\catcode'32=9 \magnification=1200 %\voffset=1cm %\hoffset=0cm \font\tenpc=cmcsc10 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm7 at 8pt \font\eightbboard=msbm7 at 8pt \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm5 at 6 pt \font\fivegoth=eufm5 \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm7 at 8pt %%%%%%%%%%%%\font\eightbboard=msbm8%%%%% manque \font\eightbboard=msbm7 at 8pt \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 %%%%%%%%%%%%\font\sixgoth=eufm6%%%%%%%%% manque \font\sixgoth=eufm5 at 6 pt \font\fivegoth=eufm5 \newfam\gothfam \newfam\bboardfam \catcode`\@=11 \def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue} \def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty \@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}} \def\tenpoint{% \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\tenrm}% \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}% \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}% \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard \def\bboard{\fam\bboardfam}% \textfont\itfam=\tenit \def\it{\fam\itfam\tenit}% \textfont\slfam=\tensl \def\sl{\fam\slfam\tensl}% \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\tenbf}% \textfont\ttfam=\tentt \def\tt{\fam\ttfam\tentt}% \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt 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plus 2pt minus 2pt \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt minus 0pt \belowdisplayskip=3pt plus 2pt minus 2pt \belowdisplayshortskip=3pt plus 2pt minus 0pt %%%%%%%%%%% \auteurcourant={J. D\'esarm\'enien} \titrecourant={$q$-polyn\^omes d'Hermite} %\font\twelvEBf=\bf \vglue 0pt\bigskip\bigskip \centerline{{\bf Les $q$-analogues des polyn\^omes d'Hermite}} \bigskip \centerline{Jacques \petcap D\'esarm\'enien} \bigskip \titre 0. Introduction| L'un des probl\`emes auxquels on se heurte lorsqu'on s'int\'eresse aux $q$-ana\-logues est qu'en g\'en\'eral il n'existe pas {\it un} mais {\it plusieurs} $q$-analogues possibles d'un objet donn\'e. Les propri\'et\'es de ce dernier se g\'en\'eralisent tant\^ot \`a l'un, tant\^ot \`a l'autre de ses $q$-analogues. Il n'existe donc pas de $q$-analogue ``naturel''. Une illustration de ce principe est fournie par les polyn\^omes d'Hermite. Ceux-ci ont essentiellement deux classes de $q$-analogues. La premi\`ere, d\'eriv\'ee des polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, apparut chez Rogers [10] dans sa d\'emonstration des c\'el\`ebres identit\'es de Rogers-Ramanujan (\cf. [4,~5]). La seconde a \'et\'e \'etudi\'ee plus particuli\`erement par Al-Salam et Carlitz [1], Askey [3] et, d'un point de vue diff\'erent, par Cigler [8]. L'article qui suit donne un certain nombre de formules concernant ces divers polyn\^omes, avec parfois une d\'emonstration succincte. On donne une interpr\'etation combinatoire pour chacune de ces deux classes de polyn\^omes. Enfin, conform\'ement au principe de Riordan, des tables des premi\`eres valeurs des polyn\^omes concern\'es se trouvent \`a la fin de l'article. Les notations utilis\'ees sont les suivantes ; on pose $\qfac a0=1$ et $\qfac an=(1-a)(1-aq)\cdots(1-aq^{n-1})$ si $n\ge 1$. On appelle polyn\^ome gaussien ou $q$-binomial le polyn\^ome suivant : $$ {n\gauss k}={\qfac qn \over \qfac qk \qfac q{n-k}}. $$ La $q$-exponentielle de base $q$ est d\'efinie par $$ e(t,q)=\prod _{k\ge 0}(1-tq^k)^{-1}=\sum _{n\ge 0}{t^n\over \qfac qn}. $$ Enfin, lorsque seule la base $q$ est utilis\'ee, on omet de l'\'ecrire dans les arguments : on note alors $e(t)$ pour $e(t,q)$, ou encore $H_n(x)$ pour $H_n(x,q)$ lorsqu'il sera question des polyn\^omes d'Hermite. \titre 1. Les polyn\^omes d'Hermite| Rappelons tout d'abord quelques propri\'et\'es des polyn\^omes d'Hermite ordinaires. Elles figurent dans tous les ouvrages consacr\'es aux polyn\^omes orthogonaux. Notons $h_n(x)$ le $n$-i\`eme polyn\^ome d'Hermite. Il est de degr\'e $n$ et ses coefficients sont entiers. {\it Fonction g\'en\'eratrice} $$ \sum _{n\ge 0}{h_n(x)\,t^n\over n!}=\exp(tx-t^2/2) .\leqno{(1.1)} $$ {\it Relation de r\'ecurrence lin\'eaire} $$ h_0(x)=1,\ h_1(x)=x,\ h_{n+1}(x)=xh_n(x)-nh_{n-1}(x),\ n\ge 1.\leqno{(1.2)} $$ {\it Formules explicites} $$ \leqalignno{h_n(x)&=e^{-D^2/2}\cdot x^n,\qquad \hbox{o\`u $D$ est l'op\'erateur $d\over dx$}&(1.3)\cr &=\sum _{0\le 2j\le n}(-1)^j{n\choose 2j}(2j-1)!!\,x^{n-2j},\cr} $$ o\`u $(2j-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)$. {\it Formule multiplicative} $$ h_m(x)h_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\choose k}{n\choose k} k!\,h_{m+n-2k}(x).\leqno{(1.4)} $$ {\it R\'ecurrence quadratique} $$ h_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\choose k}{n\choose k} k!\,h_{m-k}(x)h_{n-k}(x).\leqno{(1.5)} $$ {\it Formule de Mehler} $$ \sum _{n\ge 0}{h_n(x)h_n(y)\,t^n\over n!}=(1-t^2)^{-1/2}\exp\Bigl({xyt-t^2(x^2+y^2)\over 1-t^2}\Bigr).\leqno{(1.6)} $$ Terminons ces rappels par l'interpr\'etation combinatoire classique des polyn\^omes d'Hermite : soit $a_{n,k}$ le nombre de permutations involutives sur $n$ \'el\'ements qui laissent $k$ points fixes ; on remarque que $k$ et $n$ ont m\^eme parit\'e ; alors $$ h_n(x)=\sum _{0\le k\le n}(-1)^{(n-k)/2}a_{n,k}\,x^k. $$ \titre 2. Les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o| La formule de multiplication des exponentielles, qui n'est pas vraie pour les $q$-exponenetielles, est curieusement \`a la base des d\'efinitions des $q$-polyn\^omes d'Hermite. Les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, \'etudi\'es par Rogers [10] puis par Szeg\"o [14] jouent un r\^ole essentiel dans la th\'eorie des $q$-analogues. Ils sont d\'efinis par la fonction g\'en\'eratrice $$ \sum _{n\ge 0}{r_n(a,b)\,t^n\over \qfac qn}=e(at)e(bt).\leqno{(2.1)} $$ Par $q$-d\'erivation on obtient imm\'ediatement la r\'ecurrence lin\'eaire $$ \leqalignno{&r_0(a,b)=1,\ r_1(a,b)=a+b,&(2.2)\cr &r_{n+1}(a,b)=(a+b)r_n(a,b)-(1-q^n)abr_{n-1}(a,b),\ n\ge 1.\cr} $$ Du d\'eveloppement de la fonction g\'en\'eratrice 2.1 r\'esulte la formule explicite $$ r_n(a,b)=\sum _{0\le k\le n}{n\gauss k}\,a^kb^{n-k}.\leqno{(2.3)} $$ On v\'erifie \'egalement la formule multiplicative $$ r_m(a,b)r_n(a,b)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk a^kb^k\,r_{m+n-2k}(a,b),\leqno{(2.4)} $$ d'o\`u se d\'eduit $$ \sum _{m,n\ge 0}{r_{m+n}(a,b)\,t^mu^n\over \qfac qm\qfac qn}={e(at)\, e(au)\, e(bt)\, e(bu)\over e(abtu)},\leqno{(2.5)} $$ et finalement une formule de type Mehler : $$ \sum _{n\ge 0}{r_n(a,b)r_n(c,d)\,t^n\over \qfac qn}={e(act)\, e(adt)\, e(bct)\, e(bdt)\over e(abcdt^2)}.\leqno{(2.6)} $$ \titre 3. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 1\emini\ esp\`ece| La similitude entre ces formules et les formules analogues pour les polyn\^omes d'Hermite ont parfois conduit \`a qualifier les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o de $q$-polyn\^omes d'Hermite. En fait, une l\'eg\`ere modification des arguments permet d'obtenir un $q$-analogue bien plus satisfaisant. De plus cette modification appara\^{\i}t dans l'article original de Rogers. Posons donc $A_n(\cos\theta )=r_n(e^{i\theta },e^{-i\theta })$. La d\'efinition de la $q$-exponentielle et la fonction g\'en\'eratrice 2.1 fournissent presque imm\'ediatement $$ \sum _{n\ge 0}{A_n(x)\,t^n\over \qfac qn}=\prod _{k\ge 0}(1-2xtq^k+t^2q^{2k})^{-1}.\leqno{(3.1)} $$ La relation de r\'ecurrence 2.2 devient $$ \leqalignno{&A_0(x)=1,\ A_1(x)=2x,&(3.2)\cr &A_{n+1}(x)=2xA_n(x)-(1-q^n)A_{n-1}(x),\ n\ge 1.\cr} $$ La formule explicite 2.3 donne le d\'eveloppement de Fourier $$ A_n(\cos\theta )=\sum _{0\le k\le m,n}{n\gauss k}e^{i(n-2k)\theta }. \leqno{(3.3)} $$ Les formules 2.4, 2.5 et 2.6 ont comme cons\'equences les trois formules suivantes : $$ A_m(x)A_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk\, A_{m+n-2k}(x),\leqno{(3.4)} $$ $$ A_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk q^{k(k-1)/2}A_{m-k}(x)A_{n-k}(x),\leqno{(3.5)} $$ $$ \leqalignno{&\sum _{n\ge 0}{A_n(x)A_n(y)\,t^n\over \qfac qn}&(3.6)\cr &\quad =\prod _{k\ge 0}{1-t^2q^k\over 1-4tq^kxy+2t^2q^{2k}(2x^2+2y^2-1)- 4t^3q^{3k}xy+t^4q^{4k}}.\cr} $$ Il n'est pas possible de faire $q=1$ dans les formules pr\'ec\'edentes. Il faut pour cela une normalisation diff\'erente ; on peut en profiter pour faire dispara\^{\i}tre le coefficient 2 dans la r\'ecurrence 3.2 en posant $$ H_n(x)=(1-q)^{-n/2}A_n\Bigl({\sqrt{1-q}\over 2}x\Bigr). $$ Les polyn\^omes ainsi obtenus sont de ``vrais'' $q$-analogues des polyn\^omes d'Hermite, donn\'es par la r\'ecurrence lin\'eaire $$ H_0(x)=0,\ H_1(x)=x,\ H_{n+1}(x)=xH_n(x)-{1-q^n\over 1-q}H_{n-1}(x),\ n\ge 1.\leqno{(3.7)} $$ Ces polyn\^omes figurent dans Cigler~[8]. Leur fonction g\'en\'eratrice et leur formule de Mehler ne semblent pas pr\'esenter d'int\'er\^et particulier. On ne retrouve pas les formules correspondantes pour les polyn\^omes d'Hermite lorsque $q=1$. En revanche, les formules 3.4 et 3.5 apparaissent, apr\`es changement d'argument, comme des $q$-analogues des formules 1.4 et 1.5. Ce sont respectivement : $$ H_m(x)H_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}{\qfac qk\over (1-q)^k} H_{m+n-2k}(x),\leqno{(3.8)} $$ $$ H_{m+n}(x)=\sum _{0\le k\le m,n}(-1)^k{m\gauss k}{n\gauss k}{\qfac qk\over (1-q)^k}q^{k(k-1)/2}H_{m-k}(x)H_{n-k}(x).\leqno{(3.9)} $$ Ces $q$-analogues, enfin, poss\`edent une interpr\'etation en termes d'in\-ver\-sions. Soit $w=w_1w_2\ldots w_n$ l'image d'une involution de l'ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$ ayant $k$ points fixes et $(n-k)/2$ transpositions. Soit $a_{n,k,j}$ le nombre de celles de ces involutions pr\'esentant $j$ inversions (au sens usuel, sur le mot $w$). Appelons $$ I_n(x,q)=\sum _{k,q}a_{n,k,j}\,q^jx^k $$ le polyn\^ome g\'en\'erateur du couple inversions-points fixes sur les involutions des $n$ premiers entiers. On v\'erifie ais\'ement que ces polyn\^omes satisfont la r\'ecurrence $$ \leqalignno{&I_0(x,q)=1,\ I_1(x,q)=x,&(3.10)\cr &I_{n+1}(x,q)=xI_n(x,q)-{1-q^{2n}\over 1-q^2}qI_{n-1}(x,q),\ n\ge 1.\cr} $$ Pour rappeler la base $q$, notons $H_n(x,q)$ le $q$-polyn\^ome d'Hermite pr\'ec\'edemment d\'efini. Le polyn\^ome $I_n$ est alors donn\'e par $$ I_n(x,q)=i^nq^{n/2}H_n\Bigl(-i{x\over \sqrt{q}},q^2\Bigr).\leqno{(3.11)} $$ Les coefficients des deux polyn\^omes sont identiques, au signe et \`a un changement d'indice pr\`es. \titre 4. Les polyn\^omes d'Al-Salam-Carlitz| Al-Salam et Carlitz [1] \'etudient diverses g\'en\'eralisations des polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, parmi lesquelles la famille suivante de polyn\^omes en deux ind\'etermin\'ees $a$ et $x$, en plus de la base $q$ : $$ \sum _{n\ge 0}{U_n^{(a)}(x)\,t^n\over\qfac qn}={e(xt)\over e(t)\,e(at)}. \leqno{(4.1)} $$ La $q$-d\'erivation fournit la r\'ecurrence lin\'eaire $$ \leqalignno{&\quad U_0^{(a)}(x)=1,\ U_1^{(a)}(x)=x-(1+a),&(4.2)\cr &U_{n+1}^{(a)}(x)=(x-(1+a)q^n)U_n^{(a)}(x)+a(1-q^n)q^{n-1}U_{n-1}^{(a)}(x),\ n\ge 1.\cr} $$ L'identit\'e qui suit est une cons\'equence du th\'eor\`eme $q$-binomial : $$ {e(xt)\over e(t)}=\sum _{n\ge 0}{(x-1)(x-q)(x-q^2)\cdots(x-q^n)\,t^n\over \qfac qn}\ ; $$ en faisant $x=0$ et en rempla\c cant $t$ par $at$, on en d\'eduit $$ {1\over e(at)}=\sum _{n\ge 0}(-1)^nq^{n(n-1)/2}{a^nt^n\over \qfac qn}\ ; $$ de ces deux identit\'es r\'esulte la formule explicite $$ U_n^{(a)}(x)=\sum _{0\le k\le n}{n\gauss k}q^{k(k-1)/2}(-a)^k(x-1)(x-q)(x-q^2)\cdots (x-q^{n-k-1}).\leqno{(4.3)} $$ Il ne semble pas que des formules aussi simples que 2.4 ou 2.5 soient connues pour ces polyn\^omes. En revanche, Al-Salam et Carlitz \'etablissent une formule de type Mehler : $$ \leqalignno{ &\sum _{n\ge 0}{U_n^{(a)}(x)U_n^{(b)}(y)\,t^n\over q^{n(n-1)/2}\qfac qn}&(4.4)\cr &\qquad= {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(-at)\,e(-bt)} \sum _{r\ge 0}{\qfac {a/x}r\qfac {b/y}r\qfac {-q/t}r \over \qfac qr\qfac {-q/xt}r\qfac {-q/yt}r}q^r\cr &\qquad = {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(-at)\,e(-bt)} \;\bas a/x|b/y|-q/t|-q/xt|-q/yt|,\cr} $$ en utilisant le formalisme des fonctions hyperg\'eom\'etriques basiques. \titre 5. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece| De la m\^eme mani\`ere qu'avec les polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o, une particularisation des arguments va conduire \`a de nouveaux $q$-analogues des polyn\^omes d'Hermite. Posons $$ F_n(x)=U_n^{(-1)}(x). $$ Ces polyn\^omes v\'erifient les identit\'es suivantes : $$ \sum _{n\ge 0}{F_n(x)\,t^n\over\qfac qn}={e(xt)\over e(t)\,e(-t)}. \leqno{(5.1)} $$ La $q$-d\'erivation fournit la r\'ecurrence lin\'eaire $$ \leqalignno{&F_0(x)=1,\ F_1(x)=x,&(5.2)\cr &F_{n+1}(x)=xF_n(x)-(1-q^n)q^{n-1}F_{n-1}(x),\ n\ge 1.\cr} $$ Al-Salam et Carlitz donnent pour ces polyn\^omes des formules explicites voisines de 1.3. Soit $\delta $ l'op\'erateur $q$-diff\'erentiel $\delta f(x)=(f(x)-f(qx))/x$. On a alors, en rappelant que $e(t,q^2)$ d\'esigne la $q$-exponentielle de base $q^2$, $$\leqalignno{F_n(x)&={1\over e(\delta ^2,q^2)}\cdot x^n,&(5.3)\cr &=\sum _{0\le 2j\le n}(-1)^j{n\gauss 2j}{\qfac q{2j}\over (q^2;q^2)_j} q^{j(j-1)}x^{n-2j}.\cr} $$ L'identit\'e 4.4 ne se simplifie pas notablement. Elle donne la formule de type Mehler suivante : $$ \sum _{n\ge 0}{F_n(x)F_n(y)\,t^n\over q^{n(n-1)/2}\qfac qn} = {e(-xt)\,e(-yt)\over e(-t)\,e(t)^2} \;\bas -1/x|-1/y|-q/t|-q/xt|-q/yt|.\leqno{(5.4)} $$ Askey [3] et Cigler [8] ont \'etudi\'e des polyn\^omes li\'es aux polyn\^omes $F_n$. Les polyn\^omes que d\'efinit Askey sont donn\'es par $$ H'_n(x)=q^n\,F_n(x/q).\leqno{(5.5)} $$ Ces polyn\^omes v\'erifient la r\'ecurrence lin\'eaire $$ \leqalignno{&H'_0(x)=1,\ H'_1(x)=x,&(5.6)\cr &H'_{n+1}(x)=xH'_n(x)-(1-q^n)q^{n+1}H'_{n-1}(x),\ n\ge 1.\cr} $$ Askey d\'emontre, pour ces polyn\^omes, la formule multiplicative $$ \leqalignno{&H'_m(x)H'_n(x)=\sum _{0\le k\le m,n}{m\gauss k}{n\gauss k}\qfac qk \,q^{(m+n)k-3k(k-1)/2}&(5.7)\cr &\qquad \qquad\times \bas q^{-k}|q^{-m+k}|q^{-n+k}|-q|0| H'_{m+n-2k}(x).\cr} $$ \titre 6. Les $q$-polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece, d'apr\`es Cigler| Par des manipulations d'op\'erateurs, Cigler [8] est amen\'e \`a \'etudier des polyn\^omes $K_n(x)$ (not\'es $H_n(x)$ par Cigler). Ces polyn\^omes, comme nous le verrons plus loin, sont reli\'es aux $F_n$. Nous nous proposons d'utiliser ce lien pour retrouver une partie des r\'esultats de Cigler. Nous allons tout de suite donner les notations qu'utilise Cigler. Il note $$ [n]={1-q^n\over 1-q},\quad [n]_2={1-q^{2n}\over 1-q^2},\quad \hbox{et}\quad [n]!=[1][2]\ldots [n]. $$ Avec ces notations, la $q$-exponentielle qui appara\^{\i}t naturellement est la suivante (not\'ee $e(t)$ ou $e_2(t)$ selon qu'elle est de base $q$ ou $q^2$ dans l'article de Cigler) : $$ E(t,q) = \sum _{n\ge 0}{t^n\over [n]!} = e(t(1-q),q). $$ L'un des avantages de cette notation est qu'il est possible de prendre directement $q=1$. Avec ces notations, les polyn\^omes $K_n(x)$ sont d\'efinis par la fonction g\'en\'eratrice $$ \sum _{n\ge 0}{K_n(x)\,t^n\over [n]!}={E(xt,q)\over E(qt^2\! /[2],q^2)}, \leqno{(6.1)} $$ d'o\`u l'on tire la r\'ecurrence lin\'eaire $$ K_0(x)=1,\ K_1(x)=x,\ K_{n+1}(x)=xK_n(x)-[n]q^nK_{n-1}(x),\ n\ge 1. \leqno{(6.2)} $$ A partir de la relation pr\'ec\'edente, on obtient la valeur de $K_n$ en fonction de $F_n$ : $$ K_n(x)=\Bigl({q\over 1-q}\Bigr)^{n/2}F_n\Bigl( x \sqrt{1-q\over q}\,\Bigr) . $$ Le passage de la fonction g\'en\'eratrice~5.1 \`a la fonction~6.1 est alors le suivant : on v\'erifie d'abord l'identit\'e $$ e(t,q)\,e(-t,q)=e(t^2,q^2), $$ par exemple en calculant $r_n(1,-1)$ avec la r\'ecurrence~2.2. \'Ecrivons maintenant la fonction g\'en\'eratrice~5.1 pour les polyn\^omes $K_n$ : $$ \sum _{n \ge 0}{K_n(x)\,t^n \over \qfac qn}={e(xt,q)\over e({qt^2\over 1-q},q^2)}. $$ En rempla\c cant $t$ par $t(1-q)$, on obtient le premier membre de~6.1 ; le second membre devient alors $$ {e(xt(1-q),q)\over e(qt^2(1-q),q^2)}= {e(xt(1-q),q)\over e(qt^2{1-q^2\over 1+q},q^2)}= {E(xt,q)\over E(qt^2\!/[2],q^2)}, $$ ce qui donne~6.1. De m\^eme, la formule explicite~5.3 permet d'obtenir une formule explicite que donne Cigler. Posons $X=x\sqrt{(1-q)/q}$ ; soient $\delta $ et $D$ les op\'erateurs $q$-diff\'erentiels d\'efinis par $$ \delta \cdot X^n = (1-q^n)X^{n-1}\quad \hbox{et}\quad D\cdot x^n = [n]x^{n-1}. $$ On a alors $$ \eqalign{ \delta ^k\cdot X^n &= (1-q^n)(1-q^{n-1})\ldots(1-q^{n-k+1})X^{n-k},\cr &=\Bigl({1-q\over q}\Bigr)^{n/2}\sqrt{q(1-q)}^k D^k\cdot x^n . } $$ La formule~5.3 donne $$ \eqalign{ K_n(x)&=\Bigl({q\over 1-q}\Bigr)^{n/2}{1\over e(\delta ^2,q^2)}\cdot X^n,\cr &={1\over e(q(1-q)D^2,q^2)}\cdot x^n,\cr } $$ qui peut \^etre transform\'ee en la premi\`ere partie de la formule suivante ; la seconde partie de celle-ci est la simple r\'e\'ecriture de la seconde partie de~5.3, avec quelques simplifications. $$ \leqalignno{ K_n(x)&={1\over E(qD^2/[2],q^2)}\cdot x^n,&(6.3)\cr &=\sum _{0\le 2j\le n} (-1)^j{n\gauss 2j}[2j-1]!!\,q^{j^2}x^{n-2j},\cr } $$ o\`u l'on a pos\'e $[2j-1]!!=(1-q)(1-q^3)\ldots(1-q^{2j-1})/(1-q)^j$. Cette formule explicite se trouve aussi dans Cigler, ainsi qu'une formule de Mehler : $$ \leqalignno{ &\qquad \sum _{n\ge 0} {K_n(x)K_n(y)\, t^n\over q^{n(n+1)/2}[n]!} =\sum _{m\ge 0} {[2m-1]!!\over [2m]!!}\Bigl({t^2\over q}\Bigr)^m&(6.4)\cr &\qquad \times E(xy\eta ^{-1}{t\over 1-{t^2\over q}},q) E({x^2\over 2}\eta ^{-1}{t^2\over {t^2\over q}-1},q^2) E({y^2\over 2}\eta ^{-1}{t^2\over {t^2\over q}-1},q^2)\cdot 1,\cr } $$ o\`u $\eta $ est l'op\'erateur $\eta \cdot f(t)=f(qt)$. Au changement de variables pr\`es, le premier membre de~5.4 et celui de~6.4 sont identiques. N\'eanmoins, le second membre de~6.4 ne semble pas se d\'eduire imm\'ediatement de~5.4. Nous allons terminer par une interpr\'etation combinatoire des poly\-n\^omes $K_n$, li\'ee aux involutions des $n$ premiers entiers. Si $w$ est une telle involution, elle peut \^etre cod\'ee par une permutation $w'$ de l'ensemble $\{1,2,\ldots ,n\}$ de la fa\c con suivante : $$ w'=w'_1w'_2\ldots w'_{n-k-1}w'_{n-k}w'_{n-k+1}\ldots w'_n, $$ o\`u les $k$ points fixes de $w$ sont $w'_{n-k+1},\ldots, w'_n$ arrang\'es par ordre {\it croissant} : $w'_{n-k+1}<\cdots< w'_n$, et o\`u les $(n-k)/2$ cycles de $w$ sont $(w'_1w'_2),\ldots ,(w'_{n-k-1}w'_{n-k})$ arrang\'es par ordre {\it d\'ecroissant} dans chaque cycle, puis par ordre {\it d\'ecroissant} de leur premier \'el\'ement : $$ \matrix{ w'_1&>&w'_3&>&\cdots &>&w'_{n-k-1}\hfill\cr \vee\hfill&&\vee\hfill&&&&\vee\hfill\cr w'_2&>&w'_4&>&\cdots &>&w'_{n-k}\hfill\cr }. $$ Si, par exemple, $$ w=\matrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9\cr 5&2&4&3&1&6&9&8&7\cr}\ , $$ son codage $w'$ est $$ w'=\matrix{9&7&5&1&4&3&2&6&8\cr}. $$ L'algorithme de d\'ecodage est clair : les points fixes de $w$ se trouvent en plus longue derni\`ere s\'equence croissante de m\^eme parit\'e que $n$ dans $w'$ ; on en d\'eduit les cycles. On remarque que $n$ est toujours le dernier ou le premier \'el\'ement de $w'$. Soit $$ K'_n=\sum _w q^{\INV(w')} x^k $$ le polyn\^ome g\'en\'erateur des inversions de $w'$ et des points fixes de $w$. La remarque pr\'ec\'edente fournit imm\'ediatement pour $K'_n$ une r\'ecurrence lin\'eaire ; on constate qu'elle est identique \`a~6.2 et, par cons\'equent, $K'_n(x)=K_n(x)$. \titre 7. Remarques|% Dans tout ce qui pr\'ec\`ede, il n'a pas \'et\'e question d'orthogonalit\'e. Tous les polyn\^omes cit\'es sont orthogonaux. Cependant, seuls les polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece semblent conduire \`a des r\'esultats int\'eressants. Ils ont \'et\'e \'etudi\'es sous cet angle par Al-Salam et Carlitz [1], Askey [2] et Cigler [8]. Il serait int\'eressant d'obtenir les formules mentionn\'ees pour les $q$-polyn\^omes d'Hermite \`a partir de leur interpr\'etation combinatoire. Celles qui sont donn\'ees ne sont d'ailleurs peut-\^etre pas les plus appropri\'ees pour de telles d\'emonstrations combinatoires. \titre 8. Tables| \medskip \eightpoint %Pour alignement a gauche des tables \def\eq#1{\halign to\displaywidth{$\displaystyle{##}$\tabskip=0pt% &$\displaystyle{{}##}$\hfil\crcr #1\crcr}} {\tenpoint Polyn\^omes de Rogers-Szeg\"o $r_n=r_n(1,x)$ ; $r_n(a,b)=a^nr_n(1,b/a).$ } $$ \eq{ r_0&=1 \quad r_1=x+1 \quad r_2=x^{2}+(q+1)x+1 \hfill\cr r_3&=x^{3}+(q^{2}+q+1)x^{2}+(q^{2}+q+1)x+1 \cr r_4&=x^{4}+(q^{3}+q^{2}+q+1)x^{3}+(q^{4}+q^{3}+2q^{2}+ q+1)x^{2}+(q^{3}+q^{2}+q+1)x+1 \cr r_5&=x^{5}+(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{4}+(q^{6}+q^{5}+2 q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{3} \cr &\quad +(q^{6}+q^{5}+2q^{4}+2 q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{2}+(q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1) x+1 \cr r_6&=x^{6}+(q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{5} \cr &\quad +(q^{8}+q^{ 7}+2q^{6}+2q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1)x^{4} \cr &\quad +(q^{9}+q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+3q^{3}+2q^{ 2}+q+1)x^{3} \cr &\quad +(q^{8}+q^{7}+2q^{6}+2q^{5}+3q^{4}+2q ^{3}+2q^{2}+q+1)x^{2} \cr &\quad +(q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1 )x+1 \cr r_7&=x^{7}+(q^{6}+q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x^{6} \cr &\quad +(q^{ 10}+q^{9}+2q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{ 2}+q+1)x^{5} \cr &\quad +(q^{12}+q^{11}+2q^{10}+3q^{9}+4q^{8}+4 q^{7}+5q^{6}+4q^{5}+4q^{4}+3q^{3} +2q^{2}+q+1)x^{4} \cr &\quad +(q^{12}+q^{11}+2q^{10}+3q^{9}+4q^{8}+4q^{7}+5q^{6}+4 q^{5}+4q^{4}+3q^{3} +2q^{2}+q+1)x^{3} \cr &\quad +(q^{10}+q^{9}+ 2q^{8}+2q^{7}+3q^{6}+3q^{5}+3q^{4}+2q^{3}+2q^{2}+q+1 )x^{2} \cr &\quad +(q^{6}+q^{5}+q^{4}+q^{3}+q^{2}+q+1)x+1 \cr } $$ \medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt {\tenpoint Polyn\^omes de Rogers $A_n=A_n(1,x)$. } $$ \eq{ A_0&=1 \quad A_1=2x \quad A_2=4{x}^{2}+q-1 \quad A_3=8{x}^{3}+(2{q}^{2}+2q-4)x \hfill\cr A_4&=16{x}^{4}+(4{q}^{3}+4{q}^{2}+4q-12){x}^{2}+{ q}^{4}-{q}^{3}-q+1 \cr A_5&=32{x}^{5}+(8{q}^{4}+8{q}^{3}+8{q}^{2}+8q-32 ){x}^{3} \cr &\quad +(2{q}^{6}+2{q}^{5}-2{q}^{4}-2{q}^{3 }-2{q}^{2}-4q+6)x \cr A_6&=64{x}^{6}+(16{q}^{5}+16{q}^{4}+16{q}^{3}+16{q}^{2 }+16q-80){x}^{4} \cr &\quad +(4{q}^{8}+4{q}^{7}+8{q}^{6} -8{q}^{5}-4{q}^{4}-8{q}^{3}-8{q}^{2}-12q+24){x}^ {2} \cr &\quad +{q}^{9}-{q}^{8}-{q}^{6}+{q}^{5}-{q}^{4}+{q}^{3}+q-1 \cr A_7&=128{x}^{7}+(32{q}^{6}+32{q}^{5}+32{q}^{4}+32{q}^{ 3}+32{q}^{2}+32q-192){x}^{5} \cr &\quad +(8{q}^{10}+8{q} ^{9}+16{q}^{8}+16{q}^{7}-16{q}^{6}-16{q}^{5}-16{q}^{4}- 24{q}^{3}-24{q}^{2}-32q+80){x}^{3} \cr &\quad +(2{q}^{12 }+2{q}^{11}-2{q}^{10}-4{q}^{8}-4{q}^{7}+2{q}^{6}+4{q} ^{3}+2{q}^{2}+6q-8)x \cr } $$ \medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt {\tenpoint $q$-polyn\^omes d'Hermite de 1\emini\ esp\`ece $H_n=H_n(x)$. } $$ \eq{ H_0&=1 \quad H_1=x \quad H_2=x^{2}-1 \quad H_3=x^{3}+(-q-2)x \hfill\cr H_4&=x^{4}+(-q^{2}-2q-3)x^{2}+q^{2}+q+1 \cr H_5&=x^{5}+(-q^{3}-2q^{2}-3q-4)x^{3}+(q^{4}+3q^{3} +4q^{2}+4q+3)x \cr H_6&=x^{6}+(-q^{4}-2q^{3}-3q^{2}-4q-5)x^{4}+(q^{6} +3q^{5}+7q^{4}+9q^{3}+10q^{2}+9q+6)x^{2} \cr &\quad -q^{6}-2q^{ 5}-3q^{4}-3q^{3}-3q^{2}-2q-1 \cr H_7&=x^{7}+(-q^{5}-2q^{4}-3q^{3}-4q^{2}-5q-6)x^{5} \cr &\quad + (q^{8}+3q^{7}+7q^{6}+13q^{5}+17q^{4}+19q^{3}+19q^{2} +16q+10)x^{3} \cr &\quad +(-q^{9}-4q^{8}-8q^{7}-13q^{6}-17q ^{5}-18q^{4}-17q^{3}-14q^{2}-9q-4)x } $$ \medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt {\tenpoint Polyn\^omes d'Al-Salam-Carlitz $F_n=F_n(x)$. } $$ \eq{ F_0&=1 \quad F_1=x \quad F_2=x^{2}+q-1 \quad F_3=x^{3}+(q^{3}-1)x \hfill\cr F_4&=x^{4}+(q^{5}+q^{3}-q^{2}-1)x^{2}+q^{6}-q^{5}-q^{3}+q^{2} \cr F_5&=x^{5}+(q^{7}+q^{5}-q^{2}-1)x^{3}+(q^{10}-q^{7}-q^{5 }+q^{2})x \cr F_6&=x^{6}+(q^{9}+q^{7}+q^{5}-q^{4}-q^{2}-1)x^{4} \cr &\quad +(q^{14 }+q^{12}-q^{11}+q^{10}-2q^{9}-2q^{7}+q^{6}-q^{5}+q^{4}+q^{2} )x^{2} \cr &\quad +q^{15}-q^{14}-q^{12}+q^{11}-q^{10}+q^{9}+q^{7}-q^{6} \cr F_7&=x^{7}+(q^{11}+q^{9}+q^{7}-q^{4}-q^{2}-1)x^{5} \cr &\quad +(q^{ 18}+q^{16}+q^{14}-q^{13}-2q^{11}-2q^{9}-q^{7}+q^{6}+q^{4}+q^{2} )x^{3} \cr &\quad +(q^{21}-q^{18}-q^{16}-q^{14}+q^{13}+q^{11}+q^{9}-q ^{6})x \cr } $$ \medskip\vskip 0pt plus 6pt\penalty-1000\vskip 0pt plus -6pt {\tenpoint Polyn\^omes d'Hermite de 2\emini\ esp\`ece $K_n=K_n(x)$. } $$ \eq{ K_0&=1 \quad K_1=x \quad K_2=x^{2}-q \quad K_3=x^{3}+(-q^{3}-q^{2}-q)x \hfill\cr K_4&=x^{4}+(-q^{5}-q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^{2}+q^{6}+q^{5}+q^ {4} \cr K_5&=x^{5}+(-q^{7}-q^{6}-2q^{5}-2q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^ {3} \cr &\quad +(q^{10}+2q^{9}+3q^{8}+3q^{7}+3q^{6}+2q^{5}+q^{4} )x \cr K_6&=x^{6}+(-q^{9}-q^{8}-2q^{7}-2q^{6}-3q^{5}-2q^{4}-2q^{3} -q^{2}-q)x^{4} \cr &\quad +(q^{14}+2q^{13}+4q^{12}+5q^{11}+7q ^{10}+7q^{9}+7q^{8}+5q^{7}+4q^{6}+2q^{5}+q^{4})x^{2} \cr &\quad - q^{15}-2q^{14}-3q^{13}-3q^{12}-3q^{11}-2q^{10}-q^{9} \cr K_7&=x^{7}+(-q^{11}-q^{10}-2q^{9}-2q^{8}-3q^{7}-3q^{6}-3q^{ 5}-2q^{4}-2q^{3}-q^{2}-q)x^{5} \cr &\quad +(q^{18}+2q^{17}+4q ^{16}+6q^{15}+9q^{14}+11q^{13}+13q^{12}+13q^{11}+13q^{10}+ 11q^{9} \cr &\quad\quad +9q^{8}+6q^{7}+4q^{6}+2q^{5}+q^{4})x^{3} \cr &\quad + (-q^{21}-3q^{20}-6q^{19}-9q^{18}-12q^{17}-14q^{16}-15 q^{15}-14q^{14}-12q^{13} \cr &\quad\quad -9q^{12}-6q^{11}-3q^{10}-q^{9} )x \cr } $$ \bigbreak \centerline{BIBLIOGRAPHIE} \bigskip \article 1|Al-Salam (W. A.) et Carlitz (L.)|Some orthogonal $q$-polynomials|Math. Nachr.|30|1965|47-61| \divers 2|Askey (R.) et Ismail (M.)|A generalization of ultraspherical polynomials, MRC Technical Summary Report $\#$1851, Math. Research Center, Madison, Wisconsin, {\oldstyle 1978}| \divers 3|Askey (R.)|manuscrit| \article 4|Bressoud (D.)|A simple proof of Mehler's formula for $q$-Hermite polynomials|Indiana Univ. Math. J.|29|1980|577-580| \article 5|Bressoud (D.)|On partitions, orthogonal polynomials and the expansion of certain infinite products|Proc. London Math. Soc.|42|1981|478-500| \article 6|Carlitz (L.)|Some polynomials related to theta functions|Ann. Math. Pura Appl. {\rm ser.~4}|41|1956|359-373| \article 7|Carlitz (L.)|Some polynomials related to theta functions|Duke Math. J.|24|1957|521-527| \divers 8|Cigler (J.)|Elementare $q$-Identit\"aten, [actes de la 5\emini\ session du S\'eminaire lotharingien de Combinatoire], publ. I.R.M.A. n$^\circ$~182/S-04, Strasbourg,{\oldstyle 1982}| \article 9|Hahn (W.)|\"Uber Orthogonal-polynome, die $q$-Differenzen\-gleichungen gen\"ugen|Math. Nachr.|2|1949|4-34| \article 10|Rogers (L. J.)|On a three-fold symmetry in the elements of Heine's series|Proc. London Math. Soc.|24|1893|171-179| \article 11|Rogers (L. J.)|On the expansion of some infinite products|Proc. London Math. Soc.|24|1893|337-352| \article 12|Rogers (L. J.)|Second memoir on the expansion of some infinite products|Proc. London Math. Soc.|25|1894|318-343| \article 13|Rogers (L. J.)|Third memoir on the expansion of some infinite products|Proc. London Math. Soc.|26|1895|15-32| \article 13|Szeg\"o (G.)|Ein Betrag zur Theorie der Thetafunktionen|Sitz. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math.|19|1926|242-252| \bigskip\bigskip \newbox\signe \setbox\signe=\vtop{ \hbox{Jacques D\'ESARM\'ENIEN,} \hbox{D\'epartement de math\'ematique,} \hbox{Universit\'e Louis-Pasteur,} \hbox{7, rue Ren\'e-Descartes,} \hbox{F-67084 Strasbourg, France.} } \line{\hfill\box\signe\quad} \bye