Fakultät für Mathematik Universität Wien Nordbergstraße 15 1090 Wien

Lehrveranstaltungsnummer: 250155
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 4

Zeit und Ort:	Montag, 10.10 – 11.50, Hörsaal 3 (UZA 2),
	Dienstag, 10.10 – 11.50, Hörsaal 3 (UZA 2).

Informationen zur Lehrveranstaltung:
Beginn: Montag, 1. Oktober 2007, 10.10, Hörsaal 3 (UZA 2).

Für viele Anwendungen der Mathematik spielen Differenzialgleichungen und Differenzengleichungen eine entscheidende Rolle. Zunächst tritt die Frage auf, ob man eine Methode angeben kann zu einer gegebenen Differenzialgleichung eine Lösungsfunktion finden zu können. In einfachen Fällen ist dies möglich. Die Probleme aus den Anwendungen führen jedoch oft nicht auf einfache Differenzialgleichungen. Deshalb stellt sich die Frage, ob eine Differenzialgleichung überhaupt eine Lösung hat. Soferne sie eine Lösung hat, kann man sich fragen ob diese Lösung eindeutig ist (üblicherweise können Lösungen von Differenzialgleichungen nur dann eindeutig sein, wenn bestimmte Anfangsbedingungen oder Randbedingungen erfüllt sind). Auch wenn es etliche Methoden gibt Lösungen von Differenzialgleichungen zu finden, kann man Lösungen oft nicht explizit angeben. In so einem Fall können mit nummerischen Verfahren Näherungslösungen bestimmt werden. Es gibt aber auch Methoden ohne die explizite Lösung zu kennen Aussagen über das „Langzeitverhalten“ der Lösungen zu machen.

Bei Differenzialgleichungen und Differenzengleichungen zeigt sich auch häufig das Phänomen, das kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen große Auswirkungen auf das Verhalten der Lösungen „nach langer Zeit“ haben. Die Lösungen sind zwar durch ein deterministisches System bestimmt (also theoretisch eindeutig für alle Zeiten bestimmbar), aber in der Praxis erweist es sich oft als sinnvoller ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell zu verwenden. Solche Phänomene nennt man chaotisches Verhalten.

In der komplexen Analysis wird versucht die aus der reellen Analysis bekannte Theorie der Differenzialrechnung auf die komplexen Zahlen zu übertragen. Diese Theorie erweist sich als sehr fruchtbar. Komplex differenzierbare Funktionen haben viele schöne Eigenschaften, die für reell differenzierbare Funktionen im Allgemeinen nicht gelten. Durch diese Theorie bietet sich dann eine neue Sichtweise der reellen Analysis, und viele Phänomene der reellen Analysis lassen sich dadurch besser verstehen.

Am Beginn der Vorlesung werden metrische Räume besprochen, weil diese sowohl für die Theorie der Differenzialgleichungen als auch für die komplexe Analysis nützlich sind. Danach werden (einfache gewöhnliche) Differentialgleichungen behandelt. Auch chaotische diskrete dynamische Systeme werden kurz erklärt. Schließlich wird die komplexe Analysis besprochen.

Hier findet man pdf-Files der Bilder zum Newtonverfahren für z³-1 und z⁷- 1.

Zur Vertiefung des in der Vorlesung gebrachten Stoffes ist der Besuch des Proseminars unerlässlich. Unterstützung erfolgt durch die TutorInnen Isis Kowarik und Angela Stachelberger.

Prüfungen:

Die Prüfungen zur Vorlesung bestanden aus einem schriftlichen und einem mündlichen Teil.

Das erste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Dienstag, 29. Jänner 2008, um 10.30 im Hörsaal 3 (UZA 2) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das zweite schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 14. März 2008, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das dritte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 18. April 2008, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das vierte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 30. Mai 2008, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das fünfte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 17. Oktober 2008, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das sechste schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 14. November 2008, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 30. März 2009 abzulegen gewesen.

Das siebente schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 16. Jänner 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 27. April 2009 abzulegen gewesen.

Das achte und vorletzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 8. Mai 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 25. Juni 2009 abzulegen gewesen.

Das neunte und letzte schriftliche Kolloquium zur Vorlesung fand am Freitag, 30. Oktober 2009, um 14.00 im Seminarraum D 1.01 (UZA 4) statt. Die dazugehörige mündliche Prüfung wäre dann mit mir persönlich zu vereinbaren und bis spätestens 15. Dezember 2009 abzulegen gewesen.

Literaturhinweise:

Weil in dieser Vorlesung mehrere verschiedene Gebiete angeschnitten werden, gibt es kaum Bücher, die den gesamten Vorlesungsstoff abdecken. Andererseits gehen die einführenden Bücher zu den einzelnen behandelten Gebieten weit über den Vorlesungsinhalt hinaus. Bei diesen Lehrbüchern hängt es oft vom persönlichen Geschmack der/des LeserIn ab, ob dieses Buch ihr/ihm gefällt oder nicht.

Die folgende Liste ist als eine Auswahl anzusehen:

• Ll. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial patterns and entropy in dimension one, World Scientific, Singapore, 2000 (2^nd edition).
• V. I. Arnol'd, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag, Berlin, 2001 (2. Auflage).
• J. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, New York, 1995 (2^nd edition, 7^th printing).
• R. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Westview Press, Boulder, 2003 (reprint of the 2^nd edition).
• H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Wiesbaden, 2006 (5. Auflage).
• H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Teubner, Wiesbaden, 2006 (16. Auflage).
  H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 2004 (13. Auflage).
• K. Jänich, Funktionentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 2004 (6. Auflage).