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Distributionentheorie

Sommersemester 2009

Vortragende: Günther Hörmann, Roland Steinbauer
Lehrveranstaltungsnummer: 250067
Lehrveranstaltungstyp: VO
Stundenzahl: 4
Zeit und Ort: Mo 13:15-14:45 Seminarraum 2A310, UZA 2, Mi 14:30-16:00 Seminarraum C2.07, UZA 4
Beginn: 2.3.2009
Neuigkeiten:

  • 2009-07-10: Eine vorläufige Version des Skripts zur Vorlesung gibt es hier. (Kapitel 0 und 7 sind noch nicht inkludiert. Ebenso fehlen einige der Beweise, die in der Vorlesung ausgelassen wurden und auch einige Items, die wir noch umgestalten wollen. Kommentare willkommen!)

  • 2009-06-30: Skript zur Vorlesung:
    Eine vorläufige Version des Skripts zur Vorlesung gibt es ab Mitte Juli hier zum download. Davor Ausdrucke auf Anfrage.

  • 2009-06-29: Prüfungsinformationen
    Zu folgenden Zeiten sind keine Prüfungen möglich: 13.--31.7., 26.8.--7.9. und 14.9--28.9.
    Beweise, die nicht im Detail gekonnt werden müssen: 1.21, 1.22, 1.33, 1.47-50, 1.56, 1.60, 1.62, 1.66, 1.69; 2.26, 2.31; 3.2, 3.4, 3.7, 3.9, 3.16; 4.5(i), 4.9-11, 4.15, 4.18, 4.22, 4.23; 5.3, 5.8, 5.10, 5.14, 5.17, 5.31, 5.38, 5.39; 6.6, 6.13, 6.28; alle Beweise in Kap. 7(=8, "Fundamentallösungen").
    Zur Terminvereinbarung bitte mit dem gewünschten Prüfer per E-Mail Kontakt aufnehmen, also entweder mailto:guenther.hoermann@univie.ac.at oder mailto:roland.steinbauer@univie.ac.at.

Allgemeines: Die Theorie der Distributionen---oft auch verallgemeinerte Funktionen genannt---ist eine Erweiterung der klassischen Analysis, die Mitte des 20. Jahrhunderts vor allem von Laurent Schwartz und Sergei Sobolev entwickelt wurde.
In der Physik und den Ingenieurwissenschaften waren verallgemeinerte Funktionen-Ideen in mehr oder weniger vager und exakter Form schon lange und weit verbreitet (Kirchhoff 1882, Heaviside 1898, Dirac 1926) aber erst die elegante (funktionalanalytische) Formulierung von Laurent Schwartz (um 1945) brachte den ganz großen Erfolg. Binnen kürzester Zeit nahm die Theorie der Distributionen sowohl innerhalb der Funktionalanalysis, als auch in Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, theoretische Physik) einen zentralen Platz ein.
Die Grundidee dieser Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs ist es, statt der ''klassischen'' Zuordnung ${\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)$ die Zuordnung $\varphi \mapsto \int f(x) \varphi(x) dx$ zu betrachten, wobei $\varphi$ Element eines geeigneten Funktionenraums $\cal{D}$ ist; verallgemeinerte Funktionen sind also lineare, (stetige) Funktionale auf ${\cal D}$. Dieser Begriffsrahmen ist besonders gut geeignet, um für (klassisch) nichtdifferenzierbare oder sogar unstetige Funktionen (etwa die Heaviside'sche Sprungfunktion oder die Dirac'sche Deltafunktion) einen Ableitungsbegriff zu entwickeln und eine reichhaltige Theorie verallgemeinerter Funktionen zu ermöglichen.
Obwohl die größte Triebkraft hinter der Entwicklung der Distributionentheore der Wunsch nach einer Erweiterung von Lösungskonzepten für partielle Differentialgleichungen (schwache Lösungen, Fundamentallösungen) war, erreichten die revolutionären Einwirkungen auf die Analysis von (linearen) partiellen Differentialoperatoren insbesondere durch L. Hörmander (seit Mitte der 1950er Jahre) unvorhergesehene Ausmaße.

Inhalt: In der Vorlesung wird die Theorie der Distributionen auf ''elementarem'' Niveau (also ohne Zugrundelegung der Theorie lokalkonvexer Vektorräume) entwickelt---gemäß der Rolle der Distributionentheorie als "analytische Technologie".
Als Hauptreferenz wird uns das Buch von F.G. Friedlander und M. Joshi ("Introduction to the Theory of Distributions", 2nd Edition, Cambridge Universtiy Press, 1998) dienen. Die Kerninhalte der Vorlesung sind
  • Testfunktionen und Distributionen
  • Differentialoperatoren
  • Faltung, Fundamentallösungen
  • Temperierte Distributionen, Fourier Transformation, Sobolev Räume
  • Regularität
Literatur: Eine kommentierte Literaturliste befindet sich hier.

Bemerkung: Diese Vorlesung bietet einen Einstieg in das Arbeitsgebiet der Forschungsgruppe DiANA und kann so als Vorbereitung auf eine Diplom- oder Masterarbeit innerhalb der Gruppe dienen.

Voraussetzung zum erfolgreichen Besuch der Lehrveranstaltung sind vor allem solide Analysis-Kenntnisse etwa im Umfang der Grundvorlesungen Analysis bzw. Analysis für Physik 1,2. Der Besuch der Vorlesung ist daher schon ab dem 4. Semseter möglich.
Etwas Toplogie ist wünschenswert aber nicht unbedingt erforderlich. Querbezüge zur Funktionalanalysis (lokalkonvexe Vektorräume) werden je nach Publikumswunsch und Vorbildung der TeilnehmerInnen mehr oder weniger eingebracht. Wer Kenntnisse aus partiellen Differentialgleichungen oder der theoretischen Physik mitbringt, wird die Anwendungsaspekte der Vorlesung mehr zu genießen wissen.

Zielpublikum: Diplom- und Masterstudierende der Mathematik und insbesondere auch der (theoretischen) Physik; alle die Lust und Interesse am Thema haben---etwa Lehramtsstudierende der Mathematik.

Positionierung im Studienplan: Masterstudium Mathematik, Studienschwerpunkt Analysis, Code MANV, Diplomstudium Mathematik, 2. Abschnitt, Studienschwerpunkt Analysis.

Prüfungen: mündlich; individuelle Terminvereinbarung.

Zur Einstimmung finden Sie hier einen kleinen einschlägigen Text.