SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES BASIQUES, q-ANALOGUES DES VALEURS DE LA FONCTION ZÊTA ET SÉRIES D’EISENSTEIN

C. KRATTENTHALER^{†}, T. RIVOAL ET W. ZUDILIN^{‡}

Résumé. Nous étudions la nature arithmétique de q-analogues des valeurs ζ(s) de la fonction zêta de Riemann, notamment des valeurs des fonctions ζ_{q}(s) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k} ∑_{d|k} d^{s−1}, s = 1, 2, …, où q est un nombre complexe, |q| < 1 (ces fonctions sont intimement liées au monde automorphe). Le théorème principal de cet article montre que, si 1/q est un nombre entier différent de ±1 et si M est un nombre impair suffisamment grand, alors la dimension de l’espace vectoriel engendré sur ℚ par 1, ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), …, ζ_{q}(M) est au moins c_{1} · \sqrt{M}, avec c_{1} = 0, 3358. Ce résultat peut être considéré comme un q-analogue du résultat de [21, 2], qui affirme que la dimension de l’espace vectoriel engendré sur ℚ par 1, ζ(3), ζ(5), …, ζ(M) est au moins c_{2} · log M, avec c_{2} = 0, 5906. Pour les mêmes valeurs de q, une minoration similaire pour les valeurs ζ_{q}(s) aux entiers s pairs nous permet de redémontrer un cas particulier d’un résultat de Bertrand [5] qui affirme la transcendance sur ℚ de l’une des deux séries d’Eisenstein E_{4}(q) et E_{6}(q) pour tout nombre complexe q tel que 0 < |q| < 1.

Abstract. We study the arithmetic properties of q-analogues of values ζ(s) of the Riemann zeta function, in particular of the values of the functions ζ_{q}(s) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k} ∑_{d|k} d^{s−1}, s = 1, 2, …, where q is a complex number with |q| < 1 (these functions are also connected with the automorphic world). The main theorem of this article is that, if 1/q is an integer different from ±1, and if M is a sufficiently large odd integer, then the dimension of the vector space over ℚ which is spanned by 1, ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), …, ζ_{q}(M) is at least c_{1} · \sqrt{M}, where c_{1} = 0, 3358. This result can be regarded as a q-analogue of the result [21, 2] that the dimension of the vector space over ℚ which is spanned by 1, ζ(3), ζ(5), …, ζ(M) is at least c_{2} · log M, with c_{2} = 0, 5906. For the same values of q, a similar lower bound for the values ζ_{q}(s) at even integers s provides a new proof of a special case of a result of Bertrand [5] saying that one of the two Eisenstein series E_{4}(q) and E_{6}(q) is transcendental over ℚ for any complex number q such that 0 < |q| < 1.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11J72 ; Secondary 11M36, 33D15. Key words and phrases. q-analogues de la fonction zêta de Riemann, formes modulaires, séries d’Eisen-

stein, séries hypergéométriques basiques.

† Recherche partiellement supportée par la Fondation Autrichienne de la Recherche Scientifique FWF, contrat P12094-MAT, et par le Programme � Accroître le potentiel humain de recherche � de la Commission Européenne, contrat HPRN-CT-2001-00272, “Algebraic Combinatorics in Europe”.

‡ Recherche supportée par une bourse � Alexander von Humboldt � et partiellement supportée par la Fondation Russe pour la Recherche Fondamentale, contrat 03-01-00359.

1. Introduction et énoncés des résultats

L’étude arithmétique des valeurs aux entiers ≥ 2 de la fonction zêta de Riemann est un sujet classique de la théorie analytique des nombres. Pour les entiers 2m pairs, on connaît la formule d’Euler

(1.1)  ζ(2m) = (−1)^{m−1} \frac{2^{2m−1}B_{2m}}{(2m)!} π^{2m},

où le rationnel B_{m} est le m^{ième} nombre de Bernoulli, ce qui, joint au fait que π est transcendant, établit que ζ(2m) l’est aussi pour tout entier m ≥ 1. Concernant les valeurs ζ(2m+1), m ≥ 1, notre connaissance est beaucoup plus faible et pendant longtemps, le seul résultat connu a été le célèbre théorème d’Apéry [1] � ζ(3) est irrationnel �. Récemment, plusieurs résultats nouveaux sur les ζ(2m + 1) ont été démontrés (voir [21, 2, 22, 23, 33] et [9] pour un survol de ce sujet), notamment, le théorème suivant dans [21, 2].^{1}

Théorème 1. Pour tout entier A pair suffisamment grand, on a

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ(3) + ℚ ζ(5) + ⋯ + ℚ ζ(A − 1)) ≥ \frac{1 + o(1)}{1 + log 2} log A

et

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ(2) + ℚ ζ(4) + ⋯ + ℚ ζ(A)) ≥ \frac{1 + o(1)}{1 + log 2} log A.

L’objet de cet article est d’étudier les propriétés arithmétiques de q-analogues des valeurs de fonction zêta de Riemann. En particulier, nous considérons les séries ζ_{q}(s), où s ≥ 1 et q est un nombre complexe tels que |q| < 1, définies par

(1.2)  ζ_{q}(s) = ∑_{k=1}^{∞} σ_{s−1}(k) q^{k} = ∑_{m=1}^{∞} m^{s−1} \frac{q^{m}}{1 − q^{m}} ,

avec σ_{s−1}(k) = ∑_{d|k} d^{s−1}. Ces q-analogues normalisés de ζ(s) ont été considérés dans [14, 31], par exemple (voir aussi le paragraphe 4.1 pour la vérification que ζ_{q}(s) est effectivement un q-analogue de ζ(s)). Plus précisément, notre but est de montrer les Théorèmes 2, 3 et 4 suivants.

Théorème 2. Fixons q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ. Pour tout entier A pair, on a

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ_{q}(3) + ℚ ζ_{q}(5) + ⋯ + ℚ ζ_{q}(A − 1)) ≥ \frac{π + o(1)}{2\sqrt{π^{2} + 12}} \sqrt{A}

et

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ_{q}(2) + ℚ ζ_{q}(4) + ⋯ + ℚ ζ_{q}(A)) ≥ \frac{π + o(1)}{2\sqrt{π^{2} + 12}} \sqrt{A}.

1Seule est montrée la minoration aux entiers impairs dans les deux références citées ; celle aux entiers pairs est immédiate avec la méthode utilisée.

La minoration de la dimension des valeurs de ζ_{q}(s) aux entiers pairs possède une intéressante traduction en terme de formes modulaires. Donnons d’abord quelques définitions (voir [25] pour plus de détails). Posons q = e^{2iπτ}, où τ ∈ H = {τ ∈ ℂ : Im(τ) > 0}. Toute

matrice γ = \binom{a b}{c d} ∈ SL_{2}(ℤ) agit sur H par γ · τ = \frac{aτ + b}{cτ + d}. Les séries d’Eisenstein G_{2s}(τ)

et E_{2s}(q) sont définies pour tout entier s ≥ 1 par

G_{2s}(τ) = 2ζ(2s)E_{2s}(q) = ∑_{{(m,n)∈ℤ^{2} \atop (m,n)≠(0,0)}} \frac{1}{(mτ + n)^{2s}}

et on a le développement en série de Fourier :

E_{2s}(q) = 1 − \frac{4s}{B_{2s}} ∑_{k=1}^{∞} σ_{2s−1}(k) q^{k}.

On a donc E_{2s}(q) = 1 − \frac{4s}{B_{2s}} ζ_{q}(2s). Pour tout s ≥ 2, les séries d’Eisenstein sont modulaires

sur le groupe SL_{2}(ℤ), de poids 2s, c’est-à-dire que pour tout γ = \binom{a b}{c d} ∈ SL_{2}(ℤ),

on a G_{2s}(γ · τ) = (cτ + d)^{2s}G_{2s}(τ). La fonction G_{2}(τ) n’est pas modulaire mais vérifie G_{2}(γ · τ) = (aτ + b)^{2}G_{2}(τ) − \frac{c}{4iπ} γ · τ. On a alors le théorème suivant.

Théorème 3. Pour tout q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ, au moins un des deux nombres E_{4}(q) et E_{6}(q) est transcendant sur ℚ.

Ce résultat n’est pas nouveau puisque Bertrand [5] a montré que � pour tout q ∈ ℂ tel que 0 < |q| < 1, au moins un des nombres E_{4}(q) et E_{6}(q) est transcendant sur ℚ �, comme conséquence d’un résultat de Schneider sur les fonctions elliptiques [24, Théorème 18, p. 64]. Le théorème stéphanois [3] précise le théorème de Bertrand : � lorsque q est algébrique, l’invariant modulaire J(q) = 1728E_{4}^{3}(q)/(E_{4}^{3}(q) − E_{6}^{2}(q)) est transcendant sur ℚ �. Le résultat définitif dans cette direction est le théorème de Nesterenko [18] : � pour tout q ∈ ℂ tel que 0 < |q| < 1, au moins trois des nombres q, E_{2}(q), E_{4}(q), E_{6}(q) sont algébriquement indépendants sur ℚ �. Cependant, la démonstration du Théorème 3 est basée sur une fonction auxiliaire totalement explicite (notre S_{n}^{[ϵ]}(q) au paragraphe 3.1), et pas sur celles, beaucoup moins explicites, que l’on peut construire avec les outils diophantiens usuels tels le lemme de Siegel ou les déterminants d’interpolation de Laurent (voir [3], [18] et [19] pour l’utilisation de ces outils dans le contexte modulaire).

A contrario, la minoration de la dimension des valeurs de ζ_{q}(s) aux entiers impairs est nouvelle et ne possède, à notre connaissance, aucune interprétation en terme des formes modulaires ci-dessus. Cependant, ces valeurs ζ_{q}(s), pour s impair, ont malgré tout un lien avec le monde automorphe, via les séries d’Eisenstein non-holomorphes

E_{s}(τ) = \frac{1}{2} ∑_{{(m,n)∈ℤ^{2} \atop (m,n)≠(0,0)}} \frac{y^{s}}{|mτ + n|^{2s}} .

Ces séries sont des formes de Maass non paraboliques et sont invariantes sous l’action de SL_{2}(ℤ). Sans rentrer dans les détails, indiquons seulement que dans [15, p. 243], Lewis et Zagier déterminent les fonctions périodes ψ_{s}^{+}(τ) des E_{s}(τ) : pour s = 2ℓ + 1, les valeurs ζ_{q}(s) sont essentiellement égales à ψ_{ℓ+1/2}^{+}(τ) + τ^{−2ℓ−1}ψ_{ℓ+1/2}^{+}(−1/τ).

Du point de vue diophantien, si l’irrationalité de ζ_{q}(1) est connue pour diverses valeurs de q (voir [7] et les références données dans [29, 34]), celle de ζ_{q}(2ℓ+1) (pour ℓ ≥ 1) ne l’est pour aucune valeur de q, même si la transcendance de ces valeurs comme fonctions de q est connue (voir [32]). Remarquons que pour 1/q ∈ ℤ, q ≠ ±1, des mesures d’irrationalité de ζ_{q}(1) et ζ_{q}(2) sont aussi données par le dernier auteur dans [34, 30] et que Postelmans et Van Assche [20] ont récemment démontré l’indépendance linéaire de 1, ζ_{q}(1) et ζ_{q}(2). Enfin, une minoration de dimension dans le contexte différent de la fonction q-exponentielle se trouve dans [8].

Compte-tenu de la formule d’Euler (1.1), la minoration de la dimension de l’espace des ζ pairs est équivalente à la transcendance^{2} de π : on peut donc considérer que les Théorèmes 2 et 3 sont des q-analogues respectifs du Théorème 1 et de la transcendance de π. Comme on le verra au paragraphe 4.1, lorsque l’on fait tendre q vers 1, notre construction � tend � vers celle utilisée pour montrer le Théorème 1. Puis, on présente au paragraphe 4.2 des qanalogues de certaines séries hypergéométriques apparues dans diverses démonstrations de l’irrationalité de ζ(3). Dans ce contexte, notre q-analogue de ζ(3), à savoir ζ_{q}(3), apparaît naturellement, mais, malheureusement, nous ne réussissons à démontrer son irrationalité pour aucune valeur de q.

En utilisant les estimations précises utilisées pour montrer le Théorème 2, on peut cependant démontrer sans effort le théorème ci-dessous, de même facture que le résultat du dernier auteur [33] : � au moins un des nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel �.

Théorème 4. Pour tout q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ, au moins un des nombres ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), ζ_{q}(7), ζ_{q}(9), ζ_{q}(11) est irrationnel.

Il est probable que l’on puisse améliorer ce résultat (i.e., démontrer qu’au moins un des nombres ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), ζ_{q}(7), ζ_{q}(9) est irrationnel) en utilisant une série légèrement différente de notre série S_{n}^{[ϵ]}(q) ci-dessous (voir la Remarque (2) au paragraphe 3.1), à condition que l’on puisse démontrer une certaine � conjecture des dénominateurs � pour cette série (voir la remarque à la fin de l’article).

2. Démonstration du Théorème 3

Le Théorème 3 est une conséquence du résultat suivant, dont on trouvera la démonstration dans [25].

Proposition 1 (Structure de l’espace des formes modulaires). Soit M(q) une forme modulaire sur SL_{2}(ℤ), holomorphe sur le disque {q ∈ ℂ : |q| < 1}, de poids n ≥ 1. Alors n est pair et il existe des nombres complexes c_{a,b} tels que M(q) = ∑ c_{a,b}E_{4}(q)^{a}E_{6}(q)^{b}, où la sommation est étendue à tous les couples d’entiers positifs (a, b) tels que 4a + 6b = n.

2Pour le voir, il suffit d’adapter l’argument utilisé au paragraphe 2.

Lorsque M(q) est une série d’Eisenstein E_{2n}(q), les c_{a,b} peuvent être pris rationnels. Comme pour tout entier pair j ≥ 4, les formes modulaires ζ_{q}(j) de poids j vérifient les hypothèses de ce théorème, on en déduit que pour tout A pair, le ℚ-espace vectoriel V (A) engendré par 1, ζ_{q}(4), ζ_{q}(6), …, ζ_{q}(A) est inclus dans le ℚ-espace vectoriel W (A) engendré par les puissances E_{4}(q)^{a}E_{6}(q)^{b}, avec 0 ≤ a ≤ A/4 et 0 ≤ b ≤ A/6. Fixons q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ; si les nombres E_{4}(q) et E_{6}(q) étaient tous les deux algébriques sur ℚ, la dimension de W (A), et donc celle de V (A), serait bornée indépendamment de A. Or ceci est impossible puisque, pour A assez grand, cela contredit la minoration de la dimension de V (A) fournit par le Théorème 2. D’où le Théorème 3.

Remarque. D’après le théorème de Nesterenko [18], les nombres ζ_{q}(2), ζ_{q}(4) et ζ_{q}(6) sont algébriquement indépendants pour q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ. Pour tout A ≥ 2 pair, on a donc en fait

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ_{q}(2) + ℚ ζ_{q}(4) + ⋯ + ℚ ζ_{q}(A)) = A/2 + 1.

3. Démonstrations des Théorèmes 2 et 4

3.1. La méthode. La démonstration est basée sur la construction de combinaisons linéaires rationnelles en 1 et les ζ_{q}(j), avec j pair ou impair, exclusivement. Pour cela, introduisons la série

S_{n}(q) = (q; q)_{n}^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} q^{k} \frac{(q^{k−rn}; q)_{rn} (q^{k+n+1}; q)_{rn}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{A}} q^{(k−1/2)(A−2r)n/2},

où les q-factoriels montants sont définis par (α; q)_{m} = (1 − α)(1 − qα) ⋯ (1 − q^{m−1}α) si m ≥ 1, et (α; q)_{0} = 1, et où l’on suppose A, n, r entiers tels que

(3.1)  n ≥ 0, A pair et 1 ≤ r ≤ A/2.

Cette série, qui converge pour tout nombre complexe q tel que |q| ≠ 1, est une série hypergéométrique basique (voir le paragraphe 3.3 pour plus de détails). Fixons ϵ ∈ {0, 1} et A, n, r vérifiant (3.1), et q un nombre complexe tel que |q| < 1. La série S_{n}(q) vérifie les propriétés suivantes :

A) Il existe des fractions rationnelles P_{s,n}^{[ϵ]}(q) de ℚ(q), avec s ∈ {2, …, A}, telles que

S_{n}^{[ϵ]}(q) = S_{n}(q) + (−1)^{ϵ}q^{−n}S_{n}(1/q) = P_{0,n}^{[ϵ]}(q) +_{∑_{s=2}^{A} ; s≡ϵ (mod 2)}P_{s,n}^{[ϵ]}(q) ζ_{q}(s).

B) On a lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |S_{n}^{[ϵ]}(q)| = −\frac{1}{2}r(A − 2r) log |1/q| ≠ 0.

C) Pour tout s ∈ \{0, …, A\}, on a lim sup_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |P_{s,n}^{[ϵ]}(q)| ≤ \frac{1}{8} (A + 4r^{2}) log |1/q|.

D) Il existe D_{n}(q) ∈ ℚ(q) tel que pour s ∈ {0, …, A} on a D_{n}(q)P_{s,n}^{[ϵ]}(q) ∈ ℤ[1/q] et

(3.2)  lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |D_{n}(q)| = (\frac{3}{π^{2}} A + \frac{A}{8} + \frac{r^{2}}{2} ) log |1/q|.

Remarques. (1) La démonstration du point D) montrera que l’estimation arithmétique donnée dans ce point est optimale, i.e. que l’on ne peut pas remplacer ce D_{n}(q) par un D̃_{n}(q) ayant les mêmes propriétés que D_{n}(q), mais tel que la limite de \frac{1}{n^{2}} log |D̃_{n}(q)| soit plus petite que le membre de droite de (3.2). Ceci s’applique probablement aussi à l’estimation donnée au point C) (voir la remarque à la fin du paragraphe 3.5). Par conséquent, la minoration des dimensions donnée au Théorème 2 est très certainement la meilleure que l’on puisse obtenir par la méthode utilisée et notre série S_{n}^{[ϵ]}(q).

(2) En revanche, il est sans doute possible d’améliorer certains des points A) à D) en utilisant d’autres séries et en raffinant la méthode. Par exemple, on peut obtenir les mêmes résultats A)–D) en utilisant la série

(3.3) S̃_{n}(q) = (q; q)_{n}^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} (1 − q^{2k+n}) \frac{(q^{k−rn}; q)_{rn} (q^{k+n+1}; q)_{rn}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{A}} q^{k((A−2r)n/2+A/2−1)}

en lieu et place de S_{n}^{[ϵ]}(q) et en appliquant des arguments similaires. Or cette série a semble-t-il certains avantages arithmétiques sur la série S_{n}^{[ϵ]}(q) (voir la remarque à la fin de l’article).

Le Théorème 2 résulte des propriétés A)–D) ci-dessus et du cas particulier suivant d’un critère d’indépendance linéaire, dû à Nesterenko [16].

Proposition 2 (Critère d’indépendance linéaire). Soient un entier N ≥ 2 et ϑ_{1}, …, ϑ_{N} des réels. Supposons qu’il existe N suites d’entiers (p_{j,n})_{n≥0} et des réels α et β avec β > 0 tels que

i) pour tout j ∈ \{1, …, N\}, on a lim sup_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |p_{j,n}| ≤ β;

ii) lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |p_{1,n}ϑ_{1} + ⋯ + p_{N,n}ϑ_{N}| = α.

Alors la dimension du ℚ-espace vectoriel engendré par ϑ_{1}, …, ϑ_{N} est plus grande que

1 − \frac{α}{β}.

Démonstration du Théorème 2. Supposons q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ et posons

𝔓_{s,n}^{[ϵ]}(q) = D_{n}(q)P_{s,n}^{[ϵ]}(q) ∈ ℤ[1/q] ⊂ ℤ et 𝔖_{n}^{[ϵ]}(q) = D_{n}(q)S_{n}^{[ϵ]}(q).

En vertu du point A) ci-dessus, on a

𝔖_{n}^{[ϵ]}(q) = 𝔓_{0,n}^{[ϵ]}(q) +_{∑_{s=2}^{A} ; s≡ϵ (mod 2)}𝔓_{s,n}^{[ϵ]}(q) ζ_{q}(s).

Grâce aux estimations résumées par les point B) à D) ci-dessus, la Proposition 2 appliquée à la combinaison linéaire 𝔖_{n}^{[ϵ]}(q) permet alors d’affirmer que pour tout A ≥ 2 pair, les deux dimensions

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ_{q}(3) + ℚ ζ_{q}(5) + ⋯ + ℚ ζ_{q}(A − 1))

et

dim_{ℚ}(ℚ + ℚ ζ_{q}(2) + ℚ ζ_{q}(4) + ⋯ + ℚ ζ_{q}(A))

sont minorées, pour tout r ∈ {1, …, A/2}, par

(3.4)  δ(A, r) = \frac{4rA + A − 4r^{2}}{(\frac{24}{π^{2}} + 2) A + 8r^{2}} .

On choisit alors r de la forme u\sqrt{A} où u > 0 ; un calcul immédiat montre que

max_{u>0} lim_{A→+∞} \frac{1}{\sqrt{A}} δ(A, u\sqrt{A}) = max_{u>0} ( \frac{4u}{\frac{24}{π^{2}} + 2 + 8u^{2}} ) = \frac{π}{2\sqrt{π^{2} + 12}} ≈ 0, 335892.

Le Théorème 2 en découle. □

Démonstration du Théorème 4. On répète la démonstration du Théorème 2. En choisissant A = 12 et r = 2 dans (3.4), on obtient δ(12, 2) = 1, 080059 … > 1. La dimension de l’espace vectoriel engendré sur ℚ par 1, ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), ζ_{q}(7), ζ_{q}(9), ζ_{q}(11) est donc au moins 2. □

Les points A), B), C) et D) sont démontrés respectivement aux Lemmes 3, 4, 5 et 6, dans les sous-paragraphes qui suivent. On fait la convention suivante : la valeur d’une fonction F (z; q) en z = 1 sera notée indifféremment F (1; q) ou F (q), s’il n’y a pas d’ambiguïté possible.

3.2. Des fonctions intermédiaires. On suppose dans tout ce paragraphe que |q| < 1. Pour tout s ≥ 1, la fonction Z_{s}(z; q) est définie par la série

Z_{s}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{s}} z^{−k},

qui converge pour tout z tel que |q| < |z| et en particulier en z = 1. On aura besoin de considérer simultanément les fonctions Z_{s}(z; q) et Z_{s}(1/z; 1/q) : si s ≥ 2, alors cette dernière série est convergente dès que |z| < |q|^{1−s} et il est donc possible de définir simultanément nos deux fonctions sur |q| < |z| < |q|^{1−s} et en particulier toujours en z = 1. Lorsque s = 1, la série Z_{1}(1/z; 1/q) converge sur |z| < |q|^{1−s} = 1, et les deux fonctions Z_{1}(z; q) et Z_{1}(1/z; 1/q) sont donc définies simultanément sur |q| < |z| < 1.

Sauf mention contraire, on supposera dans toute la suite de cet article que |q| < |z| < 1. On fera tendre z vers 1 pour définir une expression en z = 1.

Avec cette condition, toutes les séries de ce paragraphe sont absolument convergentes et en développant 1/(1 − q^{k})^{s} en série de puissances de q^{k}, on obtient pour tout s ≥ 1 que

(3.5)  Z_{s}(z; q) = \frac{1}{(s − 1)!} ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=1}^{∞} ℓ(ℓ + 1) ⋯ (ℓ + s − 2)z^{−k}q^{kℓ}

et

(3.6)  Z_{s}(1/z; 1/q) = \frac{(−1)^{s}}{(s − 1)!} ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=0}^{∞} ℓ(ℓ − 1) ⋯ (ℓ − s + 2)z^{k}q^{kℓ},

en convenant que pour s = 1 les produits vides ℓ(ℓ+1) ⋯ (ℓ+s−2) et ℓ(ℓ−1) ⋯ (ℓ−s+2) sont interprétés comme 1. Les fonctions Z_{s}(z; q) sont donc des combinaisons linéaires en les fonctions L_{j}(z; q), définies par les séries (avec j ≥ 1) :

(3.7) L_{j}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=1}^{∞} ℓ^{j−1}z^{−k}q^{kℓ} = ∑_{k=1}^{∞} σ_{j−1}(z; k) q^{k} avec σ_{j−1}(z; k) = ∑_{d|k} d^{j−1}z^{−k/d}.

Plus précisément, si l’on utilise les nombres de Stirling de première espèce (sans signe) c(N, j), définis par (voir [26, Sec. 1.3])

(3.8)  ℓ(ℓ + 1) ⋯ (ℓ + N − 1) = ∑_{j=1}^{N} c(N, j)ℓ^{j},

on a

(3.9)  Z_{s}(z; q) = \frac{1}{(s − 1)!} ∑_{j=2}^{s} c(s − 1, j − 1) L_{j}(z; q).

Évidemment, le coefficient de L_{j}(z; q) est un nombre rationnel ne dépendant que de s et j. De plus, en comparant les définitions (1.2) et (3.7), on remarque que L_{j}(1; q) = ζ_{q}(j).

Lemme 1. i) Pour tout entier s ≥ 2, on a

(3.10)  Z_{s}(q) − Z_{s}(1/q) = \frac{2}{(s − 1)!}_{∑_{j=3}^{s} ; j impair}c(s − 1, j − 1) ζ_{q}(j).

ii) Pour tout entier s ≥ 2, on a

(3.11)  Z_{s}(q) + Z_{s}(1/q) = \frac{2}{(s − 1)!}_{∑_{j=2}^{s} ; j pair}c(s − 1, j − 1) ζ_{q}(j).

iii) On a Z_{1}(z; q) = L_{1}(z; q) et Z_{1}(1/z; 1/q) = −L_{1}(1/z; q) − \frac{z}{1 − z}.

Démonstration. i) et ii) Supposons s ≥ 2. Comme les séries Z_{s}(z; q) et Z_{s}(1/z; 1/q) sont convergentes en z = 1, on a, en vertu de (3.5) et (3.6),

Z_{s}(q) + (−1)^{ϵ}Z_{s}(1/q) = \frac{1}{(s − 1)!} ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=1}^{∞}((ℓ)_{s−1} + (−1)^{1+ϵ}(−ℓ)_{s−1})q^{kℓ},

où le symbole de Pochhammer (α)_{m} est défini par (α)_{m} = α(α + 1) ⋯ (α + m − 1), m ≥ 1, et (α)_{0} = 1. Il est justifié de débuter la sommation sur ℓ à partir de 1 puisque pour s ≥ 2, on a (0)_{s−1} = 0. Si ϵ = 0, respectivement 1, alors (ℓ)_{s−1} + (−1)^{1+ϵ}(−ℓ)_{s−1} est un polynôme impair, respectivement pair. Cela démontre i) et ii), sauf qu’il reste l’éventualité que ζ_{q}(1) apparaisse aussi dans la combinaison linéaire pour ϵ = 1 : comme (0)_{s−1} = 0, c’est en fait impossible. Les formes explicites (3.10) et (3.11) résultent de (3.8). iii) En utilisant (3.5), on obtient

Z_{1}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=1}^{∞} z^{−k}q^{kℓ} = L_{1}(z; q).

De même, en utilisant (3.6), on obtient

Z_{1}(1/z; 1/q) = − ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=0}^{∞} z^{k}q^{kℓ} = − ∑_{k=1}^{∞} ∑_{ℓ=1}^{∞} z^{k}q^{kℓ} − ∑_{k=1}^{∞} z^{k} = −L_{1}(1/z; q) − \frac{z}{1 − z} .

□

3.3. Construction de combinaisons linéaires en les ζ_{q}(s). Introduisons la fraction rationnelle en T :

R_{n}(T; q) = (q; q)_{n}^{A−2r}q^{−(A−2r)n/4} \frac{(q^{−rn}T; q)_{rn} (q^{n+1}T; q)_{rn}}{(T; q)_{n+1}^{A}} T^{(A−2r)n/2}

avec n ≥ 0, A pair et 1 ≤ r ≤ A/2. Définissons également la série :

S_{n}(z; q) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k}R_{n}(q^{k}; q)z^{−k},

qui converge (au moins) pour tout z et tout q tels que |q| < |z| ≤ 1 (c’est ici que l’on utilise la condition r ≤ A/2) : en z = 1, cette série coïncide avec la série S_{n}(q) introduite au paragraphe 3.1. En utilisant la notation classique

(3.12)  _{r}ϕ_{s}[\begin{matrix}a_{1}, …, a_{r} \\ b_{1}, …, b_{s} \end{matrix}; q, z] = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(a_{1}; q)_{n} ⋯ (a_{r}; q)_{n}}{(q; q)_{n}(b_{1}; q)_{n} ⋯ (b_{s}; q)_{n}} ((−1)^{n}q^{\binom{n}{2}})^{s−r+1} z^{n}

pour la série hypergéométrique basique (voir [10]), on peut écrire S_{n}(z; q) comme

q^{1+ \frac{An}{4} + \frac{rn}{2} + \frac{rAn^{2}}{2} −r^{2}n^{2}} \frac{(q; q)_{n}^{A−2r} (q; q)_{rn} (q^{(r+1)n+2}; q)_{rn}}{z^{rn+1}(q^{rn+1}; q)_{n+1}^{A}}

×_{A+2}ϕ_{A+1}[\begin{matrix}q^{(2r+1)n+2}, q^{rn+1}, …, q^{rn+1} \\ q^{(r+1)n+2}, …, q^{(r+1)n+2} \end{matrix}; q, \frac{q^{\frac{1}{2} (A−2r)n+1}}{z} ] .

Décomposons R_{n}(T; q) en éléments simples :

(3.13) R_{n}(T; q) = q^{−An(n+1)/2}(q; q)_{n}^{A−2r}q^{−(A−2r)n/4}

× \frac{(1 − q^{−rn}T) ⋯ (1 − q^{−1}T) · (1 − q^{n+1}T) ⋯ (1 − q^{(r+1)n}T)}{(T − 1)^{A} ⋯ (T − q^{−n})^{A}} T^{(A−2r)n/2}

= ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=0}^{n} \frac{c_{s,j,n}(q)}{(T − q^{−j})^{s}} = ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=0}^{n} \frac{d_{s,j,n}(q)}{(1 − q^{j}T)^{s}}

avec d_{s,j,n}(q) = (−1)^{s}q^{js}c_{s,j,n}(q). Il n’y a pas de partie principale car la différence des degrés du numérateur et du dénominateur de R_{n}(T; q) est −A − (A − 2r)n/2, qui est strictement négative puisque 1 ≤ r ≤ A/2 ; de plus, selon la formule usuelle, on a

(3.14)  c_{s,j,n}(q) = \frac{1}{(A − s)!} \frac{d^{A−s}}{dT^{A−s}} (R_{n}(T; q)(T − q^{−j})^{A})|_{T =q^{−j}}.

On construit alors des combinaisons linéaires en les fonctions Z_{s}(z; q) de la façon suivante :

S_{n}(z; q) = ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=0}^{n} d_{s,j,n}(q) q^{−j}z^{j} ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k+j}}{(1 − q^{k+j})^{s}} z^{−k−j}

= P_{0,n}(z; q) + ∑_{s=1}^{A} P_{s,n}(z; q) Z_{s}(z; q)

avec, pour s ≥ 1,

P_{s,n}(z; q) = ∑_{j=0}^{n} d_{s,j,n}(q) q^{−j}z^{j} et P_{0,n}(z; q) = − ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{j} d_{s,j,n}(q) q^{k−j} \frac{z^{j−k}}{(1 − q^{k})^{s}} .

Jusqu’à présent, nous n’avons pas exploité la forme particulière du numérateur de R_{n}(T; q), ce que nous allons maintenant faire.

Lemme 2. Soit A pair. Pour tout s ∈ {1, …, A}, on a la relation de réciprocité :

z^{n}q^{−n}P_{s,n}(1/z; 1/q) = P_{s,n}(z; q).

Démonstration. On vérifie immédiatement que

R_{n}(q^{n}T; 1/q) = R_{n}(T; q).

Par unicité du développement en éléments simples (3.13), cette symétrie de R_{n}(T; q) se traduit par

d_{s,n−j,n}(q) = d_{s,j,n}(1/q),

ce qui prouve le lemme. □

En utilisant l’identité triviale (1/q^{α}; 1/q)_{β} = (−1)^{β}q^{−αβ−β(β−1)/2}(q^{α}; q)_{β}, on montre sans difficulté que

S_{n}(1/z; 1/q) = q^{An/2}S_{n}(q^{2−A}/z; q),

qui est convergente sur |q| < |z| ≤ 1 : on peut donc considérer simultanément les séries S_{n}(z; q) et S_{n}(1/z; 1/q). Cela va nous permettre de construire une nouvelle combinaison linéaire réalisant la dichotomie attendue entre les valeurs de la fonction ζ_{q}(s) aux entiers s pairs et impairs.

Lemme 3. Soit A pair et ϵ ∈ {0, 1}. Il existe des fractions rationnelles P_{s,n}^{[ϵ]}(q) de ℚ(q), avec s ∈ {0, …, A}, telles que

S_{n}^{[ϵ]}(q) = S_{n}(q) + (−1)^{ϵ}q^{−n}S_{n}(1/q) = P_{0,n}^{[ϵ]}(q) +_{∑_{s=2}^{A} ; s≡ϵ (mod 2)}P_{s,n}^{[ϵ]}(q) ζ_{q}(s).

On explicitera les P_{s,n}^{[ϵ]}(q) au cours de la démonstration.

Démonstration. On se concentre sur le cas ϵ = 1, le cas ϵ = 0 étant similaire. Compte-tenu de la relation de réciprocité mise en évidence au Lemme 2, on a

S_{n}(z; q) − q^{−n}z^{n}S_{n}(1/z; 1/q)

= P_{0,n}(z; q) − q^{−n}z^{n}P_{0,n}(1/z; 1/q) + ∑_{s=1}^{A} P_{s,n}(z; q)(Z_{s}(z; q) − Z_{s}(1/z; 1/q)).

Les séries S_{n}(z; q) et q^{−n}z^{n}S_{n}(1/z; 1/q) sont convergentes en z = 1, ainsi que les fonctions Z_{s}(z; q) − Z_{s}(1/z; 1/q) pour s ≥ 2. Le seul terme potentiellement divergent est Z_{1}(z; q) − Z_{1}(1/z; 1/q) : pour contrer cette divergence, le polynôme (en la variable z) P_{1,n}(z; q) s’annule nécessairement en z = 1. Or en utilisant le point iii) du Lemme 1, on a

lim_{z→1^{−}} P_{1,n}(z; q)(Z_{1}(z; q) − Z_{1}(1/z; 1/q))

= lim_{z→1^{−}} P_{1,n}(z; q)(L_{1}(z; q) + L_{1}(1/z; q)) + lim_{z→1^{−}} \frac{z P_{1,n}(z; q)}{1 − z} = −\frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q)

puisque L_{1}(1; q) est convergente. Par ailleurs, le point i) du même Lemme 1 montre que pour s ≥ 2,

Z_{s}(q) − Z_{s}(1/q) = _{∑_{j=3}^{s} ; j impair}α_{s,j} ζ_{q}(j)

où les coefficients α_{s,j} sont des rationnels indépendants de q et dont un dénominateur commun est (s − 1)! (ce fait nous servira au cours de la démonstration du Lemme 6 ; en fait, α_{s,j} = 2c(s − 1, j − 1)/(s − 1)!, où c(s − 1, j − 1) est un nombre de Stirling de première espèce sans signe). Donc

S_{n}^{[1]}(q) = P_{0,n}(1; q) − q^{−n}P_{0,n}(1; 1/q) − \frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q) + ∑_{s=3}^{A}_{∑_{j=3}^{s} ; j impair}α_{s,j}P_{s,n}(1; q) ζ_{q}(j).

Il suffit donc de poser P_{0,n}^{[1]}(q) = P_{0,n}(1; q) − q^{−n}P_{0,n}(1; 1/q) − \frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q) et, pour s impair de {3, …, A − 1},

(3.15)  P_{s,n}^{[1]}(q) = ∑_{k=s}^{A} α_{k,s}P_{k,n}(1; q).

Dans le cas ϵ = 0, on trouve P_{0,n}^{[0]}(q) = P_{0,n}(1; q) + q^{−n}P_{0,n}(1; 1/q) + \frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q) et, pour

s pair de {2, …, A}, P_{s,n}^{[0]}(q) = ∑_{k=s}^{A} α_{k,s}P_{k,n}(1; q). □

Lorsque l’on essaye de relier la série S_{n}^{[ϵ]}(q) à la notation classique (3.12), on obtient

S_{n}^{[ϵ]}(q) = ∑_{k=1}^{∞} q^{k} R_{n}(q^{k}; q) (1 + (−1)^{ϵ}q^{(A/2−1)(n+2k)}) (3.16)

= q^{1+ \frac{An}{4} + \frac{rn}{2} + \frac{rAn^{2}}{2} −r^{2}n^{2}} \frac{(q; q)_{n}^{A−2r} (q; q)_{rn} (q^{(r+1)n+2}; q)_{rn}}{(q^{rn+1}; q)_{n+1}^{A}}

× ∑_{k=0}^{∞} (1 + (−1)^{ϵ}q^{(A/2−1)((2r+1)n+2k+2)}) \frac{(q^{(2r+1)n+2}; q)_{k} (q^{rn+1}; q)_{k}^{A+1}}{(q^{(r+1)n+2}; q)_{k}^{A+1}} (q^{\frac{1}{2} (A−2r)n+1})^{k} .

À cause du facteur (1 + (−1)^{ϵ}q^{(A/2−1)((2r+1)n+2k+2)}), il n’y a pas d’écriture élégante de cette somme en notation hypergéométrique basique car il faudrait pour cela utiliser des racines (A − 2)-ièmes de l’unité. La somme est cependant une série bien équilibrée (“wellpoised” ; voir [10, Sec. 2.1]), et même très bien équilibrée (“very-well-poised”) si ϵ est impair. Remarquons que la série alternative S̃_{n}(q) donnée par (3.3) est une série très bien équilibrée.

3.4. Estimation asymptotique de S_{n}^{[ϵ]}(q). Dans ce paragraphe on démontre le point B) du paragraphe 3.1.

Lemme 4. Soit A ≥ 2r. Pour ϵ ∈ {0, 1} et q tel que |q| < 1, on a

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |S_{n}^{[ϵ]}(q)| = −\frac{1}{2}r(A − 2r) log |1/q|.

Démonstration. Fixons A, r et q. Notons ρ_{k}(q) = q^{k}R_{n}(q^{k}; q) le sommande de la série S_{n}(q) : clairement, ρ_{k}(q) = 0 pour k ∈ {1, …, rn} et ρ_{k}(q) ≠ 0 pour tout k ≥ rn + 1. Il est immédiat que pour k ≥ rn + 1,

\frac{ρ_{k+1}(q)}{ρ_{k}(q)} = q^{(A−2r)n/2+1} · \frac{1 − q^{1+k+n+rn}}{1 − q^{k−rn}} · (\frac{1 − q^{k}}{1 − q^{k+n+1}} )^{A+1} .

Donc, puisque |q| < 1 et k ≥ rn + 1,

|\frac{ρ_{k+1}(q)}{ρ_{k}(q)}| ≤ |q|^{(A−2r)n/2} · (\frac{1 + |q|}{1 − |q|})^{A+2} < \frac{1}{3},

pourvu que n ≫ 0 (ce qui dépend de A, r et q mais pas de k). À cette condition, on a d’un côté

|S_{n}(q)| = |ρ_{rn+1}(q)| · | ∑_{k=rn+1}^{∞} \frac{ρ_{k}(q)}{ρ_{rn+1}(q)}| < |ρ_{rn+1}(q)| · ∑_{k=0}^{∞} 3^{−k} = \frac{3}{2} |ρ_{rn+1}(q)|,

et d’un autre côté,

|S_{n}(q)| ≥ |ρ_{rn+1}(q)| (1 − ∑_{k=rn+2}^{∞} |\frac{ρ_{k}(q)}{ρ_{rn+1}(q)}|) ≥ \frac{1}{2}|ρ_{rn+1}(q)|,

Comme

ρ_{rn+1}(q) = (q; q)_{n}^{A−2r}q^{−(A−2r)n/4} \frac{(q; q)_{rn} (q^{(r+1)n+2}; q)_{rn}}{(q^{rn+1}; q)_{n+1}^{A}} q^{(A−2r)(rn+1)n/2}

et

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |(q; q)_{n}^{A−2r}q^{−(A−2r)n/4} \frac{(q; q)_{rn} (q^{(r+1)n+2}; q)_{rn}}{(q^{rn+1}; q)_{n+1}^{A}} | = 0,

on obtient

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |S_{n}(q)| = lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |q^{(A−2r)(rn+1)n/2}| = −\frac{1}{2}r(A − 2r) log |1/q|.

La série qui nous intéresse à proprement parler est S_{n}^{[ϵ]}(q), que l’on peut écrire, selon (3.16), sous la forme

S_{n}^{[ϵ]}(q) = ∑_{k=rn+1}^{∞}(1 + (−1)^{ϵ}q^{(A/2−1)(n+2k)})ρ_{k}(q).

Le facteur 1 + (−1)^{ϵ}q^{(A/2−1)(n+2k)} n’a aucune influence asymptotique par rapport à ρ_{k}(q) quand n → +∞ et est toujours non nul puisque |q| < 1. En procédant exactement comme ci-dessus, on montre alors que le terme d’indice k = rn + 1 domine les suivants et que

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |S_{n}^{[ϵ]}(q)| = −\frac{1}{2}r(A − 2r) log |1/q|.

□

3.5. Estimation asymptotique de P_{s,n}^{[ϵ]}(q). Dans ce paragraphe on démontre le point C) du paragraphe 3.1.

Lemme 5. Pour tous ϵ ∈ {0, 1}, s ∈ {0, …, A} et q tel que |q| < 1, on a

lim sup_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |P_{s,n}^{[ϵ]}(q)| ≤ \frac{1}{8}(A + 4r^{2}) log |1/q|.

Démonstration. Étant données les expressions des diverses fonctions P_{s,n}^{[ϵ]}(q) apparues au court de la démonstration du Lemme 3, il suffit de montrer que l’estimation attendue est déjà valide pour les coefficients d_{s,j,n}(q) = (−1)^{s}q^{js}c_{s,j,n}(q), uniformément en j et s. Fixons q tel que |q| < 1 et j ∈ {0, …, n} et soit η > 0 assez petit (on peut choisir η = (1−|q|)/2) : par la formule de Cauchy appliquée à (3.14), on obtient

c_{s,j,n}(q) = \frac{1}{2πi} ∫_{C} R_{n}(T; q)(T − q^{−j})^{s−1}dT,

où C désigne le cercle de centre q^{−j} et de rayon η|q|^{−j}. En remplaçant T par T q^{−j}, cela équivaut à

d_{s,j,n}(q) = −\frac{1}{2πi} ∫_{C′} R_{n}(T q^{−j}; q)(1 − T)^{s−1}dT,

où C′ désigne le cercle de centre 1 et de rayon η. Il s’agit donc de majorer la fraction

R_{n}(T q^{−j}; q)(1 − T)^{s−1} (3.17)

= q^{−(A−2r)(2j+1)n/4} (q; q)_{n}^{A−2r} \frac{(q^{−rn−j}T; q)_{rn}(q^{n−j+1}T; q)_{rn} (1 − T)^{s−1}}{(T q^{−j}; q)_{n+1}^{A}} T^{(A−2r)n/2}

= (−1)^{Aj+nr}q^{A\binom{j+1}{2}− \frac{An}{4} (2j+1)− \frac{r^{2}n^{2}}{2}} (q; q)_{n}^{A−2r}

× \frac{(q^{j+1}/T; q)_{rn} (q^{n−j+1}T; q)_{rn} (1 − T)^{s−A−1}}{(q/T; q)_{j}^{A} (qT; q)_{n−j}^{A}} T^{\frac{A}{2} (n−2j)}

sur C′. On vérifie que pour tous nombres entiers positifs a, b, avec a > 0, et tout T ∈ C, on a

0 < (|q|(1 + η); |q|)_{∞} ≤ |(q^{a}T; q)_{b}| ≤ (−(1 + η); |q|)_{∞}

et

0 < (|q|/(1 − η); |q|)_{∞} ≤ |(q^{a}/T; q)_{b}| ≤ (−1/(1 − η); |q|)_{∞}.

Les bornes inférieures sont effectivement > 0 parce que les valeurs |q|(1 + η) et |q|/(1 − η) sont < 1. On a également

|(q; q)_{n}| ≤ (−|q|; |q|)_{∞} et |T^{(n−2j)A/2}| ≤ (max{1 + η, 1/(1 − η)})^{An/2}.

Finalement, pour l’exposant de q dans le membre final de (3.17), on a

A\binom{j + 1}{2} − \frac{An}{4}(2j + 1) − \frac{r^{2}n^{2}}{2} ≥ −\frac{A}{8} − \frac{An^{2}}{8} − \frac{r^{2}n^{2}}{2} ,

pour tout j ∈ {0, 1, ⋯, n}. On en déduit que

|d_{s,j,n}(q)| ≤ C_{0} · |q|^{−(A+4r^{2})n^{2}/8},

où C_{0} dépend de A, η, n, q et r mais ni de j ni de s, et vérifie C_{0}^{1/n^{2}} → 1 quand n → +∞. □

Remarque. Nous pensons qu’en fait

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |P_{s,n}^{[ϵ]}(q)| = \frac{1}{8}(A + 4r^{2}) log |1/q|,

ce qui est supporté par des calculs numériques effectués sur ordinateur, ainsi que par des arguments heuristiques. Si cela est vrai, on pourra alors étendre les Théorèmes 2 et 3 aux valeurs algébriques de q en utilisant un critère d’indépendance linéaire sur les corps de nombres (voir [4, 12, 27]).

3.6. Estimation arithmétique de P_{s,n}^{[ϵ]}(q). Dans ce paragraphe on démontre le point D) du paragraphe 3.1. Laissons temporairement q être tel que |q| ≠ 1. Rappelons que l’on définit les coefficients q-binomiaux par

[\begin{matrix}n \\ k \end{matrix}]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(q; q)_{k} (q; q)_{n−k}}

et qu’ils appartiennent à ℤ[q]. Pour tout n ≥ 0, le polynôme unitaire d_{n}(q) de plus petit degré en q et tel que

d_{n}(q) \frac{1}{1 − q} , d_{n}(q) \frac{1}{1 − q^{2}} , …, d_{n}(q) \frac{1}{1 − q^{n}} ∈ ℤ[q],

est donné par d_{n}(q) = ∏_{ℓ=1}^{n} Φ_{ℓ}(q), où Φ_{ℓ}(q) = ∏_{k=1, (k,ℓ)=1}^{ℓ}(q − e^{2iπk/ℓ}) est le ℓ^{ième} polynôme

cyclotomique. Il satisfait l’estimation suivante pour tout q tel que |q| > 1 (voir [8, §2] et [28, Lemma 2]) :

(3.18)  lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |d_{n}(q)| = \frac{3}{π^{2}} log |q|.

Nous sommes maintenant en position d’expliciter les fractions rationnelles D_{n}(q) qui apparaissent au point D) du paragraphe 3.1 et d’établir leur comportement asymptotique lorsque n tend vers +∞. Soit

(3.19)  D_{n}(q) = (A − 1)! q^{(A−2r)n/4−⌈A(n+1)^{2}/8⌉− \frac{r^{2}n^{2}}{2} + \frac{rn}{2} −(A−1)n} d_{n}(1/q)^{A}.

On a alors le lemme suivant.

Lemme 6. Soit A pair.

i) Pour tous ϵ ∈ {0, 1}, s ∈ {0, … A} et q tel que |q| ≠ 1, on a

D_{n}(q)P_{s,n}^{[ϵ]}(q) ∈ ℤ[1/q];

ii) Lorsque |q| < 1, on a alors

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |D_{n}(q)| = (\frac{3}{π^{2}} A + \frac{A}{8} + \frac{r^{2}}{2} ) log |1/q|.

Démonstration. Nous allons d’abord démontrer que pour tous s ∈ {0, … A}, j ∈ {0, …, n} et q tel que |q| ≠ 1, on a

q^{(A−2r)n/4−⌈A(n+1)^{2}/8⌉− \frac{r^{2}n^{2}}{2} + \frac{rn}{2} −n} d_{n}(1/q)^{A−s}c_{s,j,n}(q) ∈ ℤ[1/q],

16 french

le coefficient c_{s,j,n}(q) étant donné par (3.14). Décomposons tout d’abord R_{n}(T; q) de la façon suivante :

R_{n}(T; q)(T − q^{−j})^{A} = q^{−(A−2r)n/4} (q^{−n(n+1)/2}(q; q)_{n} \frac{T^{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})})^{(A−2r)/2}

· (q^{−n(n+1)/2}(q; q)_{n} \frac{(T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})})^{(A−2r)/2}

· ∏_{ℓ=1}^{r} (q^{−n(n+1)/2} \frac{(q^{−ℓn}T; q)_{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})})

· ∏_{ℓ=1}^{r} (q^{−n(n+1)/2} \frac{(q^{ℓn+1}T; q)_{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})}) .

On vérifie en décomposant en éléments simples que l’on a les quatre identités suivantes :

(3.20)  F (T) = q^{−n(n+1)/2}(q; q)_{n} \frac{T^{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})}

= (−1)^{n}(1/q; 1/q)_{n} +_{∑_{i=0}^{n} ; i≠j}(−1)^{n+i}q^{−i(i+1)/2} [\begin{matrix}n \\ i \end{matrix}]_{1/q} \frac{q^{−i} − q^{−j}}{T − q^{−i}}

(3.21) G(T) = \frac{q^{−n(n+1)/2} (q; q)_{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})} = _{∑_{i=0}^{n} ; i≠j}(−1)^{n+i}q^{in−i(i+1)/2} [\begin{matrix}n \\ i \end{matrix}]_{1/q} \frac{q^{−i} − q^{−j}}{T − q^{−i}}
(3.22) H_{ℓ}(T) = q^{−n(n+1)/2} \frac{(q^{−ℓn}T; q)_{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})}

= (−1)^{n}q^{−ℓn^{2}−n} +_{∑_{i=0}^{n} ; i≠j}(−1)^{i}q^{−(n−i)^{2}/2−(n+i)/2} [\begin{matrix}n \\ i \end{matrix}]_{1/q} [\begin{matrix}ℓn + i \\ n \end{matrix}]_{1/q} \frac{q^{−i} − q^{−j}}{T − q^{−i}}

et

(3.23) I_{ℓ}(T) = q^{−n(n+1)/2} \frac{(q^{ℓn+1}T; q)_{n} (T − q^{−j})}{(T − 1) ⋯ (T − q^{−n})}

= (−1)^{n}q^{ℓn^{2}}(1 +_{∑_{i=0}^{n} ; i≠j}(−1)^{i}q^{−i(i+1)/2} [\begin{matrix}n \\ i \end{matrix}]_{1/q} [\begin{matrix}ℓ(n + 1) − i \\ n \end{matrix}]_{1/q} \frac{q^{−i} − q^{−j}}{T − q^{−i}} )

Notons ∂^{μ} = \frac{1}{μ!} \frac{d^{μ}}{dT^{μ}}. Il résulte des formules (3.20), (3.21), (3.22), (3.23), que pour tout entier μ ≥ 0, tout j ∈ {0, …, n} et tout ℓ ∈ {1, …, r}, les quantités

d_{n}(1/q)^{μ}∂^{μ}F (q^{−j}), d_{n}(1/q)^{μ}∂^{μ}G(q^{−j}), d_{n}(1/q)^{μ}∂^{μ}H_{ℓ}(q^{−j}), d_{n}(1/q)^{μ}∂^{μ}I_{ℓ}(q^{−j}), sont des polynômes en 1/q, multipliés par une certaine puissance de q et dont les coefficients sont des nombres entiers. Or la formule de Leibniz nous donne

c_{s,j,n}(q) = q^{−(A−2r)n/4} ∑_{μ}(∂^{μ_{1}}F) ⋯ (∂^{μ_{(A−2r)/2}}F)(∂^{μ_{(A−2r)/2+1}}G) ⋯ (∂^{μ_{A−2r}}G)

· (∂^{μ_{A−2r+1}}H_{1}) ⋯ (∂^{μ_{A−r}}H_{r})(∂^{μ_{A−r+1}}I_{1}) ⋯ (∂^{μ_{A}}I_{r}),

(où la sommation est sur tous les multiplets μ = (μ_{1}, …, μ_{A}) tels que μ_{1}+⋯+μ_{A} = A−s, et où l’on a omis l’évaluation en T = q^{−j} pour simplifier). On en déduit que

q^{(A−2r)n/4}d_{n}(1/q)^{A−s}c_{s,j,n}(q)

est un polynôme en 1/q, à coefficients entiers et multiplié par une certaine puissance de q.

Il nous faut maintenant expliciter cette puissance de q, c’est-à-dire déterminer un exposant e(n) le plus grand possible tel que

q^{e(n)}q^{(A−2r)n/4}d_{n}(1/q)^{A−s}c_{s,j,n}(q) ∈ ℤ[1/q].

Pour cela, revenons à la définition originelle (3.14) de c_{s,j,n}(q). Posons pour simplifier R(T) = R_{n}(T; q)(T − q^{−j})^{A}. En utilisant la formule de Faà di Bruno (voir [13]), on a d’un côté

(3.24)  ∂^{μ}R(T) = ∂^{μ} exp(log(R(T)))

= ∑ \frac{1}{k_{1}! k_{2}! ⋯ k_{μ}!} (\frac{∂^{|k|}}{∂T^{|k|}} exp) (log(R(T))) ∏_{i=1}^{μ} (∂^{i} log(R(T)))^{k_{i}}

= ∑ \frac{1}{k_{1}! k_{2}! ⋯ k_{μ}!}R(T) ∏_{i=1}^{μ} (\frac{1}{i!} \frac{∂^{i−1}}{∂T^{i−1}} r(T))^{k_{i}} ,

où la somme porte sur tous les multiplets k = (k_{1}, k_{2}, …, k_{μ}) tels que k_{1} +2k_{2} +⋯+μk_{μ} = μ, où |k| désigne la somme k_{1} + k_{2} + ⋯ + k_{μ}, et où r(T) est la dérivée logarithmique de R(T),

(3.25) r(T) = \frac{\frac{∂}{∂T} R(T)}{R(T)} = \frac{(A − 2r)n}{2} \frac{1}{T} + A_{∑_{i=0}^{n} ; i≠j} \frac{q^{i}}{1 − q^{i}T} − ∑_{i=−rn}^{−1} \frac{q^{i}}{1 − q^{i}T} − ∑_{i=n+1}^{(r+1)n} \frac{q^{i}}{1 − q^{i}T}

= \frac{(A − 2r)n}{2} \frac{1}{T} + A∑_{i=0}^{j−1} \frac{q^{i}}{1 − q^{i}T} − A ∑_{i=j+1}^{n} \frac{1/T}{1 − q^{−i}/T}

− ∑_{i=−rn}^{−1} \frac{q^{i}}{1 − q^{i}T} + ∑_{i=n+1}^{(r+1)n} \frac{1/T}{1 − q^{−i}/T} .

D’un autre côté, on a (3.26)

R(T)|_{T =q^{−j}} = (−1)^{rn}q^{−(A−2r)n/4−A\binom{j+1}{2}+ \frac{Ajn}{2} − \frac{rn}{2} + \frac{r^{2}n^{2}}{2}} \begin{matrix}(\frac{1}{q}; \frac{1}{q}) & {A−2r \atop n} & (q^{−j−1}; \frac{1}{q}) & rn & (q^{−n+j−1}; \frac{1}{q}) & rn \\ (\frac{1}{q}; \frac{1}{q}) & {A \atop j} & (\frac{1}{q}; \frac{1}{q}) & {A \atop n−j} \end{matrix} .

Comme on sait déjà que

q^{(A−2r)n/4}d_{n}(1/q)^{A−s}∂^{A−s}R(T)|_{T =q^{−j}} = q^{(A−2r)n/4}d_{n}(1/q)^{A−s}c_{s,j,n}(q)

est un polynôme en 1/q, multiplié par une puissance de q, et comme

−\binom{j}{2} + \frac{jn}{2} ≤ \frac{1}{8}(n + 1)^{2},

la combinaison de (3.24), (3.25) et (3.26) montre que

q^{(A−2r)n/4−⌈A(n+1)^{2}/8⌉− \frac{r^{2}n^{2}}{2} + \frac{rn}{2} −(A−s)n} d_{n}(1/q)^{A−s}c_{s,j,n}(q)

est un polynôme en 1/q à coefficients entiers. (Lorsque l’on utilise (3.25), des expressions comme 1/(1 − q^{−m})^{M}, où m est un nombre entier positif, sont interprétées comme séries formelles en 1/q.)

On peut maintenant passer à la démonstration du point i) proprement dit. De nouveau, on se concentre sur le cas ϵ = 1. Rappelons que pour s ≥ 2 pair, on a P_{s,n}(q) = 0 et que pour s impair de {3, …, A − 1}, on a (voir (3.15))

P_{s,n}^{[1]}(q) = ∑_{k=s}^{A} α_{k,s}P_{k,n}(1; q),

avec

P_{k,n}(1; q) = ∑_{j=0}^{n} d_{k,j,n}(q) q^{−j} = (−1)^{k} ∑_{j=0}^{n} q^{j(k−1)}c_{k,j,n}(q).

Il résulte donc de l’étude précédente sur c_{s,j,n}(q) (et du dénominateur commun (A − 1)! aux α_{s,k}) que pour s ≥ 3 :

(A − 1)! q^{(A−2r)n/4−⌈A(n+1)^{2}/8⌉− \frac{r^{2}n^{2}}{2} + \frac{rn}{2} −(A−s)n} d_{n}(1/q)^{A−s}P_{s,n}^{[1]}(q) ∈ ℤ[1/q].

Par ailleurs,

P_{0,n}^{[1]}(q) = P_{0,n}(1; q) − q^{−n}P_{0,n}(1; 1/q) − \frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q)

avec :

P_{0,n}(1; q) = − ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{j} d_{s,j,n}(q)\frac{q^{k−j}}{(1 − q^{k})^{s}} ,

qui équivaut à

q^{−n}P_{0,n}(1; 1/q) = − ∑_{s=1}^{A} ∑_{j=0}^{n−1} ∑_{k=1}^{n−j}(−1)^{s}c_{s,j,n}(q)\frac{q^{j(s−1)−k}}{(1 − q^{−k})^{s}}

(en utilisant la relation d_{s,j,n}(1/q) = d_{s,n−j,n}(q)), et

\frac{∂P_{1,n}}{∂z} (1; q) = − ∑_{j=0}^{n} j · c_{1,j,n}(q).

On déduit de ces trois expressions que

q^{(A−2r)n/4−⌈A(n+1)^{2}/8⌉− \frac{r^{2}n^{2}}{2} + \frac{rn}{2} −(A−1)n} d_{n}(1/q)^{A}P_{0,n}^{[1]}(q) ∈ ℤ[1/q].

Le point ii) est évident compte-tenu de (3.18). □

4. q-Analogie avec la fonction zêta de Riemann

Nous terminons cet article en discutant plus en détail deux aspects du travail présenté précédemment. Dans la première partie de ce paragraphe, nous justifions que nos ζ_{q}(s) sont des q-analogues normalisés des nombres ζ(s), et que nos séries S_{n}^{[ϵ]}(q) sont des qanalogues des séries utilisées récemment dans les travaux sur la dimension des espaces vectoriels engendrés sur ℚ par les valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs. Dans la deuxième partie, nous présentons des q-analogues des séries, maintenant classiques, de Ball et Beukers–Gutnik–Nesterenko, utilisées dans des démonstrations de l’irrationalité de ζ(3) : ces q-analogues sont fortement liés à notre série S_{n}^{[1]}(q) pour A = 4 et r = 1.

4.1. � Convergence � vers le cas � classique �. Dans ce paragraphe, on discute du rapport entre nos q-fonctions et q-séries et les fonctions et séries � classiques �.

Remarquons tout d’abord que les valeurs ζ_{q}(s) sont des q-analogues des valeurs de la fonction zêta de Riemann en nombres entiers s : en utilisant les nombres de Stirling de seconde espèce S(N, j), définis par

ℓ^{N} = ∑_{j=1}^{N} S(N, j) ℓ(ℓ − 1) ⋯ (ℓ − j + 1),

on a

ζ_{q}(s) = ∑_{k=1}^{∞} ∑_{d=1}^{∞} d^{s−1}q^{kd} = ∑_{k=1}^{∞} ∑_{d=0}^{∞}(d + 1)^{s−1}q^{k(d+1)}

= ∑_{k=1}^{∞} ∑_{d=0}^{∞} ∑_{j=1}^{s−1}(−1)^{s−1−j}S(s − 1, j) j!\binom{d + j}{j}q^{k(d+1)}

= ∑_{j=1}^{s−1}(−1)^{s−1−j}S(s − 1, j) j! ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{j+1}} .

La série Z_{j+1}(q) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}}{(1−q^{k})^{j+1}} étant clairement un q-analogue de ζ(j + 1), la série ζ_{q}(s) est une combinaison linéaire de q-analogues des valeurs de la fonction zêta. On voit alors sur l’expression précédente que

(4.1)  lim_{q→1}(1 − q)^{s} ζ_{q}(s) = (s − 1)! ζ(s),

et ζ_{q}(s) peut donc aussi être considérée comme un q-analogue normalisé de ζ(s) (voir [14, Theorem 2] et [31] pour d’autres démonstrations de (4.1)).

De même, en utilisant (3.10), (3.11) et (4.1), on obtient

lim_{q→1}(1 − q)^{s} (Z_{s}(q) + (−1)^{ϵ}Z_{s}(1/q)) = 2ζ(s),

si ϵ ≡ s mod 2, respectivement

lim_{q→1}(1 − q)^{s−1} (Z_{s}(q) + (−1)^{ϵ}Z_{s}(1/q)) = (s − 2)ζ(s − 1),

si ϵ ≢ s mod 2. Par conséquent, notre combinaison linéaire Z_{s}(q) + (−1)^{ϵ}Z_{s}(1/q) (si importante dans la démonstration du Lemme 3) est elle aussi un q-analogue normalisé de ζ(s), respectivement ζ(s − 1). En particulier, la combinaison

(4.2)  \frac{1}{2}(Z_{3}(q) − Z_{3}(1/q)) = \frac{1}{2}ζ_{q}(3) = \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}(1 + q^{k})}{(1 − q^{k})^{3}}

réapparaîtra au paragraphe suivant.

Comparons maintenant nos séries S_{n}^{[ϵ]}(q) avec les séries utilisées pour la démonstration du Théorème 1. Si l’on multiplie S_{n}^{[1]}(q) par (1 − q)^{A−1} et fait tendre q vers 1, on obtient la série

(4.3)  (A − 2) · n!^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} (k + \frac{n}{2}) \frac{(k − rn)_{rn} (k + n + 1)_{rn}}{(k)_{n+1}^{A}}

où on a encore utilisé les symboles de Pochhammer (voir la démonstration du Lemme 1). Aux termes k + n/2 et (A − 2) près, il s’agit de la série utilisée dans [21, 2] pour démontrer le Théorème 1. Au terme A − 2 près, la série (4.3) est aussi un cas spécial d’une série introduite dans [23, p. 51] (et ensuite généralisée dans [33, Sec. 8]).

De façon similaire, si l’on multiplie S_{n}^{[0]}(q) par (1 − q)^{A} et fait tendre q vers 1, on obtient la série

2 · n!^{A−2r} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k − rn)_{rn} (k + n + 1)_{rn}}{(k)_{n+1}^{A}} ,

qui est ici exactement celle introduite dans [21, 2].

Confronté à cette analogie frappante entre le � cas q général � et le � cas q = 1 �, on aurait pu espérer analogie entre les minorations des dimensions des espaces vectoriels engendrés par les � q-zêtas �, respectivement les � zêtas �, ce qui n’est pas le cas (comparer les Théorèmes 1 et 2) : les méthodes appliquées ne permettent pas de démontrer des minorations analogues.

4.2. Autour de ζ_{q}(3). On connaît actuellement de nombreuses démonstrations de l’irrationalité de ζ(3) (voir l’article de synthèse [9]), dont plusieurs utilisent des séries hypergéométriques. Deux séries classiques sont la série de Ball (qui est le cas A = 4, r = 1 de la série (4.3) ; voir l’introduction de [21]),

(4.4)  n!^{2} ∑_{k=1}^{∞}(2k + n)\frac{(k − n)_{n} (k + n + 1)_{n}}{(k)_{n+1}^{4}} ,

et la série de Beukers–Gutnik–Nesterenko (voir [6, 11, 17]),

(4.5)  − ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{(k − n)_{n}^{2}}{(k)_{n+1}^{2}} ) ,

qui sont en fait égales pour tout nombre entier positif n. Dans les preuves d’irrationalité de ζ(3), on montre que ces séries sont une combinaison linéaire de 1 et ζ(3), à coefficients rationnelles satisfaisant certaines propriétés asymptotiques et arithmétiques. Dans ce paragraphe nous présentons des q-analogues de ces deux séries, et nous démontrons également que ces q-analogues sont une combinaison linéaire de 1 et de ζ_{q}(3).

Nous commençons avec la version non terminée de la transformation de Watson due à Bailey (voir [10, (2.10.10) ; Appendix (III.36)]) :

(4.6) _{8}ϕ_{7}[\begin{matrix}a, \sqrt{a}q, −\sqrt{a}q, b, c, d, e, f \\ \sqrt{a}, −\sqrt{a}, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f \end{matrix}; q, \frac{a^{2}q^{2}}{bcdef} ]

= \frac{(aq, aq/de, aq/df, aq/ef; q)_{∞}}{(aq/d, aq/e, aq/f, aq/def; q)_{∞}}_{4}ϕ_{3}[\begin{matrix}aq/bc, d, e, f \\ aq/b, aq/c, def/a \end{matrix}; q, q]

+ \frac{(aq, aq/bc, d, e, f, a^{2}q^{2}/bdef, a^{2}q^{2}/cdef; q)_{∞}}{(aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, a^{2}q^{2}/bcdef, def/aq; q)_{∞}}

×_{4}ϕ_{3}[\begin{matrix}aq/de, aq/df, aq/ef, a^{2}q^{2}/bcdef \\ a^{2}q^{2}/bdef, a^{2}q^{2}/cdef, aq^{2}/def \end{matrix}; q, q] .

Dans cette identité, on a utilisé la notation

(a_{1}, a_{2}, …, a_{k}; q)_{∞} := (a_{1}; q)_{∞} (a_{2}; q)_{∞} ⋯ (a_{k}; q)_{∞}.

On spécialise alors a = δ^{2}q^{3n+2} et b = c = d = e = f = δq^{n+1} dans (4.6), et on fait tendre δ vers 1. On obtient ainsi

\frac{(q^{n+1}; q)_{n+1}^{4}}{q^{(n+1)^{2}} (q; q)_{n} (q^{2n+2}; q)_{n+1}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(1 − q^{2k+n}) (q^{k−n}; q)_{n} (q^{1+k+n}; q)_{n}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{4}} q^{k(n+1)}

= lim_{δ→1}(\frac{1}{q^{n+1}(q; q)_{n}} \frac{(δ^{2}q^{3+3n}, q^{n+1}, q^{n+1}, q^{n+1}, δq^{n+1}, δq^{n+1}, δq^{n+1}; q)_{∞}}{(δq^{2n+2}, δq^{2n+2}, δq^{2n+2}, δq^{2n+2}, δq^{2n+2}, δq, q/δ; q)_{∞}}

× \frac{1}{δ − 1} (∑_{k=1}^{∞} \frac{(q^{k−n}; q)_{n} (δq^{k−n}; q)_{n}}{(δq^{k}; q)_{n+1}^{2}} (δq^{k}) − ∑_{k=1}^{∞} \frac{(q^{k−n}; q)_{n} (q^{k−n}/δ; q)_{n}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{2}} q^{k})),

soit, en utilisant le Théorème de l’Hôpital,

\frac{(q^{n+1}; q)_{n+1}^{4}}{q^{(n+1)^{2}} (q; q)_{n} (q^{2n+2}; q)_{n+1}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(1 − q^{2k+n}) (q^{k−n}; q)_{n} (q^{1+k+n}; q)_{n}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{4}} q^{k(n+1)}

= \frac{(q^{n+1}; q)_{n}^{4}}{q^{n+1}(q; q)_{n}^{3} (q^{2n+2}; q)_{n+1}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dδ} ( \frac{(δq^{k−n}; q)_{n}^{2}}{(δq^{k}; q)_{n+1}^{2}} (δq^{k}))|_{δ=1} .

Ceci équivaut évidemment à (4.7)

(q; q)_{n}^{2} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(1 − q^{2k+n}) (q^{k−n}; q)_{n} (q^{1+k+n}; q)_{n}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{4}} q^{k(n+1)} = \frac{q^{n(n+1)}}{log q} ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} ( \frac{(q^{k−n}; q)_{n}^{2}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{2}} q^{k}) ,

dont le membre de gauche est un q-analogue parfait de la série (4.4) de Ball et le membre de droite est un q-analogue parfait de la série (4.5) de Beukers–Gutnik–Nesterenko. Plus précisément, si l’on multiplie les deux membres de (4.7) par (1 − q)^{3} et que l’on fait tendre q vers 1, on retrouve l’égalité (4.4)=(4.5). Il est également notable que, à un facteur q^{−n/2} près, le membre de gauche est exactement la série S_{n}^{[1]}(q) = S_{n}(q) − q^{−n}S_{n}(1/q) étudiée au paragraphe 3, avec A = 4 et r = 1.

Poursuivons l’analogie un peu plus loin en utilisant l’identité intégrale de Agarwal (voir [10, (4.6.5)]),

8ϕ_{7}[\begin{matrix}q^{a}, q^{1+a/2}, −q^{1+a/2}, q^{b}, q^{c}, q^{d}, q^{e}, q^{f} \\ q^{a/2}, −q^{a/2}, q^{1+a−b}, q^{1+a−c}, q^{1+a−d}, q^{1+a−e}, q^{1+a−f} \end{matrix}; q, q^{2+2a−b−c−d−e−f}]

= sin π(b + c + d − a)\frac{(q^{1+a}, q^{b}, q^{c}, q^{d}, q^{1+a−b−c}, q^{1+a−b−d}, q^{1+a−c−d}, q^{1+a−e−f}; q)_{∞}}{(q, q^{b+c+d−a}, q^{1+a−b−c−d}, q^{1+a−b}, q^{1+a−c}, q^{1+a−d}, q^{1+a−e}, q^{1+a−f}; q)_{∞}}

× \frac{1}{2πi} ∫_{−i∞}^{i∞} \frac{(q^{1+s}, q^{1+b−e+s}, q^{1+a−f+s}, q^{b+c+d−a+s}; q)_{∞}}{(q^{b+s}, q^{c+s}, q^{d+s}, q^{1+a−e−f+s}; q)_{∞}} \frac{πq^{s} ds}{sin πs sin π(b + c + d − a + s)},

où la courbe d’intégration est déformée autour de l’origine de sorte que celle-ci soit à droite de la courbe. Cette identité est valable à condition que

Re(s log q − log(sin πs sin π(b + c + d − a + s))) < 0,

et en la spécialisant en a = 3n + 2 et b = c = d = e = f = n + 1, on peut donner une représentation intégrale des séries (4.7). Il s’agit en fait d’un cas limite puisqu’apparaît le quotient (sin π(b + c + d − a))/(q^{1+a−b−c−d}; q)_{∞} :

lim_{a→3n+2}_{b,c,d→n+1} \frac{sin π(b + c + d − a)}{(q^{1+a−b−c−d}; q)_{∞}} = lim_{a→3n+2} \frac{sin π(3n + 3 − a)}{(q^{a−3n−2}; q)_{∞}}

= lim_{x→0} \frac{sin(π(1 − x))}{(1 − q^{x})(q^{1+x}; q)_{∞}} = −\frac{π}{(q; q)_{∞} log q} .

On obtient ainsi :

8ϕ_{7} [ \begin{matrix}q^{3n+2}, & q^{2+3n/2}, & −q^{2+3n/2}, & q^{n+1}, & q^{n+1}, & q^{n+1}, & q^{n+1}, & q^{n+1} \\ & q^{1+3n/2}, & −q^{1+3n/2}, & q^{2n+2}, & q^{2n+2}, & q^{2n+2}, & q^{2n+2}, & q^{2n+2} \end{matrix} ; q, q^{n+1}]

= \frac{(q^{n+1}; q)_{n+1}^{4}}{(q; q)_{n}^{3} (q^{2n+2}; q)_{n+1}} · \frac{1}{log q} · \frac{1}{2πi} ∫_{−i∞}^{i∞} \frac{(q^{1+s}, q^{1+s}, q^{2+2n+s}, q^{2+2n+s}; q)_{∞}}{(q^{1+n+s}, q^{1+n+s}, q^{1+n+s}, q^{1+n+s}; q)_{∞}} (\frac{π}{sin πs})^{2} q^{s}ds.

Par conséquent les séries (4.7) s’expriment comme

(4.8)  \frac{q^{(n+1)^{2}}}{log q} · \frac{1}{2πi} ∫_{−i∞}^{i∞} \frac{(q^{1+s}, q^{1+s}, q^{2+2n+s}, q^{2+2n+s}; q)_{∞}}{(q^{1+n+s}, q^{1+n+s}, q^{1+n+s}, q^{1+n+s}; q)_{∞}} (\frac{π}{sin πs})^{2} q^{s}ds.

Remarquons que l’égalité de (4.8) avec le membre de droite de (4.7) peut être vue directement en poussant la courbe d’intégration à droite et en appliquant le théorème des résidus. On obtient ainsi un q-analogue parfait d’une autre identité classique (voir [17]) :

− ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{(k − n)_{n}^{2}}{(k)_{n+1}^{2}} ) = \frac{1}{2iπ} ∫_{−i∞}^{i∞} \frac{Γ(1 + s)^{2}Γ(2 + 2n + s)^{2}}{Γ(1 + n + s)^{4}} (\frac{π}{sin πs})^{2} ds.

Montrons maintenant que ces deux séries basiques peuvent s’écrire comme combinaison linéaire de 1 et de ζ_{q}(3). Notons S_{n}(q) la série à droite de (4.7), et

R_{n}(T; q) = \frac{(q^{−n}T; q)_{n}^{2}}{(T; q)_{n+1}^{2}}

(sans risque de confusion avec les notations utilisées au paragraphe 3) de sorte que

S_{n}(q) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (q^{k}R_{n}(q^{k}; q)) .

Décomposons R_{n}(T; q) en éléments simples :

R_{n}(T; q) = ∑_{j=0}^{n} (\frac{a_{j,n}(q)}{(1 − q^{j}T)^{2}} + \frac{b_{j,n}(q)}{1 − q^{j}T} ) ,

d’où

S_{n}(q) = ∑_{j=0}^{n} a_{j,n}(q)q^{−j} ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k+j}}{(1 − q^{k+j})^{2}} ) + ∑_{j=0}^{n} b_{j,n}(q)q^{−j} ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k+j}}{1 − q^{k+j}} ) .

On a donc

S_{n}(q) = (∑_{j=0}^{n} a_{j,n}(q)q^{−j}) ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{2}} ) + (∑_{j=0}^{n} b_{j,n}(q)q^{−j}) ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k}}{1 − q^{k}} )

− ∑_{j=1}^{n} a_{j,n}(q)q^{−j} ∑_{k=1}^{j} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{2}} ) − ∑_{j=1}^{n} b_{j,n}(q)q^{−j} ∑_{k=1}^{j} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k}}{1 − q^{k}} ) .

Remarquons que

∑_{j=0}^{n} b_{j,n}(q)q^{−j} = − ∑_{j=0}^{n} Res(R_{n}(T; q))_{T =q^{−j}} = Res(R_{n}(T; q))_{T =∞} = 0

et que l’on a

∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} (\frac{q^{k}}{(1 − q^{k})^{2}} ) = (log q) ∑_{k=1}^{∞} \frac{q^{k}(1 + q^{k})}{(1 − q^{k})^{3}} = (log q)ζ_{q}(3).

Finalement, en posant

A_{n}(q) = ∑_{j=0}^{n} a_{j,n}(q)q^{−j}

et

B_{n}(q) = ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{j} a_{j,n}(q)\frac{q^{k−j}(1 + q^{k})}{(1 − q^{k})^{3}} + ∑_{j=1}^{n} ∑_{k=1}^{j} b_{j,n}(q)\frac{q^{k−j}}{(1 − q^{k})^{2}} ,

on a donc

S_{n}(q) = (log q)(A_{n}(q) ζ_{q}(3) − B_{n}(q)),

c’est-à-dire

(4.9)  \frac{1}{log q} ∑_{k=1}^{∞} \frac{d}{dk} ( \frac{(q^{k−n}; q)_{n}^{2}}{(q^{k}; q)_{n+1}^{2}} q^{k}) = A_{n}(q) ζ_{q}(3) − B_{n}(q).

Avec la technique exposée au paragraphe 3.6, on montre qu’il existe D̄_{n}(q) ∈ ℚ(q) tel que D̄_{n}(q)A_{n}(q) et D̄_{n}(q)B_{n}(q) soient dans ℤ[1/q] et

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |D̄_{n}(q)| = \frac{9}{π^{2}} .

Malheureusement,

lim_{n→+∞} \frac{1}{n^{2}} log |S_{n}(q)| = 0

et on ne peut donc montrer l’irrationalité de ζ_{q}(3) pour aucun q ≠ ±1 tel que 1/q ∈ ℤ.

Remarque. Pour finir, notons que, compte-tenu de (4.7), on aurait évidemment pu utiliser le Lemme 3 avec ϵ = 1, A = 4 et r = 1 pour obtenir (4.9) plus rapidement, mais au prix d’un D̄_{n}(q) moins bon : cela suggère une probable � conjecture des dénominateurs �, comparable à celles énoncées dans le cas classique dans [23] et [33]. Plus précisément et comme noté dans la Remarque (2) au paragraphe 3.1, on peut démontrer les propriétés A)–D) du paragraphe 3.1 pour la série alternative S̃_{n}(q), en lieu et place de S_{n}^{[ϵ]}(q). Il semble alors que l’on peut dans ce cas remplacer le � dénominateur � D_{n}(q) par un D̃_{n}(q), défini comme D_{n}(q) par (3.19), sauf que la puissance de d_{n}(q) est A − 1 à la place de A. Comme pour A = 4 et r = 1, la série S̃_{n}(q) est aussi identique avec le membre gauche de (4.7), cette � conjecture des dénominateurs � est vérifiée dans ce cas. Si elle l’est aussi pour A = 10 et r = 2, on pourra démontrer qu’au moins un des nombres ζ_{q}(3), ζ_{q}(5), ζ_{q}(7), ζ_{q}(9) est irrationnel, et donc améliorer le résultat du Théorème 4. Bien que pour A = 4 et r = 1 la série S_{n}^{[1]}(q) coïncide avec S̃_{n}(q) (à un facteur négligeable près), une telle amélioration des dénominateurs n’a probablement pas lieu, en général, pour la série S_{n}^{[ϵ]}(q).

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