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Funktionalanalysis 1

LVA Nummer: 250207
LVA Typ: VO
Semesterwochenstunden: 3
Zeit und Ort: Mo, Di, Do 11:00-12:00 Hörsaal 2, UZA 2
Beginn: 1.10.2007


Alle Informationen zur Prüfung siehe unten.

Allgemeines: In der Analysis bzw. ihren Anwendungen stellt sich heraus, dass es in vielen Fällen sinnvoll ist, Funktionen als Elemente eines geeigneten (Vektor-)Raumes aufzufassen---also als Punkte in einem Funktionenraum. Ein Ihnen bekanntes Beispiel ist vermutlich der Satz über die Lösbarkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen (Picard-Lindelöf): hier wird die (eindeutige) Lösung als Fixpunkt einer Kontraktionsabbildung auf einem vollständigen metrischen Raum von stetigen Funktionen gewonnen.
Die Funktionalanalysis ist diejenige Displizpin der Mathematik, in der Funktionen und Folgen (oder auch Folgen von Funktionen) konsequent als Punkte in Vektorräumen aufgefasst und systematisch diese Vektorräume und die Abbildungen zwischen ihnen studiert werden. Bei etwas genauerem Hinsehen bemerkt frau/man, dass sich nur dann eine reichhaltige Theorie ergibt, wenn die enstprechenden Vektorräume mit einer Topologie versehen werden: diese erlaubt es nämlich die Kernbegriffe der Analysis---Konvergenz und Stetigkeit---ins Spiel zu bringen. So gesehen ist die Funktionalanalysis das Studium dieser topologischen Vektorräume.
Etwas spezieller werden wir uns mit den Grundlagen der linearen, normierten Funktionalanalysis befassen, d.h. Vektorräume, die mit einer Norm, oder (noch spezieller) mit einem Skalarprodukt versehen sind, und die stetigen linearen Abbildungen zwischen ihnen studieren.
Methodisch lebt die Funktionalanalysis von dem sich daraus ergebenden Zusammenspiel von analytischen und (linear-)algebraischen Techniken. Gewissermaßen könnte man/frau die Funktionalanalysis als die Zusammenführung der Analysis mit der linearen Algebra sehen.

Der Grundstein der Funktionalanalysis wurde zu Beginn des vorigen Jahrhunderts vor allem von David Hilbert, Erhard Schmidt und Marcel Riesz gelegt. In den 1920er und 1930er Jahren wurde die Theorie---auch in Wechselwirkung mit der gerade enstehenden Quantenmechanik---von John von Neumann, sowie der "polnischen Schule", allen voran Stefan Banach in ihre heutige Form gebracht. Heute sind funktionalanalytische Resultate grundlegend für viele Gebiete der Mathematik (Partielle Differentialgleichungen, Numerik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Approximationstheorie) und der theoretischen Physik (Quanten(feld)theorie).

Inhalt: Diese Vorlesung bietet eine ausgewogene Einführung in die Funktionalanalysis. Sie soll den Studierenden (vor allem des Studienschwerpunkts "Analysis") die gemeinsamen Grundlagen vermitteln, die eine weitere Spezialisierung in den verschiedenen an der Fakultät vertretenen Arbeitsrichtungen ermöglicht. Etwas detaillierter gliedert sich der Inhalt wie folgt:


Literatur: In vielen Teilen der Vorlesung habe ich mich vom Buch von Dirk Werner (Funktionalanalysis, Springer, Berlin, 5. Auflage 2005) leiten lassen. Die Reihung der Themen entspricht allerdings nicht der im Buch, sondern nimmt auf die Notwendigkeiten einer 3-stündigen Einführungsvorlesung (siehe oben) Rücksicht. Eine kommentierte Literaturliste findet sich hier.

Vorwissen: Grundlage zum Verständnis der Vorlesung ist die solide Kenntnis des Analysis- sowie des Lineare Algebra Zyklus. Ebenso werden die Inhalte der Vorlesung "Grundbegriffe der Topologie" vorausgesetzt. Insbesondere werde ich in der Vorlesung explizit auf die entsprecheden Vorlesungen von Günther Hörmann und Michael Grosser bezug nehmen. In Fragen der Anwendungen werden Sie sich sicher leichter zurechtfinden, falls sie bereits die "gewöhnlichen Differentialgleichungen" besucht haben und/oder gleichzeitig mit dieser Vorlesung die "Partiellen Differentialgleichungen" hören.

Zielpublikum: Diplomstudierende der Mathematik, aber auch Studierende der (theoretischen) Physik, die einen Blick hinter die Kulissen riskieren wollen.

Bemerkung: Die Vorlesung findet teilgeblockt statt. Gewöhnlich finden pro Woche 3 Einheiten zu 60 Minuten, also das Äquivalent von 4 Semesterwochenstunden statt. Im Gegenzug entfällt die Vorlesung fallweise nach (entsprechend rechtzeitiger) Ankündigung.

Positionierung im Studienplan: Pflichtfach im Studienschwerpunkt "Analysis" des Diplomstudiums Mathematik.

Skriptum/Vorbereitung: Ich stelle meine (handschriftliche) Vorlesungsvorbereitung im Nachinein zum Kopieren zur Verfügung.

Prüfungen:
Fortsetzung: Die Vorlesung Funktionalanalysis 2 im Sommersemester 2008 wird als direkte Fortsetzung dieser Vorlesung konzipiert.

Übungen: Die Vorlesung wird von einer 1-stündigen Übung begleitet. In ihr laufen all jene Teile des Lernprozesses ab, die im Rahmen einer Vorlesung nicht effektiv erfolgen können. Ein wirkliches Verständnis der einschlägigen Begriffe und Konzepte ensteht vorwiegend auf Basis beider Veranstaltungen.
Übungen dienen allgemein dem eigenständigen und kreativen Umgang mit dem Stoff. Dies wollen wir (Michael Kunzinger und R.S.) dadurch erreichen, dass Sie selbständig die Aufgaben der Aufgabensammlung lösen und in den Übungen vortragen und diskutieren. Um dies angesichts der zu erwartenden HörerInnenzahl in effektiver Weise bewerkstelligen zu können, bieten wir zwei Gruppen an. Die Übungen beginnen am 4. bzw. 8.10. Die Anmeldung erfolgt in der Vorlesung am 2.10.