%This is the AmS-TeX file for an 3 page paper. \input amstex.tex \input amsppt.sty \loadbold \magnification1200 \hsize12cm \vsize18.7cm \nologo \def\N{\Bbb N} \def\inv{\operatorname{inv}} \def\card{\operatorname{card}} \topmatter \title Zum $q$-Analogon der Kongruenz von LUCAS \endtitle \author Volker Strehl \endauthor \affil Department of Computer Science (Informatik 8)\\ Friedrich-Alexander-Uni\-ver\-si\-t\"at Erlangen-N\"urnberg\\ D-91058 Erlangen, Germany \endaffil \address Department of Computer Science (Informatik 8), Friedrich-Alexander-Uni\-ver\-si\-t\"at Erlangen-N\"urnberg, D-91058 Erlangen, Germany \endaddress %\email \endemail %\dedicatory \enddedicatory %\date \enddate %\thanks \endthanks %\subjclass Primary ; % Secondary %\endsubjclass %\keywords \endkeywords %\abstract %\endabstract \endtopmatter \document In seiner klassischen Untersuchung \"uber die Kongruenzen f\"ur Euler--Zahlen verwendet LUCAS folgende, nach ihm benannte Kongruenz f\"ur die Binomialkoeffizienten: $$\binom {ap+b}{cp+d}\equiv \binom ab\binom bd\mod p$$ f\"ur nat\"urliche Zahlen $a,b,c,d$ mit $0\le b,d
a_j\}$$ die Anzahl der Inversionen von $\bold a$; f\"ur $\boldsymbol\alpha\in A^+$ stellt dann $$[\boldsymbol\alpha]_q:=\sum _{} ^{}\left\{q^{\inv(\bold a)}:\bold a\in [\boldsymbol\alpha]\right\}$$ den zum Typ $\boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)$ geh\"orenden $q$-Multinomialkoeffizienten dar: $$[\boldsymbol\alpha]_q=\bmatrix \iota\boldsymbol\alpha\\ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\endbmatrix_q\ .$$ Sei nun eine ganze Zahl $k\ge1$ fixiert. F\"ur beliebige $n\in\N$ seien $Qn\in\N$ und $Rn\in\{0,1,\dots,k-1\}$ mittels der \"ublichen Division mit Rest definiert: $n=k\cdot Qn+Rn$. Dies gibt Anla{\ss} zur Definition von zwei Abbildungen $Q^+:A^+\to A^+$ und $R^+:A^+\to A^+$ mit: $$\align Q^+(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)&:=(Q\alpha_1,Q\alpha_2,\dots,Q\alpha_m)\quad \quad \text {und}\\ R^+(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)&:=(R\alpha_1,R\alpha_2,\dots,R\alpha_m)\ . \endalign$$ Offensichtlich gilt dann f\"ur $\boldsymbol\alpha\in A^+$ $$k\cdot (Q\cdot \iota-\iota\cdot Q^+)\boldsymbol\alpha= (\iota\cdot R^+-R\cdot\iota)\boldsymbol\alpha$$ und $$e\boldsymbol\alpha:=(Q\cdot \iota-\iota\cdot Q^+)\boldsymbol\alpha$$ ist eine nichtnegative ganze Zahl. Mit diesen Begriffen kann nun das Resultat formuliert werden. \proclaim{Theorem} F\"ur alle $\boldsymbol\alpha\in A^+$ gilt: $$\alignat 2 [\boldsymbol\alpha]_q&\equiv0&&\mod (\Phi_k(q))^{e\boldsymbol\alpha}\ ,\tag1\\ [\boldsymbol\alpha]_q&\equiv \binom {Q\iota\boldsymbol\alpha}{\iota Q^+ \boldsymbol\alpha}[Q^+\boldsymbol\alpha]_1\,[R^+\boldsymbol\alpha]_q&&\mod (\Phi_k(q))^{1+e\boldsymbol\alpha}\ .\tag2 \endalignat$$ \endproclaim Insbesondere erweist sich $e\boldsymbol\alpha$ als der (exakte) Exponent von $\Phi_k(q)$ in $[\boldsymbol\alpha]_q$, so da{\ss} sich unter den Folgerungen, die aus diesem Theorem gezogen werden k\"onnen, ganz pr\"azise Informationen \"uber die Zerlegung von $[\boldsymbol\alpha]_q$ in irreduzible Faktoren (in $\Bbb Z[q]$) befinden. F\"ur $m=2$ beinhaltet (2) eine (im oben angedeuteten Sinne) versch\"arfte Version der $q$-LUCAS-Kongruenz von D\'ESARM\'ENIEN. Als weitere Folgerungen findet man beispielsweise Resultate von FRAY \"uber die $p$-Bewertung von $q$-Binomialkoeffizienten f\"ur ganzzahliges $q$, sowie --- nat\"urlich --- f\"ur $q=1$ die klassischen Resultate \"uber Primfaktorzerlegung und Kongruenzen f\"ur Bi\-no\-mi\-al- und Multinomialkoeffizienten. Abschlie\ss end sei betont, da{\ss} das Theorem, dessen arithmetische Konsequenzen nat\"urlich keine gro\ss en \"Uberraschungen beinhalten, und die man auch mit anderen Methoden herleiten kann, ein im Grunde rein kombinatorisches Resultat ist. Von arithmetischen Eigenschaften der Kreisteilungspolynome, die \"uber die Definition und sich daran unmittelbar anschlie\ss ende Folgerungen hinausgehen, wird kein Gebrauch gemacht. \Refs\nofrills{Literatur} \ref\by ANDREWS\book The Theory of partitions\publ Addison--Wesley\publaddr \yr 1976, Ch.~3.4\endref \ref\by D\'ESARM\'ENIEN\jour Europ\. J. Combin\. \vol 3\yr 1982\pages 19--28\endref \ref\by FOATA\jour Proc\. Amer\. Math\. Soc\. \vol 19\yr 1968\pages 236--240\endref \ref\by FRAY\jour Duke Math\. J. \vol 34\yr 1967\pages 469--480\endref \ref\by KNUTH\book The Art of Computer Programming\publ vol.~3\publaddr Addison--Wesley\yr 1973, Ch.~5.1\endref \ref\by LUCAS\jour Bull\. Soc\. Math\. France \vol 6\yr 1878\pages 49--54\endref \ref\by SINGMASTER\jour J. London Math\. Soc\. (2) \vol 8\yr 1974\pages 545--548\endref \endRefs \enddocument