{\catcode`\^^M=\active % \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active % \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}} \def\adresse{\par\nobreak% \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt% \hbox to \hsize\bgroup\hfill% \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}% \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup} \def\fin{\vfill\eject} \catcode'32=9 \magnification=1200 % particularite du pilote canon \voffset=1cm \hoffset=0cm %\hoffset=1cm \font\tenpc=cmcsc10 %\font\eightpc=cmcsc8 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm8 \font\eightbboard=msbm8 \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm6 \font\fivegoth=eufm5 \newfam\gothfam \newfam\bboardfam \catcode`\@=11 \def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue} \def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty \@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}} \def\tenpoint{% \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\tenrm}% \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}% \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}% \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard \def\bboard{\fam\bboardfam}% \textfont\itfam=\tenit \def\it{\fam\itfam\tenit}% \textfont\slfam=\tensl \def\sl{\fam\slfam\tensl}% \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\tenbf}% \textfont\ttfam=\tentt \def\tt{\fam\ttfam\tentt}% \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt 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: \def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6}, p.\nobreak\ #7.\par}} %reference pour un livre : \def\livre#1|#2|#3|#4| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir {\sl #3}\pointir #4.\par}} %reference complementaire : \def\divers#1|#2|#3| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3.\par}} % \mathchardef\conj="0365 \def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir} \def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt \vfill\hrule}\vrule}} \def\virg{\raise 2pt\hbox{,}} % virgule aprs une fraction \def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip} \def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt} \def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt} % pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret : \def\titrea#1|#2|{\message{#1 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KERBER} \eightpoint \leftline{Publ. I.R.M.A. Strasbourg, $\oldstyle 1984$, 229/S--08} \leftline{Actes 8\emini\ S\'eminaire Lotharingien, p. 27--29} \tenpoint \let\it=\sl \vskip 1.5cm \centerline{{\bf EINE BEMERKUNG \"UBER HOMOGENE MENGEN}} \vskip 5pt \centerline{\bf IN ENDLICHEN GRUPPEN} \vskip 2.8mm \centerline{{\petcap Adalbert} KERBER} \vskip .5cm G. \pc KREWERAS| betrachtete in seinem Vortrag {\it homogene Mengen}, die er wie folgt definierte. Ist $(M,\cdot)$ eine Menge mit innerer Verkn\"upfung, $m\in M$, dann sei $$ d(m):=|\{(x,y)\in t^2\,|\, x.y=m\}|. $$ Ist diese Funktion $d(-)$ konstant auf $T\subseteq M$, so hei\ss t $T$ {\it homogen}. Ein Beispiel hierf\"ur is die Menge $T$ der $n$-Zyklen in der symmetrischen Gruppe~$S_n$. Das folgt aus der Tatsache, da\ss\ diese Menge eine Konjugiertenklasse ist (Bermerkung von \pc PLESKEN| : jede Teilmenge~$T$, auf der eine Gruppe von Automorphismen von~$M$ transitiv operiert, ist homogen!). Genauer noch kann man f\"ur endliche Gruppen $M$ sogar einen expliziten Ausdruck f\"ur $d(-)$ angeben, wenn $T$ eine Konjugiertenklasse ist. Die Funktion $d(-)$ ergibt sich dabei als Linearkombination von gew\"ohnlichen irreduziblen Charakteren, also Klassenfunktionen, was die Homogenit\"at von Konjugiertenklassen best\"atigt. Der gew\"unschte Ausdruck ist eine direkte Konsequenz des folgenden wesentlich allgemeineren Satzes ([1], vgl. auch [2] (5.3.46) oder [3] f\"ur weitere Details) : \th Satz|Ist $G$ eine endliche Gruppe, $h\in G$, und sind f\"ur $1\le j\le k$~$C_j$ Konjugiertenklassen von $G$, $m_j$ und $n_j$ nat\"urliche Zahlen, dann ist die Anzahl der L\"osungen $(g_1,\ldots, g_k)\in G^k$ der Gleichung $$ g_1^{n_1}\ldots g_k^{n_k}=h, $$ mit den Nebenbedingungen $g_j^{m_j}\in C_j$ gleich $$ \sum_{i=1}^s {f^i\over |G|} \prod_{j=1}^k \Bigl({1\over f^i}\sum_{g_j} \zeta^i(g_j^{n_j})\Bigr) \zeta^i(h^{-1})\qquad (g_j^{m_j}\in C_j). $$ Dabei sind $\zeta^1$, \dots~, $\zeta^s$ die gew\"ohnlichen irreduziblen Charaktere von $G$,~$f^i$ deren Dimensionen : $f^i=\zeta^i(1)$. \finth Daraus ergibt sich als Spezialfall unmittelbar die \th Forgerung|Ist $T:=C$ eine Konjugiertenklasse von~$G$, dann ist f\"ur jedes $t\in T$ $$ d(t)={|T|^2\over |G|} \sum_i {\zeta^i(t)^2\,\zeta^i(t^{-1})\over f^i}. $$ \finth F\"ur die Klasse der $n$-Zyklen in $S_n$ vereinfacht sich dies weiter dadurch, da\ss\ die einzigen irreduziblen Charaktere, die dort einen Wert $\pm 1$ haben, die Charaktere $\zeta^{(n-r,1^r)}$ zu hakenf\"ormigen Partitionen $(n-r,1^r)$ sind. F\"ur diese gilt $$ \zeta ^{(n-r,1^r)}\bigl((1\ldots n)\bigr)=(-1)^r, \qquad \zeta ^{(n-r,1^r)}(1)={n-1\choose r}. $$ Das ergibt mit $|T|=(n-1)!$ \th Folgerung|Man hat $d\bigl((1\ldots n)\bigr)=\displaystyle {(n-1)!\over n}\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r {n-1\choose r}^{-1}$. \finth Mit Hilfe des Ausdrucks f\"ur die alternierende Summe von Inversen von Binomialkoeffizienten, auf den \pc BARON| hinwies und f\"ur den dann \pc ANDREWS| und \pc HOFBAUER| Herleitungen angaben, folgt schie\ss lich $$ d\bigl((1\ldots n)\bigr)=\cases{\displaystyle {2(n-1)!\over n+1},& falls $n$ ungerade ;\cr 0,&sonst.\cr} $$ Eine von vornherein speziell auf $S_n$ zugeschnittene Herleitung dieses Ergebnisses findet man auch in [4]. \vfill\eject \vglue 2cm {\eightpoint \centerline{LITERATUR} \vskip 1cm \article 1|Kerber (A.) u. Wagner (B.)|Gleichungen in endlichen Gruppen|Archiv d. Math.|35|1980|252--262| \livre 2|James (G.D.) u. Kerber (A.)|The representation theory of the symmetric group|Addison-Wesley, 1981| \divers 3|Kerber (A.) u. Th\"urlings (K.-J.)|Symmetrieklassen von Funktionen und ihre Abz\"ahlungstheorie II, Bayreuther Math. Schriften (in Vorbereitung)| \article 4|Stanley (R.)|Factorization of permutations into $n$-cycles|Discrete Math.|37|1981|255--262| } \adresse Adalbert Kerber, Lehrstuhl II f\"ur Mathematik, Universit\"at Bayreuth, Postfach 3008, D-8580 Bayreuth. \fin \bye