Aufgabe 96

Überblick

f[x_,y_]:=x^3+y^3-3x y

Funktionsgraph und Höhenschichtlinien

Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]
ContourPlot[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3}]

Vermutung : Sattel in (0, 0), lok. Min nahe (1, 1), keine globalen Extrema

Kritische Punkte

Gradf={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}

Solve[Gradf=={0,0},{x,y}]

Wir suchen natürlich nur reelle Lösungen, also :
  K1 = (0, 0), K2 = (1, 1)

Auswertung der Hesse Matrix

Hessf=MatrixForm[{{D[f[x,y],{x,2}],D[D[f[x,y],x],y]},{D[D[f[x,y],x],y],D[f [x,y],{y,2}]}}]

Hessf/.{x->0,y->0}

Det[%]

Indefinit, also :
   K1 = (0, 0) ist ein Sattel

Hessf/.{x->1,y->1}

Det[%]

Determinante positiv und (1, 1 - Eintrag prositiv = > Hesse Matrix pos. definit, also :
    K2 = (1, 1) ist lok. Minimum

Aufgabe 97

Überblick

f[x_,y_]:=3x Exp[y]-x^3-Exp[3y]

Funktionsgraph und Höhenschichtlinien

Plot3D[f[x,y],{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5}]
ContourPlot[f[x,y],{x,-3,3},{y,-10,3}]

Vermutung : Lok. Max nahe (1,0) , keine globalen Extrema

Kritische Punkte

Gradf={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}

Solve[Gradf=={0,0},{x,y}]

Wir suchen natürlich nur reelle Lösungen, also :
  K1 = (1,0)

Auswertung der Hesse Matrix

Hessf=MatrixForm[{{D[f[x,y],{x,2}],D[D[f[x,y],x],y]},{D[D[f[x,y],x],y],D[f [x,y],{y,2}]}}]

Hessf/.{x->1,y->0}

Det[%]

Determinante positiv und (1, 1) - Eintrag negativ = > Hesse Matrix neg. definit, also :
    K1 = (1, 0) ist lok. Max.

Aufgabe 98

Überblick

f[x_,y_]:=3x^2+x^3-4y^3-y^4

Funktionsgraph und Höhenschichtlinien

Plot3D[f[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4}]
ContourPlot[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

Vermutung : Sattel in (0, 0), links des Ursprungs und auch unterhalb des Ursprungs, lok. Max nahe (-2, -3), keine globalen Extrema

Kritische Punkte

Gradf={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}

Solve[Gradf=={0,0},{x,y}]

Vier kritische Punkte:
  K1 = (0, 0), K2 = (-2, 0), K3=(0,-3), K4=(-2,-3)

Auswertung der Hesse Matrix

Hessf=MatrixForm[{{D[f[x,y],{x,2}],D[D[f[x,y],x],y]},{D[D[f[x,y],x],y],D[f [x,y],{y,2}]}}]

Hessf/.{x->0,y->0}

Eigenvalues[%]

Positiv Semidefinit, also :
   K1 = (0, 0) ist ein Sattel

Hessf/.{x->-2,y->0}

Eigenvalues[%]

Negativ Semidefinit, also :
   K2 = (-2, 0) ist ein Sattel

Hessf/.{x->-0,y->-3}

Eigenvalues[%]

Indefinit, also :
   K3 = (0, -3) ist ein Sattel

Hessf/.{x->-2,y->-3}

Eigenvalues[%]

Negativ definit, also :
   K4 = (-2, -3) ist ein lok. Max.

Aufgabe 99

Überblick

f[x_,y_]:=x+y

Funktionsgraph und Höhenschichtlinien

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]
ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Methode 1 : Einsetzen (“Wie in der Schule”)

f1[x_]:=x+Sqrt[1-x^2]
f2[x_]:=x-Sqrt[1-x^2]

Plot[{f1[x],f2[x]},{x,-1,1}]

Solve[f1'[x]==0,x]
f1''[x]

f1'' < 0 also lok. Max. in x = 1/Sqrt[2]
Dh insgesamt lok. Max. in (x, y) = (1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2])

Solve[f2'[x]==0,x]
f2''[x]

f2'' > 0 also lok. Min. in x = -1/Sqrt[2]
Dh insgesamt lok. Min. in (x, y) = (-1/Sqrt[2],-1/Sqrt[2])

Methode 2 : Lagrange Multiplikatoren

g[x_,y_]:=x^2+y^2-1
h[x_,y_,λ_]:=f[x,y]-λ*g[x,y]
h[x,y,λ]
{D[h[x,y,λ],x],D[h[x,y,λ],y],D[h[x,y,λ],λ]}

Solve[%==0,{x,y,λ}]

Also Kandidaten für lok. Extr.  K1, 2 = (x, y) = +/-(1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2])
Da S^1 kompakt muss es ein lok = glob Max und Min geben. Also reicht ein Vergleich der Funktionswerte an den Kanidadatenstellen.

f[1/Sqrt[2],1/Sqrt[2]]
f[-1/Sqrt[2],-1/Sqrt[2]]

Also lok. = glob. Max in K1, Min in K2

Aufgabe 100

Überblick

f[x_,y_]:=x^2 y

Funktionsgraph und Höhenschichtlinien

Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]
ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

Vermute nicht strikte lok. Max./Min. auf der neg./pos. y - Achse und kein lok. Extr. in (0, 0)

(a) Max/Min auf offener Einheitskreisscheibe

Kritische Punkte

Gradf={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]}

Solve[Gradf=={0,0},{x,y}]

Die ganze y-Achse besteht aus krit. Punkten

Auswertung der Hesse Matrix

Hessf=MatrixForm[{{D[f[x,y],{x,2}],D[D[f[x,y],x],y]},{D[D[f[x,y],x],y],D[f [x,y],{y,2}]}}]

Hessf/.{x->0}

Nie definit und Det = 0 also auch nicht indefinit = > KEINE AUSSAGE MÖGLICH
Ausweg:

Diskutiere Vorzeichen

f = 0 auf der y - Achse
f >= 0 in oberer Halbebene
f <= 0 in unterer Halbebene

Daher nichtstrikte lok Min/Max auf pos/neg y - Achse.
   Kein lok. Extremum in (0, 0)

(b) Auf Einheitskreis

Methode 1: Einsetzen

f1[y_]:=y (1-y^2)
Plot[f1[y],{y,-1,1}]

Weil auf [-1, 1] zu diskutieren (!! !)
lok. Max./Min in - /+1

Solve[f1'[y ]==0,y]

f1''[1/Sqrt[3]]
f1''[-1/Sqrt[3]]

Daher lok. Max./Min. in + /-1/Sqrt[3]

Daher insgesamt lok. Max./Min.(auch global) in
(+/-Sqrt[2/3], 1/Sqrt[3]) / (+/-Sqrt[2/3], -1/Sqrt[3])
und lok. Max./Min. in (0,-/+1)

Aufgabe 101

Zwei Skizzen zur Illustration :

Plot3D[{Sqrt[(1-y^2-x^2)/2],-Sqrt[(1-y^2-x^2)/2],x+y},{x,-1,1},{y,-1,1}]

Plot3D[{Sqrt[(1-y^2-x^2)/2],-Sqrt[(1-y^2-x^2)/2],x+y},{x,-1,1},{y,-1,1}]