\input miniltx

\def\Gin@driver{pdftex.def}
\input graphicx.sty

\resetatcatcode

\magnification1200


\def\aut{{\rm aut}}
\def\rond{\mathop{\bigcirc}}

%DIMENSIONS SPECIFIQUES A FOURIER
\mathsurround 1pt       %espace avant et apr�s mode math
%
% 
%DIMENSIONS DE LA PAGE ET  DES MARGES
\newdimen\hauteurfeuilleAquatre
\newdimen\largeurfeuilleAquatre
\newdimen\hauteurfeuilleUS
\newdimen\largeurfeuilleUS
\newdimen\margetotale
\newdimen\largeurvraiefeuille
\newdimen\hauteurvraiefeuille
\hauteurfeuilleAquatre=297truemm
\largeurfeuilleAquatre=210truemm
\hauteurfeuilleUS=11truein
\largeurfeuilleUS=8.5truein
\largeurvraiefeuille 170truemm  %%modifier si
\hauteurvraiefeuille 240truemm  %%n�cessaire
\margetotale=5.5truecm             %%modifier si n�cessaire
\hsize\largeurvraiefeuille
\advance\hsize by -\margetotale
\vsize\hauteurvraiefeuille
\advance\vsize by -2truein
\hoffset\margetotale
\divide\hoffset by 2
%\advance\hoffset by -1.1truecm 
%hoffset Laser: 1.1cm si MacTeX 
\advance\hoffset by -1truein    %si TeXtures
%
%SYMBOLE DE FIN DE PREUVE
\def\cqfd{\vrule height1ex depth0.5ex width 0.5ex}
%
%CARACTERES ALLEMANDS
\newfam\fracfam
\font\tenfractur=eufm10
\font\sevenfractur=eufm7
\font\fivefractur=eufm5
\textfont\fracfam\tenfractur
\scriptfont\fracfam\sevenfractur
\scriptscriptfont\fracfam\fivefractur
\def\fr{\fam\fracfam \tenfractur}
%
%CARACTERES DOUBLES JAMBES
\newfam\djfam
\font\tendj=msbm10
\font\sevendj=msbm7
\font\fivedj=msbm5
\textfont\djfam\tendj
\scriptfont\djfam\sevendj
\scriptscriptfont\djfam\fivedj
\def\dj{\fam\djfam \tendj}
%
%SYMBOLES SPECIAUX
\mathchardef\vide="793F
%
%POUR LES TITRES
\font\titlefont=cmr17
\def\titre#1{\centerline{\titlefont #1}}
%\font\grostitre=TimesB at 16.5pt
%\font\moyentitre=TimesB at 14pt
%\font\petittitre=Times at 12pt
\font\pg=cmr12
%
%POUR LES DIAGRAMMES
\def\mapright#1{\smash{
   \mathop{\longrightarrow}\limits^{#1}}}
\def\mapdown#1{\Big\downarrow
   \rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#1$}}$}}
%
%POUR LES DEFINITIONS
\outer\def\definition#1. #2\par{{\medbreak\noindent{\bf
  #1\enspace}{\rm #2}\par
  \ifdim\lastskip<\medskipamount
  \removelastskip\penalty55\medskip\fi}}
%
%FONCTIONS
\def\Card{\mathop{\rm Card}\nolimits}
\def\Fix{\mathop{\rm Fix}\nolimits}
\def\FIX{\mathop{\rm FIX}\nolimits}
\def\log{\mathop{\rm log}\nolimits}
\def\dim{\mathop{\rm dim}\nolimits}
\def\deg{\mathop{\rm deg}\nolimits}
\def\tan{\mathop{\rm tang}\nolimits}
\def\osin{\mathop{\overline{\rm s\hbox{\i}n}\,}\nolimits}
\def\ocos{\mathop{\overline{\rm cos}\,}\nolimits}
\def\otan{\mathop{\overline{\rm tang}\,}\nolimits}
\def\ocosa{\mathop{\>\overline{{\rm cos}\,a}\,}\nolimits}
\def\osina{\mathop{\>\overline{{\rm%
s\hbox{\i}n}\,a}\,}\nolimits} %
\def\ocosx{\mathop{\>\overline{{\rm cos}\,x}\,}\nolimits}
\def\osinx{\mathop{\>\overline{{\rm%
s\hbox{\i}n}\,x}\,}\nolimits} %
\def\otana{\mathop{\>\overline{{\rm tang}\,a}\,}\nolimits}
\def\varepsilon{e}
%
%POUR METTRE UN CADRE AUTOUR D'UN TEXTE
\newbox\acadrer
\newbox\letout
\def\encadre#1{%
\setbox\acadrer\vbox{\hbox{\noindent#1}}%
\setbox\letout%
\vbox{\hrule
      \hbox{\vrule
            \kern3pt
            \vbox{\kern3pt%
                  \box\acadrer%
                  \kern3pt}%
            \kern3pt
      						\vrule}%
      \hrule}%
\noindent\lower 3.4pt\copy\letout%
}
\parindent 20truept
%
%
%POUR FAIRE DES NOTES AUTOMATIQUEMENT NUMEROTEES
\newcount\nonote
%\newwrite\nots
%\immediate\openout\nots=notes
\def\rmpetit{\fam0 \sevenrm}
\nonote=1
\gdef\note#1{%
   \nnote\inote{#1}}%
{\catcode`\@=11
\newdimen\interfoot
\global\interfoot=5pt
\gdef\inote#1{%
\insert\footins{%
\noindent\hbox{\vrule height\interfoot width
0pt}}% 
\let \@sf \empty \ifhmode \edef \@sf{% 
\spacefactor \the \spacefactor }\/\fi {}\@sf \vfootnote
{%
\ifhmode
       \mathsurround 0pt ${\hskip 1pt}^{(\the\nonote)}$%
     \else
       \ifmmode
       \mathsurround 0pt {\hskip 1pt}^{(\the\nonote)}%
       \fi
     \fi}%
   {\everydisplay{\def\over{\abovewithdelims..0.1pt}%
                  \smallskip\scriptstyle}%
    \everymath{\def\over{\abovewithdelims..0.1pt}%
                  \scriptstyle}%
    \rmpetit #1}%
   \global\advance\nonote  by 1%
   }}% 
\def\nnote{{}%"{}"fait sortir du restricted horiz 
             %si employe tout de suite apres un &
     \ifhmode
       \mathsurround 0pt ${\hskip 1pt}^{(\the\nonote)}$%
     \else
       \ifmmode
       \mathsurround 0pt {\hskip 1pt}^{(\the\nonote)}%
       \fi
     \fi}%

%
%POUR METTRE LES NO DE PAGE A DROITE OU A GAUCHE
\footline={\ifodd\pageno\pagedroite 
              \else\pagegauche\fi}
\def\pagedroite{\tenrm\hfil\folio}
\def\pagegauche{\tenrm\folio\hfil}
%
%POUR L'INDEX (a effets lors des impressions d'epreuves)
\newif\ifepreuve
\epreuvetrue%---modifier a "\epreuvefalse" lors de
%-----------------l'impression finale
%les mots a mettre dans le texte et l'index s'ecrivent
%           comme ceci: "le texte de ^{Lagrange} est"
%les mots a mettre seulement dans l'index s'ecrivent
%           comme ceci: "car on a ^^{equations diff.}que"
%toutefois ceci ne doit pas �tre fait en mode math
%les mots indexes apparaitront � la fois sur la feuille
%(en dehors des dimensions de la "vraie page" dans la
%marge de droite en haut et, accompagnes de leur no de
%page dans le fichier index.TeX
%
%The TeXbook p.415
\newinsert\indexin \dimen\indexin=\maxdimen
\count\indexin=0 %une insertion qui reduit pas taille pg.
\skip\indexin=0pt
%
%The TeXbook p.423
\newwrite\ind
\immediate\openout\ind=index  
\def\margeindex{\sevenrm \vrule height6pt depth2pt width
     0pt } %notes d'index en 7pt et la vrule sert de strut
\newif\ifsilencieuse %mot dans l'index mais pas ds texte
\def\chapeauspecial{\ifmmode\def\next{^}%
                    \else\let\next=\beginxref\fi\next}
\def\beginxref{\futurelet\next\beginxrefswitch}
\def\beginxrefswitch{\ifx\next\chapeauspecial
                         \let\next=\silentxref
                     \else\silencieusefalse
                          \let\next=\xref
                     \fi
                     \next}
\catcode`\^=\active \let ^=\chapeauspecial
\def\silentxref^{\silencieusetrue\xref}
%
%The TeXbook p.424
\def\leaderfill{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hfill}
\def\xref#1{\def\text{#1}%
            \ifepreuve
               \insert\indexin{\margeindex \text}%
    											\xdef\writeit{\write\ind{\line{\text\space
               \leaderfill p.
               \noexpand\number\pageno.}}}\writeit
            \else \ifhmode \kern 0pt. \fi
            \fi
            \ifsilencieuse  \ignorespaces \else \text \fi}
%
%The TeXbook p.416
%modification de la routine d'output pour prendre cette
%classe d'insertions d'index
\output={\onepageout{\unvbox255}}
\def\onepageout#1{\shipout\vbox{%
    \offinterlineskip
    \vbox to \vsize{%
       \ifvoid\indexin\else
         \rlap{\kern\hsize\kern 2.75truecm \quad
               \vbox to 0pt{\kern 4pt\box\indexin\vss}}\fi
%The TeXbook, p.364 pour tenir compte des fig. (\topins)
       \ifvoid\topins\else
         \unvbox\topins\fi
       #1
       \ifvoid\footins\else
         \vskip\skip\footins
         \vskip -2pt
         \hrule height .4pt width 2cm
         \vskip 1.6pt
         \unvbox\footins\fi
       \vfil}%
       \vskip 16.5pt %--------espace avant no page
       \makefootline
       \boxmaxdepth=\maxdepth}%
     \advancepageno}%
%
%POUR METTRE INSERTIONS DANS MARGE
\def\barre{\hskip 2pt{\mathsurround 0pt 
            \ifmmode \vert\hskip 2pt 
            \else $\vert$\hskip 2pt \fi}}%  
\def\barr{\hskip 2pt{\mathsurround 0pt 
            \ifmmode \vert
            \else $\vert$\fi}}%  
\newcount\nopage
\newwrite\woddness
\newread\roddness
%\iffirstpass
%  \immediate\openout\woddness=parite
%\else
%  \immediate\openin\roddness=parite
%\fi
\def\marge#1{\barr %TeXbook, p.424
    \iffirstpass\write\woddness{\number\pageno}%
    \else\read\roddness to\nupage%			
\ifodd\nupage\margedroite{#1}%
    \else\margegauche{#1}\fi\fi}%
\def\Marge#1{%TeXbook, p.424
    \iffirstpass\write\woddness{\number\pageno}%
    \else\read\roddness to\nupage%
    \ifodd\nupage\margedroite{#1}%%%%
    \else\margegauche{#1}\fi\fi}%
\def\strutdepth{\dp\strutbox} %TeXbook, ex14.28 p.316
\def\margegauche#1{\strut\vadjust{\kern-\strutdepth
                   \specialg{#1}}\hskip 2pt{}} 
\def\specialg #1{\vtop to \strutdepth{%
    \baselineskip\strutdepth
    \vss\llap{{\sevenrm #1}{\rm \qquad}}\null}}
\def\margedroite#1{\strut\vadjust{\kern-\strutdepth
                   \speciald{#1}}\hskip 2pt{}}%
\def\speciald #1{\vtop to \strutdepth{%
    \baselineskip\strutdepth
    \vss\rlap{\hbox to \hsize{\hfil}{\rm \qquad}%
{\sevenrm #1}}\null}}
%
%Cas des lignes tabul�es:
%
%s'emploie pour mettre "#1" dans la marge droite, il faut
%l'ecrire tout de suite apr�s le "\+"
\def\margetabdroite#1{\rlap{\hskip\hsize\qquad
{\sevenrm #1}}}
%
%s'emploie poour mettre "#1" dans la marge gauche, il faut
%l'ecrire tout de suite  apr�s le "\+"
\def\margetabgauche#1{\llap{{\sevenrm #1}\qquad}}
%
%POUR DEBOGGER
\def\ignore{\bgroup\par\setbox0\vbox\bgroup}
\def\ignoreplus{\egroup\setbox0\vbox{}\egroup}
%POUR ECRIRE EN DISPLAYSTYLE
\def\d{\displaystyle}
%POUR TASSER A GAUCHE EN DISPLAYSTYLE
\def\dg#1$${\leftline{\noindent$\d{#1}$}$$}
%POUR LES "ETC."
\def\etc{\hbox{\&\kern -1pt c}}
%POUR LES NOUVELLES SECTIONS
\newdimen\saut
\saut=7mm
\font\matbf=cmbx10
\font\matbfexp=cmbx10 
\font\matbfgros=cmbx10 at 12pt
\font\bf=cmbx10
\font\bfexp=cmbx10
\message{mat.TeX du 10 nov pris sur disquette de AM}%
\message{celle qui a deja ete assemblee}%
\message{modif "nupage" ok Pierre lundi 13nov 1989}%
\message{modif fractions en notes 0.1pt 13 nov 1989}%
\message{modif ajout de \% espoir de synchroniser marges}%
\message{qquad arrange pour marges 13 nov 1989}%


%\def\og{{\tenlasy\string<\string<}}
\def\og{\raise1pt\hbox{\eightm \char'34}}
\def\fg{\raise1pt\hbox{\eightm \char'35}}
\font\tenlasy=lasy10
\font\tensmc=cmcsc10 
\font\eightrm=cmr8 
\font\eightm=cmsy5 
\font\eightsl=cmsl8 
\font\eightdj=msbm8
\font\eightcal=cmsy8

\hsize13.2cm
\vsize18cm

\titre{D\'ecomposition arborescente de Mario Ouellette}
\titre{pour les esp\`eces de structures}
\vskip10pt
\bigskip
\centerline{\tensmc Pierre Bouchard\footnote*{\eightrm qui a pr\'esent\'e
le r\'esultat au s\'eminaire lotharingien \dots et est
seul responsable du titre.} et Mario Ouellette} 
\vskip20pt
\noindent{\parindent=40pt\narrower\noindent 
\baselineskip10pt
\eightrm Yeong-Nan Yeh
proved the semiring (with respect to sum and product) of
(iso\-mor\-phism classes of) species to be factorial, more
precisely isomorphic to the semi-ring of formal power
series {\eightdj N}[[{\eightcal M}]] where {\eightcal M}
is the monoid (for $\cdot$) of isomorphism classes of
molecular species ([Yeh]). This amounts to saying that
each species is uniquely a sum of products of atomic
species. Studying also the behavior of the {\eightsl
composition} of species, Mario Ouellette ([Oue]) showed
that each species has a unique decomposition	as a
composition of a primitive species and a molecular
species: this leads to a unique ``arborescent''
decomposition for species.  In this talk, we give a  
detailed demonstration of the lemma
which is at the heart of his proof and a sketch his
proof.\smallskip}

\beginsection {1.\enspace Rappels sur les
esp\`eces de structures}.

\definition D\'efinition {1.1}. 
Une {\sl esp\`ece de structures} est une r\`egle qui, \`a
chaque ensemble fini $U$ associe un autre ensemble fini
$G[U]$ et \`a chaque bijection $\beta\colon U\to V$ associe
une autre bijection $G[\beta]\colon G[U]\to G[V]$
(appel\'ee {\sl transport des structures le long de
$\beta$\/}) et ce, de fa\c con coh\'erente,
c'est-\`a-dire: $$\eqalign{G[1_U]&=1_{G[U]}\cr
G[\alpha\circ\beta]&=G[\alpha]\circ G[\beta].\cr}$$ En
d'autres mots, $G$ est un foncteur de la cat\'egorie {\sl
Ensf\/} des ensembles finis et bijections dans la
cat\'egorie des ensembles finis.  Les \'el\'ements de
$G[U]$ sont appel\'es {\sl structures d'esp\`ece $G$ sur
$U$}.



\definition D\'efinition {1.2}. 
Soit $G$ une esp\`ece de structures et $s$, $t$ deux
structures d'esp\`ece $G$ sur $U$ (c-\`a-d. deux
el\'ements de $G[U]$). Allors, $s$ e $t$ sont dites {\sl
isomorphes} s'il esiste	 une bijection $\alpha\colon U\to
U$ (c-\`a-d. une permutation de $U$) telle que
$$G[\alpha](s)=t,$$ le {\sl type} de $s$ est la classe
d'isomorphie de $s$ dans $G[U]$.

{\bf Exemple.}\enspace Si $U$  a quatre \'el\'ements, et
si ${\cal A}$ est l'esp\`ece \og arbres\fg{}, alors il y a
16 structures d'arbre sur $U$ mais seulement deux types d'%
arbre.

\definition D\'efinition {1.3}. 
Soient $G$ et $H$ deux esp\`eces.  Un {\sl isomorphisme de
G sur H\/} est une famille $\eta = {(\eta_U)}_{U\in
|\hbox{\sl Ensf\/}|}$ de bijections
$$\eta_U\colon G[U]\to H[U]$$
qui satisfont la r\`egle de coh\'erence suivante: pour
chaque bijection $f\colon U\to V$, on a
$$H[f]\circ \eta_U=\eta_V\circ G[f],$$
c-\`a-d., le diagramme
$$\def\normalbaselines{\baselineskip20pt
  \lineskip3pt \lineskiplimit3pt}
\matrix{G[U]&\mapright{\eta_U}&H[U]\cr
\mapdown{G[f]}&&\mapdown{H[f]}\cr
G[V]&\mapright{\eta_V}&H[V]\cr}$$
est commutatif.  En d'autres mots, $\eta\colon G\to H$ est
un isomorphisme de foncteurs.


\`A l'avenir, par ``$G=H$'' (quand $G$, et $H$ d\'enotent
des esp\`eces), on signifiera $G$ est isomorphe \`a $H$. 


\definition D\'efinition  {1.4}. 
La {\sl somme} des
esp\`eces $G$ et $H$ est l'esp\`ece d\'efinie sur les
ensembles finis par $$(G+H)[U]=G[U]+H[U]$$
o\`u ``$+$'' \`a droite veut dire r\'eunion disjointe,
et, sur les bijections $f\colon U\to V$ par $$(G+H)[f](s)=
\cases{G[f](s),&si $s\in G[U]$\cr
H[f](s),&si $s\in H[U]$.\cr}$$ 


La somme admet un neutre: l'esp\`ece {\bf
0} d\'efinie par
$${\bf 0}[U]= \vide$$
\smallskip
\noindent{\bf Remarque.}\enspace On d\'efinit de fa\c con
semblable la somme d'une suite (possiblement in\-fi\-nie)
d'esp\`eces.  Par exemple, toute esp\`ece $G$ est somme
infinie $G=G_0+G_1+\cdots$ o\`u $$G_n[U] =\cases{G[U],&si
$\Card(U)=n$\cr \vide&sinon.}$$


\definition D\'efinition {1.5}. 
Le {\sl produit\/} des esp\`eces $G$ e $H$ est
l'esp\`ece	 d\'efinie par
$$(G\cdot H)[U]=\{\,(V,W,s,t): V\subseteq U,\,W=U\setminus
V,\, s \in G[V],\, t \in H[W]\,\}$$
et, pour $f\colon U\to V$ e $(V,W,s,t) \in (G\cdot H)[U]$,
par $$(G\cdot
H)[f](V,W,s,t)=\bigl(f(V),f(W),G[f](s),G[f](t)\bigr).$$

Le produit admet un neutre, l'esp\`ece
{\bf 1} d\'efinie par
$${\bf 1}[U] = \cases{\hfil\{\vide\}& si $U=\vide$\cr
\hfil\vide&sinon}$$


\definition D\'efinition {1.6}. 
La {\sl composition} des esp\`eces $F$ et $G$ 
o\`u $F[\vide]=\vide$ est l'esp\`ece
d\'efinie par
$$(F\circ G)[U]=
\{\,(P,\alpha,(\beta_\nu)_{\nu \in P}):P \hbox{ est
partition de }U, \alpha \in F[P], (\forall \nu \in P,
\beta_\nu \in G[\nu])\,\}$$
et, pour $f\colon U \to V$ et 
$(P,\alpha,(\beta_\nu)_{\nu \in P}) \in (F\circ G)[U]$,
par $$(F\circ G)[f]=
\bigl(\{\,f(\nu):\nu \in P\,\},F[\,\underline f\,](\alpha),
{(\,\beta'_\mu\,)}_{\mu \in P'}\bigr)$$
o\`u
$$P'=\{\,f(\nu):\nu \in P\,\},$$
$$\underline f\colon P \to P'\colon\nu\mapsto f(\nu),$$
$$\beta'_\mu = G[f_{f^{-1}(\mu)}](\beta_{f^{-1}(\mu)}),$$ 
$$f_\nu\colon\nu\to f(\nu)\colon u\mapsto f(u).$$

La composition admet un neutre, l'esp\`ece
$X$ d\'efinie par
$$X[U]=\cases{\hfil\{U\}&si
$\Card(U)=1$\cr\hfil\vide&sinon.}$$

\proclaim Proposition {1.7}. La somme et le produit
d'esp\`eces sont des op\'erations com\-mu\-ta\-tives et
associatives, la composition  est associative, les
esp\`eces {\bf 0, 1} et $X$ sont respectivement neutre
pour la somme, le produit et la composition.

\noindent{\bf Remarque.}\enspace Le produit
d'esp\`eces \'etant commutatif et associatif, on peut,
\'etant donn\'ee une famille ${(B_i)}_{i\in I}$, en
d\'efinir le produit par
$$(\prod_{i\in I} B_i)[U] = \{\,{(U_i,s_i)}_{i\in I} :
\hbox{Les $U_i$ sont disjoints de r\'eunion $U$}, (\forall
i\in I)(s_i\in B_i[U_i])\,\}$$
$$(\prod_{i\in I} B_i)[f]({(U_i,s_i)}_{i\in I})=
{(f(U_i),B_i[f_{U_i}](s_i))}_{i\in I}$$o\`u $f_{U_i}\colon
U_i\to f(U_i)\colon u\mapsto f(u)$.
\smallskip

On dira qu'une esp\`ece $G\not={\bf 0}$ {\sl vit sur une
seule cardinalit\'e\/} s'il existe un $n \in {\dj N}$ tel
que	$\Card(U) \not=n \iff G[U]=\vide$. L'entier $n$ sera
appel\'e le {\sl degr\'e} de l'esp\`ece $G$ et not\'e
$|G|$.


\definition D\'efinition {1.9}. Une esp\`ece $M$ est {\sl
mol\'eculaire} si 
$$\vbox{\halign{$\hfil#$&${}#\hfil$\cr
M &\not= {\bf 0}\cr
(M = A + B) &\Rightarrow (A = {\bf 0}
\hbox{ ou }B = {\bf 0}).\cr}}$$

Une esp\`ece mol\'eculaire vit donc sur une seule
cardinalit\'e $n$.  En fait dire que $M$ est
mol\'eculaire de degr\'e $n$ revient \`a dire que
l'action de ${\fr S}_n$ sur $M[\underline n]\colon(\sigma,
s) \mapsto M[\sigma](s)$ est transitive.	

\definition D\'efinition {1.10}. Une esp\`ece $A$ est {\sl
atomique} si 
$$\eqalign{\hbox{A est m}&\hbox{ol\'eculaire}\cr
A&\not={\bf 1}\cr
A=B\cdot C &\Rightarrow (B={\bf 1} \hbox{ ou } C={\bf
1}).\cr}$$

\def\Bij{\mathop{\rm Bij}\nolimits}
\definition D\'efinition {1.11}. Une esp\`ece $P$ est 
{\sl primitive}
si

$$\eqalign{P\hbox{ est }&\hbox{atomique}\cr
P&\not=X\cr
P=B\circ C &\Rightarrow (B=X \hbox{ ou }C=X).\cr}$$

\noindent {\bf Notations.}\enspace Soit $U$ un ensemble
fini.  On notera $U!$ l'ensemble des permutations de U. 
Pour un sous-groupe $H$ de $U!$, on notera 
$${U! \over H}$$
l'esp\`ece d\'efinie sur un ensemble fini V par
$${U! \over H}[V]=\{\,fH:f\in \Bij(U,V)\,\}$$
o\`u $\Bij(U,V) = \{\,f: f\colon U \to V \hbox{ est une
bijection.}\,\}$ et $fH = \{\,f\circ h: h\in H\,\}$, et
d\'efinie sur une bijection $g\colon V\to W$ par
$${U! \over H}[g]: fH \mapsto (g\circ f)H.$$
Lorsque $U=[\underline n]=\{\,1\ldots n\,\}$, on \'ecrit
aussi ${X^n / H}$ pour d\'esigner ${U! / H}$.

\'Etant donn\'ee une esp\`ece $M$, un ensemble fini $U$ et
une structure $s$ d'esp\`ece $M$ sur $U$, on notera
$\aut(s)$ l'ensemble $\{\,f\in U! : M[f](s)=s\,\}$. 
C'est l'ensemble des automorphismes de $s$.

Si $U \supseteq W$ et $f\colon U\to U$ est une bijection
telle que $f(W)=W$, on notera $f_W$ la bijection de $W\to
W\colon w\mapsto f(w)$.  Par contre, si $g\colon W\to W$
est une bijection, la notation $g_U$ d\'esignera la
bijection  $$g_U\colon U\to U\colon u\mapsto \cases{g(u),&
si  $u\in W$\cr u&sinon.\cr}$$

\definition D\'efinition {1.12}. Si $H$ et $K$ sont des
sous-groupes de $U!$ et $V!$ respectivement, on dira que
$H$ et $K$ sont {\sl conjugu\'es} s'il existe une
bijection $f\colon U\to V$ telle que $K=f\circ H\circ
f^{-1} = \{\,fhf^{-1}: h\in H\,\}$.

\proclaim Proposition {1.13}. Soient $U$ et $V$ des
ensembles finis de m\^eme cardinalit\'e et $H$ et $K$
des sous-groupes de $U!$ et $V!$ respectivement. Les
esp\`eces ${U!/ H}$ et ${V!/ K}$ sont isomorphes
si et seulement si $H$ et $K$ sont conjugu\'es.  De fa\c
con pr\'ecise, si $$\theta\colon {U!\over H}\to{V! \over
K}$$ est un isomorphisme d'esp\`eces et $f$ est tel que 
$\theta_V^{-1}(K)=fH$, alors $K=f\circ H\circ f^{-1}$. 
R\'e\-ci\-pro\-que\-ment, si $K=f\circ H\circ f^{-1}$,
alors la famille des $\theta_W$ d\'efinie
par $\theta_W(gH)=g\circ f^{-1}H$ est un isomorphisme
d'esp\`eces $$\theta={(\theta_W)}_{W\in|Ensf|}
\colon {U!\over H}\to{V!\over K}.$$.

\proclaim Proposition {1.14. Caract\'erisation des
esp\`eces mol\'eculaires}.  Soit $U$ un en\-semble
fini et $H$ un sous-groupe de $U!$ L'esp\`ece ${U! /
H}$ est mo\-l\'e\-cu\-lai\-re.  R\'e\-ci\-proque\-ment, toute
esp\`ece mo\-l\'e\-cu\-laire $M$ de degr\'e $n$ est isomorphe \`a
l'esp\`ece ${U! / H}$ si $U$ est de cardinalit\'e $n$
et s'il existe une structure $s\in M[U]$ telle que
$H=\aut(s)$.

\proclaim Proposition {1.15}. Le produit d'une famille
finie d'esp\`eces mo\-l\'e\-cu\-laires est mo\-l\'e\-cu\-laire. La
famille $\theta = {(\theta_V)}_{V\in |Ensf|}$ d\'efinie
par 
$$\eqalign{\prod_{i\in I} {U_i! \over H_i}[V]
&\buildrel {\theta_V} \over \longrightarrow {U! \over
H}[V]\cr
(V_i,f_iH_i) &\longrightarrow fH,\cr}$$
o\`u $f$ prolonge les $f_i$,
$$H = \rond_{i\in I}H_i=\{\,\rond_{i\in I}h_i : \forall
i\in I, h_i\in H_i\,\},$$
(la composition ne d\'ependant pas
de l'ordre des termes, les $h_i$ ayant des supports
disjoints) et les $U_i$ sont disjoints de r\'eunion $U$,
est un isomorphisme d'esp\`eces.

\proclaim Proposition {1.16}. Soit $M$ une esp\`ece
mol\'eculaire, $I$ un ensemble fini et $A_i$ des
esp\`eces telles que $M=\prod_{i\in I}A_i$. Soit $U$ un
ensemble fini et $s = {(U_i,s_i)}_{i\in I} \in M[U]$.
Alors $$\forall f \in \aut(s), \forall i\in I,\, f(U_i)=U_i
\hbox{ et } {(f_{U_i})}_U\in\aut(s)$$$$\forall i\in
I,\,\aut(s_i)=\{\,f_{U_i}: f\in \aut(s)\,\}.$$ En
particulier, un facteur $A_i$ est caract\'eris\'e, \`a
isomorphisme pr\`es, par la donn\'ee de $\aut(s)$ et de
$U_i$ (car $A_i\simeq {U_i! / \aut(s_i)}$).

\proclaim Proposition {1.17}. La composition de deux
esp\`eces mol\'eculaires est mol\'eculaire. De plus, si
$A$ et $B$ sont mol\'eculaires, $U$ est un ensemble fini et
$s\in (A\circ B)[U]$.
$$s = \left(\Pi, \alpha, {(\beta_\pi)}_{\pi\in\Pi}
\right)$$
Alors,
$$\forall f\in\aut(s), \forall \pi\in\Pi,\,
f(\pi)\in\Pi$$ et si, pour
$f\in\aut(s)$ on note $\overline f$ la permutation de
$\Pi$ induite par $f$, alors $$\forall f\in\aut(s),\,
\overline f \in\aut(\alpha)$$ $$\forall f\in\aut(s),
\forall\pi\in\Pi, \,f(\pi)=\pi \Rightarrow
(f_\pi\in\aut(\beta_\pi)\hbox{ et
}{(f_\pi)}_U\in\aut(s))$$ $$\aut(\alpha)=\{\,\overline f :
f\in\aut(s)\,\}$$ $$\forall \pi\in\Pi,\,
\aut(\beta_\pi)=\{\,f_\pi : f\in\aut(s)\hbox{ et
}f(\pi)=\pi\,\}.$$En particulier, $A$ est d\'etermin\'ee
\`a isomorphisme pr\`es par la donn\'ee de $\aut(s)$ et de
$\Pi$ et $B$ est d\'etermin\'ee \`a isomorphisme pr\`es
par la donn\'ee de $\aut(s)$ et d'un \'el\'ment $\pi$ de
$\Pi$.

\proclaim Th\'eor\`eme {1.18.} Crit\`ere de Yeh. Soit $M$
une esp\`ece mol\'eculaire.  Si $s\in M[U]$ et $V \subseteq
U$ sont tels que
$$\forall f\in \aut(s),\, f(V) = V$$
$$\forall f\in \aut(s),\, {(f_V)}_U \in \aut(s),$$
alors, on a un isomorphisme d'esp\`eces 
$$M \buildrel\sim\over\longrightarrow {V!\over H}\cdot
{(U\setminus V)!\over K}$$avec
$$H={\aut(s)}_V=\{\,f_V:f\in\aut(s)\,\}$$
$$K={\aut(s)}_{U\setminus V}=\{\,f_{U\setminus V} : 
f\in \aut(s)\,\}$$
$$\theta_W(t)=(\,f(V),f(U\setminus V),f_VH,f_{U\setminus
V}K\,), \hbox{ o\`u } f\colon U\to W \hbox{ est telle
que }M[f](s)=t.$$ 

\proclaim Th\'eor\`eme {1.19.} Th\'eor\`eme de Yeh. 
Les classes d'isomorphie d'esp\`eces forment un
semi-anneau isomorphe \`a ${\dj N}[[{\cal M}]]
\simeq {\dj N}{[[X_a]]}_{a\in{\cal A}}$ o\`u
${\cal M}$ est le mono\"\i de (pour $\cdot$) des classes
d'isomorphie d'esp\`eces mol\'eculaires et ${\cal A}$ est
l'ensemble des classes d'isomorphie d'esp\`eces atomiques.

\beginsection {2.\enspace Le lemme fondamental}.

Dans cette section, nous allons \'enoncer, illustrer et
enfin d\'emontrer le lemme que Ouellette utilise par la
suite pour d\'emontrer les lois de simplification pour les
esp\`eces mol\'eculaires.

Ces lois de simplification permettent ensuite de
voir que si $J$ est une esp\`ece atomique, $J\not=X$,
alors il existe une esp\`ece $P$ et une esp\`ece $M$,
uniques \`a iso\-mor\-phisme pr\`es, telles que
$$J \simeq P\circ M$$
$$P \hbox{ est primitive}$$
$$M \hbox{ est mol\'eculaire.}$$

En d\'ecomposant \`a son tour $M$ en produit d'esp\`eces	
atomiques (Th.~1.18) et en appliquant de nouveau le
proc\'ed\'e \`a celles qui ne sont pas isomorphes \`a
$X$, on obtient ainsi la \og d\'ecomposition
arborescente\fg{} mentionn\'ee en titre.

Voyons tout de suite l'\'enonc\'e du lemme fondamental
suivi d'un exemple. 

\def\pg{\par}
\proclaim Lemme {2.1}. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ des
esp\`eces mol\'eculaires et $\theta$ un isomorphisme
$$A\circ B \buildrel \sim \over \longrightarrow C\circ
D,$$
et soient
$$B=\prod_{i \in I}B_i$$
$$D=\prod_{k \in K}D_k$$
les d\'ecompositions de $B$ et $D$ en esp\`eces atomiques.
Soit $U$ un esnsemble fini tel que \pg\noindent
$(A\circ B)[U]
\not=\vide\not=(C\circ D)[U]$.  Soit $s\in (A\circ B)[U]$.
Posons $$s = \left(\Pi, \alpha, 
{({(\pi_i,\beta_{\pi_i})}_{i\in I})}_{\pi \in
\Pi}\right)$$ $$\theta_U(s)=\left(\Pi', \gamma,
{({(\pi'_k,\delta_{\pi'_k})}_{k\in K})}_{\pi' \in
\Pi'}\right).$$
Posons de plus, pour chaque choix de $\pi \in \Pi$ et 
$i\in I$: $$\Pi'_{\pi_i} =
\{\,\pi'\cap\pi_i:\pi'\in\Pi'\hbox{ et
}\pi'\cap\pi_i\not=\vide\,\}$$ et pour chaque choix de
$\pi' \in \Pi'$ et $k\in K$:
$$\Pi_{\pi'_k} =
\{\,\pi\cap\pi'_k:\pi\in\Pi\hbox{
et }\pi\cap\pi'_k\not=\vide\,\}.$$ 
Supposons enfin qu'il
existe au moins un choix de $(i,\pi,k,\pi')\in I\times
\Pi\times K\times \Pi'$ tel que
$\pi_i\cap\pi'_k\not=\vide$ et $\pi_i \not= \pi'_k$.
\pg\noindent
Alors une et une seule des propri\'et\'es suivantes est
v\'erifi\'ee
{\item{a.} Pour tout choix de $(i,\pi,k,\pi')\in I\times
\Pi\times K\times \Pi'$ tel que
$\pi_i\cap\pi'_k\not=\vide$ et $\pi_i \not= \pi'_k$, on a
$$\Pi'_{\pi_i}\subset\Pi' \hbox{ et }
\Card\left(\Pi'_{\pi_i}\right)\geq2.$$
En d'autres mots, chaque $\pi_i$ est r\'eunion d'au moins
deux \'el\'ements de $\Pi'$. 
\item{b.} Pour tout choix de $(i,\pi,k,\pi')\in I\times
\Pi\times K\times \Pi'$ tel que
$\pi_i\cap\pi'_k\not=\vide$ et $\pi_i \not= \pi'_k$, on a
$$\Pi_{\pi'_k} \subset \Pi \hbox{ et }
\Card\left(\Pi_{\pi'_k}\right)\geq2.$$ 
%\showthe\parindent\showthe\hangindent
En d'autres mots, chaque $\pi'_k$ est r\'eunion
d'au moins deux \'el\'ements de $\Pi$.\pg}

\noindent {\bf Un exemple.} Soient 
$$X \hbox{ l'esp\`ece {\sl Singleton}}$$
$$E_2 \simeq {X^2\over {\fr S}_2} \hbox{ l'esp\`ece {\sl
Ensemble \`a deux \'el\'ements\/} et}$$
$$C_3\simeq{X^3\over A_3} \hbox{ l'esp\`ece {\sl Cycle de
longueur 3}.}$$
\medskip
\hbox{
%\includegraphics[height=4.5cm]{ArondB.pdf}
}
\smallskip
\hbox{
%\includegraphics[height=4.5cm]{CrondD.pdf}
}
\bigskip\bigskip

\eject

\noindent La figure $A\circ B$ repr\'esente une des
26987494074303548957539873849344000000000 $A\circ B$
structures $s$ sur l'ensemble $U$ des 40 points noirs. La
partition $\Pi$ est form\'ee des deux colonnes, sur
l'ensemble desquelles il y a la structure d'ensemble \`a
deux \'el\'ements et sur l'ensemble des points de chacune
desquelles il y a une $B$ structure.  Pour chaque colonne
$\pi\in\Pi$, il y a trois \og$\pi_i$\fg{} ($\Card(I)=3$).
Pour fixer les id\'ees, posons $\Pi = \{\,\pi_g,\pi_d\,\}$
(pour gauche, droite) et $I=\{\,h,m,b\,\}$ (pour haut,
milieu, bas).

La figure $C\circ D$ repr\'esente la $C\circ D$ structure
$\theta_U(s)$ sur $U$. La partition $\Pi'$ est form\'ee
des huit colonnes sur l'ensemble desquelles il y a une 
structure d'esp\`ece $E_2\circ(X\cdot C_3)$ et sur les
points de chacune desquelles il y a une $C_3\cdot E_2$
structure.  Pour chaque colonne $\pi'\in\Pi'$, il y a
deux \og$\pi'_k$\fg{} ($\Card(K)=2$). Comme ci-dessus,
posons $\Pi'=\{\,\pi'_1,\ldots,\pi'_8\,\}$ (les colonnes de
gauche \`a droite) et $K=\{\,h,b\,\}$ (haut, bas).

Conform\'ement au lemme (cas a.), on voit que chaque
\og$\pi_i$\fg{} qui n'est pas \'egal \`a un
\og$\pi'_k$\fg{} (en l'occurence ${(\pi_g)}_b$ et
${(\pi_d)}_b$) est r\'eunion d'au moins deux (ici
exactement trois) \'el\'ements de $\Pi'$.  Ainsi
${(\pi_g)}_b=\pi'_2\cup\pi'_3\cup\pi'_4$. Un coup d'oeil
\`a la figure nous montre l'isomorphisme naturel $\theta$.
\medskip
\noindent{\bf preuve du Lemme 2.1.}\enspace Si \og
a.\fg{} est v\'erifi\'ee, alors
$$|B|\geq|B_i|\geq2\cdot|D|>|D|.$$ De m\^eme, si \og
b.\fg{} est v\'erifi\'ee, on a $|D|>|B|$ ce qui montre que
les deux conditions ne peuvent \^etre v\'erifi\'ees en
m\^eme temps.

Supposons les deux conditions fausses. Soient $(i,\pi,k,\pi')\in I\times
\Pi\times K\times \Pi'$ tel que
$\pi_i\cap\pi'_k\not=\vide$ et $\pi_i \not= \pi'_k$.

La n\'egation de \og a.\fg{} entra\^\i ne
$$(\exists x)(\exists\nu')(x\in\nu'\in\Pi'
\hbox{ et } x\notin\pi_i\hbox{ et }
\pi_i\cap\nu'\not=\vide)\hbox{ ou }
\pi'=\pi_i\eqno(1).$$En effet distinguons deux cas.

Dans le cas $\pi'\not\subseteq\pi_i$, on a $(\exists
x)(x\in\pi'\hbox{ et } x\notin\pi_i)$ et on conclut (1) en
posant $\nu'=\pi'$.

Dans le cas $\pi'\subseteq\pi_i$, si $\pi'=\pi_i$ il est
clair qu'on a (1).  Sinon $\pi'\not=\pi_i$, donc
$$\Card\left(\Pi'_{\pi_i}\right)\geq2.$$
et comme \og a.\fg{} n'est pas v\'erifi\'ee, on doit donc
avoir
$$\Pi'_{\pi_i}\not\subseteq\Pi'.$$
Il y a donc un $\nu'\in\Pi'$ tel que
$\nu'\cap\pi_i\not=\vide$ et $\nu'\cap\pi_i\notin\Pi'$.
Il ne reste plus qu'\`a prendre
$x\in\nu'\setminus\nu'\cap\pi_i$.

De fa\c con semblable, la n\'egation de \og b.\fg{} entra\^\i
ne
$$(\exists y)(\exists\nu)(y\in\nu\in\Pi
\hbox{ et } y\notin\pi'_k\hbox{ et }
\pi'_k\cap\nu\not=\vide)\hbox{ ou }
\pi=\pi'_k\eqno(2)$$.

Le cas $\pi'=\pi_i$ ne peut se produire car alors $D=B_i$
(prop.~1.16, 1.17 et fait que $\aut(s)=\aut(\theta_U(s))$
est atomique et donc $D=D_k$ et $\pi'=\pi'_k=\pi_i$
contredisant l'hypoth\`ese.  De m\^eme, le cas
$\pi=\pi'_k$ ne peut se produire.

Par (1) on a donc $$(\exists
x)(\exists\nu')(x\in\nu'\in\Pi' \hbox{ et }
x\notin\pi_i\hbox{ et } \pi_i\cap\nu'\not=\vide).$$
Choisissons un $l\in K$ tel que
$\pi_i\cap\nu'_l\not=\vide$.  Soit $\omega =
\pi_i\cap\nu'_l$.

Soit $g\in\aut(\beta_{\pi_i})$. Alors
$$\eqalign{
g_U&\in \aut(s)\cr 
g_U(x)&=\hbox to 3cm{$x$\hfil}\hbox{car $x\in\pi_i$ et
               $g_U$ est l'identit\'e hors de $\pi_i$}\cr
g_U(\nu')&=\hbox to 3cm{$\nu'$\hfil}\hbox{car $g_U$ pr\'eserve $\Pi'$ et $x\in
                 g_U(\nu')\cap\nu'$}\cr
g_U(\nu'_l)&=\hbox to 3cm{$\nu'_l$\hfil}\hbox{prop.~1;16}\cr
g_U(\pi_i)&=\hbox to 3cm{$\pi_i$\hfil}\hbox{car ${(g_U)}_{\pi_i} = g$}\cr
g_U(\omega)&=\hbox to 3cm{$g_U(\pi_i\cap\nu'_l) = \omega$\hfil}\cr
{(g_U)}_{\nu'_l}&\in\hbox to 3cm{$\aut(\nu'_l)$\hfil}\hbox{vu que
     $g_U(\nu')=\nu'$}\cr 
{\left({(g_U)}_{\nu'_l}\right)}_U&\in\hbox to 3cm{$\aut(s)$\hfil}\hbox{prop. 1.16
et 1.17}\cr
{\left({\left({(g_U)}_{\nu'_l}\right)}_U\right)}_{\pi_i}&=\hbox to 3cm{$
{(g_\omega)}_{\pi_i}\in\aut(\beta_{\pi_i})$\hfil}\hbox{prop.~1.16 
et 1.17}\cr}$$ 
Par le crit\`ere de Yeh, l'atomicit\'e
de $B_i$ est contredite si $\omega\not=\pi_i$. Donc
$\omega=\pi_i\subseteq\nu'_l$. Comme
$\pi_i\cap\pi'_k\not=\vide$, on a $\nu'_l=\pi'_k$ et
$\pi_i\subseteq \pi'_k$.

En raisonnant de fa\c con analogue \`a partir de
l'\'equation (2), on arrive \`a $\pi'_k\subseteq\pi_i$ ce
qui donne finalement $\pi_i=\pi'_k$, une contradiction
\`a l'hypoth\`ese $\pi_i\not=\pi'_k$.


\beginsection{3.\enspace Lois de simplification et
d\'ecomposition arborescente.}

Dans cette section, nous ferons un expos\'e sommaire des
r\'esultats conduisant \`a la d\'ecomposition
arborescente.

\proclaim Proposition {3.1}. Si $A$ est une esp\`ece
atomique et $H$ et $N$ sont des esp\`eces telles que
$A=H\circ N$, alors $H$ est atomique et $N$ est
mol\'eculaire.

La d\'emonstration est imm\'ediate.

\proclaim Prosposition {3.2.} Loi de simplification \`a
gauche. Si $A$, $B$ et $C$ sont des esp\`eces
mol\'eculaires telles que $A\circ B \simeq A\circ C$,
alors $B\simeq C$.

On d\'ecompose $B$ et $C$ en produits d'esp\`eces
atomiques. 
L'observation des car\-di\-na\-li\-t\'es nous conduit \`a montrer
que,  avec les notations du lemme fondamental,
chaque  \og$\pi_i$\fg{} est un \og$\pi'_k$\fg{} et que
chaque \og$B_i$\fg{} est un \og$C_k$\fg{} en vertu des
prop.~1.16 et~1.17.

\proclaim Proposition {3.3.} Loi de simplification \`a
droite.  Si $A$, $B$ et $C$ sont des esp\`eces
mol\'eculaires telles que $A\circ C \simeq B\circ C$,
alors $A\simeq B$.

Cette fois-ci, on montre d'abord le cas
$C=X^n$ et on montre ensuite, par r\'ecurrence sur le
degr\'e $n$ de $C$ que ce cas implique le cas g\'en\'eral.

Pour le cas $C=X^n$, avec les notations du lemme
fondamental, \og les $\pi_i$ et les $\pi'_k$ sont de
cardinalit\'e 1\fg{}.  On prend $s\in (A\circ X^n)[U]$ et
on \'etudie une relation d'\'equivalence sur l'ensemble
{\cal O} des orbites de l'action de $\aut(s)$ sur $U$, deux
orbites \'etant \'equivalentes s'il existe un \'el\'ement
$t$ du centralisateur de $\aut(s)$ dans $U!$ qui les
transpose et laisse fixes les autres orbites. On est
ainsi amen\'e \`a construire deux sous-groupes 
conjugu\'es $H$ et $K$ de $U!$, tels que $A\simeq {U!/H}$
et $B\simeq {U! / K}$ et on applique la proposition 1.13.

\proclaim Proposition {3.4.} D\'ecomposition arborescente.
Si $J$ est une esp\`ece atomique, $J\not=X$, alors il
existe une esp\`ece $P$ et une esp\`ece $M$, uniques \`a
isomorphisme pr\`es, telles que $$J \simeq P\circ M$$
$$P \hbox{ est primitive}$$
$$M \hbox{ est mol\'eculaire.}$$
En d\'ecomposant \`a son tour $M$ en produit d'esp\`eces	
atomiques (Th.~1.18) et en appliquant de nouveau le
proc\'ed\'e \`a celles qui ne sont pas isomorphes \`a
$X$, on obtient ainsi une \og d\'ecomposition
arborescente\fg{} de $J$.

Il est facile de voir par r\'ecurrence l'existence de $P$
et $M$.  Quant \`a l'unicit\'e, elle se d\'emonstre en
utilisant la r\'ecurence et les lois de simplification.
\medskip
Les esp\`eces $E_2$ et $C_3$ sont
primitives.
Dans l'exemple de la section
pr\'ec\'edente,  il est alors facile  de voir
la d\'ecomposition arborescente, c'est 
$$E_2\circ\left(C_3\cdot E_2\cdot(C_3\circ(C_3\cdot
E_2))\right).$$


\beginsection{4.\enspace Conclusion}

Les preuves fournies ou esquiss\'ees dans cet expos\'e
sont des adaptations de celles que Mario Ouellette a
fournies dans son m\'emoire de ma\^\i trise.

Mentionnons toutefois qu'il existe une autre
d\'emonstration ind\'ependente des lois de simplification
pour les esp\`eces mol\'eculaires due \`a Andr\'e Longtin
([Lon]) et faisant intervenir la th\'eorie des groupes.
On remarquera que Ouellette aussi, dans sa preuve
de la simplification \`a droite utilise des techniques de
groupes.


\beginsection{5.\enspace Bibliographie.}

{\setbox0=\hbox{[LaJ2]} \dimen0=\wd0 \advance\dimen0 by
10pt \parindent\dimen0
\item{[Joy]} Andr\'e Joyal, Une
th\'eorie combinatoire des s\'eries formelles, 
{\sl Adv.\ in Math.\ \bf 42} (1981), 1--82.

\item{[LaJ1]} Jacques Labelle, Applications diverses
de la th\'eorie combinatoire des esp\`eces de
structures, {\sl Ann.\ Sc.\ Math.\ Qu\'ebec \bf7}
(1983) 59--94.

\item{[LaJ2]} Jacques Labelle, Quelques esp\`eces sur
les ensembles de petite cardinalit\'e, {\sl Ann.\ Sc.\ 
Math.\ Qu\'ebec.\ \bf9} (1985) 31--58.

\item{[Lon]} Andr\'e Longtin, Lois de simplification pour
les esp\`eces mol\'eculaires. Com\-mu\-ni\-ca\-tion au colloque
des Sciences math\'ematiques du Qu\'ebec, Montr\'eal
(Automne 1987).

\item{[Oue]} Mario Ouellette, D\'ecomposition des
esp\`eces mol\'eculaires en for\^ets d'ar\-bo\-rescences
d'es\-p\`e\-ces primitives, M\'emoire de ma\^\i trise,
Universit\'e du Qu\'ebec \`a Montr\'eal. (1987)

\item{[Yeh]} Yeong-Nan Yeh, On the Combinatorial
Species of Joyal, Ph.D.\ Thesis, State University
of New York at Buffalo.~(1985)

}



\end