APPROXIMANTS DE PADÉ DES q-POLYLOGARITHMES

C. KRATTENTHALER^{†} ET T. RIVOAL^{‡}

Dédié à Wolfgang Schmidt, pour son soixante-dixième anniversaire

Résumé. Nous résolvons un problème d’approximation simultanée de type Padé mettant en jeu des q-analogues spécifiques des polylogarithmes et des puissances du logarithme. Ce problème est fortement lié aux résultats récents des auteurs et de Wadim Zudilin [� Séries hypergéométriques basiques, fonction q-zêta et séries d’Eisenstein �, J. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), 53–79] sur la dimension de l’espace vectoriel engendré par des q-analogues des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux nombres entiers. Nous montrons aussi que ce résultat peut être considéré comme q-analogue d’un résultat de Stéphane Fischler et du deuxième auteur [J. Math. Pures Appl. 82 (2003), 1369–1394].

Abstract. We solve a Padé-type problem of approximating three specific functions simultaneously by q-analogues of polylogarithms, respectively by powers of the logarithm. This problem is intimately related to recent results of the authors and Wadim Zudilin [� Séries hypergéométriques basiques, fonction q-zêta et séries d’Eisenstein �, J. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), 53–79] on the dimension of the vector space generated by q-analogues of values of the Riemann zeta function at integers. We also show that our result can be considered as a q-analogue of a result of Stéphane Fischler and the second author [J. Math. Pures Appl. 82 (2003), 1369–1394].

1. Introduction

Considérons la série

ζ_{q}(s) = ∑_{k=1}^{∞} k^{s−1} \frac{q^{k}}{1 − q^{k}} ,

qui converge pour tout complexe |q| < 1 et tout entier s ≥ 1. La notation ζ_{q} est justifiée par le fait que cette fonction est un q-analogue de la fonction zêta de Riemann ζ(s) au sens

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 41A21 ; Secondary 33D15. Key words and phrases. Approximants de Padé, q-analogue du logarithme, q-analogues des polyloga-

rithmes, confluence.

† Recherche partiellement supportée par le Programme � Accroître le potentiel humain de recherche � de la Commission Européenne, contrat HPRN-CT-2001-00272, “Algebraic Combinatorics in Europe”, et par la Fondation Autrichienne de Recherche FWF, contrat S9607-N13, dans le cadre du Réseau National de Recherche “Analytic Combinatorics and Probabilistic Number Theory”

Adresse actuelle : Fakultät für Mathematik, Universität Wien, Nordbergstraße 15, A-1090 Vienna, Austria

‡Adresse actuelle : Institut Fourier, CNRS UMR 5582, Université Grenoble 1, 100 rue des Maths, BP 74, 38402 Saint-Martin d’Hères cedex, France.

suivant (voir [5, paragraphe 4.1], [3, Theorem 2] ou [8]) :

lim_{q→1} (1 − q)^{s}ζ_{q}(s) = (s − 1)! ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{s}} = (s − 1)! ζ(s).

Dans [5], les deux auteurs et W. Zudilin ont montré que la dimension de l’espace vectoriel

engendré sur ℚ par 1, ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), …, ζ_{q}(A) (A ≥ 3 impair) est minorée par \frac{π + o(1)}{2\sqrt{π^{2} + 12}} \sqrt{A}

lorsque 1/q ∈ ℤ \ {±1}. La démonstration utilise les fonctions q-polylogarithmes, définies pour tout entier s ≥ 1 par

Li_{s}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{s}} z^{k},  (1.1)

où z et q désignent des nombres complexes tels que |q| < 1 et |zq| < 1. Ces fonctions constituent des q-analogues des polylogarithmes usuels Li_{j}(z) au sens suivant :

lim_{q→1} (1 − q)^{s} Li_{s}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k^{s}} = Li_{s}(z).

Notons que les polylogarithmes sont aussi utilisés au cours de la démonstration du théorème suivant (dont celui rappelé ci-dessus est un q-analogue) : la dimension de l’espace vectoriel

engendré sur ℚ par 1, ζ(3), ζ(5), …, ζ(A) (A ≥ 3 impair) est minorée par \frac{1 + o(1)}{1 + log(2)} log(A)

(voir [2, 6]). Dans les deux cas, la démonstration est en fait basée sur une étude très fine d’une série (q-)hypergéométrique bien choisie que l’on commence par exprimer comme une combinaison linéaire polynomiale en les (q-)polylogarithmes. Plus précisément, soient A, n, r des entiers positifs tels que 0 ≤ r ≤ A/2. Définissons les factorielles décalées (ou symboles de Pochhammer) (α)_{m} = α(α + 1) ⋯ (α + m − 1) et les factorielles q-décalées (α; q)_{m} = (1 − α)(1 − αq) ⋯ (1 − αq^{m−1}), avec la convention usuelle que les produits vides pour m = 0 valent 1. On pose alors

S_{n}(z; q) = (q; q)_{n}^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} q^{k} \frac{(q^{k−rn}; q)_{rn} (q^{k+n+1}; q)_{rn}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{A}} q^{(k−1/2)(A−2r)n/2}z^{−k},

avec |q| < 1 ≤ |z| et A pair, ainsi que

S_{n}(z) = n!^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k − rn)_{rn} (k + n + 1)_{rn}}{(k)_{n+1}^{A}} z^{−k},

avec |z| ≥ 1. Il est alors facile de montrer l’existence de deux familles de polynômes P_{j,n}(z; q) ∈ ℂ(q)[z] et P_{j,n}(z) ∈ ℂ[z], de degré au plus n, tels que

S_{n}(z; q) = P_{0,n}(z; q) + ∑_{j=1}^{A} P_{j,n}(z; q) Li_{j}(1/z; q)  (1.2)

et

S_{n}(z) = P_{0,n}(z) + ∑_{j=1}^{A} P_{j,n}(z) Li_{j}(1/z).  (1.3)

Par ailleurs, les numérateurs des sommandes dans les définitions de S_{n}(z; q) et S_{n}(z) s’annulent pour les indices k ∈ {1, …, rn}, ce qui assure que l’ordre en z = 0 des deux séries est exactement rn + 1 : les équations (1.2) et (1.3) peuvent donc être vues comme des problèmes d’approximations de type Padé pour les séries entières 1 et Li_{j}(z; q), respectivement 1 et Li_{j}(z). L’information n’est cependant pas suffisante pour affirmer qu’il n’existe, à constante multiplicative près, qu’une seule fonction S_{n}(z; q), resp. S_{n}(z), vérifiant (1.2), resp. (1.3), et qui s’annule à l’ordre rn + 1.

Dans [4], sont énoncées des conditions supplémentaires, de type Padé, portant sur des objets liés à la série S_{n}(z) et qui suffisent à assurer que S_{n}(z) est bien la seule solution de (1.3) pour des polynômes P_{j,n}(z) de degré au plus n. Voici l’énoncé précis.

Étant donnés des entiers A ≥ 1, n ≥ 0, ρ ≥ 0, σ ≥ 0 tels que ρ + σ + 2 ≤ A(n + 1), on cherche à résoudre le problème d’approximations simultanées de Padé suivant : déterminer des polynômes (dépendants de A, n, ρ, σ) P_{0}(z), \overline{P}_{0}(z) et P_{j}(z) (pour j = 1, …, A), de degré au plus n et à coefficients dans ℚ, tels que

\begin{cases}S(z) = P_{0}(z) + ∑_{j=1}^{A} P_{j}(z) Li_{j}(1/z) = O(z^{−ρ−1}) quand z → ∞; \\ \overline{S}(z) = \overline{P}_{0}(z; q) + ∑_{j=1}^{A} P_{j}(z) Li_{j}(z) = O(z^{σ+n+1}) quand z → 0 ; \\ I(z) = ∑_{j=1}^{A} P_{j}(z)\frac{log^{j−1}(1/z)}{(j − 1)!} = O((z − 1)^{A(n+1)−ρ−σ−2}) quand z → 1. \end{cases}  (1.4)

(Ici et dans toute la suite, la fonction logarithme est définie avec sa branche principale : log(z) = log |z| + i arg(z), avec −π < arg(z) ≤ π. On notera ℝ_{−} l’ensemble des réels négatifs.) On a alors le résultat suivant, qui résout conplètement ce problème.

Théorème 1. Dans les conditions ci-dessus, le problème (1.4) a une solution unique, à une constante multiplicative près. En choisissant cette constante égale à 1, on a

S(z) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k − ρ)_{ρ} (k + n + 1)_{σ}}{(k)_{n+1}^{A}} z^{−k} et I(z) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{(s − ρ)_{ρ} (s + n + 1)_{σ}}{(s)_{n+1}^{A}} z^{−s} ds,

où C est n’importe quelle courbe fermée orientée dans le sens direct qui entoure les pôles de l’intégrande, i.e. 0, −1, …, −n.

Le but de cette note est de prouver un q-analogue du théorème précédent. On suppose dorénavant que q ∉ ℝ_{−} ce qui permet de définir log_{q}(z) = log(z)/ log(q).

Étant donnés des entiers A ≥ 1, n ≥ 0, ρ ≥ 0, σ ≥ 0 et ν ≥ 0 tels que ρ + σ + ν + 2 ≤ A(n+1), on cherche à résoudre le problème d’approximations simultanées de Padé suivant : déterminer des polynômes (dépendants de A, n, ρ, σ et ν) P_{0}(z; q), \overline{P}_{0}(z; q) et P_{j}(z; q) (pour j = 1, …, A) en la variable z, de degré au plus n et à coefficients dans ℚ(q), tels que

\begin{cases}S(z; q) = P_{0}(z; q) + ∑_{j=1}^{A} P_{j}(z; q) Li_{j}(1/z; q) = O(z^{−ρ−1}) quand z → ∞; \\ \overline{S}(z; q) = \overline{P}_{0}(z; q) + ∑_{j=1}^{A} P_{j}(z; q) Li_{j}(z; 1/q) = O(z^{σ+n+1}) quand z → 0 ; \\ I(z; q) = − ∑_{j=1}^{A} P_{j}(zq^{1−j}; q)\frac{(− log_{q}(1/z))_{j−1}}{(j − 1)!} = O(z − q^{−ℓ}) quand z → q^{−ℓ} \\ pour tout ℓ ∈ \{−ν, −ν + 1, …, A(n + 1) − ρ − σ − ν − 2\}. \end{cases} (1.5)

Théorème 2. Dans les conditions ci-dessus, le problème (1.5) a une solution unique, à une constante multiplicative près. En choisissant cette constante égale à 1, on a

S(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k} \frac{(q^{k−ρ}; q)_{ρ} (q^{k+n+1}; q)_{σ}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{A}} q^{νk}z^{−k}

et

I(z; q) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{(sq^{−ρ}; q)_{ρ} (sq^{n+1}; q)_{σ}}{(s; q)_{n+1}^{A}} s^{ν−log_{q}(z)} ds,

où C est n’importe quelle courbe fermée orientée dans le sens direct qui entoure les pôles de l’intégrande, i.e. 1, q^{−1}, …, q^{−n}, sans traverser la coupure ℝ_{−}.

Avant de passer à la démonstration du Théorème 2, faisons quelques remarques :

Les Théorèmes 1 et 2 sont formellement très similaires, à ceci près que le paramètre � qanalogique � ν n’a pas d’équivalent dans le cas classique. La différence majeure se situe dans l’énoncé des conditions d’annulation des fonctions I(z) et I(z; q) : cela n’a cependant rien surprenant puisqu’il est fréquent dans ce genre de situation que des singularités en certaines puissances de q confluent vers une unique singularité en 1 (avec une certaine multiplicité) lorsque q → 1. Nous explicitons plus en détail la � convergence � du Théorème 2 vers le Théorème 1 au paragraphe 3.

Il est à noter l’utilisation, naturelle dans notre contexte, de log(z)/ log(q) comme qanalogue de la fonction logarithme. Cet analogue, qui possède donc une monodromie nontriviale en 0, est un choix historiquement classique : voir [1]. Certaines théories géométriques récentes (étudiant l’analogie entre équations aux q-différences et équations différentielles) ont mis en avant un q-analogue différent du logarithme : J. Sauloy [7] utilise comme qlogarithme la fonction ℓ_{q}(z) = zθ′_{q}(z)/θ_{q}(z), avec θ_{q}(z) = ∑_{n∈ℤ}(−1)^{n}q^{−n(n−1)/2}z^{n}, qui est méromorphe sur ℂ et dont les pôles confluent le long d’une spirale lorsque q → 1, cette spirale agissant alors comme une coupure du plan pour le logarithme usuel.

2. Démonstration du Théorème 2

Remarquons tout d’abord que les polynômes P_{0}(z; q) et \overline{P}_{0}(z; q) sont déterminés de façon unique, une fois connus les autres polynômes du problème (1.5). De plus, celui-ci se traduit par un système linéaire dont les inconnues sont les A(n + 1) coefficients des polynômes P_{j}(z; q) (j ≥ 1) et dont le nombre d’équations est A(n + 1) − 1 : il y a donc au moins une solution non-triviale (i.e. non identiquement nulle).

On utilise temporairement la notation P_{j}(z; q) pour désigner des polynômes génériques de degré au plus n en z et à coefficients dans ℚ(q), sans présager qu’il s’agisse des solutions du problème (1.5). On pose

P_{j}(z; q) = ∑_{t=0}^{n} p_{j,t}(q)z^{t},  (2.1)

où p_{j,t}(q) ∈ ℚ(q), de telle sorte que

∑_{j=1}^{A} P_{j}(z; q) Li_{j}(1/z; q) = ∑_{k=1−n}^{∞} q^{k}z^{−k} ∑_{j=1}^{A} ∑_{t=max(0,1−k)}^{n} \frac{q^{t}p_{j,t}(q)}{(1 − q^{k+t})^{j}} .

Il est utile à ce point d’introduire la fraction rationnelle (qui dépend aussi de A) :

R(s; q) = ∑_{j=1}^{A} ∑_{t=0}^{n} \frac{q^{t}p_{j,t}(q)}{(1 − sq^{t})^{j}}  (2.2)

= \frac{Π(s; q)}{(s; q)_{n+1}^{A}} ,  (2.3)

où Π(s; q) est un polynôme en s, à coefficients dans ℚ(q), et de degré < A(n + 1) puisque la décomposition en éléments simples (2.2) de R(s; q) est sans partie principale. Il est clair que la connaissance de Π(s; q) détermine de facto les polynômes P_{j}(z; q) (j ≥ 1). On en déduit que si l’on connaˆ Π(s; q), alors on a

S(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k}R(q^{k}; q)z^{−k}

et aussi, par un simple calcul de résidus utilisant l’expression (2.2),

I(z; q) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} R(s; q)s^{− log_{q}(z)} ds,

où C est n’importe quelle courbe fermée entourant dans le sens direct les pôles de R(z; q) et qui ne traverse pas la coupure ℝ_{−}. Nous allons maintenant montrer que la solution du problème de Padé (1.5) est unique, à une constante multiplicative près, et la déterminer en explicitant le polynôme � codant � Π(s; q). Pour cela, nous interprétons chacune des conditions de (1.5) par quatre lemmes : il en découlera alors que

Π(s; q) = (sq^{−ρ}; q)_{ρ} (sq^{n+1}; q)_{σ} s^{ν},

à une constante multiplicative près.

Lemme 1. Les polynômes P_{1}, …, P_{A} vérifient la première condition de (1.5) si, et seulement si,

∏_{i=1}^{ρ}(1 − sq^{−i}) = (sq^{−ρ}; q)_{ρ} divise Π(s; q).

Démonstration. La première condition de (1.5) se traduit par l’annulation des coefficients de Taylor de S(z; q) d’indices 1, 2, …, ρ, ce qui équivaut à l’annulation de la fonction k ↦ Π(q^{k}; q) en k = 1, 2, …, ρ. Cela équivaut en fait à l’annulation du polynôme Π(s; q) en s = q, q^{2}, …, q^{ρ}, d’où l’assertion. □

Lemme 2. Les polynômes P_{1}, …, P_{A} vérifient la deuxième condition de (1.5) si, et seulement si,

∏_{i=n+1}^{n+σ}(1 − sq^{i}) = (sq^{n+1}; q)_{σ} divise Π(s; q).

Démonstration. Dans la deuxième condition de (1.5), on change z en 1/z, puis on multiplie par z^{n}, de telle sorte que z^{n}\overline{S}(1/z; q) = O(z^{−σ−1}). On a

z^{n} ∑_{j=1}^{A} P_{j}(1/z; q) Li_{j}(1/z; 1/q) = ∑_{k=1−n}^{∞} q^{−k}z^{−k} ∑_{j=1}^{A} ∑_{t=max(0,1−k)}^{n} \frac{q^{−t}p_{j,n−t}(q)}{(1 − q^{−k−t})^{j}}

= q^{−n} ∑_{k=1−n}^{∞} q^{−k}z^{−k} ∑_{j=1}^{A} ∑_{t=0}^{min(n,n+k−1)} \frac{q^{t}p_{j,t}(q)}{(1 − q^{t−k−n})^{j}} .

Pour k ≥ 1, le coefficient de z^{−k} dans la série z^{n}\overline{S}(1/z; q) est donc donné par q^{−n−k}R(q^{−k−n}; q). L’annulation des coefficients de Taylor de z^{n}\overline{S}(1/z; q) d’indices 1, 2, …, σ équivaut donc à l’annulation du polynôme Π(s; q) en s = q^{−n−1}, …, q^{−n−σ}, d’où l’assertion. □

Lemme 3. La condition I(q^{−j}; q) = 0 pour j ∈ {−ν, …, −1} équivaut à

s^{ν} divise Π(s; q).

Démonstration. Rappelons que

I(z; q) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{Π(s; q)}{(s; q)_{n+1}^{A}} s^{− log_{q}(z)} ds.

où C est n’importe quelle courbe fermée orientée dans le sens direct et entourant les pôles de l’intégrande, i.e. 1, q^{−1}, …, q^{−n}, sans traverser la coupure ℝ_{−}.

Soit −n ≤ j ≤ −1, et supposons que I(q^{−j}, q) = 0. Alors, pour tout contour C entourant les points 1, q^{−1}, …, q^{−n} mais ne traversant pas la coupure, donc n’entourant pas 0, on a

0 = I(q^{−j}; q) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C} \frac{Π(s; q)}{s^{−j}(s; q)_{n+1}^{A}} ds,

où l’intégrande est une fraction rationnelle dont 0 est peut-être un pôle : nous allons montrer que ce n’est (éventuellement) le cas que si j < −ν, ce qui prouvera que s^{ν} divise Π(s; q).

Pour cela, notons que, par le théorème des résidus et parce que le résidu à l’infini de l’intégrande F (s; q) de I(q^{−j}; q) est nul (car le degré du numérateur de F (s; q) est ≤ A(n + 1) − 1, et celui de son dénominateur ≥ A(n + 1) + 1), on a

0 = −Res_{∞}(F) = \frac{1}{2iπ} ∫_{C′} F (s; q) ds

= \frac{1}{2iπ} ∫_{C} F (s; q) ds + \frac{1}{2iπ} ∫_{C_{0}} F (s; q) ds = \frac{1}{2iπ} ∫_{C_{0}} F (s; q) ds,

où C′ est un cercle entourant tous les pôles de F ainsi que 0, et C_{0} un cercle entourant 0 et aucun autre pôle de F, les deux orientés dans le sens direct. Donc

0 = \frac{1}{2iπ} ∫_{C_{0}} F (s; q) ds = \frac{1}{(−j − 1)!} ((s; q)_{n+1}^{−A}Π(s; q))^{(−j−1)} |_{s=0}.  (2.4)

Puisque la fonction s ↦ (s; q)_{n+1}^{−A} ne s’annule pas en s = 0, on déduit de (2.4), par récurrence sur j ∈ {−1, −2, …, −ν}, que 0 = Π(0; q) = Π^{(1)}(0; q) = ⋯ = Π^{(ν−1)}(0; q), ce qui prouve que s^{ν} divise Π(s; q). La réciproque se montre facilement en renversant cet argument. □

Lemme 4. La condition I(q^{−j}; q) = 0 pour j ∈ {0, …, A(n + 1) − ρ − σ − ν − 2} équivaut à

deg(Π) ≤ ρ + σ + ν.

Démonstration. Développons Π(s; q)/(s; q)_{n+1}^{A} en série entière en s = ∞ :

\frac{Π(s; q)}{(s; q)_{n+1}^{A}} = ∑_{k=ω}^{∞} \frac{c_{k}}{s^{k}} ,

où ω = A(n+1)−deg(Π) est l’ordre de cette fraction rationnelle à l’infini et les c_{k} sont des nombres complexes. Notons que cette série converge au moins pour |s| assez grand puisque ω ≥ 1, disons pour |s| ≥ S. On choisit alors un cercle suffisamment grand pour que l’on puisse intégrer cette série terme à terme, disons le cercle \overline{C} = \{z : |z| = S + 1\}. On a alors

I(q^{−j}; q) = \frac{1}{2iπ} ∫\overline{C} \frac{Π(s; q)}{(s; q)_{n+1}^{A}} s^{j} ds = ∑_{k=ω}^{∞} c_{k} ∫\overline{C} s^{j−k} ds = c_{j+1}.

L’annulation de I(q^{−j}; q) pour j ∈ {0, …, A(n + 1) − ρ − σ − ν − 2} équivaut donc à

ω ≥ A(n + 1) − ρ − σ − ν,

ce qui équivaut plus simplement à deg(Π) ≤ ρ + σ + ν. □

Démonstration du Théorème 2. Puisque les polynômes s^{ν}, (sq^{−ρ}; q)_{ρ} et (sq^{n+1}; q)_{σ} n’ont pas de racines communes, les trois premiers lemmes montrent que s^{ν}(sq^{−ρ}; q)_{ρ} (sq^{n+1}; q)_{σ} divise Π(s; q). Or le dernier lemme montre que deg(Π) ≤ ρ + σ + ν, ce qui achève la démonstration. □

3. Confluence du Théorème 2 vers le Théorème 1

Dans ce paragraphe, nous explicitons le sens précis en lequel le Théorème 2 � tend � vers le Théorème 1.

Pour commencer, on remarque que, évidemment, on a

lim_{q→1}(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ}S(z; q) = S(z) et lim_{q→1}(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ}\overline{S}(z; q) = \overline{S}(z).

De plus, en faisant la substitution s → q^{t} dans l’intégrale définissant I(z; q), on voit que

lim_{q→1}(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ−1}I(z; q) = −I(q).

D’autre part, la définition (2.1) des polynômes P_{j}(z; q) est donnée par leurs coefficients p_{j,t}(q) qui figurent dans (2.2), avec Π(s; q) = (sq^{−ρ}; q)_{ρ} (sq^{n+1}; q)_{σ} s^{ν}. Explicitement, les p_{j,t}(q) sont donnés par

p_{j,t}(q) = \frac{(−1)^{A−j}q^{t(A−j−1)}}{(A − j)!} \frac{∂^{A−j}}{∂s^{A−j}} (\frac{(1 − sq^{t})^{A}Π(s; q)}{(s; q)_{n+1}^{A}}) |_{s=q^{−t}}.

Par conséquent, p_{j,t}(q) est une fraction rationnelle en q; si cette fraction rationnelle est écrite sous forme réduite, la plus grande puissance de 1 − q qui divise le dénominateur est (1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ−j}. En particulier, la limite lim_{q→1}(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ−j}P_{j}(z; q) existe : c’est un polynôme en z, que l’on notera Q_{j}(z). De façon similaire, la limite lim_{q→1}(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ}\overline{P}_{0}(z; q) existe et sera notée \overline{Q}_{0}(z).

Si l’on combine ces remarques avec (1.1) et le fait que

lim_{q→1}(1 − q) log_{q}(z) = − log(z),

on en déduit que, en multipliant les deux premières conditions dans (1.5) par (1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ}, en multipliant la troisième par (1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ−1}, puis en faisant finalement tendre q vers 1, on obtient

\begin{cases}S(z) = Q_{0}(z) + ∑_{j=1}^{A} Q_{j}(z) Li_{j}(1/z) = O(z^{−ρ−1}) quand z → ∞; \\ \overline{S}(z) = \overline{Q}_{0}(z) + ∑_{j=1}^{A} Q_{j}(z) Li_{j}(z) = O(z^{σ+n+1}) quand z → 0 ; \\ I(z) = ∑_{j=1}^{A} Q_{j}(z)\frac{log^{j−1}(1/z)}{(j − 1)!} = O( ?) quand z → 1. \end{cases}  (3.1)

Il nous reste à montrer que l’on peut mettre O((z − 1)^{A(n+1)−ρ−σ−2}) à la place de O( ?). Pour le faire, supposons donnée une fonction f(z; q) analytique en z dans un voisinage ouvert suffisamment grand de 1, et telle que

f(z; q) = O(z − q^{−ℓ}) quand z → q^{−ℓ}  (3.2)

pour tout ℓ ∈ {−m, −m + 1, …, p}. Pour simplifier, on considère le cas où p = 0, car l’argument qui va suivre se généralise sans difficulté au cas où p est quelconque. On développe tout d’abord f(z; q) en série de Taylor autour de z = 1 :

f(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(q)(z − 1)^{k},  (3.3)

ce développement ne contenant pas de terme constant à cause de la condition (3.2) pour ℓ = 0. Nous supposons alors une condition supplémentaire : la limite lim_{q→1} f_{k}(q) existe pour tout k et

lim_{q→1} ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(q)(z − 1)^{k} = ∑_{k=1}^{∞} lim_{q→1} f_{k}(q)(z − 1)^{k}.

Cette condition est satisfaite dans notre cas, c’est-à-dire pour

f(z; q) = −(1 − q)^{A(n+1)−σ−ρ−1} ∑_{j=1}^{A} P_{j}(zq^{1−j}; q)\frac{(− log_{q}(1/z))_{j−1}}{(j − 1)!} .  (3.4)

La condition (3.2) pour les valeurs non-nulles de ℓ implique le système d’équations

0 = f(q^{−ℓ}; q) = ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(q)(q^{−ℓ} − 1)^{k}, ℓ ∈ {−m, −m + 1, …, −1}.  (3.5)

On multiplie la ℓ-ième équation par

c_{ℓ} = \frac{1}{(q^{−ℓ} − 1)_{∏_{h=1}^{m} ; h≠−ℓ}(q^{−ℓ} − q^{h})}

et en faisant la somme de ces équations multipliées par le facteur c_{ℓ} correspondant sur ℓ ∈ {−m, −m + 1, …, −1}, on obtient

0 = ∑_{ℓ=−m}^{−1} c_{ℓ}f(q^{−ℓ}; q)

= ∑_{ℓ=−m}^{−1} c_{ℓ} ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(q)(q^{−ℓ} − 1)^{k}

= ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(q) ∑_{ℓ=−m}^{−1} c_{ℓ}(q^{−ℓ} − 1)^{k}.  (3.6)

À ce point, on note que le choix des coefficients c_{ℓ} implique que les coefficients de f_{k}(q) dans la somme (3.6) sont nuls pour k = 1, 2, …, m − 1, et que le coefficient de f_{m}(q) est exactement 1. Dans le résultat

0 = f_{m}(q) + ∑_{k≥m+1}^{∞} f_{k}(q) ∑_{ℓ=−m}^{−1} \frac{(q^{−ℓ} − 1)^{k}}{(q^{−ℓ} − 1)_{∏_{h=1}^{m} ; h≠−ℓ}(q^{−ℓ} − q^{h})},

on fait maintenant tendre q vers 1 : comme la somme extérieure porte sur les k > m, la limite du sommande de la somme intérieure est toujours zéro. Par conséquent, on obtient bien que f_{m}(1) = 0. De plus, si l’on applique le même argument pour ℓ ∈ {−m̄, −m̄ + 1, …, −1} avec m̄ = m − 1, m − 2, …, 1, alors on obtient que fm̄(1) = 0 pour tout m̄ ∈ {1, 2, …, m}, ce qui prouve que

f(z; 1) = O((z − 1)^{m}).

Cet argument, appliqué à (3.4), montre que l’on peut bien remplacer O( ?) dans (3.1) par O((z − 1)^{A(n+1)−ρ−σ−2}), comme annoncé. Le problème d’approximation (3.1) est donc exactement le problème (1.4). Comme il est démontré dans [4] que ce problème a une solution unique, on a forcément l’égalité Q_{j}(z) = P_{j}(z) pour tout j.

Bibliographie

[1] C. R. Adams, On the linear ordinary q-difference equations, Ann. Math. 30 (1929), no. 2, 195–205.

[2] K. Ball et T. Rivoal, Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs, Invent. Math. 146 (2001), no. 1, 193–207.

[3] M. Kaneko, N. Kurokawa et M. Wakayama, A variation of Euler’s approach to values of the Riemann zeta function, Kyushu J. Math. 57.1 (2003), 175–192. Disponible sous

http://arXiv.org/abs/math.QA/0206171.

[4] S. Fischler et T. Rivoal, Approximants de Padé et séries hypergéométriques équilibrées, J. Math. Pures Appl. 82 (2003), no. 10, 1369–1394.

[5] C. Krattenthaler, T. Rivoal et W. Zudilin, Séries hypergéométriques basiques, fonction qzêta et séries d’Eisenstein, J. Inst. Math. Jussieu 5 (2006), 53–79. Disponible sous

http://arXiv.org/abs/math.NT/0311033.

[6] T. Rivoal, La fonction Zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I Math. 331 (2000), no. 4, 267–270. Disponible sous

http://arXiv.org/abs/math.NT/0008051.

[7] J. Sauloy, Systèmes aux q-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie, Ann. Inst. Fourier Grenoble 50 (2000), no. 4, 1021–1071.

[8] W. Zudilin, Diophantine problems for q-zeta values, (en russe) Mat. Zametki 72.6 (2002), 936–940 ; trad. en anglais dans Math. Notes 72.6 (2002), 858–862. Disponible sous

http://arXiv.org/abs/math.NT/0206179.

Institut Girard Desargues, Université Claude Bernard Lyon-I, 21, avenue Claude Bernard, F-69622 Villeurbanne Cedex, France

E-mail address: kratt@euler.univ-lyon1.fr

Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139, Université de Caen, BP 5186, 14032 Caen cedex, France.

E-mail address: rivoal@math.unicaen.fr