%This is a plain TeX file that produces 16 output pages. {\catcode`\^^M=\active % \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active % \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}} \def\adresse{\par\nobreak% \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt% \hbox to \hsize\bgroup\hfill% \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}% \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup} \def\fin{\vfill\eject} \catcode'32=9 \magnification=1200 \voffset=1cm \hoffset=0cm %\hoffset=1cm \font\tenpc=cmcsc10 %\font\eightpc=cmcsc8 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm8 \font\eightbboard=msbm8 \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm6 \font\fivegoth=eufm5 \newfam\gothfam \newfam\bboardfam \catcode`\@=11 \def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue} \def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty \@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}} \def\tenpoint{% \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\tenrm}% \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}% \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}% \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard \def\bboard{\fam\bboardfam}% \textfont\itfam=\tenit \def\it{\fam\itfam\tenit}% \textfont\slfam=\tensl \def\sl{\fam\slfam\tensl}% \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\tenbf}% \textfont\ttfam=\tentt \def\tt{\fam\ttfam\tentt}% \abovedisplayskip=12pt plus 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\def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak \hskip 0em plus .3em minus .4em } \def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}} \def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}} \def\titre#1|{\message{#1} \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000 \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000 \centerline{\bf #1} \vskip 5pt \penalty 10000 } \def\section#1|{\par\vskip .3cm {\bf #1}\pointir} \def\ssection#1|{\par\vskip .2cm {\it #1}\pointir} \long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip} \long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip} \def\cf{{\it cf}} \def\rem#1|{\par\medskip {{\it #1}\pointir}} \def\rema#1|{\par\medskip {{\it #1.}\par\nobreak }} % \def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}} \def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}} \def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}} \def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}} \def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}} %reference pour un article : \def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3, {\sl #4}, vol.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6}, p.\nobreak\ #7.\par}} %reference pour un livre : \def\livre#1|#2|#3|#4| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir {\sl #3}\pointir #4.\par}} %reference complementaire : \def\divers#1|#2|#3| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3.\par}} % \mathchardef\conj="0365 \def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir} \def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt \vfill\hrule}\vrule}} \def\virg{\raise 2pt\hbox{,}} % virgule apr\`es une fraction \def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip} \def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt} \def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt} % pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret : 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DUMONT} \titrecourant={MATRICES D'EULER-SEIDEL} %\raggedbottom {\eightpoint \noindent S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B05c (1981) } \vskip-10pt \vskip 1.5cm \centerline{{\bf MATRICES D'EULER-SEIDEL}} \vskip 2.8mm \centerline{\sevenrm PAR} \vskip 2.8mm \centerline{{\petcap Dominique} DUMONT} \vskip 1cm \section 1. Introduction|Cet article est un recueil de tables de calculs aux diff\'erences finies. Ce que nous nommons matrice d'Euler-Seidel, c'est ce que des math\'ematiciens d'autrefois comme Leibniz, Euler ou Seidel, construisaient lorsque partant d'une suite de nombres, ils consid\'eraient la suite des diff\'erences entre termes cons\'ecutifs, notant $\Delta$ l'op\'eration effectu\'ee et it\'eraient le processus~[18]. Nous exposons d'abord les deux th\'eor\`emes d'Euler et de Seidel, un peu oubli\'es quoique tr\`es \'el\'ementaires, puis les appliquons aux exemples qui nous ont paru les plus int\'eressants. Les exemples int\'eressants sont ceux o\`u la matrice d'Euler-Seidel permet un calcul rapide (extr\^emement facile \`a programmer sur ordinateur) de la suite d'entiers initiale, qui par ailleurs a une interpr\'etation combinatoire. Pour chaque exemple nous donnons la table des premi\`eres valeurs, selon un principe cher aux praticiens des d\'enombrements. \sectiona 2. D\'efinition et propri\'et\'es \'el\'ementaires| \rem D\'efinition|Soit $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n,\ldots$ une suite d'\'el\'ements d'un anneau commutatif~$A$ (en fait ici des nombres, des polyn\^omes ou des fractions rationnelles). On appelle {\it matrice d'Euler-Seidel} associ\'ee \`a~$(a_n)$ la suite double $(a_n^k)$ $(n\ge 0, k\ge 0)$ donn\'ee par la r\'ecurrence $$ \eqalign{a_n^0&=a_n\qquad\qquad\quad (n\ge 0),\cr a_n^k&=a_n^{k-1}+a_{n+1}^{k-1}\quad (k\ge 1,n\ge 0).\cr} \leqno(1) $$ La suite $(a_n ^0)$ premi\`ere ligne de la matrice, est la suite initiale. La suite $(a_0 ^n)$, premi\`ere colonne de la matrice, est la suite finale. Il r\'esulte imm\'ediatement de (1) l'identit\'e $$ a_n ^k = \sum_{i=0} ^k \pmatrix{ k \cr i \cr} a_{n+i} ^0 \leqno(2) $$ En particulier, on passe de la suite initiale \`a la suite finale et inversement par $$\leqalignno{ a_0 ^n& =\sum_{i=0} ^n { n \choose i} a_i ^0,&(3)\cr a_n ^0 &= \sum_{i=0} ^n (-1) ^i { n \choose i} a_0 ^i . &(4)\cr} $$ \th Proposition 1 {\rm (Euler [11])}|Soit $a(t)=\Sigma a_n ^0 t^n$ la fonction g\'en\'e\-ratrice ordinaire de la suite initiale. Alors la fonction g\'en\'eratrice ordinaire $\overline{a}(t)$ de la suite finale est donn\'ee par $$ \overline{a}(t) = \sum_{n\ge 0} a_0 ^n t^n ={1\over 1-t} a\Bigl({1\over 1-t}\Bigr). \leqno(5) $$ \finth En effet, on sait que $$\leqalignno{ {1\over (1-t) ^{n+1}} &=\sum_{k\ge 0} \pmatrix{ n+k \cr n\cr} t^k. &(6)\cr \noalign{\hbox{Par suite,}} {1\over 1-t} a\Bigl({t\over 1-t}\Bigr) & = \sum_{n\ge 0} a_n ^0 { t^n \over (1-t) ^{n+1}}\cr & = \sum_{n,k\ge 0} \pmatrix{ n+k \cr n\cr} a_n ^0 t^{n+k}\cr & = \sum_{m\ge 0} t^m (\sum_{n+k=m} \pmatrix{ m\cr n\cr} a_n ^0)\cr & = \sum_{m\ge 0} a_0 ^m t^m\cr & = \overline{a} (t).\qed\cr }$$ \th Proposition 2 ({\rm Seidel [28]})|Soit $A(t)=\sum_{n\ge 0} a_n ^0 {t^n / n!}$ la fonction g\'en\'eratrice exponentielle de la suite initiale. Alors la fonction g\'en\'eratrice exponentielle de la suite finale est donn\'ee par $$ \overline{A} (t)=\sum_{n\ge 0} a_0 ^n {t^n\over n!} = e^t A(t). \leqno(7) $$ \finth En effet, d'apr\`es (3), $$ \leqalignno{ \overline {A}(t) & =\sum_{n\ge 0} \Bigl(\sum_{i=0} ^n { n \choose i} a_i ^0\Bigr) {t^n \over n!}\cr & = \sum_{i,j\ge 0} {a_i ^0\over i!\,j!} t^{i+j} =e^tA(t).\cr }$$ \rema| \decale 1)|On passe d'une proposition \`a l'autre par transformation de Laplace formelle. \decale 2)|On montre ais\'ement [8] que la fonction g\'en\'eratrice exponentielle double de la matrice vaut $$ \sum_{n,k\ge 0} a_n ^k {t^n\over n!} {u^k\over k!} =e^u A(t+u). $$ \section 3. Matrices d'Euler-Seidel de nombres (exemples)|Nous commencerons par traiter trois exemples o\`u les nombres sont fractionnaires, puis nous aborderons les exemples avec des entiers qui ont des interpr\'etations combinatoires. \ssection $3.1$|Prenons $a_n^0=\displaystyle {(-1)^n\over n+1}$ $(n\ge 0)$. Alors $a(t)=\displaystyle {1\over t}\Log (1+t)$, $\overline a(t)=-\displaystyle {1\over t}\Log (1-t)$, $ A(t)=\displaystyle {1-e^{-t}\over t}$, $\overline A(t)=\displaystyle {e^t-1\over t}$, $a_n^0=\displaystyle {1\over n+1}$ et plus g\'en\'eralement, $a_n^k=\displaystyle {(-1)^n\over (n+k+1){n+k\choose k}}$. D'o\`u la matrice $$ (ES1)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1&- {1\over 2}&+ {1\over 3}& - {1\over 4}&+ {1\over 5}&\ldots\cr {1\over 2}&- {1\over 6}&+ {1\over 12}&- {1\over 20}\cr {1\over 3}&- {1\over 12}&+ {1\over 30}\cr {1\over 4}&- {1\over 20}\cr {1\over 5}\cr}} $$ Cette matrice est en g\'en\'eral attribu\'ee \`a Leibniz [6]. \ssection $3.2$| Cet exemple est d\^u \`a Euler [11]. $a_n ^0 =\displaystyle {(-1)^n \over 2n+1}\ (n\ge 0)$. On constate rapidement que $a_n ^k =\displaystyle {(-1)^n 2.4 \dots (2k)\over (2n+1)(2n+3) \dots (2n+2k+1)}$. En particulier $a_0 ^n =\displaystyle {2.4\dots (2n)\over 1.3.5 \dots (2n+1)}$. $$ (ES2)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1&-{1\over 3}&+{1\over 5}&-{1\over 7}&\ldots\cr {2\over 1.3}&-{2\over 3.5}&{2\over 5}\cr {2.4 \over 1.3.5} & {-2.4 \over 3.5.7}\cr {2.4.6 \over 1.3.5.7}\cr }} $$ Ainsi $a(t) =1-\displaystyle {t\over 3} + {t^2 \over 5} - {t^3 \over 7} + \cdots = t^{-1/ 2}\Arctg (t^{1/ 2})$. D'o\`u, d'apr\`es la proposition 1, $\overline{a}(t)=[t(1-t)]^{-1/ 2} \Arctg \Bigl(\displaystyle {t\over 1-t}\Bigr)^{1/ 2}$. En posant $t=x^2$, et en observant que $\Arctg \displaystyle {x \over \sqrt {1-x^2}} =\Arcsin x$, Euler d\'eduit $$ {\Arcsin x\over \sqrt {1-x^2}} = x+ {2\over 3} x^3 +{2.4 \over 1.3.5} x^5 + {2.4.6\over 1.3.5.7} x^7 + \cdots $$ \ssection $3.3$|Prenons $a_0 ^0 =1$, $a_{2n} ^0 =\displaystyle {1.3.5 \dots (2n-1)\over 2.4.6 \dots 2n}$ et $a_{2n-1} ^0 =0$ $(n\ge 1)$. $$ \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 0 & {1\over 2} & 0 & {1.3 \over 2.4} & \dots\cr 1 & {1\over 2} & {1\over 2} & {1.3 \over 2.4}\cr {1.3\over 1.2} & 1 & {7\over 8} \cr {1.3.5\over 1.2.3} & {15\over 8}\cr {1.3.5.7\over 1.2.3.4}\cr }}$$ Alors $a_0 ^n =\displaystyle {1.3.5\dots (2n-1)\over n!}$. En effet $a(t)=\displaystyle {1\over \sqrt {1-t^2}}$, d'o\`u $\overline{a}(t)={1\over\sqrt {1-2t}}$. En outre $A(t)=I_0 (t)$, fonction modifi\'ee de Bessel, et $\overline{A}(t)=e^t I_0 (t)$. Nous abordons \`a pr\'esent les exemples de matrices \`a coefficients entiers. Laissons en exercice les nombres de Fibonacci, et commen\c cons par les nombres de Bell : \ssection $3.4$|Soit $a_n ^0=B_n$, nombre de {\it partitions d'un ensemble} \`a $n$ \'el\'ements. On sait [6] que $A(t)=\exp({{e^t} -1}) $. D'o\`u $\overline{A}(t)=\exp({{e^t}-1+t}) = A' (t)$. Par suite $a_n ^0=a_0 ^{n-1}$, d'o\`u un proc\'ed\'e de calcul simple des nombres de Bell [12, 21]. $$ (ES4)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 1 & 2 & 5 & 15 & 52 & \dots \cr 2 & 3 & 7 & 20 \cr 5 & 10 & 27 \cr 15 & 37 \cr 52\cr }}$$ \ssection $3.5$|Un exemple voisin est celui o\`u $a_n ^0$ est le nombre de {\it partitions ordonn\'ees} d'un ensemble \`a $n$ \'el\'ements (une partition ordonn\'ee est le couple form\'e d'une partition et d'un ordre total sur les blocs de cette partition). On montre que $A(t)=1/( 2-e^t)$. D'o\`u $\overline{A}(t)=2A(t)-1$, et on a $a_0 ^n =2 a_n ^0$. En outre, dans toute matrice d'Euler-Seidel $a_0 ^n = a_n ^0 + (a_{n-1} ^0 + a_{n-2} ^1 + a_{n-3} ^2 + \dots + a_0 ^{n-1}$). Dans ce cas particulier, on a donc $$ a_n ^0 = a_{n-1} ^0 + a_{n-2} ^1 + \dots + a_0 ^{n-1}, $$ d'o\`u un calcul rapide de ces nombres, \'etudi\'es par maints auteurs [1, 4, 12, 15, 16, 21, 29, 31, 32] $$ (ES5)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 1 & 3 & 13 & 75 & \dots \cr 2 & 4 & 16 \cr 6 & 20 \cr 26 \cr }}$$ \vfill\eject \ssection $3.6$|Consid\'erons \`a pr\'esent le cas o\`u $a_n ^0$ est le nombre d'applications $f$ {\it idempotentes} $(f \circ f =f)$ d'un ensemble \`a $n$ \'el\'ements dans lui-m\^eme [6, 17, 25]. Alors $$ A(t) = e^{te^t}, \qquad \hbox{\rm d'o\`u}\qquad A'(t)=(1+t) e^t e^{te^t}=(1+t) \overline{A}(t). $$ Donc $a_{n+1} ^0= a_0 ^n + n a_0 ^{n-1}$, et un rapide calcul de $a_n ^0$ [17]. $$ (ES6)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 1 & 3 & 10 & 41 & 196 & \dots \cr 2 & 4 & 13 & 51 \cr 6 & 17 & 64 \cr 23 & 81 \cr 104\cr }}$$ \ssection $3.7$|Si $a_n ^0$ est le nombre de permutations sans point fixe, ou {\it d\'erangements}, d'un ensemble \`a $n$ \'el\'ements, alors $a_0 ^n$ vaut $n!$, nombre de toutes les permutations [6, 24]. $$ A(t) ={e^{-t}\over 1-t},\quad \overline{A}(t) ={1\over 1-t}. $$ Signalons que cette matrice d'Euler-Seidel est d\'ej\`a dans Euler [10], mais priv\'ee de la ligne initiale ! Pour des aspects combinatoires, voir [19] [35]. $$ (ES7)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 0 & 1 & 2 & 9 & 44 & \dots \cr 1 & 1 & 3 & 11 &53 \cr 2 & 4 & 14 & 64 \cr 6 & 18 & 78\cr 24 & 96 \cr 120\cr }}$$ \ssection $3.8$|Ainsi d'une mani\`ere g\'en\'erale, dans les classes de permutations, on passe des ``sans point fixe", avec une fonction g\'en\'eratrice $A(t)=e^{f(t)}$, o\`u $f(0)=f'(0)=0$, aux ``avec points fixes" o\`u $\overline{A}(t)=e^{f(t)+t}$. A ce sujet, voir [13]. Exemple : $a_n ^0$ est le nombre de permutations {\it involutives} $(p\circ p=\id)$ sans point fixe d'un ensemble \`a $n$ \'el\'ements, donc $a_n ^0=0$ si $n$ impair est $a_n ^0= 1.3.5\dots (n-1)$ si $n$ pair. Alors $a_0 ^n$ est le nombre de toutes les permutations involutives. $$ A(t) =e^{{t^2 / 2}},\quad \overline{A}(t)=e^{t+ {t^2/ 2}}. $$ $$ (ES8)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 15 & \dots \cr 1 & 1 & 1 & 3 & 3 \cr 2 & 2 & 4 & 6 \cr 4 & 6 & 10\cr 10 & 16 \cr 26\cr }}$$ \ssection $3.9$|Si $a_n ^0 =n!$, $a_0 ^n$ est le nombre ``d'arrangements" sur un ensemble \`a $n$ \'el\'ements. $A(t)={1/( 1-t)}$, $A(t)={e^t/( 1-t)}$. $$ (ES9)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 1 & 2 & 6 & 24 & \dots \cr 2 & 3 & 8 & 30 \cr 5 & 11 & 38 \cr 16 & 49\cr 65\cr }}$$ \ssection $3.10$.|Nous abordons \`a pr\'esent les exemples d\^us \`a Seidel [28], qui ont pour caract\'eristique de concerner des suites d'entiers altern\'ees. Si $a_0 ^0 =1$, $a_{2n} ^0=0 (n\ge 1)$, et $a_{2n-1} ^0=(-1)^n T_{2n-1}$, nombre tangent, alors $a_0 ^{2n}=(-1) ^n E_{2n}$, nombre s\'ecant. $$ (ES10)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & -1 & 0 & 2 & 0 & -16 & 0 \cr 0 & -1 & 2 & 2 & -16 & -16\cr -1 & 1 & 4 & -14 & -32\cr 0 & 5 & -10 & -46\cr 5 & -5 & -56\cr 0 & -61\cr -61\cr }}$$ $$ A(t)=1 -\tanh t={2\over e^{2t} +1},\quad \overline{A}(t) ={1\over {\rm ch}\,t}. $$ Si l'on repart des nombres s\'ecants comme suite initiale, on r\'eobtient les nombres tangents, car si $A(t)=\displaystyle {1\over {\rm ch}\,t},\quad \overline{A}(t)=1 +\tanh t$. $$ (ES10')\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & 0 & -1 & 0 & 5 & 0 & -61 \cr 1 & -1 & -1 & 5 & 5 & -61\cr 0 & -2 & 4 & 10 & -56\cr -2 & 2 & 14 & -46\cr 0 & 16 & -32\cr 16 & -16\cr 0\cr }}$$ \vfill\eject \noindent En fait, c'est en un certain sens la ``m\^eme" matrice. Sous la deuxi\`eme forme elle est caract\'eris\'ee par les deux conditions suivantes : (E1) $A(x)$ est une fonction paire et $A(0)=1$.\par (E2) $\bar A(x)-1$ est une fonction impaire. En supprimant les signes et en d\'ecrivant la matrice en diagonale, Seidel obtient le triangle suivant : $$ \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr & & 1\cr & \to & 1 & 1 \cr & 2 & 2 & 1 & \leftarrow \cr \to & 2 & 4 & 5 & 5 \cr 16 & 16 & 14 & 10 & 5 & \leftarrow \cr }}$$ triangle qui permet un calcul rapide de nombres tangents et s\'ecants, et dont Entringer a donn\'e l'interpr\'etation combinatoire [9]. \ssection $3.11$|Soit $A(t)=\displaystyle {2t\over 1+e^t}$. Alors $a_0 ^0 =0$, $a_1 ^0=1$, $a_{2n+1} ^0=0\ (n\ge 1)$, $a_{2n} ^0= (-1)^n G_{2n}$, o\`u $G_{2n}$ s'appelle nombre de Genocchi. D'o\`u $ \overline{A}(t)=-A(t)+2t$. $$ (ES11)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 17pt depth 3pt width 0pt \hfil\ $\displaystyle#$\ \hfil\cr 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 17 \cr 1 & 0 & -1 & 1 & 1 & -3 & -3 & 17 \cr 1 & -1 & 0 & 2 & -2 & -6 & 14 \cr 0& -1 & 2 & 0 & -8 & 8 \cr -1 & 1 & 2 & -8 & 0\cr 0 & 3 & -6 & -8 \cr 3 & -3 & -14 \cr 0 & -17 \cr -17 \cr }} $$ \vfill\eject \noindent On montre que les diagonales sont alternativement sym\'etriques et antisym\'etriques. En particulier $a_n ^n =0,$ et Seidel en d\'eduit le triangle suivant $$ \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr & 1\cr \to & 1 & 1 \cr & 2 & 1 & \leftarrow\cr \to & 2 & 3 & 3 \cr & 8 & 6 & 3 & \leftarrow\cr \to & 8 & 14 & 17 & 17\cr }}$$ qui permet un calcul rapide des nombre de Genocchi ainsi que des nombres $|a_n ^{n-1}|$ q'uon peut appeler nombres de Genocchi de deuxi\`eme esp\`ece [3]. On trouvera par ailleurs des interpr\'etations combinatoire de la matrice (ES 11) en [8] et [35]. \ssection $3.12$|Soit $A(t)=\displaystyle {t\over e^t -1}$, alors $\overline{A}(t)=A(t) + t$, $a_0 ^n = a_n ^0\quad (n\ge 2)$. Suites initiale et finale sont form\'ees des nombres de Bernouilli. Mais la matrice de Seidel ne donne pas de m\'ethode de calcul de ces nombres. $$ (ES12)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 1 & -{1\over 2} & {1\over 6} & 0 & -{1\over 30} & \dots \cr {1\over 2} & -{1\over 3} & {1\over 6} & -{1\over 30} \cr {1\over 6} & -{1\over 6} & {2\over 15} \cr 0 & -{1\over 30}\cr -{1\over 30}\cr }} $$ \vfill\eject \ssection $3.13$|Voici encore un exemple li\'e \`a (ES10) et (ES11), qui consiste \`a prendre pour suite initiale $a_1 ^0=1$, $a_{2n} ^0 =(-1)^n 2n T_{2n-1}=(-1)^n 2^{2n-1} G_{2n}\quad (n\ge 1)$, $a_{2n+1} ^0 =0\quad (n\ge 1)$. $$ (ES13)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\quad $\displaystyle#$\quad \hfil\cr 0 & 1 & -2 & 0 & 8 & 0 & -96\cr 1 & -1 & -2 & 8 & 8 \cr 0 & -3 & 6 & 16\cr -3 & 3 & 22\cr 0 & 25\cr 25\cr }}$$ Donc $A(t)=\displaystyle {2t\over e^{2t} +1} =t-t \tanh t$, $\overline{A}(t)=\displaystyle {t\over {\rm ch}\,t}$ et $a_0 ^{2n+1} = (-1)^n (2n+1) E_{2n}$. \section 4. Quelques extensions polynomiales|Nous nous limiterons aux extensions les plus classiques en Combinatoire, et nous contenterons dans les tables de donner les premi\`eres valeurs des suites initiale et finale. En effet, les matrices de polyn\^omes ne fournissent en g\'en\'eral pas d'algorithme pour calculer la suite initiale. \ssection $4.1$. Polyn\^omes d'Appell|$A$ une suite initiale $(a_n ^0)$, de fonctions g\'en\'eratrices $a(t)$ et $A(t)$, nous associons la suite des polyn\^omes $(a_n(x))\ (n\ge 0)$ d\'efinis par $$ a_n (x)=\sum_{i=0} ^n { n \choose i} a_i ^0 x^{n-i}. $$ Ce sont les polyn\^omes d'Appell associ\'es \`a $(a_n ^0)$ [2]. On montre comme plus haut que $$ \leqalignno{ \sum a_n (x) t ^n & = {1\over 1-tx} a\Bigl( {t\over 1-tx}\Bigr), & (8)\cr \sum a_n (x) {t^n \over n!} & =e^{tx} A(t). & (9)\cr }$$ Les polyn\^omes $a_n(x)$ sont une `interpolation", puisque $$ a_n (0)=a_n ^0, \quad a_n (1)=a_0 ^n. $$ En outre, on a $a'_n (x)=n a_{n-1}(x)$, et ce sont des polyn\^omes de type binomial [27] $$ a_n (x+y) =\sum_{i=0} ^n \pmatrix{ n \cr i \cr } a_i (x) a_{n-i} (y). $$ Si l'on prend comme suite initiale d'une matrice de Seidel une suite de polyn\^omes d'Appell $(a_n (x))$, la suite finale sera $(a_n(x+1))$. Comme exemples, citons d'abord les polyn\^omes de Bernoulli, associ\'es aux nombres de Bernoulli. On peut de m\^eme introduire des ``polyn\^omes de Genocchi" (\`a coefficient pr\`es ce sont ceux qu'on appelle polyn\^omes d'Euler dans la litt\'erature [6, 18]), d'autres ``polyn\^omes d'Euler" \`a partir de (ES10) ou (ES10'). Introduits \`a partir de (ES7), on voit que les polyn\^omes \'enum\'erateurs du nombre de points fixes sur les permutations ont pour fonction g\'en\'eratrice $\exp((x-1)t)/( 1-t)$, d'apr\`es (9). De m\^eme, \`a partir de (ES8), $e^{xt+{t^2/ 2!}}$ est fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes d'Hermite, qui \'enum\`erent les points fixes sur les permutations involutives. Si enfin nous consid\'erons le cas de la suite initiale de (ES3), nous voyons que les polyn\^omes d'Appell associ\'es ont pour fonctions g\'en\'eratrices, d'apr\`es (8) et (9) $$ \leqalignno{ \sum a_n (x) t^n & = {1\over \sqrt {1-2xt + (x^2-1) t^2}}, & (10) \cr \sum a_n (x) {t^n \over n!} & = e^{xt} I_0 (t). & (11)\cr \noalign{\hbox{L'\'equation (10) implique}} a_n (x)& =(x^2 -1) ^{n/ 2} P_n \Bigl({x \over \sqrt{ x^2-1}}\Bigr), &(12)\cr} $$ o\`u $P_n$ est le polyn\^ome de Legendre. On trouvera une \'etude combinatoire des polyn\^omes $n!a_n(x)$ en [7]. \ssectiona $4.2$. Autres extensions| \decale a)|$a_n ^0 ={x^n / n!}$. Alors $a(t) =e^{xt}$, $A(t)=I_0 (2\sqrt xt)$. D'o\`u $\overline{a}(t)=(1/( 1-t))\exp(xt/( 1-t))$, $\overline{A}(t)=e^t I_0 (2\sqrt xt)$. On a $a_0 ^n={1\over n!}$ $L_n ^{(0)} (-x)$, o\`u $L_n ^{(0)}$ d\'esigne le polyn\^ome de Laguerre d'indice $0$. En outre $a_1 ^n ={1\over (n+1)!} L_{n+1} ^{(-1)} (-x)$, dont les coefficients sont appel\'es nombre de Lah [20], et \'enum\`erent les fonctions acycliques $f$ d'un ensemble \`a $(n+1)$ \'el\'ements dans lui-m\^eme (c'est-\`a-dire telles que $f^{n+1}=f^n)$ suivant le nombre de points fixes [13, 24]. \goodbreak $$ (ES14)\qquad \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\ $\displaystyle#$\ \hfil\cr 1 & x & {x^2 \over 2!} & {x^3 \over 3!} & \dots \cr 1 + x & {2x^2 + x^2 \over 2!} & {3x^2 + x^3 \over 3!}\cr {2+4x+x^2\over 2!} & {6x + 6x^2 + x^3 \over 3 !}\cr {6 + 18x+9x^2 + x^3\over 3!}\cr }}$$ \decale b)|Les polyn\^omes dits ``exponentiels" [6, 23], dont les coefficients sont les nombres de Stirling de deuxi\`eme esp\`ece, qui \'enum\`erent les partitions selon le nombre de blocs. C'est donc une extension de (ES4) $$ \eqalign{ A(t)& =\exp(x(e^t-1)) = 1+xt+(x+x^2) {t^2 \over 2!} + (x+3x^2 +x^3) {t^3\over 3!}\cr &\kern5cm{} + (x+7x^2 + 6x^3 + x^4) {t^4 \over 4!} + \cdots \cr \overline{A}(t) & ={1\over x} A'(t), \quad \hbox{\rm d'o\`u}\quad a_{n+1} ^0 = x a_0 ^n.\cr }$$ $$ \vcenter{\halign{&\vrule height 20pt depth 5pt width 0pt \hfil\ $\displaystyle#$\ \hfil\cr 1 & x & x+x^2 & x+3x^2+x^3 & \dots \cr 1+x & 2x + x^2 & 2x+4x^2 + x^3\cr 1+3x+x^2 & 4x+5x^2 +x^3 \cr 1+7x+6x^2 +x^3\cr }}$$ \decale c)|Une extension de (ES9) est donn\'ee par $A(t)=e^{-x\Log(1-t)}$, fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes dont les coefficients sont les nombres de Stirling de premi\`ere esp\`ece et \'enum\`erent les permutations selon le nombre de cycles. $$\eqalign{ e^{-x\Log(1-t)}& =1+xt+(x+x^2){t^2 \over 2!} +(2x + 3x ^2 + x^3) {t^3 \over 3 !}\cr &\qquad\qquad\qquad\qquad + (6x + 11 x^2 + 6 x ^3 + x^4 ){t^4 \over 4!}+\cdots\cr} $$ Alors $\overline{A}(t)=e^{t-\Log(1-t)}$ est la fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes de Charlier [5, 30] $$ e^{t-x\Log(1-t)}=1+(1+x)t+(1+3x+x^2){t^2 \over 2!} +(1+8x+6x^2 +x^3){t^3\over 3!} +\cdots $$ \goodbreak \decale d)|Une extension de (ES7) est donn\'ee par les polyn\^omes de Roselle [26] qui \'enum\`erent les {\it permutations sans point fixe} selon le nombre de mont\'ees de cycle, c'est-\`a-dire d'entiers $i$ tels que $i