Einführung in das mathematische Arbeiten - Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.4

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Abschnitt 6.4

Hier finden Sie alle Aufgaben aus Abschnitt 6.4 sowie ausgearbeitete Lösungen zu einigen der Aufgaben.

Aufgabe 6.4.6 (Lösung)

Sei K ein geordneter Körper und 1 < a\in K. Zeigen Sie, dass aus x\geq a und n\geq 2 folgt, dass x^{n} > a gilt.

Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(iii) und vollständige Induktion nach n.

Aufgabe 6.4.7 (Lösung)

Sei K ein geordneter Körper und 1 > b > 0\in K. Zeigen Sie, dass für n\geq 2 folgt, dass b^{n} < b ist.

Hinweis: Verwenden Sie Proposition 6.3.2(ii) und vollständige Induktion nach n.

Aufgabe 6.4.13 (Lösung)

Beweisen Sie, dass |x|=|{-x}| und |x-y|=|y-x| für x,y\in\R gelten.

Aufgabe 6.4.14 (Lösung)

Zeigen Sie für a,b\in\R

\displaystyle\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\qquad (b\not=0),
\Big||a|-|b|\Big|\leq\left\{\begin{array}{c}|a-b|\\|a+b|\end{array}\right..

Aufgabe 6.4.15 (Lösung)

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a^2=|a^2|=|a|^2, \forall a\in\R,
Seien x,x_0\in\R und \R\ni\varepsilon > 0. Dann gilt
|x| < \varepsilon\Leftrightarrow -\varepsilon < x < \varepsilon \quad\text{ und }\quad |x-x_0| < \varepsilon\Leftrightarrow x_0-\varepsilon < x < x_0+\varepsilon.

Aufgabe 6.4.16 (Lösung)

Zeigen Sie für a,b\in\R die Cauchy–Ungleichung

|ab|\leq\frac{a^2+b^2}{2}.

Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Formeln für (a\pm b)^2 und Proposition 6.3.2(v), also die Tatsache, dass Quadrate nichtnegativ sind.

Aufgabe 6.4.17 (Lösung)

Beweisen Sie dass für a,b\in\R gelten:

\displaystyle\max\{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2},
\displaystyle\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}, und
\max\{a,b\}-\min\{a,b\}=|a-b|.

Aufgabe 6.4.18 (Lösung)

Finden Sie die Lösungsmenge in \R der folgenden Systeme von Gleichungen bzw. Ungleichungen.

5-3x\leq2x+1\leq3x-7,
x+1\leq x+4\leq 6\leq 5x+4,
|2x-3|=|4x+9|,
|3x+4|\leq|x+8|,
4x^{2}-9x\leq 5,
|2x-5|\geq|x^{2}+8|,
\tfrac{5+x}{5-x}\leq2,
3-\tfrac{x+1}{x-2}<\bigl|\tfrac{x-4}{x-2}\bigr|,
\tfrac13<\tfrac{2x-1}{3-2x}<\tfrac12,
|3x^{2}-8x-7|\leq 4,
325-2x(2x-39)<8x(x-4)^{2}-(2x-5)^{3}.

Hinweis: Hier können Sie graphisch oder rechnerisch vorgehen!

Aufgabe 6.4.19

Finden Sie die Lösungsmenge in \R der folgenden Gleichungen und Ungleichungen in Abhängigkeit von y. Veranschaulichen Sie die Lösungsmenge im \R^{2}.

|x||y-1|\leq 1,
|x+y|\leq|x-y|,
|x+1|^{2}+|y|^{2}=1,
3|x|+5|y|\leq 1,
|x^{2}-2x-6y|\leq 9,
|x^{2}-4x+4|\leq|2y|.

Aufgabe 6.4.33 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie alle anderen sechs Fälle des Assoziativgesetzes der Multiplikation.

Aufgabe 6.4.34 (Erweiterungsstoff)

Schreiben Sie den Beweis für die Kommutativität der Multiplikation explizit auf.

Aufgabe 6.4.35 (Erweiterungsstoff)

Beweisen Sie alle sechs noch nicht bewiesenen Fälle des Distributivgesetzes in R.