Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B54d (2006), 13 pp.

Jean-Christophe Aval

Ideals and Quotients of B-Quasisymmetric Polynomials

Abstract. The space QSymn(B) of B-quasisymmetric polynomials in 2 sets of n variables was recently studied by Baumann and Hohlweg [Trans. Amer. Math. Soc., to appear]. The aim of this work is a study of the ideal <QSymn(B)+> generated by B-quasisymmetric polynomials without constant term. In the case of the space QSymn of quasisymmetric polynomials in 1 set of n variables, Aval, Bergeron and Bergeron [Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), 1053-1062; Adv. in Math. 181 (2004), 353-367] proved that the dimension of the quotient of the space of polynomials by the ideal <QSymn+> is given by Catalan numbers $ C_n=\frac 1 {n+1}
{\binom {2n} n}$. In the case of B-quasisymmetric polynomials, our main result is that the dimension of the analogous quotient is equal to $ \frac{1}{2n+1}{\binom {3n} n}$, the numbers of ternary trees with n nodes. The construction of a Gröbner basis for the ideal, as well as of a linear basis for the quotient are interpreted by a bijection with lattice paths. These results are finally extended to p sets of variables, and the dimension is in this case $ \frac{1}{pn+1}{\binom {(p+1)n} n}$, the number of p-ary trees with n nodes.

Résumé. L'espace QSymn(B) des polyn˘mes B-quasisymétriques en deux ensembles de n variables a été récemment étudié par Baumann et Hohlweg [Trans. Amer. Math. Soc., à paraître]. Nous considérons ici l'idéal <QSymn(B)+> engendré par les polyn\^omes B-quasi\-symé\-triques sans terme constant. Dans le cas de l'espace QSymn des polyn\^omes quasisymétri\-ques en 1 ensemble de n variables, Aval, Bergeron et Bergeron [Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), 1053-1062; Adv. in Math. 181 (2004), 353-367] ont montré que la dimension du quotient de l'espace des polyn\^omes par l'idéal <QSymn+> est donnée par les nombres de Catalan $ C_n=\frac 1 {n+1}
{\binom {2n} n}$. Dans le cas des polyn\^omes B-quasisymétri\-ques, notre principal résultat est que la dimension du quotient analogue est ici $ \frac{1}{2n+1}{\binom {3n} n}$, à savoir le nombre d'arbres ternaires à n noeuds. Nous construisons une base de Gröbner pour l'idéal, de même qu'une base du quotient, toutes deux explicites et en bijection avec des chemins. Nous étendons enfin ces résultats Ó p ensembles de variables, et montrons que dans ce cas la dimension est $ \frac{1}{pn+1}{\binom {(p+1)n} n}$, le nombre d'arbres p-aires à n noeuds.


Received: May 30, 2005. Accepted: January 18, 2006. Final Version: January 19, 2006.

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