendynamik ergibt. ----------------------------------------------- S17. Warum ist niemand vor mir darauf gekommen? ----------------------------------------------- Versuche, die Quantenmechanik als eine deterministische Theorie des gesamten Universums zu verstehen, gab es sicher viele; allerdings nur wenige in wissenschaftlich publizierter Form. Die Schwierigkeit liegt darin, aus philosophischen "Uberlegungen ein quantitatives Konzept zu machen, mit dem die Bornsche Regel abgeleitet und die traditionellen Gegenargumente (insbesondere von Wigner) "uberzeugend ausser Kraft setzt. Die beiden wichtigsten Alternativen (Bohm, Vielwelten) haben aber ihre eigenen gravierenden Probleme und haben sich deshalb nicht durchgesetzt. In Bohms Interpretation ist vieles gegenintuitiv; z.B.ist das Elektron eines Wasserstoffatoms im Grundzustand an einem fixen Ort (relativ zum Atomkern) lokalisiert und bewegt sich nicht von der Stelle! Daher wird diese Interpretation nur von einer Minderheit akzeptiert. Siehe auch http://www.mat.univie.ac.at/~neum/papers/physpapers.html#bohm In der Vielwelteninterpretation werden eine Vielzahl prinzipiell unbeobachtabarer Alternativwelten postuliert, und der Wahrscheinlichkeitsbegriff verliert seine traditionelle Bedeutung in der einen, tats"achlich beobachteten Welt. Daher ist auch diese Interpretation sehr umstritten. Siehe auch http://www.mat.univie.ac.at/~neum/papers/physpapers.html#manyworlds Das Neue an der Thermischen Interpretation ist die Identifikation der beobachtbaren Gr"ossen mit den langsam ver"anderlichen Erwartungswerten mikroskopischer Gr"ossen, im Sinne der statistischen Mechanik, statt diesen Erwartungswerten einen statistischen Sinn zu unterlegen. Dies ergibt einen klaren und intuitiven hintergrund, auf dem sich eine widerspruchsfreie Begr"undung der Wahrscheinlichkeitsstruktur aufbauen l"asst. In seinem Buch 'Direction of Physics' schreibt Dirac (1975) auf S.10: ''And I think it is quite likely that at some future time we may get an improved quantum mechanics in which there will be a return to determinism and which will, therefore, justify the Einstein point of view.'' (Damit meinte er _nicht_ die Bohmsche Mechanik, denn die lag schon in der Vergangenheit, hat ihn also offensichtlich nicht "uberzeugt.) ''But such a return to determinism could only be made at the expense of giving up some other basic idea which we now assume without question.'' Was man aufgeben muss, ist die bisher fraglos akzeptierte Interpretation des Erwartungswerts als _statistischen_ Begriff. (Dirac bezieht sich allerdings ausserdem auf Renormierungsprobleme in der Quantenfeldtheorie, die dadurch noch nicht behoben sind, aber vielleicht in einem neuen Licht erscheinen; vgl. die Bemerkungen zur Renormierung im Abschnitt ''Zwei Arten von Erwartungswerten''.) Es gibt einige leise Andeutungen einiger Autoren, die, wenn sie weiter in diese Richtung gedacht h"atten, wahrscheinlich auf dieselbe Interpretation gekommen w"aren: ''In a statistical description of nature only expectation values of correlations are observable.'' (Christof Wetterich, 1997, in hep-th/9703006) Wetterich http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wetteric/ ist einer der heutigen Experten f"ur Quantenfeldtheorie im Nichtgleichgewicht und die zugeh"orige Renormierungstheorie, mit numerisch eindrucksvollen Rechnungen, die mit dem Experiment verglichen werden k"onnen. ''the only reasonable interpretation of the variables p and q is as mean values rather than truly sharp values since we live in a world where hbar is nonzero.'' (John Klauder 2001, in: quant-ph/0112010) ''One is almost tempted to assert that the usual interpretation in terms of sharp eigenvalues is 'wrong', because it cannot be consistently maintained, while the interpretation in terms of expectation values is 'right', because it can be consistently maintained.'' (John Klauder 1997, in: quant-ph/9710029) Klauder http://www.phys.ufl.edu/~klauder/ ist einer der Physiker, der das Modellieren mit koh"arenten Zust"anden in der Quantenoptik durchgesetzt hat. Der von Klauder erw"ahnten Versuchung nachzugeben ist allerdings zun"achst ein riskantes Abenteuer, da man zun"achst damit allein auf weiter Flur steht. Wenn man es aber eingeht, wird man reich daf"ur belohnt... ---------------------------------------- S20. Der Messprozess im Quantenuniversum ---------------------------------------- Die traditionelle Interpretation der Quantenmechanik teilt die Welt in kleine Quantensysteme und grosse Messapparaturen auf, und beschr"ankt sich darauf, statistische Aussagen "uber die dann gemessenen Ergebnisse zu diskutieren. Andrerseits herrscht ein Konsens, dass die Quantenmechanik f"ur das gesamte Universum gelten sollte. (Sonst w"are z.B. die Suche nach eine Quantengravitationstheorie m"ussig.) Dann ist das gesamte Universum also ein Quantensystem, und die traditionelle Interpretation ist nicht mehr anwendbar. Offensichtlich vermessen wir aber das Universum, also braucht man eine verbesserte Theorie des Messprozesses. Der Messapparat ist hier, anders als sonst, ein Teil des vermessenen Systems. Man muss also den traditionellen Formalismus etwas verallgemeinern oder modifizieren. Das hat dazu gef"uhrt, dass eine Reihe von Alternativen diskutiert werden (Vielweltentheorie, Dekoh"arenz, Konsistente-Geschichte-Theorie, usw.), die aber alle ihre Haken haben und die ich deshalb hier nicht bespreche. Meine Meinung dazu findet man in http://www.mat.univie.ac.at/~neum/manyworlds.txt http://www.mat.univie.ac.at/~neum/zeh.txt Statt dessen diskutiere ich hier meine eigene Interpretation. In Kurzfassung sagt die Thermische Interpretation "uber Messen im Universum das Folgende: Das Universum ist das einzige abgeschlossene System, das es in unserer N"ahe gibt. Es ist unm"oglich, daf"ur zu sorgen, dass aus einem System keine Photonen entweichen, kein Energieaustausch mit dem Gef"ass stattfindet, usw. Genau diese Dinge aber sorgen daf"ur, dass man das System nicht mehr als deterministisch betrachten kann, weil die Einfl"usse von aussen unkontrolliert sind. (Auch wenn das auf den ersten Blick vernachl"assigbar erscheint, ist es das nur, wenn man makroskopische Ph"anomene untersucht. Mikroskopische Ph"anomene h"angen extrem empfindlich von ihrer Umgebung ab. Das wird genauer diskutiert in der Literatur "uber Dekoh"arenz.) Da das Universum abgeschlossen ist, gen"ugt es einer deterministischen Dynamik. Da wir stets nur einen kleinen Ausschnitt des Universums pr"aparieren, wenn wir Versuche machen, diese dann aber so beschreiben als w"aren sie isoliert in der Welt, ist es kein Wunder, dass wir anscheinend unerkl"arliche Zuf"alligkeiten beobachten. Das ist einfach eine Begleiterscheinung unserer Begrenztheit und der traditionell schlampigen Argumentationsweise. Sobald man n"amlich nur ein Teilsystem eines beliebigen deterministischen Systems betrachtet, verliert man n"amlich Information und kann das Teilsystem daher nur noch stochastisch beschreiben. Die praktisch beobachteten Ph"anomene lassen sich mit Diffusions- und Sprungprozessen modellieren, die sich aus der deterministischen Dynamik mit Hilfe des Projektionsformalismus der statistischen Mechanik herleiten lassen (rigoros allerdings nur unter sehr einschr"ankenden Voraussetzungen). Dies gilt nat"urlich ebenso f"ur Teilsysteme des Universums, und erkl"art damit den Zufall vollst"andig. Wenn man den Zustand des Universums also exakt kennen würde, würde man alles, was man messen kann, auch vorhersagen können. Dass Messwerte trotzdem nicht hundertprozentig sicher sind, ist also nicht eine Folge eines irreduziblen Quantenzufalls, sondern eine Folge der Tatsache, dass man mit einem Vielteilchensystem Eigenschaften eines anderen misst. Unsichere Messergebnisse und irreduzibler Quantenzufall haben nicht notwendig etwas miteinander zu tun. Denn Messwerte sind auch klassisch schon unsicher, wenn man mit einem Vielteilchesystem ein anderes misst. Und das trotz klassischer determiniertheit aller Ereignisse (inklusive Messwerte) durch den Zustand des Universums. Die Thermische Interpretation postuliert nun eine deterministische Dynamik f"ur das Universum als Ganzes, und deduziert daraus eine approximative stochastische Dynamik f"ur jedes Teilsystem. Die Thermische Interpretation stellt also (nur) den Determinismus wieder her. Die Unsicherheit der Messung wird nicht vermieden, aber wieder auf das vor 1900 herrschende, philosophisch unproblematische Mass zur"uckgef"uhrt. --------------------------------------------- S21. Das Quantenuniversum als formales Modell --------------------------------------------- Die deterministische Dynamik des Universums ist im Schr"odingerbild durch die von-Neumann-Gleichung und im Heisenbergbild durch die Heisenberggleichung gegeben. Das Heisenbergbild ist das vollst"andigere, weil es uns erlaubt, Zeitkorrelationen zu modellieren und sich ausserdem leicht relativistisch verallgemeinern l"asst. In dieser Diskussion gehen wir aber stets von einem nichtrelativistischen Universum aus und verwenden das Schr"odingerbild, um die Dinge zu vereinfachen. Der Zustand des Universums wird hier also durch ein zeitabh"angiges Ensemble modelliert. In der Thermischen Interpretation ist das Universum als Ganzes klassisch deterministisch und hat eine klassische Hamiltonsche Beschreibung (symplektisch, wenn man annimmt, der Zustand des Universums sei rein, Poissonsch im Allgemeinfall. Um Schreibarbeit beim Umgang mit Poissonklammern (vor allem auf dem Papier - ich habe Tausende von solchen Klammern geschrieben...) zu ersparen, habe ich mir die einfache Bezeichnung f \lp g = {g,f} erfunden. \lp ist ein Symbol, da wie ein um 180 Grad gedrehtes L aussieht (aber mit gleichlangen Schenkeln, siehe (37) in [EECQ}) und 'Lie' zu lesen ist. In LaTeX sieht das entsprechende Macro so aus: \def\lp{\mbox{\Large$\,_\urcorner\,$}} Die Poissonklammer erscheint so als bin"are Operation. Wir nennen f \lp g das Lie-Produkt von f und g. Es ist bilinear in den Argumenten und hat die Eigenschaften f \lp f = 0, f \lp g = - g \lp f f \lp gh = (f \lp g)h + g(f \lp h) (Leibniz) f \lp (g \lp h) = (f \lp g) \lp h + g \lp (f \lp h) (Jacobi) und zwei analoge gespiegelte Formeln, die sich aus f \lp g = - g \lp f ergeben. Die Gr"ossen in der Thermischen Interpretation sind Elemente f einer fixen Algebra E von Operatoren auf einem dichten Teilraums eines universellen Hilbertraum. Typische Gr"ossen sind z.B. Integrale f = integral dx^3 a*(x) c(x,Nabla x) a(x) wobei a(x) ein Quantenfeld ist und c(x,Nabla x) ein Differentialoperator, Linearkombinationen von Produkten solcher Funktionen, sowie Verallgemeinerungen davon. Die deterministische Differentialgleichung f"ur den Wert =_t der Gr"osse f an der Stelle t (wir unterdr"ucken im folgenden das Zeitargument, wenn nicht unbedingt n"otig) ist nun eine klassischen Hamiltonschen Dynamik der Form d/dt = \lp , (*) wobei H der Hamiltonoperator des Universums, eine spezielle, selbstadjungierte Gr"osse, ist und \lp := (wie man unschwer nachrechnet) eine klassische Lie-Poissonklammer im Raum der glatten Funktionen F(,...,) (**) mit beliebigen definiert. Im Einklang mit der quantenmechanischen Tradition setzen wir voraus, dass Ensembles 'normal' sind, sich also durch Dichtematrizen beschreiben lassen. Wir beschreiben den Zustand des Universums zum Zeitpunkt t also durch eine Dichtematrix rho(t), einen Hermitischen, semidefiniten Spurklasseoperator mit Spur 1. (Ob der Zustand rein ist, l"asst sich nicht entscheiden, da der uns zug"angliche Teil des Universums klein ist und die Projektion darauf schon die Reinheit verdirbt.) Die universelle Dichtematrix rho(t) bestimmt das Universalensemble durch die Vorschrift _t := trace rho(t) f f"ur den objektiven Wert jeder Gr"osse f zum Zeitpunkt t. Im Prinzip beobachtbar sind davon die gen"ugend langsam zeitlich und r"aumlich ver"anderlichen Gr"ossen; alle anderen sind 'verborgen', d.h. der Messung unzug"anglich. Alle in der Praxis aus Rohmessungen berechneten Messwerte haben die Form (**), wenn man von m"oglichen Stellen absieht, wo die Rechenvorschrift nicht differenzierbar ist. Allerdings sind die auf der rechten Seite von (*) auftretenden Ausdr"ucke in der Regel keine direkt messbaren Variablen mehr, sondern enthalten 'verborgene' Korrelationen. Das macht die klassische Dynamik nichtlokal und produziert Quanteneffekte. Mit ein bisschen "Uberlegung findet man nun auch wirklich heraus, dass (*) nichts anderes ist als die traditionelle von-Neumann Dynamik f"ur den Dichteoperator, nur ausgedr"uckt durch die Variablen der Thermischen Interpretation. Daraus folgt die vollst"andige Konsistenz der Thermischen Interpretation mit dem quantenmechanischen Formalismus. ------------------------ S22. Ein Modelluniversum ------------------------ In der Thermischen Interpretation ist das Universum durch drei mathematische Objekte festgelegt: 1. eine fixe Algebra E von Operatoren auf einem dichten Teilraums eines universellen Hilbertraum, 2. einem selbstadjungierten universellen Hamiltonoperator H aus dieser Algebra, 3. einem normalen Zustand rho auf dieser Algebra. F"ur das reale Universum ist die Algebra E der Gr"ossen von den Feldern des Standardmodells zusammen mit der Raumzeitmetrik erzeugt, und der Hamiltonoperator der aus der zugeh"origen Wirkung kanonisch hergeleitete. Der Zustand des Universums ist hingegen weitgehend unbekannt, da eine Kenntnis desselben im Rahmen der Thermischen Interpretation die Kenntnis aller Werte s"amtlicher Felder und Korrelationsfunktionen beliebiger Ordnung an allen Orten und zu jeder Zeit impliziert. Dagegen sind die Zust"ande vieler Teilsysteme einigermassen bekannt, insbesonders derer, mit denen Physiker experimentieren. Wegen der bisher ungel"osten Probleme der Quantengravitation und der Schwierigkeiten, aus dem Standardmodell Aussagen "uber makroskopische Detektoren abzuleiten, eignet sich dieses voll realistische Modell allerdings nicht f"ur die konkrete Analyse eines realen Messprozesses. Damit man sich unter dem abstrakten Universumbegriff aber etwas konkretes vorstellen kann, sei hier ein Beispiel eines Modelluniversums gegeben, das einfach genug ist, um es leicht zu spezifizieren und doch wichtige Aspekte des realen Universums wiedergibt. Wie beim realen Universum spezifizieren wir die Algebra E der Gr"ossen und den Hamiltonoperator H, lassen aber den Zustand rho offen und betrachten h"ochstens die dadurch induzierten Zust"ande auf Teilsystemen (siehe den Abschnitt ''Physikalische Systeme und ihre Messung''), soweit sie f"ur ein Experiment relevant sind. Wir betrachten dazu ein nichtrelativistisches Modelluniversum, dessen Materie aus einer unbestimmten Zahl von elementaren Kernen mit Masse m_l, Spin s_l und Ladung eZ_l (l=1,...L, Z_l>0 ganz) sowie Elektronen mit Masse m_0, Spin 1/2 und Ladung eZ_0 (Z_0=-1) besteht. Die Teilchen jeder Sorte sind ununterscheidbar. Zugeh"orige Basisgr"ossen sind ausser Massen, Ladungen und (f"ur Elektronen) Paulimatrizen die 3-dimensionalen Ortskoordinaten x^a und die zugeh"origen Impulse p^a, je einer pro Teilchen a, mit den "ublichen Kommutatorrelationen. Ausserdem enth"alt das Modelluniversum Strahlung, ausschliesslich in Form einer unbestimmten Zahl von Photonen, Bosonen mit Masse 0, Spin 0 und Ladung 0 und einer Frequenz im sichtbaren Bereich, also mit 3-dimensionalen Wellenvektoren k mit Frequenz omega=|k| aus einer Oktave in diesem Frequenzband entspricht. Zugeh"orige Basisgr"ossen sind die Strahlungsenergie H_rad := integral dk |k| a^*(k)a(k) und f"ur jedes Teilchen a ein Strahlungspotential U^a := g integral dk a(k) exp(ik dot x^a). Dabei gehen die Integrale "uber die Kugelschale K = {k | |k| in ]1,2[} die a(k) sind Vernichteroperatoren und die a^*(k) die dazu adjungierten Erzeugeroperatoren mit den "ublichen Kommutatorrelationen. (Die Einheiten sind so gew"ahlt, dass c=hbar=1 und die Frequenz des unteren Randes des Strahlungsspektrums 1 ist.) Die Algebra der Gr"ossen ist die von den Basisgr"ossen und allen Schwarzfunktionen in den x^a erzeugte Algebra von linearen Operatoren auf dem Raum \H = \H_matter tensor \H_rad, wobei \H_matter aus dem Nullraum des Ladungsoperators Q = sum_l=0^L a_l^*(x) Z_l a_l(x) im Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen im R^3 (mit der dem jeweiligen Spin entsprechenden Statistik) ist und \H_rad der Fockraum "uber dem Raum der Schwarzfunktionen auf K.. Den Hamiltonoperator des Universums setzen wir an als H = H_\matter + H_rad + g sum_a (U^a+(U^a)^*) mit einer Kopplungskonstante g. Dabei ist H_matter der Hamiltonoperator der Materie, gegeben durch die traditionelle Formel mit der Coulomb-Wechselwirkung. Das Modelluniversum ist translations und rotationsinvariant, und Streuprobleme lassen sich mit den traditionellen Formeln ohne Infrarot- oder Ultraviolettprobleme l"osen. Es gibt Atome, Molek"ule, chemische Reaktionen und Molek"ulspektren, keine Radioaktivit"at oder Kernreaktionen, kein polarisiertes Licht, keine Gravitation, keine mikroskopischen Felder, jedoch erzeugt die Coulomb-Wechselwirkung makroskopische elektromagnetische Felder. Damit ist ein Grossteil der realen Wirklichkeit qualitativ pr"asent, ohne dass die typischen Schwierigkeiten der Quantenfeldtheorie und der Eichtheorie auftreten. Insbesondere ist die gesamte Chemie des Universums (mit Ausnahme von Laserchemie) reproduzierbar, ebenso die gesamte Str"omungsmechanik, die geometrische Optik und fast die gesamte Festk"orperphysik. Das hat zur Folge, dass sich alle mechanischen oder hydraulischen Messger"ate, und die meisten optischen und elektrischen modellieren lassen. Insbesondere lassen sich fotographisch aufgezeichnete Versuche mit Blenden und Bildschirmen, wie das Doppelspaltexperiment, mit Licht und Photodetektoren, sowie Versuche mit Magneten, wie das Stern-Gerlach-Experiment in unserem Modelluniversum durchf"uhren. Vorausgesetzt, es gibt darin Physiker, die die Experimente durchf"uhren. Dies aus einem mikroskopischen Modell abzuleiten, "ubersteigt die M"oglichkeiten gegenw"artiger Physik, so dass dies ohne Beweis angenommen wird. W"ahrend der Durchf"uhrung des Versuchs sind Physiker entbehrlich; ihre Rolle beschr"ankt sich auf Pr"aparation des Experiments und das sp"atere Anschauen von Fotographien. Wir werden daher Physiker stets als Teil der irrelevanten Umgebung des Experiments betrachten. Damit ist keine Herabsetzung der Zunft der experimentellen Physiker, die f"ur all unser Detailwissen "uber das Universum verantwortlich sind, beabsichtigt. In unserem vereinfachten Modell des Universums bedeutet also Pr"aparation eines Experimentes einfach die Behauptung (Annahme), es g"abe im Modelluniversum ein physikalisches System in einem Anfangszustand mit den f"ur die vollst"andige Beschreibung des Experiments notwendigen Eigenschaften. Die Aufgabe der Analyse ist es, die daraus resultierenden Beobachtungen zu erkl"aren. ------------------------------------------- S23. Physikalische Systeme und ihre Messung ------------------------------------------- In der Thermischen Interpretation ist ein physikalisches System S definiert durch eine Algebra E_S von zugeh"origen Gr"ossen, auf der eine Spur trace_S mit der Eigenschaft trace_S fg = trace_S gf definiert ist. Typische Beispiele sind die Algebra der Operatoren auf einem kleinen Teilhilbertraum des universellen Hilbertraums (das gibt das traditionelle kleine Quantensystem), oder Algebren die von gewissen Integralen der Form f = integral dx^3 a*(x) c(x,Nabla x) a(x) erzeugt werden, wo c(x,Nabla x) nur am (mehr oder weniger ausgedehnten) physikalischen Ort des Systems wesentlich von Null verschieden ist (das gibt klassische Subsysteme auf der hydrodynamischen Ebene). Ein physikalisches System S hat zur Zeit t die objektiven Werte _t f"ur alle f in E_S, wo <.>_t das universelle Ensemble ist. Diese objektiven Eigenschaften lassen sich vollst"andig durch die reduzierte Dichtematrix rho_S(t) in E_S beschreiben, die durch _t = trace_S rho_S(t) f f"ur alle f in E_S und den Zustand des Universums vollkommen festgelegt. Es ist, nebenbei bemerkt, extrem unwahrscheinlich, dass der Zustand rho_S(t) rein ist, ausser man beschr"ankt die Algebra der Gr"ossen auf eine niedrigdimensionale Matrixalgebra (also z.B. 8-dimensional f"ur ein System von drei Spinvariablen) und pr"apariert den Zustand sorgf"altig. Um der Bezeichnung 'objektiv' gerecht zu werden, muss gekl"art werden, wie man sie misst. Der Wert _t einer Gr"osse f des physikalisches System S ist im Prinzip beobachtbar, falls er sich zeitlich und r"aumlich nicht zu schnell "andert und falls das System langlebig genug ist, die Messung vorzunehmen. Um _t zu messen, braucht man ein makroskopisches Ger"at (d.h. Vielteilchensystem, durch statistische Mechanik beschrieben), das so mit dem System gekoppelt ist, 1. dass die durch die Kopplung entstehende Dynamik den zu messenden Wert nicht verdirbt (sonst misst man zwar etwas, aber nicht das Gew"unschte), und 2. dass es eine makroskopische Pointervariable x besitzt, von der die Theorie zeigen kann, dass die Kopplung impliziert, dass nach gen"ugender Wartezeit ein Gleichgewichtszustand erreicht ist, f"ur den (im einfachsten Fall) =K mit einer bekannten Konstante K gilt. Dann kann man n"amlich aus der Beobachtung von ausrechnen: =/K. Ist das der Fall, so sagt man, man habe gemessen. Das ist eine pr"azise Definition des Messprozesses, die es - anders als in allen bisherigen Interpretationen der Quantenmechanik - erlaubt, den Messprozess auf der Basis des zugrundegelegten Modells allein zu analysieren, insbesondere ohne Annahmen "uber Wahrscheinlichkeiten, Kollaps, oder "ahnliches. Im Allgemeinen gibt es bei 1. und/oder 2. gewisse Probleme, das auf Grund der Dynamik des Vielteilchenquantensystems (was die einzige erlaubte Basis f"ur das Vorgehen in 2. ist) sicherzustellen, und als Folge davon kann man in der Regel nur approximativ bestimmen. Wenn man genauer rechnet, wird man feststellen, dass man zwar ein einzelnes im Prinzip gen"ugend genau bestimmen kann. Aber f"ur ein Paar komplement"arer Variablen (Ort und Impuls, oder Spin in unterschiedliche Richtungen) ist die gleichzeitige Messgenauigkeit grunds"atzlich durch eine Unsch"arferelation beschr"ankt; siehe Section 3 in [EECQ]. ------------------------------------------- S24. Vorhersage im Stern-Gerlach Experiment ------------------------------------------- Kennt man den Zustand des Universums vollst"andig, so kann man laut Thermischer Interpretation alle Einzelmessungen vorhersagen. Insbesondere sollte man also den Ort, wo Teilchen in einem Stern-Gerlach Experiment auftreffen, vorhersagen k"onnen. Da wir den Zustand in Wirklichkeit nicht kennen, ist das nat"urlich eine m"ussige "Uberlegung, aber es geht ja ums Prinzip. Wir arbeiten dazu im Schr"odingerbild, und bezeichnen den Zustand des Universums zum Zeitpunkt t mit rho(t). Das ist eine Dichtematrix, ein Operator auf dem Hilbertraum des Universums. Sie bestimmt das Universalensemble durch die Vorschrift _t := trace rho(t) f f"ur den objektiven Wert jeder beobachtbaren (gen"ugend langsam zeitlich und r"aumlich ver"anderlichen) Gr"osse f. Im klassische Stern-Gerlach Experiment gehen Silberatome an einem Magneten vorbei und werden anschliessend auf einem Detektor aufgefangen. Die Verteilung des Silbers auf dem Detektor ist dann durch ein Feld S(x) gegeben, das man mittels Quantenfeldoperatoren im Prinzip hinschreiben kann. Da dieses Feld in der f"ur den Versuch relevanten Aufl"osung makroskopisch ist, kann man lokales Gleichgewicht voraussetzen und erhalte (gem"ass statistischer Mechanik im lokalen Gleichgewicht, wie sie in vielen B"uchern beschrieben wird) als (bis auf eine gewisse Genauigkeit) beobachtbare Silberverteilung S(x,t) := _t = trace rho(t) S(x). Was man messen kann, ist also offensichtlich durch den Zustand des Universums bestimmt. Wenn Gott 1. diesen Zustand zum Zeitpunkt t=0 kennt, 2. den Hamiltonoperator des Universums kennt, und 3. die von-Neumann-Gleichung l"osen kann, kann er damit rho(t) ausrechnen und daher die beobachtbare Silberverteilung zu jedem Zeitpunkt vorhersagen. Wenn man etwas genauer modelliert, und ausserdem die Quantenquelle samt Magneten mit einbezieht, findet man, dass S(x,t) einem Sprung-Diffusionsprozess gen"ugt, der mit den zuf"alligen Einzelbeobachtungen und der vorhersagbaren Verteilung (n"amlich zwei Flecken, die den beiden Spin-Eigenwerten entsprechen) gut "ubereinstimmt. ---------------------------------------------------- S25. Was passiert einzelnen Photonen am Doppelspalt? ---------------------------------------------------- Das einzelne Photon ist in meiner Interpretation nicht messbar, es hat keine zugeh"orige Beobachtungsgr"osse. Photonen sind ununterscheidbar, man kann also nicht sagen, wo ein bestimmte Photon ist. Was existiert, ist die Photonendichte. Die dr"uckt sich sozusagen wie ein "Ol durch den Doppelspalt, und bildet nach den Regeln der Quantenmechanik ein Interferenzmuster in der Dichte aus. (Vergleich als Bild nehmen und nicht allzu w"ortlich!) Beim Auftreffen auf dem Schirm sorgt die nichtlokale Dynamik daf"ur, dass von Zeit zu Zeit proportional zur Photonendichte ein Elektron in einen angeregten Zustand versetzt wird, eine chemische Reaktion stattfindet, oder was immer als Detektionsmechanismus gerade relevant ist. Dass dies stochastisch geschieht, liegt daran, dass das Experiment hochempfindlich auf den Rest des Universums reagiert. Wie man dieses stochastische Verhalten auf der formalen Ebene beg"unden kann, wird im FAQ im Abschnitt ''Wie erkl"art sich der Zufall?'' abgehandet. Das ist allerdings etwas technischer und erfordert fortgeschrittene Techniken der statistischen Mechanik. V.B. Braginsky and F.Ya. Khalili, Quantum measurement, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1992 ist ein ausgezeichnetes Buch "uber _reale_ Quantenmessprozesse, die sich eng an moderne Quantenoptikexperimente anlehnen, und nichts von der von-Neumann-Karikatur einer Quantenmessung haben. Auf S.3 unten schreiben sie: ''Experiments on the interference and diffraction of light, when performed with very low intensities, revealed further that an interference pattern (a classical, pure wave effect) shows up on a photographic plate only when the number of photons falling on the plate is very large. Each photon in such an experiment is _completely_destroyed_ [original italic] (ceases to exist) by interacting with the plate's silver chloride molecules. When the photon is destoyed there appears somewhere on the photographic plate an atom of free silver, which acts as an embryo from which, by photographic developing, a small seed of silver will grow. The silver embryo is much smaller than an electromagnetic wavelength. This is remarkable. In the interference process (e.g. in the two-slit experiment of Fig. 1.1), [standard picture] the photon must have been influenced by the locations of both slits, since the interference pattern depends on the distance between them. This means that the photon must have occupied a volume larger than the slit separation. On the other hand, when it fell on the photographic plate, the photon must have been localized into the tiny volume of the silver embryo. Later the terms 'collapse of the wave function' and 'reduction of the wave packet' were used to describe such localization.'' Im Einklang mit der Thermischen Interpretation schreiben sie einem Photon im Doppelspaltexperiment ein Volumen zu, das gr"osser ist als der Abstand der beiden Spalte. ---------------------------------------------------------------------- S26. Der Quantenradierer in der Thermischen Interpretation ---------------------------------------------------------------------- (F"ur den Hintergrund des Experiments siehe http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/qradierer/qradierer.html wo der experimentelle Rahmen und seine statistische Interpretation ausf"uhrlich diskutiert wird.) Ein elektromagnetisches Quantenfeld wird von der Quelle erzeugt. Bis zum Spalt ist die (im Prinzip messbare) Feldst"arke auf eine kleine Umgebung eines Strahls konzentriert. Nach dem Passieren des Filters ist die Feldst"arke (in der Schnittebene senkrecht zu den Spalten) die zweier Kugelwellen. Hinter dem lambda/4-Pl"attchen ist die Feldst"arke auch noch die eines Sektors der zwei Kugeklwellen, aber in den beiden H"alften sind beide Kugelwellen unterschiedlich polarisiert (gibt insgesamt 6 F"alle: Jede Kugelwelle kann L- R- oder un-polarisiert sein, je nachdem, an welchem Ort. All das kann man objektiv nachpr"ufen, indem man einen Detektor an die zu pr"ufende Raumstelle stellt und eine gen"ugen lange Statistik macht. Die Detektoren messen die jeweilige Intensit"at, da diese proportional zum statistischen Mittel der Entladungen ist. Die Polarisationsrichtung kann man auch messen, indem man vor den Detektor noch ein Polarisationsfilter stellt. Benutzt man nun (durch parametrische Downkonversion erzeugte) verschr"ankte Photonenpaare, ist die Situation ein bisschen komplizierter, da das System nun durch lokale Gr"ossen nicht mehr hinreichend gut beschrieben ist. Aber die Thermische Interpretation kennt nichtlokale Gr"ossen: Paarkorrelationen von elektromagnetischen Feldern. Diese spielen auch schon klassisch eine wichtige Rolle, wo sie ben"otigt werden, Polarisationsph"anomene klassisch zu beschreiben. Siehe etwa L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics, Cambridge University Press, 1995. Um Paarkorrelationen zu messen, braucht man zwei an unterschiedlichen Orten aufgestellte Detektoren. (Darin besteht die Nichtlokalit"at.) Ebenso wie bei der Vermessung der Feldst"arke im einfachen Experiment kann man sich davon "uberzeugen, dass die Paarkorrelationen objektive Eigenschaften des Quantenfelds sind. (Die Messzeiten, um genaue Messergebnisse zu bekommen, sind allerdings erheblich h"oher.) Die Messung an den im Experiment fest aufgestellten Detektoren unterscheidet sich nicht von der Messung an beliebigen Stellen. Es sind imperfekte Messungen der Intensit"at bzw. der Paarkorrelationen, die wegen der Quantenstruktur der Detektoren ein erratisches Verhalten haben, aber im Mittel die Intensit"at und die Paarkorrelationen korrekt wiedergeben. Teilchen kommen in der Beschreibung des Experiments im Rahmen der Thermischen Interpretation gar nicht vor. Die "ubliche Annahme, dass einzelne Klicks im Detektor durch Eintreffen einzelner Photonen entstehen, ist rein metaphysisch und kann im Rahmen der Quantenmechanik weder bewiesen noch widerlegt werden. Sie wird in der Thermischen Interpretation verworfen. Statt dessen sind, was sich ph"anomenologisch wie Teilchen verh"alt, einfach lokal (entlang kleiner umgebungen von Weltlinien) hohe Konzentrationen von Feldern. Also etwa wie Buchstaben lokale Konzentration eines Druckerschw"arzefelds sind. Damit lassen sich alle experimentellen Befunde ohne Probleme im Rahmen der durch die Thermische Interpretation erkl"arten Quantentheorie quantitativ verstehen. ------------------------------------------------------- S27. Muss man den ganzen Zustand des Universums kennen? ------------------------------------------------------- Nach g"angiger Auffassung kann man Experimente unabh"angig vom Rest des Universums analysieren; der Zustand des Universums steht dagegen in der Thermischen Interpretation an prominenter Stelle - alles h"angt davon ab, da nur _seine_ Dynamik deterministisch ist. Allerdings d"urfte der mikroskopische Zustand des gemessenen Systems samt Messger"at reichen, um die dominanten Effekte zu bekommen. Nur h"angen deren zeitliche Entwicklung von _deren_ Umgebung ab, usw., so dass man nach gen"ugend vielen Zwiebelschalen das ganze Universum hat. Die "ausseren Schichten tragen nat"urlich nur noch wenig bei, verhindern aber ein vollst"andig desterministisches Bild. Man kann aber vermutlich bei gen"ugend vorsichtiger Definition des Randes eines Experiments die Rolle des Rests vom Universum auf die Vorgabe der zeitlichen Entwicklung des Mikrozustands des Randes beschr"anken. Man hat dann allerdings statt einem Anfangswertproblem ein Anfangs-Randwertproblem, da der Mikrozustand des Randes als zu _allen_ f"ur das experiment relevanten Zeiten bekannt sein muss. ------------------------------------------------------- S28. Kann man den Zustand des Universums falsifizieren? ------------------------------------------------------- "Uber den Zustand des Universums k"onnen wir nie _alles_ herausfinden, aber sehr vieles schon. Insbesondere k"onnen wir leicht falsifizieren, dass der Zustand des gesamten Universums irgendetwas blind vorgegebenes sein kann! Nehmen wir der Einfachheit halber an, das Universum sei in einem reinen Zustand psi. Nehmen wir ausserdem an, wir h"atten ein Koordinatensystem irgendwie eindeutig festgelegt (etwa nach GPS-Art). [Hier lassen sich n"at"urlich Zweifel anmelden, ob das geht, aber Physiker machen ja auch sonst viele Plausibilit"atsannahmen, die noch hinterfragt werden k"onnten.) Im zugeh"origen Hilbertraum gibt es dann Operatoren M(x) (genauer, operatorwertige Distributionen), die die Massendichte an der Stelle x beschreiben. "Uber die Verteilung von M(x) f"ur x in unserem Sonnensystem wissen wir z.B. recht gut Bescheid, da wir diese in beliebiger Wiederholung ziemlich genau messen bzw. extrapolieren k"onnen, also durchaus genaue Statistik dar"uber anfertigen. Sei rho(x,m) die gemessene Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Quantenmechanik sagt nun voraus, dass f"ur gen"ugend sch"one Funktionen f(m) die Formel psi^*f(M(x))psi = integral f(m) rho(x,m) dm (*) mit einer Genauigkeit gilt, die bei beliebig gew"ahltem Konfidenzlevel ebenfalls vorhergesagt wird. Gibt man nun psi blind vor (etwa mit einem Zufallsgenerator, der Einheitsvektorem im Hilbertraum ausw"urfelt), so l"asst sich (8) mit denselben Verfahren testen, mit denen auch sonstige Vorhersagen statistisch auf ihre Vertr"aglichkeit mit der Theorie gepr"uft werden. Rein zuf"allig gew"ahlte psi werden diesen Test mit extrem hohem Konfidenzlevel nicht "uberleben. Der Zustand des Universums ist also ziemlich stark durch die Gesamtheit aller uns bekannten Fakten "uber das Universum eingeschr"ankt. Wenn man extrapoliert, kann man also durchaus plausibel argumentieren - mit genau denselben Argumenten, mit denen man Argumeniert, dass der Zustand eines N_Teilchensystems festgelegt ist - dass der Zustand des Universums eindeutig festgelegt ist, auch wenn wir ihn nie genau bestimmen k"onnen. ---------------------------------- S30. Wie erkl"art sich der Zufall? ---------------------------------- Die Technik ist im Prinzip bekannt. Siehe etwa: H Grabert, Projection Operator Techniques in Nonequilibrium Statistical Mechanics, Springer Tracts in Modern Physics, 1982. Das ist "ubrigens das beste Buch "uber Projektionstechniken, das ich kenne. Nicht perfekt, aber sauber und klar geschrieben, mit allen relevanten Details, und auf das Wichtige beschr"ankt. Grabert wendet die Technik auf verschiedene interessante Spezialf"alle an, und bekommt so aus der fundamentalen Liouville-Gleichung z.B. die Navier-Stokes-Gleichungen, stochastische Diffusionsprozesse, Mastergleichungen und Quanten-Markov-Prozesse a la Lindblad. Seine Darstellung geht deutlich "uber die durchschnittliche hinaus, da sie 1. zeigt, dass die Methode universell ist und _alle_ traditionellen Gleichungen liefert (und daher meiner Meinung nach ebenso prominent in die Physikausbildung geh"ort wie die Hamiltonsche Mechanik!) 2. ganz deutlich macht, wie der Zufall zustandekommt (jedenfalls, wenn man das Buch mit den richtigen Augen - und zwischen den Zeilen - liest). Wenn man dieselbe Technik auf den Messprozess anwendet (was vor mir anscheinend niemand in der notwendigen Allgemeinheit getan hat), indem man als relevante Operatoren alle Funktionen von (kommutierenden) Pointervariablen und alle (nichtkommutierenden) Operatoren, die das quantenmechanische Teilsystem beschreiben, bekommt man nach einer Markov-Approximation als reduzierte Dynamik einen quanten-klassischen Diffussions-Sprung-Prozess f"ur die Erwartungswerte der reduzierten Variablen. Man sieht also genau, wie der Zufall entsteht - er ist nichts anderes als der hochfrequente, nicht mitmodellierte Anteil der Dynamik, der wegprojiziert worden ist, sich aber nat"urlich nicht ganz aus der Welt schaffen l"asst, sondern seine Spuren hinterl"asst. Wahrscheinlichkeiten sind also einfach Konsequenzen der gew"ahlten Beschreibungsebene. Beschreibt man das Universum mit _allen_ Details, die es objektiv darin gibt, so ist es deterministisch. Beschreibt man dagegen ein Teilsystem, als ob es allein im Universum w"are (und das tun wir praktisch immer), so ist der Einfluss des nicht mitmodellierten Teils zwar trotzdem da, kann aber nur noch approximativ durch stochastische Einfl"usse modelliert werden. Daher sieht es in dieser reduzierten Beschreibung wie zuf"allig aus. Und wenn man es quantitativ fasst, kommt aus der Analyse mit dem Projektionsformalismus gerade die Bornsche Regel heraus! Es ist qualitativ nicht viel anders als beim W"urfeln. Modelliert man alle Kr"afte, so ist die Bahn des W"urfels determiniert; modelliert man aber nur die Punktezahl, bekommt man die traditionellen Wahrscheinlichkeiten. Nur die Auswertungsformeln sind etwas verschieden. Die effektive Nichtlinearit"at der beobachtbaren stochastischen Dynamik ergibt sich aus dem Projektionsformalismus. _Dort_ ist nat"urlich ein unbewiesener Schritt von derselben Art, wie er "uberall auftritt, wo aus einer reversiblen eine irreversible Dynamik wird. Aber dies gilt im Gefolge von Boltzmann heute als gut verstanden und hat den Konsens der Physiker. ------------------------------------------------ S31. Ist der quantenmechanische Zufall objektiv? ------------------------------------------------ L"asst sich das Teilsystem objektiv auszeichnen, so ist der durch diese Auszeichnung und die dadurch notwendige Projektion entstehende Zufall ebenfalls objektiv. Das gilt jedenfalls f"ur gewisse, kanonisch ausgezeichnete Beschreibungsebenen (Hydromechanik = lokales Gleichgewicht, Kinetik = mikrolokales Gleichgewicht) und verschiedene Hybride mit qunatenmechanischen Systemen. (Man kann nat"urlich auch sehr subjektive Beschreibungsebenen w"ahlen, und der Zufall wird dann dementsprechend subjektiv.) Es ist also objektiver Zufall, der durch die reduzierte Beschreibung auf wohldefinierten Beschreibungsebenen entsteht. Subjektiv h"ochstens in dem restriktiven Sinn, dass, was Zufall ist, von der Beschreibungsebene (Auszeichnung des Teilsystems durch Angabe der relevanten Gr"ossen) abh"angt, und dass diese Ebene unterschiedlich gew"ahlt werden kann, und in diesem Sinn vom beschreibenden Subjekt abh"angt. Aber durch die Beschreibungsebene, d.h. in der Praxis die Wahl der zeitlichen und r"aumlichen Skala, auf der ein Ph"anomen aufgel"ost werden soll, und der dadurch implizierten Algebra der relevanten Beobachtungsgr"ossen, ist der Zufall _objektiv_ festgelegt, und k"onnte bei vollst"andiger Kenntnis des Zustandes des Universums vorhergesagt werden. Die bei der Projektion gemachten Approximationen (um einen Markov-Prozess zu bekommen) legen die Verteilung aller relevanten Variablen vollst"andig fest als Ausdr"ucke, die sich aus dem Zustand des Universums im Prinzip ausrechnen lassen. Durch unscharfes Messen kommt nat"urlich ein weiteres Zufallselement ins Spiel, das rein statistischen Charakter hat. --------------------------------------------------- S32. Wie fasst man Wahrscheinlichkeitsverteilungen? --------------------------------------------------- Ein Experiment, das Auskunft "uber die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable x macht, erscheint in der Terminologie von Section 8 von [EECQ] als ein Experiment, das allen gen"ugend einfachen Funktionen f(x) als Wert v(f(x)) den Erwartungswert von f(x) zuordnet. Die Kenntnis s"amtlicher Erwartungswerte ist gleichwertig mit der Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung. In der Praxis misst man aber nur endlich viele Realisierungen von x und kann daher f"ur Zufallsvariable mit kontinuierlichem Spektrum immer beliebig verr"uckte, irregul"are Funktionen konstruieren, die z.B. an allen bisher gemessenen Werten 1 sind und an allen n"achste Woche zu messenden Null sind. jegliche angewandte Statistik geht davon aus, dass man solche irregul"aren Funktionen ausser Acht l"asst. -------------------------------------------- S33. Was wird aus dem Superpositionsprinzip? -------------------------------------------- In der traditionellen Analyse des Nesssprozesses nach von Neumann wird radikal vereinfacht (wodurch die Probleme entstehen), indem man Messungen als Reduktion auf Eigenwerte auffasst, und allgemeinere Situationen dann mit Hilfe des Superpositionprinzips analysiert. In der Thermischen Interpretation ist das ein klein bisschen komplizierter. Wenn man n"amlich ein experiment wiederholt, hat sich der Zustand des Rests der Welt schon ver"andert, und man hat daher nicht mehr exakt dieselbe Situation. Sondern nur noch im Mittel dieselbe. Das macht den ganzen Unterschied, Man kann n"amlich nicht ganze Universen superponieren. Jedenfalls w"usste ich nicht, wie das pr"apariert werden soll. Es gibt in der Thermischen Interpretation nur _einen_ Zustand, den des gesamten Universums. Alles andere sind Derivate. Das Superpositionsprinzip gilt nur f"ur Systeme, die so klein sind, dass man sie innerhalb dieses Universums in praktisch beliebiger Anzahl herstellen und manipulieren kann. Makroskopische Systeme geh"oren definitiv nicht mehr dazu! Diese Einschr"ankung bringt Wigners klassisches Argument J.A. Wheeler and W. H. Zurek (eds.), Quantum theory and measurement. Princeton Univ. Press, Princeton 1983, Kapitel II.2, insbes. pp. 285-288. (siehe dazu den Beitrag ''Does decoherence solve the measurement problem?'' in meinem theoretical physics FAQ auf http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physics-faq.txt) zu Fall, das die Unvereinbarkeit von uneingeschr"ankter Unitarit"at, dem uneingeschr"ankten Superpositionsprinzip und dem Kollaps des Zustands bei einer Messung beweist. Wir betrachten das detailliert im n"achsten Beitrag anhand der Messung eines einzelnen Spins. ---------------------------------- S34. Spinmessung formal betrachtet ---------------------------------- Aus der Sicht der Thermischen Interpretation stellt sich eine Spin-Messung im Schr"odingerbild formal so dar: <.>_t ist der Zustand des Universums zum Zeitpunkt t, monoton und linear auf der Algebra \E aller Gr"ossen. \E_S ist die Algebra der Gr"ossen des Systems. Also f"ur einen Spin die Algebra der komplexen 2x2-Matrizen A = [A_11,A_12;A_21,A_22]. J:\E_S --> \E eine unit"are Darstellung, die angibt, welcher von den vielen Spins im Universum genau das System darstellt. Das Teilsystem wird ebenfalls im Schr"odingerbild beschrieben: Zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist das System S im Zustand rho_t, der durch _t = trace rho_t A f"ur alle A in \E_S. eindeutig festgelegt ist. Falls zu einer Zeit t die Beziehung rho_t = psi_t psi_t^* gilt, sagt man, man habe das Teilsystem in einem reinen Zustand psi_t pr"apariert. S ist zum Zeitpunkt t im reinen Zustand |s> (s=1,2), falls rho_t = |s>_t = A_ss f"ur alle A in \E_S. Das wird f"ur gewisse, pr"aparierte Zeiten t in EIG(s) der Fall sein, aber im Allgemeinen in der Regel nicht. Zu gewissen anderen Zeitpunkten t in SUP sei S statt dessen in einer reinen Superposition psi_t pr"apariert, also rho_t = psi_t psi_t^* und daher _t = psi_t^* A psi_t f"ur alle A in \E_S. W"ahrend den unpr"aparierten Zeiten ist das System in der Regel in einem u.U. gemischten Zustand. z ist die gemessene makroskopische Zeigervariable, die s messen soll. Die Reaktionszeit des Detektors (bis sich Gleichgewicht eingestellt hat) sei R; die anschliessende Totzeit (bis eine weitere zuverl"assige Messung m"oglich ist) sei T. Gemessen wird das zur Zeit t pr"aparierte System also, indem der thermodynamische Gleichgewichtswert s_t := _{t+R} auf eine Genauigkeit eps genau abgelesen wird. F"ur ein vern"unftiges Messger"at wird vorausgesetzt, dass (innerhalb der Messgenauigkeit eps) s_t = s f"ur alle t in EIG(s), falls je zwei aufeinanderfolgende Messungen mindestens den zeitlichen Abstand R+T haben. Das kann in einer Kalibrierungsphase gepr"uft werden. Die unit"are Dynamik im Universum ist gegeben durch _t := _0, wobei U(t)U^*(t)=U^*(t)U(t)=1. Mehr weiss man a priori nicht. Offenbar kann man daraus - ganz anders als in Wigner's idealisierter Analyse - nicht allgemein folgern, wie der Messwert bei den in einer Superposition pr"aparierten Systemen aussehen muss. Dies muss statt dessen durch eine Analyse mit den Mitteln der statistischen Mechanik gekl"art werden. Diese liefert bei einer entsprechenden Modellwechselwirkung die gew"unschte Wahrscheinlichkeitsstruktur und die Bornsche Regel. ---------------------------------------------- S35. Was ist an Wigner's Analyse idealisiert? ---------------------------------------------- Wigner's Analyse setzt zus"atzlich voraus, dass die Messung eine sogen. von-Neumann-Messung ist, d.h., dass ein System, das (im Beispiel des Spins) im reinen Zustand |s> ist, diesen Zustand nach der Messung beibeh"alt. Diese weitverbreitete Annahme ist aber beim Stern-Gerlach Versuch nicht gerechtfertigt. Ein Silberatom in einem Spin-up Zustand |1> sitzt nach der Messung irgendwo auf der Schirmoberfl"ache, sicher nicht mehr mit Spin up, sondern auf komplizierte Weise mit dem Schirm verschr"ankt! Es besteht also ein grosser Unterschied zu einer idealisierten von-Neumann Messung! Die Annahme einer von-Neumann-Messung beruht darauf, dass bei einem sicheren Ergebnis eine Wiederholung der Messung, auch mit einem neuen Messgerät, das Ergebnis reproduzieren sollte. Das ist nur bei nichtzerst"orerischen Messungen der Fall. Nichtzerst"orerische Messungen sind aber schwierig, weil sie indirekt messen m"ussen und sind vor 1980 undurchf"uhrbar gewesen. Insbesondere l"asst sich bei weitem nicht alles nichtzerst"orerisch messen. Nichtzerst"orerische Messungen werden in der Literatur diskutiert, z.B. Braginsky et al, Science 209 (1980), 547-557. Sie begr"unden auch, warum Ortsmessungen (also Zeiger ablesen, Bilder ausmessen) nie nichtzerst"orerisch sein k"onnen. Typische Messvorgange, insbesondere die f"ur die traditionellen Paradebeispiele (Interferenz am Doppelspalt, Stern-Gerlach, Photoeffekt, Geigerz"ahler, usw.) geh"oren also nicht zu den von-Neumann-Messungen. Eine von-Neumann-Messung ist hochgradig idealisiert und beschreibt eigentlich keine echte (irreversible) Messung, sondern nur eine weitere Pr"aparation. Daher kann man auch die Reduktion an eine beliebige Stelle im Kommunikationsprozess verschieben. Meiner Meinung nach kommt die traditionelle Identifikation von Messung und von-Neumann-Messung durch konzeptuelle Schlamperei zustande. Das Vorbeifliegen eines Silberteilchens am Magneten oder das Durchfliegen eines Photons durch einen Doppelspalt ist keine Messung, sondern erst das Auftreffen auf der Photoplatte. (Versucht man etwa am Spalt wirklich zu messen, verschwindet die Interferenz.) Man betrachtet aber stillschweigend das Passieren von Filtern (Magneten, Doppelspalt, Prisma, Polarisationsfilter ...) als eine Messung, weil man weiss, was herauskommen w"urde, _wenn_ man messen w"urde. Darin liegt der Fehler. Denn die QM macht einen Unterschied (und ger"at in Widerspr"uche, wenn man ihn nicht macht), ob die Versuchsanordnung tats"achlich Information an die Umgebung verliert (und nur das macht eine Messung aus), oder ob sie es nur tun w"urde, wenn... (was keine Messung ist). Fiktive "Uberlegungen im Konjunktiv haben keine physikalischen Wirkungen. --------------------------------------------- S36. Kollaps als bedingte Wahrscheinlichkeit? --------------------------------------------- In meinem Collapse Challenge quant-ph/0505172 beschreibe ich das Messproblem in seiner vielleicht einfachsten Form: dem Kollaps des Zustands beim Passieren einer Blende. Unabh"angig von der Interpretation ist auf jeden Fall ein Kollaps da; nur bezieht er sich auf Unterschiedliches, je nach Interpretation. 1. Wenn man den Zustand (die Wellenfunktion modulo Phase) mit 'Wissen' identifiziert, hat man die statistische Interpretation, und der Kollaps ist dann bekanntlich einfach der "Ubergang zur bedingten Wahrscheinlichkeit. Er existiert, aber er birgt keine Probleme. Nach dieser Interpretation ('Zustand = Wissen') sagt die Quantenphysik nicht das Geringste "uber die Wirklichkeit aus, sondern nur etwas "uber mentale Vorg"ange im Beobachter - n"amlich, wie sich sein Wissen "andert, wenn er Notiz von einem Messergebnis nimmt und es als echt akzeptiert. (Wenn er es n"amlich nicht akzeptiert, bleibt sein Wissen das alte und die Wellenfunktion daher unreduziert!) Eine konsistente Haltung, zugegeben. Aber Physik auf Psychologie zu reduzieren, ist ein Verzweiflungsschritt, nicht eine L"osung des Grundlagenproblems. 2. Die Alternative ist, den Zustand mit dem Objekt zu identifizieren. Das ist das, was Physiker pragmatisch tun, wenn sie Experimente planen und durchdenken. Und es ist das, was mit der Praxis realer Quantenmessungen - wie etwa in dem zitierten Buch von Braginsky und Khalili beschrieben - in Einklang ist. Dann ist der Zustand und das Photon auf der Modellebene identisch, im selben Sinn wie ein klassisches Bohrsches Atom ein Paar von Punkten im Phasenraum ist. Dann ist der Kollaps ebenfalls da, aber nun ist er ein objektives (beobachterunabh"angiges) Problem der statistischen Mechanik: das Ergebnis der Wechselwirkung des Quantensystems mit einer Vielteilchen-Blende. Vor Jaynes, der die unselige psychologische Interpretation (1.) aufgebracht hat, war meines Wissens 2. der Default. Von Neumann und Wigner haben zwar das 'Mind' ins Spiel gebracht, aber nicht von ''state = knowledge' geredet. --------------------------------------------- S40. Was sind die Beables der Interpretation? --------------------------------------------- In meiner Thermischen Interpretation existieren alle Erwartungswerte objektiv als Beables im Sinne Bells. Manche davon sind der Messung zug"anglich - n"amlich die, die zeitlich und "ortlich langsam genug ver"anderlich sind sowie eine kleine Unsch"arfe haben. Dazu geh"oren wegen dem Gesetz der grossen Zahlen insbesondere die thermodynamischen Gr"ossen. Alle "ubrigen sind der Messung unzug"anglich - es sind die verborgenen Variablen, nach denen Einstein und andere so lange suchten. Die meisten davon sind hochgradig nichtlokal, im Einklang mit Bells Theorem. Meine Thermische Interpretation stellt also den Realismus wieder her, ohne wie Bohm zus"atzliche Freiheitsgrade in die Quantenmechanik aufnehmen zu m"ussen. -------------------------------- S41. Was ist ein Erwartungswert? -------------------------------- Ein Ensemble ordnet jeder (gen"ugend 'guten') Gr"osse f einen Erwartungswert zu. Damit der Name Erwartungswert gerechtfertigt ist, muss die Abbildung f --> linear und monoton sein, = alpha + beta f"ur alpha, beta in C, <= falls f <= g und eine Stetigkeitsbedingung gen"ugen. Das Standardbeispiel, das diesem Begriff den Namen gibt, ist der Mittelwert aus einer Anzahl von Realisierungen einer Zufallsvariable. Aber wie "uberall in der Mathematik deckt ein namensgebendes Beispiel selten das ganze Spektrum der Anwendungen ab. Man darf sich also unter einem abstrakten Ensemble nicht ein konkretes Ensemble aus vielen gleichartigen Objekten vorstellen, sondern dies nur als oft n"utzliche, oft aber auch irref"uhrende Illustration ansehen. Insbesondere wird das Universum in der Thermischen Interpretation durch ein Ensemble beschrieben, obwohl das Universum einzigartig ist, es also insbesondere nur eins davon gibt. (Zumindest ist es das einzige abgeschlossene physikalische System, von dem wir jemals Kenntnis haben k"onnen! Denn Kenntnis setzt Wechselwirkung voraus, und damit Nichtabgeschlossenheit.) Erwartungswerte gibt es in unterschiedlichen Auspr"agungen. Der mathematische Formalismus beschreibt nicht nur die statistische Auswertung von Versuchsreihen, sondern z.B. auch die statistische Mechanik. Wenn ich die Temperatur einer Tasse Tee messe, mache ich eine _einzige_ Messung, und erhalte eine Zahl, aus der ich dann mit den Mitteln der Thermodynamik und bekannter Eigenschaften des Materials 'Tee' die innere Energie ausrechnen kann. Die habe ich also unfreiwillig mitgemessen. Die innere Energie ist aber nach Auskunft der statistischen Mechanik der Erwartungswert des mikroskopischen Energieoperators. Dieser Erwartungswert gen"ugt allen Anforderungen der Mathematik, obwohl er eine Einzelmessung an einem Einzelsystem ist - man braucht nicht "uber Hunderte Teetassen oder Hunderte von Messungen an derselben Tasse zu mitteln. Das grosskanonische Ensemble, das hier betrachtet wird, ist rein fiktiv, um mit statistischen Konzepten arbeiten zu k"onnen. Es ist ebenso fiktiv wie der 6N-dimensionale Phasenraum ein fiktiver 'Raum' ist, in dem wir denken wie in 3 Dimensionen, um uns eine intuitive Vorstellung davon machen zu k"onnen. Mathematische Konzepte sind ihrer Natur nach abstrakt: Um sie verwenden zu k"onnen, ist es nicht n"otig, dass die reale Bedeutung der Konzepte dieselbe ist wie die, in der das Konzept urspr"unglich entwickelt wurde, sondern nur, dass dieselben formalen Beziehungen erf"ullt sind. ------------------------------- S42. Was ist eine Pr"aparation? ------------------------------- Ich habe mir angeschaut, was Experimentatoren, insbesondere in der Quantenoptik, tats"achlich _tun_, und nicht, wie sie dar"uber _reden_. Physiker reden oft davon, dass sie Teilchen in einem bestimmten Zustand pr"apariert haben. Was besagt die Aussage gew"ohnlich? Die experimentelle Anordnung enth"alt eine Prim"arquelle von Teilchen, "uber deren Zustand man relativ wenig weiss. Durch ein System von Blenden und Filtern wird daraus ein Teilchenstrahl gewonnen, der nur noch Teilchen im behaupteten Zustand enth"alt. Dieser Zustand (sagen wir Spin up) wird z.B. dadurch best"atigt, dass man den Spin in up-Richtung mit einem Stern-Gerlach Experiment misst und wirklich nur einen Fleck an der erwarteten Stelle findet. Aus der Sicht der Thermischen Interpretation ist das Messen des Flecks aber zun"achst nur eine Messung makroskopischer Eigenschaften des Schirms, nur indirekt mit dem objektiven Zustand des systems verkn"upft. Aus dieser Sicht stellt sich dieselbe Pr"aparation so dar: Pr"apariert wird die Quelle, d.h. der Strahl, aber nicht das einzelne Teilchen. Auf der Ebene der Quantenfeldtheorie ist ja nicht einmal klar, ob man im Strahl Teilchen hat oder Felder. Die Thermische Interpretation redet aber nur "uber vorher mathematisch pr"azise definierte Objekte, darf sich also in dieser Hinsicht nicht festlegen. Station"are Quellen haben einen wohldefinierten, vermessbaren Quantenzustand, gegeben durch eine Dichtematrix. Mit dieser Interpretation gibt es keinerlei Probleme hinsichtlich Pr"aparation. ----------------------------------------- S43. Was ist eine mikroskopische Messung? ----------------------------------------- Physiker reden viel vom Messen mikroskopischer Gr"ossen. Aber was messen sie wirklich? Da meine Thermische Interpretation hier eine andere Auffassung vertritt als die Tradition, ist es wert, letztere genauer zu betrachten. Schauen wir uns also die Behauptung n"aher an, ein Physiker habe in einem Experiment den Spin eines Teilchens gemessen. Was ist wirklich passiert? Gemessen wird eine makroskopische Gr"osse, die stabil genug ist, dass sie sich "uberhaupt reproduzierbar beobachten l"asst. Das ist der Roh-Messwert. Daraus wird mittels theoretischer "Uberlegungen (alles Handwaving) auf den Spin des einzelnen Teilchens geschlossen und einfach behauptet, man habe diesen Spin gemessen. Bei der Menge an Approximationen, die von der Beschreibung von System+Apparat+Umgebung zur gemachten Behauptung, man h"atte einen Spin gemessen, f"uhren, und bei der Empfindlichkeit, mit der ein kleines Quantensystem auf St"orungen reagiert, ist das durchaus hinterfragbar. Wenn man genauer mit statistischer Mechanik nachrechnet, bekommt man auch wirklich keine sicherere Basis f"ur diese Behauptung, sondern nur die Aussage, dass man im Mittel den Spin misst. Man beobachtet auch tats"achlich ziemlich zuf"allige Einzelbeobachtungen und erst im Mittel eine brauchbare, reproduzierbare Beobachtung, die als physikalisch relevantes Faktum gelten kann. Insgesamt kann man bei geeigneter Versuchsanordnung genug Daten sammeln, um daraus die Dichtematrix der Quelle zu bestimmen, und damit alle von der pr"aparierten Quelle produzierten Erwartungswerte. Genau das ist es, was die Quantenoptiker in ihren Experimenten auch tum, sie wollen nicht mehr und nicht weniger "uber ein Quantensystem (das heisst eine station"are oder langsam ver"anderliche Quelle) wissen. "Uber ein Einzelteilchen machen sie jedoch keine Aussage; daf"ur interessieren sie sich auch nicht. Die physikalisch interessante Messung ist nicht der einzelne Klick im Apparat, sondern die Verteilung vieler Klicke. Die Ergebnisse einer Einzelmessungen sind natürlich ganz offensichtlich Messergebnisse - aber nicht des Teilchens, sondern des Messapparats. Sie geben z.B. die Position eines Zeigers oder eines Silberflecks wieder. Die zugeh"orige mikroskopische Gr"osse ist eine massengewichtete Summe extrem vieler Atompositionen, und was man misst, ist der Erwartungswert der Position im Sinne der statistischen Mechanik. Einen makroskopischen Silberfleck als 'exakte' Messung etwa des Spins eines Teilchens zu interpretieren, ist eine zus"atzliche Annahme, die nicht wirklich gerechtfertigt werden kann, aber f"ur die Paradoxien in der Quantenmechanik verantwortlich ist. In der Thermischen Interpretation d"urfen Einzelegebnisse von sogenannten "Messungen' mikroskopischer Systeme nicht mehr ohne Weiteres als das interpretiert werden, als was sie gemeinhin gelten, n"amlich als Aussagen "uber mikroskopische Gr"ossen, sondern als das, was sie sind, als makroskopische Erwartungswerte ausgezeichneter Gr"ossen eines Vielteilchensystems (des Detektors). Das sind sie n"amlich auf der fundamentalen Ebene. Nur in dem Mass und mit der Genauigkeit, mit der man theoretisch zeigen kann, dass dieses Ergebnis mit dem Wert einer mikroskopischen Gr"osse "ubereinstimmt, verdient die Messung ihre Einstufung als Messung der mikroskopischen Gr"osse. ------------------------------------------------- S44. Aber man kann doch einzelne Photonen messen? ------------------------------------------------- Es gilt als bekannt, dass man einzelne Photonen nachweisen kann, die Einzelmesswerte aber von den Erwartungswerten abweichen. Diese Auffassung ist aber nur dann haltbar, wenn man diese Messwerte als gemessene Photonen interpretieren darf. Das ist aber sehr fragw"urdig. Denn auch bei einer klassischen Modellierung des elektromagnetischen Felds tritt der Photoeffekt auf. Es ist also offensichtlich nicht ein durch das Auftreffen eines einzelnen Photons, bewirkter Effekt, sondern ein Artifakt, der im Messger"at erzeugt wird. In der Thermischen Interpretation z"ahlt das daher _nur_ als Messung einer Gr"osse des Messger"ats; diese Gr"osse ist wie alle Rohmessungen ein thermodynamischer Erwartungswert. Die Theorie muss nun zeigen, ob dieser Messwert auch dem in der Thermischen Interpretation objektiv festgelegten Wert einer Gr"osse des gemessenen Systems entspricht. Die Theorie zeigt nun aber nur, dass es im Mittel einen Erwartungswert des gemessenen Systems reproduziert, da die Einzelheiten vom Rest des Universums abh"angt. Das gilt unabh"angig davon, ob man das Licht klassisch oder quantenmechanisch modelliert. Daher darf man den Mittelwert vieler Blitze oder Silberpartikel als Messung einer Eigenschaft des Feldes verstehen, nicht aber den Einzelfall als das Auftreffen eines Photons (das es ja im klassischen Modell nicht einmal gibt). F"ur das letztere gibt es ausser einem historischen Vorurteil, das f"ur die ganze Misere in den Grundlagen der Quantenmechanik verantwortlich ist, nicht die geringste Rechtfertigung. ---------------------------------------- S45. Was ist denn eigentlich ein Photon? ---------------------------------------- Die naive Vorstellung eines Photons ist das eines masselosen Teilchens, das entlang eines Lichtstrahls mit Lichtgeschwindigkeit dahersaust und sonst keine Eigenschaften hat, wenn es der Experimentator nicht gerade mal zwingt, sich mit einem anderen Teilchen zu verschr"anken. Aber die Quantenoptik zeichnet ein ganz anderes Bild vom Photon. Ein Photon ist ein kompliziertes Ding. Selbst in einem reinen Zustand kann es eine beliebige L"osung der homogenen Maxwellschen Gleichungen sein. (In einem unreinen Zustand - und Photonen sind durchaus nicht immer so reinlich - sind sie noch viel komplizierte Objekte, n"amlich lineare Operatoren auf dem Raum der homogenen Maxwellschen Gleichungen!) Ein einzelnes Photon in einem reinen Zustand 'ist', mathematisch gesehen, im Wesentlichen dasselbe wie eine nichttriviale L"osung der Wellengleichung! Das heisst, zu jeder solchen L"osung k"onnte man im Prinzip ein Photon pr"aparieren! Zu sagen, dass ein Photon eine bestimmte Frequenz oder Richtung hat, bedeutet schon, seinen Zustand ganz geh"orig einzuschr"anken. Ausserdem kann es unpolarisiert, zirkul"ar polarisiert, linear polarisiert, und alle m"oglichen Schattierungen davon sein. Zur naiven Vorstellung geh"ort auch, dass man das Vorhandensein eines Photons dadurch feststellen kann, dass man es auf dem Bildschirm, auf den es auftrifft, blitzen sieht (oder im Photodetektor klicken, etc.), und so die Zahl der photonen z"ahlen kann. Nun wird zwar an einer Stelle ein Klick oder Fleck oder Blitz festgestellt. Dass man dann sagt, man habe ein Photon gesehen oder gez"ahlt, ist aber ein Euphemismus. F"ur den Photoeffekt braucht man zwar Quantenmaterie im Detektor, aber keine Quantenstrahlung; da tut es das klassische Licht, das ja bekanntlich eine reine Welle ist, genausogut wie eine Photonenkanone! In klassischem Licht Photonen z"ahlen ist aber genauso verr"uckt wie in Abwesenheit einer Person Photos von ihr zu machen! Viele reden also von Photonen, als w"ussten sie alles "uber sie. Dabei sind es geheimnisvolle Objekte, deren wahre Natur erst nach einer Vorlesung "uber Quantenoptik allm"ahlich d"ammert (wenn "uberhaupt)! Genaueres ist nachzulesen in der Bibel der Quantenoptiker: L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantum Optics, Cambridge University Press, 1995. und in etwas vereinfachter Darstellung, aber trotzdem sehr lesenswert: U. Leonhardt, Measuring the Quantum State of Light, Cambridge, 1997 Mit der Thermischen Interpretation hat das aber noch gar nichts zu tun - das bis jetzt gezeichnete Bild von den Photonen war knochenharte Orthodoxie! Die neue Interpretation kommt erst ins Spiel, wenn man konsistent dar"uber reden will, was in einem Photonenexperiment eigenlich objektiv passiert sein soll. Die Kopenhagen-Interpretation verbietet uns da einfach den Mund. ''Pschscht - sonst kommen gleich Ungerimtheiten heraus!'' Mit der Folge, dass alles Mikroskopische ein gespenstisches Wesen bekommt. Solange man es nicht misst, hat das Mikroskopische angeblich gar keine Eigenschaften. Die entstehen also anscheinend erst, wenn Physiker da sind, die die Kunst des Messens verstehen und die Materie zwingen k"onnen, sich in einem Eigenzustand zu offenbaren. Die beliebte informationstheoretische Interpretation setzt noch eins drauf; sie behauptet sogar, dass der Zustand eines mikroskopischen Systems vom Wissen oder Unwissen des Beobachters abh"angt! Aber das ist offenbarer Unsinn. Die Natur schert sich bestimmt nicht darum,was Physiker wissen oder nicht! Sonst h"atte sie, bevor der erste Physiker (oder die erste Am"obe?) sie beobachtete, ja "uberhaupt keine Eigenschaften haben k"onnen! Aber wie kann sie sich dann entwickelt und Physiker (oder Am"oben) hervorgebracht haben? Die Thermische Interpretation macht mit diesem ganzen Spuk ein Ende. Da l"asst sich wieder alles objektiv beschreiben! Photonen, Elektronen, und was es sonst noch an Kleinzeug gibt. Aber nicht mehr als Teilchen auf einer schmalen Bahn, sondern als Wolke mit einer Teilchendichte - so wie in der Chemie die Orbitale von Molek"ulen, die ja auch Elektronendichten darstellen. Und dazu gibt es noch jede Menge von verborgenen Korrelationsfunktionen, die weitere Details offenbaren k"onnten, wenn man so genau messen k"onnte... Bei einem Doppelspaltexperiment quetscht sich also ein Photon in Form einer Wolke, die die Teilchendichte beschreibt (das, was fr"uher Aufenthaltswahrscheinlichkeit hiess), durch beide Spalte gleichzeitig, ver"andet dabei seine Form, wird zu einer Superposition des Photons durch den linken und des Photons durch den rechten Spalt, was sich darin "aussert, dass die Dichte zwei lokale Maxima bekommt, Mit dieser Pers"onlichkeitsspaltung l"auft das arme Teilchen weiter, ger"at in Verwirrung und bildet dabei in seiner Dichte ein Interferenzmuster aus. Beim Auftreffen auf dem Schirm bekommt das photon einen f"urchterlichen Schreck und zieht sich wieder auf seine Ganzheit zusammen, wegen der grossen Aufregung allerdings etwas zuf"allig, in der N"ahe eines der Maxima seines vorigen Interferenzmusters. Etwas weniger reporterhaft geschildert, sorgt die nichtlokale Dynamik daf"ur, dass von Zeit zu Zeit proportional zur Photonendichte ein Elektron in einen angeregten Zustand versetzt wird, eine chemische Reaktion stattfindet, oder was immer als Detektionsmechanismus gerade relevant ist. Dass dies stochastisch geschieht, liegt daran, dass das Experiment hochempfindlich auf den Rest des Universums reagiert. Wie man dieses stochastische Verhalten auf der formalen Ebene begr"unden kann, wird im FAQ im Abschnitt ''Wie erkl"art sich der Zufall?'' abgehandet. Das ist allerdings etwas technischer und erfordert fortgeschrittene Techniken der statistischen Mechanik. ------------------------------------------------------------- S46. Gibt es Probleme mit Lokalit"at und Bells Ungleichungen? ------------------------------------------------------------- Nein. Bells Ungleichungen sind rein kinematischer Natur und haben mit Dynamik nichts zu tun. Siehe Section 7 und 8 in [EECQ]. Nichtlokalit"at der klassisch deterministischen Dynamik des Quantenuniversums folgt daraus, dass die meisten objektiven Gr"ossen (also Erwartungswerte) nichtlokal sind. Die praktisch wichtigen nichtlokalen Beobachtungsgr"ossen sind die Korrelationsfunktionen , wo F ein Feld mit Erwartungswert Null und beliebig vielen Komponenten ist. Diese h"angen offenbar von Werten an zwei verschiedenen Orten ab und sind daher nichtlokal. Man braucht also keine Gespenster wie bei Bohm einf"uhren, um eine klassische nichtlokale Dynamik zu bekommen, die mit der Quantenmechanik voll konsistent ist. ----------------------------------------------------------------- S47. Wie vertragen sich denn objektive Messwerte und Unitarit"at? ----------------------------------------------------------------- F"ur die Zuverl"assigkeit einer realen Messung gen"ugt es, wenn der Messwert mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit im Rahmen der Messgenauigkeit den objektiven Erwartungswert reproduziert. Und das ist wegen dem Gesetz der grossen Zahlen der Fall, auch bei unit"arer Dynamik. Die quantenmechanischen Unsicherheiten bei einer Ablesung des makroskopischen Ger"ats sind winzig. Das Messger"at ist im lokalen Gleichgewicht, die Zeigerspitze hat also approximativ eine Dichtematrix, die einem grosskanonisches Ensemble entspricht. Man kann die Gr"ossenordnung der Fluktuationen daher nach den Regeln der statistischen Mechanik aus der makroskopischen Zustandsgleichung ausrechnen, und sieht, dass sie keine grosse Rolle spielen. Die relative Unsicherheit ist proportional zu N^{-1/2}, wo N die Zahl der Teilchen in der Zeigerspitze ist. F"ur einen guten Zeiger ist N ~ 10^20 oder jedenfalls nicht sehr viel kleiner. Das ist ja das ganze Geheimnis der statistischen Mechanik. Ohne das Gesetz der grossen Zahlen w"are Thermodynamik unm"oglich... Das ist auch der Grund, weshalb die Kopenhageninterpretation auf einem _klassischen_ Messger"at bestehen musste - ein kleines Quantensystem ist zum Ablesen einer Messung zu unzuverl"assig, ---------------------------------------------------- S48. Wie verborgen sind die 'verborgenen Variablen'? ---------------------------------------------------- Der gew"ohnliche Sprachgebrauch ist der, dass mit 'hidden variables' klassische Variablen f"ur Beables bezeichnet werden, die einer deterministischen Dynamik gen"ugen, und aus denen sich die quantenmechanischen Vorhersagen deduzieren lassen. Da ich die Erwartungswerte und Korrelationsfunktionen als Beables betrachte, sind es verborgene Variablen in diesem Sinn. Andrerseits sind es nat"urlich alte Vertraute der statistischen Mechanik und daher in gewissen Sinn nicht verborgen. Aber w"ahrend sie in der orthodoxen statistischen Mechanik als Mittelwerte "uber viele Realisierungen gedeutet werden, werden sie in meiner Thermischen Interpretation als irreduzible Variablen gedeutet, und in diesem Sinn gab es sie vorher nicht, sind sie also verborgen gewesen. Dass diese Doppelinterpretation m"oglich und sinnvoll ist, macht gerade die Kompatibilit"at der neuen Interpretation mit dem quantenmechanischen Formalismus aus. ------------------------------------------------------- S50. Wof"ur steht das Fragezeichen auf S.30 von [EECQ]? ------------------------------------------------------- Es steht als Platzhalter f"ur Werte, die vom Experiment nicht geliefert oder daraus berechnet werden k"onnen, aus was f"ur Gr"unden auch immer. Z.B. weil das Ger"at den Spin in x-Richtung misst, den in y-Richtung also nicht, obwohl das auch ein f ist. Oder weil man Personen in einem Raum z"ahlt, und gerade jemand hereinkommt, und man nicht weiss, ob man ihn mitz"ahlen soll/darf/muss. Oder weil f eine Zeitkorrelation ist, man aber ein statisches Experiment macht, das dar"uber keine Auskunft gibt. Oder weil jemand Kaffee "uber das Protokoll gesch"uttet hat, und man daher nicht mehr alle Werte entziffern kann. Oder... oder... Die Algebra enth"alt ja sehr viele Gr"ossen, messen tut man aber immer nur ganz wenige davon. Ausrechnen (und damit indirekt messen) kann man daraus ein paar mehr, je nachdem, wieviele Regeln man erlaubt. Aber das meiste bleibt ungemessen. Ein Experiment im Sinn meiner Definition kann sowohl eine einzelne Messung sein (wo dann fast alles den Wert ? hat), eine Versuchsserie, in der man ein Instrument sorgf"altig kalibriert (also Verteilungsfunktionen herausfindet), oder eine Riesenmaschinerie wie CERN, in der massenhaft Daten produziert und ausgewertet werden. Der Unterschied liegt eben darin, welcher Menge von Gr"ossen man auf Grund des gemachten Experiments Werte zuordnen kann. Reale experimente sind nat"urlich nur Approximationen an konsistent realisierte Experimente, ebenso wie reale Messungen auch schon in der klassischen Physik nur Approximationen der (theoretisch exakten) Gr"ossen liefern. Dass mein rudiment"arer Experimentbegriff dem wirklichen nicht in allem gerecht wird, habe ich in der Einleitung zu Section 8 diskutiert. Ich habe den Begriff soweit eingeschr"ankt, dass man damit mathematisch etwas anfangen kann, ohne von den Komplexit"aten eines echten Experiments Notiz nehmen zu m"ussen. Ich habe nur den Aspekt eines Experiments formalisiert, dass Experimente es erlauben, dass bestimmten Gr"ossen Werte zugeordnet werden k"onnen. 'Vollst"andige' Experimente im Sinn meiner Definition sind also Idealisierungen, ausser f"ur ganz winzige Systeme, die lange genug station"ar bleiben, um sie vollst"andig ausmessen zu k"onnen. Von einen Radiergummi auf meinem Schreibtisch messe ich nicht die Koordinaten aller Atome (obwohl die kommutieren, also laut Kopenhagen prinzipiell gleichzeitig messbar sind; aber niemand hat das bisher geschafft), sondern nur ein paar thermodynamische Erwartungswerte und ein paar Angaben "uber Form und Lage. Die meisten Gr"ossen, die der Radiergummi also prinzipiell hat, bleiben ungemessen. Das ? ist der diesen ungemessenen Gr"ossen formal zugeordnete Wert, damit ich nicht bei allen Formeln dazuschreiben muss, ''falls alle Werte definiert sind'' - das w"urde alles un"ubersichtlich und langweilig machen. ------------------------------------------------- S51. Warum verlangt man (S1) auf S.30 von [EECQ]? ------------------------------------------------- (S1) ist das Mindeste, was man verlangen muss. Denn wenn man nicht mal gefahrlos verschieben und skalieren darf, sind physikalische Messungen praktisch unm"oglich - dann machen ja schon die Wahl des Ursprungs und der Masseinheit eine Ortsmessung problematisch. F"ur das Meiste, was Physiker mit Roh-Messwerten tun, um daraus interessante Messergebnisse zu bekommen, braucht man mehr Rechenregeln. Schon um den Impuls eines Teilchens zu messen, das bei einem Zerfallsprozess im Beschleuniger entsteht und dessen Spur man fotografiert oder mit moderneren Detektorkammern aufgezeichnet hat, rechnet man ja einiges: Fit der Spur an eine Helix oder ein Kalman-Filter, dann aus mehreren solchen Spuren den Zerfallszeitpunkt r"uckrechnen, dann die Tangente an diesem Punkt bestimmen, usw. und alles noch mit einer Sensitivit"atsanalyse, um zu wissen, wie genau man geworden ist. Ohne Regeln vorauszusetzen, w"are das alles verbotener Hokuspokus. Eine auf den ersten Blick unverf"angliche solche Rechenregel ist etwa (SQ1) v(f^2) = v(f)^2, Quantenlogiker haben seit langem diskutiert, was alles sinnvoll verlangt werden kann oder auch nicht, und was f"ur Konsequenzen das hat. Ich habe mir davon das herausgepickt, was sich elegant pr"asentieren l"asst und auf kleinem Raum viel "uber das Messproblem aussagt. (z.B. also Bell-Ungleichungen.) Mit (SQ1) fangen nun schon die Probleme an, wie die Diskussion in Section 8 meiner Arbeit zeigt. Man darf diese Regel nicht exakt verlangen, wenn man nicht die Quantenmechanik verwerfen will, sondern nur in einer abgesch"wachten, approximativen Form |v(fg) - v(f)v(g)| <= Delta f Delta g die mit der Unsch"arferelation kompatibel ist. F"ur die Analse makroskopischer Messungen sind diese Feinheiten irrelevant, aber im Mikroskopischen essentiell.