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Distributionentheorie
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 4
Zeit und Ort: Mo 13--15 C 2.09 (UZA 4); Mi 13--15 Seminarraum 2A310 (UZA 2)
Beginn: 6.3.2006
Allgemeines: Die Theorie der Distributionen---oft auch verallgemeinterte Funktionen genannt---ist eine Erweiterung der klassischen Analysis, die Mitte des 20. Jahrhunderts vor allem von Laurent Schwartz und Sergei Sobolev entwickelt wurde.
In der Physik und den Ingenieurwissenschaften waren verallgemeinerte Funktionen-Ideen in mehr oder weniger vager und exakter Form schon lange und weit verbreitet (Kirchhoff 1882, Heaviside 1898, Dirac 1926) aber erst die elegante (funktionalanalytische) Formulierung von Laurent Schwartz (um 1945) brachte den ganz grossen Erfolg. Binnen kürzester Zeit nahm die Theorie der Distributionen sowohl innerhalb der Funktionalanalysis, als auch in Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, theoretische Physik) einen zentralen Platz ein.
Die Grundidee dieser Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs ist es, statt der ''klassischen'' Zuordnung ${\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)$ die Zuordnung $\varphi \mapsto \int f(x) \varphi(x) dx$ zu betrachten, wobei $\varphi$ Element eines geeigneten Funktionenraums $\cal{D}$ ist; verallgemeinerte Funktionen sind also lineare, (stetige) Funktionale auf ${\cal D}$. Dieser Begriffsrahmen ist besonders gut geeignet, um für (klassisch) nichtdifferenzierbare oder sogar unstetige Funktionen (etwa die Heaviside'sche Sprungfunktion oder die Dirac'sche Deltafunktion) einen Ableitungsbegriff zu entwickeln und eine reichhaltige Theorie verallgemeinerter Funktionen zu ermöglichen.
Obwohl die größte Triebkraft hinter der Entwicklung der Distributionentheore der Wunsch nach einer Erweiterung von Lösungskonzepten für partielle Differentialgleichungen (schwache Lösungen, Fundamentallösungen) war, erreichten die revolutionären Einwirkungen auf die Analysis von (linearen) partiellen Differentialoperatoren insbesondere durch L. Hörmander (seit Mitte der 1950er Jahre) unvorhergesehene Ausmaße.
Inhalt: In der Vorlesung wird die Theorie der Distributionen auf ''elementarem'' Niveau (also ohne Einbeziehung der Theorie lokalkonvexer Vektorrä,ume) entwickelt; gemä,ß der Rolle der Distributionentheorie als "analytische Technologie".
Als Hauptreferenz wird uns das Buch von F.G. Friedlander und M. Joshi ("Introduction to the Theory of Distributions", 2nd Edition, Cambridge Universtiy Press, 1998) dienen. Kerninhalte für etwa 2/3 der Vorlesung sind
- Testfunktionen und Distributionen
- Differentialoperatoren
- Faltung, Fundamentallösungen
- Temperierte Distributionen und Fourier Analysis.
- Regularität
- Operatorkerne
- Mikrolokale Analysis
- Ausbreitung von Singularitäten
- Distributionen auf Mannigfaltigkeiten.
Literatur: Eine kommentierte Literaturliste befindet sich hier.
Bemerkung: Diese Vorlesung bietet einen Einstieg in das Arbeitsgebiet der Forschungsgruppe DiANA und kann so als Vorbereitung auf eine Diplomarbeit innerhalb der Gruppe dienen.
Voraussetzung zum erfolgreichen Besuch der Lehrveranstaltung sind vor allem solide Analysis-Kenntnisse etwa im Umfang der Grundvorlesungen Analysis 1-3 bzw. Analysis für Physik 1,2. Der Besuch der Vorlesung ist daher schon ab dem 4. Semseter möglich.
Etwas Toplogie ist wünschenswert aber nicht unbedingt erforderlich. Querbezüge zur Funktionalanalysis (lokalkonvexe Vektorräume) werde ich je nach Publikumswunsch und Vorbildung der TeilnehmerInnen mehr oder weniger einbringen. Wer Kenntnisse aus partiellen Differentialgleichungen oder der theoretischen Physik mitbringt wird die Anwendungsaspekte der Vorlesung mehr zu geniessen wissen...
Zielpublikum: Diplomstudierende der Mathematik und insbesondere auch der (theoretischen) Physik; alle die Lust und Interesse am Thema haben---etwa Lehramstudierende der Mathematik.
Positionierung im Studienplan: Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.
Prüfungen: mündlich; individuelle Terminvereinbarung.