Lösung für Aufgabe 4.1.11
Beweisen Sie, dass die Menge der geraden Zahlen, die durch $5$ teilbar sind, gleich der Menge aller ganzen Zahlen ist, die durch $10$ teilbar sind.Wir bezeichnen mit $M$ die Menge der durch $5$ teilbaren geraden Zahlen und mit $L$ die Menge der durch $10$ teilbaren ganzen Zahlen. Wir zeigen $M\subseteq L$ und $L\subseteq M$. Sei also $k\in M$. Dann gibt es $m\in\Z$ mit $2m=k$, weil $k$ gerade ist, und ein $n\in\Z$ mit $5n=k$, weil $k$ durch $5$ teilbar ist. Es gilt $2m=5n$, also ist $5n$ gerade, und daher ist auch $n$ gerade. (Das gilt, weil das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.) Daher gibt es ein $\ell\in\Z$ mit $2\ell=n$, und $k=5n=10\ell$, also ist $k$ durch $10$ teilbar, also $k\in L$. Das zeigt $M\subseteq L$. Sei nun $k\in L$. Dann existiert ein $\ell\in\Z$ mit $k=10\ell=2\cdot5\cdot\ell$. Also ist $k$ gerade, weil $k=2(5\ell)$, und durch $5$ teilbar, weil $k=5(2\ell)$. Somit gilt $k\in M$. Das zeigt $L\subseteq M$. Daher ist $L=M$.