\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{french}
\def\refname{R\'ef\'erences}
\newcommand\N{{\bf N}}
\newcommand\cf{{\it cf}}
\newcommand\resp{{\it resp}}
 \newtheorem{coro}{Corollaire}
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{lem}{Lemme}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{ex}{Exemple}
\newtheorem{defn}{D\'efinition}
\newcommand{\demo}{\noindent{\bf D\'emonstration: \/}} 
\newcommand{\remarq}{\noindent{\bf Remarque: \/}} 
\newcommand{\exemple}{\noindent{\bf Exemple: \/}} 
\def\qed{\nobreak\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 6pt
\vfill\hrule}\vrule}\par\vspace{2ex}}
\def\equi{\mathop{\rm EQUI}\nolimits}
\def\les{\mathop{\rm les}\nolimits}
\def\res{\mathop{\rm res}\nolimits}
\def\sig{\mathop{\rm sig}\nolimits}
\def\resm{\mathop{\rm RES}\nolimits}
\def\pic{\mathop{\rm pc}\nolimits}
\def\ssg{\mathop{\rm ssg}\nolimits}
\def\S{\mathop{\rm S}\nolimits}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{Un autre $q$-analogue des nombres d'Euler} 
\author{ G.-N. Han$^1$, A. Randrianarivony$^2$ et J. Zeng$^3$\\
\\
\small $^1$IRMA, CNRS et Universit\'e Louis-Pasteur (Strasbourg 1),
France\\
\small $^2$ Facult\'e des Sciences, Universit\'e d'Antananarivo, Madagascar\\
\small $^3$Institut Girard Desargues, Universit\'e Claude Bernard (Lyon 1),
France}
\date{\emph{Dedicated to G. Andrews on the occasion of his 60th birthday}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
The ordinary generating functions of the secant and tangent numbers have very
simple continued fraction expansions. However, the classical $q$-secant
and $q$-tangent numbers do not give a natural $q$-analogue of these
continued fractions. In this paper, we introduce  a different
$q$-analogue of Euler numbers using $q$-difference operator and show that 
their generating functions
have simple continued fraction expansions. Furthermore,
by establishing an explicit bijection between some Motzkin paths
and $(k,r)$-multipermutations we derive combinatorial
interpretations for these $q$-numbers. Finally the allied 
$q$-Euler median numbers are also studied.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 Les {\it nombres d'Euler} $E_n$ ($n\geq 0$) sont classiquement d\'efinis
comme les coefficients
apparaissant dans le d\'eveloppement de Taylor suivant : 
\begin{equation}\label{fg:Euler}
\sum_{n\geq 0}E_n{t^n\over n!}=1+t+\frac{t^2}{2!}+
2\ \frac{t^3}{3!}+5\ \frac{t^4}{4!}+\ldots ={1\over \cos t}+\tan t. 
\end{equation}
Ainsi les nombres $E_{2n}$ et $E_{2n+1}$ sont appel\'es aussi
{\it nombres s\'ecants} et {\it nombres tangents} respectivement.
En rempla\c cant $\cos t$ et $\tan t$ par 
leurs $q$-analogues dans (\ref{fg:Euler})
on obtient alors le $q$-analogue classique des
nombres d'Euler comme les coefficients correspondants dans le
d\'eveloppement en $q$-s\'eries de Taylor. 
Ces $q$-nombres d'Euler g\'en\'eralisent
effectivement certains aspects arithm\'etiques et combinatoires 
des nombres d'Euler \cite{AF,AG,Fo}, mais ils 
ne fournissent pas de $q$-analogues simples 
pour deux \mbox{S-fractions continues} remarquables de leurs s\'eries
g\'en\'eratrices ordinaires \cite{Fl}~:
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\begin{eqnarray}
\sum_{n\geq 0}E_{2n}t^n&=&1+t+5\ t^2+61\ t^3+\ldots={
1\over\displaystyle
1-{\fc{1^2\, t}
1-{\fc{2^2 \, t}
1-{\fc{3^2\, t}\ddots
}}}},\label{frac:secant}\\
\sum_{n\geq 0}E_{2n+1}t^n
&=&1+2\ t+16\ t^2+272\ t^3+\ldots={1\over\displaystyle 1-{\fc{1\cdot 2\, t}
1-{\fc{2\cdot 3 \, t}
1-{\fc{3\cdot 4\, t}\ddots
}}}}.\label{frac:tangente}
\end{eqnarray}
Une autre suite de nombres li\'es intimement aux nombres s\'ecants et
tangents est la suite des {\it nombres d'Euler m\'edians} $L_n$, qui sont les
nombres apparaissant au milieu du triangle {\it de Seidel-Arnold} \cite{Ar,Du}:
$$\begin{array}{cc cc cc cc cc cc c}
&&&&&&	{\bf 1}	&&&&&&\\
&&&&&1& \leftarrow	&0&&&&&\\
&&&&0&\rightarrow& {\bf 1}
&\rightarrow&1&&&&\\
&&&2&\leftarrow&2&	\leftarrow
&1&\leftarrow&0&&&\\
&&0&\rightarrow&2&\rightarrow&	{\bf 4}
&\rightarrow&5&\rightarrow&5&&\\
&16&\leftarrow&16&\leftarrow&14&	\leftarrow
&10&\leftarrow&5&\leftarrow&0&\\
0&\rightarrow&16&\rightarrow&32&\rightarrow& 
{\bf 46}
&\rightarrow&56&\rightarrow&61&\rightarrow&61\\ &&&&&&\ldots\ldots&&&&&&
\end{array}
$$
dont la construction est analogue \`a celle du {\it triangle de
Pascal} pour les coefficients binomiaux. Par exemple, on trouve les premi\`eres valeurs de ces 
nombres :
$L_0=1,\, L_1=1,\, L_2=4,\, L_3=46$, ainsi que celles des nombres d'Euler :
$E_0=E_2=1, E_4=5, E_6=61$ et $E_1=1, E_3=2, E_5=16$. 
Dumont \cite{Du} a montr\'e
que la fonction g\'en\'eratrice des nombres $L_n$ a aussi un
d\'eveloppement simple en S-fraction continue : 
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\begin{equation}
\sum_{n\geq 0}L_{n}t^n =1+t+4\ t^2+46\ t^3+1024\ t^4+\ldots 
={1\over\displaystyle 1-{\fc{1\cdot 1\, t}
1-{\fc{1\cdot 3 \, t}
1-{\fc{2\cdot 5\, t}
1-{\fc{2\cdot 7\, t}\ddots
}}}}}.
\end{equation}
Il s'av\`ere \cite{RZ1,RZ2} qu'une telle formule
pour une suite de nombres est g\'en\'erale\-ment
li\'ee \`a une \emph{formule de type Gandhi} de ces nombres.
 Plus pr\'ecis\'ement, soit $\alpha=(a, b, c, d)$ une suite 
d'entiers rationnels et $P_n^{(\alpha)}(x)$ ($n\geq 0$) une suite de
polyn\^omes d\'efinis par
\begin{equation}\label{def:P(x)}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
P_0^{(\alpha)}(x)=1,\cr
\displaystyle
P_n^{(\alpha)}(x)=(x+a)\left\{(x+b) P_{n-1}^{(\alpha)}(x+c) - (x+d)
P_{n-1}^{(\alpha)}(x)\right\}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Par la m\'ethode de \cite{RZ1,RZ2}, 
on obtient ais\'ement le r\'esultat suivant:
\begin{equation}
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\sum_{n\geq 0}P_n^{(\alpha)}(x)t^n
={1\over\displaystyle
1-{\fc{(b-d)(x+a)\, t}
1-{\fc{c(x+b)\, t}
1-{\fc{(b-d+c)(x+a+c)\, t}
1-{\fc{2c(x+b+c)\, t}
1-{\fc{(b-d+2c)(x+a+2c)\, t}
1-{\fc{3c(x+b+2c)\, t}
\ddots
}}}}}}}.\label{eq:pcf}
\end{equation}
D'o\`u, par comparaison de leurs fractions continues, on d\'eduit que
\begin{equation}\label{nombreEuler}
E_{2n+1}=P_n^{(1,2,2,1)}(1),\quad
E_{2n}=P_n^{(0,1,2,0)}(1),\quad
L_n=4^{-n}P_n^{(0,2,4,-2)}(1).
\end{equation}
Par ailleurs, les polyn\^omes $P_n^{(\alpha)}(x)$ interpolent les trois
autres suites de nombres
$(R_n)$, $(l_n)$ et $(r_n)$
propos\'ees dans \cite{Du,RZ2} par les ressemblances de leurs fractions
continues \`a celles des nombres d'Euler m\'edians: \begin{equation}\label{nombreEulermedian} 
R_n=4^{-n}P_n^{(2,4,4, 0)}(1),\quad
l_n=2^{-n}P_n^{(0,1,2,-1)}(1),\quad
r_n=2^{-n}P_n^{(1,2,2,0)}(1).
\end{equation}
Les premi\`eres valeurs de ces nombres sont : $R_0=1,\, R_1=3,\, R_2=24,$ \mbox{$R_3=402$},\, 
$l_0=1,\, l_1=1,\,
l_2=3,\, l_3=21$ et $r_0=1,\, r_1=2,\, r_2=10,\, r_3=98$. 

L'un des avantages d'une formule de type (\ref{def:P(x)}) est
qu'elle ouvre une nouvelle voie pour des $q$-extensions en 
rempla\c cant la {\it diff\'erence ordinaire} par la $q$-{\it diff\'erence}.
Ce qui a d'ailleurs \'et\'e fructueux dans l'\'etude de $q$-nombres de
Genocchi \cite{HZ1}.
Le but de cet article est d'\'etudier le
$q$-analogue des nombres plus haut dans cette optique. 

Pour tout entier {\it positif} ou {\it n\'egatif} de $n$, on d\'efinit
son $q$-analogue $[n]$ par
\begin{equation}
[n]:=[n]_q={1-q^n\over 1-q}\quad \textrm{ et}\quad [x,n]_q=xq^n+[n].
\end{equation}
Pour $n\geq 0$,
on d\'efinit le $q$-analogue de (\ref{def:P(x)}) 
les polyn\^omes $P_n^{(\alpha)}(x, q)$ par 
\begin{equation}\label{def:P(x,q)}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
P_0^{(\alpha)}(x,q)=1,\cr
\displaystyle
P_n^{(\alpha)}(x,q)=[x, a]_q
{[x,b]_q P_{n-1}^{(\alpha)}([x, c]_q,q) - [x,d]_q P_{n-1}^{(\alpha)}(x,q)\over 1+(q-1)x}. 
\end{array}
\right.
\end{equation}

Pour des entiers positifs $r\ge l\ge 0$, on note \cite[p.73]{GKP}
l'ensemble des entiers compris entre $l$ et $r$ par 
\begin{equation}
[l..r]=\{l,l+1,\ldots,r-1,r\}.
\end{equation}
\begin{defn}\textnormal{
Soient $k$ et $r$ deux entiers naturels. Une $(k,r)$-multi\-permu\-ta\-tion 
ou $(k,r)$-MP de $[1..n]$ est un
r\'earrangement du mot $0^k1^r2^r\cdots n^r$ 
tel qu'entre deux lettres identiques, il
n'y a aucune lettre plus petite.
On note $\S_n^{(k,r)}$ l'ensemble des
$(k,r)$-multipermutations de
$[1..n]$.}
\end{defn}

\remarq Si $k=0$, une $(k,r)$-\textrm{MP} se r\'eduit \`a une $r$-{\it multipermutation} de 
$[1..n]$, qui a \'et\'e introduite
par Gessel et Stanley~\cite{GS} et poursuivie par Park~\cite{Pa}.
Si $r=1$, une $(k,r)$-MP de $[1..n]$ s'appelle simplement $k$-{\it permu\-ta\-tion} de $[1..n]$.
\medskip
On s'aper\c coit assez facilement que le cardinal de $\S_n^{(k,r)}$ a une formule
explicite :
$$
|\S_n^{(k,r)}|=(k+1)\cdot (k+1+r)\cdots (k+1+r(n-1)). 
$$
Il en r\'esulte que
$$
\sum_{n\geq 0}|\S_n^{(k,r)}|{x^n\over n!}=(1-r x)^{-(k+1)/r},
$$
ainsi (voir \cite{Fl}) que
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\begin{equation}
\sum_{n\geq 0}|\S_n^{(k,r)}| t^n={1\over\displaystyle 
1-(k+1)t-{r(k+1)t^2\over\displaystyle
1-(k+1+2r)t-{2r(k+1+r)t^2\over\displaystyle {\ddots\over\displaystyle
1-b_it -{\lambda_{i} t^2\over\displaystyle \ddots}}}}}
\end{equation}
o\`u $b_i= k+1+2ir $ et $\lambda_i=r(i+1)(k+1+ir)$ pour $i\geq 0$.
\medskip

En vertu de la th\'eorie combinatoire des $J$-fractions continues
\cite{Fl}, on en d\'eduit l'existence d'une 
bijection de $\S_n^{(k,r)}$ sur un certain ensemble de
{\sl chemins de Motzkin valu\'es} (voir Section 3). Nous allons construire
une telle bijection $\Theta_n$ en g\'en\'eralisant
la bijection classique de Fran\c con-Viennot-Flajolet (voir \cite{Fl}),
qui correspond au cas o\`u $r=1$.

Cet article est organis\'e comme suit. Dans la section 2
on calcule d'abord  la s\'erie g\'en\'eratrice
ordinaire de $P_n^{(\alpha)}(x, q)$ ($n\geq 0$)
  et puis  d\'efinit des $q$-extensions des nombres et des polyn\^omes 
introduits plus haut. La section 3 est consacr\'ee \`a la construction de 
la bijection $\Theta_n$.
En appliquant la th\'eorie combinatoire g\'en\'erale des fractions
continues,
on en d\'eduit des interpr\'etations combinatoires de ces polyn\^omes dans la 
section 4. 
Enfin on termine l'article par des liens avec les nombres de Genocchi.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\section{Fractions continues et d\'efinitions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Posons
$\Delta_qx=1+(q-1)x$ et $P(x,t)=\sum_{n\ge 0}P_n^{(\alpha)}(x, q)t^n$.
La r\'ecurrence (\ref{def:P(x,q)}) equivaut alors \`a l'\'equation
fonctionnelle suivante :
\begin{equation}\label{eqfonc}
P(x,t)={\Delta_qx\over \Delta_qx +[x,a]_q[x,d]_qt}
 +{[x,a]_q[x,b]_qt\over \Delta_qx +[x,a]_q[x,d]_qt}\cdot P([x,c]_q, t).
\end{equation}
Comme $1+(q-1)[x,c]_q=q^c\Delta_qx$ et
$[[x,c]_q,a]_q=[x,a+c]_q$,
on en d\'eduit par it\'eration le r\'esultat suivant.
\begin{prop} On a
\begin{equation}\label{fracration}
\sum_{n\ge 0}P_n^{(\alpha)}(x, q)t^n=
\sum_{n\ge
0}{q^{nc}t^n\Delta_qx\prod_{i=0}^{n-1}
[x,a+ic]_q[x,b+ic]_q \over\prod_{i=0}^n\{q^{ic}\Delta_qx+[x,a+ic]_q[x,d+ic]_qt\}}. 
\end{equation}
\end{prop}
Comme dans \cite{HZ1,RZ1,RZ2},
on obtient le d\'eveloppement en fraction continue de $P(x,t)$
en appliquant une formule de Wall \cite{Wa} \`a (\ref{eqfonc}). 
\begin{thm} 
La fonction g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes $P_n^{(\alpha)}(x,q)$
admet le d\'eveloppement en S-fraction continue suivant :
$$
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\sum_{n\geq 0}P_n^{(\alpha)}(x,q)t^n
={1\over\displaystyle
1-{\fc{q^d[b-d][x,a]_q\, t}
1-{\fc{q^a[c][x,b]_q\, t}
1-{\fc{q^d[b-d+c][x, a+c]_q\, t}
1-{\fc{q^a[2c][x,b+c]_q\, t}
1-{\fc{q^d[b-d+2c][x,a+2c]_q\, t}
1-{\fc{q^a[3c][x, b+2c]_q\, t}
\ddots
}}}}}}}.\label{eq:qcf}
$$
\end{thm}

\remarq Le th\'eor\`eme ci-dessus a \'et\'e d\'ecouvert \`a l'aide de 
Maple. En effet, la formule de Wall (voir \cite{HZ1,RZ1,RZ2}) fournit
une relation de r\'ecurrence pour les coefficients de 
la $S$-fraction continue, qui permet de calculer les premiers
coefficients rapidement \`a l'aide de Maple dans des cas particuliers.

\medskip
Pour des entiers positifs $k$ et $r$, posons
\begin{equation}
E_n^{(k,r)}(x,q)=q^{-(k-1)n}P_n^{(k-1,k-1+r,2r, k-1)}(x,q). 
\end{equation}
Il vient du th\'eor\`eme 1 que 
\begin{equation}
\sum_{n\ge 0}E_n^{(k,r)}(x,q)t^n
=\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[r][x,k-1]_q\,t\over\displaystyle 
1-{[2r][x,k-1+r]_q\,t\over\displaystyle 
1-{[3r][x,k-1+2r]_q\,t\over\displaystyle 
1-{[4r][x,k-1+3r]_q\,t\over\displaystyle\ddots}}}}}. 
\label{frac: qpolyEuler d'ordre k}
\end{equation}
Rappelons que les nombres d'Euler d'ordre $k$ sont d\'efinis par
$$
\sum_{n\geq 0}E_{2n}^{(k)}{t^{2n}\over (2n)!}={1\over (\cos t)^k}.
$$
Comparant avec le d\'eveloppe\-ment en $S$-fraction continue de la s\'erie
g\'en\'e\-ra\-trice de $E_{2n}^{(k)}$ (voir  \cite{Fl}), on voit que
$$
E_{2n}^{(k)}=E_n^{(k,1)}(1,1).
$$
Il est donc naturel de d\'efinir $E_n^{(k,r)}(x,q)$ comme les
 $q$-polyn\^omes d'Euler d'ordre $k$. En vertu de (\ref{nombreEuler}), 
on d\'efinit les $q$-polyn\^omes
s\'ecants $S_n(x,q)$ et les $q$-polyn\^omes tangents $T_n(x,q)$ par
\begin{equation}\label{qpolyEuler}
S_n(x,q)=E_n^{(1,1)}(x,q),\quad
T_n(x,q)=E_n^{(2,1)}(x,q).
\end{equation}
On a donc les formules suivantes :
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 0}S_n(x,q)t^n&=&1+x\ t+x([2]+[3]x)\ t^2+\ldots\nonumber\\
&=&\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[1]x\,t\over\displaystyle
1-{[2][x,1]_q\,t\over\displaystyle
1-{[3][x,2]_q\,t\over\displaystyle
1-{[4][x,3]_q\,t\over\displaystyle\ddots}}}}},\label{xsecant}\\ 
\sum_{n\ge 0}T_n(x,q)t^n&=& 1+(1+qx)\ t+(1+qx)([2]+[3](1+qx))\ t^3+\ldots\nonumber\\
&=&\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[1][x,1]_q\,t\over\displaystyle
1-{[2][x,2]_q\,t\over\displaystyle
1-{[3][x,3]_q\,t\over\displaystyle
1-{[4][x,4]_q\,t\over\displaystyle\ddots}}}}}.\label{xtang} 
\end{eqnarray}

A leurs tours, en d\'efinissant les $q$-nombres s\'ecants $E_{2n}(q)=S_n(1,q)$
et les $q$-nombres tangents $E_{2n+1}(q)=T_n(1,q)$
 ($n\geq 0$), on obtient les $q$-analogues
de (2) et (3) comme suit :
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 0}E_{2n}(q)t^n&=&1+t+(2+2q+q^2)t^2+
(5+12q+16q^2+14q^3\nonumber\\
&&+9q^4+4q^5+q^6)t^3+\ldots\nonumber\\
&=&\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[1]^2\,t\over\displaystyle
1-{[2]^2\,t\over\displaystyle
1-{[3]^2\,t\over\displaystyle
1-{[4]^2\,t\over\displaystyle\ddots}}}}},\label{fracE2n}\\
 \sum_{n\ge 0}E_{2n+1}(q)t^n
&=&1+(1+q)\ t+2(2+q+q^2)(1+q)^2\ t^2+(5+6q\nonumber\\
&&+9q^2+6q^3+5q^4+2q^5+q^6)(1+q)^3\ t^3\ldots\nonumber\\
&=&\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[1][2]\,t\over\displaystyle
1-{[2][3]\,t\over\displaystyle
1-{[3][4]\,t\over\displaystyle
1-{[4][5]\,t\over\displaystyle\ddots}}}}}.\label{fracE2np1} 
\end{eqnarray}

Le r\'esultat suivant est comparable avec ceux obtenus par Andrews, 
Foata et Gessel \cite{AF,AG,Fo} pour les nombres  $q$-secants et
$q$-tangents classiques.
\begin{prop} Pour $n\geq 0$, on a 
$E_{2n}(q)\equiv 1 \bmod{(1+q)^2}$ et
$E_{2n+1}(q)=(1+q)^nQ_n(q)$, o\`u $Q_n(q)$ est un polyn\^ome
\`a coefficients entiers positifs de $q$ tel que $Q_n(-1)= (-1)^nn!$. 
\end{prop}
\demo
Comme dans \cite{Fl1,HZ2}, on obtient de (\ref{fracE2n}) que
$$
\sum_{n\ge 0}E_{2n}(q)t^n\equiv {1\over 1-t}\pmod{(1+q)^2}.
$$
D'o\`u $E_{2n}(q)\equiv 1\bmod{(1+q)^2}$. 
Posons $E_{2n+1}(q)=(1+q)^nQ_n(q)$.
Comme  $[2n]_q/(1+q)=[n]_{q^2}$, il vient de (\ref{fracE2np1}) que  
\begin{eqnarray}
\sum_{n\ge 0}Q_n(q)t^n
&=&\displaystyle{1\over\displaystyle
1-{[1][1]_{q^2}\,t\over\displaystyle
1-{[1]_{q^2}[3]\,t\over\displaystyle
1-{[3][2]_{q^2}\,t\over\displaystyle
1-{[2]_{q^2}[5]\,t\over\displaystyle\ddots}}}}}. \label{frace2np1}
\end{eqnarray}
Donc $Q_n(q)$ est un polyn\^ome de $q$ \`a coefficients entiers positifs.
Comme $[2n+1]_{-1}=1$ et $[n]_1=n$,
en posant $q=-1$ dans (\ref{frace2np1}), on obtient
\begin{equation}
\sum_{n\ge 0}Q_n(-1)t^n
=\displaystyle{1\over\displaystyle
1+{1\,t\over\displaystyle
1+{1\,t\over\displaystyle
1+{2\,t\over\displaystyle
1+{2\,t\over\displaystyle
1+{3\,t\over\displaystyle
1+{3\,t\over\displaystyle\ddots}}}}}}}.
\end{equation}
D'o\`u $Q_n(-1)=(-1)^n n!$. \qed

Posons maintenant
\begin{equation}
L_n^{(k,r)}(x,q)=(q^{k-r}[2r]_q)^{-n}P_n^{(k,k+r, 2r,k-r)}(x,q).
\end{equation}
Comme $[2nr]/[2r]=[n]_{q^{2r}}$, on
d\'eduit du th\'eor\`eme 1 que 
\begin{eqnarray}
\sum_{n\geq 0}L_n^{(k,r)}(x,q)t^n &=&1+[x,k]\ t+[x,k]\bigl(
[x,k] + q^r [x,k+r]\bigr)\ t^2+\ldots\nonumber\\
&=&{1\over\displaystyle
1-{\fc{[x,k]_q\, t}
1-{\fc{q^r[x,k+r]_q \, t}
1-{\fc{[2]_{q^{2r}}[x, k+2r]_q\, t}
1-{\fc{q^r[2]_{q^{2r}}[x,k+3r]_q\, t}
1-{\fc{[3]_{q^{2r}}[x, k+4r]_q\, t}\ddots }}}}}}.\label{frac: qpolyEuler median}
\end{eqnarray}

En vertu des relations (\ref{nombreEuler}) et 
(\ref{nombreEulermedian}), on appelle
$L_n^{(k,r)}(x,q)$ les $q$-polyn\^omes d'Euler m\'edians g\'en\'eraux.
En d\'efinissant les deux types de $q$-nombres 
d'Euler m\'edians $ L_n(q)=L_n^{(0,2)}(1, q)$ et
$R_n(q)=L_n^{(2,2)}(1, q)$,
on obtient
\def\fc#1{\strut #1\over\displaystyle}
\begin{eqnarray}
\sum_{n\geq 0}L_n(q)t^n&=&1+t+[4]\ t^2+
(1+3q^2+4q^3+6q^4+5q^5+7q^6\nonumber\\
&&+6q^7+5q^8+3q^9+3q^{10}+2q^{11}+q^{12})t^3+\ldots\nonumber\\
&=&{1\over\displaystyle 1-{\fc{[1]\, t}
1-{\fc{q^2[3] \, t}
1-{\fc{[2]_{q^{4}}[5]\, t}
1-{\fc{q^2[2]_{q^{4}}[7]\, t}\ddots
}}}}},\\
\sum_{n\geq 0}R_n(q)t^n&=&1+[3]\ t+
[3](q^2+[7])\ t^2+[3](1+2q +6q^2 +8q^3 \nonumber\\
&&+11q^4 +12q^5 + 15q^6[3] + 12q^9 + 11q^{10}\nonumber\\
&&+ 9q^{11} + 7q^{12} + 4q^{13} + 3q^{14}
+ 2q^{15} + q^{16})t^3+\ldots\nonumber\\
&=&{1\over\displaystyle 1-{\fc{[3]\, t}
1-{\fc{q^2[5] \, t}
1-{\fc{[2]_{q^4}[7]\, t}
1-{\fc{q^2[2]_{q^4}[9]\, t}\ddots
}}}}}.
\end{eqnarray}
De m\^eme, en d\'efinissant les $q$-analogues des
nombres $l_n$ et $r_n$ respectivement par 
$l_n(q)=L_n^{(0,1)}(1,
q)$ et $r_n(q)=L_n^{(1,1)}(1, q)$,
on a
\begin{eqnarray}
\sum_{n\geq 0}l_n(q)t^n&=&1+t+[3]\ t^2+[3](1+2q+2q^2+q^3+q^4))\
t^3+\ldots \nonumber\\
&=& {1\over\displaystyle 1-{\fc{[1]\, t}
1-{\fc{q[2] \, t}
1-{\fc{[2]_{q^2}[3]\, t}
1-{\fc{q[2]_{q^2}[4]\, t}\ddots
}}}}},
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sum_{n\geq 0}r_n(q)t^n&=&1+(1+q)\ t+[2](1+2q+q^2+q^3)\ t^2+\ldots\nonumber\\
&=&{1\over\displaystyle 1-{\fc{[2]\, t}
1-{\fc{q[3] \, t}
1-{\fc{[2]_{q^2}[4]\, t}
1-{\fc{q[2]_{q^2}[5]\, t}\ddots
}}}}}.
\end{eqnarray}

\remarq On peut exprimer les fonctions g\'en\'eratrices de
toutes les suites ci-dessus  en {\it s\'eries de facult\'e} 
en sp\'ecialisant (\ref{fracration}).
Par contre le calcul de fonctions g\'en\'eratrices exponentielles 
des suites ci-dessus est un probl\`eme ouvert.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\section{Construction de la bijection $\Theta_n$}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
Soit $\sigma=x_1x_2\cdots x_{rn+k}$ une $(k, r)$-MP de $[1..n]$.
Il est clair que $\sigma$
peut s'\'ecrire de fa\c con unique comme suit : 
\begin{equation}\label{decom}
\sigma=0^{m_1}\,w_1\,0^{m_2}\,w_2\cdots
0^{m_l\,}w_l\,0^{m_{l+1}},
\end{equation}
o\`u chaque $m_i$ est un entier strictement positif, sauf peut-\^etre
$m_1$ et $m_{l+1}$ qui peuvent \^etre nuls, et chaque $w_j$ est un sous-mot
maximal non vide de $\sigma$ form\'e de lettres non nulles. 
Notons que si une lettre $x$ appara\^{\i}t dans le sous-mot
$w_j$ ($1\leq j\leq l$), alors toutes les $r$ lettres $x$'s 
s'y trouvent. Il s'ensuit
que $w_j$ est de longueur multiple de $r$. 

\begin{lem}
Soit $w_j=x_{f}x_{f+1}\cdots x_{f+rh-1}$ avec $h>0$ un sous mot maximal
de $\sigma$ ne contenant pas de lettre 0 et $\widehat w_j=x_{f}x_{f+r}\ldots x_{f+r(h-1)}$ le 
mot obtenu en supprimant toutes les lettres
$x_i$ dans $w_j$ telles que $i\not\equiv f \bmod{r}$. Alors les lettres dans $\widehat w_j$ sont 
toutes distinctes.
\end{lem}
\demo
En effet, supposons que $i$ et $i'$ $(i<i')$ sont deux plus petits entiers tels que
$x_{f+ri}=x_{f+ri'}$. Alors les lettres entre $x_{f+ri}$ et $x_{f+ri'}$
dans $w_j$ sont plus grandes que $x_{f+ri}$ et par suite toutes les lettres
qui leur sont identiques
s'y trouvent aussi. Donc le nombre de ces lettres, i.e., $r(i'-i)-1$,
doit \^etre
multiple de $r$, ce qui est absurde.
\qed

Il s'ensuit que si l'on substitue dans (\ref{decom}) chaque $w_j$
par $\widehat w_j$, on obtient la
$k$-permutation {\sl associ\'ee \`a} $\sigma$: \begin{equation}
\hat \sigma=0^{m_1}\,\widehat w_1\,0^{m_2}\,\widehat w_2\cdots 0^{m_l}\,
\widehat w_l\,0^{m_{l+1}}.
\end{equation}

Pour chaque $i\in [1..n]$, on num\'erote les $r$ lettres $i$'s dans
$\sigma$ de gauche \`a droite. Si la $s$-i\`eme $i$ est retenue dans
$\widehat w_j$, on pose
\begin{equation}
\epsilon(\sigma,i)=s-1,\qquad
\delta(\sigma,i)=m_{j+1}+\cdots + m_{l+1}. \end{equation}

\begin{defn}\textnormal{
La $m$-i\`eme lettre $x_m$ de $\sigma$ est un \'el\'ement saillant inf\'erieur gauche de 
$\sigma$ si $x_m\ne 0$ et si toute lettre \`a gauche de $x_m$ est plus grande que $x_m$.
On note $\sig(\sigma)$ le
nombre d'\'el\'ements saillants inf\'erieurs gauches de $\sigma$.
Supposons de plus que $x_m$ est dans le sous-mot $\widehat w_j$ $($\resp. dans $w_j$$)$,
on dit que $x_m$ est un \'el\'ement localement saillant inf\'erieur gauche de $\hat \sigma$ 
$($\resp. $\sigma$$)$
si toute lettre \`a gauche de $x_m$ dans $\widehat w_j$ $($\resp. dans
$w_j)$ est plus grande que $x_m$}.
\end{defn}

\begin{lem}\label{epsi=0}
Si $x_m$ est un \'el\'ement localement saillant inf\'erieur gauche
de $\hat\sigma$, alors $\epsilon(\sigma,x_m)=0$. 
\end{lem}
\demo
Supposons que $x_m$ est dans $w_j=x_{f}x_{f+1}\cdots x_{f+rh-1}$
($h>0$) et $m=f+ri$.
Si $\epsilon(\sigma,x_{f+ri})\neq 0$, on a $i>0$. Soit $s$ le plus petit entier $\ge f$ tel que 
$x_s=x_{f+ri}$.
Il existe un unique entier $h\in[0..i-1]$ tel que $f+rh<s<f+r(h+1)$. Comme les lettres 
distinctes $x_f, x_{f+r},\ldots, x_{f+rh}$
sont plus grandes que $x_s$, toutes les lettres qui leur sont
identiques se trouvent \`a gauche de $x_s$. Il y a donc au moins $r(h+1)-1$
lettres entre $x_f$ et $x_s$; ce qui contredit l'in\'egalit\'e
$s<f+r(h+1)$.
\qed
\begin{defn} \textnormal{Soit $\hat \sigma$ une $k$-permutation de $[1..n]$ et
$\epsilon=(\epsilon_1,\ldots, \epsilon_n)$ une suite d'entiers de $[0..r-1]$. On dit que 
$\epsilon$ est $r$-compatible avec
$\hat \sigma$ si $\epsilon_i=0$ pour tout $i$ localement saillant
inf\'erieur gauche de $\hat \sigma$}. 
\end{defn}
\begin{lem}\label{detsigma}
Etant donn\'ees une $k$-permutation $\hat\sigma$ de $[1..n]$ et
une suite $r$-compa\-ti\-ble $(\epsilon_1,..,\epsilon_n)$ avec $\hat\sigma$,
il existe une seule $(k,r)$- MP $\sigma$ de $[1..n]$ associ\'ee \`a
$\hat\sigma$ telle que $\epsilon(\sigma,i)=\epsilon_i$ pour tout $i\in[1..n]$.
\end{lem}
\demo On proc\`ede par r\'ecurrence sur $n$. 
Pour $n=1$, soit $\hat\sigma=0^{m_1}1\ 0^{m_2}$ 
o\`u $m_1+m_2=k$ et $\epsilon_1=0$. Alors
$\sigma=0^{m_1}1^r0^{m_2}$ est la seule $(k,r)$-MP de $[1..n]$
associ\'ee \`a $\hat\sigma$.
Supposons le lemme vrai \`a l'ordre $n$. Soit $\hat\sigma$ une
$k$-permutation de $[1..n+1]$ et $(\epsilon_1,\ldots, \epsilon_{n+1})$ une suite $r$-compatible. 
Il est \'evident que
$(\epsilon_1,\ldots, \epsilon_n)$ est une suite $r$-compatible avec la
restriction $\hat\sigma'$ de $\hat\sigma$ sur $[1..n]$. D'apr\`es
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe une seule $(k,r)$-MP
$\sigma'$ de $[1..n]$ associ\'ee \`a $\hat\sigma'$ telle que
$\epsilon(\sigma',i)=\epsilon_i$ pour tout $i\in[1..n]$. 
S'il y a $s$
lettres non nulles et $t$ lettres nulles avant la lettre $n+1$ dans
$\hat \sigma$, on construit le mot $\sigma$ en ins\'erant le mot $(n+1)^r$
apr\`es la
$(rs+t-\epsilon_{n+1})$-i\`eme
lettre de $\sigma'$. On voit que $\epsilon(\sigma, n+1)=\epsilon_{n+1}$ et que
l'unicit\'e de
$\sigma'$ implique celle de $\sigma$.
\qed

Nous aurons encore besoin de quelques notions suppl\'ementaires.
Toute $k$-permutation $\hat\sigma$ peut se d\'ecomposer en \emph{ blocs}
tels que chaque bloc soit un sous-mot maximal de $\hat\sigma$ constitu\'e
soit de lettres toutes nulles (bloc nul), soit de lettres non nulles
formant une suite croissante. La premi\`ere et la derni\`ere lettre d'un bloc non nul qui ne se 
r\'eduit pas
\`a un singleton sont appel\'ees respectivement \emph{ creux} et \emph{ pic} de
$\hat\sigma$;
les autres lettres d'un tel bloc sont appel\'ees \emph{ doubles mont\'ees}
de $\hat\sigma$. Une lettre non nulle formant un bloc singleton est
appel\'ee \emph{ double descente}.

Comme dans \cite{CSZ}, on dit qu'une lettre $i$ de $\hat \sigma$
est embrass\'ee \`a gauche
(\resp. \`a droite)
par un bloc si $i$ est encadr\'e par la premi\`ere et la derni\`ere lettre de ce bloc qui se 
trouve \`a gauche (\resp.
\`a droite) de $i$. On note
$\res(\hat\sigma,i)$ (\resp. $\les(\hat\sigma,i)$) le nombre de blocs de
$\hat\sigma$ embrassant $i$ et se trouvant \`a sa droite $($resp. \`a sa
gauche$)$.

\medskip
\exemple Soit
$\sigma=3\,4\,6\,6\,6\,4\,4\,3\,3\,0\,0\, 1\,5\,5\,5\,1\,7\,7\,7\,1\,0\,2\,2\,2\,0$. Alors 
$\sigma$ est une
$(4, 3)$-\textrm{ MP} sur $[1..7]$ et
$\hat\sigma=3\,6\,-\,4\,-\,0\,0\,-\,1\,5\,7\,-\,0\,-\,2\,-\,0$, o\`u les blocs sont s\'epar\'es 
par un trait $-$. Il en r\'esulte que
$\hat\sigma$ a deux creux $1,3;$
deux pics $6,7;$ une double mont\'ee 5; deux doubles descentes $2,4$.
Les statistiques d\'efinies ci-dessus de $\sigma$ sont consign\'ees dans le tableau suivant: $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
\epsilon(\sigma,i)&0&0&0&2&2&1&1\\
\hline
\delta(\sigma,i)&2&1&4&4&2&4&2\\
\hline
\res(\hat\sigma,i)&0&0&1&1&0&1&0\\
\hline
\les(\hat\sigma,i)&0&1&0&1&1&0&0\\
\hline
\end{array}
$$
\medskip

\begin{defn} \textnormal{Soit $\sigma\in S_n^{(k,r)}$. Pour tout $i\in [1..n]$,
 on d\'efinit
$$
\resm(\sigma,i)=
r\cdot\res(\hat\sigma,i)+\epsilon(\sigma,i)+\epsilon_i\delta(\sigma,i) $$
o\`u $\epsilon_i=1$ si $i$ est un creux ou une double descente de $\hat\sigma$ et $\epsilon_i=0$ 
si $i$ est un pic ou une double mont\'ee de $\hat\sigma$; et
$$
\resm^*(\sigma,i)=\left\{\begin{array}{ll} 2r\cdot\resm(\sigma,i)+r&\hbox{si $i$ est un pic 
impair de $\hat\sigma$};\\
2r\cdot\resm(\sigma,i)&\hbox{si $i$ est un pic pair de $\hat\sigma$};\\
\resm(\sigma,i)&\hbox{si $i$ n'est pas un pic de $\hat\sigma$}.\\
\end{array}\right.
$$
On pose
$$
\resm(\sigma)=\sum_{1\le i\le n}\resm(\sigma,i),\quad \resm^*(\sigma)=\displaystyle\sum_{1\le 
i\le n}\resm^*(\sigma,i).
$$}
\end{defn}

On rappelle \cite{Fl} qu'un {\it chemin de Motzkin} est un chemin
$\pi=(p_0,\ldots, p_n)$ dans le plan $\N\times \N$ qui va de l'origine
$p_0=(0,0)$ au point $p_n=(n,0)$ sur l'axe horizontal
 en n'utilisant
que des pas \'el\'ementaires Est (i.e., des pas horizontaux ou paliers), Nord-Est et
Sud-Est. Si l'on code un pas Nord-Est par $NE$, un pas Sud-Est par $SE$ et un pas horizontal Est 
par $P$, on obtient alors un {\it mot de Motzkin} $c=c_1\ldots c_n$ sur l'alphabet
$\{NE, SE, P\}$ qui est le codage au
sens pr\'ec\'edent d'un chemin de Motzkin. 

Soit $h_1=0$ et $h_i=|c_1\ldots c_{i-1}|_{NE}-|c_1\ldots c_{i-1}|_{SE}$ pour
$2\leq i\leq n$, o\`u $|w|_a$ repr\'esente le nombre d'occurrences de la
lettre $a$
dans le mot $w$. On appelle $h_i$ le {\it niveau} du $i$-i\`eme pas
$c_i$.
Un chemin de Motzkin sans pas Est est appel\'e {\it chemin de Dyck}
et le codage correspondant est appel\'e {\it mot de Dyck}. 

Pour la commodit\'e de la description de la bijection $\Theta_n$,
on code dans la suite chaque pas Est d'un chemin de Motzkin
par $EB$ (pour Est bleu) ou $ER$ (pour Est rouge). 

\begin{defn}\textnormal{
Une histoire d'Euler d'ordre $(k,r)$ sur $[1..n]$ est un couple
$(c,p)$ o\`u $c=c_1c_2\cdots c_n$ est un mot de Motzkin et $p=p_1p_2\cdots p_n$ une suite 
d'entiers positifs telle que
\begin{equation}\label{paschemin}
0\leq p_i\leq\left \lbrace\begin{array}{ll} rh_{i}+k & \textrm{ si} 
\quad c_i=$NE$\quad \textrm{ ou}\quad $EB$;\\
rh_{i}-1 & \textrm{ si}\quad c_i= $SE$\quad \textrm{ ou}\quad $ER$.
\end{array}\right.
\end{equation}
On note $M_n^{(k,r)}$ l'ensemble des histoires d'Euler d'ordre $(k,r)$ sur $[1..n]$}.
\end{defn}

\begin{thm}\label{bijection theta} Soit $\sigma$ une $(k,r)$-\textrm{ MP} sur
$[1..n]$ et $\hat \sigma$ sa $k$-permutation associ\'ee. Pour $i=1,\ldots, n$,
on pose $p_i=\resm(\sigma,i)$ et
\begin{equation}
c_i=\left \lbrace\begin{array}{ll}
$NE$ & \textrm{ si} \quad i\quad 
\textrm{ est\ un\ creux\ de}\quad \hat\sigma;\\
$SE$ & \textrm{ si}\quad i\quad \textrm{ est\ un\ pic\ de}\quad \hat\sigma;\\
$EB$ & \textrm{ si}\quad i\quad \textrm{ est\ une\ double\ descente\ de}\quad
\hat\sigma;\\
$ER$ & \textrm{ si}\quad i\quad \textrm{ est\ une\ double\ mont\'ee\ de}
\quad \hat\sigma.\\
\end{array}\right.
\end{equation}
Alors $(c,p)=(c_1\ldots c_n, p_1\ldots p_n)$ est une histoire d'Euler d'ordre $(k,r)$
sur $[1..n]$. De plus, l'application
$\Theta_n : \S_n^{(k,r)}\longrightarrow M_n^{(k,r)}$ d\'efinie
par $\Theta_n(\sigma)=(c,p)$ est une bijection. \end{thm}
\demo
Montrons d'abord que l'application $\Theta_n$ est bien d\'efinie.

1) Si $i$ est un pic ou une double mont\'ee de $\hat\sigma$,
alors le niveau $h_{i}$ du $c_i$ satisfait l'\'equation: \begin{equation}
h_{i}=\res(\hat\sigma,i)+\les(\hat\sigma,i)+1. \end{equation}
Comme $\res(\hat\sigma,i)\le h_{i}-1$ et $\epsilon(\sigma,i)<r$, on a donc
$p_i=\resm(\sigma,i)\le rh_{i}-1$.

2) Si $i$ est un creux ou une double descente de $\hat\sigma$,
alors le niveau $h_{i}$ du $c_i$ satisfait l'\'equation: \begin{equation}
h_{i}=\res(\hat\sigma,i)+\les(\hat\sigma,i). \end{equation}
Si $\epsilon(\sigma,i)=0$, on a $p_i=\resm(\sigma,i)\le rh_{i}+k$.
Supposons que $\epsilon(\sigma,i)\neq 0$. Soit $w=x_mx_{m+1}\cdots x_{m+rq-1}$ le sous-mot 
maximal de $\sigma$
contenant $i$ et ne contenant aucune lettre nulle. Il existe un entier
$p\in[1..q-1]$ tel que $i=x_{m+rp}$. Le lemme \ref{epsi=0} implique
que $p>0$ et qu'il existe un entier
$u<p$ tel que $x_{m+ru}< x_{m+rp}$. D'autre part, comme $i$ est un creux ou une
double descente de
$\hat\sigma$, alors $x_{m+r(p-1)}>x_{m+rp}$. Soit donc $s$ le plus grand des
entiers $u<p$ tel
que
$x_{m+ru}<x_{m+rp}$. Alors $s<p-1$ (ce qui implique que $p>1$)
et, par suite, le bloc de $\hat\sigma$ contenant $x_{m+rs}$
embrasse $i$


Alors $s<p-1$ (ce qui implique que $p>1$) 
et, par suite, le  bloc de $\hat\sigma$ contenant 
$x_{m+rs}$
embrasse $i$ et se trouve \`a sa gauche.
 Il en r\'esulte que $\les(\hat\sigma,i)\neq 0$ et 
$\res(\hat\sigma,i)\le 
\res(\hat\sigma,i)+\les(\hat\sigma,i)-1=h_{i}-1$. 
Il s'ensuit que
\begin{equation}
\resm(\sigma,i)\le r(h_{i}-1)+\epsilon(\sigma,i)+k\le 
rh_{i}+k-1.\label{rescreux}
\end{equation}

Montrons ensuite que l'application $\Theta_n$ est 
bijective. Pour ce faire,
partant d'une histoire $(c,p)$ v\'erifiant la relation 
(\ref{paschemin}), 
nous allons trouver
de fa\c con algorithmique une unique $\sigma$ dans 
$S_n^{(k,r)}$ telle que $\Theta_n(\sigma)=(c,p)$. 

Nous allons d'abord construire la $k$-permutation
$\hat\sigma$ par $n$ \'etapes :
partant du mot $\hat\sigma_0=0^k$ et ins\'erant $i$ \`a la 
$i$-i\`eme \'etape pour $i=1,\ldots, n$.

\`A l'\'etape 1, comme 
$\epsilon(\sigma,1)=\res(\hat\sigma,1)=0$, 
on a donc $\delta(\sigma,1)=p_1$ et
$$
\hat\sigma_1=0^{k-p_1}\,1\,0^{p_1}.
$$
De plus, si $c_1=NE$, on ins\`ere une lettre $*$ juste 
apr\`es 1. 

Supposons que l'on est \`a la $i$-i\`eme \'etape avec 
$i\geq 2$. Soit
$y_1y_2\ldots y_{i-1}$ le r\'earrangement  de $1,2,\ldots, 
i-1$ 
selon leur disposition.
Si $s:=h_{i}>0$, soit $y_{j_1},y_{j_2},\ldots,y_{j_s}$  
les lettres suivies d'une $*$ dans $\hat\sigma_{i-1}$. 
Posons, pour simplifier, $z_l=y_{j_l}$ $(1\le l\le s)$.

Notons tout d'abord que :
\begin{itemize} 
\item chaque fois qu'on ins\`ere un creux, on ins\`ere une 
$*$ apr\`es lui; 
\item on n'ins\`ere avant une $*$ qu'une lettre qui soit 
une double
mont\'ee de $\hat\sigma$ mais on ne peut pas ins\'erer une 
lettre juste 
apr\`es une lettre non nulle non suivie d'une $*$;
\item ins\'erer un pic, c'est remplacer une $*$ par ce 
pic.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Si $c_i=ER$ ou $SE$, alors $s>0$ et les relations
$$ p_i=r\cdot\res(\hat\sigma,i)
+\epsilon(\sigma,i)\quad \hbox{et}\quad 
\epsilon(\sigma,i)<r
$$
impliquent que $\res(\hat\sigma,i)$ et 
$\epsilon(\sigma,i)$ sont respectivement le quotient et le 
reste de la
division de $p_i$ par $r$. Par cons\'equent,
\begin{itemize}
\item si $c_i=ER$, 
on ins\`ere la lettre $i$ juste apr\`es 
$z_{s-\res(\hat\sigma,i)};$ 
\item si $c_i=SE$, on remplace par la lettre 
$i$ l'$*$ qui suit $z_{s-\res(\hat\sigma,i)}$. 
\end{itemize}
\item Si $c_i=NE$, on distingue deux cas suivant que
$s=0$ ou $s>0$.\\
$\underline{s=0}$. On a n\'ecessairement 
$\res(\hat\sigma,i)=0$. 
De plus, $\epsilon(\sigma,i)=0$ d'apr\`es le lemme 
\ref{epsi=0}. 
$\delta(\sigma,i)=p_i$:
\begin{itemize} 
\item Si $p_i=k$, on place le mot $i*$ en premi\`ere 
position;
\item Si $p_i<k$, on ins\`ere le mot $i*$ juste apr\`es 
la $(k-p_i)$-i\`eme  lettre 0. 
\end{itemize}
$\underline{s>0}$. On distingue 4 cas :
\begin{itemize} 
\item 1-er cas : $p_i<\delta(\sigma,z_s)$. La lettre $i$ ne 
doit pas \^etre 
plac\'ee avant $z_s$, ni juste apr\`es l'$*$ 
qui suit $z_s$. Donc $\res(\hat\sigma,i)=0$, 
$\epsilon(\sigma,i)=0$
et, par suite, $\delta(\sigma,i)=p_i$. 
 On ins\`ere ainsi la lettre $i$ apr\`es la 
$(k-p_i)$-i\`eme
lettre 0, puis une $*$ apr\`es $i$.
\item 2-i\`eme cas : $\delta(\sigma,z_s)\le 
p_i<\delta(\sigma,z_s)+r$. 

Dans ce cas, on doit ins\'erer $i$ apr\`es l'$*$ qui suit 
$z_s$, suivi d'une 
$*$. 
N\'ecessairement, 
$\res(\hat\sigma,i)=0$, 
$\delta(\sigma,i)=\delta(\sigma,z_s)$ et 
$\epsilon(\sigma,i)=p_i-\delta(\sigma,z_s)$.
\item 3-i\`eme cas : $\delta(\sigma,z_l)+r(s-l+1)\le 
p_i<\delta(\sigma,
z_{l-1})+r(s-l+2)$ $(1\le l\le s)$. 
Dans ce cas, la lettre $i$ doit \^etre plac\'ee entre 
$z_{l-1}$ et $z_l$. Donc,
$\res(\hat\sigma,i)=s-l+1$. Posons $d_i=p_i-r(s-l+1)$.
\begin{itemize} 
\item Si $d_i<\delta(\sigma,z_{l-1})$, alors 
$\delta(\sigma,i)=p_i$ et    
$\epsilon(\sigma,i)=0$. On ins\`ere $i$
 apr\`es la $(k-d_i)$-i\`eme lettre 0, puis  
une $*$ apr\`es $i$.
\item Si $d_i\ge\delta(\sigma,z_{l-1})$, alors 
$\delta(\sigma,i)=\delta(\sigma,z_{l-1})$ 
et $\epsilon(\sigma,i)=d_i-\delta(\sigma,z_{l-1})$. On 
ins\`ere $i$
 apr\`es l'$*$ qui suit $z_{l-1}$, puis 
une $*$ apr\`es $i$.
\end{itemize}

\item 4-i\`eme cas : $p_i\ge \delta(\sigma,z_1)+rs$. 
La lettre $i$ doit \^etre 
plac\'ee avant $z_1$. On a $\res(\hat\sigma,i)=s$,
$\epsilon(\sigma,i)=0$ et, par suite, 
$\delta(\sigma,i)=p_i-rs$.
On ins\`ere donc $i$ juste apr\`es la
$(k-p_i+rs)$-i\`eme lettre 0, puis une $*$ apr\`es $i$ ($i$ 
est plac\'e
en premi\`ere position si $k-p_i+rs=0$).
\end{itemize}
\item Si $c_i=EB$, m\^eme chose que le cas o\`u $c_i=NE$,
mais on n'ins\`ere pas une $*$ apr\`es $i$.
\end{enumerate}
\`A la fin de la $n$-i\`eme \'etape, il n'y a plus d'$*$ 
car le nombre de $NE$ est \'egal au nombre de $SE$ dans $c$.
\bigskip

Cet algorithme nous permet donc de d\'eterminer de fa\c 
con unique une 
$k$-permutation $\hat\sigma$ et une suite $r$-compatible 
$(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_n)$.
D'apr\`es le lemme \ref{detsigma}, 
$\sigma$ est enti\`erement d\'etermin\'ee. \qed

\exemple
Consid\'erons l'histoire $(c,p)$ de $M_9^{(5,3)}$ o\`u \\
$\hfil c=(EB,NE,NE,SE,ER,NE,EB,SE,SE)\ \textrm{ et}\ 
p=(3,0,8,2,2,4,9,5,0).\hfil$\\ 
Soit $\sigma$ son ant\'ec\'edent et $\hat\sigma$ 
la $k$-permutation associ\'ee \`a $\sigma$.\\
$1)$ Construction de $\hat\sigma$.
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|l|}
\hline
\'etape $i$&nature de 
$i$&$\resm(\sigma,i)$&$\delta(\sigma,i)$
&$\epsilon(\sigma,i)$&\multicolumn{1}{|c|}{$\hat\sigma_i$}\\
\hline
1& double descente &  0 & 3  & 0 & $0^210^3$\\
\hline
2& creux  &  0 & 0  & 0 & $0^210^32*$\\
\hline
3& creux  &  1& 5  & 0 & $3*0^210^32*$\\
\hline
4& pic  &  0 & -- & 2 & $3*0^210^324$\\
\hline
5& double mont\'ee &  0& -- & $2$ & $35*0^210^324$\\
\hline
6& creux  &  0 & 4  & 0 & $35*06*010^324$\\
\hline
7& double descente &  1 & 5  & 1 & $35*706*010^324$\\
\hline
8& pic &  1 & --  & $2$ & $358706*010^324$\\
\hline
9& pic &  $0$ & --  & $0$ & $3587069010^324$\\
\hline
\end{tabular}
$$
On a $\hat\sigma=\hat\sigma_9=3\,5\,8\,7\,0\,6\,9\,0\,1\,0^3\,2\,4$.

2) Construction de $\sigma$.\\
Notons $\sigma_j$ la restriction de $\sigma$ \`a 
$S_j^{(5,3)}$
$(1\le j\le 9)$. Cette restriction a pour $k$-permutation 
associ\'ee
$\hat\sigma_j$ sans `$*$'. Comme $\sigma_j$ se d\'eduit de
$\sigma_{j-1}$ $(2\le j\le 9)$ en ins\'erant $j^3$ 
apr\`es la $(3s+t-\epsilon(\sigma,j))$-i\`eme lettre de 
$\sigma_{j-1}$,
 o\`u $s$ $(resp. t)$ est le 
nombre de lettres non nulles (\resp. lettres nulles) \`a 
gauche de
$j$ dans $\hat\sigma_j$, on a successivement:
\begin{eqnarray*}
\sigma_1&=&0^21^30^3;\\
\sigma_2&=&0^2\,1^3\,0^3\,2^3;\\
\sigma_3&=&3^3\,0^2\,1^3\,0^3\,2^3;\\
\sigma_4&=&3^3\,0^2\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2;\\
\sigma_5&=&3\,5^3\,3^2\,0^2\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2;\\
\sigma_6&=&3\,5^3\,3^2\,0\,6^3\,0\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2;\\
\sigma_7&=&3\,5^3\,3\,7^3\,3\,0\,6^3\,0\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2;\\
\sigma_8&=&3\,5^3\,8^3\,3\,7^3\,3\,0\,6^3\,0\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2;\\
\sigma_9&=&3\,5^3\,8^3\,3\,7^3\,3\,0\,6^3\,9^3\,0\,1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2.
\end{eqnarray*}
C'est-\`a-dire 
$\sigma=\sigma_9=3\,5^3\,8^3\,3\,7^3\,3\,0\,6^3\,9^3\,0\,
1^3\,0^3\,2\,4^3\,2^2$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Interpr\'etations combinatoires
\label{Euler : ordre r}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Soit ${\cal D}_{2n}$ l'ensemble des mots de Dyck de 
longueur $2n$.
Soient $(a_k)_{k\geq 0}$ et $(b_k)_{k\geq 1}$ deux suites
d'\'el\'ements d'un anneau commutatif ${\bf K}$. A
chaque mot $c=c_1\ldots c_{2n}$ de Dyck de longueur $2n$ on associe le poids : 
$$ 
v(w)=\prod_{i=1}^{2n}v(c_i)\quad \textrm{ avec}\quad
v(c_i)=\left\lbrace\begin{array}{ll}
a_k&\textrm{  si} \quad c_i=NE\quad \textrm{ et}\quad 
h_i=k;\\
b_k&\textrm{ si} \quad c_i=SE\quad \textrm{ et}\quad 
h_i=k.
\end{array}\right.
$$
Alors la fonction g\'en\'eratrice de ${\cal D}_{2n}$ a 
le d\'eveloppement en fraction
continue suivant (voir \cite{Fl}) :
\begin{equation}\label{eq:fonda}
1+\sum_{n\geq 1}\sum_{w\in {\cal D}_{2n}}v(w)t^n{1\over\displaystyle
1-{\fc{a_0b_1\, t}
1-{\fc{a_1b_2 \, t}
1-{\fc{a_2b_3\, t}
1-{\fc{a_3b_4\, t}\ddots
}}}}}.
\end{equation}

\begin{defn}\textnormal{ Soit $\sigma$ une $(k,r)$-MP 
sur $[1..n]$ et $\hat \sigma$ sa $k$-permutation 
associ\'ee.
On dit que $\hat\sigma$ est alternante si elle n'a ni
double mont\'ee ni double descente. Dans ce cas, on dit 
que
$\sigma$ est une $(k,r)$-MP alternante. On 
notera
$\Gamma_n^{(k,r)}$
l'ensemble des $(k,r)$-MP alternantes sur 
$[1..2n]$}.
\end{defn}

\begin{thm}\label{int: E_n^{(k,r)}(x,q)}
On a l'interpr\'etation combinatoire suivante:
\begin{equation}\label{combiEuler}
E_n^{(k,r)}(x,q)=\sum_{\sigma\in\Gamma_n^{(k-1,r)}}
x^{\sig(\sigma)}q^{\resm(\sigma)},
\end{equation}
o\`u $\sig(\sigma)$ et $\resm(\sigma)$ sont d\'efinis respectivement
dans la d\'efinition 2 et dans la d\'efinition 4.
\end{thm}
\demo 
D'apr\`es (\ref{eq:fonda}), 
l'\'equation (\ref{frac: qpolyEuler d'ordre k}) \'equivaut 
\`a
$$
E_n^{(k,r)}(x,q)=\sum_{c\in {\cal D}_{2n}}
\prod_{c_i=SE}[rh_{i}]
\prod_{c_i=NE}([rh_{i}+k-1]+xq^{rh_{i}+k-1}).
$$
D'autre part, pour tout $\sigma\in 
\Gamma_n^{(k-1,r)}$, on a $\sig(\sigma)=\sig(\hat\sigma)$. 
Soit $(c,p)=\Theta_{2n}(\sigma)$. 
Comme $\sig(\hat\sigma)$ est \'egal au nombre de creux $x$ 
de $\hat\sigma$ telles que 
$\les(\hat\sigma,x)=0$ et $\delta(\hat\sigma,x)=k-1$, 
la bijection $\Theta_{2n}$ implique que
 $\sig(\sigma)$ est \'egal 
au nombre de $c_i=NE$ telles que $p_i=rh_{i-1}+k-1$.
D'o\`u (\ref{combiEuler}). \qed

En particulier, pour $r=q=1$, on retrouve un r\'esultat 
connu sur
les nombres d'Euler d'ordre $k$ (voir \cite{CS,Fl}).
\begin{coro} Le nombre de 
$(k-1,1)$-\textrm{MP} 
alternantes de $[1..2n]$ est $E_{2n}^{(k)}$.
\end{coro}
Comme $\resm$ se r\'eduit \`a $\res$ sur $\Gamma_n^{(0,1)}$, 
on d\'eduit de (\ref{qpolyEuler}) le r\'esultat 
suivant.
\begin{coro}

Les $q$-polyn\^omes s\'ecants et les $q$-polyn\^omes 
tangents ont pour interpr\'etations respectives:
\begin{eqnarray}
S_n(x,q)&=&\sum_{\sigma\in\Gamma_n^{(0,1)}}
x^{\sig(\sigma)}q^{\res(\sigma)};\\
T_n(x,q)&=&\sum_{\sigma\in\Gamma_n^{(1,1)}}
x^{\sig(\sigma)}q^{\resm(\sigma)}.
\end{eqnarray}
\end{coro}

En particulier, on obtient un $q$-analogue d'un 
r\'esultat d'Andr\'e 
\cite{And}~:
\begin{equation}
E_{2n}(q)=\sum_{\sigma\in \Gamma_n^{(0,1)}}q^{\res(\sigma)},\quad 
E_{2n+1}(q)=\sum_{\sigma\in \Gamma_n^{(1,1)}}q^{\resm(\sigma)}.
\end{equation}
Il est \`a noter que pour $q=1$ on retrouve la 
m\^eme interpr\'etation d'Andr\'e
pour $E_{2n}$ et mais une nouvelle interpr\'etation pour $E_{2n+1}$.
Par exemple, on a 
$\Gamma_1^{(0,1)}=\{12,\,21\}$, $\Gamma_1^{(1,1)}=\{012,\,120\}$,
$\Gamma_2^{(0,1)}=\{1324,\,1423,\,
 2314,\,2413,\, 3412\}$
 et $\Gamma_2^{(1,1)}=\{01324,\, 01423,\,
13024,\,14023,\,  02413,\,
02314,\, 24013,\,23014,\,  03412,\,\\
34012,\,  13240,\,  14230,\,
 24130,\,     23140,\,  34120,\, 12034
\}$.

\begin{defn}\textnormal{
On note $\gamma_n^{(k,r)}$ l'ensemble des $(k,r)$-MP alternantes
$\sigma$ de $[1..2n]$ telles que $\resm(\sigma,i)\le
\lceil(\res(\hat\sigma,i)+\les(\hat\sigma,i)+1)/2\rceil-1$ 
pour tout pic $i$ de $\hat\sigma$}.
\end{defn}
\begin{thm} On a
$$
L_n^{(k,r)}(x,q)=\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(k,r)}}
x^{\sig(\sigma)}q^{\resm^*(\sigma)}.
$$
En particulier, 
\begin{eqnarray}
l_n(q)&=&\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(0,1)}}q^{\resm^*(\sigma)},\quad
r_n(q)=\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(1,1)}}q^{\resm^*(\sigma)},\\
L_n(q)&=&\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(0,2)}}q^{\resm^*(\sigma)},\quad
R_n(q)=\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(2,2)}}q^{\resm^*(\sigma)}.
\end{eqnarray}
\end{thm}
\demo La d\'emonstration est analogue \`a celle du 
th\'eor\`eme 
\ref{int: E_n^{(k,r)}(x,q)}. 
La bijection $\Theta_{2n}$ implique que
\begin{eqnarray*}
\sum_{\sigma\in\gamma_n^{(k,r)}}x^{\sig(\sigma)}q^{\resm^*(\sigma)}&=&\sum_{c\in {\cal D}_{2n}}
\prod_{{c_i=SE\atop i\ \textrm{ 
pair}}}[(h_{i}+1)/2]_{q^{2r}}
\prod_{{c_i=SE\atop i\ \textrm{
impair}}}q^r[h_{i}/2]_{q^{2r}}\\
&&\prod_{c_i=NE}([rh_{i}+k]+xq^{rh_{i}+k}).
\end{eqnarray*}
 Comme $[2nr]=[2r][n]_{q^{2r}}$, l'\'equation
 (\ref{frac: qpolyEuler median}) montre que
cette derni\`ere somme est aussi
\'egale  \`a $L_n^{(k,r)}(x,q)$. \qed

En prenant $q=1$, on obtient les interpr\'etations 
suivantes pour les
nombres correspondants.
\begin{itemize}
\item $L_n$ repr\'esente le nombre de 2-MP 
alternantes $\sigma$ de
$[1..2n]$ telles que $2\resm(\sigma,i)\le 
\res(\hat\sigma,i)+
\les(\hat\sigma,i)$ pour tout pic $i$ de $\hat\sigma$; 
\item $R_n$ repr\'esente le nombre de (2,2)-MP
alternantes 
$\sigma$ de
$[1..2n]$ telles que $2\resm(\sigma,i)\le  
\res(\hat\sigma,i)+
\les(\hat\sigma,i)$ pour tout pic $i$ de
$\hat\sigma$; 
\item $l_n$ repr\'esente le nombre de permutations 
alternantes $\sigma$ 
de $[1..2n]$
telles que $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)$ pour tout pic 
$i$ de 
$\sigma$;
\item $r_n$ repr\'esente le nombre de (1,1)-MP 
alternantes 
$\sigma$ de $[1..2n]$ telles
que $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)$ pour tout pic $i$ de 
$\sigma$.
\end{itemize}
Par exemple, pour $n=2$ on a $l_2=\#\{1423,\, 2413, \,
3412\}=3$, $r_2=\#\{12034,\,\\
01423,\, 
14023,\, 14230,\, 02413,\, 24013, \,24130,03412,\,34012,\,34120\}=10$,
$L_2=\#\{11442233,\, 12442133,\, 22441133,\, 
33441122\}=4$ et 
$R_2=\#\{0112203344,\,\\
1122003344,\, 1122033440,\, 0033441122,\,
0334401122,\, 0334411220,\, 3344001122,\,\\
 3344011220,\, 3344112200,\, 0011442233,\,
0012442133,\,0114402233,\, 0114422330,\, \\ 
0124421330,\, 1144002233,\,1144022330,\, 1144223300, 1244213300,\, 
0022441133,\, \\0224401133,\,0224411330, \,2244001133,\, 2244011330,\,
2244113300\}=24$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Liens avec les nombres de Genocchi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On rappelle que les nombres de Genocchi sont d\'efinis par
$$
\sum_{n\geq 1}G_{2n}{t^{2n}\over (2n)!}=t\tan (t/2).
$$
Posons
\begin{equation}
G_n^{(r)}(x,q)=P_n^{(0,r,r,0)}(x,q).\label{def:G}
\end{equation}
Il vient du Th\'eor\`eme 1 que
\begin{eqnarray}\label{gfrac}
\sum_{n\geq 0}G_n^{(r)}(x,q)t^n
&=&1+[r]x\ t+[r]^2x(x+[x,r])\ t^2+\ldots \nonumber\\
&=&{1\over\displaystyle
1-{[r]x\, t\over\displaystyle
1-{[r][x,r]_q\,  t\over\displaystyle
1-{[2r][x,r]_q \, t\over\displaystyle
1-{[2r][x,2r]_q\,t\over\displaystyle
1-{[3r][x,2r]_q\,t\over\displaystyle
1-{[3r][x,3r]_q\,t\over\displaystyle\ddots
}}}}}}}.
\end{eqnarray}

On en d\'eduit alors de la formule de S-fraction continue 
pour les
nombres  de Genocchi \cite{Vi} que
$$
G_n^{(1)}(1,1)=G_{2n+2}.
$$
D'autre part, par (\ref{frac:tangente}) on voit que 
$$
G_n^{(2)}(1,1)=E_{2n+1}.
$$
Rappelons que, si $k=0$, une $(k,r)$-MP se r\'eduit \`a une 
$r$-MP.
Soit $\Gamma_n^r$ l'ensemble des $r$-MP alternantes 
$\sigma$ de $[1..2n]$
telles que
\begin{itemize}
\item $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)$ pour tout pic $i$ 
de $\sigma$;
\item $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)
+(-1)^{\chi(\epsilon(\sigma,i)\neq 0)}$
pour tout creux $i$ de $\sigma$.
\end{itemize}

\begin{defn}\textnormal{ Une histoire de
Genocchi d'ordre r sur $[1..2n]$ est 
un couple $(c,p)$ o\`u $c$ est un mot de
Dyck de longueur $2n$ et $p=p_1p_2\cdots p_{2n}$ 
une suite de $2n$
entiers telle que $0\le p_i\le r\lceil{h_{i-1}/2}\rceil$ si 
$c_i$ est 
un $NE$ de $c$ et $0\le p_i\le r\lceil{h_{i-1}/2}\rceil-1$ 
si $c_i$ est un $SE$ de $c$. On note $H_n^{(r)}$ l'ensemble 
des histoires de Genocchi d'ordre r sur $[1..2n]$}.
\end{defn}

\remarq Pour $r=1$, on retrouve la m\^eme notion de 
\cite{Ra}.
\begin{thm} On a l'interpr\'etation combinatoire suivante :
\begin{equation}
G_n^{(r)}(x,q)=\sum_{\sigma\in\Gamma_n^r}x^{\equi(\hat\sigma)}
q^{\resm(\sigma)}.
\end{equation}
o\`u $\equi(\hat\sigma)$ est le nombre de creux $i$ de
$\hat\sigma$ tels que 
$\res(\hat\sigma,i)=\les(\hat\sigma,i)$ 
ou $\res(\hat\sigma,i)=\les(\hat\sigma,i)+1$.
\end{thm}
\demo 
La restriction de $\Theta_{2n}$ sur $\Gamma_n^r$
envoie bijectivement $\Gamma_n^r$ sur l'ensemble 
$H_n^{(r)}$.
On note que $\equi(\hat\sigma)$ correspond
au nombre de $NE$ dans $c$ telles que 
$p_i=r\lceil{h_{i}/2}\rceil$.
On a donc l'identit\'e suivante:
\begin{eqnarray*}
\sum_{\sigma\in\Gamma_n^r}
x^{\equi(\hat\sigma)}q^{\resm(\sigma)}&=&
\sum_{c\in {\cal D}_{2n}}\prod_{c_i=NE}
([r\left\lceil{h_{i-1}/2}\rceil\right]+
xq^{r\lceil{h_{i-1}/2}\rceil})\\
&&\times \prod_{c_i=SE}[r\lceil{h_{i-1}/2}\rceil],
\end{eqnarray*}
ce qui est exactement la formule obtenue pour 
$G_n^{(r)}(x,q)$ en
appliquant (\ref{eq:fonda}) \`a (\ref{gfrac}). \qed

Il en r\'esulte que $G_{2n+2}$ est 
\'egal au 
nombre de permutations alternantes $\sigma$ de $[1..2n]$ 
telles que
\begin{itemize}
\item $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)$ pour tout pic $i$ 
de $\sigma$;
\item $\res(\sigma,i)\le \les(\sigma,i)+1$ pour tout creux 
$i$ de 
$\sigma$.
\end{itemize}
Par exemple, on a $G_6=\#\{1423,\, 2413,\, 3412\}=3$.

\bigskip
\noindent{\bf Remerciements\/} Nous remercions les deux 
arbitres anonymes pour leurs lectures attentives, qui ont permis
d'am\'eliorer  la pr\'esentation  de cet article.

\small
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thebibliography}{99}
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