\documentstyle[emlines,bezier,12pt,german,dina4]{article}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\bce}{\begin{center}}
\newcommand{\ece}{\end{center}}
\begin{document}
\begin{center}
{\huge{\bf Ein einfacher Algorithmus zur Berechnung des charakteristischen
Polynoms und der Eigenvektoren eines hexagonalen Bandes}}\\[9em]
\end{center}
\noindent
{\large Peter E. John \\
Technische Universit�t Ilmenau\\
Institut f�r Mathematik \\
Postfach 327 \\
98684  Ilmenau}\\[6em]
{\bf Abstract:} We give an algorithm based on a general graph 
theoretical procedure for solving systems of linear equations (see \cite
{14}). The algorithm allows the eigenvalues and eigenspaces (eigenvectors)
of any hexagonal tape to be simultaneously calculated.

\newpage
\section {Einleitung}
\subsection {Definitionen und Bezeichnungen}
Es seien $G = (V,E)$ ein Graph mit der Knotenpunktmenge $V = V(G) = 
\{v_1, v_2,...,v_n\}$ und der Kantenmenge $E = E(G),~ A = A(G)$ seine
0 - 1 - Adjazenzmatrix und $I = I(G)$ eine $n \times n -$Einheitsmatrix.
Das charakteristische Polynom
\begin{equation}
P_A(\lambda) = det (\lambda I - A) 
\end{equation}
wird als das {\bf charakteristische Polynom} $P_G(\lambda)$ von $G$
bezeichnet.\\
$\lambda_0$ hei�e {\bf Eigenwert} von $G$ genau dann, wenn
\begin{equation}
P_G(\lambda_0) = 0
\end{equation}
ist.\\
Ein Vektor $\underline{x}_0 = \underline{x}(\lambda_0)$ hei�e ein
{\bf zu $\lambda_0$ geh�render Eigenvektor} von $G$, falls
\begin{equation}
(\lambda_0 \cdot I - A) \cdot \underline{x}_0 = \underline{0}
\end{equation}
gilt, wobei $ \underline {0} = \underline {0}(G)$ einen n-dimensionalen
Nullvektor darstellt.\\
$\underline {x}_0$ hei�e {\bf normiert}, falls
\begin{equation}
\mid \underline{x}_0 \mid = 1.
\end{equation}
Unter $\varepsilon$ verstehen wir die euklidische Ebene, in welcher eine
Richtung als ``Vertikale'' ausgezeichnet ist.\\[1em]
\bce
\input ab1.pic
\ece
Eine {\bf hexagonale Zelle} (kurz: {\bf Zelle}) ist ein
geschlossenes ebenes Gebiet, welches durch ein regul�res Sechseck der
Seitenl�nge eins berandet wird.\\
Ein {\bf hexagonales System} (HS) ist ein zweifach zusammenh�ngender
in $\varepsilon$ eingebetteter Graph, dessen endliche Gebiete Zellen sind,
wobei einige Kanten parallel zur gedachten Vertikale verlaufen (s. Abb. 1).\\
Es ist zweckm��ig, sich die Knotenpunkte eines HSs wei� und schwarz gef�rbt
zu denken, und zwar derart, da� jede Kante einen wei�en mit einem schwarzen
Knotenpunkt verbindet und da� der h�chste Punkt jeder Zelle wei� ist 
(Abb. 1).\\
Ein {\bf Gipfel} ({\bf Tal}) eines HSs ist ein wei�er
(schwarzer) Knotenpunkt, dessen Nachbarn s�mtlich tiefer (h�her) liegen als
er selbst (Abb. 1).\\
Graph $G$ hei�e {\bf trivialer Graph}, falls $n = \mid V \mid = 1$
und $E = \emptyset$ sind.
   
\subsection {Chemischer Bezug}
Die Strukturformel eines benzenoiden Kohlenwasserstoffes (K) besteht aus
einem hexagonalen System $H$, welches durch die Kohlenstoffatome 
aufgespannt wird, und aus h�ngenden Kanten, so da� jedes Kohlenstoffatom,
welches genau einer Zelle (oder mehr als einer Zelle) angeh�rt, mit genau
einem Wasserstoffatom (oder mit keinem Wasserstoffatom) verbunden ist
(Abb. 2); $H$ werde als {\bf Skelett} von $K$ bezeichnet.\\[1ex]
\bce
\input ab2.pic
\ece
Nach dem H�ckel-Modell \cite{1, 2} repr�sentiert $H$ das sogenannte $\sigma-$
Elektronenskelett von $K$, w�hrend au�erdem jedes Kohlenstoffatom (von $K$)
genau ein (energiereicheres, beweglicheres) $\pi-$Elektron zur 
Bindungsbildung in $K$ beisteuert. Die Energien dieser $\pi-$Elektronen von
$K$ entsprechen den Eigenwerten und deren Verteilung �ber dem $\sigma-$
Skelett wird durch die Eigenvektoren von $H$ beschrieben (siehe z. B. 3 - 6).
Dieser Sachverhalt ist insbesondere f�r gro�e Molek�le $K$  von Interesse,
wobei in dieser Arbeit neuartige Kohlenwasserstoffe - sogenannte Tubulene
(7 - 12), die im Zusammenhang mit Fullerenen auftreten, den Hintergrund
bilden.\\
An dieser Stelle wollen wir uns auf chemisch interessierende Strukturen
beschr�nken, wobei die im folgenden Abschnitt beschriebenen hexagonalen
B�nder lediglich einen kleinen Ausschnitt aus einer allgemeineren Klasse
von (hexagonalen) B�ndern repr�sentieren.

\section {Hexagonale B�nder}
Es sei $\underline {H}$ die Menge aller HSe.\\
Zur Beschreibung der hier interessierenden Strukturen ben�tigen wir neben
$\underline {H}$ eine weitere Graphenmenge.\\[1ex]
\bce
\input ab3.pic
\ece
Unter einer {\bf in $\varepsilon$ (horizontal) liegenden Zick-Zack-
Linie} wollen wir einen Weg Z verstehen, dessen Kanten folgenderma�en
angeordnet sind: Jede Kante ist Seite eines gedachten Sechseckes und die
Kantenmittelpunkte liegen auf einer gedachten Horizontalen (Abb. 3). Unter
der {\bf L�nge} $l = l(Z)$ des Weges $Z$ wollen wir die Anzahl seiner
Kanten verstehen. Die Menge aller in $\varepsilon$ horizontal angeordneten
Zick-Zack-Linien sei $\underline {Z}$.\\
Das HS $H \in \underline {H}$ habe $g = g(H)$ Gipfel, $t = t(H)$ T�ler,
$h = h(H)$ Zellen und $q = q(H)$ horizontal angeordnete Zick-Zack-Linien
$Z_i = Z(z_i,z_i'),~ i = 1,2,...,q,$ mit den Endpunkten $z_i, z_i'$ - wie
in Abb. 1 zu sehen. Zur Konstruktion hexagonaler B�nder w�hlen wir aus 
$\underline {H}$ folgende HSe aus (siehe Abb.1):\\
$R = R(g = t, q) -$ ein rechteck�hnliches HS und\\
$P = P(g = t, q) -$ ein parallelogramm�hnliches HS, wobei $g \ge 1, q \ge 2.$\\
Offensichtlich ist $h(R) = h(P) = g \cdot (q - 1).$\\
Die Gipfel (T�ler) von $R, P$ seien von links nach rechts mit $x_1, x_2,...,
x_g~ (y_1, y_2, ..., y_{t=g})$ bezeichnet. Es sei $H = P$ (Falls $H = R,$
so kann ganz analog verfahren werden).\\[1ex]
\bce
\input ab4.pic
\ece
{\bf 1. Fall} (s. Abb. 4)\\
In $H$ denken wir uns oberhalb bzw. unterhalb von $\varepsilon$ insgesamt
$r = 1,2,...,g=t$ Kanten\\
$e_i' = e'(x_{a+i}, y_{b+i})$\\
bzw.\\
$\overline {e}_i = \overline {e} (x_{a+i}, y_{b+1+r-i})$\\
mit $a,b = 0,1,...,g-r$ und $i = 1,2,...,r$ eingef�gt. Auf diese Weise
erhalten wir ein hexagonales Band $B_{a/b}^r = B_{a/b}^r(H)$ bzw.
$\overline {B}_{a/b}^r = \overline {B}_{a/b}^r(H)$ mit $h(B_{a/b}^r) =
h(\overline {B}_{a/b}^r) = g \cdot (q-1) + (r - 1)$ (r�umlich gesehenen)
Sechsecken. F�r $r = 1$ ist $B_{a/b}^1 = \overline {B}_{a/b}^1.$\\[3ex]
\input{ab5.pic} \\[3ex]
{\bf 2. Fall} (s. Abb. 5)\\
Es seien $Z_1^* = Z(z_1^*, z_1^{*'}),~ Z_q^* = Z(z_q^*, z_q^{*'}) \in 
\underline{Z}$ und $l_1^* = l(z_1^*) = 2k_1 - 1,~ l_q^* = l(z_q^*) = 2k_q - 1,~
k_1, k_q = 1,2,... .$ Wir denken uns (in $\varepsilon$) $Z_1^* (Z_q^*)$ an
$Z_1 (Z_q)$ so angef�gt, da� $z_1'$ mit $z_1^* ~(z_q'$ mit $z_q^*)$
identifiziert werden. Es sei angemerkt, da� hier neben der Wahl von 
$Z_i^* \in \underline {Z},~i = 1,2,...,q,$ auch andere 
Identifizierungsm�glichkeiten bestehen. Die so entstandene Figur werde mit
$F_{(k_1/k_q)} = F_{(k_1/k_q)}(H)$ bezeichnet, wobei folgende zus�tzliche
Gipfel (T�ler) von $Z_1^* (Z_q^*)$ von Interesse sind: $x_{g+1}, x_{g+2},...,
x_{g+k_1} = z_1^*,~ (y_{g+1}, y_{g+2},..., y_{g+k_q} = z_q^{*'}).$ In
$F_{(k_1/k_q)}$ denken wir uns wieder (oberhalb bzw. unterhalb von
$\varepsilon$) $r = 1,2,..., p + k, k = min \{k_1,k_q\},$ Kanten \\
$e'_i = e'(x_{p+k_1+1-i}, y_{p+k_q+1-i})$ bzw.
$\overline{e}_i = \overline{e} (x_{p+k_1+1-i}, y_{p+k_q - r+i})$\\
f�r $i = 1,2,...,r$ eingef�gt. So erhalten wir die hexagonalen B�nder \\
$B_{(k_1/k_q)}^r = B_{(k_1,k_q)}^r(H)$ bzw. 
$\overline{B}_{(k_1/k_q)}^r = \overline{B}_{(k_1,k_q)}^r(H).$\\
Offensichtlich ist $B_{(k_1/k_q)}^1 = \overline{B}_{(k_1/k_q)}^1.$ Ein Band
$B = B(H)~~ (\overline {B} = \overline {B}(H))$ wollen wir als {\bf
einfaches hexagonales H�ckel- (M�bius-) Band} bezeichnen. 

\section {Algorithmus zur Polynom- und Eigenvektorberechnung}
Wir werden uns auf hexagonale H�ckelb�nder beschr�nken, da im anderen Fall
ganz analog verfahren werden kann.\\
Zun�chst ben�tigen wir weitere Begriffe:\\
Unter einem ({\bf gerichteten}) {\bf Wegesystem} ((g) WS) eines
Graphen $G$ verstehen wir eine Menge paarweise disjunkter gerichteter Wege.\\
Ein ({\bf gerichtetes}) {\bf vollst�ndiges Wegesystem} ((g)
VWS) ist ein (g) WS, welches alle Knotenpunkte von $G$ �berdeckt.\\
Sei $\underline {W} = \{W_1, W_2,..., W_p\}$ ein VWS von $G$. Weg $W_i =
W(q_i, s_i)$ habe die Endknotenpunkte $q_i, s_i.$ Es sei bemerkt, da� auch
Wege der L�nge 0 $(q_i = s_i,$ triviale Wege) zugelassen sind. Werden die
Kanten von $W_i$ von $q_i$ nach $s_i$ orientiert, so erhalten wir einen
gerichteten Weg $\overrightarrow {W}_i = \overrightarrow {W}(q_i, s_i)$, 
$\underline {W}$ geht in das gerichtete vollst�ndige Wegesystem (gVWS)
$\underline {\overrightarrow {W}} = \{\overrightarrow {W}_1, 
\overrightarrow {W}_2,..., \overrightarrow {W}_p\}$ und $G$ in einen teilweise
kantengerichteten Graphen $\overrightarrow {G}$ �ber.  
Die Anfangs- (End-) Knotenpunkte von \underline{\overrightarrow {W}} hei�en
{\bf Quellen} ({\bf Senken}) von \overrightarrow {G}.\\
Ein f�r unseren Algorithmus geeignetes gVWS kann folgenderma�en gefunden
werden (s. Abb. 6).\\[1em]
\bce
\input ab6a.pic \\[3ex]
\input ab6b.pic \\[5ex]
\input ab6c.pic 
\ece  \vspace{2em}
Es sei $B = B(H)$ ein H�ckelband mit $V(B) = V(H),~ E(B) = E(H) \cup E',~
E' = \{e'_1, e'_2,...,e'_r\}.$ Zun�chst ordnen wir $e'_i \in E'$ einen 
gerichteten Weg $\overrightarrow {W'}_i$ zu, wobei der wei�e (schwarze)
Endknotenpunkt von $e'_i$ Quelle $q'_i$ (Senke $s'_i$) ist. Hierdurch wird
$B$ in ein Band $B'$ mit dem gWS $\overrightarrow {\underline {W}'} =
\underline {\overrightarrow {W}}(B')$ �berf�hrt (Abb. 6.1, 6.5). Gibt es in 
$B'$ einen zu
$Z^*$ geh�renden Knotenpunkt $v^*,$ dessen Valenz 2 und der Nachbarknotenpunkt
einer Quelle (Senke) ist, wobei $v^*$ selbst nicht Senke (Quelle) ist, so
kann einer der Wege von $\overrightarrow {\underline {W}'}$ so verl�ngert
werden, da� $v^*$ neue Quelle (Senke) ist usw.. Dadurch gehe
$\overrightarrow {\underline {W}'}$ in $\overrightarrow {\underline {W}''}$
und somit $B'$ in $B''$ �ber (Abb. 6.6). Es sei bemerkt, da� sich dadurch die 
Anzahl r der gerichteten Wege nicht �ndert.\\
Werden in $B''(B')$ alle Knotenpunkte von $\overrightarrow {\underline {W}''}~
(\overrightarrow {\underline {W}'})$ und alle mit diesen inzidierenden Kanten
gel�scht, so erhalten wir eine Figur $F'' := B'' - \overrightarrow
{\underline {W}''}~ (F' := B' - \overrightarrow {\underline {W}'}),$ die
ganz in $\varepsilon$ liegt (Abb. 6.2, 6.7).
Hat $F \in \{F',F''\}$ einen (h�ngenden) Knotenpunkt $v,$ welcher in $B'' bzw.
B'$ Nachbarknotenpunkt einer Quelle (Senke) ist, so wird $v$ Quelle (Senke) des
zu konstruierenden gVWS $\overrightarrow {\underline {W}}.$ Hat $F$ einen
Knotenpunkt $v,$ welcher in $H$ Gipfel (Tal) ist, so wird $v$ ebenfalls
zur Quelle (Senke) von $\overrightarrow {\underline {W}}.$ Wir bezeichnen
die Quellen (Senken) in $F$ von links nach rechts mit $q_{r+1}, q_{r+2},...,
q_p~(s_{r+1}, s_{r+2},...,s_p)$ (Abb. 6.2, 6.7). Nun existiert in $F$ f�r 
jedes $i = r+1, r+2,...,p$ ein gerichteter Weg $\overrightarrow {W}_i$ mit 
$q_i$ als Quelle und 
$s_i$ als Senke, welchen wir auch f�r $B''(B')$ nutzen. Ersetzen wir noch
$\overrightarrow {\underline {W}'}$ bzw. $\overrightarrow {\underline {W}''}$
durch $\{\overrightarrow {W}_1, \overrightarrow {W}_2, ..., \overrightarrow 
{W}_r\},$ so haben wir unser gVWS $\overrightarrow {\underline {W}}$ gefunden,
wobei $\overrightarrow {W}_i = \overrightarrow {W} (q_i,s_i) \in 
\overrightarrow {\underline {W}}$ die Quelle $q_i$ mit der Senke $s_i,~
i = 1,2,...,p,$ verbindet. Das so erhaltene Band werde mit $\overrightarrow
{B}$ bezeichnet (Abb. 6.3, 6.8).
Als n�chstes verl�ngern wir in $\overrightarrow {B}$ jeden gerichteten Weg
$\overrightarrow {W}_i$ durch Anf�gen eines ``virtuellen'' Knotenpunktes
$s_i^*$ an $s_i,$ wodurch ein gerichteter Weg $\overrightarrow {W}_i^*$
entstehe. Dabei wird $\overrightarrow {B}$ in eine Figur �berf�hrt, welche
wir mit $\overrightarrow {B}^*$ bezeichnen wollen (Abb. 6.4, 6.9).\\
Es sei $v \in V(\overrightarrow {B}^*)$ ein Knotenpunkte von $\overrightarrow
{B}^*$, welcher auf dem gerichteten Weg $\overrightarrow {W}^* \in
\overrightarrow {\underline {W}}^*$ liege und der keine Quelle ist. Dann
existiert in $\overrightarrow {B}^*$ f�r $v$ ein eindeutig bestimmter ``
Vorg�nger'' $v^+,$ wobei eine von $v^+$ nach $v$ gerichtete Kante existiert.
Es sei $N^+(v) := N(v^+) - \{v\}$ die Menge aller Nachbarknoten von $v^+,$
die von $v$ verschieden sind. Die Knotenpunkte von $\overrightarrow {B}^*$
seien f�r den zu beschreibenden Algorithmus wie folgt bezeichnet:\\
F�r $i = 1,2,...,p$ seien $q_i = v_i$  und $s_i^* = v_i^*:$\\
Alle �brigen Knotenpunkte werden mit $v_i,~ i = p+1,p+2,...,n$ bezeichnet,
wobei die fortlaufende Indizierung von links nach rechts und von oben nach
unten zu erfolgen hat.\\[0,5 em]
{\bf Algorithmus:}\\[0,5 em]
Jedem Knotenpunkt $v$ von $\overrightarrow {B}^*$ ordnen wir einen Vektor
$\underline {d}(v,\lambda) = (d_1(v,\lambda), d_2(v,\lambda),...,d_p(v,
\lambda))$ mittels folgender Regeln zu.
\begin{itemize}
\item[(i)] Ist $v = q_i$ (i-te Quelle):\\
 $d(q_i,\lambda) = (\delta_{i1}, \delta_{i2},...,\delta_{ip}),$\\
 wobei $\delta_{ij} = 0(i \not= j),~1(i = j),~i,j = 1,2,...,p.$
\item[(ii)] Ist $v$ keine Quelle:\\
 $\underline {d} (v,\lambda) = \lambda \cdot \underline {d}(v^+,\lambda) -
 \sum \limits_{v'\in N^+(v)} \underline {d} (v',\lambda).$
\end{itemize}
Mittels (i), (ii) ist es nun nicht schwer, jedem Knotenpunkt $v$ von
$\overrightarrow B^*$ einen Vektor $\underline {d}(v,\lambda)$ zuzuordnen. 
Wir bilden die $n \times 
p$-Matrix\\
$D(\overrightarrow {B},\lambda) = (\underline {d}^T(v_1,\lambda),
\underline {d}^T(v_2,\lambda),...,\underline {d}^T(v_n,\lambda))^T$\\
und die $p \times p$-Matrix\\
$D^*(\overrightarrow {B},\lambda) = (\underline {d}^T(v_1^*,\lambda),
\underline {d}^T(v_2^*,\lambda),...,\underline {d}^T(v_p^*,\lambda))^T.$\\[0,5em]
Es gelten\\
{\bf Satz 1:}\\
$P_B(\lambda) = det D^*(\overrightarrow B, \lambda)$\\[0,5em]
{\bf Satz 2:} Es sei $\lambda^0$ Eigenwert von $B$ und es sei 
$\underline {y}^o$ eine nichttriviale L�sung der Gleichung\\
$D^*(\overrightarrow B, \lambda^o) \cdot \underline {y}^o = \underline {0},$\\
wobei $\underline {0}$ ein p-dimensionaler Nullvektor ist, dann ist\\
$\underline {x}^o = D(\vec B, \lambda^o) \cdot \underline {y}^o$\\
ein zu $\lambda^o$ geh�render Eigenvektor von $B$ und alle Eigenvektoren
von $B$ k�nnen auf diese Weise bestimmt werden.\\
Beide S�tze sind Modifikationen von S�tzen aus \cite{13}.\\[0,5em]
{\bf Beispiele:}\\[0,5em]
(1) F�r das in Abb. 5 dargestellte hexagonale H�ckelband $B_2 = B^2_{(3,2)}$ 
(Abb. 6.5 ff) erhalten wir
zun�chst $D(\overrightarrow {B}_2,\lambda)$ und $D^*(\overrightarrow {B}_2,
\lambda)$ (s.Tab. 1,2) und wegen Satz 1 das charakteristische Polynom
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{P_{B_2}(\lambda) = \lambda^{22} - 26 \lambda^{20} + 287 \lambda^{18}-1767
\lambda^{16}} \\
& & + 6710 \lambda^{14} - 16413 \lambda^{12} + 26195 \lambda^{10} \\
& & - 26983 \lambda^8 + 17292 \lambda^6 - 6402 \lambda^4 \\
& & + 1188 \lambda^2 - 81.
\end{eqnarray*}
Die positiven Eigenwerte sind (auf 6 Dezimalen gerundet):\\
0,390685 \qquad 1,487874\\
0,559334 \qquad 1,592568 \\
0,856046 \qquad 2,079524 \\
1,062755 \qquad 2,257869 \\
1,200624 \qquad 2,491630 \\
1,360182.\\
\newpage
$$
\begin{array}{|r|cccc|}\hline
 & \multicolumn{4}{|c|}{d_j(v_i,\lambda)}\\
 \cline{2-5}
  i \setminus j & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 
3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline
5 & \lambda^2-1 & 0 & 0 & -\lambda \\
6 & -\lambda^2+1 & \lambda & 0 & \lambda \\
7 & 0 & 0 & \lambda & -1 \\
8 & \lambda & 0 & 0 & -1 \\ \hline
9 & 0 & 0 & \lambda^2-1 & -\lambda \\
10 & -1 & 0 & -1 & \lambda \\
11 & 0 & 0 & \lambda^3-2\lambda & -\lambda^2+1 \\
12 & -\lambda & 0 & -\lambda^3+\lambda & 2\lambda^2-2 \\ \hline
13 & 1 & 0 & \lambda^4-3\lambda^2+2 & -\lambda^3+\lambda \\
14 & -\lambda^2+1 & 0 & -\lambda^4+\lambda^2+1 & 2\lambda^3-3\lambda \\
15 & \lambda & 0 & \lambda^5-4\lambda^3+4\lambda & -\lambda^4+2\lambda^2-1 \\
16 & -\lambda^3+\lambda & 0 & -2\lambda^5+6\lambda^3-4\lambda & 3\lambda^4-
    7\lambda^2+3 \\ \hline
17 & 2\lambda^2-2 & 0 & \lambda^6-4\lambda^4+6\lambda^2-3 & -\lambda^5+
    \lambda^3+\lambda \\
18 & -\lambda^4+2\lambda^2-1 & 0 & -2\lambda^6+7\lambda^4-5\lambda^2-1 &
    3\lambda^5-9\lambda^3+6\lambda \\
19 & -\lambda^4+2\lambda^2-1 & \lambda^3-2\lambda & 0 & \lambda^3-\lambda \\
   \hline
20 & 2\lambda^3-3\lambda & 0 & \lambda^7-5\lambda^5+10\lambda^3-7\lambda &
   -\lambda^6+2\lambda^4-\lambda^2+1 \\
21 & \lambda^3-2\lambda & -1 & 0 & -\lambda^2+1 \\
22 & -\lambda^3+\lambda & \lambda^2-1 & 0 & \lambda^2 \\
   \hline
\end{array}$$
Tabelle 1\\
$$
\begin{array}{|r|cccc|}\hline
 & \multicolumn{4}{|c|}{d_j(v_i^*,\lambda)}\\
 \cline{2-5}
  i \setminus j & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 
1 & 3\lambda^4-7\lambda^2+3 & -\lambda^3+\lambda & 2\lambda^6-7\lambda^4+
  5\lambda^2+1 & -3\lambda^5+7\lambda^3-3\lambda \\
2 & -\lambda^5+2\lambda^3 & \lambda^4-3\lambda^2+2 & 0 & \lambda^4-\lambda^2
  -1 \\
3 & 3\lambda^4-7\lambda^2+3 & 0 & \lambda^8-4\lambda^6+7\lambda^4-8\lambda^2
  +4 & -\lambda^7+7\lambda^3-6\lambda \\
4 & -\lambda^5+3\lambda & 1 & -3\lambda^7+14\lambda^5-21\lambda^3+10\lambda &
  4\lambda^6-14\lambda^4+15\lambda^2-5 \\ \hline 
\end{array}$$
Tabelle 2\\ \\
F�r $\lambda_1 = 0,390685$ finden wir (wegen Satz 2) \\
\[ D^*(\overrightarrow {B}_2, \lambda_1) = 
\left( \begin{array}{cccc}
2,001450 & 0,331053 & -0,781936 & 1,607204 \\
0,110162 & 1,565394 & -1,129337 & 0 \\
1,162952 & 1        & -3,022420 & 2,777834 \\
2,001450 & 0        & -1,928074 & 2,928323 
\end{array} \right) \]
und
\[ \underline {y}_1 = 
\left( \begin{array}{cccc}
-0,553140 & 0,720392 & 0,944591 & 1
\end{array} \right)^T. \]
\vspace{1em}
\bce
{\footnotesize
\input ab7.pic } 
\ece 
\vspace{-1em}
In Abb. 7 sind die Koordinaten des zu $\lambda_1$ geh�renden Eigenvektors
$\underline {x}_1$ jeweils am Knotenpunkt angetragen.\\ [0.5em]
(2) F�r die H�ckelb�nder $B_1$ (Abb. 4), $B_0$ und $B_3$ (Abb. 8) seien
Polynom und positive Eigenwerte (in Klammern mit Vielfachheit) 
genannt:\\[1ex]
\bce
\input ab8.pic
\ece 
\vspace{3em}
\newpage
\noindent
$P_{B_o}(\lambda) = \lambda^6 - 7\lambda^4 + 7\lambda^2 - 1$ \\[1ex]
$(\sqrt{2}-1;~ 1;~ \sqrt{2}+1)$ \\[1ex]
$P_{B_1}(\lambda) = \lambda^{14} - 18\lambda^{12} + 119\lambda^{10}-
380\lambda^8 + 665\lambda^{6} - 626\lambda^4 + 313\lambda^2 - 64$\\[1ex]
$(1(4);~ 1,363328;~ 2,124885;~ 2,761557)$\\[1ex]
$P_{B_3}(\lambda) = \lambda^{14} - 18\lambda^{12} + 123\lambda^{10} - 420 \lambda
^8 + 779\lambda^6 - 787\lambda^4 + 403\lambda^2 - 81$\\[1ex]
$(0,769998;~ 1(2);~ 1,503383;~ 1,525808;~ 1,895609;~ 2,688032)$ 
\section {Abschlie�ende Bemerkungen}
\begin{itemize}
 \item[4.1] Wir haben hier spezielle hexagonale B�nder beschrieben. Es kann
  von einem beliebigen $H \in \underline {H}$ ausgegangen werden und in 
  geeigneter Weise ein hexagonales Band konstruiert werden (s. Abb. 8.1).
  Von theoretischem Interesse w�re noch der Fall, da� wir von einem 
  $Z \in \underline {Z} (l(Z) \equiv 1,~ mod~ 2)$ ausgehen (s. Abb. 8.2).
 \item[4.2] F�r die Anwendung des Algorithmus ist jeweils ein gVWS mit
  minimaler Wegeanzahl interessant. Die hier beschriebene Methode liefert
  nicht in jedem Falle ein solches. F�r das in Abb. 9 dargestellte 
  hexagonale Band $B_4$ finden wir nach obiger Methode ein gVWS mit 7 Wegen,
  wobei hier ein gVWS mit 4 Wegen ausreichend ist 
  (siehe $\tilde {B}_4$).\\[1ex]
\bce
\input ab9.pic
\ece
\vspace{1ex}
 \item[4.3] In einer fr�heren Arbeit \cite{15} wurde der Begriff hexagonales
  Band wesentlich enger gesehen, was mit dieser Arbeit behoben werden soll.
 \item[4.4] Herr Dr. W. Rausch (TU Ilmenau) hat den oben beschriebenen
  Algorithmus in recht allgemeiner Form (zun�chst in Turbo-Pascal) 
  implementiert. Damit sind wir in der Lage, relativ schnell die hier 
  interessierenden Gr��en (und auch gewisse Bindungsordnungen) zu bestimmen.

\end{itemize}

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\vspace{1cm}
Die Arbeit wurde seitens der DFG (Jo 231/1-3) gef�rdert.

\end{document}