Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B20pref (1988), 2 pp.
[Formerly: Publ. I.R.M.A. Strasbourg, 1988, 372/S-20, p. 3-4.]

Luigi Cerlienco et Dominique Foata

Preface

Nos amis sardes ont bien voulu se charger de l'organisation de cette vingtième rencontre et nous offrir d'excellentes conditions matérielles dans l'hôtel Carlos Quinto d'Alghero, durant une pleine semaine. Trois conférenciers principaux ont traité de sujets d'algèbre classique à forte composante combinatoire: I.G. Macdonald (London) (A new class of symmetric functions), Adalbert Kerber (Bayreuth) (Algebraische Kombinatorik: Anwendungen endlicher Gruppenoperationen) et Jean-Pierre Jouanolou (Strasbourg) (Théorie de l'élimination). Seul le texte des conférences du premier nommé est reproduit dans ce volume. Le second conférencier principal vient d'écrire un beau livre sur le sujet qu'il a traité en Sardaigne, à savoir "Algebraic Combinatorics: the Use of Finite Group Action" (230 pages). Une telle contribution ne peut que faire l'objet d'une publication séparée. Nous invitons les personnes intéressées à s'adresser directement à Adalbert Kerber pour obtenir une copie de son travail. Quant à Jean-Pierre Jouanolou, le traité qu'il est en train de préparer sur l'élimination s'annonce si vaste et si complet, que nous ne pouvons qu'espérer avoir un mémoire d'une cinquantaine de pages dans l'un des prochains Actes du séminaire.

Les textes présentés ici ont été intégrés dans le volume suivant l'ordre de leur arrivée physique chez les éditeurs. Le texte de I.G. Macdonald a été composé à Strasbourg et reproduit en fin d'ouvrage. L'auteur y traite de nouvelles fonctions symétriques prolongeant à la fois celles de Jack et celles de Hall-Littlewood. L'apparition d'un nouveau paramètre q leur donne l'allure d'un q-analogue discret des fonctions de Hall-Littlewood. L'une des questions ouvertes est de fournir une bonne formule explicite pour ces dites fonctions, à la manière de celles qui existent déjà pour les fonctions de Schur et de Hall-Littlewood.

Dans la première communication on voit que l'algèbre et la combinatoire des fonctions de Schur fournissent directement l'expression de la fonction génératrice des permutations dites colorées. Puis, Jiang Zeng nous propose une beta-extension de la formule d'inversion de Lagrange à plusieurs variables tout en éclairant son propos par deux exemples d'application classiques. Lors du dernier séminaire de combinatoire à Oberwolfach (juillet 1988), James Louck avait proposé une conjecture sur la résolution d'une équation de convolution. Trois des participants du séminaire d'Alghero ont résolu cette conjecture, Volker Strehl par une technique combinatoire élégante, Peter Paule par une application ingénieuse de la formule d'inversion de Lagrange et Jiang Zeng par un simple argument d'induction. Seule la démonstration de Volker Zeng est publiée dans ce volume.

Andreas Dress et Christian Siebeneicher poursuivent leur étude sur l'algèbre des colliers et donnent ici une nouvelle bijection explicite. Un tableau oscillant est une suite de diagrammes de Ferrers dans lequel deux diagrammes consécutifs ne diffèrent que par l'adjonction ou la suppression d'un point. Marie-Pierre Delest, Serge Dulucq et Luc Favreau décrivent une correspondance du type Robinson-Schensted pour ces tableaux oscillants. Il est tout à fait remarquable de voir toutes les propriétés de la correspondance de Robinson-Schensted se transposer au cas de ces tableaux oscillants.

La formule n à la puissance (n-2) dénombre les arbres de n sommets ; c'est aussi le titre de la communication de Pierre Duchet. Celui-ci propose une extension du codage de Prüfer au cas des hypergraphes. Nous abordons avec la contribution de Dina Ghinelli l'étude des groupes d'automorphismes de certaines configurations finies. Puis, Peter Hoffman revient une nouvelle fois sur la très célébrée règle de Littlewood-Richardson et Alain Lascoux et Marcel-Paul Schützenberger montrent de façon très éclairante comment l'ordre dit fort sur les tableaux fournit une structure d'ordre eulérienne sur les permutations. Enfin, Arnold Kräuter fait le point sur l'évaluation des permanents de matrices de +1 et -1.

Le volume se termine par l'exposé de I.G. Macdonald, dont il a été question plus haut.

L'organisation de ce vingtième séminaire n'aurait pu se faire sans l'aide précieuse apportée par tous les collègues sardes, en particulier celle de Marina Murreddu et de Francesco Piras. Nous avons aussi bénéficié du soutien de l'Université de Cagliari et du Programme de Recherches Coordonnées Mathématique et Informatique.