Computerbeispiele für das
Proseminar zu
Analysis
Wintersemester 2009/2010

Beispiel 1)

Untersuche, ob  f(x) := {({{(((x + 14))^3) sin 
                       (1/(((x + 14))^8)),, \(\(falls\ x ≠ \(-14\)\)\(,\)\)}, {0,, falls x = -14,}}) stetig ist und berechne  (f^( ′))(x) für alle x, für die f differenzierbar ist. Plotte f und (f^( ′)) auf dem Intervall [-14.5,-13.5]. Ist (f^( ′)) stetig?

Beispiel 2)

Es sei 
f(x):= \(TraditionalForm\`\(x\^9 - 669  x\^8 + 28116  x\^7 - 626400  x\^6 + 9121218  x\^5 - 91999350  x\^4 + 646114056  x\^3 - 3034567668  x\^2 + 8116652169  x - 7294209361\)\/\(x\^11 - 59  x\^10 + 1813  x\^9 - 37263  x\^8 + 558726  x\^7 - 6359538  x\^6 + 55701246  x\^5 - 373451946  x\^4 + 1871063481  x\^3 - 6628814227  x\^2 + 14751928877  x - 15339295111\)\).
Um ∫f(x) dx zu berechnen und die dazu notwendigen Rechenschritte zu erklären, löse die folgenden Aufgaben.
a)  Berechne die Nullstellen von 
(x^11) - 59  (x^10) + 1813  (x^9) - 37263  (x^8) + 
            558726  (x^7) - 6359538  (x^6) + 55701246  (x^5) - 373451946  (x^4) + 
            1871063481  (x^3) - 6628814227  (x^2) + 14751928877  x - 
            15339295111 
und bestimme die reelle Faktorisierung dieses Polynoms (erkläre zunächst, wie man von den Nullstellen auf die Faktorisierung kommt, erst dann berechne Letztere). Erkläre welcher Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f(x) zu machen ist.
b)  Bestimme die Partialbruchzerlegung von f(x).
c)  Erkläre detailliert wie man jetzt das Integral berechnen kann (Substitutionen angeben, notwendige Formeln explizit (also nicht nur die Rekursionsformel angeben, sondern die benötigten Formeln daraus bestimmen!) angeben).
d)  Schließlich berechne ∫f(x) dx.

Beispiel 3)

Bestimme die folgenden uneigentlichen Integrale. Bei denjenigen Integralen, die konvergieren berechne weiters den numerischen Wert auf mindestens 100 Stellen nach dem Komma. Außerdem begründe jeweils die Konvergenz, bzw. Divergenz der Integrale.
a)  (∫_0^∞)((x^15)/((x^16) + 1)) dx.
b)  (∫_0^∞)((x^7)/((x^10) + 1)) dx.
c)  (∫_0^∞)(128/((x^3) + 6  (x^2) - 52  x - 120)) dx.

Beispiel 4)

Berechne den Umfang der Ellipse  (((((Subscript[x, 1])/37)))^2)+(((((Subscript[x, 2])/12)))^2)=1  auf mindestens 100 Stellen nach dem Komma genau.

Beispiel 5)

Bestimme die folgenden Reihen. Berechne dabei den numerischen Wert derjenigen Reihen, die konvergieren, auf mindestens 100 Stellen nach dem Komma. Weiters begründe bei den Beispielen a) und b) jeweils die Konvergenz, bzw. Divergenz der Reihen.
a)  \(TraditionalForm\`∑\+\(n = 1\)\%∞ 1\/\@n\%n\).
b)  (∑_(n = 1)^∞) ((n^14)/(43^n)).
c)  \(TraditionalForm\`∑\+\(n = 1\)\%∞\( cos(37\ n)\)\/n\).
d)  (∑_(n = 1)^∞) sin (π/n).