\catcode'32=9 \magnification=1200 \ifx\undefined\newsymbol \else \begingroup\def\input#1 {\endgroup}\fi \input amssym.def \newsymbol\square 1003 \def\eqe#1{\hbox{\vrule height 9pt depth2pt$\overline{#1\vrule height7.5pt width0pt}$}} \def\tabloid#1{\hbox{$\vrule height 21pt depth 16pt\kern-0pt \overline{\underline{\matrix{#1}}} \kern-0pt\vrule height 21pt depth 16pt$}} % particularite du pilote canon \voffset=1cm \hoffset=0cm %\hoffset=1cm \font\tenpc=cmcsc10 %\font\eightpc=cmcsc8 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm7 at 8pt \font\eightbboard=msbm8 \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm6 \font\fivegoth=eufm5 \newfam\gothfam \newfam\bboardfam \catcode`\@=11 \def\raggedbottom{\topskip 10pt plus 36pt \r@ggedbottomtrue} \def\pc#1#2|{{\bigf@ntpc #1\penalty \@MM\hskip\z@skip\smallf@ntpc #2}} \def\tenpoint{% \textfont0=\tenrm \scriptfont0=\sevenrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\tenrm}% \textfont1=\teni \scriptfont1=\seveni \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\teni}% \textfont2=\tensy \scriptfont2=\sevensy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\gothfam=\tengoth \scriptfont\gothfam=\sevengoth \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth \def\goth{\fam\gothfam\tengoth}% \textfont\bboardfam=\tenbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard \def\bboard{\fam\bboardfam}% \textfont\itfam=\tenit \def\it{\fam\itfam\tenit}% \textfont\slfam=\tensl \def\sl{\fam\slfam\tensl}% \textfont\bffam=\tenbf \scriptfont\bffam=\sevenbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\tenbf}% \textfont\ttfam=\tentt \def\tt{\fam\ttfam\tentt}% \abovedisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt \abovedisplayshortskip=0pt plus 3pt \belowdisplayskip=12pt plus 3pt minus 9pt \belowdisplayshortskip=7pt plus 3pt minus 4pt \smallskipamount=3pt plus 1pt minus 1pt \medskipamount=6pt plus 2pt minus 2pt \bigskipamount=12pt plus 4pt minus 4pt \normalbaselineskip=12pt \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height8.5pt depth3.5pt width0pt}% \let\bigf@ntpc=\tenrm \let\smallf@ntpc=\sevenrm \let\petcap=\tenpc \normalbaselines\rm} \def\eightpoint{% \textfont0=\eightrm \scriptfont0=\sixrm \scriptscriptfont0=\fiverm \def\rm{\fam\z@\eightrm}% \textfont1=\eighti \scriptfont1=\sixi \scriptscriptfont1=\fivei \def\oldstyle{\fam\@ne\eighti}% \textfont2=\eightsy \scriptfont2=\sixsy \scriptscriptfont2=\fivesy \textfont\gothfam=\eightgoth \scriptfont\gothfam=\sixgoth \scriptscriptfont\gothfam=\fivegoth \def\goth{\fam\gothfam\eightgoth}% \textfont\bboardfam=\eightbboard \scriptfont\bboardfam=\sevenbboard \scriptscriptfont\bboardfam=\sevenbboard \def\bboard{\fam\bboardfam}% \textfont\itfam=\eightit \def\it{\fam\itfam\eightit}% \textfont\slfam=\eightsl \def\sl{\fam\slfam\eightsl}% \textfont\bffam=\eightbf \scriptfont\bffam=\sixbf \scriptscriptfont\bffam=\fivebf \def\bf{\fam\bffam\eightbf}% \textfont\ttfam=\eighttt \def\tt{\fam\ttfam\eighttt}% \abovedisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt \abovedisplayshortskip=0pt plus 2pt \belowdisplayskip=9pt plus 2pt minus 6pt \belowdisplayshortskip=5pt plus 2pt minus 3pt \smallskipamount=2pt plus 1pt minus 1pt \medskipamount=4pt plus 2pt minus 1pt \bigskipamount=9pt plus 3pt minus 3pt \normalbaselineskip=9pt \setbox\strutbox=\hbox{\vrule height7pt depth2pt width0pt}% \let\bigf@ntpc=\eightrm \let\smallf@ntpc=\sixrm \normalbaselines\rm} \let\bb=\bboard \tenpoint %---------------------- dactylographie française ----------------- \catcode`\;=\active \def;{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@ \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font\kern -1.2 \fontdimen3 \font\fi\string;} \catcode`\:=\active \def:{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@\unskip\fi\penalty\@M\ \fi\string:} \catcode`\!=\active \def!{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@ \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string!} \catcode`\?=\active \def?{\relax\ifhmode\ifdim\lastskip>\z@ \unskip\fi\kern\fontdimen2 \font \kern -1.1 \fontdimen3 \font\fi\string?} \def\^#1{\if#1i{\accent"5E\i}\else{\accent"5E #1}\fi} \def\"#1{\if#1i{\accent"7F\i}\else{\accent"7F #1}\fi} \frenchspacing %---------------------- format de sortie ----------------- \newif\ifpagetitre \newtoks\auteurcourant \auteurcourant={\hfil} \newtoks\titrecourant \titrecourant={\hfil} \def\appeln@te{} \def\vfootnote#1{\def\@parameter{#1}\insert\footins\bgroup\eightpoint \interlinepenalty\interfootnotelinepenalty \splittopskip\ht\strutbox % top baseline for broken footnotes \splitmaxdepth\dp\strutbox \floatingpenalty\@MM \leftskip\z@skip \rightskip\z@skip \ifx\appeln@te\@parameter\indent \else{\noindent #1\ }\fi \footstrut\futurelet\next\fo@t} \pretolerance=500 \tolerance=1000 \brokenpenalty=5000 \newdimen\hmargehaute \hmargehaute=0cm \newdimen\lpage \lpage=13.3cm \newdimen\hpage \hpage=20cm \newdimen\lmargeext \lmargeext=1cm \hsize=11.25cm \vsize=18cm \parskip 0pt \parindent=12pt \def\margehaute{\vbox to \hmargehaute{\vss}}% \def\margebasse{\vss} \output{\shipout\vbox to \hpage{\margehaute\nointerlineskip \corpsdepage\margebasse} \advancepageno \global\pagetitrefalse \ifnum\outputpenalty>-20000 \else\dosupereject\fi} \def\corpsdepage{\hbox to \lpage{\hss\pagetexte\hskip\lmargeext}} \def\pagetexte{\vbox{\makeheadline\pagebody\makefootline}} \headline={\ifpagetitre\titleheadline \else \ifodd\pageno\rightheadline \else\leftheadline\fi\fi} \def\leftheadline{\eightpoint\hfil\the\auteurcourant\hfil} \def\rightheadline{\eightpoint\hfil\the\titrecourant\hfil} \def\titleheadline{\hfill} \pagetitretrue \def\footnoterule{\kern-6\p@ \hrule width 2truein \kern 5.6\p@} % the \hrule is .4pt high \let\rmpc=\sevenrm \def\pd#1#2 {\pc#1#2| } \def\pointir{\discretionary{.}{}{.\kern.35em---\kern.7em}\nobreak \hskip 0em plus .3em minus .4em } \def\resume#1{\vbox{\eightpoint \pc R\'ESUM\'E|\pointir #1}} \def\abstract#1{\vbox{\eightpoint \pc ABSTRACT|\pointir #1}} \def\titre#1|{\message{#1} \par\vskip 30pt plus 24pt minus 3pt\penalty -1000 \vskip 0pt plus -24pt minus 3pt\penalty -1000 \centerline{\bf #1} \vskip 5pt \penalty 10000 } \def\section#1|{\par\vskip .3cm {\bf #1}\pointir} \def\ssection#1|{\par\vskip .2cm {\it #1}\pointir} \long\def\th#1|#2\finth{\par\medskip {\petcap #1\pointir}{\it #2}\par\smallskip} \long\def\tha#1|#2\fintha{\par\medskip {\petcap #1.}\par\nobreak{\it #2}\par\smallskip} \def\cf{{\it cf}} \def\rem#1|{\par\medskip {{\it #1}\pointir}} \def\rema#1|{\par\medskip {{\it #1.}\par\nobreak }} % \def\ieme{\raise 1ex\hbox{\pc{}i\`eme|}} \def\omini{\raise 1ex\hbox{\pc{}o|}} \def\emini{\raise 1ex\hbox{\pc{}e|}} \def\ermini{\raise 1ex\hbox{\pc{}er|}} \def\remini{\raise 1ex\hbox{\pc{}re|}} %reference pour un article : \def\article#1|#2|#3|#4|#5|#6|#7| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3, {\sl #4}, t.\nobreak\ {\bf #5}, {\oldstyle #6}, p.\nobreak\ #7.\par}} %reference pour un livre : \def\livre#1|#2|#3|#4| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir {\sl #3}\pointir #4.\par}} %reference complementaire : \def\divers#1|#2|#3| {{\leftskip=7mm\noindent \hangindent=2mm\hangafter=1 \llap{[#1]\hskip.35em}{#2}\pointir #3.\par}} % \mathchardef\conj="0365 \def\dem{\par{\it D\'emonstration}\pointir} \def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt \vfill\hrule}\vrule}} \def\virg{\raise 2pt\hbox{,}} % virgule après une fraction \def\cqfd{\penalty 500 \hbox{\qed}\par\smallskip} \long\def\entourer#1{\hbox{\vrule\vbox{\hrule\hbox{\kern15pt\vbox{\kern5pt {#1}\kern5pt}\kern15pt}\hrule}\vrule}} \def\\S {\vskip 5pt\hskip .5cm plus .1cm minus .1cm\relax} %les differents retraits, voir aussi \item \def\enonce#1|#2\finenonce{{\par\leftskip=36pt \noindent\hbox to 0pt{\kern-\leftskip#1\hfill}{#2}\par}} \def\senonce#1|#2\finsenonce{{\par\leftskip=36pt \noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}} \def\ssenonce#1|#2\finssenonce{{\par\leftskip=48pt \noindent\hbox to 0pt{\kern-24pt #1\hfill}{#2}\par}} \def\decale#1|{\par\noindent\hskip 28pt\llap{#1}\kern 5pt} \def\decaledecale#1|{\par\noindent\hskip 34pt\llap{#1}\kern 5pt} % pour les titres en deux lignes et les sections sans point-tiret : \def\titrea#1|#2|{\message{#1 #2} \par\vskip.5cm plus .1cm minus .1cm\penalty -1000 \centerline{\bf #1} \centerline{\bf #2} \vskip 5pt \penalty 10000 } \def\sectiona#1|{\par\vskip .3cm {\bf #1.} \par\nobreak\vskip 3pt } \def\ssectiona#1|{\par\vskip .2cm {\it #1.} \par\nobreak\vskip 2pt } \def\rest#1{\ifinner\setbox1=\hbox{$\textstyle{#1}$} \else\setbox1=\hbox{$\displaystyle{#1}$}\fi \dimen1=\ht1 \advance\dimen1 by\dp1 \divide\dimen1 by 2 \box1\lower 2pt\hbox{$\left|\vbox to\dimen1{}\right.$}} \def\displaylinesno#1{\displ@y\halign{ \hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}& \llap{$##$}\crcr#1\crcr}} \def\ldisplaylinesno#1{\displ@y\halign{ \hbox to\displaywidth{$\@lign\hfil\displaystyle##\hfil$}& \kern-\displaywidth\rlap{$##$}\tabskip\displaywidth\crcr#1\crcr}} \def\Eqalign#1{\null\,\vcenter{\openup\jot\m@th\ialign{ \strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil &&\quad\strut\hfil$\displaystyle{##}$&$\displaystyle{{}##}$\hfil \crcr#1\crcr}}\,} % matrice justifi\'ee \`a droite : \hfil coef dans chaque ligne \def\matrixd#1{\null \,\vcenter {\normalbaselines \m@th \ialign {\hfil $##$&&\quad \hfil $##$\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip } #1\crcr \mathstrut \crcr \noalign {\kern -\baselineskip }}}\,} \def\pmatrixd#1{\left(\matrixd{#1}\right)} % --------------------- système d'équations --------------------- % copi\'e sur \eqalign, on s'en sert comme une matrice % syntaxe : signe & coef & inconnue % les coef sont justifi\'es \`a droite (\hfil coef) % et les inconnues \`a gauche (inconnue\hfil) % attention : double && avant le signe = % pour justification correcte ! % Exemple : $$\system{ % &2 &x &- &3 & y & = && -5 \cr % -& &x &+ & & y & = && \hfill 6 \cr % }$$ \def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th \ialign{\strut$##$ &\hfil$##$&$##$\hfil&& \enskip$##$\enskip&\hfil$##$&$##$\hfil\crcr #1\crcr}}\right.} \def\lfq{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle \langle\!\langle$}\thinspace} \def\rfq{\leavevmode\thinspace\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle \rangle\!\rangle$}} \catcode`\@=12 {\catcode`\^^M=\active % \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active % \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}} \def\adresse{\par\nobreak% \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt% \hbox to \hsize\bgroup\hfill% \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}% \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup} \def\fin{\vfill\eject} \voffset=2cm \hoffset=1.9cm \pageno=37 \eightpoint \leftline{Publ. I.R.M.A. Strasbourg, {\oldstyle 1984}, 229/S--08} \leftline{Actes 8\emini\ S\'eminaire Lotharingien, p. 37--53} \tenpoint \let\it=\sl \auteurcourant={A. LASCOUX} \titrecourant={FONCTIONS SYM\'ETRIQUES} \vskip 1.5cm \centerline{\bf FONCTIONS SYM\'ETRIQUES} \vskip 2.8mm \centerline{\sevenrm PAR} \vskip 2.8mm \centerline{{\petcap Alain} LASCOUX \footnote{$(^*)$}{On ne trouve dans ce volume que les toutes premi\`eres le\c cons sur les fonctions sym\'etriques. Elles constituent, en fait, le premier chapitre d'un trait\'e en pr\'eparation comportant de nombreux exemples et exercices. Ce chapitre consacr\'e \`a l'\'etude des fonctions sym\'etriques usuelles et de leurs bases, ainsi qu'\`a une introduction aux $\lambda$-anneaux a \'et\'e repris et compl\'et\'e dans un m\'emoire \'ecrit conjointement par A. \pd LASCOUX et M.-P. \pc SCH\"UTZENGERGER|, intitul\'e {\sl Formulaire raisonn\'e des fonctions sym\'etriques}, L.I.T.P., U.E.R. Math., Univ. Paris VII, 138 p., {\oldstyle 1984}.}} \titre 1. Fonctions sym\'etriques usuelles| \section 1.1. Bases de fonctions sym\'etriques|Soient $A=\{a,b,\ldots\,\}$ un alphabet de $n$ lettres et ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$ l'anneau des polyn\^omes, \`a coefficients entiers, en les variables $a,b,\ldots$ Le groupe sym\'etrique $W(A)$ des permutations de $A$ agit de fa\c con naturelle sur l'anneau ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$. Les polyn\^omes qui sont invariants sous cette action sont dits {\it sym\'etriques}~: ce sont les polyn\^omes invariants par permutation des variables. On note ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]^{W(A)}$ ce sous-anneau des polyn\^omes sym\'etriques. On sait, au moins depuis \pc NEWTON|, que cet anneau est engendr\'e, en tant qu'alg\`ebre, par les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires. En fait, dans l'\'etude suivante, on va surtout s'int\'eresser aux ${\bf Z}$-bases de cet anneau. En d'autres termes, on va d\'eterminer des familles de polyn\^omes ayant la propri\'et\'e que tout polyn\^ome sym\'etrique s'exprime, de fa\c con unique, comme combinaison lin\'eaire, \`a coefficients entiers, d'\'el\'ements de chaque famille. Pour toute suite $J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)\in {\bf N}^n$, on pose $a^J=a^{j_1}b^{j_2}\ldots$ Le polyn\^ome $$\Psi _I=\sum a^J$$ o\`u la somme est \'etendue \`a l'ensemble de toutes les permutations {\it distinctes} $J$ de la suite $I$, est \'evidemment sym\'etrique. On l'appelle {\it fonction sym\'etrique monomiale}. Lorsque $I$ est de la forme $I=(0,\ldots,0,1,\ldots,1)$, avec 1 r\'ep\'et\'e $p$ fois, on obtient la $p$\ieme\ {\it fonction sym\'etrique \'el\'ementaire}, not\'ee $\Lambda _p$. Ainsi $$\Lambda _p=\Psi _I\qquad({\rm avec\ }I=0^{n-p}1^p).$$ Pour chaque $p\geq 0$ la somme de tous les mon\^omes de degr\'e total $p$ est appel\'ee {\it fonction sym\'etrique compl\`ete}. On la note $S_p$. On a imm\'ediatement $$(1-a)^{-1}(1-b)^{-1}\ldots=\sum S_p \quad {\rm et} \quad (1+a)(1+b)\cdots='\Lambda _p.$$ Par $\Lambda ^I$ on d\'esigne le produit $$\Lambda ^I=\Lambda _{i_1}\Lambda _{i_2}\ldots$$ des fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires $\Lambda _{i_1}$, $\Lambda _{i_2}$,\dots. De fa\c con analogue, on pose $$S^I=S_{i_1}S_{i_2}\ldots$$ On introduit enfin, pour chaque $i\geq 0$, les {\it sommes de puissances} $$\Psi _i=\sum a^i$$ et on peut ainsi former les {\it produits de sommes de puissances} $$\Psi ^I=\Psi _{i_1}\Psi _{i_2}\ldots$$ \section 1.2. Fonctions de Schur|\'Etant donn\'ee une matrice $M$, on indexera ses mineurs par des couples de partitions. Plus g\'en\'eralement, soient $I=(i_1,i_2,\ldots,i_n)$, $J=(j_1,j_2,\ldots,j_n)$ deux suites de ${\bf Z}^n$. On note $M_{I,J}$ le mineur de $M$ pris sur les lignes $i_1+1,i_2+2,\ldots$ et les colonnes $j_1+1,j_2+2,\ldots$ S'il existe $h$ tel que $i_h+h\leq 0$ ou $j_h+h\leq 0$, on convient que le mineur $M_{I,J}$ est nul. La matrice qui nous int\'eresse est la matrice infinie $\eqe S=(S_{j-i})$ $(i\geq 1,j\geq 1)$, o\`u les $S_p$ sont les fonctions sym\'etriques compl\`etes, avec la convention que $S_p$ est nul lorsque $p$ est (strictement) n\'egatif. \rem D\'efinition|On appelle {\it fonction de Schur d'indice} $J$, not\'ee $S_J$, le mineur $$S_J=\eqe S_{0\ldots0,J},$$ et {\it fonction de Schur gauche d'indice} $J/I$, le mineur $$S_{J/I}=\eqe S_{I,J}.$$ Bien \'evidemment, $S_{J/I}=0$, lorsque deux lignes ou deux colonnes du mineur sont identiques. A une permutation des lignes et colonnes pr\`es, on peut supposer que l'on a $1\leq i_1+1n \Rightarrow {\rm rg}(A)\leq n.$$ Il est sp\'ecialement int\'eressant de consid\'erer des \'el\'ements de rang~1, ou des sommes finies d'\'el\'ements de rang~1. Dans ce cas, l'axiome 1, joint au fait que le produit de deux \'el\'ements de rang~1 est de rang~1, qui r\'esulte de l'axiome 2, donne les quantit\'es $\Lambda ^i(A)$, $\Lambda ^i(AB)$, $\Lambda ^i(\Lambda ^j(A))$ comme sommes d'\'el\'ements de rang~1. Soient $a,b,\ldots$ des \'el\'ements de $K$ de rang~1. L'axiome de lin\'earit\'e entra\^\i ne que les $\Lambda ^i(a+b+\cdots\,)$ sont les fonctions \'el\'ementaires en les variables $a,b,\ldots\,$ Par suite, les $S_J(a+b+\cdots\,)$ sont bien les fonctions de Schur sur l'alphabet $\{ a,b,\ldots\,\} $ (\cf. \S~1. Si donc on se limite aux \'el\'ements qui sont sommes d'\'el\'ements de rang~1, les $\Lambda $-anneaux n'apportent rien de nouveau, si ce n'est qu'on note un alphabet comme somme de ses \'el\'ements. Le type le plus simple de $\Lambda $-anneau est l'anneau ${\bf Z}[a,b,\ldots\,]$ des poly\-n\^o\-mes dont la structure de $\Lambda $-anneau est obtenue en imposant que $a,b,\ldots\,$ sont tous de rang~1. Le second type, cher \`a \pc ROTA|, est l'anneau dit {\it binomial}, d\'efini par $$\forall x\in K,\quad \forall i\geq 0,\quad \Lambda ^i(x)=x(x-1)\ldots(x-i+1)/i!,$$ ou, de fa\c con \'equivalent, par $$\forall x\in K,\quad \forall i\geq 0,\quad S^i(x)=x(x+1)\ldots (x+i-1)/i!.$$ On peut, par exemple, munir l'anneau des r\'eels d'une structure de $\Lambda $-anneau binomial. Nous aurons essentiellement besoin de l'anneau ${\bf R}[[a,b,\ldots\,]]$ des s\'eries formelles, \`a coefficients r\'eels, qui h\'erite des deux types pr\'ec\'edents d'une structure de $\Lambda $-anneau. Dans l'anneau des s\'eries formelles, la puissance $x$\ieme\ ($x\in {\bf R}$) est d\'efini par $$(1+a)^x=\sum a^i \Lambda ^i(x).$$ Le second membre est, en fait, $\sum \Lambda ^i(ax)$, lorsque $a$ est de rang~1. En effet, la formule de Cauchy donne $$\Lambda ^i(ax)=\sum _{|J|=i} \Lambda _J(x) \Lambda _{J\conj}(a).$$ Or tous les $\Lambda _{J\conj}(a)$ sont nuls, sauf pour $J=i$, auquel cas $\Lambda _{i\conj}(a)=a^i$. On peut \'ecrire : $$(1+a)^x=\sum \Lambda ^i(ax)\qquad \hbox{($a$ de rang~1 ; $x$ r\'eel)}.$$ On en d\'eduit la {\it formule du bin\^ome} : $$\eqalign{(1-a)^{-x}&=\sum a^i S^i(x),\cr &=\sum S^i(ax)\qquad \hbox{($a$ de rang~1 ; $x$ r\'eel)}.\cr}$$ En plus des expressions classiques des fonctions de Schur, on a dans le cas o\`u $x$ est r\'eel une formule plus condens\'ee pour $S_I(x)$. Marquons dans chaque bo\^\i te ${\square}$ de la partition $I$ sa distance (ordonn\'ee) $c_{\square}$ \`a la dia\-gonale principale, comme indiqu\'e dans le premier tableau. D'autre part, d\'efinissons l'{\it \'equerre de sommet} ${\square}$ comme \'etant l'ensemble des bo\^\i tes de $I$ situ\'ees soit sur la m\^eme colonne que ${\square}$ et au-dessus de celle-ci, soit sur la m\^eme ligne et \`a droite de celle-ci. Le poids de cette \'equerre de sommet ${\square}$ consid\'er\'ee comme partition est not\'e $h_{\square}$. On peut reporter, comme dans le second tableau, le poids de chaque \'equerre en son sommet. Avec ces conventions, on a la formule : $$S_I(x) = \prod _{{\square}\,\subset I}(x+c_{\square})/h_{\square},$$ dont on trouvera une d\'emonstration dans \pd MACDONALD (p.~28, ex.~4). $$\vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip \newbox\stratbox \setbox\stratbox=\hbox{\vrule height 15pt depth 5pt width 0pt} \def\strat{\relax\ifmmode\copy\stratbox\else\unhcopy\stratbox\fi} \halign{\strat#& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#\cr \noalign{\hrule width 20.8pt} &&{}-3&&\multispan6\cr \noalign{\hrule width 61.2pt} &&{}-2&&{}-1&&0&&\multispan2\cr \noalign{\hrule} &&{}-1&&0&&{}-1&&{}-2&\cr \noalign{\hrule} &&0&&{}-1&&{}-2&&{}-3&\cr \noalign{\hrule}}}\qquad\qquad \vbox{\tabskip=0pt \offinterlineskip \newbox\stratbox \setbox\stratbox=\hbox{\vrule height 15pt depth 5pt width 0pt} \def\strat{\relax\ifmmode\copy\stratbox\else\unhcopy\stratbox\fi} \halign{\strat#& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#& \hbox to 20pt{\hfil$#$\hfil}& \vrule#\cr \noalign{\hrule width 20.8pt} &&1&&\multispan6\cr \noalign{\hrule width 61.2pt} &&4&&2&&1&&\multispan2\cr \noalign{\hrule} &&6&&4&&3&&1&\cr \noalign{\hrule} &&7&&5&&4&&2&\cr \noalign{\hrule}}}$$ Le fait que pour $x$ r\'eel, $S^i(x)$ soit un polyn\^ome en $x$, implique que $S^I(x)$, $S_I(x)$, $\Psi _I(x)$, \dots\ soient des polyn\^omes en $x$. Leurs valeurs prises pour les $x$ entiers les d\'eterminent compl\`etement. En particulier, $$\forall x\in {\bf R},\quad \forall i\geq 1,\quad \Psi _i(x)=x,$$ la formule \'etant triviale pour $x$ entier. Pour toute partition $I$ (avec $l(I)$ d\'esignant le nombre de parts non nulles), on en d\'eduit : $$\forall x\in {\bf R},\quad \Psi ^I(x)=x^{l(I)}.$$ D'autre part, $\Psi _I(x)\,(=\Psi _I(1+\cdots+1)\,)$ est \'egal au nombre de mo\-n\^o\-mes diff\'erents, de degr\'e $I$, en $n$ variables, qui est naturellement un coefficient multinomial. D'o\`u, pour $I=1^{m_1}2^{m_2}\ldots\,$, on a donc $$\forall x\in {\bf R},\quad \Psi _I(x)={x(x-1)\ldots(x-l(I)+1)\over m_1!\, m_2!\,\ldots},$$ et $$\forall x\in {\bf R},\quad \Psi _I(-x)=(-1)^{l(I)} {x(x+1)\ldots (x+l(I)-1)\over m_1!\, m_2!\,\ldots}.$$ De la formule du bin\^ome, on d\'eduit pour $a$, $b$,\dots,$d$ de rang~1 et $x$ r\'eel $$\eqalign{[(1-a)(1-b)\ldots(1-d)]^{-x}&= \sum S^i(ax) \sum S^j(bx) \,\ldots\, \sum S^k(dx),\cr &=\sum S^n((a+b+\cdots+d)x)\quad \hbox{(lin\'earit\'e)},\cr &=\sum S_J(a+b+\cdots+d) S_J(x)\quad ({\rm Cauchy}).\cr}$$ La derni\`ere formule peut \^etre exprim\'ee dans toute autre paire de bases adjointes. On a donc aussi $$\eqalign{[(1-a)(1-b)\ldots (1-d)]^{-x} &=\sum S^I(a+b+\cdots+dl) \Psi _I(x),\cr &=\sum \Psi _I(a+b+\cdots+d) S^I(x),\cr &=\sum {\Psi ^I(a+b+\cdots+d) \Psi ^I(x)\over (\Psi ^I,\Psi ^I)},\cr}$$ o\`u l'on peut m\^eme remplacer $\Psi _I(x)$, $S^I(x)$ et $\Psi ^I(x)$ par leurs valeurs explicites calcul\'ees plus haut. \rem Remarque|Il faut se garder de sp\'ecialiser inconsid\'er\'ement les variables dans $\Lambda $-anneau : si $a$ est \`a la fois r\'eel et de rang~1, alors $a=1$. En d'autres termes, le morphisme ${\bf R}[a]\rightarrow {\bf R}$ d\'efini par $a\mapsto x\quad (\not=1)$ n'est pas un morphisme de $\Lambda $-anneau. \adresse Alain {\petcap Lascoux}, L.I.T.P., U.E.R. Math\'ematiques, Universit\'e Paris VII, Tour 55--56, 1\ermini~\'etage, 2, Place Jussieu, F-75221 Paris Cedex 05. \fin \end