Computerbeispiele für das
Proseminar zu Einführung in die Analysis
Sommersemester 2009

Beispiel 1)

Das folgende Verfahren liefert eine Intervallschachtelung für (5^(1/3)). Es sei (Subscript[a, 0]):=1 und (Subscript[b, 0]):=5. Für n∈ℕ definiere (Subscript[a, n]):=((2  (Subscript[a, n - 1]) + (Subscript[b, n - 1]))/3) und (Subscript[b, n]):=(5/((Subscript[a, n])^2)). Man kann dann beweisen (und das soll dann für dieses Beispiel vorausgesetzt werden), dass (Subscript[b, 1])< (Subscript[b, 2])< (Subscript[b, 3])<…< (5^(1/3))<…< (Subscript[a, 3])< (Subscript[a, 2])< (Subscript[a, 1]) gilt (Achtung: (Subscript[a, 0])< (5^(1/3))< (Subscript[b, 0])!). Berechne die numerischen Werte der ersten Glieder dieser Intervallschachtelung, und zwar so lange, bis man damit einen Näherungswert für (5^(1/3)) auf 250 Stellen nach dem Komma genau erhält.

Beispiel 2)

Es sei f(x) := (x^2). Plotte f und die folgenden Funktionen auf dem Intervall [-5,5]:
a)  (Subscript[f, 1])(x) := f(x-2).
b)  (Subscript[f, 2])(x) := 2 f(x).
c)  (Subscript[f, 3])(x) :=f(x)+3.
d) Versuche zu beschreiben, wie sich der Graph einer Funktion f ändert, wenn man f(x-a), bzw. cf(x), bzw. f(x)+b betrachtet.
e)  (Subscript[f, 4])(x) := 4+(1/2)f(x-1).
f) Wie verändert sich der Graph von f, wenn man b+cf(x-a) betrachtet.

Beispiel 3)

Für n∈ℕ definiere (Subscript[a, n]):=((28513^n)/(n!)). Bestimme die numerischen Werte (also verwende den Befehl N[.]) von (Subscript[a, 5]), (Subscript[a, 10]), (Subscript[a, 20]), (Subscript[a, 50]), (Subscript[a, 100]), (Subscript[a, 500]), (Subscript[a, 1000]) und (Subscript[a, 10000]). Weiters berechne (lim_(n -> ∞))(Subscript[a, n]).