\documentclass[a4paper,10pt]{article}

\usepackage[german]{babel}

\usepackage{amsmath,amssymb,bbm}

\usepackage{pst-all}\psset{unit=1.3cm}
%\usepackage{graphicx}

\addtolength{\topmargin}{-1cm}
\addtolength{\textheight}{2cm}
\addtolength{\textwidth}{2.3cm}
\addtolength{\evensidemargin}{-1.2cm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-1.2cm}
\parindent 0mm

\newcommand{\R}{{\rm I\!R}}
\newcommand{\N}{{\rm I\!N}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\w}{{\scriptsize{\wedge}}}
\newcounter{teil}
\newenvironment{lijst}
{%
  \begin{list}{}{
       \renewcommand{\makelabel}{\textbf{(\alph{teil})}
       %
    }% Hier also in fett, serifenlos, Hypothese und
     % Zaehler und Doppelpunkt
        \addtolength{\leftmargin}{0.5\labelsep}%
        \addtolength{\itemsep}{-0.22cm}
        \addtolength{\topsep}{-0.25cm}
        \usecounter{teil}
  }%

}{%
    \end{list}% Liste beenden
}


\title{Hartog und Riemann}
\author{}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

Eine Polydisk um einen Punkt $z=(z_1,\ldots,z_n)\in \C^n$ ist eine  Menge der Gestalt
\begin{equation}
\left\{ \zeta\in \C^n\, \mid\,\, |\zeta_1-z_1|\leq r_1\,,\ldots\,,|\zeta_n - z_n |\leq r_n\,\right\}\,,
\end{equation}
f\"ur bestimmte positive reelle Zahlen $r_1,\ldots,r_n$.

Wir werden st\"andig den Satz von Cauchy verwenden: Sei $U$ eine offene Menge in $\C^n$ und sei $f:U\to \C$ eine analytische Funktion auf $U$; f\"ur alle $z\in U$ gibt es eine Polydisk $D$ in $U$, sodass $z$ ein innerer Punkt von $D$ ist und dann gilt
\begin{equation}
f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w \ldots\w \d\zeta_n\,.
\end{equation}

\textbf{Satz von Riemann}. \textit{Sei $D = \left\{ \zeta\in \C^n\,\mid \, |\zeta_i | \leq 1\right\}$ eine Polydisk und sei $D^* = D - \left\{ \zeta\in D\,\mid \, \zeta_1=0\right\}$. Wenn $f:D^*\to \C$ eine beschr\"ankte analytische Funktion auf $D^*$ ist, dann kann man $f$ auf $D$ analytisch fortsetzen.}\\
\vskip 2mm
\textit{Beweis:} Wir werden eine analytische Funktion auf $D$ definieren durch
\begin{equation}
\tilde f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w \ldots\w \d\zeta_n\,.
\end{equation}
Die Funktion $\tilde f$ ist automatisch analytisch, es muss also nur noch gezeigt werden, dass sie auf $D^*$ mit $f$ \"ubereinstimmt. Sei dazu $z=(z_1,\ldots,z_n)$ ein Punkt in $D^*$. F\"ur ein gen\"ugend kleines $\epsilon>0$ definieren wir:
\begin{equation}
\begin{split}
\Gamma_1 & = \left\{ \zeta\in \C^n\,\mid\,\, |\zeta_1 -z_1|=\epsilon , \, |\zeta_i|=1,\, i>1\right\}\,,\\
\Gamma_2 & = \left\{ \zeta\in \C^n\,\mid\,\, |\zeta_1 |=\epsilon, \, |\zeta_i|=1,\, i>1\right\}\,.
\end{split}
\end{equation}
Wir werden $\epsilon$ so klein nehmen, dass $\Gamma_1\cap \Gamma_2 = \emptyset$ und dass $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ vollst\"andig in $D^*$ liegen.

Wenn $g$ eine analytische Funktion auf $U\subset \C$ ist, ist $g(\zeta)\d\zeta_1\w\ldots\w\zeta_n$ eine geschlossene Differentialform auf $U$. Da $\partial D - \Gamma_1 - \Gamma_2$ mit der richtigen Orientierung einen Rand eines Gebiets in $D^*$ darstellt, worauf $\frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}$ analytisch ist, gilt
\begin{equation}\label{riemann1}
\begin{split}
&\int_{\partial D } \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w\ldots\w \d\zeta_n - \int_{ \Gamma_2 } \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w\ldots\w \d\zeta_n\\
&= \int_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w\ldots\w \d\zeta_n = f(z)\,.
\end{split}
\end{equation}

Da $f$ beschr\"ankt auf $D$ ist, d\"urfen wir annehmen, dass es eine positive reelle Zahl $M>0$ gibt, mit $|f(\zeta)|<M$ f\"ur alle $\zeta\in D^*$. Wenn wir $\Gamma_2$ durch $\zeta_1 = \epsilon e^{i\varphi_1}$ und $\zeta_l = e^{i\varphi_l}$ f\"ur $l>1$ parametrisieren, dann k\"onnen wir den Beitrag des $\Gamma_2$-Integrals in (\ref{riemann1}) absch\"atzen durch
\begin{equation}
\int_{0}^{2\pi}\d\varphi_1\ldots\int_{0}^{2\pi}\d\varphi_n \frac{\epsilon M}{|\epsilon e^{i\varphi_1} - z_1|\cdot |e^{i\varphi_2}-z_2|\cdots |e^{i\varphi_n}-z_n|}\,.
\end{equation}
Da aber $\epsilon$ beliebig klein gemacht werden kann, ist $f(z)$ gegeben durch
\begin{equation}
f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w \ldots\w \d\zeta_n\,.  \hskip 2cm \square
\end{equation}\\
\vskip 2mm

\textbf{Satz von Hartog}. \textit{Sei $D = \left\{ \zeta\in \C^n\,\mid \, |\zeta_i | \leq 1\right\}$ eine Polydisk und sei $D^* = D - \left\{ \zeta\in D\,\mid \, \zeta_1=\zeta_2=0\right\}$. Wenn $f:D^*\to \C$ eine analytische Funktion auf $D^*$ ist, dann kann man $f$ auf $D$ analytisch fortsetzen.}\\
\vskip 2mm
\textit{Beweis}: Wir werden wieder eine Funktion $\tilde f$ definieren durch
\begin{equation}
\tilde f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w \ldots\w \d\zeta_n\,,
\end{equation}
f\"ur $z$ in $D$. Wir k\"onnen den Satz beweisen, indem wir zeigen, dass $f$ und $\tilde f$ auf $D^*$ \"ubereinstimmen.

Sei $z = (z_1,\ldots,z_n)$ in $D^*$ und seien $\epsilon_1$ und $\epsilon_2$ gen\"ugend kleine positive reelle Zahlen, sodass
\begin{equation}
D_\epsilon  \left\{\zeta\,\mid\, |\zeta_i - z_i|\leq \epsilon_i,\,i=1,2;\,|\zeta_j - z_j|\leq 1,\,j>2\right\}
\end{equation}
in $D^*$ liegt; wir d\"urfen annehmen, dass $|\epsilon_i|< |z_i|$ und $\epsilon_i + |z_i|<1$ f\"ur $i=1,2$. Dann ist $z$ ein innerer Punkt von $D_\epsilon$ und somit gilt, dass $f(z)$ gegeben ist durch
\begin{equation}
f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\partial D_\epsilon} \frac{f(\zeta)}{(\zeta_1 - z_1)\cdots (\zeta_n - z_n)}\d \zeta_1\w \ldots\w \d\zeta_n\,.
\end{equation}
Der Beweis ist dann fertig, wenn wir beweisen k\"onnen, dass $\partial D - \partial D_\epsilon$ ein Rand in $\widetilde{D}=D^* - \bigcup_{i=1}^{n}\left\{ \zeta\in D^* |\, \zeta_i = z_i\right\}$ ist. Wir werden eine Homotopie zwischen $\partial D$ und $\partial D_\epsilon$ in $\widetilde{D}$ konstruieren. Genauer gesagt, wir werden zwei stetige differenzierbare positive Funktionen $\alpha_i:[0,1]\to \R^{>0}$ konstruieren, mit $\alpha_i(0) = 1$ und $\alpha_i(1)=\epsilon_i$, sodass die Menge
\begin{equation}
\partial D_t = \left\{ \zeta\in C^n\,\mid\, |\zeta_i - t z_i|=\alpha_i(t),\,i=1,2,t\in[0,1]\,;\,|\zeta_k| = 1,\,k>2\right\}\,,
\end{equation}
vollst\"andig in $\widetilde{D}$ liegt. Dann folgt der Satz, da $\partial \bigcup_{t\in[0,1]}\partial D_t = \partial D - \partial D_\epsilon$. Da $\zeta_k$ f\"ur $k>2$ fix sind, k\"onnen wir uns auf Folgendes konzentrieren: Wir suchen zwei positive Funktionen $\alpha_i:[0,1]\to \R^{>0}$, sodass f\"ur die Punkte $(\zeta_1,\zeta_2)$ definiert durch $|\zeta_i - tz_i| = \alpha_i(t)$ folgende drei Bedingungen erf\"ullt sind:
\begin{lijst}
\item Niemals sind $\zeta_1$ und $\zeta_2$ gleichzeitig Null.
\item Niemals $\zeta_1 = z_1$ oder $\zeta_2=z_2$.
\item St\"andig $|\zeta_1|\leq 1$ und $|\zeta_2|\leq 1$.
\end{lijst}

Die dritte Bedingung ist leicht zu erf\"ullen, wenn wir bedenken, dass
\begin{equation}
|\zeta_i| \leq |\zeta_i - tz_i| + t |z_i| = \alpha_i(t) +tz_i\,.
\end{equation}
Wir werden also fordern, dass $\alpha_i(t) \leq 1-t|z_i|$. Wegen der zweiten Bedingung brauchen wir uns auch keine Sorgen zu machen, weil $\zeta_i = z_i$ nur dann, wenn $\alpha_i(t) = (1-t)|z_i|$. Bedingungen zwei und drei sind also erf\"ullt, wenn wir w\"ahlen
\begin{equation}\label{hartog1}
(1-t) |z_i| < \alpha_i(t) \leq 1-t|z_i|\,.
\end{equation}
Die Funktionen $\alpha_i(t) = 1 - (1-\epsilon_i)t$ erf\"ullen Bedingung (\ref{hartog1}).

Dann jetzt die erste Bedingung, dass $\zeta_1$ und $\zeta_2$ nicht gleichzeitig Null sind; $\zeta_i=0$, nur dann, wenn $\alpha_i(t) = t|z_i$. F\"ur die Wahl $\alpha_i(t) = 1 - (1-\epsilon_i)t$ hei{\ss}t dies, dass nur wenn $t$ durch
\begin{equation}
t_i = \frac{1}{1+|z_i| - \epsilon_i}\,,
\end{equation}
gegeben ist, $\zeta_i$ Null sein kann. Die erste Bedingung ist dann \"aquivalent zu $t_1\neq t_2$. Aber $t_1 = t_2$, nur wenn $|z_1|-\epsilon_1 = |z_2| - \epsilon_2$. Daher k\"onnen wir, falls $t_1=t_2$ den Parameter $\epsilon_2$ (oder $\epsilon_1$) etwas kleiner machen, und dann sind alle drei Bedingungen erf\"ullt. \hfill $\square$\\

F\"ur eine Skizze der Lage f\"ur $\alpha_1$ unter der Annahmen, dass $|z_1|> 1 - |z_1|$, siehe hier unten:
\begin{equation}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4.5,4.5)
\qline(0,-1)(0,4.5)\qline(-1,0)(4.5,0)\qdisk(0,1){0.05}\qdisk(0,2){0.05}\qdisk(0,3){0.05}\qdisk(0,4){0.05}
\rput(-0.5,4){$1$}\rput(-.5,3){$|z_1|$}\rput(-.6,2){$1-|z_1|$}\rput(-.5,1){$\epsilon_1$}
\rput(4,-.5){$1$}\psline(4,0)(4,4.5)
\psline[linestyle=dashed](0,1)(4,1)\qdisk(4,1){0.05}
\psline[linestyle=dashed](0,2)(4,2)\qdisk(4,2){0.05}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(4,3)\qdisk(4,3){0.05}
\qline(0,4)(4,2)\rput{-25}(1,3.7){$1-t|z_1|$}
\qline(0,3)(4,0)\rput{-35}(1,2){$(1-t)|z_1|$}
\qline(0,4)(4,1)\rput{-35}(1.6,2.55){$\alpha_1(t)$}
\qline(0,0)(4,3)\rput{35}(1.25,0.6){$|z_1|t$}
\end{pspicture}
\end{equation}
Man sieht gleich, dass die Beginn- und Endpunkte der Kurve $(t,\alpha_1(t))$ bedingen, dass diese Kurve die Gerade $(t,|z_1|t)$ schneidet; dies ist auch der Fall wenn $|z_1|\leq 1 - |z_1|$.




\end{document} 