Lösung für Aufgabe 4.3.32
- Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht bijektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ bijektiv ist?
- Gibt es zwei Funktionen $f$ und $g$, die beide nicht injektiv sind, sodass die Zusammensetzung $f\circ g$ injektiv ist?
- Ja. Für $g:\{a\}\to\{0,1\}$ mit $g:a\mapsto 0$ und $f:\{0,1\}\to\{A\}$ mit $f:0\mapsto A$, $f:1\mapsto A$ ist die Zusammensetzung $f\o g:\{a\}\to\{A\}$, $f\o g:a\mapsto A$ offensichtlich bijektiv.
- Nein. Ist $f\o g:A\to B\to C$ injektiv, dann ist jedenfalls $g:A\to B$ injektiv. Sonst gäbe es $a_1\neq a_2\in A$ mit $g(a_1)=g(a_2)$, und dann wäre auch wegen $f(g(a_1))=f(g(a_2))$ die Abbildung $f\o g$ nicht injektiv.