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\nologo

\magnification1200
\hsize13cm
\vsize19cm


\topmatter 
\title Charaktere endlicher Gruppen und Teilbarkeitsfragen\\
\tenpoint(Zusammenfassung)
\endtitle 
\author Adalbert Kerber
\endauthor 
\address 
Universit\"at Bayreuth, 
       Lehrstuhl Mathematik II, 
       D-95440 Bayreuth, Germany 
\endaddress

\endtopmatter
\document

$$\align G:={}&\text{endliche Gruppe mit $\Bbb C$-Darstellung $D$ vom
Charakter $\chi^D$, mit}\\
&\text{irreduzibler $\Bbb C$-Darstellung $D_i$ vom Charakter $\zeta^i$
und Dimension}\\
&\text{$f^i$, $D_1$:=Einsdarstellung.}
\endalign$$
$$\align S_n:={}&\text{symmetrische Gruppe auf $\{1,2,\dots,n\}$,
$\pi\in S_n$, $a_k(\pi):=$ Anzahl}\\
&\text{der $k$-Zyklen von $\pi$.}
\endalign$$
Dann gilt (vgl\. Proc\. Strasbourg 1976):
$$\chi^{D\blacktriangle_nD_i}(\pi):=\frac {1} {\vert G\vert}\sum
_{g\in G} ^{}\zeta^i(g^{-1})\prod _{k=1} ^{n}\chi^D(g^k)^{a_k(\pi)}$$
ist ein Charakter von $S_n$. Wir setzen
$$c_{i,n}:=\chi^{D_i\blacktriangle_nD_1}((1\dots n))=
\frac {1} {\vert G\vert}\sum _{g} ^{}\zeta^i(g^n),$$
(so da{\ss} zum Beispiel $c_{i,1}=\delta_{i1}$, $c_{i,2}\in\{\pm 1,
0\}$ je nach {\it Art\/} von $D_i$).

Diese Zahlen tauchen h\"aufig auf bei Teilbarkeitsuntersuchungen. So
gilt zum Beispiel

\proclaim{Satz}Sind $n_1,\dots,n_k\in \Bbb N$, $k\ge2$,
$C\subseteq G$ eine Konjugiertenklasse von $G$, so ist die Anzahl der
L\"osungen $(g_1,\dots,g_k)\in G^k$ von
$$g_1^{n_1}\cdots g_k^{n_k}\in C$$
gleich
$$\vert G\vert \sum _{i} ^{}\left(\frac {\vert G\vert} {f^i}\right)^{k-2}
\bigg(\prod _{j} ^{}c_{i,n_j}\bigg)\frac {\vert C\vert}
{f^i}\zeta^i(g^{-1}), $$
$g\in C$, also insbesondere teilbar durch $\vert G\vert \cdot
\text{\rm ggT}\{(\vert G\vert/f^i)^{k-2}\}$.
\endproclaim

F\"ur weitere Resultate dieser Art vgl\. \S~5.3 im Buch von
James/Kerber \cite{1}, sowie \cite{2}.

\Refs\nofrills{Literatur}
\ref\no 1\by G.    James and A. Kerber \yr 1981 \book The
representation theory of the symmetric group\publ Encyclopedia of
Math\. and its Applications, Addison Wesley\publaddr Reading,
Massachusetts\endref 

\ref\no 2\by A. Kerber and B. Wagner\paper Gleichungen in endlichen
Gruppen\jour Archiv Math\.\vol 35\yr 1980\pages 252--263\endref
\endRefs



\enddocument