%This is a plain TeX file that produces 15 output pages. {\catcode`\^^M=\active % \gdef\adrbox{\catcode`\^^M=\active % \def^^M{\egroup\hbox\bgroup}}} \def\adresse{\par\nobreak% \vskip 24pt plus 6pt minus 3pt% \hbox to \hsize\bgroup\hfill% \def\fin{\egroup\egroup\hskip2em\egroup\vfill\eject}% \adrbox\vbox\bgroup\hbox\bgroup} \def\fin{\vfill\eject} \catcode'32=9 \magnification=1200 \voffset=1cm \hoffset=0cm %\hoffset=1cm \font\tenpc=cmcsc10 %\font\eightpc=cmcsc8 % Charge des fontes de 8 et 6 points : \font\eightrm=cmr8 \font\eighti=cmmi8 \font\eightsy=cmsy8 \font\eightbf=cmbx8 \font\eighttt=cmtt8 \font\eightit=cmti8 \font\eightsl=cmsl8 \font\sixrm=cmr6 \font\sixi=cmmi6 \font\sixsy=cmsy6 \font\sixbf=cmbx6 \skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177 \skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60 % Chargement des fontes AMS \font\tengoth=eufm10 \font\tenbboard=msbm10 \font\eightgoth=eufm8 \font\eightbboard=msbm8 \font\sevengoth=eufm7 \font\sevenbboard=msbm7 \font\sixgoth=eufm6 \font\fivegoth=eufm5 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HELVERSEN-PASOTTO} \titrecourant={GAUSSCHE SUMMEN} %\raggedbottom {\eightpoint \noindent S\'eminaire Lotharingien de Combinatoire, B33f (1994) } \vskip-10pt \vskip 1.5cm \centerline{{\bf GAUSSCHE SUMMEN \"UBER ENDLICHEN K\"ORPERN}} \vskip 5pt \centerline{{\bf UND GAMMA FUNKTION}} \vskip 2.8mm \centerline{\sevenrm VON} \vskip 2.8mm \centerline{{\petcap Anna} HELVERSEN-PASOTTO} \vskip 1cm \abstract{Gaussian Sums over finite fields are analogous to values of the gamma function as can be seen via the Eulerian integral for the Gamma function. This seems to have been known to Gauss already; this seems to have been for him one of the reasons to introduce these sums. Nevertheless it has been astonishing for several authors to discover identities for Gaussian sums which bear a strong formal analogy with classical identities for the gamma function; also a $p$-adic gamma function has been invented and many of the well known classical identities have been shown to admit $p$-adic analogs. The aim of these lectures is to give an introduction to the subject discussing some identities, giving some proofs and pointing out relations to the representation theory of the general linear group of a finite field (Hecke algebras). The analogy between binomial coefficients and Jacobi sums leading to hypergeometric functions over finite fields is mentioned.} \titre Inhalt| \item{1.} Einleitung \item{2.} Gaussche Summen \"uber endlichen K\"orpern \item{3.} Analogie zur Gammafunktion \item{4.} Identit\"aten \item{5.} Binomialkoeffizienten, Jacobisummen und hypergeometrische Funktionen \"uber endlichen K\"orpern \item{6.} Darstellungen von $GL(n,F _ q )$ und Identit\"aten von Gausschen Summen \item{7.} Heckealgebren und Identit\"aten \section 1. Einleitung|Eine Gaussche Summe $G(A)$ ist eine gewisse komplexe Zahl, die einem multiplikativen Charakter~$A$ eines endlichen K\"orpers zugeordnet wird; die genaue Definition wird im n\"achsten Abschnitt angegeben. Diese Zahlen $G(A)$ verhalten sich in mancher Beziehung \"ahnlich wie die Werte $\Gamma(a)$ der Gammafunktion; z.B. bestehen zwischen solchen Gausschen Summen Beziehungen, die eine starke Analogie zu klassischen Identit\"aten f\"ur die Gammafunktion aufweisen. Einige dieser Identit\"aten werden im vierten Abschnitt diskutiert. Das Eulersche Integral f\"ur die Gammafunktion gibt einen Hinweis f\"ur das Verst\"andnis dieser Analogien (siehe Abschnitt 3). Eine Theorie hypergeometrischer Reihen f\"ur den Fall endlicher K\"orper l\"asst sich auf einer Analogie zwischen Binomialkoeffizienten und Jacobisummen aufbauen (siehe Abschnitt 5). Bei Wahl einer geeigneten Basis f\"ur eine irreduzible Darstellung der allgemeinen linearen Gruppe eines endlichen K\"orpers treten in den matriziellen Koeffizienten Gaussche Summen auf; die Relationen zwischen Gruppenelementen f\"uhren zu Identit\"aten zwischen Gausschen Summen; manch ein Analogon einer klassischen Identit\"at l\"asst sich so ``erkl\"aren", und umgekehrt kann man versuchen, durch diese Betrachtungsweise neue Identit\"aten zu gewinnen. Dies ist der Inhalt von Abschnitt~6 und~7. Nur wenige Beweise werden angegeben; meist wird auf die Bibliographie verwiesen, wie auch f\"ur historische Hinweise. Dies erm\"oglicht, diese Vortr\"age auf nicht allzuvielen Seiten unterzubringen. Die Verfasserin dankt den Organisatoren f\"ur diese angenehme Gelegenheit, zum Teil auch \"uber ihre eigenen Forschungsresultate vorzutragen. \section 2. Gaussche Summen \"uber endlichen K\"orpern|Im Blick auf eine eventuelle Behandlung dieses Themas durch formales Rechnen (mit Maple, Reduce oder Mathematika\dots\thinspace) m\"ochte ich ein paar einfache Beweise ausf\"uhrlich angeben. In allem folgendem wird ein einfaches Lemma immer wieder angewendet. \th Lemma 1|Sei $G$ eine endliche Gruppe, sei $\ord(G)$ die Anzahl der Elemente von $G$ ; sei $A : G \rightarrow \bbC^{\times}$ ein Gruppenmorphismus von $G$ in die multiplikative Gruppe $\bbC^{\times}$ des K\"orpers $\bbC$ der komplexen Zahlen ; dann gilt $$ \sum _ {g\in G} A(g)=\delta(A) \ord(G)\,; $$ dabei ist das Kroneckersymbol $\delta(A)$ gleich $1$, falls $A$ konstant vom Wert ist, anderenfalls gleich Null. \finth Wir m\"ochten einen einfachen und wohlbekannten Beweis angeben: Wenn alle Werte von A gleich Eins sind, so ist nat\"urlich die Summe aller $A(g)$ \"uber $g$ aus $G$ gleich der Anzahl $\ord(G)$ der Elemente von~$G$. Anderenfalls gibt es ein $x$ in $G$, so dass $A(x)\not=1$ ; man hat $$\displaylines{ \sum _ {g\in G} A(g) = \sum _{g\in G} A(xg) = A(x) \sum _ {g\in G} A(g) , \cr \noalign{\hbox{und es folgt}} (1 - A(x)) \sum _ {g\in G} A(g) = 0 ; \cr} $$ weil $1-A(x) \not=0$, folgt weiter $\sum\limits _ {g\in G} A(g)=0$, was zu beweisen war. \goodbreak Sei nun $p$ eine Primzahl, dann ist $F _ p =\bbZ /p\bbZ$ ein endlicher K\"orper; wie \"ublich, bezeichnet $\bbZ$ den Ring der ganzen Zahlen. Sei $F _ p^+$ die additive Gruppe von $F _ p$ ; durch $$\eqalign{F _ p^+&\rightarrow \bbC^*\cr k \bmod p &\mapsto \exp (2\pi ik/p)\cr} $$ wird ein Gruppenmorphismus definiert. Sei nun $n\in \bbZ$, $n\ge 1$, $q = p^n$ ; man weiss, dass es bis auf Isomorphie genau einen endlichen K\"orper $F _ q$ mit $q$ Elementen gibt, und man kennt die Spurabbildung $$\eqalignno{\Spur : F _ q&\rightarrow F _ p\cr x&\mapsto x + x^p + \cdots + x^{p^{n-1}}.\cr \noalign{\hbox{Durch}} E : F _ q^+&\rightarrow \bbC^\times\cr x&\mapsto \exp(2\pi \Spur(x)/p)\cr} $$ wird ein Gruppenmorphismus von der additiven Gruppe $F _ q^+$ in die multiplikative $\bbC^\times$ definiert; dieser ist nicht konstant vom Wert Eins, man sagt nichttrivial. Man nennt $E$ den kanonischen nichttrivialen additiven Charakter von $F _ q$. Die Werte von $E$ sind $p$-te Einheitswurzeln. Man betrachtet die multiplikative Gruppe $F _ q^\times$ von $F _ q$ und Gruppenmorphismen $A :F _ q^\times \rightarrow \bbC^\times$ genannt multiplikative Charaktere von $F _ q$. Man definiert die {\it Gaussche Summe} $G(A)$ als $$ G(A) = \sum _ {t\in F _ q^\times} E(t) A(t). $$ Da $F _ q^\times$ eine Gruppe von $q-1$ Elementen ist, ist jedes $A(t)$ eine $(q-1)$-te Einheitswurzel, $E(t) A(t)$ ist eine $p(q-1)$-te Einheitswurzel, und $G(A)$ ist ein Element des algebraischen Zahlk\"orpers $\bbQ(\exp(2(\pi i/(p(q-1)))$, der aus dem K\"orper $\bbQ$ der rationalen Zahlen durch Adjunktion der $p(q-1)$-ten Einheitswurzeln entsteht. Wir wollen ein paar einfache Eigenschaften von Gausschen Summen beweisen: \decale{(1)}|Der absolute Betrag der Gausschen Summe $G(A)$ ist gleich der Quadratwurzel von $q$, falls $A$ nicht konstant vom Wert Eins ist. \decale{(2)}|Ist hingegen $A$ konstant vom Wert Eins, so ist $G(A) = -1$. \decale {(3)}|F\"ur zwei multiplikative Charaktere $A _ 1$ und $A _ 2$, deren Produkt nicht konstant vom Wert 1 ist, hat man $$ G(A _ 1) G(A _ 2) = B(A _ 1,A _ 2) G(A _ 1A _ 2) ; $$ hierbei bezeichnet $B(A _ 1,A _ 2)$ die Jacobisumme von $A _ 1$ und $A _ 2$ ; diese ist folgendermassen definiert: $$ B(A _ 1,A _ 2) =\sum _ {\scriptstyle x+y=1 \atop \scriptstyle x,y \in F _ q^\times} A _ 1(x) A _ 2(y). $$ Beweis von (1) : $$ \eqalign{ \overline{G(A)} G(A) & = \sum _ {s\neq 0} \overline{E(s)}\, \overline{A(s)} \sum _ {t\neq 0} E(t) A(t) = \sum _ {s, t\neq 0} E(t-s) A(s^{-1} t)\cr & = \sum _ {u,s\neq 0} E(s(u-1)) A(u) =\sum _ {u\neq 0} A(u) \sum _ {s\neq 0} E(s(u-1)).\cr }$$ Nun wendet man Lemma 1 auf den folgenden Gruppenmorphismus an: $$\displaylines{ \eqalign{F _ q ^+ & \longrightarrow \bbC^{\times}\cr s & \longmapsto E(s(u-1))\cr}\cr \noalign{\hbox{und erh\"alt so}} \sum _ {s\in F _ q ^+} E(s(u-1)) = \cases{q,&f\"ur $u=1$ ;\cr 0,&f\"ur $u\neq 1$ ;\cr}\cr \noalign{\hbox{und weiter}} \sum _ {s\neq 0} E(s(u-1)) = \cases{ q-1,&f\"ur $u=1$ ;\cr -1,&f\"ur $u\neq 1$.\cr }\cr} $$ Es folgt $\overline{G(A)} G(A) = (q -1)- \sum _ {u\neq 0,1} A(u)$ ; man wendet nochmal Lemma 1 an, diesmal f\"ur den Morphismus $A : F^\times \to \bbC ^\times$ und erh\"alt $$\displaylines{ \sum _ {u\neq 0} A(u) = \cases{q-1,&f\"ur $A$ konstant gleich 1 ;\cr 0,&anderenfalls ;\cr}\cr \noalign{\hbox{das heisst}} \sum _ {u\neq 0,1} A(u) = \cases{ q-2,&f\"ur $A$ konstant gleich 1 ;\cr -1,&anderenfalls.\cr}\cr \noalign{\hbox{Es folgt nun}} \overline{G(A)} G(A) = \cases{ q,& f\"ur $A$ nicht konstant gleich 1 ;\cr 1,&anderenfalls ;\cr }\cr} $$ und damit ist (1) bewiesen. Beweis von (2) : Nach Lemma 1 hat man $\sum _ {t\in F^+ _ q} E(t) = 0$ ; es folgt $\sum _ {t\neq 0} E(t)=-1$; f\"ur $A$ konstant gleich Eins ist $G(A) = \sum _ {t\neq 0} E(t)$, also $G(A)=-1$. \medskip Beweis von (3) : $$\eqalignno{ G(A _ 1) G(A _ 2)& = \sum _ {t _ 1, t _ 2\neq 0} E(t _ 1+t _ 2) A _ 1(t _ 1) A _ 2(t _ 2)\cr & =\sum _ {u,t _ 2 \neq 0} E((u+1)t _ 2) (A _ 1 A _ 2) (t _ 2) A _ 1 (u)\cr & =\sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1 (u) \sum _ {t\neq 0} E((u+1)t) (A _ 1A _ 2)(t) + A(-1) \sum _ {t\neq 0} (A _ 1 A _ 2)(t).\cr }$$ Da $A _ 1A _ 2$ nach Voraussetzung nicht konstant gleich Eins ist, findet man mit Lemma 1, dass der letzte Summand gleich Null ist. Durch Umparametrieren $(u+1)t = s$ erh\"alt man: $$ \eqalignno{ G(A _ 1) G(A _ 2) & = \sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1(u) \sum _ {s\neq 0} E(s) (A _ 1 A _ 2)((u+1)^{-1} s)\cr & =\sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1(u)(A _ 1A _ 2)^{-1} (u+1) \sum _ {s\neq 0} E(s) (A _ 1A _ 2)(s)\cr & = G(A _ 1A _ 2) \sum _ {u\neq 0,-1} A _ 1\Bigl({u \over u+1}\Bigr) A _ 2 \Bigl({1\over u+1}\Bigr)\cr & = G(A _ 1 A _ 2) \sum _ {\scriptstyle x,y\neq 0\atop \scriptstyle x+y =1} A _ 1 (x) A _ 2 (y)\cr & = G(A _ 1 A _ 2) B(A _ 1,A _ 2),\cr }$$ was zu beweisen war. \section 3. Analogie zur Gammafunktion|Die Eulersche Integralformel $$ \Gamma (a) =\int _ 0 ^\infty e^{-t} t^{a-1} dt,\quad a>0, $$ zeigt eine Analogie von Gammafunktion und Gausschen Summen $$ G(A) = \sum _ {t\in F^\times _ q} E(t) A(t) $$ auf: offenbar verh\"alt sich $t\mapsto e^{-t}$ additiv $(e^{-(s+t)}=e^{-s} e^{-t})$ und $t\mapsto t^{(a-1)}$ multiplikativ $(\, (st) ^{a-1} = s^{a -1} t^{a- 1}\, )$ ; die Integration entspricht der Summation. Die klassische Betafunktion $$\displaylines{ B(a _ 1, a _ 2) =\int _ 0 ^1 t^{a _ 1 -1} (1-t)^{a _ 2-1} dt\cr \noalign{\hbox{entspricht den Jacobisummen}} B(A _ 1,A _ 2) = \sum _ {t\neq 0,1} A _ 1(t) A _ 2(1 t),\cr \noalign{\hbox{und die klassische Identit\"at}} \Gamma (a _ 1) \Gamma (a _ 2) = B(a _ 1, a _ 2)\Gamma (a _ 1+a _ 2), \quad a _ 1, a _ 2 >0,\cr} $$ f\"ur Gamma und Betafunktion entspricht der im vorangehenden Abschnitt bewiesenen Identit\"at zwischen Gausschen Summen und Jacobisummen $$ G(A _ 1) G(A _ 2) = B(A _ 1,A _ 2) G(A _ 1A _ 2) , \quad A _ 1 A _ 2\ \hbox{\rm nichttrivial}. $$ Es stellt sich ganz nat\"urlich die Frage: Wie sieht es mit anderen klassischen Identit\"aten aus ? Lassen diese sich auf den ``endlichen" Fall \"ubertragen? In der Tat $$\displaylines{ \sin(\pi a) \Gamma (a) \Gamma (1-a) = \pi \cr \noalign{\hbox{l\"asst sich in}} A(-1) G(A) G(A ^{-1}) = q ,\quad A \ \hbox{\rm nichttrivial},\cr \noalign{\hbox{wiedererkennen; der Spezialfall $a=1/2$}} \Gamma (1/2)^ 2 = \pi \cr \noalign{\hbox{entspricht}} Q( -1) G(Q)^2 = q,\cr} $$ wobei $Q$ den quadratischen Charakter bezeichnet, $Q(x) = 1$, falls $x$ ein Quadrat in $F _ q$ ist, anderenfalls $Q(x) =- 1$ ; w\"ahlt man einen Teich\-m\"ullercharakter $\tau $, d.h. einen Erzeugenden f\"ur die Gruppe der multiplikativen Charaktere von $F _ q$, so hat man $$ Q=\tau ^{({q-1})/2} $$ f\"ur ungerades $q$; f\"ur gerades $q$ ist $Q$ der triviale Charakter (jedes Element von $F _ q$ ist ein Quadrat). Die Gaussche Multiplikationsformel $$\displaylines{ \prod _ {j=1} ^{k-1} {{\Gamma (a+j/k)}\over {\Gamma (j/k)}} =k^{-ak} {{\Gamma (ak+1)}\over {\Gamma (a+1)}}\cr \noalign{\hbox{entspricht der Multiplikationsformel von Hasse und Davenport :}} \prod _ {j=1} ^{k-1} {{G(a+j(k-1)/k)}\over {G(j(q-1)/k)}} = \tau (k)^{-ak} {{G(ak)}\over {G(a)}},\quad k/q-1 ;\cr} $$ hierbei ist abk\"urzend geschrieben $G(m$) f\"ur $G(\tau ^ m)$ unter Benutzung eines Teichm\"ullercharakters $\tau $. Die Duplikationsformel (Spezialfall $k=2$) $$\displaylines{ {{\Gamma (a+1/2)}\over {\Gamma (1/2)}} = 4^{-a} {{\Gamma (2a+1)}\over {\Gamma (a+1)}}\cr \noalign{\hbox{entspricht}} {{G(AQ)}\over {G(Q)}}=A^{-1} (4) {{G(A^2)}\over {G(A)}}.\cr} $$ \section 4. Weitere Identit\"aten|Anfang des Jahrhunderts wurde von Barnes beim Studium der L\"osungen der hypergeometrischen Differentialgleichung das folgende Lemma bewiesen (Barnes' First Lemma) : $$\displaylines{\qquad {1\over 2 \pi i} \int _ {-i \infty} ^{+i \infty} \Gamma (a _ 1 +s) \Gamma (a _ 2 -s) \Gamma (a _ 3 +s) \Gamma (a _ 4 -s)\, ds \hfill\cr \noalign{\vskip-5pt} \hfill{} ={{\Gamma (a _ 1 +a _ 2) \Gamma (a _ 2 + a _ 3) \Gamma (a _ 3 + a _ 4) \Gamma (a _ 4 + a _ 1)} \over {\Gamma (a _1 + a _ 2 + a _ 3 + a _ 4)}}\qquad\cr} $$ unter gewissen Einschr\"ankungen an die Wahl des Integrationsweges und an die vier komplexen Zahlen $a _ 1, a _ 2, a _ 3$ und $a _ 4$. {\overfullrule=0pt \indent\indent Beim Studium der Gelfand-Graevschen Darstellung der Gruppe\break $GL(2, F _ q)$ stiess 1978 die Verfasserin auf das folgende Lemma f\"ur Gaussche Summen: $$ \displaylines{\qquad {1\over q -1} \sum _ {S \in X} G(A _ 1 S) G(A _ 2 S^{-1}) G(A _ 3 S)G(A _ 4 S^{-1}) \hfill\cr \noalign{\vskip-5pt} \hfill{} = {{G(A _ 1 A _ 2) G(A _ 2 A _ 3) G(A _ 3 A _ 4) G(A _ 4 A _ 1)}\over {G(A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4)}};\qquad\cr }$$ hier ist mit $X$ die Menge (Gruppe) der multiplikativen Charaktere von $F _ q$ bezeichnet; $A _ 1, A _ 2, A _ 3, A _ 4$ sind in $X$, und es wird vorausgesetzt, dass das Produkt $A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4$ nicht konstant gleich Eins ist (anderenfalls kann die Identit\"at aber leicht korrigiert werden durch Hinzuf\"ugen eines Kroneckersymbols $\delta (A _ 1 A _ 2 A _ 3 A _ 4)$ multipliziert mit gewissen Konstanten und Charakterwerten). \indent\indent Dieses Lemma entspricht den Darstellungen der Hauptreihe von\break $GL(2,F _ q)$; die diskrete Reihe hingegen f\"uhrt zu einer Identit\"at, in der multiplikative Charaktere des K\"orpers $F _ {q^2}$ von $q^2$ Elementen vorkommen (quadratische Erweiterung von $F _ q$); f\"ur alles genauere sei auf die Artikel [HP 78], [HP 86] und [HP 91] verwiesen. F\"ur einen kurzen direkten Beweis dieses Lemmas, der im wesentlichen nur Lemma 1 benutzt, sei auf [HP 93] verwiesen. F\"ur einen kompliziertern Beweis der aber gleichzeitig auch einen neuen Beweis des klassischen Barnes' First Lemma liefert \"uber Umparametrisierungen in den Integralformeln sei auf [HP-PS 93] verwiesen. Es sei dieser Abschnitt abgeschlossen mit einem kurzen Bericht \"uber die ber\"uhmte Selbergsche Integralformel und ihr ``endliches Analogon". Diese Formel ist eine Verallgemeinerung der Identit\"at zwischen Gamma und Betafunktion und wurde 1944 von Selberg ver\"offentlicht: $$ \displaylines{\qquad \int _ 0 ^1 \dots \int _ 0 ^1 (t _ 1 \dots t _ n) ^{a-1} (( 1-t _ 1) \dots (1-t _ n))^{b-1} \Delta _ n ^c\, dt _ 1 \dots dt _ n\hfill\cr \noalign{\vskip-5pt} \hfill{} = n ! \prod _ {j+0} ^{n-1} {{\Gamma (a+jc) \Gamma (b+jc) \Gamma (c+jc)} \over {\Gamma (c) \Gamma (a+b+c(n+j-1)}}, \qquad\cr \noalign{\vskip-7pt}} $$ wobei ${\rm Re}(a)$, ${\rm Re}(b)$, ${\rm Re}(c) > 0$ und $\Delta _ n =\displaystyle \prod _ {1\le i\le j\le n} (t _ i-t _ j)^2$. } Schon damals besch\"aftigte sich Selberg mit Analogien f\"ur Gaussche Summen und bewies gewisse Identit\"aten, ohne diese zu ver\"offentlichen [Ev 81]. Erst 1990 wurde die folgende allgemeine Formel f\"ur Gaussche Summen bewiesen $$ \displaylines{\qquad \sum _ {F} \tau ((-1)^{na} F(0) ^a F(1)^b \Delta ^c _ F) Q(\Delta _ F)\hfill\cr \noalign{\vskip-5pt} \hfill{}= \prod _ {j=0} ^{n-1} { {G'(a+jc) G'(b+jc) G'(c+jc)} \over {G'(c) G'(a+b+c(n+j-1)}}, \qquad\cr }$$ wobei summiert wird \"uber alle unit\"aren Polynome $F$ \"uber $F_ q$ vom Grad $n$ und wobei $\Delta _ F$ die Diskriminante von $F$ bezeichnet; wie in den vorangehenden Abschnitten bezeichnet $\tau $ einen Teichm\"ullercharakter und $Q$ den quadratischen Charakter von $F _ q$ ; die ganzen Zahlen $a, b$ und $c$ unterliegen gewissen Einschr\"ankungen; die Gausschen Summen $G'(m)$ sind im wesentlichen die Gausschen Summen des multiplikativen Charakters $\tau ^{- m}$ f\"ur ganze Zahlen $m$; f\"ur alle Einzelheiten und Beweise sei auf [An 90] und [Ev 91] verwiesen. Die Besch\"aftigung mit dem ``endlichen Analogon" hat Anderson zu einem neuen kurzen Beweis der urspr\"unglichen Selbergschen Integralformel gef\"uhrt [An 91] . Diese Art von Resultaten kann man wohl als ``Rechtfertigung" des Interesses f\"ur den endlichen Fall auffassen, falls man solch eine braucht. Eine geometrische Interpretation der ``Selberg Evans Summe" (linke Seite der vorangehenden Formel) und ein kohomologischer Beweis der Formel wurde von Denef und Loeser gefunden [De-Lo 94]. \section 5. Binomialkoeffizienten, Jacobisummen und hyper\-geo\-me\-trische Funktionen \"uber endlichen K\"orpern|F\"ur ganze Zahlen, gr\"osser Null, ist $\Gamma (n) = (n-1) !$, und man kann die Gausschen Summen $G(A)$ in Analogie zu n! sehen. Sei, wie im vorangehenden Abschnitt mit $X$ die Gruppe der multiplikativen Charaktere von $F _ q$ bezeichnet. Wir wollen ``Binomialkoeffizienten" $\displaystyle {A\choose S}$ definieren f\"ur $A$ und $S$ in $X$. F\"ur $n, k$ ganze Zahlen, $0