1.4 Häufungspunkte

Was bedeutet nun, daß eine Folge $(x_n)_n$ nicht konvergiert? Ein Hinderungsgrund kann sein, daß mehrere Kandidaten für den Grenzwert vorhanden sind. Um dies präziser zu machen geben wir folgende

1.4.1 Definition. Häufungspunkt.
Ein $x_{\infty}\in X$ heißt Häufungspunkt der Folge $x:\mathbb{N}\to X$, falls in jeder $\varepsilon$-Umgebung von $x_{\infty}$ unendlich viele Folgeglieder liegen, d.h.

$$\forall \varepsilon >0\forall n\exists k>n:x_k\in B_\varepsilon (x_{\infty}).$$

Eine Folge kann durchaus mehrere Häufungspunkte haben. Z.B. hat $(-1)^n\frac{n}{n+1}$ die Häufungspunkte $\pm 1$ und jede Abzählung $\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ hat alle $x\in\mathbb{R}$ als Häufungspunkte.

Unter einer Teilfolge $x'$ einer Folge $x:\mathbb{N}\to X$ versteht man $x'=x\o n$, wobei $n:\mathbb{N}\rightarrowtail\mathbb{N}$ injektiv ist. D.h. $x'=(x'_0,x'_1,x'_2,\dots)$ entsteht aus $x=(x_0,x_1,x_2,\dots)$ durch Wegstreichen aller bis auf abzählbar vieler Elemente $n_0=n(0)$, $n_1=n(1)$,..., $x'=(x'_0,x'_1,x'_2,\dots)=(\not x_0,\dots,\not x_{n_0-1},x_{n_0},\not x_{n_0+1},\dots)$, also $x'_k := x_{n_k}$.

1.4.2 Lemma. Häufungspunkte via Teilfolgen.
Ein Punkte $x_{\infty}$ ist genau dann ein Häufungspunkt der Folge $x:\mathbb{N}\to X$, wenn eine Teilfolge $x':\mathbb{N}\to\mathbb{N}\to X$ existiert, welche gegen $x_{\infty}$ konvergiert.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Sei $x_{\infty}$ ein Häufungspunkt von $x$. Rekursiv wählen wir jedes $k\in\mathbb{N}$ einen Index $n_k>n_{k-1}$ mit $d(x_{n_k},x_{\infty})<\frac1k$. Dann ist $(x_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $x$, welche gegen $x_{\infty}$ konvergiert.

( $\Leftarrow$) Sei $(x_{n_k})_k$ eine Teilfolge von $x$, welche gegen $x_{\infty}$ konvergiert. Für jedes $\varepsilon >0$ und $n\in\mathbb{N}$ existiert somit ein $k$ mit $n_k>n$ und $d(x_{n_k},x_{\infty})<\varepsilon$, d.h. $x_{\infty}$ ist ein Häufungspunkt von $x$.     []

Ein anderes Hindernis für die Konvergenz einer Folge ist, wenn sie unbeschränkt ist. Andernfalls können wir folgendes Resultat verwenden.

1.4.3 Proposition. Satz von Bolzano & Weierstraß.
Es sei $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^p$. Dann besitzt $x$ einen Häufungspunkt $x_{\infty}\in\mathbb{R}^p$.

Beweis. Se vorerst $p=1$. Wir nennen einen Index $N$ Gipfelstelle von $x$, wenn $x_n\leq x_N$ für alle $n>N$. Falls $x$ unendlich viele Gipfelstellen $g_1<g_2<\dots$ besitzt, so ist $k\mapsto x_{g_k}$ eine monoton fallende Folge. Anderenfalls existiert eine letzte Gipfelstelle $g$ und damit können wir rekursive eine Teilfolge $x_{n_k}$ durch $n_0:=g+1$ und $n_{k+1}:=\min\{n>n_k:x_n\geq x_{n_k}\}$. Dies definiert eine monoton wachsende Teilfolge von $x$.

Sei nun $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathbb{R}$ beschränkt. Nach dem oben gesagten existiert eine monotone Teilfolge von $x$ und diese ist nach 1.3.10 konvergent, d.h. $x$ besitzt eine Häufungspunkt.

Sei schließlich $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathbb{R}^p$ beschränkt. Nach obigen existiert eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k}^p)$ der letzten Koordinate. Die Folge $(x_{n_k}^1,\dots,x_{n_k}^{p-1})_k$ besitzt seinerseits nach Induktion eine konvergente Teilfolge $(x_{n_{k_l}})_l$ in $\mathbb{R}^{p-1}$ und somit ist $l\mapsto x_{n_{k_l}}$ eine konvergente Teilfolge in $\mathbb{R}^p$.     []

Um die Konvergenz einer Folge mittels der Definition nachprüfen zu können, benötigen wir aber schon den Kandidaten für den Grenzwert. Deshalb ist das folgende Kriterium oft sehr hilfreich.

1.4.4 Proposition. Cauchy'sches Konvergenzkriterium.
Eine Folge $x=(x_n)_n$ in $\mathbb{R}^n$ ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist, d.h.

$$\forall\varepsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\forall m,n\geq N:d(x_n,x_m)<\varepsilon .$$

Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

Beweis. Jede konvergente Folge ist Cauchy, denn aus $\vert x_k-x_{\infty}\vert<\frac{\varepsilon }2$ für $k\geq N$ folgt $\vert x_n-x_m\vert\leq\vert x_n-x_{\infty}\vert+\vert x_{\infty}-x_m\vert<\varepsilon$ für alle $n,m\geq N$.

Umgekehrt sei $x=(x_n)_n$ eine Cauchy-Folge. Dann existiert ein $N$ mit $\vert x_n-x_N\vert\leq 1$ für $n\geq N$ und somit ist $x$ beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß existiert eine konvergente Teilfolge $(x_{n_k})_k$ von $x$ mit Grenzwert $x_{\infty}$. Dies ist aber auch der Grenzwert von $x$, denn für $\varepsilon >0$ existiert ein $N$ mit $\vert x_n-x_m\vert<\varepsilon$ für alle $n,m>N$ und somit $\vert x_{\infty}-x_m\vert\leq\varepsilon$ für alle $m>N$ durch Grenzübergang von $n=n_k$ für $k\to{\infty}$.     []

1.4.5 Bemerkung.
Beachte jedoch, daß es nicht genügt wenn der Abstand aufeinanderfolgender Folgeglieder beliebig klein wird. Z.B. ist für die harmonische Folge $x_n:=\sum_{k=1}^n \frac1n$ der Abstand $\vert x_{n+1}-x_n\vert=\frac1{n+1}\to 0$ aber die Folge divergiert gegen $+{\infty}$.

1.4.6 Definition. Limes inferior und superior.
Es sei $x$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}$. Sei $H$ die Menge ihrer Häufungspunkte. Statt $\inf(H)=\min(H)$ schreibt man auch

$$\liminf_{n\to{\infty}}x_n=\varliminf_{n\to{\infty}}x_n$$

und nennt dies Limes inferior und statt $\sup(H)=\max(H)$ schreibt man auch $\limsup_{n\to{\infty}}x_n=\varlimsup_{n\to{\infty}}x_n$ und nennt dies Limes superior.

Man sieht wie folgt, daß $\inf(H)=\min(H)$: Sei $\mu:=\inf(H)$ und $\varepsilon >0$. Dann ist $\mu+\varepsilon$ keine untere Schranke, also existiert ein Häufungspunkt $h$ mit $\mu\leq h<\mu+\varepsilon$. Für $\delta :=\mu+\varepsilon -h>0$ liegen unendlich viele Folgeglieder in der $\delta$-Umgebung um $h$ und somit auch in der $\varepsilon$-Umgebung $U_\varepsilon (\mu)\supseteq U_\delta (h)$ von $\mu$. Also ist $\mu$ ein Häufungspunkt und damit $\mu=\min(H)$.

Beachte weiters, daß genau dann $a=\varlimsup_{n\to{\infty}}x_n$, wenn $a$ ein Häufungspunkt ist, also in jeder $\varepsilon$-Umgebung unendlich viele Folgeglieder liegen, alle $a'>a$ jedoch keine Häufungspunkte sind, d.h. für jede $\varepsilon$-Umgebung fast alle Folgeglieder außerhalb dieser liegen. Zusammengefaßt liegen also für jedes $\varepsilon >0$ unendlich viele Folgeglieder in der $\varepsilon$-Umgebung von $a$, aber nur endlich viele rechts von $a+\varepsilon$.

1.4.7 Lemma.
Eine Folge $x$ ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und $\liminf x=\limsup x$ gilt.

Beweis. ( $\Rightarrow$) Sei $x$ konvergent gegen $x_{\infty}$ und $x_{\infty}'$ ein Häufungspunkt von $x$. Dann ist $x_{\infty}=x_{\infty}'$, denn andernfalls lägen fast alle Folgenglieder in der $\varepsilon$-Umgebung von $x_{\infty}$ mit $\varepsilon <d(x_{\infty},x_{\infty}')/2$ und somit nur endlich viele in der (disjunkten) $\varepsilon$-Umgebung von $x_{\infty}'$. Also ist $H=\{x_{\infty}\}$ die Menge der Häufungspunkte von $x$ und somit $\liminf x=\inf(H)=\sup(H)=\limsup x$.

( $\Leftarrow$) Sei $x_{\infty}:=\liminf x=\limsup x$ und $\varepsilon >0$. Dann liegen fast alle Folgeglieder rechts von $x_{\infty}-\varepsilon$, denn andernfalls gäbe es nach Bolzano-Weierstraß einen (uneigentlichen) Häufungspunkt $\leq x_{\infty}-\varepsilon$. Ebenso liegen fast alle Folgeglieder links von $x_{\infty}+\varepsilon$, denn andernfalls gäbe es einen (uneigentlichen) Häufungspunkt $\geq x_{\infty}+\varepsilon$. Dies zeigt die Konvergenz von $x$ gegen $x_{\infty}$.     []