
\abstract{By Foissy's work, the bidendriform structure of the Word
  Quasisymmetric Functions Hopf algebra (WQSym) implies that it is isomorphic to
  its dual.  However, the only known explicit isomorphism does not respect the
  bidendriform structure. This structure is entirely determined by so-called
  totally primitive elements (elements such that the two half-coproducts are 0).
  In this paper, we construct a basis indexed by a new combinatorial family
  called biplane forests in bijection with packed words.  In this basis,
  primitive elements are indexed by biplane trees and totally primitive elements
  by a certain subset of trees.  Thus we obtain the first explicit basis for the
  totally primitive elements of WQSym.}

\resume{Grâce aux travaux de Foissy, on sait que l'algèbre de Hopf WQSym est
  isomorphe à sa duale car bidendriforme. Cependant, le seul isomorphisme
  explicite connu ne respecte pas la structure bidendriforme. Cette structure
  est entièrement déterminée par les éléments totalement primitifs (annulés par
  les demi co-produits).  Dans ce papier, nous construisons une base indexée par
  une nouvelle famille combinatoire appelée forêt biplanes, en bijection avec
  les mots tassés. Dans cette base, les éléments primitifs sont indexés par les
  arbres et les totalement primitifs par un certain sous-ensemble
  d'arbres. Ainsi, nous obtenons la première base explicite des éléments
  totalement primitifs dans WQSym.}

\keywords{bidendriform Hopf algebras, Word Quasisymmetric Functions, packed
  words, primitive elements}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "primitive_wqsym"
%%% End:
