Computerbeispiele für das
Proseminar zu
Einführung in die
Lineare Algebra und Geometrie
Sommersemester 2012

Beispiel 1)

Ein Dreieck habe die Eckpunkte a:=(({{-3}, {9}, {1}})), b:=(({{4}, {5}, {7}})), und c:=(({{2}, {3}, {-1}})). Berechne die numerischen Werte (also verwende den Befehl N[.]) der Seitenlängen, der Winkel (in Radianten) und der Fläche dieses Dreiecks jeweils auf 20 Stellen nach dem Komma (soferne nicht das exakte Ergebnis ganzzahlig ist).

Beispiel 2)

Es sei A:=(({{0, 0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 0, 1}, {0, 1, 0, 0, 0}, {1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 0}})). Berechne (A^2), (A^3), (A^4), ⃛ und zwar solange, bis man eine Periode erkennen kann.

Beispiel 3)

Betrachte den Vektorraum 
V:={f(x)=(Subscript[a, 1])x(e^(8x))+(Subscript[a, 2])(e^(8x))+(Subscript[a, 3])x cos(5x)+(Subscript[a, 4])x sin(5x)+(Subscript[a, 5]) cos(5x)+(Subscript[a, 6]) sin(5x)+(Subscript[a, 7]): (Subscript[a, 1]),(Subscript[a, 2]),(Subscript[a, 3]),(Subscript[a, 4]),(Subscript[a, 5]),(Subscript[a, 6]),(Subscript[a, 7])∈ℝ} mit der Basis ℬ:={2x(e^(8x))+7(e^(8x))+x cos(5x)+3x sin(5x)-5cos(5x)+4sin(5x)+6, 
3x(e^(8x))+2(e^(8x))+4x cos(5x)-3x sin(5x)+8cos(5x)+4sin(5x)+2, 
5x(e^(8x))+3(e^(8x))+6x cos(5x)+2x sin(5x)-7cos(5x)+sin(5x)+3, 
2x(e^(8x))-4(e^(8x))+2x cos(5x)+8x sin(5x)+3cos(5x)-6sin(5x)-2, 
4x(e^(8x))-5(e^(8x))+7x cos(5x)+x sin(5x)-6cos(5x)+3sin(5x)-5, 
5x(e^(8x))+8(e^(8x))-4x cos(5x)+7x sin(5x)+3 cos(5x)+6 sin(5x)-7, 
x(e^(8x))+2(e^(8x))+3x cos(5x)+7x sin(5x)-2cos(5x)+5sin(5x)+6}. Stelle 
f(x)=-4x(e^(8x))-2(e^(8x))-2x cos(5x)+4x sin(5x)+4cos(5x)+7sin(5x)+2 bezüglich ℬ dar.

Beispiel 4)

Auf dem Vektorraum V aller differenzierbaren Funktionen f:ℝ→ℝ betrachte die durch φ(f):=6f''+24f'-126f definierte Abbildung φ:V→V.
a)  Zeige, dass φ linear ist.
b)  Es sei (Subscript[W, 1]) der Vektorraum aller Polynome vom Grad ≤3. Ist φ:(Subscript[W, 1])→(Subscript[W, 1]) linear?
     Hinweis: Die entscheidende Frage dabei ist, ob für ein f∈(Subscript[W, 1]) auch φ(f)∈(Subscript[W, 1]) gilt.
c)  Untersuche, ob für (Subscript[W, 2]):={c(e^(5x)):c∈ℝ} die Abbildung φ:(Subscript[W, 2])→(Subscript[W, 2]) linear ist.
d)  Ist φ:(Subscript[W, 3])→(Subscript[W, 3]) für (Subscript[W, 3]):={c(e^(2x))sin(3x):c∈ℝ} linear?
e)  Für (Subscript[W, 4]):={(Subscript[c, 1])(e^(-4x))cos(2x)+(Subscript[c, 2])(e^(-4x))sin(2x):(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2])∈ℝ} untersuche, ob φ:(Subscript[W, 4])→(Subscript[W, 4]) linear ist.

Beispiel 5)

Für die Matrix A:=(({{8, -4, 5, -9}, {-6, 7, 4, -5}, {3, 5, -3, 8}, {3, 9, 6, -6}})) berechne die Determinante detA und die Inverse (A^(-1)).