Lösung für Aufgabe 4.3.42
Beweisen Sie, dass die Zusammensetzung $f\circ g$ zweier monotoner Funktionen $f$ und $g$ wieder monoton ist. Betrachten Sie dazu alle vier Kombinationsmöglichkeiten ($f$ und $g$ jeweils monoton fallend oder wachsend). Wie verhält es sich genau mit der Richtung der Monotonie, d.h. welche Monotonie erhält man bei Verknüpfung einer wachsenden mit einer fallenden Funktion, etc.?Wir betrachten $g:A\to B$ und $f:B\to C$ auf den geordneten Mengen $(A,\leq)$, $(B,\preceq)$, $(C,\unlhd)$. Seien zunächst $f$ und $g$ beide monoton wachsend. Dann gilt für $a\leq b\in A$ $$ g(a)\preceq g(b)\limplies f(g(a))\unlhd f(g(b))\limplies (f\o g)(a)\unlhd (f\o g)(b). $$ Daher ist $f\o g$ monoton wachsend. Seien nun $f$ und $g$ beide monoton fallend. Dann gilt für $a\leq b\in A$ $$ g(a)\succeq g(b)\limplies f(g(a))\unlhd f(g(b))\limplies (f\o g)(a)\unlhd (f\o g)(b). $$ Daher ist $f\o g$ monoton wachsend. Jetzt sei $f$ monoton wachsend und $g$ monoton fallend. Dann gilt für $a\leq b\in A$ $$ g(a)\succeq g(b)\limplies f(g(a))\unrhd f(g(b))\limplies (f\o g)(a)\unrhd (f\o g)(b). $$ Daher ist $f\o g$ monoton fallend. Zuletzt sei $f$ monoton fallend und $g$ monoton wachsend. Dann gilt für $a\leq b\in A$ $$ g(a)\preceq g(b)\limplies f(g(a))\unrhd f(g(b))\limplies (f\o g)(a)\unrhd (f\o g)(b). $$ Daher ist $f\o g$ monoton fallend. Monoton wachsend und fallend verhalten sich also beim Zusammensetzen von Funktionen wie positiv und negativ bei der Multiplikation von Zahlen.